Ensino das Operações Básicas na Educação Infantil

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5ºAula
O ensino das operações básicas 
nos anos iniciais do ensino 
fundamental
Nesta aula, apresentaremos alternativas metodológicas para o ensino das quatro 
operações básicas nos primeiros anos do Ensino Fundamental, sendo a adição, a 
subtração, a multiplicação e a divisão.
As crianças quando entram na escola trazem consigo conhecimentos sobre essas 
operações, pois elas sabem juntar quantidades, dividir em partes iguais, principalmente 
quando tem que dividir algo de comer com colegas, amigos, parentes ou vizinhos e ela 
toma todo cuidado para não ficar com a menor parte. Como já foi dito, anteriormente, 
é necessário partir do conhecimento que a criança já adquiriu.
Pensem nisso: as quatro operações podem e devem ser ensinadas ao mesmo 
tempo.
As propriedades das operações devem aparecer nos primeiros anos do Ensino 
Fundamental, por meio de exemplos práticos e sem exigir que os alunos decorem. 
É importante que o aluno compreenda com as atividades práticas, que a ordem das 
parcelas não altera a soma ou que a ordem dos fatores não altera o produto. 
A criança pode usar diferentes procedimentos para efetuar os cálculos e o 
professor, por sua vez deve apoiar o aluno, estimulando-o a criar seus próprios métodos 
de resolução, estimulando a criatividade, imprescindível ao pensamento matemático.
Boa aula!
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• sugerir atividades que auxiliem no ensino das quatro operações;
• perceber que o ensino das quatro operações é a base para o ensino de Matemática na educação básica;
• reconhecer a importância do ensino das quatro operações ao mesmo tempo.
• analisar o ensino de problemas nos anos iniciais do Ensino Fundamental;
• sugerir atividades que contribuam para a resolução de problemas.
48Conteúdo e Met. do Ens. da Lingua Portuguesa e Matemática nos Anos Iniciais do Ens. Fund.
1 - Adição e subtração
2 - Multiplicação e divisão
3 - Recurso à resolução de problemas
Seções de estudo
1 - Adição e Subtração
As operações “adição” e “subtração”, não podem estar 
relacionadas apenas a fazer contas de “mais” ou de “menos”, 
elas podem ser consideradas “operações irmãs” e são usadas 
para resolver problemas que envolvem ganhar, tirar, perder, 
juntar, acrescentar e comparar, de acordo com a teoria dos 
campos conceituais, elaborada pelo psicólogo francês Gérard 
Vergnaud, em 1977, segundo pesquisa de Carolina Acosta, 
publicada na revista Nova Escola, de maio de 2007 (p. 68 a 75.).
É comum, os alunos considerarem que problemas que 
estão relacionados à operação “adição” são aqueles, nos quais 
aparecem os termos “ganhar” ou “acrescentar”, e aqueles 
em que temos que usar a operação subtração aparecem os 
termos “perder”, “tirar”, entre outros termos com o mesmo 
significado.
ATENÇÃO Futuros(as) Professores(as)!!! Não 
associem os termos descritos acima com as operações.
Existem situações em que o aluno pode fazer confusão, 
caso o professor o tenha instruído para resolver problemas 
com base nesses termos chaves, sem levar em conta o contexto 
do problema. 
Por exemplo: Aninha deu 3 balas para a amiguinha e 
ainda ficou com 8. Quantas balas ela tinha? O termo “deu”, 
significa “tirou” e se fosse levar em conta apenas esse detalhe, 
a operação aplicada teria que ser a subtração, quando sabemos 
que para chegarmos ao resultado correto, devemos utilizar a 
operação “adição”.
E a título de comparação quando à resolução, citamos 
outro problema: Maria Paula tinha 11 balas e deu 3 para sua 
amiguinha. Com quantas ela ficou?
Percebam que as operações adição e subtração estão 
intimamente relacionadas, por exemplo, para calcular 60 – 46, 
os alunos, às vezes, recorrem ao procedimento subtrativo, 
decompõem o 46 em 40 + 6 e subtraem, em primeiro lugar, 
o 40 de 60 para depois subtrair o 6, conforme prescrevem os 
Parâmetros Curriculares Nacionais. Nesse caso, fica assim: 60 
– 40=20 e 20 – 6=14, ou seja, 60 – 46=14.
Portanto, o aluno pode percorrer diferentes caminhos 
para encontrar a solução de um mesmo problema, e o 
professor deve respeitar esses caminhos, desde que o resultado 
da operação esteja correto.
Para efetuar a adição é necessário que o aluno tenha 
conhecimento do sistema de numeração decimal, porque o 
valor posicional dos algarismos tem papel fundamental na 
realização de uma operação. E quando o professor for ensinar 
as operações com números de duas ou mais ordens, terá que 
obrigatoriamente retomar a discussão em torno do valor 
posicional.
Por exemplo, quando o aluno for juntar quantidades 
ele deve ter noção de que terá que juntar unidade com 
unidade, dezena com dezena, centena com centena e assim 
sucessivamente.
Um dos materiais que podem ser usados para o ensino 
da adição é a conhecida “sapateira” e também o jogo “nunca 
dez” descrito na Aula 01. Ambos auxiliam na compreensão 
do significado do “vai um”. 
A sapateira, material que pode ser confeccionado pelo 
professor tendo um bolso destinado às unidades, outro para 
dezenas e o terceiro da direita para a esquerda é destinado às 
centenas.
Mas posso saber... como funciona???????
Vocês pegam 9 canudos ou palitos e coloca na casa 
das unidades (o 3º bolso, no caso). E ao colocar mais um 
canudo ou palito, obtém-se 10, então vocês amarram essas 
dez unidades com borrachinha e coloca no bolso das dezenas 
(representando uma dezena) em seguida coloca mais canudos 
no bolso das unidades, repetindo o procedimento. Ao se 
obter 10 pacotinhos de 10 canudinhos ou palitos, eles serão 
reunidos usando um elástico para amarrar os 10 pacotinhos e 
coloca na casa (bolso) das centenas.
Por exemplo, se temos que efetuar 24 + 17, ao 
adicionarmos 4 com 7 obtém-se onze canudos e então deixa 
1 no bolso das unidades e amarra um feixe de 10 canudos para 
a casa das dezenas. Esse é o tradicional “vai um”, então é só 
somar 1+2+1= 4 dezenas.
