Livro - Fisica II

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FÍSICA II
Cleverson Alessandro Thoaldo
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C
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Curitiba
2016
Física II
Cleverson Alessandro Thoaldo
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
T449f Thoaldo, Cleverson Alessandro
Física II / Cleverson Alessandro Thoaldo. – Curitiba: Fael, 2016.
232 p.: il.
ISBN 978-85-60531-62-2
1. Física I. Título
CDD 530
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão e Diagramação Editora Coletânea
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem da Capa Shutterstock.com/Feng Yo/Jesus Cervantes
Revisão de diagramação Evelyn Caroline dos Santos Betim
Sumário
 Carta ao Aluno | 5
 Introdução | 7
1. Campo elétrico | 9
2. Lei de Gauss | 33
3. Potencial Elétrico | 53
4. Capacitores | 73
5. Circuito Elétrico | 95
6. Campo Magnético e Forças Magnéticas | 123
7. Indução | 143
8. Corrente alternada | 161
9. Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas | 181
10. Luz e suas propriedades | 201
 Conclusão | 229
 Referências | 231
Prezado(a) aluno(a),
Este material foi elaborado pensando em deixar de forma 
clara e de fácil entendimento os conceitos físicos abordados, com 
textos leves e descontraídos, sem deixar o rigor cientifico que é exi-
gido pela física.
Carta ao Aluno
Os capítulos apresentam um breve histórico da evolução e aplicação da 
teoria que será abordada, mostrando ao aluno a evolução e aplicação da física. 
Após a abordagem dos conteúdos é realizada a fixação da teoria, com exem-
plos resolvidos e aplicações do cotidiano. Ao final de cada capitulo, encontra-
-se um quadro resumo, no qual estão as principais ideias e equações que 
foram apresentadas.
O objetivo desse trabalho é colaborar no processo de ensino-aprendiza-
gem, e mostrar que a física não é uma ciência fria, e representa a própria evo-
lução do homem. Espero cumprir esse papel fornecendo ao aluno o conheci-
mento e, quem sabe, o gosto por estudar e entender a física.
As crianças, em geral, apresentam certa curiosidade sobre os 
acontecimentos que as cercam e fazem muitas perguntas às pessoas 
mais velhas. Essa curiosidade não tem limite, e a imaginação toma 
asas. Muitas vezes, responder perguntas para essas mentes curiosas 
não é uma tarefa simples e, dependendo da pergunta, a resposta é 
muito complexa.
Introdução
– 8 –
Física II
Por que as coisas caem? Por que a luz acende? Por que as estrelas apare-
cem de noite? Por quê...?
A curiosidade que move essas crianças é mesma curiosidade que levou 
os homens a responder a questões sobre a natureza, buscando explicações 
para fenômenos intrigantes. E nessa corrida para saciar a sede de curiosidade 
dos homens a Física foi se desenvolvendo, tomando forma a cada ano, a cada 
década, a cada século, e se tornando uma ciência importantíssima para o 
desenvolvimento da humanidade.
As teorias evoluíram, determinado conhecimento foi superado por outro 
e ideias antigas deram lugar para novas. Essa construção é crescente e nos leva 
a um nível inimaginável.
Entender Física é entender o mundo que nos cerca, avaliar a direção em 
que estamos caminhando e o quão longe podemos chegar no mundo das ideias.
Diz o ditado popular: “Um raio não cai duas vezes no mesmo 
lugar”. Parte desse conhecimento é construído com base em obser-
vação, mas não é verdade que raios não caem nunca duas vezes 
no mesmo lugar. Aliás, eles podem cair até mais de duas vezes no 
mesmo lugar.
Campo elétrico
1
– 10 –
Física II
O estudo sobre os conceitos de campo elétrico e força elétrica permite 
entender a natureza dos raios, da eletricidade e das outras forças envolvidas. 
Neste capítulo, apresenta-se o estudo da eletricidade com a eletrostática, as 
cargas elétricas em repouso, os condutores e os isolantes, a lei de Coulomb, o 
campo elétrico e as linhas de campo.
Nos dias atuais, há uma dependência extrema da eletricidade e, conse-
quentemente, dos aparelhos eletrônicos. É impossível imaginar nossa vida 
sem eles e considerar o tempo em que as casas não tinham luz elétrica nem 
televisão ou chuveiro elétrico para tomar um banho bem quentinho.
Dentro da cronologia histórica, esse conforto existe há menos de um 
século. As ideias de eletricidade, com o surgimento das primeiras lâmpadas, 
começaram a se desenvolver e ser aplicadas há pouco mais de um século.
1.1 Carga elétrica
A matéria é formada, em sua estrutura, por átomos. O átomo é consti-
tuído por um núcleo, formado por prótons e nêutrons, e, orbitando em volta 
desse núcleo estão os elétrons. Os átomos presentes na natureza são consi-
derados eletricamente neutros, ou seja, têm a mesma quantidade de prótons 
e elétrons. Pode-se imaginar que existe um equilíbrio entre essas partículas. 
Na figura 1.1, mostra-se a ideia de um átomo que contém quatro prótons e 
quatro elétrons em um modelo atômico simples.
Figura 1.1 – Representação de um átomo em equilíbrio elétrico
– 11 –
Campo elétrico
Quando um átomo, por algum motivo, perde ou ganha um elétron, 
o sistema fica em desequilíbrio. Se isso acontece, diz-se que o átomo ficou 
carregado eletricamente. Nessa situação, o que define a carga elétrica de um 
átomo são os elétrons perdidos ou ganhos nos processos.
A carga elétrica de um elétron ou de um próton são iguais em módulo. 
A carga elétrica do próton é e, já a carga elétrica do elétron é ‒e. O ele-
mento e é chamado de unidade fundamental de carga, medida em cou-
lombs, e seu valor é:
 − −⋅ ≈ ⋅19 191,602177 10 1,6 10e = C (1)
 
−− ⋅ 191,6 10e = C
 
−⋅ 19=+1,6 10P C
Então, para saber a carga elétrica de um corpo deve-se saber quantos 
elétrons esse corpo perdeu ou ganhou e multiplicar por e.
Matematicamente, a equação para a determinação da carga elétrica é 
definida por:
 Q N e= ± ⋅ (2)
onde Q é a carga elétrica e N é o número de elétrons perdidos e ganhos. 
A unidade de carga elétrica é, portanto, o coulomb (C). A determinação do 
sinal positivo ou negativo para a carga elétrica depende se o corpo apresenta 
mais ou menos elétrons do que prótons ao final do processo de eletrização. Se 
tiver mais elétrons do que prótons, a carga será negativa; se tiver mais prótons 
do que elétrons, a carga será positiva.
Exemplo 1.1
Um corpo eletricamente neutro perde elétrons em um processo. Deter-
mine a carga elétrica desse corpo.
Solução
Aplicando a equação (2) e considerando a carga elementar e, tem-se:
⋅Q =±N e
– 12 –
Física II
−⋅ ⋅ ⋅12 193 10 1,6 10Q =± C
−⋅ 74,8 10Q =± C
Como o corpo estava neutro e perdeu elétrons, prevalece a carga positiva dos 
prótons. Logo, a carga desse corpo é:
−⋅ 74,8 10Q = C
Exemplo 1.2
Um pente de plástico é friccionado em um pedaço de lã e fica carregado 
com uma carga elétrica igual a -10 µC. Quantos elétrons foram transfe-
ridos nesse processo?
Solução
Pode-se omitir o sinal negativo da carga elétrica na expressão e usar o valor da 
carga elétrica em módulo na equação (2), pois o sinal negativo representa somente 
a falta de elétrons ou o excesso de elétrons. Aplicando a equação (2) tem-se:
⋅Q =±N e
− −⋅ ⋅ ⋅6 1910 10 1,6 10= N
−
−
⋅
⋅
6
19
10 10
1,6 10
N =
⋅ 136,25 10N = elétrons
A carga elétrica de 1 C é considerada uma carga elétrica alta. Então 
costuma-se utilizar submúltiplos de coulomb, como milicoulomb (mC=10-3) 
e microcoulomb (µC=10-6).
1.2 Condutores e isolantes
Os fios elétricos são normalmente feitos de um tipo de metal. Quando 
estão desencapados, podem dar choques em quem tocá-los, pelo fato de 
serem condutores de eletricidade.
– 13 –
Campo elétrico
Outros materiais de substâncias diferentes possuem estrutura atômica 
diversa, variando também as forças atômicas de interação dessas partículas. 
Nos metais, por exemplo, que são ótimos condutores, os elétrons que estão 
nas órbitas mais externas do átomo possuemuma força de atração com o 
núcleo que é fraca o suficiente para que se tornem livres.
Esses elétrons podem movimentar-se no interior de um corpo, passando 
de um átomo para outro, por isso são chamados de elétrons livres. Eles têm 
grande facilidade de movimento, que os torna bons condutores. Os corpos 
condutores, então, são aqueles em que os elétrons livres têm facilidade de 
movimento no interior, permitindo a formação de corrente elétrica.
De maneira contrária, os corpos que são considerados isolantes são 
aqueles em que os elétrons estão mais fortemente ligados ao núcleo e não 
podem movimentar-se facilmente no interior do corpo. Os isolantes são 
corpos que não possuem elétrons livres em quantidade suficiente para con-
duzir eletricidade.
Condutores são materiais em que os elétrons 
livres se movem com facilidade, e isolantes 
são aqueles em que os elétrons não podem 
movimentar-se facilmente no interior do corpo.
São exemplos de materiais condutores: metais (ferro, cobre, alumínio), 
grafite, soluções aquosas (ácidos, sulfato de cobre), água (da torneira, salgada, 
ionizada) e ar úmido. São exemplos de materiais não condutores: borracha, 
madeira, cortiça, vidro, plástico, água não ionizada, ar seco.
1.3 Processos de eletrização
Esses processos de eletrização são maneiras de se deixar um corpo carre-
gado positiva ou negativamente. No dia a dia, realizamos vários desses pro-
cessos sem nem percebermos: ao retirar uma blusa de lã, ao andar de carro ou 
pentear os cabelos.
– 14 –
Física II
Os processos de eletrização são:
 2 Eletrização por atrito
Quando dois corpos de materiais diferentes sofrem atrito entre si, 
pode ocorrer a passagem de elétrons de um corpo para outro. Por 
exemplo, se esfregarmos um bastão de plástico em um pedaço de 
lã, ambos inicialmente neutros, observaremos que passam a mani-
festar propriedades elétricas. Nesse caso, os elétrons são transferidos 
da lã para o bastão de plástico.
É importante observar que, nesse processo, os dois corpos ficam 
carregados com cargas iguais em módulo, mas com sinal contrário, 
como mostrado na Figura 1.2.
Figura 1.2 – Processo de eletrização por atrito
 2 Eletrização por contato
Colocam-se dois corpos condutores em contato. Considerando que 
um deles está eletrizado e o outro está neutro, pode ocorrer a passa-
gem de elétrons de um corpo para outro, tornando assim eletrizado 
o corpo que estava inicialmente neutro.
Nesse processo, os corpos ficam carregados com cargas de mesmo 
sinal. Fazendo a soma das cargas elétricas dos corpos antes e depois 
do processo de eletrização por contato, o resultado algébrico para a 
carga total tem de ser o mesmo, se o sistema for isolado.
