Função de variável complexa IV

Prévia do material em texto

Funções de Variável 
Complexa
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Carlos Henrique de Jesus Costa
Revisão Textual:
Alessandra Fabiana Cavalcanti 
Revisão Técnica
Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
Funções Complexas
• Funções de uma Variável Complexa
• Limite e Continuidade
• Derivação
• Resoluções de Atividades Práticas
 · Nesta unidade, introduziremos as funções de variáveis complexas, 
estendendo o cálculo de seus limites e propriedades e, ainda, suas 
derivadas com suas regras de derivação.
 · Nossa intenção é dar uma visão de conjunto da teoria elementar das 
funções analíticas de uma variável complexa e de suas aplicações, 
buscando proporcionar aos alunos uma compreensão desta teoria e 
de suas técnicas.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
A proposta desta aula é introduzir o conceito de funções de uma variável 
complexa, suas aplicações através do cálculo de limites e de derivadas.
Ao findar dessa aula, esperamos que você seja capaz de resolver problemas 
envolvendo:
• Funções de uma Variável Complexa;
• Limite e Continuidade;
• Derivação.
Para ajudar, realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico, 
acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as 
Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. Não 
deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo juntamente 
com os exercícios resolvidos.
Finalmente e o mais importante, fique atento (a) para as atividades avaliativas 
propostas e o prazo de entrega.
Bons estudos!
ORIENTAÇÕES
Funções Complexas
UNIDADE Funções Complexas
Contextualização
O que são fractais? (segundo a autora Fernanda Salla)
São figuras geométricas muito loucas, produzidas por meio de equações 
matemáticas que podem ser interpretadas como formas e cores por programas 
de computador. Sua principal característica é a autossimilaridade. “Eles contêm, 
dentro de si, cópias menores deles mesmos. Essas cópias, por sua vez, contêm 
cópias ainda menores e assim sucessivamente”, explica Eduardo Colli, professor 
do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP). 
Os fractais estão ligados a áreas da física e da matemática chamadas Sistemas 
Dinâmicos e Teoria do Caos, porque suas equações são usadas para descrever 
fenômenos que, apesar de parecerem aleatórios, obedecem a certas regras, como 
o fluxo dos rios. Eles não são explicados pela geometria euclidiana (aquela que 
você aprende na escola), pois possuem dimensão fracionária. “Essa fração está 
relacionada à quantidade e à escala de ampliação das cópias da figura contidas 
dentro dela mesma”, diz Colli. Outra característica é que possuem complexidade 
infinita: um zoom em um detalhe da imagem revela novos detalhes.
Exemplos:
Ikiruviver e Lakshmi (slides 5, 9, 11, 14 16 e 29)
Fonte: Adaptado de https://goo.gl/Az5Jt4
• Fractais são formas geométricas que se caracterizam por repetir um determi-
nado padrão com ligeiras e constantes variações.
• Em consequência da autossimiliaridade, quando vistas através de uma lente 
de aumento, as diferentes partes de um fractal se mostram similares à forma 
como um todo.
• A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexi-
dade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da 
vida e à própria compreensão do universo.
6
7
• Cada universo fractal, gerado a partir de uma única equação matemática, se 
reproduz com a semelhança do todo. E, sem explicação conhecida, iniciam-se 
diferenciações, criando-se novas formas.
• Os fractais deram origem a um novo ramo da matemática, muitas vezes 
designado como geometria da natureza. Esse novo tipo de geometria aplica-se 
na astronomia, na meteorologia, na economia e no cinema.
• Podem ser identificados na natureza, na forma dos brócolis, em árvores, 
mariscos, plantas, e em qualquer estrutura cujas ramificações sejam variações 
de uma mesma forma básica.
• Vivemos num mundo em que a ciência revela novos mistérios a cada dia, e 
para cada descoberta descortinam-se novos e inesperados horizontes, gerando 
mais e mais interrogações.
• As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem fenômenos naturais 
como os sismos, o desenvolvimento das árvores, a forma de algumas raízes, a 
linha da costa marítima, as nuvens.
• São imagens abstratas que possuem o caráter de onipresença, por terem as 
características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte. Ou 
seja, cada partícula possui dentro de si a totalidade, o Universo.
Curva de Koch
Graficamente, um bom exemplo de fractal é o da Curva de Koch, que remete 
a um floco de neve. O procedimento para criá-lo é simples e repetitivo: adicionar 
triângulos ao perímetro de um triângulo inicial.
A seguinte figura representa as seis primeiras etapas de construção. A última 
curva é uma boa aproximação da curva final.
7
UNIDADE Funções Complexas
Fractal de Mandelbrot
Há diversos tipos de equações capazes de gerar essas figuras. Um dos conjuntos 
de fractais mais conhecidos é o do matemático polonês Benoît Mandelbrot, que aju-
dou a popularizá-los, a partir de 1975. Embora exija um nível avançado de conhe-
cimento matemático, esta equação é razoavelmente simples se comparada a outras.
Segundo o autor Alex Bellos:
“Em 1979, Benoit B.Mandelbrot, um matemático francês que trabalhava 
para a IBM, ficou interessado em z z c→ +2 . Seus primeiros resultados 
impressos mostravam um conjunto prisioneiro que parecia uma bolha, 
mas também havia pequenos borrões que pareciam manchas de poeira 
desconectadas da bolha principal. Ele deixou mensagens a seus assistentes, 
dizendo que as imperfeições não eram um defeito da máquina, como um 
8
9
alerta para que não as apagassem dos impressos. Quando Mandelbrot 
usou o zoom e ampliou essas áreas, ele viu que elas consistiam de 
padrões admiravelmente floreados, conectados ao conjunto prisioneiro 
por minúsculas ramificações. Pouco a pouco emergiu a figura geral de 
um conjunto prisioneiro. Parecia um besouro com um focinho na ponto 
e uma pelagem espinhenta, e era diferente de qualquer objeto geométrico 
visto antes.”