ATENÇÃO!!! Neste caso, o que vai é uma dezena.
Desta forma, mesmo se o aluno iniciar a soma 
pelas dezenas, o resultado será o mesmo, porque ele irá 
somar unidade com unidade, dezena com dezena. Não há 
obrigatoriedade de começar a operação somente pela direita.
Também outra maneira de resolver a adição é pela 
decomposição do número em unidades, dezenas e centenas. 
Por exemplo, para adicionar 35 + 47, ao juntar as unidades 
terá 12 unidades e 7 dezenas. Então, 7 dezenas e 12 unidades. 
Na regra do “nunca dez” o 12 será transformado em uma 
dezena e 2 unidades. O aluno vai fazer o pacotinho de 10 e 
trocar por uma dezena e então poderá calcular o resultado 
que vai ser 8 dezenas + 2 unidades, ou seja, 82. Se o professor 
introduzir as operações básicas dessa forma, deixar o aluno 
trabalhar sozinho, fazer descobertas com certeza esse aluno 
não terá problemas para resolver as operações futuramente. E 
também o que é mais importante, ele vai compreender o que 
está fazendo não será feito mecanicamente.
O ideal seria se o professor trabalhasse as operações 
dessa forma e ainda com o material dourado, mas que o aluno 
também tivesse acesso a ele. Até o aluno formar o conceito, 
não haveria necessidade de usar o quadro-negro resolvendo as 
operações somente com o uso de materiais concretos.
E para resolver a subtração???
Para resolver uma subtração do tipo 365 - 127, o professor 
pode orientar o aluno para resolver por partes, como por 
exemplo, em primeiro lugar tira 100 de 365 e fica com 265. 
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Em seguida tira 20 fica com 245 e então retira 7 unidades, ou 
245 – 7 = 238, então 238 é o resultado da operação 365 – 127 
= 238. 
Também o professor pode orientar o aluno para colocar 
os canudinhos na “sapateira” ou no “quadro valor do lugar” 
e fazer as trocas, por exemplo, não tem como tirar 7 de 5 
unidades, então, vocês vão pegar uma dezena, das 6 dezenas 
e transformá-la em 10 unidades somando com as 5 que já 
tem, serão 15 unidades menos 7 e das 6 dezenas ficam sendo 
5 dezenas, é o famoso “empresta um” que no caso, você está 
pegando uma dezena.
Também neste caso, o professor pode deixar o aluno 
trabalharcom um desses materiais até formar os conceitos, 
que seriam a sapateira, o ábaco ou o material dourado.
Proponham ao aluno várias operações básicas como 68 
- 29; 25 - 13; 126 - 48; e deixem que ele trabalhe sozinho, 
respeitando as limitações de cada um, porque sabemos que 
cada aluno tem o seu desenvolvimento próprio, não é mesmo?
Vocês futuros(as) professores(as), pensem sempre 
em oferecer oportunidades para o aluno compreender o 
que ele está fazendo, desde os mais simples cálculos até 
os mais complexos.
Mostrem para seus alunos que o tal “empresta um” não 
é emprestar, porque ninguém vai pagar, mas sim transformar 
uma dezena em unidades para facilitar a resolução da operação.
É necessário que vocês mostrem para os alunos os nomes 
dos termos da Adição, que são as parcelas e o resultado é a 
“soma” ou total e na subtração 28-21, o 28 é o minuendo, o 
21 é o subtraendo e o resultado 7 é o resto ou diferença.
Procurem não ser aqueles(as) professores(as) que 
passam tudo para o aluno, que deem tudo pronto, que não dá 
oportunidade para o aluno pensar.
Em todo e qualquer conteúdo que for apresentar, 
pensem que é importante para o aluno, compreender e não 
apenas decorar. Ajudem seu aluno a compreender significados 
a formar conceitos.
2 - Multiplicação e Divisão
Os problemas aditivos e multiplicativos são trabalhados 
ao mesmo tempo, porque pertencem a uma mesma família, de 
acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, vejamos: 
Uma abordagem frequente no trabalho com 
a multiplicação é o estabelecimento de uma 
relação entre ela e a adição. Nesse caso, 
a multiplicação é apresentada como um 
caso particular da adição porque as parcelas 
envolvidas são todas iguais” (BRASIL, 1997, 
p. 108).
Para exemplificar essa afirmação, é pertinente citar o 
seguinte problema: Jaques tem 3 caixas de lápis, contendo 
12 lápis em cada uma das caixas, quantos lápis tem Jaques 
ao todo? Como representar essa situação da maneira mais 
simples possível? 12 + 12 + 12 = 36, o que representa o 
número de lápis de cada caixa, somado três vezes, ao invés de 
fazer 3 vezes 12, direto.
Se o aluno for levado a distinguir o valor que se repete, do 
número de repetições, ele não terá dificuldades em distinguir 
o multiplicando (número que se repete, neste caso 12) do 
multiplicador (número de repetições, neste caso 3). É muito 
importante que o(a) professor(a) ao apresentar o conceito de 
multiplicação, desenvolva várias atividades que envolvam a 
repetição de parcelas iguais.
Assim, como na adição e na subtração, também existe 
estreita relação entre multiplicação e divisão, o que justifica a 
importância das duas serem trabalhadas ao mesmo tempo.
Segundo Gurgel, da revista Nova Escola, junho/julho 
(2007, p. 74):
Por serem consideradas mais complicadas, a 
divisão e a subtração só apareciam no currículo 
depois que as crianças dominassem bem a 
adição e a subtração. Mas os alunos só têm a 
ganhar quando aprendem todos os conceitos 
desde o início da escolaridade.
A operação divisão é aparentemente mais complexa que 
as demais operações, talvez por apresentar quatro termos: 
dividendo, divisor, quociente e resto, enquanto que as outras 
operações apresentam somente três termos.
E o estudo da multiplicação???
Para ensinar multiplicação será necessário o professor 
mostrar ao aluno que existe relação entre essa operação e a 
adição de parcelas iguais.
Por exemplo, se alguém tem que tomar 4 comprimidos por 
dia, durante 6 dias, quantos comprimidos precisará comprar?