 2 Eletrização por indução
Na eletrização por indução, não há atrito nem contato entre os cor-
pos. O processo ocorre pela aproximação entre um corpo eletrizado 
e um corpo neutro. Considere-se, por exemplo, um condutor neu-
– 15 –
Campo elétrico
tro e um corpo carregado negativamente. Ao aproximar os corpos, 
os elétrons livres do corpo neutro tendem a se afastar do corpo que 
está carregado negativamente, como mostra a Figura 1.3, como se 
houvesse uma separação interna das cargas nesse corpo.
Figura 1.3 – Eletrização por indução
Nesse processo, ocorre apenas uma separação entre algumas cargas 
positivas e negativas do corpo. Fazendo uma ligação do corpo em 
que houve a separação de cargas à terra, os elétrons livres passam 
para a terra, a fim de reestabelecer o equilíbrio eletrostático do sis-
tema.
Figura 1.4 – Corpo eletrizado por aterramento
Após desfazer o aterramento, o corpo fica carregado positivamente.
Exemplo 1.3
Considere três corpos metálicos idênticos e isolados um do outro. Os 
corpos A e B estão neutros e o corpo C contém uma carga elétrica Q=-8 
µC. Realizando o processo de eletrização por contato, faz-se o corpo C 
tocar o corpo A e depois o corpo B. Ao final do procedimento, qual será 
a carga elétrica dos corpos A, B e C, respectivamente?
– 16 –
Física II
Solução
As cargas dos corpos são:
QA=0 C, QB=0 C e QC=-8 µC
Como os corpos são idênticos em forma e dimensão, após o contato dos corpos 
A e C, os corpos ficam eletrizados com novas cargas QA e QC, tal que sejam 
iguais e tenham soma algébrica igual à carga total inicial do processo:
µ µ+ − −
11
0 ( 8 ) 4
2 2C
A C
A
Q +Q
Q =Q = = = C
Então, o corpo A e o corpo C ficam com a mesma carga elétrica de -4 µC.
Seguindo o mesmo raciocínio, para o contato do corpo A com o corpo B, 
tem-se:
µ µ
+ + −
−
1
1 11
0 ( 4 ) 2
2 2
B C
B C
Q Q
Q =Q = = = C
Assim, o corpo C perde elétrons duas vezes nos dois processos e, ao final deles, 
os corpos ficam carregados:
µ−1 4AQ C , 
µ−1 2BQ C e 
µ−11 2CQ = C
Exemplo 1.4
Uma esfera A, de carga elétrica Q=8 µC, é colocada em contato com 
uma esfera idêntica B, inicialmente neutra. Após serem afastadas, a carga 
elétrica da esfera B passa a ser igual a Q=5 µC. Determine a nova carga 
da esfera A.
Solução
Fazendo o balanço antes e depois do contato, a soma das cargas tem de ter o 
mesmo resultado. Assim, determina-se que, antes do contato:
QA + QB = 8 μC + 0 C = 8 μC
E, após o contato, o resultado continua o mesmo, logo:
µ1 1 8A BQ +Q = C
– 17 –
Campo elétrico
QAt + 5 μC = 8 μC
QAt = 8 μC – 5 μC = 3 μC
A carga elétrica da esfera A após o contato é de 3 μC.
1.4 Lei de Coulomb
Entre os corpos que estão eletrizados, e até mesmo entre as partículas 
menores, elétrons e prótons, existe a presença de uma força de atração ou de 
repulsão. A lei de Coulomb diz respeito a essa força.
Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), utilizando uma balança 
de torção, percebeu que, em certas distâncias fixas, a força de interação entre 
corpos carregados eletricamente dependia da intensidade das cargas elétricas. 
Quanto maior fosse a carga elétrica, maior seria a força de interação entre os 
corpos. E, à medida que aumentava a distância entre esses corpos carregados, 
a força de interação entre eles diminuía. Então, após observações, Coulomb 
enunciou a seguinte conclusão:
A intensidade das forças elétricas entre dois corpos 
carregados eletricamente é diretamente proporcional 
ao produto dessas cargas e inversamente proporcional 
ao quadrado da distância que as separa.
Matematicamente, a expressão para o módulo dessa força é:
 ⋅⋅ 1 22
Q Q
F = k
d
 (3)
onde k é a constante de Coulomb, determinada experimentalmente, cujo 
valor aproximado é:
 ⋅ ⋅9 2 28,99 10 /k = N m C (4)
Deve-se levar em consideração que essas forças elétricas podem ser escri-
tas na forma vetorial. Assim, quando as partículas carregadas estiverem no 
– 18 –
Física II
espaço, deve-se usar as teorias da geometria analítica e do cálculo diferencial 
e do integral para realizar as operações.
Exemplo 1.5
Um átomo de hidrogênio possui em sua composição atômica apenas um 
próton e um elétron. Qual é a força elétrica exercida entre eles, supondo 
que a distância que os separa seja de −⋅ 115,3 10 m ?
Solução
Aplicando na equação (3) os dados fornecidos, considerando que a carga do 
próton e do elétron tem o mesmo valor em módulo, tem-se:
⋅
⋅ 1 22
Q Q
F = k
d
( )
19 19
9 8
211
1,6 10 1,6 108,99 10 8,19 10
5,3 10
F N N
− −
−
−
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ≈ ⋅
⋅
Exemplo 1.6
Determine a distância entre as cargas pontuais, −⋅ 191 2 1,6 10|Q |=|Q |= C  , 
sendo fixas, para que a força elétrica entre elas seja igual a 1 N.
Solução
Aplicando a equação (3) em função da distância d:
⋅
⋅ 1 22
Q Q
F = k
d
− −⋅ ⋅ ⋅
⋅
19 19
9 2
2
1,6 10 1,6 108,99 101 N = Nm
d
− −⋅ ⋅ ⋅
⋅
19 19
2 9 21,6 10 1,6 108,99 10
1
d = m
−⋅2 29 223 0144 10d = , m
– 19 –
Campo elétrico
−⋅ 2923 0144 10d = , m
−⋅ 141,517 10d = m
Quando se tem mais de duas partículas carregadas, cada partícula exerce 
sobre as demais cargas uma força que pode ser calculada usando a equação 
(3), e a força resultante que é aplicada sobre uma partícula é a soma vetorial 
das forças exercidas em cada uma delas por todas as outras, como mostrado 
na figura 1.5.
Figura 1.5 – Forças elétricasaplicadas em uma partícula carregada
Esse caso é chamado de sistema de cargas, no qual as forças 
��
1F , 
��
2F , 
��
3F 
e 
��
4F , na figura 1.5, estão sendo aplicadas na partícula de carga Q. A força 
resultante nessa partícula é determinada por = + + + = ∑
��� ��� ��� ��� ��� ��
1 2 3 4RF F F F F F .
Também deve-se levar em consideração que cargas carregadas podem ser 
positivas ou negativas. A força entre elas pode ser uma força de atração ou de 
repulsão, dependendo dos sinais dessas cargas. Na figura 1.6 estão representa-
dos os modos de interação entre as cargas elétricas.
Figura 1.6 – Forças de atrações entre cargas elétricas
– 20 –
Física II
Esses pares de forças são iguais, porém com sentidos contrários. Se as 
cargas têm o mesmo sinal, a força entre elas é uma força contrária de repul-
são; se as cargas têm sinais diferentes, a força entre elas é uma força contrária 
de atração.
Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas 
de sinais contrários se atraem.
Exemplo 1.7
Duas cargas, Q1=4 µC e Q2=-2 µC, estão fixas e separadas por uma dis-
tância de 2 m, sendo que a carga Q2 está à direita da carga Q1. Uma ter-
ceira carga, Q3=2 µC, é colocada no ponto médio entre Q1 e Q2. Deter-
mine a força resultante sobre a carga Q3. Adote ⋅ ⋅
9 2 29 10 /k = N m C .
Solução
A força resultante sobre a carga Q3 é a soma das forças F13, que é a força 
elétrica que a carga Q1 faz em Q3, e F23, que é a força elétrica que a carga 
Q2 faz em Q3. Sendo a carga Q1 positiva e a carga Q3 positiva, a força entre 
elas é de repulsão. Logo, a força F13 em Q3 está para a direita, sendo assim 
uma força positiva. A carga Q2 é negativa, então a força F23 entre Q3 e Q2 
é uma força de atração. Logo, a força em Q3 está para a direita também. 
Determinando as forças individuais separadamente:
Considerando que a partícula de carga Q1 está na origem das posições em 
um eixo x, então os vetores 
���
13F e 
����
23F são:
– 21 –
Campo elétrico
6 6
91 3
13 13 132 2
3
4 10 2 109 10
1
72 10
Q Q
F k i F i F
d
i N
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ → =
= ⋅ ⋅
��� � ��� � ���
�
6 6
92 3
23 23 232 2
3
2 10 2 109 10
1
36 10
Q Q
F k i F i F
d
i N
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ → =
= ⋅ ⋅
���� � ���� � ����
�
Assim, a somatória das forças sobre a carga Q3 é:
3 3 3
13 233 72 10 36 10 108 10
0,108
RQF F F F i i i
i N
− − −= = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅
∑
����� �� �� �� � � �
�
Exemplo 1.8
Considere três cargas fixas, Q1=-5 nC, Q2=6 nC e Q3=-2 nC, conforme 
a figura. Determine a intensidade da força resultante sobre a carga Q2. 
Adote ⋅ ⋅9 2 29 10 /k = N m C .
Solução
A força F21 entre as cargas Q1 e Q2 é uma força de atração, e a força F23 entre 
as cargas Q2 e Q3 também é uma força de atração.
Então o diagrama de forças sobre a carga Q2 fica:
– 22 –
Física II
Calculando as forças F21 e F23, tem-se:
9 9
92 1
21 21 212 2
4
6 10 5 109 10
(0,04)
1,68750 10
Q Q
F k j F j F
d
j N
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ → =
= ⋅ ⋅
��� � ��� � ���
�
9 9
92 3
23 23 232 2
4
6 10 2 109 10
(0,03)
1,2 10
Q Q
F k i F i F
d
i N
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ → =
= ⋅ ⋅
���� � ���� � ����
�
A força resultante é um vetor no espaço definido por duas coordenadas:
− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑
����� �� ��� ���� � �
4 4
2 21 23 1,68750 10 1,2 10RQF = F = F + F jN + i N
− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
����� � �
4 4
3 1,2 10 1,68750 10RQF = i N + jN
A intensidade da força resultante é determinada aplicando-se o conceito de 
módulo de um vetor, logo:
2 2
x y| F ||= F + F
( ) ( )− − −= ⋅ + ⋅ = ⋅
��� 2 24 4 41,2 10 1,68750 10 2,07 10RF N
– 23 –
Campo elétrico
1.5 Campo elétrico
O conceito de campo elétrico pode ser imaginando por meio de uma 
carga carregada eletricamente perturbando uma região no espaço e afetando 
outras cargas que estejam nessa região. Como analogia, pode-se citar a ação 
gravitacional, que é um exemplo de campo, embora de natureza diferente do 
elétrico, sendo os corpos afetados pela força gravitacional em determinada 
região nas proximidades da Terra.
O campo elétrico em uma região do espaço existe quando uma carga 
elétrica é colocada em qualquer ponto dessa região e fica sujeita a uma força 
elétrica. Faz todo o sentido pensar que se colocarmos uma carga elétrica em 
um ponto no espaço e uma força aparecer atuando nessa carga é porque nesse 
ponto a carga “sentiu” a presença de outra carga.