Quadro do autor Alex Bellos (p. 218)
Continuando o estudo do fractal de Mandelbrot, um engenheiro automotivo 
de Detroit (EUA), Orson Wang, comprou três computadores para ir mais longe 
num zoom do que tinha ido antes qualquer mandelbrotiano. Ele passou três meses 
escolhendo o melhor lugar de onde partir, e acabou depois ficando num ponto 
perto do número complexo Z i− − +1 7 0 2, , . no mini-Mandelbrot, bem na ponta em 
ferrão. Wang programou seus computadores para trabalhar durante seis meses e 
produzir um zoom que amplia 10275 vezes, mais ou menos o equivalente a seis vezes 
um zoom a partir do tamanho do universo observável até dentro de um próton. O 
resultado é fascinante. Uma ponta aguda e espinhosa transforma-se num filamento 
horizontal, numa cruz, numa estrela de oito pontas numa intersecção irregular de 
talos retorcidos, e subitamente círculos concêntricos explodem no centro como um 
olho em remoinho. É impossível não ficar pasmado.
Mergulhe nesse fractal, através das animações disponíveis nos seguintes vídeos do Youtube:
1º Vídeo (Zoom 10275 ): https://goo.gl/6dCivr
2º Vídeo (Zoom 10194 ): https://goo.gl/11We87
Ex
pl
or
Conjuntos de Julia
O conjunto de Julia de uma função complexa foi nomeado pelos matemáticos 
franceses Gastón Maurice Julia (1893-1978) e Pierre Joseph Louis Fatou (1878-
1929), que utilizaram métodos iterativos possíveis para fazer o estudo de fractais.
9
UNIDADE Funções Complexas
Alguns conjuntos de Julia obtidos por computador com o programa UltraFractal
Existem diversos tipos de fractais, essas figuras são geradas a partir de iterações 
de funções. Porém, para chegar às figuras fractais, precisaremosfalar em iterações 
de funções complexas, que associam a um ponto complexo a bi+ , uma imagem 
complexa f a bi c di( )+ = + . O conjunto de Julia é conhecido como o conjunto que 
separa o plano complexo em dois conjuntos, o primeiro formado pelos pontos 
cujas órbitas tendem à origem e o segundo, formado pelos pontos cujas órbitas 
tendem ao ponto no infinito.
Conjuntos de Julia
https://goo.gl/j1RAiE
Fractais: Conjuntos de Julia e Conjuntos de mandelbrot
https://goo.gl/VIdhNT
Ex
pl
or
Finalizando fractais, confira os destaques da autora Fernanda Salla:
• A origem: É um número complexo, que representa o ponto inicial da 
figura. É descoberto por outra equação, que soma uma parte real e outra 
parte imaginária.
• O progresso: Aplicando e desenvolvendo repetidamente esta função, chamada 
de iteração, é possível descobrir “para onde o ponto vai”.
• A direção: É um ponto estabelecido dentro do plano complexo. É formado 
pela soma de dois outros números, às vezes citados como “coordenadas” em 
uma imagem de fractal.
10
11
A teoria na prática, onde os pesquisadores têm encontrado fractais:
• Medicina: A estrutura do pulmão e as ramificações dos neurônios remetem a 
essas figuras. Entre outros benefícios, a compreensão do desenvolvimento dos 
fractais pode ajudar a prever a evolução de doenças como o câncer, facilitando 
diagnósticos precoces.
• Arte: O inglês Phil Jackson lançou, em 1998, o álbum Organized Chaos, que 
transformava cálculos matemáticos em música fractal. E figuras psicodélicas 
como as desta matéria já viraram exposição, até no Museu da Imagem e do 
Som (MIS) de São Paulo.
• Computação gráfica: Alguns tipos têm sido utilizados como base de ani-
mações digitais. Eles ajudam a criar texturas, simular vegetação ou construir 
paisagens complexas. Apollo 13 (1995) e Titanic (1997) são alguns filmes que 
aplicaram esse recurso.
• Geografia: Os dobramentos das camadas de rocha que formam o solo são 
criados por dobramentos ainda menores, como um fractal. Ao se definir, por 
computador, esses padrões, pode-se estudar a instabilidade dos solos e prevenir 
catástrofes como a da região serrana do Rio de Janeiro.
• Economia: O conceito de fractal é usado no entendimento do comportamento 
da Bolsa de Valores. A variação do valor da ação em um dia de pregão é 
similar à variação de uma semana, um mês, um ano ou uma década. Com isso, 
é possível fazer estatísticas mais precisas.
Se possível, complementando seus estudos, não deixe de acessar:
Site Editora Abril “Mundo Estranho”
https://goo.gl/rGX1Cq
Fractal Zoom Mandelbrot Corner
https://goo.gl/8h6O2X
Ex
pl
or
Fontes: Eduardo Colli, professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP); Fábio Kon, professor do departamento de 
Ciência da Computação do IME-USP; Nilson Jorge Baldovinotti, membro do Grupo de Pesquisa em Processos de Formação e Trabalho Docente de Professores 
de Matemática da Unesp de Rio Claro (SP); The Fractal Geometry of Nature, de Benoit B. Mandelbrot; site da Universidade de Yale; site FractalArts.com.
11
UNIDADE Funções Complexas
Funções de uma Variável Complexa
Após o estudo do conjunto (corpo) dos números complexos nas unidades anterio-
res, vamos agora iniciar o estudo das funções complexas de uma variável complexa.
Vamos considerar uma função f D C: → , onde D é um subconjunto de C 
(conjunto de números complexos na forma z a b i= + . ou z x y i= + . ), na qual temos 
uma correspondência que associa a cada elemento z D∈ um único elemento w I∈ , 
onde I C⊆ . O número w é denominado o valor de f(z) em z, isto é, w = f(z). 
