Capítulo_03 (2)

Prévia do material em texto

Estrutura Madeira
Propriedades mecânicas e bases de 
cálculo
Capítulo 03
262
3.1 Introdução
As propriedades físicas e mecânicas da
madeira são determinadas por meios de
ensaios padronizados pelo Norma Brasileira
NBR 7190/1997.
263
3.2. Propriedades mecânica obtidas de 
ensaios padronizados: 
a) Resistência à compressão paralela e normal 
às fibras: fc e fcn.
b) Resistência à tração paralela e normal às 
fibras: ft e ftn.
c) Resistencia ao cisalhamento: fv
264
Ensaio de compressão paralelo às fibras
265
Ensaio de compressão normal às fibras
266
Ensaio de tração paralelo às fibras
267
Ensaio de cisalhamento paralelo as fibras 
268
Ensaio de flexão estática 
269
270
EXERCICIO 31 – Fez-se o ensaio de compressão paralela
às fibras (fc) em um corpo de prova de 5cm x 5cm x 15cm de
madeira cupiúba e obteve-se carga de ruptura Nu =136kN.
Calcular a resistência à compressão paralela as fibras (fc)
deste corpo de prova.
271
Resistência à compressão paralela as fibras (fc)
𝑓𝑐 =
𝑁𝑢
𝐴
𝑓𝑐 =
136
5 × 5
= 5,44 𝑘 Τ𝑁 𝑐𝑚2 = 54,4𝑀𝑃𝑎
Resolução:
272
EXERCICIO 32 – A resistência à compressão normal às
fibras (fcn) é definida por um critério de deformação
excessiva, sendo igual à tensão correspondente a uma
deformação residual igual a 2%. Abaixo encontra-se
ilustrado o gráfico tensão deformação de uma amostra de
madeira cupiúba, determinar sua resistência à compressão
normal às fibras.
273
Resistência à compressão normal às fibras
O resultado encontra-se graficamente para
deformação residual de 2% \ fcn = 13MPa
Resolução:
274
EXERCICIO 33 – Calcular a correlação entre a resistência à
compressão normal às fibras (fcn) e a resistência de
compressão paralela às fibras (fc) utilizando os valores da
madeira cupiúba dos Exercícios 1 e 2.
𝑓𝑐𝑛
𝑓𝑐
100 =
13
54,4
× 100 = 24%
Resolução:
275
EXERCICIO 34 – Os corpos-de-prova para ensaio de tração
simples são torneados, com dimensões maiores na região
das garras de modo a garantir que a ruptura se dê na região
central com diâmetro d=2cm, conforme indicado na figura.
Calcular a resistência à tração paralela as fibras (ft) deste
corpo de prova sabendo-se que a carga de ruptura Nu =19,5
kN.
276
Resistência à tração paralela as fibras (ft)
𝑓𝑡 =
𝑁𝑢
𝐴
𝑓𝑡 =
𝑁𝑢
𝜋𝑑2
4
𝑓𝑡 =
19,5
𝜋22
4
= 6,21𝑘 Τ𝑁 𝑐𝑚2 = 62,1𝑀𝑃𝑎
Resolução:
277
EXERCICIO 35 – Para o ensaio de cisalhamento paralelo às
fibras são utilizados corpos-de-prova com dimensões 5,0cm
x 5,0cm x 6,4cm e um recorte de 2,0cm x1,4cm x 5,0cm
conforme figura. Calcular a resistência ao cisalhamento
paralela as fibras (fv) deste corpo de prova sabendo-se que a
carga de ruptura Fu = 26 kN.
278
Resistência ao cisalhamento paralela as fibras (fv)
𝑓𝑣 =
𝐹𝑢
𝐴
𝑓𝑣 =
26
5 × 5
= 1,04𝑘 Τ𝑁 𝑐𝑚2 = 10,4𝑀𝑃𝑎
Resolução:
279
EXERCICIO 36 – A madeira raramente é solicitada à tração
perpendicular as fibras (ftn) por ser pequena sua resistência
que depende da lignina como material ligante. Calcular a
correlação entre a resistência à tração normal às fibras (ftn) e
a resistência de tração paralela às fibras (ft) utilizando os
valores da tabela A.1.1 para a madeira cupiúba.
280
𝑓𝑡𝑛
𝑓𝑡
100 =
3,3
62,1
× 100 = 5%
Resolução:
7
Variação estática 
Sendo a madeira um material natural suas
propriedades mecânicas apresentam variações.
A resistência característica é um valor que
tem apenas 5% probabilidade de não ser
atingido nos ensaios.
281
3.3 Variação das propriedades mecânica de 
madeiras de cada espécie 
282
Variação estatística dos resultados de ensaio
283
284
EXERCICIO 37 – Sendo a madeira um material natural
sujeito à influência de diversos fatores ambientais, é natural
que suas propriedades mecânicas apresentem variações.
