Livro - Fisica I

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ca
 I
Antonio Carlos Fontes dos Santos
Apoena Calil
Física I 
Curitiba
2016
Antonio Carlos Fontes dos Santos
Apoena Calil
Física I 
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
S237f Santos, Antonio Carlos Fontes dos
Física I / Antonio Carlos Fontes dos Santos, Apoena Calil. – 
Curitiba: Fael, 2016.
166 p.: il.
ISBN 978-85-60531-37-0
1. Física I. Calil, Apoena II. Título
CDD 530
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão FabriCO
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Shutterstock/Georgejmclittle
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Sumário
 Carta ao Aluno | 5
1. Movimento unidimensional | 7
2. Vetores | 25
3. Movimento no plano e no espaço | 37
4. As leis de Newton | 53
5. Trabalho e energia | 71
6. Conservação do momento linear | 87
7. Fluidos | 99
8. Termodinâmica | 111
9. Primeira Lei da Termodinâmica | 127
10. Segunda Lei da Termodinâmica | 143
 Conclusão | 161
 Referências | 163
Carta ao Aluno
Prezado Aluno, 
Os semestres iniciais de um curso da área de exatas como 
a engenharia de produção, civil ou mecânica, são os mais difíceis. 
Nesta disciplina, são desenvolvidas várias das ideias, conceitos e 
métodos fundamentais para um engenheiro. O estudante que tenha 
compreendido de forma clara os conceitos básicos desenvolvidos 
nesta disciplina terá transposto a maior parte das dificuldades de 
aprendizagem da física. 
Um jogo não será divertido a menos que conheçamos as 
suas regras. Analogamente, não poderemos apreciar ao máximo o 
mundo ao nosso redor a menos que tenhamos entendido as leis da 
física. Ela nos mostra como tudo na natureza está surpreendente-
mente integrado. Há várias razões para estudar física: como cida-
dãos atuantes, a estudamos para aprimorar o modo como enxerga-
Física I
– 6 –
mos o nosso mundo e para o nosso crescimento pessoal. Como estudante 
e futuro engenheiro, você deve desenvolver as técnicas e a arte de conjugar 
os conhecimentos da física com a sua viabilidade técnico-econômica para 
o  aprimoramento, concepção, e implementação de bens e utilidades, tais 
como estruturas, sistemas ou  processos, que desempenhem funções e/ou 
objetivos preestabelecidos.
Por exemplo, nesta disciplina você estudará várias forças e interações, 
entre elas a força de atrito. O atrito é um fator importante em muitas discipli-
nas de engenharia. Os freios dos automóveis dependem do atrito, diminuindo 
a velocidade de um veículo por meio da conversão de sua energia cinética em 
calor. A dispersão desta grande quantidade de calor de modo seguro é um 
desafio técnico para os engenheiros na concepção de sistemas de freio.
Ao final dos estudos, você terá subsídios para desenvolver as competên-
cias a seguir: 
 2 Compreender a mecânica newtoniana, a termodinâmica e as tec-
nologias a elas associadas, como construções humanas, percebendo 
seus papéis nos processos de produção e no desenvolvimento eco-
nômico e social da humanidade;
 2 Identificar a presença e aplicar as tecnologias associadas à mecânica 
newtoniana e à termodinâmica em diferentes contextos relevantes 
para sua vida pessoal;
 2 Entender métodos e procedimentos próprios da física clássica e 
aplicá- los a diferentes contextos.
A física é um assunto interessante para estudar. Há novas des-
cobertas ocorrendo o tempo todo e no mundo inteiro. Compreen-
der alguns conceitos básicos da física, como velocidade e aceleração, 
irá ajudá-lo. Neste capítulo, estaremos interessados na cinemática. 
Cinemática é o estudo do movimento de objetos usando palavras, 
equações, gráficos e diagramas e números. As equações da cinemá-
tica podem nos ajudar a entender e prever o movimento de um 
objeto. Os conceitos básicos aprendidos serão elementos fundamen-
tais para a compreensão da física como um todo. 
A cinemática é o ramo da mecânica newtoniana que descreve 
o movimento dos objetos, sem considerar as causas do movimento. 
Para isso, em cinemática estudamos as trajetórias de objetos, e suas 
propriedades como velocidade e aceleração. A cinemática é usada 
em astrofísica para descrever o movimento dos corpos e sistemas 
celestes, e em engenharia mecânica, robótica, e biomecânica para 
determinar o movimento de sistemas compostos, como motores, ou 
1
Movimento 
unidimensional
Física I
– 8 –
um braço robótico. A análise cinemática é o processo de medir as quantidades 
cinemáticas utilizadas para descrever o movimento. 
Objetivos de aprendizagem:
 2 caracterizar o movimento;
 2 compreender os conceitos de espaço, tempo, velocidade e aceleração. 
1.1 O referencial 
Em física, quase tudo é relativo! O conceito de relatividade é bem sim-
ples e está relacionado com o fato de que a posição e o movimento de um 
objeto podem somente ser percebidos com respeito (ou seja, em relação a 
outros objetos). Quando você diz: “Jorge está sentado no lado direito de Eli-
zabete”, você descreve a posição de Jorge em relação à de Elizabete. Neste 
caso, dizemos que o referencial é a posição de Elisabete. 
Todos sabemos que movimento se difere do repouso. No entanto, 
Galileu mostrou que não há uma diferença intrínseca entre movimento e 
repouso. Movimento e repouso dependem do observador, ou seja, o movi-
mento é relativo. 
A neurociência nos ensina que nossas ações, geralmente inconscientes, 
são muitas vezes reflexos do tempo em que vivíamos na floresta. Imagine, 
por exemplo, um hominídeo calmo e tranquilamente sentado sobre a grama 
numa floresta aberta. De repente, algo se move entre as folhagens. Imediata-
mente, a atenção de nosso ancestral se foca no barulho. As células nervosas 
que detectam o movimento foram as primeiras a serem desenvolvidas em 
nosso cérebro. Ao notar o movimento no nosso campo de visão, percebemos 
duas entidades: o fundo, ou ambiente fixo e o animal que se mexe sobre este 
fundo. Se o animal é inofensivo, podemos relaxar, mas se é um predador 
devemos correr. Como distinguimos o animal do meio em que ele está? A 
nossa percepção envolve vários processos nos olhos e no cérebro, mas o que 
interessa neste momento é que nós experimentamos o movimento como um 
processo relativo. Ele é percebido em relação e em oposição a um objeto ou 
ao ambiente que nos cerca.
– 9 –
Movimento unidimensional
Referencial é um sistema de coordenadas espaciais e um 
relógio, em relação ao qual se determina a posição de um 
sistema e em que se descreve o movimento deste sistema. 
 
