Exercícios Resolvidos Eletromagnetismo Campo magnético Estacionário

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CAPÍTULO 07 
 
 CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 
 
 
7.1) Calcular B no centro de uma espira quadrada de lado percorrida por uma corrente a I. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os lados , , e da espira produzem campos magnéticos no mesmo sentido no AB BC CD DA
 ponto O (centro da espira). Portanto, o campo magnético total no ponto (O T H ) será quatro vezes 
maior que aquele produzido por qualquer um dos lados da espira. 
 
 DACDBCABT 4444 HHHHH ==== (01) 
 
 Cálculo de AB H (campo magnético produzido no ponto O pelo lado AB da espira): 
 
 Lei de Biot-Savart: 
 
 ∫
×
=
2
R
R 4
 I
π
adL
H , onde: 








=
 I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
 espira da centro aodx corrente de 
 ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
R
;
;
;



 (02) 
 
 
 











=
+
+−
==
+=+−=
.x
2
2
yx
R
2
2
yx
 dx 
;
 
4
x
2
 x
R 
 
; 
4
xR ; 
2
 x
adL
aa
R
a
aaR
a
a
aa


 (03) 
 
g
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 Substituindo em , temos: (03) (02)
 
 ∫∫
−
=








+
=⇒








+






+−×
=
2
a
2
a 22 a
a
a
a
x
2
3
2
z
AB
2
3
2
yxx
AB
4
x 
 dx
2 
4
I
4
x 4
 
2
 x dx
 I
a
H
aaa
H
π
π

 (04) 
 
 Substituição de variáveis na integral: 












=+
=





°=⇒=
°−=⇒−=
⇒=
θ
θθ
θ
θ
θ
22
2
 
44
x
d 
2
dx
45x
45x
tg 
2
x
 
sec
sec
22
aa
a
2
a
2
a
a
 
 
 Substituindo (05) em (04) , temos: 
 
 
[ ]
( )[ ]
zAB
zABzAB
z
45 
45ABz
45
45
AB
z
45
45
ABz
45
45 3
3
2
AB
 2
I 2
 
2
2
2
2
 
 2
I
 4545 
 2
I
 
 2
I
 d 
 2
I
 
sec 
d 
 
 2
I
 
sec
2
 
d sec 
2 
8
 I
aH
aHaH
aHaH
aHaH
a
aa
aa
aa
a
a
π
ππ
θ
π
θθ
π
θ
θ
π
θ
θθ
π
θ
θ
θθ
=






+=⇒°−−°=
=⇒=
=⇒






=
°
°−=
°
°−=
°
°−=
°
°−=
∫
∫∫
sensen
sencos
 
 
 Substituindo (06) em (01), temos: 
 
 zTzTABT
 
I 22
 
 2
I 24
4 aHaHHH
aa ππ
=⇒=⇒= (07) 
 
 Cálculo de TB : 
 
 z
o
o
a
aBHB
 
I 22
 TTT
π
µ
µ =⇒= 
 
 
(05) 
(06) 
g
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 7.2) Duas espiras circulares de corrente, idênticas, de raios e corrente a I situam-se em 
 planos horizontais paralelos separados no seu eixo comum por uma distância . 2h
Encontre H no ponto médio entre as duas espiras. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Espira 01 gera o campo magnético 1 H no ponto P (ponto médio), enquanto a Espira 02 gera 
 o campo magnético 2 H , de mesma magnitude e na mesma direção de 1 H . Portanto, o campo 
 magnético total gerado em P será: 
 
 121P 2HHHH =+= (01) 
 
 Cálculo de 1H : 
 
 Lei de Biot-Savart: 
 ∫
×
=
2
R
R 4
 I
π
adL
H , onde: 








=
 I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
(P) médio ponto ao de dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
dLR
;
;
;



 (02) 
 
 







=
+
+−
==
+=+−=
.φ
ρ
ρ
φ adL
aaR
a
aaR
 d 
;
 
 
R 
 
; R ; 
22
z
R
22
z
a
ha
 ha
 ha ha


 (03) 
 
 Substituindo em , temos: (03) (02)
 