 
 
 
 
 
 
 
z . 
 . w = f(z) 
 f 
Domínio da função f. Contradomínio de f. 
Esquema gráfico da função f
“Uma função de variável complexa é simplesmente uma regra que estabelece 
uma relação entre números complexos em uma certa região D, que é o domínio 
da função, em uma outra região I, que é a sua imagem. O domínio e a imagem 
podem ser finitos, puramente reais, imaginários, ilimitados ou até mesmo todo o 
plano complexo.”
Podemos notar que w, como o valor de f(z), também é uma variável complexa 
e que, portanto, poder ser escrita na forma: w u v i= + . , sendo u v, ∈ℜ , ao passo 
que f(z) também pode ser separada em partes real e imaginária.
f z f x yi u x y v x y i( ) ( ) ( , ) ( , )= + = +
Onde u(x,y) e v(x,y) são funções reais de duas 
variáveis reais x e y, designadas por parte real (x) 
e parte imaginária (y) de f(z).
Exemplo 1: Sabendo que f z f x yi( ) ( )= + , calcule f z z( ) = +2 3 e dê o seu domínio.
Resolução:
i i= − ⇒ = −1 12
Lembrando que:
f z z
f x yi x yi
f x yi x x yi yi
f x yi
( )
( ) ( )
( ) . . ( )
( )
= +
+ = + +
+ = + + +
+
2
2
2 2
3
3
2 3
== + + +
+ = − + +
x xyi y i
f x yi x y xyi
2 2 2
2 2
2 3
3 2
.
( ) ( )
12
13
Logo, comparando com a definição f x yi u x y v x y i( ) ( , ) ( , )+ = + , temos que:
u x y x y( , ) = − +2 2 3 e v x y xy( , ) = 2 , assim o domínio de f é todo o conjunto C.
Exemplo 2: Seja a função f D C: → dada por f z z z i( ) = + − +2 2 4 , calcule f i( )1 3+ .
Resolução:
f z z z i( ) = + − +2 2 4
f i i i i
f i i i i
( ) ( ) .( )
( ) . . ( )
1 3 1 3 2 1 3 4
1 3 1 2 1 3 3 2 6 4
2
2 2
+ = + + + − +
+ = + + + + − ++
+ = + + + −
+ = + + − + −
+ =
i
f i i i i
f i i i
f i
( ) .
( ) .( )
( )
1 3 1 6 3 7 2
1 3 1 6 9 1 7 2
1 3
2 2
11 6 9 7 2
1 3 10 13
+ − + −
+ = − +
i i
f i i( )
Produto Notável:
(A + B)² = A² + 2.A.B + B²
Exemplo 3: Qual é o domínio da função f z
z
z
( ) =
+2 1
, onde z C∈ ?
Resolução:
Sabendo que em um número fracionário (ou racional) o seu denominador precisa 
ser diferente de zero, então temos:
z
z
z
z i
2
2
1 0
1
1
+ ≠
≠ −
≠ ± −
≠ ±
Portanto, podemos concluir que o domínio é igual a D z C z i e z i= ∈ ≠ ≠ −{ / }
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao fi nal deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
Atividades Práticas
1. Sabendo que z x yi= + , determine as partes real e imaginária de cada uma 
das funções dadas.
a) w z z= − +2 5 4 Resp.: u x y x e v xy y= − − + = −2 2 5 4 2 5
b) w
z
=
−
3
6
 Resp.: u
x
x y x
e v
y
x y x
=
−
+ − +
= −
+ − +
3 18
12 36
3
12 362 2 2 2
c) w z
z
=
+
−
2
2
 Resp.: u x y
x y x
e v
y
x y x
=
+ −
+ − +
= −
+ − +
2 2
2 2 2 2
4
4 4
4
4 4
Parte Real. Parte Imaginária.
13
UNIDADE Funções Complexas
d) w z i
z i
=
−
+
4
3
 Resp.: u
x y y
x y y
e v
x
x y y
=
+ − −
+ + +
= −
+ + +
2 2
2 2 2 2
12
6 9
7
6 9
2. Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
a) f z z
z i
( ) =
+ 4
 Resp.: D z C z i= ∈ ≠ −{ / }4
b) f z
z
( ) =
+
5
32
 Resp.: D z C z i e z i= ∈ ≠ ≠ −{ / . . }3 3
c) f z
y
x y
xyi( ) =
+
+2 2 Resp.: D z C z= ∈ ≠{ / }0
d) f z x x y i( ) ln ( )= + − 2 Resp.: D z x yi C x= = + ∈ >{ / }0
Limite e Continuidade
As definições de limite e de continuidade de uma função complexa de variável 
complexa num ponto são análogas às conhecidas no cálculo real.
Limite:
Vamos considerar uma função f D C: → definida em D C⊂ . Seja z C0 ∈ tal que 
f está definida numa certa vizinhança de z0 (não necessariamente no ponto z0 ).
Diz-se que f tem limite L no ponto z z= 0 (ou que o número complexo L é o 
limite de fquando z se aproxima do ponto z0 ), e escrevemos: lim ( )
z z
f z L
→
=
0
.
Propriedades:
Sejam f e g funções complexas de variável complexa. Se existem os limites de 
f e g no ponto z0 , são válidas as seguintes igualdades:
Importante!As propriedades do limite, relativas aos limites da soma, da subtração, do produto, do 
quociente etc., já conhecidas no caso de funções de variáveis reais, permanecem válidas 
para funções de variável complexa, e são estabelecidas como no caso de variável real.
Importante!