Se em 6 dias ela tem que tomar 4 comprimidos, então 4 + 
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24, o que foi feito? Somou-se o número 
de comprimidos (4) tantas vezes quando forem dias, seria a 
mesma coisa que fazer 6x4.
E a tabuada??? É preciso decorá-la???
A gente ouve muito atualmente, as pessoas dizerem que 
“ninguém sabe matemática” porque não exige mais decorar 
tabuada nas escolas, os alunos não sabem tabuada e, portanto 
não sabem calcular. Para muitos pais de alunos que tiveram que 
estudar muito para decorar a tabuada e alguns até receberam 
castigos por terem cumprido com o seu dever, acham, no 
mínimo estranho que hoje os alunos tenham que compreender 
a tabuada e não decorá-la.
Se o professor apresentar ao aluno a operação multiplicação 
em forma, de adição e realizar várias atividades em sala de aula, 
o aluno irá compreender, formar conceitos, então quando 
questionar quanto é 7 x 8, o aluno irá compreender que é o 
8 somado 7 vezes, ou seja, 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8. E não 
será algo mecânico que o aluno responde sem entender o seu 
significado.
 Exemplificando por meio de problemas, como, se uma caixa 
tem 12 chicletes, quantos chicletes terão ao todo em 3 caixas?
O aluno tanto pode resolver assim: 12 + 12 + 12 como 
3 x 12.
50Conteúdo e Met. do Ens. da Lingua Portuguesa e Matemática nos Anos Iniciais do Ens. Fund.
E o estudo da divisão como deveria ocorrer?
Vocês sabiam que cada um dos termos das operações têm um nome???
O professor pode, dessa forma, construir a tabuada junto 
com os alunos e deixá-la exposta em sala de aula.
Assim como, no caso da adição e da subtração, é 
importante um trabalho conjunto de problemas que explorem 
a multiplicação e a divisão.
O ideal seria se o professor mostrasse ao aluno que para 
dividir 20 por 5, por exemplo, é verificar quantas vezes o 5 
cabe em 20. E se o professor trabalhar dessa maneira quando 
for apresentar a divisão por números decimais não enfrentará 
dificuldades.
Os termos da multiplicação e divisão também devem ser 
apresentados aos alunos, sendo que na multiplicação 35 x 2 = 
70, o 35 é o multiplicando, o 2 o multiplicador e o 70 o produto.
Na divisão, 60 : 15 = 4 o 60 é o dividendo, o 15 é o divisor, 
4 o quociente e zero é o resto. Então D = qxd + r, no caso, 60 
= 15. 4 + 0.
É oportuno citarmos um exemplo prático, de autoria de 
Thaís Gurgel, da Revista Nova Escola - junho/julho (2007, p. 
75), como uma criança poderia resolver a operação divisão, 
“Dezessete balas são divididas entre cinco crianças. Quantas 
balas receberá cada criança, se os doces forem distribuídos 
igualmente?” De formas mais variadas possíveis, as crianças 
deverão chegar a esse resultado: três balas para cada um e 
sobram duas balas. 
A questão pode ser alterada sem modificar os termos: e 
se as balas forem distribuídas uma a uma até acabarem? Neste 
caso, formam-se dois grupos com quantidades diferentes, e o 
aluno verificará, por contagem, subtração repetida, ou ainda 
multiplicando números por cinco, até chegar o mais próximo 
de dezessete, que corresponde aos três vezes cinco, entre outras 
estratégias, e terá como resultado final, que cada criança receberá 
três balas e que duas crianças ficarão com uma bala a mais. 
Há também, como alterar o local do termo desconhecido 
na operação, usando sempre os mesmos termos: dezessete 
balas foram distribuídas igualmente entre um número de 
crianças, em que cada uma ficou com três balas e sobraram 
duas balas. Quantas crianças havia? Neste caso, a relação de 
inverso entre multiplicação e divisão é o destaque. Quanto mais 
tipos de problemas as turmas conhecerem, mais elas ampliarão 
a compreensão das operações e aumentarão o repertório de 
estratégias. 
Por outro lado, há também aquela criança que irá resolver 
essa operação distribuindo as balas individualmente, ou seja, 
entregando uma bala para cada criança, até perceber que 
sobraram duas balas e, portanto, duas das cinco crianças ficarão 
com uma bala a mais. Podemos dizer que essa criança está 
utilizando a subtração para chegar ao resultado da divisão, o 
que é extremamente compreensível.
 
ATENÇÃO!!!!! Leiam, a seguir, a entrevista de 
Gérard Vergnaud para ratificar o que afirmamos até o 
momento sobre o estudo das quatro operações básicas.
O psicólogo Gérard Vergnaud valoriza esses caminhos, 
o que pode ser constatado nos principais trechos de sua 
entrevista (do pensamento ao conceito), à revista Nova 
Escola - Maio (2007 – p.71):
Discípulo de Jean Piaget (1896-1908) e Lev Vygotsky(1896-1934), Vergnaud sugere que diversas áreas do 
conhecimento sejam ensinadas sob a perspectiva dos 
campos conceituais, que nada mais são do que a apreensão 
progressiva de conceitos por meio de um conjunto variado 
de problemas, conteúdos, situações, estruturas e relações. 
Em Matemática, ele concebeu as estruturas aditivas e as 
multiplicativas. Aqui, os principais trechos da entrevista dada 
pelo psicólogo, por e-mail, a NOVA ESCOLA.
Por que é importante pensar adição e subtração 
sob o enfoque do campo aditivo?
Porque não se pode entender separadamente o 
desenvolvimento cognitivo e o aprendizado de um conceito. 
Desenvolvemos conceitos e representamos objetos e 
pensamentos por meio de suas características gerais, para 
enfrentar situações. E sempre há uma variedade enorme 
de situações envolvidas na formação de um conceito – 
e também uma variedade de conceitos envolvidos no 
entendimento de uma situação. Juntos, eles formam sistemas 
progressivamente organizados, que devem ser estudados ao 
mesmo tempo.
O que o levou a incluir os problemas matemáticos 
nessa perspectiva?