 φ
π
π
φ ρρφ
d 
( 
 
 
4
 I
( 4
) d 
 I
2
3
z
1
2
3
z
1 ∫∫
+
+
=⇒
+
+−×
=
))
()(
2222
ha
 haa
ha
 haa aa
H
aaa
H

 (04) 
P 
h 
dL 
I 
z1H 1H 
 R 
 
 a 
 
 
 a 
 I 
ρ1H 
2h 
Espira 01 
Espira 02 
y 
 z 
x 
g
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 A inspeção da figura anterior nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos 
 produzem componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, 1H possui somente 
componente na direção de z a , reduzindo a equação (04) a: 
 
 z
2
31z
2
0 2
31
( 2
 I
 
( 
d
 
4
 I
aHaH 

)) 22
2
22
2
ha
a
ha
a
+
=⇒
+
= ∫
=
π
φ
φ
π
 (05) 
 
 Substituindo em , temos: (05) (01)
 
 z
2
3
P121P
( 
 I
 2 aHHHHH 

)22
2
ha
a
+
=⇒=+= 
 
 7.3) Uma espira quadrada de lado centrada na origem, situada no plano e lados 2a, z = 0 
 paralelos aos eixos e conduz uma corrente no sentido anti-horário vista do sentido x y, I
 positivo do eixo . Determinar o campo magnético z H no ponto P(0; 0; a).
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os lados e da espira geram campos magnéticos componentes no ponto P nas direções AB CD
de xa e za . Portanto, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados e da AB CD
 espira terão a seguinte forma: zCDxCDP
CDzABxABP
AB e aaHaaH H)(HHH +−=+= . 
 Nota-se, então, que as componentes xAB aH e )(H xCD a− se anulam. Seguindo o mesmo 
 raciocínio, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados BC e DA da espira terão a 
 seguinte forma: zBCyBCP
BC aaH HH += e zDAyDAP
DA aaH H)(H +−= . Nota-se, então, 
 que as componentes yBC aH e )(H yDA a− se anulam. Logo, o campo gerado em P pelos lados 
AB, BC, CD e DA será quatro vezes maior que aquela componente no sentido de za produzida por 
qualquer um dos lados da espira. 
 
 zDAzCDzBCzABP 4444 HHHHH ==== (01) 
 
g
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 Cálculo de ABH : 
 
 Lei de Biot-Savart: 
 ∫
×
=
2
R
R 4
 I
π
adL
H , onde: 









=
 I. de direcão a indica que 
ocompriment de ldiferencia elemento o é 
 de versor um é
R
P ponto ao corrente de 
 ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
R
dL
Ra
R
dL
R
;
;
;



 (02) 
 









=
+
+−−
==
+=+−−=
.y
22
zyx
R
22
zyx
 dy 
;
 2y
 y 
R 
 
; 2yR ; y 
adL
aaaR
a
aaaR
a
 aa
a aa


 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 
z
y 2
3
22
zAB
y 2
3
22
zx
AB
2
3
22
zyxy
AB
 
2y( 
dy
 
4
 I
dy 
2y( 
 
4
 I
2y( 4
) y dy
 I
aH
aa
H
aaaa
H
∫∫
∫
−=−= +
=⇒
+
+
=
+
+−−×
=
a
a
a
a a
a
a
a
a
 aa
))
)(
)
(
ππ
π

 
 
 Substituição de variáveis na integral: 












+
=
=




=⇒=
=⇒−=
⇒=
22
2
2
1
2yy
d 2dy
y
y
tg 2y
 
a
a
a
a
a
θ
θθ
θθ
θθ
θ
sen
sec 
 Substituindo em , temos: (05) (04)
 
 
z
2
1
zABz
2
1
zAB
z
2
1
zABz
2
1
33
2
zAB
 
 8
I
 d 
 8
I
 
sec 
d 
 
 8
I
 
sec 2 
 d sec 
 
8
 I
aHaH
aHaH
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
π
θθ
π
θ
θ
πθ
θθ
π
=
=
=
=
=
=
=
=






=⇒=
=⇒=
∫
∫∫
sencos 
aa
aa
2aa
 
(05) 
(04) 
g
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zzABzzAB
zzABz
-y
22
zAB
 