A carga que sofre o efeito de outra é chamada de carga de prova q0, e 
com ela verifica-se a existência ou não do campo elétrico. A carga geradora 
do campo elétrico é uma carga Q. Dessa forma, é possível relacionar três 
grandezas físicas: a carga Q geradora do campo elétrico, a carga q0, que sofre a 
ação do campo, e a força que atua entre essas duas cargas. Então, quando uma 
carga de prova é colocada no espaço e sofre a ação de uma força 
��
F , a razão 
entre a força e a carga de prova é igual ao módulo do campo elétrico, ficando:
 
=
��
��
0
F
E
q (5)
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de força é Newton 
(N); e a unidade de carga, Coulomb (C). Assim, a unidade do campo elétrico 
é N/C.
Figura 1.7 – Vetor campo elétrico em um ponto no espaço
– 24 –
Física II
Como qualquer outro vetor, o campo elétrico exige que se conheça o 
módulo, a direção e o sentido. O campo elétrico em um ponto tem a direção 
da força que atua nesse ponto e o mesmo sentido da força que atua sobre a 
carga de prova, se esta for positiva. Se a carga de prova for negativa, o sentido 
é contrário ao da força elétrica.
Figura 1.8 – Direção e sentido do campo elétrico
Exemplo 1.9
Considere uma carga pontual q=3 µC, que está sujeita, quando colo-
cada em um ponto A, a uma força de intensidade F=6 µN, de direção 
horizontal e sentido da direita para a esquerda. Determine o módulo, a 
direção e o sentido do campo elétrico no ponto A.
Solução
A força está no sentido da direita para a esquerda e a carga de prova é posi-
tiva:
Então a direção do campo elétrico é horizontal e o sentido é também da 
direita para a esquerda.
O módulo do campo elétrico é dado pela equação (5):
−
−
⋅
= → = → = → =
⋅
��
�� 6
6
0 0
6 10 2 /
3 10
F F N
E E E E N C
q q C
– 25 –
Campo elétrico
Exemplo 1.10
Em determinado ponto P, há um campo elétrico de intensidade 
= ⋅ 56 10 /E N C , de direção horizontal e sentido da esquerda para a 
direita. Determine o módulo, a direção e o sentido da força elétrica que 
atua em uma carga q=-3 µC.
Solução
O campo elétrico está no sentido da esquerda para a direita e a carga de 
prova é negativa:
Então, a direção da força elétrica é horizontal, que é a mesma direção do 
campo elétrico, e o sentido é da direita para a esquerda, pois, como a carga 
de prova é negativa, será atraída por uma carga positiva, que é a carga 
geradora do campo elétrico, e, de acordo com o enunciado, está à direita 
do ponto P.
O módulo da força elétrica é dado pela equação (5):
5
6
0 0
5 6
6 10
3 10
6 10 3 10 1,8
F F F
E E F
q q
F N
−
−
= → = → ⋅ = → =
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ → =
��
��
Nesses exemplos, o sentido do campo elétrico foi determinado pela regra 
apresentada na figura 1.8. Mas pode-se analisar de uma forma mais simples.
É definido que o vetor campo elétrico sempre sai de uma carga positiva 
para entrar em uma carga negativa, ou seja, o sentido do vetor é da carga 
positiva para a carga negativa. Lembrando que o campo elétrico resultante e 
a força atuante sobre a carga de prova terão a mesma direção, mas o sentido 
desse campo elétrico será o mesmo que a força atuante sobre a carga de prova, 
se ela for positiva, ou terá sentido contrário à força atuante sobre a carga de 
prova, se ela for negativa.
– 26 –
Física II
Figura 1.9 – Sentido do vetor campo elétrico
O vetor campo elétrico sempre sai de uma carga 
positiva para entrar em uma carga negativa
Também deve-se levar em conta que o campo elétrico é um vetor, e 
assim aplicar as operações vetoriais, quando necessário. Se um sistema de car-
gas puntiformes está nas proximidades de um ponto P, então todas essas car-gas influenciarão uma carga de prova que passe pelo ponto P, determinando-
-se um campo elétrico resultante.
O campo elétrico resultante em um ponto P, criado por um sis-
tema de carga, é a soma de todos os vetores campos elétricos, tal que, 
= + + + = Σ
��� ��� ��� ��� ��� ��
1 2 3 4 ...RE E E E E E .
Figura 1.10 – Campo elétrico devido a um sistema de cargas puntiformes
Calculam-se separadamente os campos elétricos gerados pelas cargas elé-
tricas no ponto P e somam-se os vetores.
O campo elétrico, existente no ponto P, devido a uma única carga, pode 
ser calculado pela lei de Coulomb. Considerando uma carga de prova q0 em 
um ponto P no espaço a uma distância d da carga Q geradora do campo elé-
trico, pela lei de Coulomb, a força atuante sobre ela é dada pela equação (3):
⋅
⋅ 0 2
q Q
F = k
d
– 27 –
Campo elétrico
Sendo a definição de campo elétrico dada pela equação (5):
0
F
E =
q
Segue que, substituindo (3) em (5), obtém-se o campo elétrico no ponto 
P devido à carga Q:
 ⋅ 2
Q
E = k
d
 (6)
A equação (6) é uma maneira de se determinar o campo elétrico sem a 
presença da carga de prova, conhecendo-se apenas a carga geradora do campo 
e a distância até o ponto P. O campo elétrico existe no ponto P independen-
temente de a carga de prova estar lá ou não.
Exemplo 1.11
Considerando um eixo x com duas cargas elétricas, Q1=+4 µC e Q2=+6 
µC, nas coordenadas x=0 e x=4 m, respectivamente, determine o campo 
elétrico resultante no ponto P sobre o eixo x em x=6 m.
Solução
Considerando o eixo x e as duas cargas positivas, os campos elétricos 
���
1E e ���
2E estão no sentido da esquerda para a direita no ponto P:
Determinando o módulo do campo elétrico 
���
1E e 
���
2E , tem-se:
−⋅ ⋅
= ⋅ → = ⋅ ⋅ →
2 6
91
1 1 12 2 2 2
1
4 109 10 1000 /
6
Q N m
E k E E = N C
d C m
−⋅⋅
= ⋅ → = ⋅ ⋅ → =
62
92
2 2 22 2 2 2
2
6 10
9 10 13500 /
2
CQ N m
E k E E N C
d C m
– 28 –
Física II
A somatória dos vetores campos elétricos será a soma algébrica dos campos 
elétricos E1 e E2, pois têm a mesma direção e o mesmo sentido. Logo, o campo 
elétrico resultante é:
ER=E1+E2
ER =1000+13500 N/C
ER =14500 N/C
1.6 Linhas de campo
No século XIX, Michael Faraday (1791-1867) imaginou o espaço em 
volta de um corpo carregado eletricamente sendo preenchido por linhas de 
força. Atualmente, essas linhas são chamadas de linhas de campo elétrico e 
ajudam na visualização dos campos elétricos. Como mencionado anterior-
mente, os vetores campos elétricos, em todos os pontos próximos de uma 
carga carregada negativamente, estão orientados para dentro da carga elétrica, 
como mostrado na figura 1.11.
Figura 1.11 – Campo elétrico em torno de uma carga negativa
Se a carga elétrica da partícula carregada for positiva, os vetores campos 
elétricos, em todos os pontos próximos desse corpo carregado, estarão orien-
tados para fora da carga elétrica, como mostrado na figura 1.12.
Figura 1.12 – Campo elétrico em torno de uma carga positiva
– 29 –
Campo elétrico
As linhas de campo para duas cargas iguais em módulo, mas de sinais 
contrários, são mostradas na figura 1.13. Já na figura 1.14, as duas cargas são 
de mesmo sinal. Em ambos os casos, verifica-se uma simetria em torno de um 
eixo que passa pelas duas cargas.
Figura 1.13 – Campo elétrico em torno de duas cargas de sinais contrários
Figura 1.14 – Campo elétrico em torno de duas cargas de mesmo sinal
Na figura 1.14, observa-se o comportamento das linhas de campo para 
duas cargas iguais. Como o campo elétrico sai de uma carga positiva e entra 
em uma carga negativa, nesse caso elas não se cruzam, pois as cargas se repe-
lem e esses campos elétricos devem terminar em alguma carga negativa.
– 30 –
Física II
Síntese
Carga 
elétrica
−≈ ⋅ 191,6 10e C
⋅Q =±N e
Unidade fundamental de carga, medida 
em coulombs.
Quantização da carga elétrica de um 
corpo.
Condutores 
e isolantes
Condutores são os materiais em que os 
elétrons livres se movem com facilidade; 
isolantes são aqueles em que os elétrons 
não se movem com facilidade no interior 
do corpo.
Processos 
de 
eletrização
Por atrito
Por contato
Por indução
Os dois corpos ficam carregados com 
cargas iguais em módulo, mas com sinal 
contrário.
Os corpos ficam carregados com cargas 
de mesmo sinal. A soma das cargas elétri-
cas dos corpos antes e depois do processo 
de eletrização por contato têm o mesmo 
resultado algébrico para a carga total.
Os corpos ficam carregados com cargas 
de sinal contrário.
Lei de 
Coulomb
⋅
⋅ 1 22
Q Q
F = k
d
⋅ ⋅9 2 28,99 10 /k = N m C
A intensidade das forças elétricas entre 
dois corpos carregados eletricamente tem 
dependência do produto das cargas e da 
distância que as separa.
Constante de Coulomb
Cargas elétricas que possuem o mesmo 
sinal se repelem e cargas elétricas que 
possuem sinais contrários se atraem.
– 31 –
Campo elétrico
Campo 
elétrico
=
��
��
0
F
E
q
⋅ 2
Q
E = k
d
O campo elétrico em uma região do 
espaço existe quando uma carga elétrica 
é colocada em qualquer ponto dessa 
região e fica sujeita a uma força elétrica.
O vetor campo elétrico sempre sai de uma 
carga positiva para entrar em uma carga 
negativa.
A intensidade do campo elétrico no ponto 
P devido à carga geradora Q sem a pre-
sença da carga de prova.
Linhas de 
campo
São linhas imaginárias que preenchem o 
espaço em volta de um corpo carregado 
eletricamente e que auxiliam na visuali-
zação dos campos elétricos.
Neste capítulo, será apresentada outra alternativa para o 
cálculo do campo eletrostático: a chamada de lei de Gauss. A lei de 
Coulomb é a lei básica da eletrostática, mas, no que diz respeito a 
problemas que envolvem simetria, ela não está expressa no sentido 
de facilitar ou simplificar algumas situações.
Lei de Gauss
2
– 34 –
Física II
Conceitualmente, a lei de Gauss provém da lei de Coulomb, sendo uma 
reelaboração desta a partir da ideia de fluxo de campo elétrico. Dá-se prefe-
rência à lei de Gauss para problemas que tratam de simetria, pois, além da 
facilidade com que é apresentada, pode, devido a sua simplicidade, evidenciar 
mais claramente certos fenômenos.
A lei de Gauss também é conhecida como uma das equações de Maxwell, 
que são as equações fundamentais do eletromagnetismo.
Numa chapa metálica carregada eletricamente, por exemplo, os campos 
elétricos podem ser determinados pela lei de Coulomb, por meio de integra-
ção, o que muitas vezes, não é algo tão simples. Já com a utilização da Lei de 
Gauss, podem ser facilmente calculados.