Você já viu uma série de figuras Where’s Wally? (Onde Está Wally? no 
Brasil) É uma série de livros de caráter infanto-juvenil criada pelo ilustrador 
britânico Martin Handford, baseada em imagens e pequenos textos. Observe 
a figura a seguir. 
Figura 1 – Reprodução do livro Onde está Wally?
Fonte: Blog Onde Está Wally?, 2015. 
Como você descreveria a posição do Wally? Você poderia simplesmente 
apontar para o local na figura onde ele se encontra. Mas, nesse caso, você 
descreve a posição do Wally em relação ao seu dedo indicador. Se você tivesse 
que falar sobre a posição do Wally utilizando palavras, você poderia dizer: “ele 
está na parte superior da mesa, que está ligeiramente à esquerda do centro 
da figura”. Esta frase indica a posição de Wally em relação à mesa. Ou seja, 
é impossível descrever a posição do Wally (ou de qualquer personagem na 
figura) sem se referir a um ou mais objetos. 
Física I
– 10 –
1.2 Movimento unidimensional
Vamos inicialmente nos restringir ao movimento que se dá ao longo de 
uma linha reta. Para descrevê-lo, precisamos inicialmente de um referencial, 
que no caso do movimento em uma dimensão consiste de uma régua (reta 
orientada) onde escolhemos a origem. A posição de uma partícula em função 
do tempo é descrita por x(t). O sentidopositivo do eixo é aquele no qual as 
coordenadas (números que indicam a posição) são crescentes, que na figura a 
seguir é para a direita. Do mesmo modo, o sentido negativo é aquele no qual 
as coordenadas são decrescentes (esquerda da figura a seguir). 
Figura 2 - Eixo (reta Real)
Fonte: elaborado pelo autor, 2015. 
Por exemplo, se uma partícula estiver localizada na posição x = 100 m, 
ou seja, está 100 m à direita da origem. Se a partícula estivesse na posição 
x= -100 m, isto significaria que ela estava 100 m à esquerda da origem. 
A variação do espaço ou deslocamento indica a diferença entre a posição 
no instante t2 e a posição inicial de um objeto no instante t1 < t2. 
Equação 1: Deslocamento unidimensional: Dx = x(t
2
) – x(t
1
) 
 