I. Limite da Soma: lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
z z z z z z
f z g z f z g z
→ → →
+ = +
0 0 0
;
II. Limite da Subtração: lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
z z z z z z
f z g z f z g z
→ → →
− = −
0 0 0
;
III. Limite do Produto: lim[ ( ). ( )] lim ( ). lim ( )
z z z z z z
f z g z f z g z
→ → →
=
0 0 0
;
IV. Limite do Quociente: lim [ ( ) : ( )] lim ( ) : lim ( )
z z z z z z
f z g z f z g z
→ → →
=
0 0 0
, desde que lim ( )
z z
g z
→
≠
0
0 .
14
15
Obs.: Podemos tratar problemas de limite, estabelecendo a conexão entre o 
limite de uma função de variável complexa e os limites de funções reais de variáveis 
reais (cálculo avançado). Assim, temos o seguinte teorema:
Teorema: Sejam f z u x y v x y i z x yi e z x y io( ) ( , ) ( , ) ,= + = + = +0 0 . Então, o limite 
de f existe em z0 e é igual a u v i0 0+ .
lim ( )
z z
f z u v i
→
= +
0
0 0
,
se, e somente se os limites de u e v existem em ( , )x y0 0 e são iguais a u0 e v0 
respectivamente, lim ( , )
x x
y y
u x y u
→
→
=
0
0
0
 e lim ( , )
x x
y y
v x y v
→
→
=
0
0
0
Continuidade:
Uma função complexa de variável complexa f D C: → é contínua num ponto 
z D0 ∈ se, e somente se todas as 3 (três) condições seguintes são satisfeitas:
I. f z( )0 existe;
II. lim ( )
z z
f z
→ 0
 existe;
III. lim ( ) ( )
z z
f z f z
→
=
0
0 .
A função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio D.
Além disso, podemos ainda concluir que f é contínua em z x y i0 0 0= + se e só se 
as funções reais de variáveis reais u e v são contínuas em ( , )x y0 0 . Deste modo, o 
estudo da continuidade de funções complexas reduz-se ao estudo da continuidade 
de funções reais de variáveis reais.
Exemplo 4: Calcule o seguinte limite: lim
.z i
z
z i→ +
−
=
2
2 3 .
Resolução:
Para calcularmos o limite, substituímos na função dada “z” por “2 + i”, assim:
lim
.
( )
( ).
. .
z i
z
z i
i
i i
i i
i i
i
→ +
−
⇒
+ −
+
⇒
+ + −
+
⇒
+ − −
2
2 2 2 2
2
3 2 3
2
2 2 2 3
2
4 4 1 33
2 1
4
1 2
4
1 2
1 2
1 2
4 8
1 2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i i
i
−
⇒
− +
⇒
⇒
− +
− −
− −
⇒
− −
− −( )
.
( )
( ) ( ) ( )22 2
4 8
1 4
8 4
1 4
8 4
5
8
5
4
5
⇒
− +
+ −
⇒
+ −
+ +
⇒
−
+
⇒ −
i
i
i i
i
Multiplicando a fração pelo conjugado 
do número complexo “–1 +2i” que 
está no denominador da fração.
Produto Notável:
(A + B).(A – B) = A² – B²
Limite da parte Real. Limite da parte Imaginária.
15
UNIDADE Funções Complexas
Podemos dizer que o número complexo 
8
5
4
5
− i é o limite da função 
z
z i
2 3−
.
, 
quando z se aproxima do ponto + +2 i .
Exemplo 5: Calcule o seguinte limite: lim [ ( ) ]
z i
xy x y i
→− +
+ − =
1 2
23 .
Resolução:
Observando a função, podemos separar em: u x y xy e v x y x y( , ) ( , )= = −3 2
lim [ ( ) ]
lim( ) lim( )
z i
x
y
x
y
xy x y i
xy x y
→− +
→−
→+
→−
→+
+ − =
+ −
1 2
2
1
2
1
2
2
3
3 .. lim( ) . lim( )
.( ). (
i ou xy i x y
x
y
x
y
= + − =
⇒ − + − −
→−
→+
→−
→+
1
2
1
2
23
3 1 2 1 222
6 1 4
6 5
).
( ).
i
i
i
⇒
⇒ − + − − ⇒
⇒ − −
Comparando o número complexo “z = x + y.i” com 
“z = -1 +2i”, temos que: x = -1 e y = +2.
Aplicando a propriedade “1” de limites, separamos o 
limite da parte real do limite da parte imaginária.
Podemos dizer que o número complexo − −6 5i é o limite da função 3 2xy x y i+ −( ) , 
quando z se aproxima do ponto − +1 2i .
Exemplo 6: Calcule o seguinte limite: lim .( )
z i
z z
z i→
+
−
=
2 1 .
Resolução:
Para calcularmos o limite, substituimos na função dada “z” por “i”, assim:
lim
( ) ( ) ( ) .
z i
z z
z i
i i
i i
i i
→
+
−
⇒
+
−
⇒
− +
⇒ ⇒
2 21 1 1 1
0
0
0
0
0
Obtemos uma indeterminação do tipo 0
0
.
No entanto, se observarmos que (z² + 1) = (z – i).(z + i), 
podemos simplificar a fração e eliminar a indeterminação.
lim
( )
lim
( ).( )
( )
lim ( ) (
z i z i z i
z z
z i
z z i z i
z i
z z i i i
→ → →
+
−
⇒
− +
−
⇒ + ⇒ +
2 1
ii i i i) .⇒ ⇒ ⇒ −2 2 22
Podemos dizer que o número complexo –2 é o limite da função 
z z
z i
ou z z i
.( )
( )
2 1+
−
+ , quando z se aproxima do ponto i.