Para 6 amostras ensaiada e apresentadas no quadro abaixo,
calcular:
a) Resistência média (fm)
b) Desvio padrão (s)
c) Coeficiente de variação (d)
d) Resistencia característica (fk)
285
a) Resistência média (fm)
𝑓𝑚 =
Σ𝑓𝑖
𝑛
= 56,8𝑀𝑃𝑎
b) Desvio padrão (s)
𝜎 =
Σ 𝑓𝑚 − 𝑓𝑖
2
𝑛
= 6,1𝑀𝑃𝑎
Resolução:
286
c) Coeficiente de variação (d)
𝛿 =
𝜎
𝑓𝑚
100 = 10,7%
d) Resistencia característica (fk)
𝑓𝑘 = 𝑓𝑚 − 1,645𝜎 = 46,7𝑀𝑃𝑎
Variação da resistência da madeira com o 
grau de umidade
287
Variação da resistência com a umidade
De acordo com a NBR 7190, resistência fu obtidos de 
ensaios de corpos-de-prova com teores de umidade U
entre 10% e 20% podem ser corrigidos para o teor de 
umidade padrão de 12% (f12), admitindo-se a seguinte 
equação:
288
Variação da resistência com a umidade
O modulo de elasticidade é corrigido pela seguinte 
equação:
289
290
EXERCICIO 38 – De acordo com a Norma Brasileira
NBR7190, os valores da resistência fu obtidos de ensaios em
corpos de prova com teores de umidade U entre 10% e 20%
podem ser corrigidos para teor de umidade padrão 12%,
(f12), admitindo a seguinte equação:
𝑓12 = 𝑓𝑢 1 +
3
100
𝑈 − 12
Calcular a resistência para o teor de umidade padrão (f12), de uma peça de
madeira ensaiada cujo grau de umidade médio U=18% apresenta
resistência a compressão paralela as fibras igual a: 50 MPa.
291
Correção para umidade padrão
𝑓12 = 50 1 +
3
100
18 − 12 = 59𝑀𝑃𝑎
Resolução:
292
EXERCICIO 39 – As madeiras de maior peso específico
apresentam maior resistência, o que se explica pela
existência de maior quantidade de madeira por unidade de
volume. Sendo a formula empírica divulgada pela IPT a
resistência a compressão fc em MPa pode ser estimada pela
seguinte equação:
𝑓𝑐 = 60𝛾
Onde 𝛾 é o peso especifico em g/cm³ a uma umidade média de 15%. Estimar a
resistência a compressão fc de uma espécie de madeira com = 𝛾 = 838𝑘𝑔/𝑚³.
293
𝑓𝑐 = 60 ×
838 × 1000
100 × 100 × 100
= 50,28𝑀𝑃𝑎
Resolução:
8
Os objetivos de um projeto estrutural são:
- Garantia de segurança estrutural evitando-se o
colapso da estrutura.
- Garantia de bom desempenho da estrutura evitando-se
a ocorrência de grandes deslocamentos, vibrações e
danos localizados à estrutura e seus acessórios
294
3.6 Método de cálculo
NORMAS USUÁIS
A estrutura serão verificadas de acordo com:
- NBR 7190
- EUROCODE 5
295
Método dos Estados limites
Verifica-se no estado limite:
Sd < Rd
As solicitações combinadas Sd devem ser menores 
que a as resistências de cálculo Rd
296
Combinação Normal
297
Quando o vento é a ação Q1, poderá este valor ser 
multiplicado por 0,75 para refletir o caráter temporário 
da ação.
298
EXERCICIO 40 – A expressão para cálculo da solicitação de
cálculo é apresentada a seguir:
൯𝑆𝑑 = 𝑆(Σ𝛾𝑔𝐺 + 𝛾𝑞𝑄1 + Σ𝛾𝑞𝑖𝜓0𝑄𝑖
Pergunta-se
a) Quais os valores de gg e gq para combinação normal, sendo a ação permanente
de grande variabilidade desfavorável a estrutura e ação variável uma carga
acidental.
b) Qual o valor do fator de combinação 𝝍𝟎 para cargas acidentais
299
a) Busca dos coeficientes de majoração gg e gq
Os coeficientes gg e gq são encontrados na tabela 3.6.
Resolução:
300
a) Busca do fator de combinação 𝝍𝟎
O fator de combinação 𝜓0 é encontrado na tabela 3.7
301
EXERCICIO 41 – Uma treliça de cobertura em madeira está
sujeita aos seguintes carregamentos verticais distribuídos
por unidade de comprimento (valor positivo indica carga no
sentido da carga gravitacional).
Peso próprio + peso cobertura G = 0,8 kN/m
Carga acidental Q = 1,5 kN/m
Vento V1 (sobrepressão) V1 = 1,3 kN/m
Vento V2 (sucção) V2 = -1,8 kN/m
Calcular as ações combinadas para o projeto no estado limite último de
acordo com a NBR7190.