As primeiras idéias das crianças a respeito de adição 
e subtração se desenvolvem entre 4 e 6 anos. No entanto, 
existem problemas que implicam apenas uma adição e que 
muitos alunos não conseguem entender, mesmo depois de 
concluir o primeiro ciclo do Ensino Fundamental.
Pior: às vezes eles desenvolvem idéias erradas sobre 
determinados conceitos. Então, é útil tentar classificar 
essas situações e analisar as dificuldades e os obstáculos 
epistemológicos encontrados por esses estudantes.
Quais as dificuldades dos alunos para compreender 
problemas de adição e subtração?
O mais comum é não saber o que fazer quando o 
estado inicial ou a transformação são desconhecidas, pois 
geralmente se pede o valor final, que é sempre maior do que 
o inicial. Alguns ficam em dúvida quando a transformação 
é uma subtração. Outro ponto é a resistência em conceber, 
num mesmo raciocínio, operações com números de sinais 
diferentes (negativo e positivo).
Por que o conceito de campo aditivo ainda é pouco 
utilizado nas escolas?
A teoria não é difícil, mas ela não corresponde ao 
senso comum, formado pelos protótipos que também os 
professores aprenderam e continuam a ter em mente sobre 
adição e subtração. O conceito de campo aditivo precisa ser 
explicado com cuidado, com muitos exemplos.
Essa forma de ensinar pode ser usada em que 
áreas?
Em estruturas multiplicativas com certeza, mas também 
em álgebra, geometria e em muitos conteúdos que não são 
da Matemática, como biologia, moral e ética, compreensão 
51
de textos e competências profissionais – e sempre que você 
precisar fazer análises e pesquisas específicas. 
As operações multiplicações e divisão, às vezes são 
consideradas mais difíceis, de que as já conhecidas “adição” 
e “subtração”, porém tudo depende da maneira como 
elas são ensinadas. “Pela teoria dos campos conceituais, a 
compreensão dos conceitos referentes a essas operações 
deve começar a ser constituída desde as primeiras séries, 
apesar de muitas escolas ainda inserirem esse conteúdo 
somente no currículo de turmas mais avançadas.” Conforme 
publicação da Revista Nova Escola de Junho/Julho de 2007 
(p.73).
Conforme prescrevem os Parâmetros Curriculares 
Nacionais “Com relação às operações, o trabalho a ser 
realizado se concentrará na compreensão dos diferentes 
significados de cada uma delas, nas relações existentes 
entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando 
diferentes tipos – exatos e aproximado, mental e escrito”. 
(1997, p. 55).
Se ao final desta aula tiverem dúvidas, vocês poderão 
saná-las por meio das ferramentas “Fórum” e “Quadro 
de Avisos”.
3 - Recurso à resolução de problemas 
A resolução de problemas é um dos caminhos para o 
ensino de Matemática, mas pelo que observamos em nossa 
trajetória, como professora, na maioria das vezes essa atividade 
não tem desempenhado o seu verdadeiro papel no ensino, 
porque a prática mais comum é aquela em que o professor 
apresenta a técnica de resolução ou mesmo um exemplo 
resolvido e propõe uma lista de problemas semelhantes aos 
alunos.
O que verificamos, nesses casos, é que o professor faz 
o trabalho do aluno, raciocina por ele, determina a técnica de 
resolução, mostra as respostas com antecedência e para esse 
aluno então só resta a reprodução.
E o objetivo principal da resolução de problemas que é 
desenvolver o raciocínio lógico, criar estratégias de resolução, 
entre outros, caem por terra.
A História da Matemática acompanhada de outros 
recursos didáticos e metodológicos oferece importante 
contribuição para o ensino de Matemática, nos anos iniciais 
do Ensino Fundamental, porque conforme os parâmetros 
curriculares nacionais, o(a) professor(a) ao comparar os 
conceitos e procedimentos matemáticos do passado e 
do presente, proporciona ao aluno atitudes favoráveis ao 
conhecimento matemático. 
O uso de problemas, em sala de aula, para o ensino de 
Matemática, nos anos iniciais do Ensino Fundamental, é feito, 
na maioria das vezes, somente para empregar algum conteúdo 
que foi ensinado teoricamente, quando na realidade deveria 
consistir em um tipo de desafio, tornando-se um elemento 
importante para o ensino e para a aprendizagem dos alunos.
3.1- Resultado de algumas pesquisas 
tendo como objeto a resolução de 
problemas
Acreditamos que a atividade resolução de problemas 
precisa ser entendida como competência mínima para 
que o indivíduo possa ser conduzido tanto ao mundo de 
conhecimento, quanto ao mercado de trabalho. E ainda, 
segundo a pesquisadora Smole e Diniz, (2001, p. 88):
[...] Ao fi nal da década de 1970 e durante os 
anos 1980, especialmente nos currículos, a 
Resolução de Problemas ganha essa dimensão, 
na qual surgem indicações claras de que 
todos os alunos devem aprender a resolver 
problemas e de que são necessárias escolhas 
cuidadosas quanto à técnicas e aos problemas 
a serem usados no ensino. Nessa perspectiva, é 
preciso considerar os problemas que envolvem 
o conteúdo específi co, os diversos tipos de 
problemas e os métodos de resolução para que 
se alcance a aprendizagem de Matemática. 
Após esse período, a resolução de problemas passa 
a ser considerada como uma metodologia para o ensino 
de Matemática, ou seja, a construir-se em um conjunto de 
estratégias para o ensino e o desenvolvimento da aprendizagem 
de Matemática. O professor deve, portanto, propor para seus 
alunos problemas que sejam desafiadores e não considerar a 
atividade de resolver problemas como uma mera repetição, 
com fórmulas prontas, ou exercícios, tipo siga o “modelo”, 
porque conforme afirma Smole e Diniz, (2001, p. 99):
Os problemas tradicionais dos livros-texto são, 
na verdade, simples exercícios de aplicação 
ou de fi xação de técnicas e regras. Na maioria 
das vezes, percebe-se neles a ausência de um 
contexto signifi cativo para o aluno e de uma 
linguagem condizente com a utilizada em seu 
dia-a-dia. Tais problemas aparecem sempre 
depois da apresentação de um conteúdo, e é 
exatamente este conteúdo que deve ser aplicado 
na resolução de problemas.