2.1 Superfície gaussiana
Imagine uma superfície na forma de lençol ou um pedaço de pano. Essa 
superfície pode ser aberta ou fechada. Se cobrirmos por inteiro um objeto 
com o lençol, sem deixar espaços para ver no interior, teremos determinado 
uma superfície fechada em torno do objeto, na qual teremos uma região 
interna e uma região externa. A figura 2.1 mostra um objeto revestido por 
uma superfície fechada, contido na parte interna dessa superfície.
Figura 2.1 – Um objeto envolvido por uma superfície fechada
A superfície que envolve o objeto tem forma arbitrária. A superfície 
gaussiana também tem uma forma arbitrária, porém, é conveniente escolher 
uma superfície adequada à simetria do problema. Então a superfície gaussiana 
é uma superfície imaginária, que envolve um objeto carregado eletricamente 
ou uma partícula carregada, e não tem uma forma definida.
– 35 –
Lei de Gauss
A superfície gaussiana é uma superfície 
imaginária, que envolve um elemento carregado 
eletricamente e não tem forma definida.
Com o auxílio da superfície gaussiana, observa-se o comportamento 
dos campos elétricos que atravessam a superfície, entrando ou saindo do 
interior dela.
Figura 2.2 – Superfície gaussiana envolvendo duas partículas carregadas 
eletricamente
Na figura 2.2 é mostrado um sistema chamado de dipolo elétrico, cons-
tituído de duas cargas elétricas, sendo uma positiva e outra negativa. Pode-se 
observar que a quantidade de linhas atravessando a superfície de dentropara 
fora é igual à quantidade de linhas que atravessam a superfície de fora para 
dentro, ou seja, a quantidade de linhas que saem da superfície é a mesma 
quantidade das que entram na superfície.
Usando a lei de Coulomb, equação (6), pode-se escrever o campo elé-
trico criado por uma carga elétrica puntiforme:
⋅ 2
Q
E = k
d
onde tem-se a constante ⋅ ⋅9 2 28,99 10 /k = N m C . Também pode-se escrever 
a constante de Coulomb utilizando outra notação, que para o conceito da lei 
de Gauss se torna mais apropriada, definida como:
– 36 –
Física II
 0
1
4
k
πε
=
 (7)
A grandeza ε0 é chamada de constante de permissividade. Seu valor é:
 ε
−≈ ⋅ ⋅12 2 20 8,85 10 /C N m (8)
A lei de Gauss fornece outra maneira para a determinação do campo 
elétrico, na qual o número resultante de linhas que atravessam uma superfí-
cie gaussiana fechada, que está envolvendo cargas elétricas, é proporcional à 
carga resultante envolvida pela superfície.
2.2 Fluxo
O conceito de fluxo elétrico é muito parecido com o conceito de vazão 
volumétrica que está relacionado com o escoamento de fluidos. Diz-se que 
existe um fluxo de água ou de ar quando há uma corrente de ar ou água em 
movimento atravessando uma malha ou uma superfície. Essa taxa de escoa-
mento depende do ângulo que a velocidade da partícula faz com o plano da 
superfície, como representado na figura 2.3.
Figura 2.3 – Linhas de fluxo de ar atravessando uma superfície de área A
A determinação da taxa de vazão volumétrica é dada por:
 φ θ⋅ ⋅ cos= v A (9)
onde v é a velocidade da partícula no escoamento, A é a área que o escoa-
mento está atravessando e θ é o ângulo entre o vetor velocidade da partícula 
e o vetor área da superfície.
– 37 –
Lei de Gauss
Uma análise dessa equação (9) mostra que, se o vetor velocidade tem a 
mesma direção e o mesmo sentido do vetor área, então o ângulo será igual a 
0º; logo, o valor do cosseno será máximo, ou seja, o fluxo é máximo (figura 
2.4a). À medida que o vetor velocidade muda de direção em relação ao vetor 
área, o ângulo também se altera, e o resultado do valor do cosseno diminui 
(figura 2.4b). E se o vetor velocidade estiver passando paralelamente à super-
fície, então o ângulo entre os vetores velocidade e área será zero e o valor do 
cosseno será zero, logo, o fluxo será zero (figura 2.4c).
Figura 2.4 – Linhas de fluxo atravessando uma superfície de área A
A equação (9) da vazão volumétrica pode ser tratada na forma vetorial 
como o produto escalar do vetor velocidade com o vetor área, assim, tem-se:
 φ θ= ⋅ ⋅ = ⋅
� ��
cosv A v A (10)
O conceito de fluxo tem o significado de fluir, o que faz todo o sentido 
quando refere-se a fluidos, gases ou líquidos, nos quais várias partículas estão 
passando por uma área e cada partícula tem um vetor velocidade. Esse con-
junto de vetores velocidades atravessando uma malha de área A é um campo 
de velocidade.
Assim, a equação (10) pode ser interpretada como o fluxo do campo 
de velocidade através de uma malha de área A. O fluxo não mais precisa ser 
um escoamento real de alguma coisa, mas sim a quantidade de um campo de 
velocidade que intercepta uma área.
Campo de velocidade é um conjunto de vetores 
velocidade que atravessa uma área.
– 38 –
Física II
Para o caso do campo elétrico, o fato de essa ideia do fluxo não ser 
um escoamento real se faz essencial, pois o campo elétrico não tem matéria, 
não escoa, não é um fluido, mas tem o mesmo comportamento do fluxo do 
campo de velocidade.
2.3 Fluxo do campo elétrico
Seja uma superfície gaussiana arbitrária em uma região onde há um 
campo elétrico não uniforme. Cria-se uma malha na superfície com pequenos 
quadrados de área ΔA, tão pequenos que é possível desconsiderar qualquer 
curva e considerá-los planos. Cada um desses quadrados tem um vetor área 
associado que é perpendicular ao plano e orientado para fora da superfície, 
conforme a figura 2.5.
Figura 2.5 – Superfície gaussiana imersa em campo elétrico 
→
E
Como adotamos os quadrados suficientemente pequenos, o campo elé-
trico que atravessa um quadrado pode ser considerado constante em todos os 
pontos desse quadrado. Esse conjunto de linhas de campo elétrico que atra-
vessa toda a superfície gaussiana é chamado de fluxo elétrico ϕ, determinado 
somando-se todos os pequenos fluxos de cada quadrado, dado pela expressão:
 φ = Σ ⋅
�� ��
E A (11)
No limite, onde o número de elementos se torna infinito e a área de cada 
quadrado se aproxima de zero, o somatório tende a integral, ficando:
 φ ⋅∫
�� ��
�= E d A (12)
– 39 –
Lei de Gauss
O círculo na integral indica que a integração deve ser feita sob toda a 
superfície fechada. O resultado da integral é o fluxo do campo elétrico que é 
um escalar, tendo como unidade ⋅ 2 /N m C . O fluxo resultante sobre uma 
superfície fechada pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo da pre-
dominância do vetor campo elétrico orientado para fora ou para dentro da 
superfície gaussiana.
O fluxo campo elétrico é um escalar e é o 
conjunto de linhas de campo elétrico que 
atravessa toda uma superfície gaussiana.
Exemplo 2.1
Um campo elétrico uniforme, igual a =
�� �����
100 /E i N C , atravessa uma 
superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio da base r=20 cm e 
que tem seu eixo paralelo ao eixo x, conforme a figura. Qual é o fluxo ϕ 
na superfície da base a, da lateral b e da base c? Qual é o fluxo resultante 
em toda a superfície gaussiana fechada?
Solução
O vetor campo elétrico é paralelo ao eixo x, os vetores A da base a e c também 
são paralelos ao eixo x e o vetor A da lateral b é ortogonal a x.
– 40 –
Física II
Aplicando a equação (12) para a determinação do fluxo do campo elétrico, 
tem-se:
φ ⋅∫
�� ��
�= E d A
φ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫
�� �� �� �� �� ��
a b c
= E d A+ E d A+ E d A
Calcula-se cada integral separadamente, relacionada a cada superfície a, b e c:
( ) ( )
2
2 2
cos cos cos
100 / cos180º 0,2 12,56
a a a
a
E d A E dA E d A E A
N m
E d A N C m
C
θ θ θ
π
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ = −
∫ ∫ ∫
∫
�� ��
�� ��
( ) ( )
θ θ θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫ ∫
∫
�� ��
�� �� 2
2
cos cos cos
100 / cos90 0
b b b
b
E d A = E dA = E d A = E A
N m
E d A == N C º A m =
C 
( ) ( )
2
2 2
cos cos cos
100 / cos0º 0,2 12,56
c c c
c
E d A E dA E d A E A
N m
E d A N C m
C
θ θ θ
π
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
∫ ∫ ∫
∫
�� ��
�� ��
Na superfície a, os vetores têm sentidos contrários, logo, o valor numérico do 
cosseno é –1. Para a superfície b, os vetores são ortogonais, logo, o valor do 
cosseno é 0. Para a superfície c, os vetores têm o mesmo sentido, então o valor 
do cosseno é +1.
O fluxo resultante fica:
φ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫
�� �� �� �� �� ��
a b c
= E d A+ E d A+ E d A
φ −12 56 0 12 56= , + + ,
φ 0=
– 41 –
Lei de Gauss
Esse resultado mostra que a quantidade de vetores campo elétrico que entra 
na superfície gaussiana é a mesma que sai da superfície gaussiana fechada, 
portanto, o fluxo total através da superfície é zero.
Exemplo 2.2
Seja um campo elétrico dado por =
��� �
1 50 /E i N C para o eixo positivo 
de x e um campo elétrico = −
��� �
2 100 /E i N C para o eixo negativo de x. 
Uma superfície gaussiana, na forma de um cubo, com aresta igual a 10 
cm, está posicionada no plano e tem seu centro geométrico na origem 
dos eixos, e suas faces são paralelas aos planos xy, xz e yz. Determine o 
fluxo elétrico que atravessa essa superfície fechada.
Solução
Como o cubo é formado por seis faces, duas a duas paralelas entre si, serão 
analisadas apenas quatro faces (valendo, entretanto, a mesma ideia para as 
seis faces). Os vetores campos elétricos são opostos no eixo x e estão saindo da 
superfície gaussiana nos pontos 1 e 2, logo, o ângulo entre os vetores 
��
E e 
��
A 
é 0º. Nos pontos 3 e 4, os vetores campos elétricos são paralelos às superfícies, 
assim, o ângulo entre os vetores 
��
E e 
��
A é 90º.
Aplicando a equação (12) sobre a superfície fechada, obtém-se o fluxo elé-
trico resultante:
φ ⋅∫
�� ��
�= E d A
φ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
1 2 3 4 5 6
= E d A+ E d A+ E d A+ E d A+ E d A+ E d A
– 42 –
Física II
Nas faces 3,4,5 e 6, o campo elétrico é o 
���
1E se x>0 e 
���
2E se x<0. Escrevendo 
na forma do produto escalar de vetores:
φ θ θ θ θ
θ θ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
1 1 2 2 3 4
1 2 3 4
5 6
5 6
cos cos cos cos
cos cos
= E dA+ E dA+ E dA+ E dA+
E dA+ E dA
θ θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅5 6cos cosE A+ E A
⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos90 cos90E º A+ E º A
φ 0,5 1 0 0 0 0= + + + + +
φ ⋅
2
1,5 N m=
C
O fluxo resultante é a soma dos fluxos através de todas as superfícies. Como 
os vetores campos elétricos saem das superfícies 1 e 2, eles são positivos. Nas 
demais superfícies, o fluxo é nulo, pois os vetores campos elétricos são parale-
los às superfícies.