302
Resolução:
Resistência de Projeto
303
3.7 Bases de cálculo segundo NBR 7190
304
Tração paralela as fibras 0,70 1,8
Cisalhamento paralelo às fibras 0,54 1,8
Tabela 3.8 Relação fk/fm entre as resistências características e média e o valor do 
coeficiente gw
Esforço fk/fm gw
Compressão paralela às fibras 0,70 1,4
POR ESPÉCIE DE MADEIRA
305
VALORES MÉDIOS DASRESISTÊNCIAS
306
Nome Comum rap (12%) fc ft ftn fv Ec
(dicotiledôneas) kg/m3 MPa MPa MPa MPa MPa
Angelim-araroba 688 50,5 69,2 3,1 7,1 12876
Angelim-ferro 1170 79,5 117,8 3,7 11,8 20827
Angelim-pedra 694 59,8 75,5 3,5 8,8 12912
Angelim-pedra verdadeiro 1170 76,7 104,9 4,8 11,3 16694
Branquilho 803 48,1 87,9 3,2 9,8 13481
Cafearana 677 59,1 79,7 3,0 5,9 14098
Canafistula 871 52 84,9 6,2 11,1 14613
Casca Grossa 801 56,0 120,2 4,1 8,2 16224
Castelo 759 54,8 99,5 7,5 12,8 11105
Catiúba 1221 83,8 86,2 3,3 11,1 19426
Cedro Amargo 504 39 58,1 3 6,1 9839
Tabela A.1.1 - Valores médios de resistência e módulo de deformação longitudinal, para 
U=12%, de madeira dicotiledoneas nativas e de florestamento (NBR 7190, 1996)
307
Nome Comum rap (12%) fc ft ftn fv Ec
(dicotiledôneas) kg/m3 MPa MPa MPa MPa MPa
Cedo Doce 500 31,5 71,4 3,0 5,6 8058
Champagne 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002
Cúpiuba | Peroba do Norte 838 54,4 62,1 3,3 10,4 13627
Eucalipto Alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409
Eucalipto Camaldulesis 899 48,0 78,1 4,6 9,0 13286
Eucalipto Citriodora 999 62 123,6 3,9 10,7 18421
Eucalipto Cloeziana 822 51,8 90,8 4,0 10,5 13963
Eucalipto Dunnii 690 48,9 139,2 6,9 9,8 18029
Eucalito Grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813
Eucalipto Maculata 931 63,5 115,6 4,1 10,6 18099
Eucalipto Maidene 924 48,3 83,7 4,8 10,3 14431
Eucalipto Microcorys 929 54,9 118,6 4,5 10,3 16782
Eucalipto Paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881
Eucalipto Propinqua 952 51,6 89,1 4,7 9,7 15561
Eucalipto Punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360
Eucalipto Saligna 731 46,8 95,5 4 8,2 14933
Eucalipto Tereticornis 899 57,7 115,9 4,6 9,7 17198
Tabela A.1.1 - Valores médios de resistência e módulo de deformação longitudinal, para 
U=12%, de madeira dicotiledoneas nativas e de florestamento (NBR 7190, 1996)
308
Nome Comum rap (12%) fc ft ftn fv Ec
(dicotiledôneas) kg/m3 MPa MPa MPa MPa MPa
Eucalipto Triantha 755 53,9 100,9 2,7 9,2 14617
Eucalipto Umbra 889 42,7 90,4 3,0 9,4 14577
Eucalipto Urophylla 739 46 85,1 4,1 8,3 13166
Garapa Roraima 892 78,4 108,0 6,9 11,9 18359
Guaiçara 825 71,4 115,6 4,2 12,5 14624
Guarucaia 919 62,4 70,9 5,5 15,5 17212
Ipê 1068 76 96,8 3,1 13,1 18011
Jatobá 1074 93,3 157,5 3,2 15,7 23607
Louro-preto 684 56,5 111,9 3,3 9 14185
Maçaranduba 1143 82,9 138,5 5,4 14,9 22733
Mandioqueira | Cambará 856 71,4 89,1 2,7 10,6 18971
Oiticica Amarela 756 69,9 82,5 3,9 10,6 14719
Quarubarana 544 37,8 58,1 2,6 5,8 9067
Sucupira 1106 95,2 123,4 3,4 11,8 21724
Tatajuba 940 79,5 78,8 3,9 12,2 19583
Tabela A.1.1 - Valores médios de resistência e módulo de deformação longitudinal, para 
U=12%, de madeira dicotiledoneas nativas e de florestamento (NBR 7190, 1996)
309
Nome Comum rap (12%) fc ft ftn fv Ec
(coníferas) kg/m3 MPa MPa MPa MPa MPa
Pinho-do-paraná 580 40,9 93,1 1,6 8,8 15225
Pinús caribea 579 35,4 64,8 3,2 7,8 8431
Pinus bahamensis 537 32,9 52,7 2,4 6,8 7110
Pinus elliotti 560 40,4 66,0 2,5 7,4 11889
Pinus hondurensis 535 42,3 50,3 2,6 7,8 9868
Pinus oocarpa 538 43,6 60,9 2,5 8,0 10904
Pinus taeda 645 44,4 82,8 2,8 7,7 13304
rap(12%) = massa especifica aparante a 12% de umidade
fv = resistência ao cisalhamento
Ec = módulo de elásticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras.