Levando em consideração a afirmação acima, concluímos 
que se os problemas em um livro didático aparecem sempre 
no final de uma unidade ou de um capítulo ou tema, o 
aluno automaticamente, sem interpretar ou compreender o 
enunciado do problema vai saber que tipo de operação ou 
quais conteúdos terá que utilizar para resolver esse problema.
A resolução de problemas matemáticos ressalta Polya 
(1978, p. 12-13), que para muitos estudiosos da área é 
considerado “pai da Matemática”, deve seguir alguns planos 
sendo que primeiro devemos compreendê-lo, e em segundo 
estabelecer: “[...] a conexão entre os dados e a incógnita. É 
possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se 
não puder encontrar uma conexão imediata. É preciso chegar 
afinal a um plano para a resolução”.
Temos ainda o terceiro e quatro planos que pela ordem, 
primeiro devo executare depois encaminhar a solução obtida. 
Ou seja, primeiro devemos ler o problema com muita atenção, 
52Conteúdo e Met. do Ens. da Lingua Portuguesa e Matemática nos Anos Iniciais do Ens. Fund.
verificarmos o que está sendo pedido na incógnita e se tiver 
dificuldade em resolvê-lo, deve pensar num problema conhecido 
que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante e que seja 
mais simples. Ao resolver um problema devem verificar cada 
passo executado, principalmente se o enunciado do mesmo está 
claro ou compreensível. E, finalmente verificar se a resolução 
está correta e se esse método que utilizou na resolução deste 
problema pode ser utilizado em outras situações, ou seja, o 
aluno irá transferir o conhecimento adquirido na resolução de 
um problema para resolver outros problemas.
Polya (1978, p. 1) ainda ressalta que o estudante deve 
ser auxiliado pelo professor, sendo esse um dos deveres mais 
importantes que cabe ao professor, e exige tempo e dedicação. 
O professor também não deve deixar seu aluno sozinho nas 
resoluções de trabalhos educativos:
O estudante deve adquirir tanta experiência 
pelo trabalho, independente quanto lhe for 
possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem 
ajuda ou auxílio insufi ciente, é possível que não 
experimente qualquer progresso. Se o professor 
ajudar demais, nada restará para o aluno fazer. 
O professor deve auxiliar, nem demais nem de 
menos, mas de tal modo que ao estudante caiba 
uma parcela razoável do trabalho. 
ATENÇÃO Futuros(as) Professores(as)!!! Vocês não 
devem fazer a parte que cabe ao aluno. Deixem seu aluno 
raciocinar para resolver os problemas, não deem fórmulas 
e nem resposta prontas.
O autor destaca também a generalidade das indagações e 
sugestões que pode se transformar em uma lista para resolver 
problemas de qualquer tipo, são elas:
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a 
condicionante? [...] O nosso problema pode ser 
algébrico ou geométrico, matemático ou não, 
um problema científi co ou um mero enigma. 
Não há diferença, as indagações fazem sentido 
e podem auxiliar-nos a resolver o problema 
(POLYA, 1978, p. 2).
Sempre que seu aluno for resolver um problema peça que utilize as 
indagações acima.
Para o aluno desenvolver a capacidade de resolver 
problemas o professor deve incutir em suas mentes algum 
interesse por problemas e proporcionar oportunidades de 
praticar e imitar as operações mentais correspondentes às 
indagações e sugestões da lista devendo apresentar tantas vezes 
quando o puder fazer com naturalidade, ou seja, não forçar. 
Como foi afirmado anteriormente, Polya (1978) menciona 
quatro passos e também faz uma lista que serve para resolver 
problemas, cada uma dessas fases têm a sua importância e 
deve ser observada para uma melhor compreensão e resolução 
satisfatória de um problema. No primeiro passo que é a 
compreensão do problema, dizendo que seria bem complicado 
responder a uma pergunta que não tenha sido entendida e 
também trabalhar para um fim que não se deseja. 
Então, voltamos à interpretação do problema, pois temos 
conhecimento de que o aluno muitas vezes não consegue 
resolvê-lo por não compreender o enunciado desse problema. 
Além de procurar compreender o problema, o aluno deve 
ter interesse em resolvê-lo, caso isto não ocorra nem sempre 
a culpa será do aluno, pois “o problema deve ser bem 
escolhido, nem difícil nem muito fácil, natural e interessante, 
e certo tempo deve ser dedicado à sua apresentação natural e 
interessante” (POLYA, 1978, p. 4). 
RESUMINDO
As quatro fases da resolução de problemas são: 
compreensão do problema; elaboração de um plano; execução 
do plano; retrospecto ou verificação.
O professor ao trabalhar com resoluções de problemas 
matemáticos deve planejar sua aula para que não aconteçam 
temas sem interesse, difíceis e nem fácil demais, deve haver 
um equilíbrio. O professor deve: “[...] propiciar um espaço 
de discussão no qual eles pensem sobre os problemas que 
irão resolver, elaborem uma estratégia e façam o registro 
da solução encontrada ou dos recursos que utilizaram para 
chegar ao resultado” (SMOLE & DINIZ, 2001, p. 125). 
Zunino (1995) verificou em sua pesquisa, que os 
procedimentos utilizados pelos alunos, muitas vezes, não 
coincidem com os tradicionalmente ensinados na escola. 
Esse é um dos momentos que a presença do professor se 
faz necessária e imprescindível, para propiciar momentos de 
discussão. Nesse sentido, encorajar os alunos a inventarem 
seus próprios procedimentos, a compará-los e “discutir sobre 
a eficácia comunicativa das diferentes representações que 
utilizam” (ZUNINO, 1995, p. 53). São ações que propiciam 
o desenvolvimento da autonomia, da autoconfiança em sua 
própria capacidade de pensar. 
E o autor de livros didáticos, Dante, o que diz sobre resolução de 
problemas?
Para Dante (1991), a resolução de problemas é a principal 
razão de se aprender e ensinar a Matemática, quando se trata 
da educação do ensino fundamental, porque é por meio dela 
que começa o pensar matemático nos alunos que iniciam as 
aplicações de conteúdos dessa disciplina no nível básico. 