Onde a letra grega D (delta maiúsculo) indica a variação de uma grandeza, 
no caso, a posição em dois instantes de tempo diferentes. Em um deslocamento 
no sentido positivo (valores de x(t) crescentes), x(t2) > x(t1) para t2 > t1, por exem-
plo: suponha que a partícula esteja na posição 10 m no instante 2 s, ou seja, x(t = 
– 11 –
Movimento unidimensional
2s) = 10 m e no instante t = 5 s a partícula se encontre na posição 15 m, ou seja, 
x(t=5 s) = 15. Assim, o deslocamento será Dx=15 m – 10 m = + 5 m. No caso de 
um deslocamento no sentido negativo, temos x(t2) < x(t1) para t2 > t1. 
Por exemplo: suponha agora que a partícula esteja na posição 10 m 
no instante 2 s, ou seja, x(t = 2s) = 10 m e no instante t = 5 s a partícula se 
encontre na posição 5 m, ou seja, x(t=5 s) = 5. Assim, o deslocamento será 
Dx = 5 m – 10 m = - 5 m. É importante notar que para fins de cálculo do deslo-
camento, apenas as posições inicial e final importam, não sendo relevante a dis-
tância total percorrida. Por exemplo, se no instante inicial, que vamos considerar 
como t= 0 s, a partícula se encontre na posição x = 10 m.
 Então suponha que a partícula vá até a posição x = 20 m e, logo após, para 
a origem (x= 0 m) no instante final. O seu deslocamento entre os instantes inicial 
e final será Dx = 0 – 10 = - 10 m. 
Os antigos classificavam o movimento de forma vaga como lento ou 
rápido. Acredita-se que Galileu foi o primeiro a descrevê-lo por meio do con-
ceito de velocidade, definido como a distância percorrida por unidade de 
tempo. Assim, a velocidade escalar média; 
Equação 2
Velocidade escalar média: v
escalar
= distância
tempo
 
Um carro que percorre 60 quilômetros (km) em duas horas tem uma 
velocidade de 30 quilômetros por hora (km/h). No SI a velocidade se mede 
em m/s. A velocidade média, representa pelos símbolos v ou v ,entre os 
instantes t1 e t2, é definida por
Equação 3
Velocidade média: 
x(t
2
) – x(t
1
) Dx
Dtt
2
 – t
1
= = =
 
Física I
– 12 –
 Você sabia
Apesar da definição de velocidade média, não precisamos de inter-
valos de tempo e de espaço para determinar uma velocidade, basta 
compará-la com uma grandeza fundamental na natureza, a velocidade da 
luz. Medir é comparar com um padrão. O metro é definido em termos 
da velocidade da luz. 
Diz-se que um movimento é uniforme quando a velocidade não muda 
com o tempo, ou seja, é constante. Os gráficos a seguir ilustram situações de 
movimento uniforme.
Figura 3 – O movimento uniforme. De cima para baixo, velocidade positiva (Dx > 0), 
velocidade negativa (Dx < 0) e velocidade nula (Dx = 0).
x(t)
x0
v = 0
tempo
x(t)
x0
v > 0
∆t 
∆ x
tempo
x(t)
x0
v < 0
tempo
– 13 –
Movimento unidimensional
x(t)
x0
v = 0
tempo
x(t)
x0
v > 0
∆t 
∆ x
tempo
x(t)
x0
v < 0
tempo
Fonte: elaborado pelo autor, 2015. 
Mas qual é a velocidade em um dado instante de tempo t ? 
Os dados acerca da velocidade média têm inequívoca importância. Por 
exemplo, se sabemos que um automóvel vai da cidade A até a cidade B a uma 
velocidade média de 100 km/h, deduziremos que levará 2 horas de viagem, se 
a distância entre as duas cidades for 200 km. 
Mas e se precisamos de informações a respeito do que acontece na 
proximidade imediata de um determinado instante de tempo ou determi- 
nado lugar? 
Queremos agora saber como varia a posição da partícula em função 
do tempo t, ou seja, desejamos conhecer o valor x(to), na vizinhança do 
instante to, conforme ilustrado na Figura 4. No instante to a posição do 
objeto é xo, ponto P no gráfico posição versus tempo. Entre os pontos P 
e Q, ou seja, entre os instantes to e to + Dt a posição muda de xo para xo + 
Dx. Como vimos, definimos a velocidade escalar média, nesse intervalo 
de tempo, como:
Equação 4
x(t
0 
+ Dt) – x(t
0
) Dx
Dt Dt
= =
 