Coeficiente de variação para resistência a solicitações normais d = 18%
Coeficiente de variação para resistência a solicitações tangenciais d = 28%
Tabela A.1.2 - Valores médios de resistência e módulo de deformação longitudinal, para 
U=12%, de madeira coniferas nativas e de florestamento (NBR 7190, 1996)
fc = resistência à compressão paralela às fibras
POR CLASSE DE MADEIRA
310
VALORES MÉDIOS DAS RESISTÊNCIAS
311
C20 20 4 9.500 500 650
C30 30 5 14.500 650 800
C40 40 6 19.500 750 950
C60 60 8 24.500 800 1.000
Tabela 3.14 Classes de resistência da madeiras duras 
(dicotiledôneas). Valores das propriedades referidas à 
condição padrão de umidade (U=12%)
Classes
fck 
(MPa)
fvk 
(MPa)
Ec,m
(MPa)
rbas,m
(kg/m³)
raparent
e
C20 20 4 3.500 400 500
C25 25 5 8.500 450 550
C30 30 6 14.500 500 600
Tabela 3.15 Classes de resistência da madeiras macias 
(coníferas). Valores das propriedades referidas à condição 
padrão de umidade (U=12%)
Classes
fck 
(MPa)
fvk 
(MPa)
Ec,m
(MPa)
rbas,m
(kg/m³)
raparent
e
kmod
312
Classes de carregamento
313
Tabela 3.9 Classe de carregamento
Média duração 1 semana a 6 meses
Curta duração Menos de 1 semana
Duração instantânea Muito curta
Classe
Periodo acumulado de tempo de atuação da carga 
variável de base de um combinação de ações
Permanente Vida útil da construção
Longa duração Mais de 6 meses
Nos projetos correntes se considera carga
de longa duração.
Kmod 1
314
Tabela 3.10 - Valores do coeficiente kmod1
Tipo de produto de madeira
Longa duração 0,70 0,45
Média duração 0,80 0,65
Classe de carregamento da 
combinação de ações
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada
Madeira recomposta
Permanente 0,60 0,30
Curta duração 0,90 0,90
Duração instantânea 1,10 1,10
Classes de umidade
315
Tabela 3.11 Classes de umidade
1
2
3
Classe de 
umidade
Umidade relativa do ambiente 
Uamb
Grau de umidade da madeira 
(equilíbrio com o ambiente)
≤ 65% 12%
65% < Uamb ≤ 75% 15%
75% < Uamb ≤ 85% 18%
4
85% < Uamb ≤ durante longos 
periodo
≥ 25%
Kmod 2
316
1 e 2
3 e 4
Classe de 
umidade
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada
Madeira recomposta
1,0 1,0
0,8 0,9
Tabela 3.12 Valores do coeficiente kmod 2
Kmod 3
317
1º e 2º - peça curva
1º e 2º - peça reta
0,8
Coníferas 1º e 2º 0,8
Laminada e colada * Qualquer
1,0 - 2000(r/t) 2̂
1,0
Tabela 3.13 - Valores de coeficiente kmod3
Produto de madeira Tipo de madeira Categoria kmod3
Serrada
Dicotiledôneas
1º Categoria 1,0
2º Categoria
* Laminada com espessura t e colada com raio de curvatura r (mínimo)
Classificação das peças
318
1º Categoria
Classificação das peças
319
2º Categoria
320
Módulo de elasticidade 
321
322
EXERCICIO 42 – Determinar a tensão resistente de projeto
a compressão paralela as fibras fcd, a resistência de projeto
a tração paralela as fibras ftd e a resistência de projeto ao
cisalhamento paralelo às fibras fvd sabendo-se que se trata
de:
- madeira serrada
- pinho-do-paraná
- local da construção tem umidade relativa do ar média igual a 80%
323
a) Busca do valor kmod1
Este modificador leva em conta o tipo de produto de madeira
empregado e o tempo de duração da carga (Tabela 3.10).
Kmod1 = 0,7
Resolução:
Tabela 3.10 - Valores do coeficiente kmod1
Tipo de produto de madeira
Longa duração 0,70 0,45
Média duração 0,80 0,65
Classe de carregamento da 
combinação de ações
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada
Madeira recomposta
Permanente 0,60 0,30
Curta duração 0,90 0,90
Duração instantânea 1,10 1,10
324
b) Busca do valor kmod2
Este modificador considera o efeito da umidade e para isto será utilizado a
Tabela 3.11 para sua classificação e a Tabela 3.12 para obtenção do kmod2
CLASSE DE UMIDADE 3 | Kmod2 = 0,8
Tabela 3.11 Classes de umidade
1
2
3
Classe de 
umidade
Umidade relativa do ambiente 
Uamb
Grau de umidade da madeira 
(equilíbrio com o ambiente)
≤ 65% 12%
65% < Uamb ≤ 75% 15%
75% < Uamb ≤ 85% 18%
4
85% < Uamb ≤ durante longos 
periodo
≥ 25%
1 e 2
3 e 4
Classe de 
umidade
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada
Madeira recomposta
1,0 1,0
0,8 0,9
Tabela 3.12 Valores do coeficiente kmod 2
325
c) Busca do valor kmod3
Este modificador leva em conta a classificação estrutural da madeira (Tabela
3.13).