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
16
17
Atividades Práticas
3. Calcule os seguintes limites:
a) lim ( )
z i
z z
→ −
− =
4 3
2 5 Resp.: − −13 9i
b) lim
z i
x y i
→ −
+ =
2
22 Resp.: 4 + i
c) lim
z i
z i
z→
+
+
=
4
1
 Resp.: 5
2
5
2
+ i
d) lim
z i
z i
z i→−
−
+
=
2
3 8
2
 Resp.: −12
Derivação
A definição de derivada de uma função de variável complexa é formalmente a 
mesma que no caso de função de variável real.
Considere um conjunto aberto D C⊆ . A derivada de f D C C: ⊆ → no ponto 
z D0 ∈ . ′f z( )0 define-se por: ′ =
−
−→
f z
f z f z
z zz z
( ) lim
( ) ( )
0
0
00
, desde que o limite exista, 
dizendo-se que f é diferenciável em z0 .
Obs.: Temos que ∆z z z= − 0 , então a definição de derivada pode ser es-
crita como:
′ =
+ −
→
f z
f z z f z
zz
( ) lim
( ) ( )
0 0
0 0
∆
∆
∆
Regras de derivação:
As regras de derivação para somas, produtos e quocientes de funções complexas 
de variáveis complexas são, em geral, as mesmas que as regras para funções reais. 
Isto é, se ′f z( )0 e ′g z( )0 existem, então:
I. ( ) ( ) ( ) ( )f g z f z g z+ ′ = ′ + ′0 0 0 .
II. ( . ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )f g z f z g z f z g z′ = ′ + ′0 0 0 0 0 .
III. f
g
z
f z g z f z g z
g z






′
=
′ − ′
( )
( ). ( ) ( ). ( )
[ ( )]0
0 0 0 0
0
2
, se g z( )0 0.
IV. f z n f z f zn n( )′ = ′−( ) . ( ). ( )0 1 0 0 , se n∈Ν .
Exemplo 7: Calcule a derivada da seguinte função: f z z z zi( ) = − +4 155 3 .
17
UNIDADE Funções Complexas
Resolução:
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
f z z z zi
f z z z z i
f z z
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .( . )
= − +
′ = ′ − ′ + ′
′ = −
4 15
4 15
4 5
5 3
5 3 1
4 (( . ) .( . ).
( )
3 15 1
20 3 15
2 0
4 2
z z i
f z z z i
+
′ = − +
( ) .z n zn n′ = −1
Regra de Derivação:
Derivada da Função Potência:
Exemplo 8: Calcule a derivada da seguinte função: h z
i z
z
( )
( )
=
+ −
−
2 4
3 8
.
Resolução:
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
h z
i z
z
h z
i z z i z z
( )
( )
( )
[ ( ) ] .( ) [ ( ) ].(
=
+ −
−
′ =
+ − ′ − − + − −
2 4
3 8
2 4 3 8 2 4 3 8 ′′
−
′ =
+ − − − + − −
−
)
( )
( )
[ ( ). ].( ) [ ( ). ].( . )
(
3 8
0 4 1 3 8 2 4 3 1 0
3
2z
h z
i z i z
z 88
4 3 8 2 4 3
3 8
4 3 8 3 2 4
2
2
)
( )
( )( ) ( ).
( )
( )( ) (′ =
− − − + −
−
⇒
− − − +
h z
i z z zi
z
i z zz zi
z
h z
z zi i z zi
z
h z
−
−
⇒
′ =
− − + − − +
−
′ =
−
)
( )
( )
( )
( )
3 8
12 32 3 8 6 12 3
3 8
3
2
2
88 8
3 8 2
+
−
i
z( )
Regra de Derivação:
Derivada de um Quociente:
f
g
f g fg
g






′
=
′ − ′. .
2
Exemplo 9: Calcule a derivada da seguinte função: f z z( ) ( )= +4 5 5 .
Resolução:
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
h z z
z
h z z z
h z z z
h z
( )
( ) ( ) ( )
( ) . ( . )
( )
= −
′ = ′ − ′
′ = − −
′ =
−
− − −
2
3
2 3
2 1 3 1
1
2 3
22 3
2 3
2
3
1 4
4
4
. ( . )
( )
( )
z z
h z z z
h z z
z
− −
′ = +
′ = +
−
−
1
a
an
n= −
( ) .z n zn n′ = −1
Propriedade da Potenciação:
Regra de Derivação:
Derivada da Função Potência:
18
19
Exemplo 10: Calcule a derivada da seguinte função: h z z
z
( ) = −2 3
1
.
Resolução:
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
1
a
an
n= −
( ) .z n zn n′ = −1
h z z
z
h z z z
h z z z
h z
( )
( ) ( ) ( )
( ) . ( . )
( )
= −
′ = ′ − ′
′ = − −
′ =
−
− − −
2
3
2 3
2 1 3 1
1
2 3
22 3
2 3
2
3
1 4
4
4
. ( . )
( )
( )
z z
h z z z
h z z
z
− −
′ = +
′ = +
−
−
Propriedade da Potenciação:
Regra de Derivação:
Derivada da Função Potência:
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao fi nal deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
Atividades Práticas
4. Calcule a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) f z
z
z z i( ) = − + −
5
3 2
5
3 17 Resp.: ′ = − + −f z z z zi( ) 4 29 34
b) g z
i z
z
( )
( )
=
− − +
+
3 7 2
6
 Resp.: ′ =
− −
+
g z
i
z
( )
( )
39 12
6 2
c) h z z zi( ) ( )= − +6 63 2 Resp.: ′ = − −h z z z z i( ) 216 72 2885 3
d) m z
z z
( ) = −
1 2
2
 Resp.: ′ = − +m z
z z
( )
2 2
3 2
e) p z z i z( ) ln ( )= + −7 4 Resp.: ′ = + −p z
z
i( ) 7
1
4
19
UNIDADE Funções Complexas
Resoluções de Atividades Práticas
1. Sabendo que z x yi= + , determine as partes real e imaginária de cada uma 
das funções dadas.
a) w z z= − +2 5 4
w x yi x yi
w x xyi y i x yi
w x xyi y x
= + − + +
= + + − − +
= + − − −
( ) ( )2
2 2 2
2 2
5 4
2 5 5 4
2 5 55 4
5 4 2 5
5 4 2 5
2 2
2 2
yi
w x y x xyi yi
w x y x xy y i
+
= − − + + −
= − − + + −( ) ( )
Parte real: u x y x y x( , ) = − − +2 2 5 4 e Parte imaginária: v x y xy y( , ) = −2 5 .
b) w
z
=
−
3
6
w
x yi
w
x yi
w
x yi
x yi
x yi
w
=
+ −
=
− +
=
− +
− −
− −
=
3
6
3
6
3
6
6
6
3
( )
[( ) ]
.