2.4 Lei de Gauss
Seja uma superfície gaussiana fechada, envolvendo cargas elétricas posi-
tivas e negativas. Fazendo um balanço, determina-se uma carga elétrica resul-
tante dentro da superfície, ou seja, uma carga elétrica líquida qliq.
A lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico com a 
carga liquida existente dentro da superfície gaussiana.
Matematicamente, essa relação é:
 ε φ⋅0 liq= q (13)
– 43 –
Lei de Gauss
onde 0ε é a constante de permissividade apresentada na equação (8). Assim, 
a equação (13) determina que o resultado da multiplicação do fluxo elétrico 
pela constante de permissividade deve ser igual à carga elétrica resultante den-
tro da superfície gaussiana. Ainda pode-se escrever a lei de Gauss como:
 ε ⋅ ⋅∫
�� ��
�0 liqE d A= q (14)
Deve-se usar o sinal da carga elétrica resultante, pois o sinal informa se 
o fluxo resultante está saindo ou entrando na superfície gaussiana. Se a carga 
elétrica líquida for positiva, então o fluxo será para fora da superfície, e se a 
carga elétrica líquida for negativa, então o fluxo será para dentro da superfície.
Cargas elétricas que estão nas proximidades da superfície gaussiana 
não são incluídas na lei de Gauss, não importando o quão carregadas este-
jam. E a distribuição das cargas no interior da superfície também não é 
levada em consideração.
Exemplo 2.3
Duas cargas elétricas, q1=6 µC e q2=-2 µC, estão no espaço, separadas 
por uma distância d. Determine o fluxo do campo elétrico se uma super-
fície gaussiana envolve:
a) somente a carga q1.
b) somente a carga q2.
c) as duas cargas q1 e q2.
Solução
a) Imaginando uma superfície gaussiana qualquer envolvendo a carga q1, 
aplica-se a equação (13) com ε −⋅ ⋅12 2 20 8,85 10 /= C N m e tem-se:
ε φ⋅0 liq= q
φ φ
−
− −
−
⋅ ⋅
⋅ ⋅ = ⋅ → = =
⋅
6 2
12 6
12
6 108,85 10 6 10 677966
8,85 10
N m
C
Sendo a carga positiva o fluxo do campo elétrico que está saindo da 
superfície gaussiana, o fluxo positivo também está.
– 44 –
Física II
b) Imaginando uma superfície gaussiana qualquer envolvendo a carga q2. 
Aplicando-se a equação (13), tem-se:
ε φ⋅0 liq= q
φ φ
−
− −
−
− ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = − ⋅ → = = −
⋅
6 2
12 6
12
2 108,85 10 2 10 225988
8,85 10
N m
C
Sendo a carga negativa, o fluxo do campo elétrico está entrando na 
superfície gaussiana, sendo o fluxo negativo.
c) Imaginando uma superfície gaussiana qualquer envolvendo a carga q1 
e q2, aplicando a equação (13), tem-se:
ε φ⋅0 liq= q
6
12 6 6
12
2
4 108,85 10 6 10 2 10
8,85 10
451977 N m
C
φ φ
−
− − −
−
⋅
⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ → = =
⋅
⋅
=
A carga líquida é positiva, então o fluxo do campo elétrico resultante 
sai da superfície gaussiana.
Pode-se notar então, a partir desse exemplo, que se a carga que está con-
tida na superfície gaussiana for positiva, então o fluxo do campo elétrico será 
positivo; e se a carga for negativa, então o fluxo também será negativo. Assim, 
se o fluxo tivesse sinal positivo, a carga resultante seria positiva; e se o fluxo 
fosse negativo, então a carga elétrica seria negativa.
Exemplo 2.4
Duas cargas conhecidas, q1=-25 nC e q2=-13,2 nC, e uma carga desco-
nhecida q3 estão contidas em uma superfície gaussiana na qual o fluxo 
do campo elétrico resultante é igual a φ ⋅⋅
2
423 10 N m=
C
. Determine o 
valor da carga q3.
– 45 –
Lei de Gauss
Solução
Aplicando a equação (13), com ε −⋅ ⋅12 2 20 8,85 10 /= C N m , obtém-se:
ε φ⋅0 liq= q
− − −⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅12 4 9 98,85 10 23 10 25 10 13,2 10 3= + q
− − −⋅ ⋅ ⋅9 9 93 2035,5 10 25 10 13,2 10q = + +
( )− − −= ⋅ ⋅+ ⋅ +9 9 93 2035,5 10 25 10 13,2 10q C
−⋅= 83 203,932 10q C
q3 = 2,03932 μC
2.5 Cálculo do campo elétrico a partir da lei de Gauss
Os campos elétricos podem ser uniformes, mas também podem variar, 
como vimos no Capítulo 1. Os condutores elétricos podem ter formas uni-
formes ou não. A distribuição de cargas em um corpo pode ser uniforme, mas 
na maioria das vezes não é. Tudo isso torna muito difícil o cálculo do campo 
elétrico criado por cargas elétricas na superfície de um corpo.
Mas o campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor é 
fácil de se calcular pela lei de Gauss. Aplica-se a lei de Gauss para várias for-
mas de condutores carregados e com distribuições de cargas diversas, pela sua 
simplicidade e facilidade de resolução.
 2 Uma carga puntiforme carregada
Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio r com uma 
carga elétrica puntiforme q em seu centro. O vetor campo elétrico 
será normal à superfície em qualquer posição dessa superfície e terá 
a mesma intensidade, pois a distância r será a mesma. Assim, o 
ângulo entre o vetor 
��
E e o vetor 
��
A é 0º se a carga for positiva, ou 
180º se a carga for negativa. Considerando uma carga positiva, o 
ângulo será 0º.
– 46 –
Física II
Figura 2.6 – Campo elétrico criado por uma carga puntiforme
Usando a equação (14):
ε ⋅ ⋅∫
�� ��
�0 liqE d A = q
ε ⋅ ⋅ ⋅∫�0 cos0E º dA = q
ε ⋅ ⋅ ∫�0 E dA = q
ε ⋅ ⋅0 E A = q
Onde a área em questão é a área da esfera, ficando então:
2
0 4E r qε π⋅ ⋅ ⋅ =
Isolando o campo elétrico:
2
0 4
q
E
rε π
=
⋅ ⋅
Substituindo o termo 
0
1
4ε π⋅
 por k, obtém-se:
2
q
E = k
r
que é a mesma expressão obtida, pela lei de Coulomb, para o campo 
elétrico criado por uma carga puntiforme q.
– 47 –
Lei de Gauss
 2 Uma barra carregada
Considerando uma barra infinita carregada uniformemente, 
admite-se que a barra tem uma densidade linear de carga λ
q
=
L
 , 
que é certa quantidade de carga q por comprimento L. O módulo 
do vetor campo elétrico a uma distância r do eixo da barra pode ser 
determinado através da lei de Gauss usando uma superfície gaus-
siana na forma de um cilindro de raio r.
Figura 2.7 – Barra carregada uniformemente
Novamente o ângulo entre os vetores campo elétrico e área é igual a 
zero, com o fator cosseno igual a 1. Usando a equação (14), tem-se:
ε ⋅ ⋅∫
�� ��
�0 liqE d A = q
ε ⋅ ⋅0 liqE A = q
A área da superfície gaussiana é a área do cilindro, que é 
2A r hπ= ⋅ ⋅ ⋅ , e a carga contida nessa região depende da densidade 
linear de carga λ pelo comprimento da barra h, ficando λ ⋅liqq = h  . 
Substituindo, obtém-se:
0 2E r h hε π λ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
que se reduz a:
 λ
ε⋅ ⋅2 0
E =
ð r
 (15)
– 48 –
Física II
A equação (15) representa o campo elétrico em um ponto P que 
está a uma distância r de uma barra ou de uma linha de carga car-
regada eletricamente. A direção do campo elétrico no ponto P 
depende do sinal da carga elétrica da barra. Se positiva, o vetor 
estará orientado para fora da barra, e, se negativa, o vetor campo 
elétrico estará orientado para dentro da barra.
 2 Uma placa carregada
Considera-se uma placa fina, não condutora, infinita, carregada 
uniformemente. Admite-se que a placa tenha uma densidade 
superficial de carga σ
q
=
A
, que é certa quantidade de carga q por 
área A. Se a placa é de plástico, por exemplo, e está carregada em 
um de seus lados, o módulo do vetor campo elétrico a uma distân-
cia r da placa pode ser determinado através da lei de Gauss usando 
uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio r que 
atravessará perpendicularmente a chapa.
Figura 2.8 – Placa não condutora carregada uniformemente
Novamente o ângulo entre os vetores campo elétricoe área do cilin-
dro é igual a zero, sendo o fator cosseno igual a 1. Usando a equa-
ção (14), tem-se:
ε ⋅ ⋅∫
�� ��
�0 liqE d A= q
– 49 –
Lei de Gauss
Uma vez que as linhas de campo atravessam as duas bases do cilin-
dro, obtém-se:
( )ε ⋅ ⋅ ⋅0 liqE A+ E A = q
A carga contida nessa região depende da densidade superficial de 
carga σ pela área da placa A, ficando σ ⋅liqq = A . Substituindo, 
obtém-se:
ε σ⋅ ⋅ ⋅0 2E A = A
que se reduz a:
 σ
ε⋅ 02
E = (16)
A equação (15) representa o campo elétrico em um ponto P que está 
a uma distância r de uma placa não condutora carregada eletricamente. A 
direção do campo elétrico no ponto P depende do sinal da carga elétrica da 
barra. Se positiva, o vetor estará orientado para fora da barra; se negativa, o 
vetor campo elétrico estará orientado para dentro da barra.
Se a placa for condutora, então as cargas em excesso estarão distribuídas 
por toda a superfície, nas duas faces da placa. Com essa distribuição, a densi-
dade superficial de carga também aparecerá nas duas faces. O campo elétrico 
em uma região próxima à placa fica:
 σ
ε0
E = (17)
O campo elétrico entrará na placa se a carga em excesso for negativa e 
sairá da placa se a carga em excesso for positiva.
Exemplo 2.5
Um raio é uma descarga de elétrons que se estende das nuvens até a terra 
ou vice-versa. Esses elétrons que estão ionizados vêm de dentro de uma 
coluna. A densidade linear dessa coluna de elétrons é de aproximadamente 
λ −− ⋅ 31 10 /= C m . Durante o processo de descarga elétrica, as colisões 
entre os elétrons e o ar resultam em um clarão brilhante. Se as moléculas 
– 50 –
Física II
de ar sofrem uma ruptura quando o campo elétrico é ⋅ 63 10 /E = N C , 
qual é o valor do raio da coluna que contém os elétrons?
Solução
Fazendo uma aproximação dessa coluna de elétrons por uma linha de carga 
e considerando que a carga liquida é negativa, então o campo elétrico aponta 
para dentro. Assim, usando o valor absoluto de λ, pela equação (15), fica:
λ
ε⋅ ⋅2 0
E =
ð r
( )
( ) ( )
λ
ε
−
−
⋅
≈
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3
12 2 2 6
1 10 /
6
2 2 8,85 10 / 3 10 /0
C m
r = = m
ð E ð C N m N C
O raio da coluna de elétrons é igual a 6 m.
