Aula 10 - Esforços Internos - Análise de Esforços em Estruturas - Diagramas

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Mecânica Geral
Aula 10 – Esforços Internos –
Análise de Esforço em Estrutura -
Diagramas
Profª Eduarda Belloni
Universidade Federal do Rio Grande – FURG
Escola de Engenharia
Conteúdo da Aula
• Cargas internas desenvolvidas em membros
estruturais
• Diagramas de esforço cortante e momento fletor.
Mecânica Geral – FURG
2Prof. Msc Eduarda Belloni
Cargas internas desenvolvidas em
membros estruturais
• Vigas são membros estruturais projetados para suportar cargas
aplicadas perpendicularmente a seus eixos.
• Em geral, elas são longas e retas, e possuem área da seção
transversal constante.
• Normalmente são classificadas de acordo com a forma como
são apoiadas. Por exemplo, uma viga que é simplesmente
apoiada tem um pino em uma extremidade e um rolete na outra.
Já uma viga em balanço é engastada em uma extremidade e
livre na outra.
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3Prof. Msc Eduarda Belloni
Cargas internas desenvolvidas em
membros estruturais
• Como eu consigo descrever os carregamentos internos ao
longo da viga?
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE 
E MOMENTO FLETOR
- Diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga oferecem
descrições gráficas de como os carregamentos internos variam no decorrer
do vão da viga (HIBBLER, 2017).
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Cargas internas desenvolvidas em 
membros estruturais
Procedimento de análise
• Diagrama de corpo livre da estrutura completa.
• Encontrar as reações nos apoios da estrutura.
• Seccione a viga antes e depois dos carregamentos externos,
adotando a convenção de sinais conforme apresentado a seguir.
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Cargas internas desenvolvidas em
membros estruturais
Procedimento de análise
• Convenção de sinais: Embora a convenção de sinais possa ser
atribuída arbitrariamente, utilizem a apresentada abaixo para
plotar os diagramas.
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Cargas internas desenvolvidas em 
membros estruturais
Procedimento de análise
• Aplique as equações de equilíbrio para gerar as equações.
• Construa os diagramas da força cortante (V versus x) e do
momento (M versus x). Se os valores calculados das funções
descrevendo V e M forem positivos, são desenhados acima do
enxio x, enquanto os valores negativos são desenhados abaixo
desse eixo.
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Cargas internas desenvolvidas em 
membros estruturais
Procedimento de análise
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3
2
1:
1
2:
3:A B
𝐴 − 𝑉1 = 0
𝑽𝟏 = 𝑨 (1)
−𝐴. 𝑥1 + 𝑤. 𝑥1.
𝑥1
2
+𝑀1 = 0
𝑴𝟏 = +𝑨. 𝒙𝟏 − 𝒘. 𝒙𝟏.
𝒙𝟏
𝟐
(𝟐)
𝐴 − 𝑤. 𝑎 − 𝑉2 = 0
𝑽𝟐 = 𝑨 −𝒘. 𝒂 (3)
−𝐴. 𝑥2 + 𝑤. 𝑎. 𝑥2 −
𝑎
2
+𝑀2 = 0
𝑴𝟐 = +𝑨. 𝒙𝟐 − 𝒘. 𝒂. 𝒙𝟐 −
𝒂
𝟐
(𝟒)
𝐴 − 𝑤. 𝑎 − 𝑃 − 𝑉3 = 0
𝑽𝟑 = 𝑨 −𝒘. 𝒂 − 𝑷 (5)
−𝐴. 𝑥3 + 𝑤. 𝑎. 𝑥3 −
𝑎
2
+ 𝑃. 𝑥3 − 𝑏 + 𝑀3 = 0
𝑴𝟑 = +𝑨. 𝒙𝟑 − 𝒘. 𝒂. 𝒙𝟑 −
𝒂
𝟐
− 𝑷. (𝒙𝟑 − 𝒃)(𝟔)
Cargas internas desenvolvidas em 
membros estruturais
Procedimento de análise
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X1 V1 (1) M1 (2)
0 𝑨 0
a 𝑨 𝑨. 𝒂 − 𝒘.
𝒂²
𝟐
X2 V2 (3) M2 (4)
a 𝑨 − 𝒘. 𝒂 𝑨. 𝒂 − 𝒘. 𝒂. 𝒂 −
𝒂
𝟐
b 𝑨 − 𝒘. 𝒂 𝑨. 𝒃 − 𝒘. 𝒂. 𝒃 −
𝒂
𝟐
X3 V3 (5) M2 (6)
b 𝑨 − 𝒘.𝒂 − 𝑷 𝑨. 𝒃 − 𝒘. 𝒂. 𝒃 −
𝒂
𝟐
l 𝑨 −𝒘. 𝒂 − 𝑷 𝑨𝒍 − 𝒘. 𝒂. 𝒍 −
𝒂
𝟐
− 𝑷. (𝒍 − 𝒃)
Exemplo 1
Desenhe os diagramas de forças de cisalhamento e momento fletor
para a viga e o carregamento mostrado abaixo.
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Exemplo 1
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Passo 1: Diagrama do corpo livre da estrutura.
Ay
Ax
B
(6*9)/2=27kN
Exemplo 1
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Passo 2: Reações (aplicação das equações de equilíbrio)
Momento:
Σ𝑀𝐴 = 0
−27𝑘𝑁. 6𝑚 + 𝐵. (9𝑚) = 0
𝑩 = 𝟏𝟖𝒌𝑵
Força:
Σ𝐹𝑥 = 0
𝑨𝒙 = 𝟎
Σ𝐹𝑦 = 0
𝐴𝑦 − 27𝑘𝑁 + 18𝑘𝑁 = 0
𝑨𝒚 =9kN
Ay
Ax
B
(6*9)/2=27kN
Exemplo 1
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Passo 3: Seccionar a viga.
Aplicar as equações de equilíbrio.
+9𝑘𝑁 −
𝑥.
2
3 𝑥
2
− 𝑉 = 0
𝑽 = 𝟗 −
𝒙²
𝟑
𝒌𝑵
−9𝑘𝑁. 𝑥 +
𝑥2
3
.
𝑥
3
+𝑀 = 0
𝑴 = 𝟗. 𝒙 −
𝒙³
𝟗
𝒌𝑵𝒎
𝑦 =
2
3
𝑥
𝑦
Exemplo 1
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Passo 4: Construção dos gráficos.
x (m) V M
0 9𝑘𝑁 0
4,5 2,25𝑘𝑁 30,375 𝑘𝑁𝑚
9 −18𝑘𝑁 0
Precisamos saber em que distância e o 
momento máximo, quando v=0..
0 = 9 −
𝑥²
3
𝒙 = 𝟓, 𝟐𝟎𝒎
𝑀 = 9. 𝑥 −
𝑥³
9
𝑴 = 𝟑𝟏, 𝟏𝟕𝒌𝑵𝒎
2,25kN
30,375kNm