[( ) ]
[( ) ]
.(( )
( ) ( )
x yi
x yi
w
x yi
x x y i
w
x yi
x
− −
− −
=
− −
− + −
=
− −
6
6
3 18 3
12 36
3 18 3
2 2
2 2 2
22 2
2 2 2 2
12 36
3 18
12 36
3
12 36
+ − +
=
−
+ − +
−
+ − +
y x
w
x
x y x
y
x y x
i.
Parte real: u x y x
x y x
( , ) =
−
+ − +
3 18
12 362 2
 e Parte imaginária: v x y y
x y x
( , ) = −
+ − +
3
12 362 2
.
Multiplicando a fração pelo conjugado do 
número complexo “[(x – 6) + yi]” que está 
no denominador da fração.
20
21
c) w z
z
=
+
−
2
2
w
x yi
x yi
w
x yi
x yi
w
x yi
x yi
x
=
+ +
+ −
=
+ +
− +
=
+ +
− +
2
2
2
2
2
2
( )
( )
[( ) ]
[( ) ]
.
[( −− −
− −
=
+ − − + + − −
− −
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2
) ]
[( ) ]
( )( ) ( ) ( )
( )
yi
x yi
w
x x yi x yi x y i
x (( )yi
w
x xyi yi xyi yi y
x x y i
w
x y yi
x
2
2 2
2 2 2
2 2
2
4 2 2
4 4
4 4
=
− − − + − +
− + −
=
+ − −
++ − +
=
+ −
+ − +
−
+ − +
y x
w
x y
x y x
y
x y x
i
2
2 2
2 2 2 2
4 4
4
4 4
4
4 4
.
Parte real: u x y x y
x y x
( , ) =
+ −
+ − +
2 2
2 2
4
4 4
 e Parte imaginária: v x y
y
x y x
( , ) = −
+ − +
4
4 42 2
.
d) w
z i
z i
=
−
+
4
3
w
x yi i
x yi i
w
x yi i
x y i
x y i
x y i
=
+ −
+ +
=
+ −
+ +
− +
− +
4
3
4
3
3
3
( )
[ ( ) ]
.
[ ( ) ]
[ ( ) ]
ww
x yi i x yi i
x y i
w
x yi i x yi i
x
=
+ − − +
− +
=
+ − − −
( )[ ( )]
[( ) ]
( )( )
4 3
3
4 3
2 2 2
2 −− − + +
=
− − + − − − + +
+
[ ( )]y y
w
x xyi xi xyi y i yi xi yi i
x y
2
2 2 2 2 2 2
2
6 9
3 3 4 4 12
22
2 2
2 2
2 2
2 2
6 9
12 7
6 9
12
6 9
7
+ +
=
+ − − −
+ + +
=
+ − −
+ + +
−
y
w
x y y xi
x y y
w
x y y
x y y
x
xx y y
i2 2 6 9+ + +
.
Parte real: u x y x y y
x y y
( , ) =
+ − −
+ + +
2 2
2 2
12
6 9
 e Parte imaginária: v x y x
x y y
( , ) = −
+ + +
7
6 92 2
.
21
UNIDADE Funções Complexas
2. Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
a) f z
z
z i
( ) =
+ 4
Sabendo que em um número fracionário (ou racional) o seu denominador precisa 
ser diferente de zero, então temos: 
z i
z i
+ ≠
≠ −
4 0
4
Portanto, podemos concluir que o domínio da função é igual a D z C z i= ∈ ≠ −{ / }4 .
b) f z
z
( ) =
+
5
32
Sabendo que em um número fracionário (ou racional), o seu denominador 
precisa ser diferente de zero, então temos:
z
z
z
z
z
z i
2
2
3 0
3
3
3 1
3 1
3
+ ≠
≠ −
≠ ± −
≠ ± −
≠ ± −
≠ ±
.
.
.
Portanto, podemos concluir que o domínio é igual a D z C z i e z i= ∈ ≠ ≠ −{ / . . }3 3 .
c) f z y
x y
xyi( ) =
+
+2 2
Sabendo que em um número fracionário (ou racional) o seu denominador pre- 
cisa ser diferente de zero, então temos: x y x y z2 2 0 0 0 0+ ≠ ⇔ = ∧ = ⇔ =
Importante!
A única restrição do domínio é quando x e y forem simultaneamente zero.
Importante!