 34
I
 
3
2
 8
I
 
33
 
 8
I
2y
y
 
 8
I
aHaH
aHaH
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ππ
ππ
=⇒⋅=





 −
−⋅=⇒








+
⋅=
=
 
 
 Substituindo em , temos: (06) (01)
 
 zPzABP
 3
I 
 4 aHHH
aπ
=⇒= 
 
 7.4) Seja [ ]mA y(xx y(xy y
22
x
22 aaH )) +++−= no plano z = 0. 
a) Determinar a corrente total passando através do plano z = 0, na direção z a , no 
interior do retângulo 1x1 <<− e 2y2 <<− . 
b) Se o potencial magnético mV é nulo no vértice P(-1; -2; 0) do retângulo RSPQ, 
determinar mV no vértice R(1; 2; 0) , utilizando um percurso que passa pelo vértice 
Q(1; -2; 0). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) De acordo com a Lei Circuital de Ampère e com o Teorema de Stokes, temos: 
 
 ( ) ( )∫∫∫∫ =•×∇=•⇒•×∇==•
Ret. SRSPQS
enl I I dSHdLHdSHdLH (01) 
 
  Cálculo do Rotacional: 
 
 
[ ] z22z2222
z
xy
 y4x4 y3xyx3
 
yx
aHaH
aH
)()(
HH
+=×∇⇒−−−+=×∇








∂
∂
−
∂
∂
=×∇
 
 
 Substituindo em , temos: (02) (01)
 
 z
2
2y
1
1x
z
22 dxdy onde , y4x4I adSdSa =•+= ∫ ∫
−= −=
)( 
(02) 
(06) 
g
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[ ]A 3453 
3
160
I
3
64
3
16
3
64
3
16
Iy
3
8
y
3
8
Idyy8
3
8
I
dyy4
3
4
y4
3
4
Idyxy4
3
x4
I
 dxdy y4x4I dxdy y4x4I
2
2y
3
2
2y
2
2
2y
22
2
2y
1
1x
2
3
2
2y
1
1x
22
2
2y
1
1x
zz
22
,
)()(
==∴






+++=⇒





+=⇒





+=






+++=⇒








+=
+=⇒•+=
−=−=
−=−= −=
−= −=−= −=
∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫ aa
 
 
 b) VmRP = VmRQ + VmQP, onde ∫ •−=
a
b
ab
mV dLH (01) 
 Trecho P Q: →
 
 
[ ]
[ ]
[ ]A 
3
52
V8
3
2
8
3
2
V
x8
3
x2
Vdx yx yV
 dx yx x yx yV
mQPmQP
1
1x
3
mQP
Q
P 2y
22
mQP
Q
P
xy
22
x
22
mQP
−=⇒−−−−=








−=⇒+−−=
•+++−−=
−=
−=
∫
∫
)(
)()( aaa
 
 
 Trecho Q R: →
 
 
[ ]
[ ]
[ ]A 
3
28
V
3
8
2
3
8
2V
3
y
yVdy yx xV
 dy yx x yx yV
mRQmRQ
2
2y
3
mRQ
R
Q 1x
22
mRQ
R
Q
yy
22
x
22
mRQ
−=⇒−−−−=








−−=⇒+−=
•+++−−=
−=
=
∫
∫
)(
)()( aaa
 
 
 Substituindo e em , temos: (02) (03) (01)
 
 
 [ ]A 6726
3
80
V 
3
28
3
52
V mRPmRP ,=−=⇒−−= 
(02) 
(03) 
g
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 7.5) A superfície cilíndrica conduz a corrente ρ = 20 mm a = [ ]mA 100cil z aK = , enquanto 
 que a superfície a corrente solenoidal ρ = 40 mm b = possui [ ]mA 80sol φ aK = . Calcule 
a intensidade do campo magnético H em: 
 a) ; ρ = 10 mm
 b) ρ = 30 mm; 
 c) . ρ = 50 mm
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo de H para a superfície cilíndrica ( cilH ) ⇒ Lei Circuital de Ampère: 
 
 Para < 20 mm 0ρ cil =⇒ H (01) 
 
 Para > 20 mmρ 202I cilenlcil ⋅⋅==•⇒ ∫ πKdLH 
 
[ ]
m
A 
20
20
2022
cilcil
cilcilcilcil
φ
ρ
ρ
πρπ
aH K
KHKH
=∴
=⇒⋅⋅=⋅⋅
 
 
 Cálculo de H para o solenóide ( solH ) ⇒ Lei Circuital de Ampère: 
 
 Para < 40 mmρ LI solenlsol ⋅==•⇒ ∫ KdLH 
 
[ ]mA 
LL
zsolsol
solsolsolsol
aH K
KHKH
=∴
=⇒⋅=⋅ 
 
 
 Para > 40 mm 0ρ sol =⇒H (04) 
 
 a) O campo magnético gerado em = 10 mm (ρ a H ) será proveniente somente do solenóide. 
Portanto, a equação é suficiente para defini-lo. (03) 
 
 
[ ]
[ ]mA 80
m
A 80 
aa
zazsolsola
==
=⇒==
H
K
H
aHaHH
 
(02) 
(03) 
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 b) O campo magnético gerado em = 30 mm (ρ b H ) será proveniente tanto da superfície 
cilíndrica quanto do solenóide. Portanto, bH será a soma das equações (02) (03) e . 
 
