Bioexp _exercício_experimento_fatorial_resolução_passo-a-pas (1)

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Governo do Estado do Rio Grande do Norte
Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE – UERN
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS – FANAT
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS – DECB
Criado pela Resolução do CONSUNI nº 08/97 de 09/12/97 e implantado em 03/01/2000
Fone: (0xx84) 3315-2237 e-mail:decb@uern.br 
DISCIPLINA BIOEXPERIMENTAÇÃO
Exercício de experimento fatorial resolução passo-à-passo
Os dados apresentados abaixo são uma adaptação do exemplo apresentado por Banzato e Kronka 
(1989)
Os dados são valores em cm de altura de plantas de milho de um experimento inteiramente 
casualizado onde pretendia-se testar 3 tipos de sementes (M1, M2 e M3) e dois tipos de adubação 
(com adubação e sem adubação) Montado em um esquema fatorial 3 x 2
Tratamentos
M1 – Milho var 1
M2 – Milho var 2
M3 – Milho var 3
Ad – Com aduabação
SAd – Sem adubação
tratamento I II III IV Totais var Média
M1Ad 78,6 78 75 76,2 307,8 2,7300 76,95
M1SAd 74,4 73,8 80,1 75,6 303,9 8,1225 75,975
M2Ad 77,1 78,9 75,3 79,2 310,5 3,2625 77,625
M2SAd 58,8 63,3 57 55,8 234,9 10,8225 58,725
M3Ad 68,4 58,2 56,4 57,6 240,6 30,8100 60,15
M3SAd 59,4 64,2 68,4 63,9 255,9 13,5225 63,975
1653,6
Resolução passo à passo. 
Verificar a homocedasticidade das variâncias
Teste de Hartley
Verifica-se na tabela de Hartley Tabela 08 página 247 para 5% e 1%, entra-se com o número de 
grupos neste caso 6 grupos = 6 tratamentos e o grau de liberdade de cada grupo, como cada 
tratamento tem 4 repetições o grau de liberdade para cada grupo é = 3
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Hc 5% (6;3) = 62,00
Hc 1% (6;3) = 184,00
= = 11,2857142857 
como Hc < Ht, (Hartley p< 0,01, aceita-se H0 e concluí-se que os dados são homocedásticos
Realizar a análise de variância, e aplicar o teste F
Para a ANOVA precisamos,
Calcular o fator de correção,
Graus de liberdade
Calcular a soma de quadrado total (das parcela)
Calcular a soma de quadrado dos tratamentos
Fator de correção C= 113933,04
SQTotal = = (78,62+...+63,92) – 113933,04 = 1789,14
SQTrat= = ¼(307,82+...+255,92) – 113933,04 = 1581,33
SQRes= diferença = 1789,14- 1581,33 = 207,81
Para o cálculo dos QM, é só dividir as somas de quadrados pelos respectivos GL
Para o cálculo de F, divide-se o QM do tratamento, pelo QM do Resíduo
Para o F calculado 5% e 1%, entra-se na tabela com os valores dos graus de liberdade do numerador (5 GL ; tratamento)
e do denominador (18 GL; resíduo)
Causa Variação GL SQ QM F F 5% F 1%
Tratamento 5 1581,33 316,266 27,39** 2,77 4,24
Resíduo 18 207,81 11,545
Total 23 1789,14
Como Fc > Ft rejeitamos a hipótese nula indicando que os tratamentos tem efeito sobre a altura do 
milho. Devemos proceder o desdobramento dos 5 graus de liberdade dos tratamentos para estudar o 
efeito dos fatores 
Efeito 01 – Variedades de milho – 3 variedades
Efeito 01 – Adubação – 2 adubações
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Construiremos um quadro auxiliar
Adubação Sem adub soma Milho
Milho 1 307,8 (4) 303,9 (4) 611,7 (8)
Milho 2 310,5 (4) 234,9 (4) 545,4 (8)
Milho 3 240,6 (4) 255,9 (4) 496,5 (8)
Soma adub 858,9 (12) 794,7 (12) 1653,6 (24)
média 71,575 cm 66,225 cm 
Os número que estão em vermelho dentro dos parênteses referem-se ao número de parcelas que 
foram somadas para originar o número apresentado na tabela.