Portanto, podemos concluir que o domínio é igual a D z C z= ∈ ≠{ / }0 ou 
D z x yi C x e y= = + ∈ ≠{ / }0 .
d) f z x x y i( ) ln ( )= + − 2
Sabendo que em uma função logarítmica neperiana ( ln x ), seu domínio é 
“x > 0” ou o conjunto ℜ+ . Logo, o conjunto dos pontos para os quais faz sentido 
calcular ln ( )x x y i+ − 2 é D z x yi C x= = + ∈ >{ / }0
3. Calcule os seguintes limites:
a) lim ( )
z i
z z
→ −
− =
4 3
2 5
Para calcularmos o limite, substituimos na função dada “z” por “4 -3i”, assim:
lim ( ) ( ) . . ( )
z i
z z i i i i i
→ −
− ⇒ − − − ⇒ − + − + ⇒
⇒ −
4 3
2 2 2 25 4 3 5 4 3 4 2 4 3 3 20 15
16 224 9 20 15 4 9 9 13 92i i i i i+ − + ⇒ − − − ⇒ − − Produto Notável:
(A – B²) = A² – 2.A.B + B²
22
23
Podemos dizer que o número complexo − −13 9i é o limite da função z z2 5− , 
quando z se aproxima do ponto + −4 3i .
b) lim
z i
x y i
→ −
+ =
2
22
Resolução:
Observando a função, podemos separar em: u x y x e v x y y( , ) ( , )= =2 2
lim
lim( ) lim( ). lim
z i
x
y
x
y
x
x y i
x y i ou
→ −
→+
→−
→+
→−
→+
+ =
+ =
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
yy
x
y
x i y
i i
→−
→+
→−
+ =
⇒ + + − ⇒ + +
1
2
1
2
2
2
2 2 1 4
( ) . lim( )
.( ) ( ) . Comparando o número complexo “z = x + y.i” 
com “z = 2 - i”, temos que: x = +2 e y = -1.
Aplicando a propriedade “1” de limites, separamos 
o limite da parte real do limite da parte imaginária.
Podemos dizer que o número complexo + +4 i é o limite da função 2 2x y i+ , 
quando z se aproxima do ponto + −2 i .
c) lim
z i
z i
z→
+
+
=
4
1
Para calcularmos o limite, substituimos na função dada “z” por “i”, assim:
lim
( )
.
( )
( ) ( )
z i
z i
z
i i
i
i
i
i
i
i
i
i i
→
+
+
⇒
+
+
⇒
+
⇒
⇒
+
−
−
⇒
−
4
1
4
1
5
1
5
1
1
1
5 5
1
2
2 −−
⇒
+−
⇒
+
+ +
⇒
+
⇒ +
( )i
i
i
i i
i2 2
5 5
1
5 5
1 1
5 5
2
5
2
5
2
Multiplicando a fração pelo conjugado 
do número complexo “1 +i” que está 
no denominador da fração.
Podemos dizer que o número complexo 5
2
5
2
+ i é o limite da função 
4z i
z i
+
+
, 
quando z se aproxima do ponto i.
d) lim
z i
z i
z i→−
−
+
=
2
3 8
2
Para calcularmos o limite, substituimos na função dada “z” por “–2i”, assim:
lim
( ) .( )
z i
z i
z i
i i
i i
i i i i i
→−
−
+
⇒
− −
− +
⇒
− −
⇒
− − −
⇒
−
2
3 3 38
2
2 8
2 2
8 8
0
8 8
0
8 88
0
0
0
i
⇒
Obtemos uma indeterminação do tipo 0
0
.
No entanto, se observamos que (z³ – 8i) = (z + 2i).(z² – 2zi – 4), 
podemos simplificar a fração e eliminar a indeterminação.
Parte Real. Parte Imaginária.
23
UNIDADE Funções Complexas
lim lim
( ).( )
( )
lim
z i z i z i
z i
z i
z i z zi
z i→− →− →−
−
+
⇒
+ − −
+
⇒
2
3
2
2
2
8
2
2 2 4
2
zz zi i i i
i i i
2 2
2 2 2
2 4 2 2 2 4
4 4 4 8 4 8 4 12
− − ⇒ − − − − ⇒
⇒ + − ⇒ − ⇒ − − ⇒ −
( ) ( )
Podemos dizer que o número complexo –12 é o limite da função 
z i
z i
ou z zi
3
28
2
2 4
−
+
− − , quando z se aproxima do ponto −2i .
4. Calcule a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) f z
z
z z i( ) = − + −
5
3 2
5
3 17
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
f z
z
z z i
f z
z
z z i
f z
( )
( )
( )
.( ) ( )
( )
.
= − + −
′ = −
′
+ ′ − ′
′ = −
5
3 2
5
3 2
5
3 17
5
3 17
5 zz
z z i
f z z z zi
4
2 1
4 2
5
3 3 17 2
9 34
+ −
′ = − + −
.( . ) .( . ).
( )
( ) .z n zn n′ = −1
Regra de Derivação:
Derivada da Função Potência:
b) g z
i z
z
( )
( )
=
− − +
+
3 7 2
6
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
g z
i z
z
g z
i z z i z
( )
( )
( )
[ ( ) ] .( ) [ ( ) ].(
=
− − +
+
′ =
− − + ′ + − − − +
3 7 2
6
3 7 2 6 3 7 2 zz
z
g z
i z i z
z
+ ′
+
′ =
− + + − − − + +
6
6
0 7 2 1 6 3 7 2 1 0
2
)
( )
( )
[ ( ). ].( ) [ ( ). ].( )
( ++
′ =
− + + − − − +
+
⇒
− − + −
6
7 2 6 3 7 2 1
6
7 2 6
2
2
)
( )
( )( ) [ ( )].
( )
( )( )
g z
i z z i
z
i z (( )
( )
( )
( )
(
− − −
+
⇒
′ =
− − − − + + +
+
′
3 7 2
6
7 42 2 12 3 7 2
6
2
2
z zi
z
g z
z zi i z zi
z
g z))
( )
=
− −
+
39 12
6 2
i
z
Regra de Derivação:
Derivada de um Quociente:
f
g
f g f g
g






′
=
′ − ′. .
