IMQ(tes6s-2008)

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Exerćıcios de Introdução à Matemática I.
Terceira Etapa do Vestibular para o Bacharelado em Qúımica-UFPE
Prof. Antonio C.R. Monteiro
Recife, 25 de abril de 2008.
Nome:
1. (a) Resolva a equação √
3senx + cosx = 1.
(b) Quantas soluções a equação admite no intervalo [0, 100]?
Solução:
(a) Temos (
√
3senx)2 = (1− cosx)2 ou 3(1− cos2x) = 1− 2cosx + cos2x ou 2cos2 −
cosx − 1 = 0, que tem ráızes cosx = (1 ± √1 + 8)/4 = (1 ± 3)/4 = 1,−1/2; os
valores correspondentes para senx são senx = 0,
√
3/2. A solução é x = 2kπ e
x = 2π/3 + 2kπ. Na primeira volta, as soluções são x = 0, 2π/3.
(b) Temos 100/2π = 15, 9155... e o intervalo [0, 100] correponde aproximadamente a
15, 92 voltas no ciclo trigonométrico. Assim, temos 2.16 = 32 soluções no intervalo
dado.
1
2. Um triângulo tem dois ângulos medindo α e 2α, com lados opostos respectivos medindo
b e a.
(a) Mostre que 0o < α < 60o.
(b) Mostre que cos α = a/(2b).
(c) Se c é a medida do terceiro lado do triângulo, mostre que a2 = b2 + bc.
Solução:
(a) Temos 0 < α + 2α < 180 ou 0 < α < 60, medidas em graus.
(b) Da lei dos senos segue que
a
sen(2α)
=
b
senα
e dáı temos asenα = b.2senα.cosα e como senα > 0 segue que cos α = a
2b
.
(c) Da lei dos cossenos, temos b2 = a2 + c2 − 2accosα = a2 + c2 − 2ac(a/(2b) que
se simplifica como b3 = a2b + c2b − a2c ou b(b2 − c2) = a2(b − c) e, se b 6= c
temos b(b + c) = a2, que é a igualdade pedida. Se b = c temos que os ângulos
do triângulo são α, α, 2α e portanto α = 180o/4 = 45o. Neste caso o triângulo é
retângulo com lados a = b
√
2, b e b e a igualdade a2 = b2 +bc continua verdadeira.
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