E agora realizaremos uma análise de variância desdobrando os 5 graus de liberdade dos tratamentos
nos dois fatores e na interação entre os fatores
Para o GL do fator Variedade de Milho, nós temos 3 variedades, portanto o GL será 3 – 1 =2
Para o GL do fator adubação, nós temos 2 adubação (com e sem adubação), portanto o GL será:
 2 -1 = 1
Para os cálculos das somas de quadrados do Fator milho usaremos as informação do quadro 
auxiliar:
Obs: o fator de correção (C) continua sendo o mesmo, uma vez que estamos trabalhando com todas
as parcelas do experimento.
Os valores internos do quadro auxiliar são a soma de 4 parcelas (repetições do experimento). Desta 
forma, os totais para as variedades de milho e para adubação são de 8 parcelas para milho e 12 
parcelas para adubo
SQmilho=
1
8
∑
i=1
I
T milho
2 −C Para milho usaremos 
1
8
 e para adubo usaremos 
1
12
C=
1653,62
24
 C = 113933,04
SQmilho=
1
8
611,72+545,42+496,52−C = 835,747
SQ Adubo=
1
12
859,92+794,72−C = 171,735
SQ Interação Milho x Adub= SQTratamento – SQMilho - SQAdubo
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Para o cálculo dos QM, é só dividir as somas de quadrados pelos respectivos GL
Para o cálculo de F, divide-se os QM de Milho, de Adubo e da Interação, pelo QM do Resíduo
Para o F calculado 5% e 1%, entra-se na tabela com os valores dos graus de liberdade do numerador (2 GL ; milho, 1 
para Adubo e 2 para interação) e do denominador (18 GL; resíduo)
Causa Variação GL SQ QM F F 5% F 1%
Tratamento 5 1581,33 316,266 27,39** 2,77 4,24
Resíduo 18 207,81 11,545
Total 23 1789,14
Milho 2 835,747 417,873 36,19** 3,55 6,01
Adub 1 171,735 171,735 14,87** 4,41 8,28
Milho x Adub 2 573,847 286,923 24,85** 3,55 6,01
OBS:
Se a interação não tivesse dado significativa poderíamos concluir sobre a adubação da 
seguinte forma:
Como o Fator adubação foi significativo e possui apenas dois tipos de adubação GL=1, poderemos 
concluir que os milhos com adubação possuem altura média de 71,57 cm superior aos milhos sem 
adubação com 66,23 cm
E para o milho concluiríamos aplicando o teste de Tulkey.
Como o Fator milho foi significativo e possui mais de 2 variedades de milho, verificaríamos as 
diferenças através de um teste de Tukey.
Adubação Sem adub soma Milho médias milho
Milho 1 307,8 303,9 611,7 (8) 76,4625
Milho 2 310,5 234,9 545,4 (8) 68,175
Milho 3 240,6 255,9 496,5 (8) 62,0625
Soma adub 858,9 794,7 1653,6
média adubo 71,575 66,225
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dms = q.s(m) s(m) = s/raiz(8) q tabela (3 tratamentos e gl res=18) = 3,61
s(m)= qmr/ raiz(8)
q 3,61
qmr 11,545 sm 4,0817738944
dms= 14,7352037588
Porém como a interação foi significativa precisaremos calcular o desdobramento de milho 
dentro de adubação e adubação dentro de milho.
Adubação Sem adub soma Milho
Milho 1 307,8 (4) 303,9 (4) 611,7 (8)
Milho 2 310,5 (4) 234,9 (4) 545,4 (8)
Milho 3 240,6 (4) 255,9 (4) 496,5 (8)
Soma adub 858,9 (12) 794,7 (12) 1653,6 (24)
média 71,575 cm 66,225 cm 
Como podemos verificar no quadro auxiliar paracada adubação temos 3 variedade se milho, e para 
cada variedade de milho temos 2 tipos de adubação.