O autor enfatiza também que: “É preciso desenvolver 
nos alunos habilidades de elaborar um raciocínio lógico e fazer 
uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele 
possa propor boas soluções às questões que surgem em seu 
dia-a-dia, na escola ou fora dela” (DANTE, 1991, p. 11-12).
Atualmente, num mundo globalizado, estão ocorrendo 
mudanças tecnológicas e sociais muito rápidas o que impede 
que se faça uma previsão rigorosa de quais seriam os conceitos, 
habilidades e algoritmos matemáticos que seriam essenciais 
para o preparo do aluno para uma vida futura. 
ATENÇÃO!!! O professor precisa preparar o aluno 
para lidar com situações novas, sejam elas quais forem. 
E, para isso, é necessário desenvolver no aluno a 
criatividade, a iniciativa, o espírito explorador e a independência, 
que ele adquire por meio da resolução de problemas. 
O professor deve oportunizar ao aluno envolver-se com 
as aplicações da Matemática e para tanto é preciso que utilize o 
único veículo que permite que isso ocorra, ou seja, a resolução 
de problemas. 
53
A Matemática é uma disciplina bem importante para 
o cotidiano do indivíduo, porque além de desenvolver o 
raciocínio lógico ajuda a resolver os problemas mais simples da 
vida diária. E apesar disso, constitui em uma disciplina que os 
alunos não apreciam e isso ocorre geralmente pela forma como 
ela é apresentada a eles. 
Como o professor deve proceder para tornar as aulas de Matemática 
mais interessante?
E em relação ao ponto de vista didático?
Acreditamos que professor deve trabalhar em grupos ou 
individualmente, para tornar suas aulas de Matemática, mais 
interessantes e desafiadoras despertando em seus alunos o real 
prazer e satisfação de estudar Matemática:
Uma aula de Matemática onde os alunos, incentivados 
e orientados pelo professor, trabalhem de modo ativo - 
individualmente ou pequenos grupos – na aventura de buscar 
a solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e 
motivadora do que o que o clássico esquema de explicar e 
repetir (DANTE, 1991, p. 13).
ATENÇÃO!!! Que tipos de problemas o professor 
deve lançar?
O professor deve lançar problemas que levem à 
curiosidade e desencadeia um comportamento de pesquisa, 
diminuindo sua passividade e conformismo. Ao resolver 
problemas deve equipar o aluno com determinadas estratégias, 
que auxilie a solução de situações onde um ou mais elementos 
desconhecidos são procurados.
Todos devem ter uma boa base matemática, pois o Brasil 
precisa de pessoas ativas e participativas para tomar decisões 
que sejam mais rápidas e corretas na resolução de todos os 
problemas nacionais que não são poucos, especialmente na 
área da Educação, Saúde e Segurança e para que isso ocorra: 
[...] formar cidadãos matematicamente 
alfabetizados, que saibam como resolver, de 
modo inteligente, seus problemas de comércio, 
economia, administração,engenharia medicina, 
previsão do tempo e outros da vida diária. E, 
para que isso é preciso que a criança tenha, 
em seu currículo de Matemática elementar, 
resolução de problemas como parte substancial, 
para que desenvolva desde cedo sua capacidade 
de enfrentar situações-problema (DANTE, 
1991, p. 15).
E mediante tal quadro, notamos a dificuldade em 
Matemática, e em especial na resolução de problemas. E, então 
surge um questionamento:
Por que muitos alunos apresentam dificuldade para compreender 
Matemática e resolver problemas?
E os Parâmetros Curriculares Nacionais o que recomendam sobre 
Resolução de Problemas?
Deixamos a reflexão acima, para vocês, futuros(as) 
professores(as) refletir, analisar e tomar uma posição frente aos 
alunos dos primeiros anos do Ensino Fundamental, quando 
for trabalhar conteúdos matemáticos.
Aproveitando nossa experiência, acreditamos que o 
professor deve propor diferentes formas e situações para 
resolver problemas, de tal maneira, que os alunos fiquem 
motivados ou demonstrem interesse em resolver problemas. 
O professor deve motivar seus alunos a trabalharem com 
conceitos matemáticos, permitindo que eles participem 
ativamente do fazer matemático e não ficarem apenas 
observando o professor resolver para depois reproduzir em 
seus cadernos conforme o professor fez. 
Entendemos que se os professores procurassem se 
atualizar em livros, pesquisas e revistas referentes à Educação 
Matemática, muitos alunos não teriam tanta dificuldade para 
resolver problemas.
3.1.1 - A resolução de problemas 
conforme os Parâmetros Curriculares 
Nacionais
Se no livro didático, adotado pela escola, não existem 
problemas que levem o aluno a raciocinar, refletir, será necessário 
que o professor reformule certos enunciados ou pesquise em 
outros livros, os problemas que colocam o aluno em uma 
situação de desafio. O professor também pode elaborar os 
enunciados, levando em consideração a realidade de seus alunos.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, um 
problema pode ter significados diferentes de um aluno 
para o outro, dependendo do seu nível de desenvolvimento 
intelectual e dos conhecimentos adquiridos. Sendo que para 
resolver um problema é necessário que o aluno: construa um 
ou vários procedimentos de resolução; compare os resultados 
obtidos com os de seus colegas e, por último valide, justifique 
seus procedimentos.
Os PCN defendem também que é necessário desenvolver 
habilidades que permitam colocar os resultados à prova e ainda 
comparar caminhos diferentes para chegar à mesma solução.
ATENÇÃO Futuros(as) Professores(as)!!! 
Estimulem seus alunos a buscarem diferentes formas de 
resolução para um mesmo problema e mostrem a eles que 
não existe apenas um caminho para resolver determinados 
problemas.
3.1.2 - Tabus da resolução de 
problemas (Ricardo Faizetta)
Pensem na seguinte questão: “Um fazendeiro possui 30 
ovelhas e 45 cabeças de gado. Qual a idade de fazendeiro?” Se 
seus alunos estão acostumados a resolver apenas problemas 
convencionais, provavelmente eles diriam: “Que conta eu 
tenho de fazer? É de mais ou é de menos? Setenta e cinco... 