Kmod3 = 0,8
1º e 2º - peça curva
1º e 2º - peça reta
0,8
Coníferas 1º e 2º 0,8
Laminada e colada * Qualquer
1,0 - 2000(r/t) 2̂
1,0
Tabela 3.13 - Valores de coeficiente kmod3
Produto de madeira Tipo de madeira Categoria kmod3
Serrada
Dicotiledôneas
1º Categoria 1,0
2º Categoria
* Laminada com espessurat e colada com raio de curvatura r (mínimo)
326
d) Cálculo de kmod
𝑘𝑚𝑜𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 × 𝑘𝑚𝑜𝑑2 × 𝑘𝑚𝑜𝑑3
Kmod = 0,7 x 0,8 x 0,8 = 0,45
327
Nome Comum rap (12%) fc ft ftn fv Ec
(coníferas) kg/m3 MPa MPa MPa MPa MPa
Pinho-do-paraná 580 40,9 93,1 1,6 8,8 15225
Pinús caribea 579 35,4 64,8 3,2 7,8 8431
Pinus bahamensis 537 32,9 52,7 2,4 6,8 7110
Pinus elliotti 560 40,4 66,0 2,5 7,4 11889
Pinus hondurensis 535 42,3 50,3 2,6 7,8 9868
Pinus oocarpa 538 43,6 60,9 2,5 8,0 10904
Pinus taeda 645 44,4 82,8 2,8 7,7 13304
rap(12%) = massa especifica aparante a 12% de umidade
fv = resistência ao cisalhamento
Ec = módulo de elásticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras.
Coeficiente de variação para resistência a solicitações normais d = 18%
Coeficiente de variação para resistência a solicitações tangenciais d = 28%
Tabela A.1.2 - Valores médios de resistência e módulo de deformação longitudinal, para 
U=12%, de madeira coniferas nativas e de florestamento (NBR 7190, 1996)
fc = resistência à compressão paralela às fibras
328
e) Busca dos valores médios da resistência fm
Os valores médios de resistência, para U=12% de madeira dicotiledôneas
são retirados da Tabela A.1.1 e para madeira coníferas são retirados da
Tabela A.1.2
fc = 40,9 MPa = 4,09 kN/cm²
ft = 93,1 MPa = 9,31 kN/cm²
fv = 8,8 MPa = 0,88 kN/cm²
329
f) Cálculo da resistência característica fk,
Para se calcular a resistência característica fk, utiliza-se a relação fk/fm
conforme Tabela 3.8.
Sendo:
fk/fm = 0,7 para compressão paralela às fibras
fk/fm = 0,7 para tração paralela às fibras
fk/fm = 0,54 para cisalhamento paralelo às fibras
fck = 0,7 x 4,09 = 2,86 kN/cm²
ftk = 0,7 x 9,31 = 6,51 kN/cm²
fvk = 0,54 x 0,88 = 0,47 kN/cm²
Tração paralela as fibras 0,70 1,8
Cisalhamento paralelo às fibras 0,54 1,8
Tabela 3.8 Relação fk/fm entre as resistências características e média e o valor do 
coeficiente gw
Esforço fk/fm gw
Compressão paralela às fibras 0,70 1,4
330
g) Busca do coeficiente gw, 
Os coeficiente gw estão disponíveis na Tabela 3.8.
Sendo:
gw = 1,4 para compressão paralela às fibras
gw = 1,8 para tração paralela às fibras
gw = 1,8 para cisalhamento paralelo às fibras
Tração paralela as fibras 0,70 1,8
Cisalhamento paralelo às fibras 0,54 1,8
Tabela 3.8 Relação fk/fm entre as resistências características e média e o valor do 
coeficiente gw
Esforço fk/fm gw
Compressão paralela às fibras 0,70 1,4
331
h) Cálculo da tensão resistência de projeto fd.
𝒇𝒅 = 𝒌𝒎𝒐𝒅
𝒇𝒌
𝜸𝒘
fcd = 0,45 x 2,86 /1,4 = 0,91 kN/cm²
ftd = 0,45 x 6,51 /1,8 = 1,62 kN/cm²
fvd = 0,45 x 0,47 /1,8 = 0,11 kN/cm²
9
332
I´m back !!!
333
EXERCICIO 43 – Para a passarela de pedestre indicada no
Exercício 5, definir:
a) Carregamento Permanente (G)
b) Carregamento Variável (Q)
OBS.: Ambos os carregamentos devem ser estimados em
kN/m²
334
335
336
https://1drv.ms/u/s!AmOoieWTRBxXh7Eo0i5xOrtO9p8Bug?e=oKia48
Arquivo SketchUp em:
337
a) Carregamento Permanente (G)
𝑮 =
𝑷𝒆𝒔𝒐
𝑨𝒑
a1) Peso da Madeira:
O peso da madeira foi calculado no item b) do exercício 5
Peso = 2.655kg = 26,55kN
Resolução:
338
a2) Cálculo da área em planta da 
passarela (Ap):
L = 10m (comprimento)
B = 2m (Largura)
Ap = L x B = 10 x 2 = 20m²
a3) Carregamento Permanente (G)
𝑮 =
𝑷𝒆𝒔𝒐
𝑨𝒑
=
𝟐𝟔, 𝟓𝟓
𝟐𝟎
= 𝟏, 𝟑𝟑𝒌𝑵/𝒎²
𝑮 = 𝟏, 𝟑𝟑 𝒌𝑵/𝐦𝟐
339
b) Carregamento Variável (Q)
O carregamento acidental atuante em um passarela é definido
consultando-se a NBR7188, que diz que deve ser adotado uma carga
uniformemente distribuída, aplicada entre o pavimento entre os guarda-
corpos de valor igual:
Q = 5,0 kN/m²
𝑸 = 𝟓, 𝟎 𝒌𝑵/𝐦𝟐
340
EXERCICIO 44 – Para a Viga Principal da passarela de
pedestre indicada no Exercício 5, calcular:
a) A largura de influência dos carregamento (L.inf)
b) Carregamento Permanente (GVP) em kN/m
c) Carregamento Variável (QVP) em kN/m
341
a) Largura de influência da Viga Principal (L.inf)
A largura de influência é medida considerando a metade das distância entre 
cada viga.