Então os graus de liberdade serão os seguintes:
GL de adubação dentro de Milho1 = 2-1 = 1
GL de adubação dentro de Milho2 = 2-1 = 1
GL de adubação dentro de Milho3 = 2-1 = 1
GL de Milho dentro de Adubação1 = 3-1 = 2
GL de Milho dentro de Adubação2 = 3-1 = 2
Soma de Quadrados de Adubação dentro de Milho1
Iremos analisar apenas a linha do quadro auxiliar que recebeu como tratamento Milho1 com e sem 
adubação
Adubação Sem adub soma Milho
Milho 1 307,8 (4) 303,9 (4) 611,7 (8)
Então seguindo a mesma lógica
Neste caso o fator de correção será calculado com a soma de Milho1 C=
611,72
8
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SQ Add . Milho1=
1
4
307,82+303,92−
611,72
8
ou SQ Add . Milho1=
307,82+303,92
4
−
611,72
8
Soma de Quadrados de Adubação dentro de Milho2
Iremos analisar apenas a linha do quadro auxiliar que recebeu como tratamento Milho2 com e sem 
adubação
Adubação Sem adub soma Milho
Milho 2 310,5 (4) 234,9 (4) 545,4 (8)
Então seguindo a mesma lógica
Neste caso o fator de correção será calculado com a soma de Milho2 C=
545,42
8
SQ Add . Milho2=
1
4
310,52+234,92−
545,42
8
 ou SQ Add . Milho2=
310,52+234,92
4
−
545,42
8
Soma de Quadrados de Adubação dentro de Milho3
Iremos analisar apenas a linha do quadro auxiliar que recebeu como tratamento Milho3 com e sem 
adubação
Adubação Sem adub soma Milho
Milho 3 240,6 (4) 255,9 (4) 496,5 (8)
Então seguindo a mesma lógica
Neste caso o fator de correção será calculado com a soma de Milho3 C=
496,52
8
SQ Add . Milho3=
1
4
240,62+255,92−
496,52
8
ou SQ Add . Milho3=
240,62+255,92
4
−
496,52
8
Soma de Quadrados de Milho dentro de Adubação1
Iremos analisar apenas a coluna do quadro auxiliar que recebeu como tratamento Adubação nas 3 
variedade de milho (Milho1, Milho2 e Milho3)
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Adubação
Milho 1 307,8 (4)
Milho 2 310,5 (4)
Milho 3 240,6 (4)
Soma adub 858,9 (12)
média 71,575 cm
Então seguindo a mesma lógica anterior
Neste caso o fator de correção será calculado com a soma de Milho3 C=
858,92
12
SQMilhod .Adub1=
1
4
307,82+310,52+240,62−
858,92
12
ou
 SQMilhod . adub1=
307,82+310,52+240,62
4
−
858,92
12
Soma de Quadrados de Milho dentro de Adubação2 (sem adubação)
Iremos analisar apenas a coluna do quadro auxiliar que recebeu como tratamento sem Adubação nas
3 variedade de milho (Milho1, Milho2 e Milho3) 
Sem adub
Milho 1 303,9 (4)
Milho 2 234,9 (4)
Milho 3 255,9 (4)
Soma adub 794,7 (12)
média 66,225 cm 
Então seguindo a mesma lógica anterior
Neste caso o fator de correção será calculado com a soma de Milho3 C=
794,72
12
SQMilhod .Adub2=
1
4
303,92+234,92+255,92−
794,72
12
¿
 ou
 SQMilhod . adub1=
307,82+310,52+240,62
4
−
858,92
12
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Para o cálculo dos QM, é só dividir as somas de quadrados pelos respectivos GL
Para o cálculo de F, divide-se os respectivos QM Adubo dentro de Milho1, Milho2 e Milho3 como também os QM de 
Milho dentro de Abubação1 e Adubação2 pelo QM do Resíduo.
Para o F calculado 5% e 1%, entra-se na tabela com os valores dos graus de liberdade do numerador (1GL; para 
adubação dentro de milho, e 2 GL para Milho dentro de Adubo) e do denominador (18 GL; resíduo), então na tabela 
entraremos com 1 e 18 para o primeiro e 2 e 18 para o segundo.
Causa Variação GL SQ QM F F 5% F 1%
Tratamento 5 1581,33 316,266 27,39** 2,77 4,25
Resíduo 18 207,81 11,545
Total 23 1789,14
Milho 2 835,747 417,873 36,20** 3,55 6,01
Adub 1 171,735 171,735 14,88** 4,41 8,28
Milho x Adub 2 573,847 286,923 24,85** 3,55 6,01
Adub. Dentro de Milho1 1 15592,605 15592,605 1350,59** 4,41 8,28
Adub. Dentro de Milho2 1 13108,635 13108,635 1135,44** 4,41 8,28
Adub. Dentro de Milho3 1 10300,605 10300,605 892,21** 4,41 8,28
Milho dentro de Adub1 2 784,095 392,048 33,96** 3,55 6,01
Milho dentro de Adub2 2 625,500 312,750 27,09** 3,55 6,01
Conclusão para Adubação dentro das Variedades de milho.
Como o Fc > Ft (p< 0,01 F1;18) rejeita-se H0 e aceita-se H1 e conclue-se que as adubações 
apresentaram resultados diferentes para todas as variedades de milho
Na prática poderemos concluir que a adubação influencia positivamente no crescimento milho para 
as 3 variedades estudadas, teste F (p< 0,01 F1;18).