Exemplo 2.6
Uma chapa não condutora está carregada com cargas elétricas negativas 
distribuídas uniformemente em um dos lados dessa chapa. A densidade 
superficial vale σ µ− 25,6 /= C m . Determine o módulo do campo elé-
trico em um ponto P próximo à placa.
Solução
Como as cargas são fixas no caso da placa não condutora, pela equação (16), 
e usando o valor absoluto de σ, determina-se o módulo do campo elétrico em 
algum ponto próximo à placa por:
σ
ε02
E =
−
−
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
6
6 5
12
5,6 10 0,316384 10 3,16384 10 /
2 8,85 10
E = = = N C
−
−
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
6
6 5
12
5,6 10 0,316384 10 3,16384 10 /
2 8,85 10
E = = = N C
– 51 –
Lei de Gauss
Síntese
Superfície 
gaussiana
Uma superfície gaussiana é uma superfície 
imaginária com forma arbitrária que envolve 
um elemento carregado eletricamente. A 
forma dessa superfície deve ser a mais conve-
niente à simetria do problema.
Fluxo
φ θ⋅ ⋅ cos= v A
φ θ= ⋅ ⋅ = ⋅
� ��
cosv A v A
Fluxo é uma taxa que depende do ângulo que 
a velocidade da partícula faz com o plano da 
superfície.
A vazão volumétrica é o produto escalar do 
vetor velocidade com o vetor área.
Campo de velocidade é um conjunto de veto-
res velocidade que atravessa uma área.
O campo elétrico tem o mesmo comporta-
mento do fluxo do campo de velocidade.
Fluxo do 
campo 
elétrico
φ ⋅∫
�� ��
�= E d A
O resultado do fluxo campo elétrico é um 
escalar e é considerado como o conjunto de 
linhas de campo elétrico que atravessa toda 
uma superfície gaussiana.
O fluxo resultante sobre uma superfície 
fechada pode ser positivo, negativo ou nulo, 
dependendo da predominância do vetor 
campo elétrico sendo orientado para fora ou 
para dentro da superfície gaussiana.
Lei de 
Gauss
ε φ⋅0 liq= q
A lei de Gauss é uma relação entre o fluxo do 
campo elétrico com a carga liquida existente 
dentro da superfície gaussiana.
Sendo a carga elétrica liquida positiva, o 
fluxo será para fora da superfície. Sendo a 
carga elétrica liquida negativa, o fluxo será 
para dentro da superfície.
– 52 –
Física II
Cálculo 
do campo 
elétrico 
a partir 
da lei de 
Gauss
2
q
E = k
r
λ
ε⋅ ⋅2 0
E =
ð r
σ
ε⋅ 02
E =
σ
ε0
E =
Para uma carga puntiforme carregada, o 
campo elétrico determinado a partir da lei de 
Gauss é exatamente igual ao campo elétrico 
determinado pela lei de Coulomb.
Para uma barra carregada, considera-se que 
a barra é infinita carregada uniformemente. 
Admite-se que a barra tem uma densidade 
linear de carga λ
q
=
L
.
Para o caso de uma placa carregada, consi-
dera-se que a placa é fina, não condutora, 
infinit, carregada uniformemente. Admite-se 
que a placa tem uma densidade superficial de 
carga σ
q
=
A
 para uma placa condutora.
O movimento de queda livre de um corpo pode ser anali-
sado sob o ponto de vista da energia, determinando-se a velocidade 
desse corpo ao cair ou sua altura. Enquanto um corpo cai, a energia 
potencial é transformada em energia cinética.
Pode ser feita uma analogia entre o movimento de queda 
livre de um corpo, sob ação do campo gravitacional, e o movi-
mento de uma carga elétrica, sob ação do campo elétrico: o movi-
mento pode ser analisado por meio das variações de energia; há 
similaridade entre as leis básicas aplicadas aos dois casos, pois as 
Potencial Elétrico
3
– 54 –
Física II
forças elétrica e gravitacional dependem do quadrado da distância e são 
conservativas (isto é, o trabalho executado pela força para levar uma par-
tícula de um ponto inicial a outro final não depende da trajetória usada).
Neste capítulo, será feita uma relação entre campo elétrico e potencial 
elétrico, podendo ser utilizado o potencial para determinar o campo elétrico 
devido a regiões de distribuição contínua de cargas elétricas.
O potencial elétrico varia em função da posição de partículas carregadas 
eletricamente no espaço. Já vimos, para o cálculo direto do campo elétrico, 
relações envolvendo a posição das cargas elétricas no espaço. Mas, em muitas 
situações, a manipulação da expressão do potencial elétrico torna a obtenção 
do campo elétrico muito mais simples.
3.1 Diferença de energia potencial
Consideremos uma partícula elétrica qo que se move no espaço, sob ação 
de um campo elétrico, de um ponto inicial i a um ponto final f. Faz sentido 
assumir que, no ponto i, essa partícula tem uma energia potencial Ui e, ao 
chegar ao ponto f, encontra-se com outra energia potencial Uf. Assim, existe 
uma diferença de potencial entre os pontos i e f.
Ao se abandonar a carga elétrica em um campo elétrico, ela ficará sujeita 
à ação de uma força elétrica. Essa força realiza um trabalho = ⋅∆
�� �
W F r 
sobre a partícula, deslocando-a para outro ponto, podendo ser um trabalho 
positivo ou negativo, quando deslocamos a partícula no sentido natural de 
seu movimento (no mesmo sentido da força elétrica) ou quando forçamos a 
partícula a se movimentar no sentido contrário, respectivamente.
Figura 3.1 – Partícula movendo-se de um ponto A para um ponto B em 
um campo elétrico
– 55 –
Potencial Elétrico
Assim, a diferença de energia potencial elétrica para uma carga se 
movendo de um ponto i para um ponto f é dada pela equação:
 ∆ − −f i ifU =U U = W (18)
A diferença de energia potencial elétrica entre dois pontos é indepen-
dente da trajetória que essa partícula realizou, dependendo somente das posi-
ções inicial e final.
O trabalho realizado por uma força elétrica sobre uma carga q0, que 
se move de Pi a Pf, pontos inicial e final, na presença de um campo elétrico 
devido a uma carga Q, sendo r a distância entre as cargas, é dado por
( ) ( )⋅ − − − ∆∫ ∫
��
0 0 0
2
f f
if i f
i f
i i
P r
q Q q Q q Q
W = F dl = k dr = k k =U r U r = U
r r r
P r
 (19)
em que o elemento 
��
dl tem a orientação do caminho que leva q0 de Pi a Pf. 
Como a força elétrica é uma força central,apenas a direção radial permanece 
não nula após o produto interno com 
��
F . Então, é possível definir a energia 
potencial elétrica associada às cargas q0 e Q, quando separadas por uma dis-
tância r, por
 ( ) 0q QU r = k
r
 (20)
Nota-se nessa expressão que, quando as duas cargas têm o mesmo sinal, 
a energia potencial fica positiva, sendo negativa para cargas de sinais contrá-
rios. Também observa-se que U(r) → 0 quando r → ∞. Assim, das equações 
(19) e (20) pode-se concluir que a expressão U(r) representa o negativo do 
trabalho realizado por uma força elétrica para trazer a carga q0 até uma posi-
ção em que esteja a uma distância r de Q. Ou seja, U(r) = – W∞r.
Exemplo 3.1
Para deslocar uma carga elétrica de 4C do infinito até o ponto A, realiza-
-se um trabalho de 100 J. Determine a energia potencial elétrica da carga 
q0 no ponto A.
– 56 –
Física II
Solução
Como o trabalho realizado para mover a carga do infinito até o ponto A tem 
o sinal contrário da energia potencial no ponto A, tem-se U=-100 J
Exemplo 3.2
Qual é a variação da energia potencial elétrica necessária para mover 
uma carga q0=4 µC, inicialmente a uma distância de 0,1 m de uma carga 
Q=0,8 µC, até o infinito?
Solução
Considere as cargas dispostas no espaço, separadas pela distância de 0,1m, 
e a disposição do campo elétrico e da força elétrica atuando na carga de 
prova, conforme a figura:
Pela definição de trabalho entre dois pontos A e B, denotando por x o eixo 
horizontal no qual se dão as distâncias, temos
⋅∫
��
AB
B
W = F dx
A
e sabemos que ΔUAB=-WAB.
A força F é força elétrica, dada pela lei de Coulomb, e atua na carga q0 
devido à ação das cargas Q e q0. A partir da equação (19), segue que o tra-
balho para mover a partícula de A para B é dado por
 
⋅ ⋅ ⋅ − 
 
0
1 1
AB
A B
W = k Q q
d d
– 57 –
Potencial Elétrico
Fazendo o ponto B tendendo ao infinito, →1 0
Bd
, a variação da energia 
potencial elétrica é dada por
∞
 
− − ⋅ ⋅  
 
0
1
A
A
U = W = k Q q
d
− −
∞
 − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  
 
9 6 6 18,99 10 0,8 10 4 10
0,1A
U = W =
∞− −0,28768AU = W = J
3.2 Potencial elétrico
Quando define-se a razão entre a energia potencial elétrica pela carga q0, 
determina-se a energia por unidade de carga, chamada de potencial elétrico V 
ou, simplesmente, de potencial V.
 
0
U
V =
q
 (21)
O potencial é uma grandeza escalar, portanto, pode ser positivo ou nega-
tivo, dependendo do sinal da carga criadora do campo elétrico. Além disso, 
o potencial elétrico é independente do módulo de q0, ou seja, é uma carac-
terística do campo elétrico no qual a carga de prova está. Ao colocar uma 
carga −⋅ 190 1,6 10q = C em um campo elétrico com energia potencial igual a 
−⋅ 172,4 10U = J , seu potencial será 
−
−
⋅
⋅
17
19
2,4 10
150 /
1,6 10
J
V = = J C
C
. Dobrando-
-se o valor da carga elétrica, o valor da energia também dobrará, porém, o 
potencial continuará sendo 150 J/C.
A diferença de potencial entre os pontos inicial i e final f em um campo 
elétrico é definida por:
 ∆∆ − −
0 0 0
f i
f i
U U U
V =V V = =
q q q
 (22)
– 58 –
Física II
A diferença de potencial entre dois pontos é, então, a diferença de ener-
gia potencial por unidade de carga entre esses pontos. Em termos do trabalho 
realizado pela partícula, a equação (22) fica:
 
∆
∆ −
0 0
ifWUV = =
q q
 (23)
De acordo com a equação (23), conhecendo a diferença de potencial 
entre dois pontos, pode-se calcular o trabalho realizado com ∆ ⋅ 0V q .
Admitindo-se que no infinito a energia potencial elétrica é zero e o 
potencial elétrico é zero, o potencial elétrico em um ponto a uma distância r 
da carga Q geradora do campo elétrico é dado por
 
0
U Q
V = = k
q r
 (24)
de onde também se depreende que V=-W∞a/q0, onde W∞a é o trabalho reali-
zado pelo campo elétrico para deslocar a partícula q0 do infinito até um ponto 
qualquer em um campo elétrico.
A equação (24) mostra que o potencial no ponto será positivo se a carga 
geradora do campo elétrico for positiva, e o campo elétrico realizará um tra-
balho negativo para deslocar a carga de prova do infinito até um ponto qual-
quer (ver também as equações (19) e (20)). Por outro lado, o potencial em 
um ponto será negativo nas proximidades de uma carga negativa.