Não entendi.” O enunciado, é evidente, não tem solução. Não 
há como descobrir a idade do fazendeiro, mas nem todos os 
estudantes demonstram capacidade e autonomia para chegar 
a essa conclusão. Tudo porque a escola não costuma ensiná-
54Conteúdo e Met. do Ens. da Lingua Portuguesa e Matemática nos Anos Iniciais do Ens. Fund.
los a pensar desse jeito. No modelo tradicional, eles formam 
a ideia fixa de que problemas matemáticos servem apenas 
para aplicação e memorização de regras e técnicas de cálculo. 
Ampliar essa visão implica derrubar tabus. Mais precisamente, 
cinco crenças identificadas pelas consultorias em Educação 
Matemática Kátia Stocco Smole e Maria Ignês Diniz com base 
na observação de escolas brasileiras e em pesquisa realizada 
nos Estados Unidos pela professora Raffaella Borasi, da 
Universidade de Rochester, no início dos anos 1990. 
O certo seria desenvolver nos alunos a competência 
para resolver problemas de qualquer natureza: compreender 
uma situação, analisar e selecionar os dados, mobilizar 
conhecimentos, formular estratégias de maneira organizada, 
validar os resultados e, se for o caso, propor novas situações. 
Os resultados do Sistema Nacional de Avaliação do Ensino 
Básico, porém, mostram que boa parte do insucesso escolar 
se deve à falta de capacidade de interpretar corretamente os 
enunciados. Mas é possível mudar esse quadro. Vejam agora 
como fazer isso.
3.1.3 - Nenhuma ou várias soluções
Vocês estão na Penha, bairro da zona leste de São Paulo, e 
querem ir a Santo Amaro, na zona sul, num dia de muita chuva. 
São mais de 20 quilômetros. O que fazer? Ir de ônibus, táxi, 
carro, bicicleta, trem, metrô. Escolher as principais avenidas ou 
caminhos alternativos para tentar fugir do congestionamento. 
Tudo isso é possível, certo? Mas o que é mais importante? 
Ponderar várias hipóteses: o dinheiro para condução, a hora do 
compromisso, pontos de alagamento, locais perigosos. A crença 
de que o enunciado sempre tem resposta, numérica, e de que há 
apenas uma forma correta para chegar até ela é efeito direto do 
uso exclusivo de problemas dito convencionais na sala de aula.
Detectar esse tabu não é complicado. Derrubá-lo exige 
planejamento e persistência. O professor Humberto Luis de 
Jesus, da Escola Municipal de Ensino fundamental Afrânio de 
Mello Franco, em São Paulo, fez isso no ano passado numa 
turma de jovens e adultos. Na primeira lista de exercícios 
que passou, Humberto pedia que eles descobrissem apenas a 
operação que resolveria as questões. No meio delas, incluiu um 
problema sem solução. “De início todos ficaram intimidados, 
não aceitaram a pergunta e chegaram a questionar que 
metodologia de trabalho era a minha”, conta. “Aos poucos 
perceberam que o raciocínio que eu pedia era algo que usamos 
no trabalho, na vida cotidiana.” A mesma desconfiança 
apareceu alguns enunciados adiante: “Ana e Júlia têm, juntas, 13 
fitas para cabelo. Quantas fitas cada uma têm separadamente?” 
Há varias possibilidades de respostas. Ana, uma e Júlia, 12. Ana, 
duas e Júlia, 11. E assim por diante. Mais indignação entre os 
alunos. Mais uma quebra de tabu, pois é possível, sim, existirem 
problemas para os quais haja várias respostas. 
Para mostrar à turma de 3ª série do Liceu Salesiano Nossa 
Senhora Auxiliadora, em campinas, que um problema pode 
ser resolvido de várias formas, a professora Marina Agostinho 
Daleffe convida alguns alunos para registrar e explicar suas 
estratégias no “painel de soluções” (o quadro-negro dividido 
em partes onde cada aluno apresenta sua resposta). “Isso 
melhora a autoconfiança deles, pois percebem onde estão 
errando e onde estão acertando e como melhorar”, diz ela.
3.1.4 - Rapidez: devagar todos 
chegam lá
Na matemática, como na vida, quanto mais rapidamente 
você resolver problemas melhor. Mas a agilidade não é condição 
para determinar se alguém sabe ou não chegar a uma solução. 
Para derrubar o tabu de que quem não resolve um problema 
com rapidez é porque não sabe fazê-lo, basta dar tempo aos 
alunos. No colégio Marista Nossa Senhora da Glória, em São 
Paulo, a turma de 4ª serie da professora Ana Cláudia Florindo 
recebe a cada quinzena um desafio matemático. Isso mesmo, 
15 dias para resolver uma questão. “Eles podem resolver como 
quiserem, com a ajuda dos pais, dos colegas ou perguntando a 
mim’, explica”. Esse mesmo trabalho é feito com turmas de 5ª 
serie em diante no Marista de Brasília, porém com uma semana 
de prazo.
No Glória, a antiga caixa de recados, utilizada para troca 
de correspondência como incentivo à escrita e a leitura, deu 
origem à caixa de dúvidas matemáticas, onde todos depositam 
bilhetes descrevendo as dificuldades que encontraram nos 
problemas. “Com isso avaliamos a turma tanto de forma 
coletiva como individual”, afirma a assessora pedagógica Maria 
Paula Nicolini. O resultado é visível. Nemos mais tímidos 
perdem a chance de se manifestar.
3.1.5 - No caminho do erro esconde-
se o acerto
Se errar, não adianta investigar o erro. É preciso começar 
de novo, certo? Errado. Um trabalho eficiente com resolução 
de problemas não combina com a avaliação classificatória. 
Não é possível simplesmente recolher atividades, verificar 
se a resposta está correta e devolver uma nota ao aluno. No 
colégio Marista de Brasília, por exemplo, algumas atividades 
são corrigidas pelos próprios estudantes entre si. “Quando 
encontram um erro, peço que eles procurem onde o raciocínio 
falhou e expliquem ao colega”, conta o professor Luiz Otton 
Dumont Filho, da 6ª serie. Outra estratégia utilizada por Otton, 
uma vez a cada semestre, é a avaliação em dois tempos. Assim 
que termina uma prova, Otton devolve a folha de perguntas 
ao aluno e permite que ele escolha uma questão para refazer 
a entrega no dia seguinte. “a condição, acertada com todos 
desde o início, é que eles mantenham as respostas originais e 
entreguem a nova solução numa folha separada”. O objetivo, 
segundo Otton, é que o jovem se auto-avalie, compare os 
caminhos que seguiu e encontre a origem do erro.