2
c) h z z zi( ) ( )= − +6 63 2
24
25
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
h z z zi
h z z zi z zi
h z
( ) ( )
( ) .( ) .( )
( ) .(
= − +
′ = − + − + ′
′ =
−
6 6
2 6 6 6 6
2
3 2
3 2 1 3
−− + − +
′ = − + − +
′
6 6 6 3 6 1
2 6 6 18 6
3 1 2
3 2
z zi z i
h z z zi z i
h
) .( . . . )
( ) .( ).( )
(zz z zi z i
h z z z i z i zi
) ( ).( )
( )
= − + − +
′ = − − +
′
12 12 18 6
216 72 216 72
3 2
5 3 3 2
hh z z z i z i z
h z z z z i
( )
( )
= − − −
′ = − −
216 72 216 72
216 72 288
5 3 3
5 3
Regra de Derivação:
Derivada da Função Composta:
( ) . .z n z zn n′ = ′−1
d) m z
z z
( ) = −
1 2
2
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
′ = −
′ = ′ − ′
′ = − − −
′
− −
− −
− −
m z z z
m z z z
m z z z
m
( )
( ) ( ) ( )
( ) . ( . )
2 1
2 1
3 2
2
2
2 2 1
(( ) . .
( )
z z z
m z
z z
= − +
′ = − +
− −2 2
2 2
3 2
3 2
Regra de Derivação:
Derivada da Função Potência:
( ) .z n zn n′ = −1
e) p z z i z( ) ln ( )= + −7 4
Para calcularmos a derivada da função, podemos simplesmente usar as regras 
de derivação, assim:
p z z i z
p z z i z
p z
z
i
p
( ) ln ( )
( ) (ln ) [( ) ]
( ) ( ).
= + −
′ = ′ + − ′
′ = + −
′
7 4
7 4
1
7 4 1
(( ) ( )z
z
i ou p z
z
i= + − ′ = + −
1
7 4 7
1
4
Regra de Derivação:
Derivada Função Neperiana 
(logarítmica):
(ln )z
z
′ =
1
Derivada da Função Potência:
( ) .z n zn n′ = −1
25
UNIDADE Funções Complexas
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Uel – Funções de uma variável complexa
https://goo.gl/frrxqY
 Vídeos
Variáveis Complexas: Funções Analíticas – Profa Maria Zita Braga
https://goo.gl/hznDEp
Variáveis Complexas: Resolução de Exercícios – Profa Maria Zita Braga
https://goo.gl/2rKFqw
https://goo.gl/TeqDdg
https://goo.gl/9OTlVB
Limite de uma Função Complexa – Profa Maria Zita Braga
https://goo.gl/oX5kxv
Derivada de uma Função Complexa (parte 1 de 2) – Profa Maria Zita Braga
https://goo.gl/auBNxY
Derivada de uma Função Complexa (parte 2 de 2) – Profa Maria Zita Braga
https://goo.gl/BhKZ1D
 Leitura
Estudo de algumas funções complexas de uma variável complexa: aspectos algébricos e geométricos
https://goo.gl/IIzbWz
Capítulo 3 – Derivadas de funções complexas
https://goo.gl/4e9Yqs
26
27
Referências
ÁVILA, G.S.S. Variáveis Complexas e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
CAON, F. Números Complexos: inter-relações entre conteúdo e aplicações. 
(Dissertação)-Universidade Estadual de Ponta Grossa. Ponta Grossa. 2013. 
74. f. Disponível em: <http://bicen-tede.uepg.br/tde_busca/arquivo.php?
codArquivo=926>. Acesso em 03 de agosto de 2015.
CERRI, C.; MONTEIRO, M. S. História dos Números Complexos. CAEM - 
Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática (Instituto de Matemática 
e Estatística da USP). Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~martha/caem/
complexos.pdf>. Acesso em 03 de agosto de 2015.
CERRI, C. Desvendando os Números Reais. São Paulo: IME-USP. Novembro 
de 2006. Disponível em: <www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf>. 
Acesso em 03 de agosto de 2015.
CHURCHILL, R.V. Variáveis complexas e suas aplicações; tradução: Tadao 
Yoshioka; revisão técnica: Alfredo Alves de Farias. São Paulo: McGraw-Hill do 
Brasil e Editora da Universidade de São Paulo, 1975.
DANTE, L. R. Matemática, volume único, São Paulo: Ática, 2005.
DIAS, N. L. Pequena introdução aos números. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
(e-book)
ESCOLA, B. http://www.brasilescola.com/matematica/radiciacao-numeros-
complexos-na-forma-trigonometrica.htm 
GIOVANNI, J.R. Matemática Fundamental, 2º Grau: volume único, São Paulo: 
FTD, 1994.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R.; ALENDA, N. Matemática: 
ciência e aplicações, 4 ed. São Paulo: Atual, 2006.
ISCTE – IUL – Escola de Gestão: Engenharia de Telecomunicações e Informática 
– Cadeira: Análise Matemática II, Caderno: Análise Complexa, Elaborado: Rosário 
Laureano, Helena Soares, Diana Mendes – Departamento de Métodos Quantitativos 
(Maio de 2011) http://home.iscte-iul.pt/~deam/html/AMII_AComplexa_2011.
pdf . Acesso em dez de 2015.
LEITE, Á. E.; CASTANHEIRA, N. P. Teoria dos números e teoria dos conjuntos. 
Curitiba: InterSaberes, 2014. (e-book)
SHOKRANIAN, S. Uma introdução à variável complexa – 476 exercícios 
resolvidos. São Paulo: Ciência Moderna, 2011.
27
UNIDADE Funções Complexas
SILVA, M. A. Da teoria à prática: uma análise histórica do desenvolvimento 
conceitual dos números complexos e suas aplicações. Revista Brasileira de História 
da Ciência, Rio de Janeiro, v. 4, n. 1, p. 79-91, jan-jun 2011. Disponível em: 
<http:www.sbhc.org.br/arquivo/download?ID_ARQUIVO=23>. Acesso em03 
de agosto de 2015.
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. Rio de Janeiro: 
IMPA, 2014.
28