𝐿𝑖𝑛𝑓 =
𝐿
2
=
2
2
= 1𝑚
Resolução:
342
b) Carregamento Permanente (GVP) em kN/m
O carreamento permanente (GVP) em kN/m é obtido multiplicando-se a 
largura de influência (L.inf) pelo carregamento permanente (G) em kN/m² 
calculado no Exercício 2.
𝐺𝑉𝑃 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 × 𝐺
𝐺𝑉𝑃 = 1 × 1,33 = 1,33𝑘𝑁/𝑚
1,33𝑘𝑁/𝑚
343
c) Carregamento Variável (QVP) em kN/m
O carreamento variável (QVP) em kN/m é obtido multiplicando-se a 
largura de influência (L.inf) pelo carregamento variável (Q) em kN/m² 
calculado no Exercício 2.
𝑄𝑉𝑃 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 × 𝑄
𝑄𝑉𝑃 = 1 × 5,0 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚
5,0 𝑘𝑁/𝑚
344
EXERCICIO 45 –Combinar as ações GVP e QVP atuantes
na Viga Principal da passarela de pedestre indicada no
Exercício 5 (Considerando o ELU).
ELU (Estado limite último, utilizado para verificar se a peça
irá se romper.
345
a) Busca dos coeficientes gg e gq na tabela 3.6 para combinação NORMAL
Resolução:
346
c) Combinação da ações Pd
𝑃𝑑 = 𝛾𝑔𝐺𝑉𝑃 + 𝛾𝑞𝑄𝑉𝑃
Resolução:
𝑃𝑑 = 1,4 × 1,33 + 1,4 × 5,0 = 8,86𝑘𝑁/𝑚
b) Os valores de 𝑮𝑽𝑷 e 𝑸𝑽𝑷 foram obtidos no exercício 44
𝐺𝑉𝑃 = 1,33 𝑘𝑁/𝑚
𝑄𝑉𝑃 = 5,0 kN / m
8,86 𝑘𝑁/𝑚
347
EXERCICIO 45A –Combinar as ações GVP e QVP atuantes
na Viga Principal da passarela de pedestre indicada no
Exercício 5 (Considerando o ELS).
ELS (Estado limite de serviço, utilizado para verificar a
deformação da peça)
348
a) Busco do fator de combinação 𝝍𝟎 na tabela 3.7
Resolução:
349
c) Combinação da ações Pd
𝑃𝑑 = 𝐺𝑉𝑃 + 𝜓0𝑄𝑉𝑃
𝑃𝑑 = 1,33 + 0,4 × 5,0 = 3,33𝑘𝑁/𝑚
b) Os valores de 𝑮𝑽𝑷 e 𝑸𝑽𝑷 foram obtidos no exercício 44
𝐺𝑉𝑃 = 1,33 𝑘𝑁/𝑚
𝑄𝑉𝑃 = 5,0 kN / m
3, 33𝑘𝑁/𝑚
350
EXERCICIO 45B – Calcular o deslocamento imediato
máximo na Viga Principal (20x60) da passarela de pedestre
indicada no Exercício 5.
Dados:
Valor kmod1
Kmod1 = 0,7 – Carga de longa duração e madeira serrada
Valor kmod2
Kmod2 = 0,8 – Classe de umidade 3 e madeira serrada
Valor kmod3
Kmod3 = 0,8 –dicotiledônea 2º categoria e madeira serrada
Cúpiuba (Peroba do Norte)
Ec=13.627MPa
351
Esquema estrutural 
352
Descolamentos imediato elásticos em vigas, CARGA DISTRIBUÍDA (uo) 
353
Módulo de Elasticidade (E)
Nas verificações de segurança, adota-se valor efetivo do módulo de 
elasticidade na direção das fibras Ec,ef calculado como:
𝐸𝑐,𝑒𝑓 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 × 𝑘𝑚𝑜𝑑2 × 𝑘𝑚𝑜𝑑3 × 𝐸𝑐
O valor de Ec, encontra-se disponível nas Tabela A.1.1 e Tabela A.1.2
354
Calculo da Inercia seção RETANGULAR (I)
355
a) Busca do valor do Módulo de Elasticidade (Ec) na Tabela A.1.1
Ec = 13.627MPa = 1.362,7kN/cm²
Resolução:
Nome Comum rap (12%) fc ft ftn fv Ec
(dicotiledôneas) kg/m3 MPa MPa MPa MPa MPa
Cedo Doce 500 31,5 71,4 3,0 5,6 8058
Champagne 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002
Cúpiuba | Peroba do Norte 838 54,4 62,1 3,3 10,4 13627
Eucalipto Alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409
Eucalipto Camaldulesis 899 48,0 78,1 4,6 9,0 13286
Eucalipto Citriodora 999 62 123,6 3,9 10,7 18421
Eucalipto Cloeziana 822 51,8 90,8 4,0 10,5 13963
Eucalipto Dunnii 690 48,9 139,2 6,9 9,8 18029
Eucalito Grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813