Conclusão para Milho dentro das adubações.
Como o Fc > Ft (p< 0,01 F1;18) rejeita-se H0 e aceita-se H1 e conclue-se que existe diferença entre as 
variedades de milho tanto na presença quanto na ausência de adubação.
Porém para a conclusão das variedades de milho dentro de cada tipo de adubação iremos aplicar o 
teste de Tukey.
Aplicação do teste de Tukey para Milho dentro de Adubação1
Dispomos as média em ordem crescente ou decrescente, que neste caso colocaremos em ordem 
decrescente
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Adubação
Milho 1 307,8 (4)
Milho 2 310,5 (4)
Milho 3 240,6 (4)
O teste de Tukey baseia-se em contrastar as médias uma a uma e depois comparar o valor de DMS 
que é a Diferença Mínima Significativa para se rejeitar a hipótese nula
Para calcular a DMS utiliza-se a seguinte fórmula:
 onde:
q= valor de tabela (Tabela 04 pg 243). Com os valores da amplitude total estudentizada (q) ao nível 
de 5% de probabilidade
A entrada na tabela se dá por I= número de tratamento (neste caso 3 tratamentos) e n’ = GLResíduo 
(neste caso = 12)
q(3;18; 0,05) = 3,61
S2 = QMResíduo = 11,545
r = número de repetições = 4
DMS=3,61√11,5454 = 6,133
Forma-se os contrastes, calcula-se as estimativas dos contrastes e compara-se com a DMS, caso a 
estimativa do contraste seja inferior a DMS aceita-se H0, se o contraste for igual ou superior a DMS 
rejeita-se H0 e conclue-se que o contraste é significativo portanto as médias são diferentes:
Médias
Tratamento Com Adubação
Milho 2 77,625 a
Milho 1 76,95 a
Milho 3 60,15 b
Y1= m2-m1= 77,625 – 76.95 = 0,675ns
Y2= m2-m3= 77,625 – 60,15 = 17,475*
Y3= m1-m3= 76,95 – 60,15 = 16,80*
Pode-se concluir que as variedades 1 e 2 de Milho apresentam melhores resultados de crescimento 
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em relação a variedade 3 quando recebem adubação (Tukey,p≥0,05)
Para os testes com variedades de milho que não receberam adubação
a dms é a mesma.
Médias
Tratamento Sem adubação
Milho 1 75,975 a
Milho 3 63,975 b
Milho 2 58,725 b
Y4= m1-m3= 75,975 – 63,975 = 12,00*
Y5= m1-m2= 75,975 – 58,725 = 17,25*
Y6= m3-m2= 63,975 – 58,725 = 5,25ns
Pode-se concluir que as variedades 1 Milho apresentam melhores resultados de crescimento em 
relação as variedade 2 e 3 quando não recebem adubação, e que as variedades 2 e 3 não apresentam 
diferenças significativas entre sí (Tukey,p≥0,05) .
Para a apresentação dos resultados colocamos as média seguidas de letras maiúsculas para as 
colunas para a comparação com as variedade de milho, e as letras minúsculas para as linhas para a 
comparação entre tratamentos com adubação e sem adubação, de forma que as médias que 
possuírem letras igual serão consideradas iguais estatisticamente e as que possuem letras diferentes 
serão consideradas diferentes estatísticamente, ao nível de 5% de probababilidade pelo teste de 
Tukey
Tratamentos Com Adubação Sem adubação
Milho 1 76,95 A a 75,975 A b
Milho 2 77,625 A a 58,725 B b
Milho 3 60,15 B b 63,975 B a
Média seguidas de mesma letra maiúscula para colunas e minúscula para linhas não diferem 
estatísticamente entre si (Tykey p>0,05)
Calcular o Coeficiente de Variação
CV=
100. s
m
 onde :
m = média estimada do experimento:
Calculada por; 
G
IJ
 onde: 
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G= soma de todas as parcelas = 1653,6
I= tratamento = 6
J= repetições = 4
m = 1653,6/24 = 68,90
 
s= desvio padrão que é a raiz da variância, como a variância do experimento pode ser o QMResíduo então 
s= √QMRes = √11,545 = 3,39779
CV=
100.3,39779
68,90
 = 4,93 %
O coeficiente de variação para este experimento foi baixo, < 10% denotando boa precisão no experimento.
Bioexperimentação – Prof. Dr. Iron Macêdo Dantas 11 de 11 
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