Assim, como nota-se na equação (24), o potencial em um ponto A 
depende apenas da carga geradora e de sua distância até o ponto. Fica claro 
que se a carga elétrica é positiva então o potencial também é positivo e 
vice-versa.
A unidade no Sistema Internacional de Unidades ‒ SI para o poten-
cial elétrico é o volt: J =V
C
. A diferença de potencial entre dois pontos é 
chamada de tensão. Muito utilizada no dia a dia, a diferença de potencial é 
indicada nas baterias de carros (12 V), nas pilhas (1,5 V) e nas tomadas de 
residências e comércios (110 V).
– 59 –
Potencial Elétrico
Exemplo 3.3
Considere dois pontos A e B, onde os potenciais são VA=60 V e VB=40 
V. Qual é o trabalho da força elétrica necessário para transportar uma 
carga qo=6 µC de A até B?
Solução
Como o potencial em A é positivo e tem maior valor, ele está mais próximo 
da carga geradora positiva, como representado na figura.
Aplicando a equação (23) tem-se:
0 0
6
6
40 60
120 10
6 10
i f i f
f i
i f
i f
W W
V V V
q q
W
W−−
∆ = − → − = − → − =
= − → − ⋅ = −
⋅
−⋅ 41,2 10i fW = J
Exemplo 3.4
Aplica-se um trabalho sobre uma única carga elétrica elementar 
−⋅ 191,6 10e = C por meio de uma diferença de potencial de 1 V. Qual é 
a quantidade de trabalho, em módulo, que se realiza?
Solução
Aplicando a equação (23) tem-se
− −∆ = − → = ∆ ⋅ = ⋅ ⋅ → = ⋅19 190
0
1 1,6 10 1,6 10i f if if
W
V W V q W J
q
– 60 –
Física II
O trabalho de −⋅ 191,6 10W = J é conhecido como 1eV, que se refere à quan-
tidade de energia necessária para mover um próton ou um elétron através de 
uma diferença de potencial de 1 V. Múltiplos dessas unidades, como keV ou 
MeV, são muito utilizados.
3.3 Superfícies equipotenciais
Como visto na equação (23), o potencial elétrico assume determinado 
valor que depende exclusivamente da carga geradora do campo elétrico e de 
sua distância até esta. Então, se dois pontos estão a uma mesma distância de 
uma carga elétrica geradora do campo elétrico, eles terão o mesmo potencial 
elétrico, como mostrado na figura 3.2.
Figura 3.2 – Dois pontos no espaço com mesma distância da carga Q
Na figura 3.2, as distâncias dAQ e dBQ são iguais, então VA=VB. Assim, 
pode-se imaginar uma infinidade de pontos que possam ter essa mesma dis-
tância da carga geradora. Se a carga geradora for uma carga pontual, haverá 
uma circunferência de raio r, onde, em qualquer ponto sobre essa circunfe-
rência, o potencial elétrico será o mesmo, como representado na figura 3.3.
Figura 3.3 – Região em torno de uma carga pontual com mesmo potencial
– 61 –
Potencial Elétrico
Dessa forma, determina-se uma superfície em torno da carga geradora 
em que o potencial assume o mesmo valor. Chama-se superfície equipoten-
cial aquela na qual o potencial é constante em todos os pontos.
Várias superfícies equipotenciais, com valores diferentes de potenciais 
elétricos, podem ser utilizadas para representar o campo elétrico em determi-
nada região. Nessas superfícies equipotenciais, as linhas de força são sempre 
perpendiculares às superfícies, como representado na figura 3.4.
Figura 3.4 – Linhas de força nas superfícies equipotenciais
Para uma carga elétrica se movimentar de um ponto A, localizado em uma 
superfície equipotencial, para um ponto B, localizado em outra superfície, deve 
ser realizado um trabalho pelo campo elétrico. Porém, para movimentar uma 
carga elétrica de um ponto A, em uma superfície equipotencial, para um ponto 
C, na mesma superfície, o campo elétrico não realiza trabalho, pois os dois 
pontos estão na mesma superfície equipotencial, como na figura 3.5.
Figura 3.5 – Movimento de uma carga elétrica sobre superfícies 
equipotenciais
– 62 –
Física II
Em um campo elétrico uniforme, as superfícies equipotenciaissão para-
lelas entre si.
Figura 3.6 – Superfícies equipotenciais em um campo elétrico uniforme
Exemplo 3.5
Sejam dois pontos A e B situados a 0,2 m e 0,3 m de uma carga Q=40 
µC. Qual é o trabalho realizado pela força elétrica para movimentar uma 
carga q=3 µC de A até B e de B até A?
Solução
Determinando o potencial nos pontos A e B pela equação (24)
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
→ → ⋅
9 6
69 10 40 10 1,8 10
0,2A AA
k Q
V = V = V = V
d
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
→ → ⋅
9 6
69 10 40 10 1,2 10
0,3B BA
k Q
V = V = V = V
d
O trabalho realizado de A até B pela equação (23) é
−∆ = − → − = − → ⋅ − ⋅ = − →⋅
6 6
6
0 0
1,2 10 1,8 10
3 10
i f i f i f
f i
W W W
V V V
q q
−− = − ⋅ ⋅ ⋅ → =6 60,6 10 3 10 1,8i f i fW W J
O trabalho realizado de B até A pela equação (23) é
−∆ = − → − = − → ⋅ − ⋅ = − →⋅
6 6
6
0 0
1,8 10 1,2 10
3 10
i f i f i f
f i
W W W
V V V
q q
– 63 –
Potencial Elétrico
−− = ⋅ ⋅ ⋅ → = −6 60,6 10 3 10 1,8i f i fW W J
Exemplo 3.6
Sejam dois pontos A e B. O ponto A está situado sobre um eixo x na 
posição 0,2 m e o ponto B, na posição –0,2 m do mesmo eixo x, com 
uma carga Q=60 µC na origem. Nessas condições, qual é o trabalho 
realizado por uma força elétrica externa para transportar a carga q=-2 
µC de A até B?
Solução
Determinando o potencial nos pontos A e B pela equação (24):
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
→ → ⋅
9 6
69 10 60 10 2,7 10
0,2A AA
k Q
V = V = V = V
d
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
→ → ⋅
9 6
69 10 60 10 2,7 10
0,2B BA
k Q
V = V = V = V
d
O trabalho realizado de A até B pela equação (23) é:
−∆ = − → − = − → ⋅ − ⋅ = − →− ⋅
6 6
6
0 0
2,7 10 2,7 10
2 10
i f i f i f
f i
W W W
V V V
q q
0
i f
W =
Esse trabalho igual a zero já era esperado visto que os pontos A e B estão a 
uma mesma distância da carga geradora, ou seja, estão na mesma superfície 
equipotencial.
3.4 Potencial a partir do campo elétrico
Conhecendo o vetor campo elétrico em todos os pontos ao longo de 
uma trajetória, consegue-se determinar a diferença de potencial entre esses 
dois pontos.
– 64 –
Física II
Imaginemos um campo elétrico arbitrário, representado pelas linhas de 
campo, como na figura 3.7, e uma carga de prova nesse campo elétrico, rea-
lizando um movimento de um ponto i até um ponto f. Em qualquer ponto 
dessa trajetória, a carga q0 sofre a influência de uma força elétrica.
Figura 3.7 – Carga q0 movimentando-se em uma trajetória em um 
campo elétrico
A força elétrica atuante na partícula, equação (5), é ⋅
��
0E q . Quando 
a partícula sofre um deslocamento 
�
d s , o campo elétrico realiza um traba-
lho dW. O deslocamento dado pelo diferencial 
�
d s refere-se a um desloca-
mento muito pequeno, então o trabalho dW também se refere a um trabalho 
pequeno. Assim, pela definição de trabalho, obtém-se:
 = ⋅ → = ⋅ ⋅
�� �� �
0dW F ds dW q E d s (25)
Então, para cada deslocamento infinitesimal, encontra-se um trabalho 
infinitesimal; e ao longo de toda a trajetória serão infinitos trabalhos realiza-
dos que, quando somados, resultarão no trabalho total realizado pelo campo 
elétrico. Nessas condições, o trabalho realizado quando a carga se move de 
um ponto i a ponto f é a soma de todos os diferenciais dW, que é determinado 
por integração de i a f. Logo:
 = = ⋅ ⋅∫ ∫
�� �
0
f f
if
i i
W dW q E d s (26)
– 65 –
Potencial Elétrico
Como a carga q0 é uma constante, ela pode ficar fora da integral. Divi-
dindo-se os dois membros por q0, o primeiro membro da equação (26) fica 
0
i f
W
q
, que é igual a -ΔV pela equação (23). Logo:
 − − ⋅∫
�� �
f
f
i
i
V V = E d s (27)
Então a diferença de potencial entre dois pontos é igual ao negativo 
da integral do produto do vetor campo elétrico pelo elemento de desloca-
mento, e é independente da carga de prova 0q , que foi utilizada no início da 
demonstração apenas para seu desenvolvimento. Se for adotado o ponto i no 
infinito, com um potencial zero, a equação (27) se reduz a
 
∞
= − ⋅∫
�� �f
V E d s (28)
que pode ser interpretada como o potencial em qualquer ponto em um 
campo elétrico, desde que o potencial inicial seja zero em uma distância infi-
nita. Note-se que, na equação (29), o subscrito f não foi adicionado à notação 
V, mas tem o mesmo significado do potencial no ponto final f.
Exemplo 3.7
Sejam um campo elétrico uniforme de intensidade igual a 20 N/C e três 
pontos A, B e C, conforme a figura. Determine a diferença de potencial 
quando uma carga de prova q0 é deslocada:
a) de A até B.
b) de B até C.
c) de A até C.
– 66 –
Física II
Solução
Usando a equação (28), resolvendo o produto escalar na integral, uma vez 
que o campo elétrico é constante em todos os pontos, ele pode ser retirado da 
integral, obtendo-se:
θ θ θ− − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫
�� �
cos cos cos
f f f
f i
i i i
V V = E d s = E ds = E ds = E d
a) No movimento de A para B, os vetores 
��
E e 
�
d s formam um ângulo de 
90º. Assim, obtém-se
θ− − ⋅ ⋅cosf iV V = E d
− − ⋅ ⋅20 cos90 0,15f iV V =
− − ⋅ ⋅20 0 0,15f iV V =
− 0f iV V =
b) No movimento de B para C, os vetores 
��
E e 
�
d s formam um ângulo 
θ, que é determinado por meio da trigonometria, usando a definição 
de tangente de α e observando-se que α+θ = 90°. Para encontrar a 
distância d, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras:
αtang CA=
BA
α 0,2tang
0,15
=
– 67 –
Potencial Elétrico
αtang 1,3333...=
α = 53,12º
Assim, o ângulo entre os vetores 
��
E e 
�
d s é:
θ α= − = − =90º 90º 53,12º 36,88º
Pelo teorema de Pitágoras, a distância d fica:
2 20,2 0,15 0,25 d = + = m
Calculando a diferença de potencial obtém-se:
θ− − ⋅ ⋅cosf iV V = E d
− = − ⋅ ⋅ = −20 cos36,88º 0,25 3,99f iV V V
c) No movimento de A para C, os vetores 
��
E e 
�
d s formam um ângulo 
180º. Então, aplicando a equação tem-se:
θ− − ⋅ ⋅cosf iV V = E d
− − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅20 cos180 0,2 20 ( 1) 0,2 4f iV V = º = = V
No exercício (a) o potencial encontrado foi zero, pois o deslocamento 
aconteceu na mesma superfície equipotencial. Já no exemplo (b), 
o resultado negativo mostra que o potencial está diminuindo, pois o 
potencial no ponto C é menor que no ponto B. No exemplo (c), obteve-
-se um aumento do potencial, ou seja, o potencial no ponto A é maior 
que no ponto C.