Física I
– 14 –
Figura 4 – Obtenção da velocidade instantânea a partir da velocidade média entre 
os pontos t e t + Dt. 
t t + h
Fonte: elaborado pelo autor, 2015. 
Se desejarmos conhecer como se comporta a velocidade da partícula nas 
vizinhanças do instante to, devemos tomar Dt tendendo para zero, ou seja, 
devemos fazer com que o ponto Q se aproxime do ponto Q. A Figura 4, 
mostrou o que acontece.
 O intervalo Dt diminui, e a corda PQ se aproxima da tangente ao 
ponto P. Assim, no limite que Dt tende à zero, a velocidade média tende à 
velocidade instantânea:
Equação 5
Velocidade instantânea: limv(t) =
Dx dx
Dt dt
=Dt 0 
 
 Importante
A velocidade é a derivada da posição em função do tempo. Para uma 
melhor compreensão e resolução dos problemas, você precisará se lem-
brar das suas aulas de cálculo diferencial! Caso tenha dificuldades, faça 
uma revisão! 
– 15 –
Movimento unidimensional
Os movimentos que são observados no dia a dia, as velocidades geral-
mente variam em função do tempo. Este tipo de movimento é chamado de 
variado. Define-se a aceleração escalar média, a ou a , entre os instantes 
to e e to + Dt, como:
Equação 6
Aceleração média: 
v(t
0 
+ Dt) – v(t
0
) Dv
Dt Dt
= =a
 
Do mesmo modo, a aceleração instantânea é definida como:
Equação 7
Aceleração instantânea: lima(t) =
Dv dv d2x
Dt dt dt2
= =Dt 0
 
Ou seja, a aceleração é a derivada da velocidade. Como a velocidade é a 
derivada da posição, a aceleração é a segunda derivada da posição em função 
do tempo.
Exemplo: 
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por 
x(t) = 2t2 -2t + 10, onde x está em metros e t em segundos. 
Determine: 
a. velocidade média entre os instantes t = 0 e t =1 s?
b. a velocidade instantânea em t = 1s 
c. a aceleração média entre os instantes t= 0 e t = 1 s? 
d. a aceleração instantânea em t = 1s?
(tente você mesmo resolver antes de verificar a solução a seguir)
Física I
– 16 –
Solução:
a. Temos que x(0) = 10 m e x(1) = 10 m. Então Dt =1 s e Dx = 10-10 = 0 m. 
A velocidade média é então, pela equação 4 v= 0/1 m/s = 0 m/s. 
Note que entre os instantes t = 0 s e t=1s, a partícula se moveu. No 
entanto, o valor médio de sua velocidade foi nulo. 
b. A função velocidade é dada pela equação 5 v(t) = 4t -2 (lembre-se 
de suas aulas de Cálculo). No instante t = 1s, a velocidade fica 
v(t=1s) = 4(1)-2 = 2 m/s
c. A partir do item anterior, temos que v(t) = 4t -2 e que v(0) = -1 m/s 
e v(1) = 2 m/s. Assim, Dv = 2 – (-1) = 3 m/s e a aceleração média 
a = Dv/Dt = 3/1 = 3 m/s2
d. A aceleração instantânea é facilmente obtida derivando (equação 7 
a equação horária da velocidade: a(t) = 4 m/s2. 
1.3 O movimento retilíneo 
uniformemente variado 
Se a velocidade variar de maneira uniforme em função do tempo, 
ou seja, se Dv forem sempre iguais para Dt iguais, o movimento é 
conhecido como retilíneo uniformemente variado (MRUV). Assim, a 
aceleração deve ser constante:
Equação 8
constantea = Dv
Dv = v – v
0 
= a (t – t
0
)
Dt
=
 
Mas quais são as equações que descrevem o MRUV? 
Estas equações são conhecidas como funções horárias do MRU, isto é, 
equações nas quais a variável livre é o tempo. A partir da equação 8, obtemos 
a equação horária para a velocidade (verifique!): 
– 17 –
Movimento unidimensional
Equação 9: v = v
0 
+ at
 
A Figura 5 apresenta a equação 9 para os casos nos quais a aceleração é 
positiva (a >0, movimento acelerado), negativa (a < 0, movimento retardado) 
e nula (a = 0, movimento uniforme).
Figura 5 – Gráficos para o movimento acelerado (aceleração positiva), retardado 
(aceleração negativa) e uniforme (aceleração). 
x(t)
x0
Aceleração nula
tempo
x(t)
x0
Aceleração positiva
∆t 
∆ x
tempo
x(t)
x0
Aceleração negativa
tempo
Fonte: elaborado pelo autor, 2015. 
Física I
– 18 –
Se um automóvel descreve um movimento uniformemente variado, as 
áreas sob as curvas da figura fornecem o espaço percorrido Dx = x - xo no 
intervalo de tempo Dt = t - to. Fica como exercício mostrar que a função horá-
ria da posição para o MRUV é:
Equação 10
x
0 
+ v
0
 (t – t
0
) + 
a (t – t
0
)2 
x
2=
 