Eucalipto Maculata 931 63,5 115,6 4,1 10,6 18099
Eucalipto Maidene 924 48,3 83,7 4,8 10,3 14431
Eucalipto Microcorys 929 54,9 118,6 4,5 10,3 16782
Eucalipto Paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881
Eucalipto Propinqua 952 51,6 89,1 4,7 9,7 15561
Eucalipto Punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360
Eucalipto Saligna 731 46,8 95,5 4 8,2 14933
Eucalipto Tereticornis 899 57,7 115,9 4,6 9,7 17198
Tabela A.1.1 - Valores médios de resistência e módulo de deformação longitudinal, para 
U=12%, de madeira dicotiledoneas nativas e de florestamento (NBR 7190, 1996)
356
b) Cálculo do Módulo de Elasticidade Efetivo (Ec,ef)
𝐸𝑐,𝑒𝑓 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 × 𝑘𝑚𝑜𝑑2 × 𝑘𝑚𝑜𝑑3 × 𝐸𝑐
𝐸𝑐,𝑒𝑓 = 0,7 × 0,8 × 0,8 × 1.362,7 = 610,4kN/cm²
357
c) Cálculoda Inércia (I) da seção RETANGULAR
𝐼 =
𝑏 × ℎ3
12
𝐼 =
20 × 603
12
= 360000𝑐𝑚4
358
d) Cálculo do deslocamento imediato elástico (𝒖𝒐)
𝑢𝑜 =
5
384
𝑃 𝓁4
𝐸𝐼
𝑢𝑜 =
5
384
3,33
100 × 1000
4
610,4 × 360000
= 1,97 𝑐𝑚
Resposta: O deslocamento máximo é igual a 1,97cm
359
EXERCICIO 45C – Calcular o deslocamento diferido no
tempo e verificar se o deslocamento atende ao limite vertical
estabelecido pela NBR 7190.
Descolamentos diferido no tempo (uoo)
uoo = j x uo
A favor da segurança pode-se considerar j = 2 (Tabela 3.17)
Valores limites de deslocamentos verticais.
Segundo norma NBR 7190 para construções correntes, com ações permanentes e 
variáveis em combinação de longa duração o deslocamento máximos para vigas bi-
apoiadas é igual: uadm = L/200. (Tabela 3.18)
360
a) Descolamentos diferido no tempo (uoo)
uoo = j x uo
uoo = 2 x 1,97 =3,94cm
b) Valores limites de deslocamentos verticais (uadm)
uadm = L/200
uadm = 1000/200 = 5,0cm
c) Verificação do deslocamento 
uoo < uadm \ ok!!!!
Resolução:
10
361
I´m back !!!
362
EXERCICIO 46 – Para a Viga Principal da passarela de
pedestre indicada no Exercício 5,
a) Indicar o esquema estrutural 
b) Momento fletor máximo (Md)
c) Modelo de resistência da seção transversal (W)
d) Máxima tensão de flexão (𝝈𝒕𝒅= 𝝈𝒄𝒅)
363
a) Esquema estrutural
Resolução:
364
b) Momento fletor máximo
𝑀𝑑 =
𝑝𝑑 𝐿2
8
𝑀𝑑 =
8,86 × 102
8
= 110,75𝑘𝑁𝑚 = 11075𝑘𝑁𝑐𝑚
365
c) Modelo de resistência da seção transversal (W)
Viga Principal
b = 20cm 
h= 60cm
𝑊 =
𝑏ℎ2
6
𝑊 =
20 × 602
6
= 12000𝑐𝑚³
366
a) Máxima tensão de flexão(𝝈𝒕𝒅= 𝝈𝒄𝒅)
𝝈𝒕𝒅 = 𝝈𝒄𝒅 =
𝑴𝒅
𝑾
𝝈𝒕𝒅 = 𝝈𝒄𝒅 =
𝟏𝟏𝟎𝟕𝟓
𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟗𝟐 𝒌𝑵/𝒄𝒎²
367
EXERCICIO 47 – Para a Viga Principal da passarela de
pedestre indicada no Exercício 5,
a) Cortante máxima (Vd)
b) Máxima tensão de cisalhamento (𝝉𝒅)
368
a) Cortante máxima (Vd)
𝑉𝑑 =
𝑝𝑑 𝐿
2
𝑉𝑑 =
8,86 × 10
2
= 44,3𝑘𝑁
Resolução:
369
b) Máxima tensão de cisalhamento (𝝉𝒅)
τd =
3
2
Vd
bh
τd =
3
2
×
44,3
20 × 60
= 0,06𝑘𝑁/𝑐𝑚²
370
EXERCICIO 48 – Para a Viga Principal da passarela de
pedestre indicada no Exercício 5,
Determinar a tensão resistente de projeto a compressão paralela as fibras 
fcd, a resistência de projeto a tração paralela as fibras ftd e a resistência de 
projeto ao cisalhamento paralelo às fibras fvd sabendo-se que se trata da 
madeira Cúpiuba (Peroba do Norte) e que o local da construção tem 
umidade relativa do ar média igual a 80%.