Exemplo 3.8
Uma carga elétrica atravessa um campo elétrico  = + 
�� � �
5 8 /E i j N C de 
um ponto A até um ponto B, realizando um deslocamento  =  
�� �
10d i m
 . 
Nessas condições, qual é a diferença de potencial entre os pontos A e B?
– 68 –
Física II
Solução
O ângulo entre os vetores 
��
E e 
��
d é
θ θ
⋅ ⋅ + ⋅
= = = = → ≈
⋅ + ⋅ +
�� ��
�� ��
2 2 2 2
5 10 8 0 50cos 0,53 58º
94,335 8 10 0
E d
E d
Como o campo elétrico é constante, pois não sofre variação nem com o tempo 
nem com a distância, aplica-se a equação (28), obtendo-se:
θ θ θ− − = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫cos cos cos
f f f
f i
i i i
V V = E ds = E ds = E d
θ− − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ≈ −2 2 2 2cos 5 8 10 0 cos58 49 98f iV V = E d = + + º , V
3.5 Potencial de um condutor elétrico
Suponha-se um corpo condutor no formato de uma esfera de raio r ele-
trizado com uma carga Q. É possível analisar três situações quanto ao poten-
cial elétrico produzido pela esfera condutora: um potencial em um ponto 
externo; em um ponto na superfície da esfera; e em um ponto interno à esfera.
Figura 3.8 – Esfera condutora carregada eletricamente
– 69 –
Potencial Elétrico
O excesso de carga elétrica se distribuirá de maneira uniforme sobre 
todos os pontos da superfície da esfera até que todos os pontos na superfície 
e na parte interna atinjam o mesmo potencial.
Na figura (a), a esfera pode ser imaginada como uma carga puntiforme loca-
lizada em seu centro, e o potencial no ponto P externo é dado pela equação (24):
⋅
P
k Q
V =
d
Na figura (b), o ponto P está na superfície, então a distância d é o pró-
prio raio r da esfera. Assim,
 ⋅k QV =
r
 (29)
Na figura (c), o ponto P está no interior da esfera, então o potencial é 
igual ao potencial na superfície. De fato, o campo elétrico é nulo no interior 
da esfera (e perpendicular à superfície em um ponto que lhe é infinitesimal-
mente próximo),de onde segue que o potencial é constante em toda a esfera, 
seja em seu interior, seja na superfície.
Exemplo 3.9
Uma esfera condutora tem raio de 20 cm. Considerando que está carre-
gada com uma carga de 10 µC, determine o potencial elétrico na super-
fície e em um ponto distante 5 cm da superfície da esfera.
Solução
O potencial na superfície é calculado usando a equação (29), que fica:
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
9 3
69 10 10 10 450 10 450000000
0,20s
k Q
V = = = = V
r
Supondo que a carga seja puntiforme e esteja localizada no centro da esfera, 
pela equação (24) tem-se:
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
9 3
69 10 10 10 360 10 360000000
0,20 0,05P P
k Q
V = = = = V
d +
– 70 –
Física II
Exemplo 3.10
Se uma esfera condutora, neutra, tem raio igual a 2 cm, qual é a quan-
tidade de elétrons que se deve retirar para adquirir um potencial de 1 V 
na superfície? (carga do elétron = –1,6.10-19C)
Solução
Pela equação (29):
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅= → = → = → = ⋅
⋅
9
12
9
9 10 1 0,021 2,22 10
0,02 9 10s
k Q Q
V Q Q C
r
Da definição de carga elétrica:
−
−
⋅
⋅
⋅
12
7
19
2,22 10 1,38 10
1,6 10
n = = elétrons
Síntese
Diferença 
de energia 
potencial
∆ − −f i ifU =U U = W
( ) 0q QU r = k
r
Uma carga se movendo de um ponto 
i para um ponto f tem uma diferença 
de energia que é igual ao negativo do 
trabalho realizado.
Energia potencial elétrica associada às 
cargas q0 e Q, quando separadas por 
uma distância r.
Potencial 
elétrico
0
U
V =
q
∆
∆ −
0 0
i f
WU
V = =
q q
0
U Q
V = = k
q r
É a razão entre a energia potencial elé-
trica pela carga q0 em termos do traba-
lho realizado pela partícula.
Potencial elétrico em um ponto a uma 
distância r da carga Q geradora do 
campo elétrico.
– 71 –
Potencial Elétrico
Superfícies 
equipotenciais
Chama-se superfície equipotencial 
aquela na qual o potencial é constante 
em todos os pontos.
Em um campo elétrico uniforme, as 
superfícies equipotenciais são parale-
las entre si.
Potencial 
a partir do 
campo elétrico
= ⋅ → = ⋅ ⋅
�� �� �
0dW F ds dW q E d s
− − ⋅∫
�� �f
f i
i
V V = E d s
∞
= − ⋅∫
�� �f
V E d s
Trabalho realizado pelo campo elé-
trico.
A diferença de potencial entre dois 
pontos é igual ao negativo da integral 
do produto do vetor campo elétrico 
pelo elemento de deslocamento.
Potencial em qualquer ponto em um 
campo elétrico, desde que o potencial 
inicial seja zero em uma distância infi-
nita.
Potencial de 
um condutor 
elétrico
⋅
P
k Q
V =
d
⋅k Q
V =
r
Potencial no ponto externo de um 
corpo condutor, no formato de uma 
esfera de raio r, eletrizado com uma 
carga Q.
Potencial na superfície de um corpo 
condutor, no formato de uma esfera de 
raio r, eletrizado com uma carga Q.
Quando alguém está brincando com um estilingue ou com 
uma cetra, ao puxar o elástico, a energia fica armazenada na forma 
de energia potencial, pronta para ser usada e dar movimento à pedra 
quando o elástico for solto, transformando a energia potencial em 
energia cinética. Outros exemplos de armazenamento de energia 
na forma de energia potencial podem ser a compressão de um gás 
ou simplesmente a elevação de um objeto até uma altura qualquer. 
Assim, pode-se armazenar energia para utilizá-la em um momento 
posterior adequado.
Capacitores
4
– 74 –
Física II
Os capacitores são dispositivos que servem para armazenar energia. Um 
flash de uma máquina fotográfica, por exemplo, pode ser disparado porque 
há um capacitor para armazenar energia. De modo semelhante a um capaci-
tor, mas armazenando energia por meio de reações químicas, funcionam as 
baterias, como as de carros.
Com os avanços tecnológicos, além de armazenar energia potencial, os 
capacitores têm outras aplicações: por exemplo, há capacitores microscópicos 
que formam bancos de memórias de computadores.
Neste capítulo, serão abordadas as teorias e as aplicações dos capacitores 
utilizando-se os conceitos estudados nos capítulos anteriores, como campo 
elétrico e energia potencial elétrica.
4.1 Capacitância
Os capacitores são basicamente constituídos de condutores metálicos 
separados por um isolante, como representado na figura 4.1. Esses conduto-
res metálicos são chamados de placas condutoras e podem assumir qualquer 
tamanho e forma geométrica. A maneira convencional de se apresentar os 
capacitores é na forma de placas paralelas, como na figura 4.1, chamado de 
capacitor de placas paralelas, que se constitui de duas placas paralelas de área 
A separadas por uma distância d.
Figura 4.1 – Capacitor de placas condutoras paralelas
Ao carregar um capacitor, as placas ficam com a mesma quantidade de 
carga, mas com sinal contrário. Cada placa desse capacitor estará carregada 
eletricamente, uma com carga +q e outra com carga -q, de modo que a carga 
absoluta do capacitor será q.
– 75 –
Capacitores
Capacitores são constituídos de condutores 
metálicos separados por um isolante e que 
servem para armazenamento de energia
Sendo as placas condutoras, as cargas elétricas em excesso ficam na 
superfície livre da placa, constituindo uma superfície equipotencial e, 
assim, todos os pontos na superfície da placa têm o mesmo potencial elé-
trico. Na figura 4.2 estão representadas duas placas paralelas A e B; na 
placa A tem-se um potencial VA e na placa B, um potencial VB. Então, 
entre as placas A e B cria-se uma diferença de potencial ΔV. Historica-
mente, essa diferença de potencial entre as placas paralelas pode ser repre-
sentada simplesmente por V.
Figura 4.2 – Diferença de potencial entre duas placas paralelas A e B
A capacitância é uma constante de proporcionalidade de um capacitor 
que depende apenas do tamanho, da forma e da posição dos condutores. 
Sabemos que o potencial é proporcional à carga q (como vimos no capítulo 
3), de modo que uma variação no valor da carga elétrica gera uma mudança 
do valor do potencial elétrico na mesma proporção e, consequentemente, na 
diferença de potencial. Em suma, a capacitância pode ser definida como a 
constante de proporcionalidade entre q e V, de modo que:
 ⋅q =C V (30)
onde C é a capacitância cujo valor depende da geometria das placas.
– 76 –
Física II
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de capacitância é o 
coulomb por volt, chamada de farad. Isolando o elemento C da equação (30), 
obtém-se → 1 1
1
q C
C = = F
V V
. Tal magnitude é muito elevada, de modo que 
é usual usar submúltiplos do farad, como microfarad (µF) ou picofarad (pF).
4.2 Carregando um capacitor
Pode-se carregar um capacitor pelo processo de indução em um circuito 
elétrico com uma bateria. Um circuito elétrico é um caminho pelo qual os 
elétrons, ou a corrente elétrica, podem seguir, e a bateria é um dispositivo 
que mantém uma diferença de potencial entre seus terminais, por onde os 
elétrons podem entrar e sair.
Em princípio, imaginemos uma placa metálica condutora A, eletrica-
mente neutra. Então retiram-se elétrons da placa, ligando-a a uma bateria 
e atinge-se um potencial VA máximo que essa placa pode suportar, devido 
à retirada de elétrons. Assim, a placa atinge uma carga QA, que é sua capa-
cidade máxima.
Figura 4.3 – Retirada de elétrons de uma placa condutora
Quando aproximamos uma segunda placa B e ligamos à terra, elétrons 
da terra começam a vir para a placa, devido à indução.
– 77 –
Capacitores
Figura 4.4 – Placa carregada por indução
Outra maneira de representar essa situação é por meio de um diagrama. 
O símbolo é utilizado para representar o gerador ou a bateria, e o sím-
bolo é utilizado para o capacitor. A bateria mantém uma diferença de 
potencial V entre os terminais, e o terminal de potencial mais alto é repre-
sentado por +, sendo o terminal de potencial mais baixo representado por –, 
como mostra a Figura 4.5.
Figura 4.5 – Circuito elétrico com um gerador e um capacitor
Assim, quando ligamos a chave S, o circuito elétrico fica completo, per-
mitindo que os elétrons se movam da placa n do capacitor para o terminal 
positivo e do terminal negativo para a outra placa m do capacitor. Logo, a 
placa