3.1.6 - Esforço sim, decoreba não 
Uma prova sobre quadriláteros, paliçada pela professora 
Shirleni Mazoni Cavalcanti, da 7ª serie do Marista de Brasília, 
sinalizou há dois anos, que algo estava errado com suas aulas 
de matemática. “Na revisão da matéria os alunos fizeram tudo 
direitinho, mas no fundo eles estavam apenas repetindo algo 
que não havia entendido. Na prova, com questões diferenciadas, 
vieram as respostas mais estapafúrdias”, conta. Shirleni percebeu 
que os alunos estavam somente tentando decorar os conceitos 
(apostando na crença de que a memorização é tudo).
O problema não acontecia somente nas aulas de Shirleni. 
Mudar a postura de ensino foi o primeiro passo. “Começamos 
a realizar encontros periódicos entre professores de séries 
55
diferentes”, lembra-se ela. No primeiro momento, para saber 
o que cada um estava fazendo. Depois para planejar o trabalho 
de forma continuada. “Uma dificuldade que tive foi a de dar 
voz aos alunos”, admite Luiz Otton. “Eu achava que poderia 
perder o controle da sala, não aceitava uma aula barulhenta, 
mas fui percebendo que eles conversavam sobre matemática, 
trocando idéias, colocando suas dúvidas. Quer coisa melhor?”
3.1.7 - O benefício da dúvida
Ao contrário do que diz o tabu, é possível, sim, criar 
questões que geram dúvidas. Tudo depende do aluno que 
se quer formar. Você quer que seu aluno seja no futuro 
um individuo passivo, que aceita cabisbaixo tudo que lhe 
apresentam, ou alguém crítico, que propõe hipóteses e tira 
as próprias conclusões? Se for o caso, não traga respostas 
prontas. Faça como as professoras do Liceu Salesiano, que, 
ao perceber que um determinado desafio da problemoteca 
estava gerando alvoroço entre os alunos, potencializaram a 
questão. “O problema era um pouco mais complicado e os 
jovens começaram uma disputa (bastante saudável, diga-se 
de passagem) para ver quem descobria a melhor estratégia de 
resolução”, conta a coordenadora pedagógica Isabel Cristina 
Jarnallo dos Santos. Até os pais foram convidados a participar.
Teoria: Saiba identificar problemas convencionais 
e transformá-los em desafios mais interessantes e úteis
Problemas convencionais: são apresentados em frases 
curtas. Os dados para resolução sempre aparecem no texto 
e, em geral, na ordem em que serão utilizados. Algumas 
palavras-chave identificam a operação solicitada.
A resposta é única e numérica.
Exemplo: O perímetro de um quadrado é 34 metros. 
Quanto mede cada lado? 
Problemas não convencionais: são apresentados em 
textos mais elaborando, contendo personagens, provocando 
a imaginação do aluno e sugerindo situações inusitadas. 
Convidam o raciocínio, motivam e causam encantamento. 
Uma boa fonte para encontrá-los são os almanaques e os 
gibis. Eles podem ser resolvidos por diversas estratégias e 
muitas vezes têm mais de uma solução.
Exemplo: Vovô disse que cresceu numa casa onde 
havia 12 pés e um rabo. Quem poderia ter vivido com vovô? 
Observe como é preciso mobilizar vários conhecimentos 
para a resolução. Se havia um rabo, supõe-se que havia um 
animal. Um cachorro, por exemplo, que tem quatro pés. Os 
oito restantes poderiam pertencer a quatro pessoas, uma delas 
o próprio vovô. Mas e se o rabo fosse de um peixe no aquário?
Problema sem solução: desenvolvem a habilidade de 
duvidar. Peça aos alunos que modifiquem o enunciado de 
problemas desse tipo, para que passem a ter solução.
Problema com mais de uma solução: valorizam o 
processo de resolução, que pode não ser único. O aluno se 
sente mais encorajado e autônomo, pois encontra o próprio 
caminho. Ao observar as estratégias dos colegas, adquire a 
capacidade de analisar a eficiência da própria solução. 
Problemas com excesso de dados: assemelham-se 
às situações que o aluno vai enfrentar na vida. Geralmente 
são apresentados de forma pouco objetiva, que evidenciam a 
importância da leitura para a compreensão.
Problemas de Lógicas: necessitam o raciocínio 
dedutivo. Para resolvê-los o aluno deve se mostrar hábil 
em prever e checar situações, levantar hipóteses, buscar 
suposições, analisar e classificar dados.
FONTE: O texto de Ricardo Faizetta encontra-se na 
revista Nova Escola/Março de 2003 (p. 45-47).
Retomando a aula
Parece que estamos indo bem. Então, para encerrar essa 
aula, vamos recordar:
1 - Adição e subtração
As operações adição e subtração são consideradas 
operações irmãs. Essas operações não devem ser vinculadas 
aos termos “ganhar”, “perder”, “acrescentar”, entre outros.
O verdadeiro significado do “vai um” e do “empresta 
um” deve ser esclarecido ao aluno.
2 - Multiplicação e divisão 
A multiplicação deve ser apresentada como adição de 
parcelas iguais. Ao apresentar a divisão, o professor deve 
tomar o cuidado em mostrar que significa quantas vezes o 
divisor cabe no dividendo.
3 - Recurso à resolução de problemas
A resolução de problemas em sala de aula ocorre 
na maioria das vezes em sala de aula para empregar algum 
conteúdo que foi ensinado teoricamente.
Os professores devem propor problemas que levem o 
aluno a pensar.
Vale a pena
Vale a pena ler
CARRAHER, T. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: 
Cortez, 1995. 
MIGUEL, A. & MIORIM, M. A. História na Educação 
Matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 
2004.
SMOLE, K. & DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver 
problemas: habilidades básicas para aprender matemática. 
Porto Alegre: Artmed, 2001.
Revista Nova Escola - exemplar de Maio/2007, da 
página 70 a 75. 
Revista Nova Escola - exemplar de junho/julho de 
2007, da página 76 a 81.