371
a) Busca do valor kmod1
Kmod1 = 0,7 – Carga de longa duração e madeira serrada
b) Busca do valor kmod2
Kmod2 = 0,8 – Classe de umidade 3 e madeira serrada
c) Busca do valor kmod3
Kmod3 = 0,8 –dicotiledônea 2º categoria e madeira serrada
Resolução:
372
d) Cálculo de kmod
𝑘𝑚𝑜𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 × 𝑘𝑚𝑜𝑑2 × 𝑘𝑚𝑜𝑑3
Kmod = 0,45
e) Busca dos valores médios da resistência fm
Os valores médios de resistência, para U=12% de madeira dicotiledôneas são
retirados da Tabela A.1.1 e para madeira coníferas são retirados da Tabela A.1.2
fc = 54,4 MPa = 5,44 kN/cm²
ft = 62,1 MPa = 6,21 kN/cm²
fv = 10,4 MPa = 1,04 kN/cm²
373
f) Cálculo da resistência característica fk,
Para se calcular a resistência característica fk, utiliza-se a relação fk/fm
conforme Tabela 3.8. Sendo:
fk/fm = 0,7 para compressão paralela às fibras
fk/fm = 0,7 para tração paralela às fibras
fk/fm = 0,54 para cisalhamento paralelo às fibras
fck = 0,7 x 5,44 = 3,81 kN/cm²
ftk = 0,7 x 6,21 = 4,34 kN/cm²
fvk = 0,54 x 1,04 = 0,56 kN/cm²
374
g) Busca do coeficiente gw, 
Os coeficiente gw estão disponíveis na Tabela 3.8. Sendo:
gw = 1,4 para compressão paralela às fibras
gw = 1,8 para tração paralela às fibras
gw = 1,8 para cisalhamento paralelo às fibras
375
h) Cálculo da tensão resistência de projeto fd.
𝑓𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑
𝑓𝑘
𝛾𝑤
fcd = 0,45 x 3,81/1,4 = 1,22 kN/cm²
ftd = 0,45 x 4,34/1,8 = 1,08 kN/cm²
fvd = 0,45 x 0,56/1,8 = 0,14 kN/cm²
376
EXERCICIO 49 – Para a Viga Principal da passarela de
pedestre indicada no Exercício 5, verificar se:
a) Máxima tensão de flexão(𝝈𝒕𝒅= 𝝈𝒄𝒅) < fcd e ftd
b) Máxima tensão de cisalhamento(𝝉𝒅) < fvd
377
a) Máxima tensão de flexão(𝝈𝒕𝒅= 𝝈𝒄𝒅) < fcd e ftd
0,92 kN/cm² < 1,22 kN/cm² e 0,92 kN/cm² < 1,08 kN/cm² ok!!!!!!
b) Máxima tensão de cisalhamento(𝝉𝒅) < fvd
0,06 kN/cm² < 0,14 kN/cm² ok!!!!!
Resolução:
378
EXERCICIO 50 – A tensão resistente à compressão normal
às fibras fcnd é tomada igual a 0,25fcd quando a extensão
da carga “b” medida na direção das fibras é igual ou superior
a 15cm. Para b < 15cm a tensão fcnd é dada pela equação a
seguir, quando a distância “a” ao extremo da peça for maior
que 7,5cm. Calcular a tensão resistente à compressão
normal às fibras fcnd para a peça de madeira nas mesmas
condições do Exercício 48 com extensão da carga igual a
5cm.
𝑓𝑐𝑛𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑑𝛼𝑛
𝑓𝑐𝑛𝑑 = 0,25 × 1,22 × 1,3 = 0,40𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Resolução:
379
Coeficiente an 2,00 1,70 1,55 1,40 1,30 1,15 1,10 1,00
15
Tabela 3.19 Coeficiente gn de acréscimo de tensão resistente de compressão normal às fibras segundo a 
NBR 7190
Extensão da carga na 
direção das fibras (cm)
1 2 3 4 5 7,5 10
380
EXERCICIO 51 – A tensão resistente à compressão fcBd
numa face cuja normal está inclinada do ângulo BETA em
relação à direção das fibras conforme ilustrado é dada pela
fórmula empírica de Hankinson. Calcular a tensão resistente
à compressão em ângulo igual a 30 graus em relação às
fibras para a peça de madeira nas mesmas condições do
Exercício 48
𝑓𝑐𝐵𝑑 =
𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑛𝑑
𝑓𝑐𝑑 𝑠𝑒𝑛
2𝐵 + 𝑓𝑐𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑠
2𝐵
381
Compressão normal as fibras 
𝑓𝑐𝑛𝑑 = 0,25 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑐𝑛𝑑 = 0,25 × 1,22 = 0,31𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Compressão inclinadas as fibras 
𝑓𝑐𝐵𝑑 =
𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑛𝑑
𝑓𝑐𝑑 𝑠𝑒𝑛
2𝐵 + 𝑓𝑐𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑠
2𝐵
𝑓𝑐𝐵𝑑 =
1,22 × 0,31
1,22 × 𝑠𝑒𝑛230 + 0,31 𝑐𝑜𝑠2𝐵
= 0,7 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Resolução:
11