 [ ]
[ ]
m
A 14104 806766
m
A 80 6766 80 100
30
20
20
 
b
22
bb
zbzb
zsolcilbsolcilb
,H,H
,
KK
=⇒+==
+=⇒+





⋅=
+=⇒+=
H
aaHaaH
aaHHHH
φφ
φ
ρ
 
 
 c) O campo magnético gerado em ρ = 50 mm ( c H ) será proveniente somente da superfície 
cilíndrica. Portanto, a equação é suficiente para defini-lo. (02) 
 
 [ ]
[ ]
m
A 40
m
A 40 100
50
20
20
cc
cc
cilcilc
==
=⇒





⋅=
==
H
K
H
aHaH
aHH
φφ
φ
ρ
 
 
 7.6) Um fio de raio igual a estende-se ao longo do eixo z e é constituído de dois 2a [m] 
materiais condutores, sendo: 
 Condutor 01: condutividade = para σ 0 < ρ .<a. 
 Condutor 02: condutividade = para < 4σ a ρ <2a..
 Se o fio conduz uma corrente contínua total de ampères, calcular: I
 a) a corrente devido a cada condutor; 
 b) o campo magnético H para 0 < <3 ρ a.
 
Resolução: 
 
a) 
 onde 






 02.condutor o somente percorre que corrente a é I
 01;condutor o somente percorre que corrente a é I
 ;condutores dois os percorre que totalcorrente a é I
2
1 
 
 
 
222
2
aaa
a
 12
R
4( 4
R
S
R
 
R
S
R
22
22
2
2
1
11
1
1
πσπσσ
πσσ


=⇒
−
=⇒=
=⇒=
)
 
g
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 – Página 7.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0077 –– CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 
 
[ ]
[ ]






=
=
⇒=⇒+=
=⇒=⇒=∴
A I
13
12
I
A 
13
I
I 
I13II12II Logo,
I12IR12R12
R
R
2
1
111
1221
2
1
 
b) Lei Circuital de Ampère: enlI ∫ =• dLH 
 
 Cálculo de H para < : ρ a
 [ ]
m
A 
 26
 I
 
 2
 I
 
 
 I 2I 1
2
1enl
222 aaa π
ρ
π
ρ
π
ρπ
ρπ =⇒=⇒⋅=⋅⇒=•∫ HHHdLH 
 
 Cálculo de H para < 2 : a < ρ a
 
[ ]
m
A 34
 26
 I
 26
4 I4 I
 3
( 
I
13
12
13
I
 2
4( 
( 
II 2I 
2
22
2
21enl
)(H
H
)
H
)
)
H
2
2
2
22
2
2
22
2
a
a
a
aa
a
a
aa
a
−=∴
−+
=⇒
−
⋅+=⋅
−
−
⋅+=⋅⇒=•∫
ρ
ρπ
ρπ
ρρ
ρπ
π
ρπ
ρπdLH
 
 
 Cálculo de H para 2 < 3 : a <ρ a
 
 [ ]mA 2
I
 II 2I 21enl
ρπ
ρπ =⇒+=⋅⇒=•∫ HHdLH 
 
 7.7) Um cabo coaxial consiste de um fio central fino conduzindo uma corrente envolvido I 
 por um condutor externo de espessura despresível a uma distância conduzindo uma a 
 corrente na direção oposta. Metade do espaço entre os condutoresé preenchido por um 
 material magnético de permeabilidade e a outra metade com ar. Determinar µ B , H e 
M em todos os pontos do condutor. 
 
Resolução: 
 
 Cálculo de B : 
 
 Lei Circuital de Ampère para < ρ a: 
 
 ( ) enlmatarenl I I ∫∫ =•+⇒=• dLHHdLH (01) 
g