Note que a equação 10 representa uma função do segundo grau em 
relação ao tempo.
1.4 Queda livre e lançamento vertical
Você já notou o que acontece com os artefatos quando são lançados 
verticalmente para cima? Eles alcançam uma dada altura que depende da sua 
velocidade inicial, param instantaneamente, e começam a cair verticalmente 
em direção ao ponto do qual foram lançados. 
E como varia a velocidade do objeto? É constante? É variável? Um objeto 
situado nas proximidades da superfície terrestre está sujeito a uma aceleração 
constante, de módulo g = 10 m/s2, devido ao campo gravitacional da Terra, 
apontando para o centro da terra. Assim, durante a subida, o objeto des-
creve um movimento retardado (a < 0) e tem sua velocidade diminuída, em 
módulo. Durante a descida, o objeto adquire um movimento acelerado (a > 
0), aumentando o módulo de sua velocidade. 
O termo queda livre, muito utilizado em Física, está relacionado ao 
movimento acelerado de queda, onde os efeitos da resistência do ar são des-
prezados. Então, a queda livre é um tipo de movimento uniformemente 
variado, com aceleração constante devido à gravitação terrestre. Para resolver-
mos os problemas de queda livre, utilizamos as mesmas equações dos lança-
mentos verticais. No entanto, devemos tomar bastante cuidado na descrição 
da velocidade inicial do objeto. 
Note que as equações horárias estudadas até este momento, não 
levam em conta as massas dos corpos. Isto porque, como Galileu desco-
– 19 –
Movimento unidimensional
briu, todos os objetos em queda livre, ou seja, na ausência da resistência 
do ar, têm a mesma aceleração constante g, independentemente da sua 
massa, tamanho ou formato.
O valor local de g varia de acordo com a latitude e a altitude do local. 
Porém, para fins práticos e durante a ocorrência de um fenômeno de curta 
duração, como nos casos tratados ao longo desta disciplina, o valor da acelera-
ção gravitacional é assumido como uma constante, cujo valor aproximado é 9,8 
m/s2. Para facilitar os cálculos, utilizamos um valor arredondado para 10 m/s2. 
No lançamento vertical de um objeto, desprezando-se os efeitos do ar, 
a sua trajetória é retilínea e o movimento é uniformemente variado. Quando 
um objeto é lançado verticalmente, pode-se constatar que: o movimento é 
retardado na subida, para instantaneamente no ponto mais alto da trajetória, 
muda o sentido de movimento e passa a ser acelerado na descida.
 Importante
Há várias possibilidades para a orientação da trajetória no movimento de 
queda livre e lançamento vertical. Estas possibilidades devem estar de 
acordo com as nossas conveniências. Apresentamos, a seguir, as equações 
nas quais: o espaço ou deslocamento vertical é representado pela variável 
y; a aceleração escalar é representada pela constante g. O maior cuidado 
que se deve tomar está na determinação do sinal que antecede o termo 
contendo a velocidade e a aceleração gravitacional g, de acordo com a 
orientação positiva da trajetória, que pode ser para cima ou para baixo, na 
queda livre e no lançamento vertical. Como sugestão aos que não estão 
muito familiarizados com estes problemas, sugerimos escolher uma orienta-
ção positiva para cima (y cresce com a altura). Assim, o sinal de vo será posi-
tivo se a velocidade inicial estiver orientada para cima, e negativo se estiver 
orientada para baixo. Nesta convenção, o sinal de g será sempre negativo. 
Equação 11
Queda livre e lançamento vertical: 
y
0 
± v
0
t –
v
0 
– gt
– g
y
v
a
=
=
=
gt2 
2
 
Física I
– 20 –
Exemplo: 
E quando a resistência do ar ou do meio em questão, que pode ser um 
fluido viscoso, não pode ser desprezada? Este problema está intimamente 
ligado ao consumo de um automóvel a altas velocidades. Veja o problema 
resolvido a seguir (nível de dificuldade: alto. O problema exige bons conheci-
mentos de cálculo diferencial e integral). 
Quando um objeto esférico de metal cai em um líquido viscoso (mel, 
óleo, ou mesmo água, ou mesmo ar), sua aceleração é uma função da velo-
cidade na forma: a = v g 1– v
o
 em que vo é a velocidade limite da esfera. 
Mostre que as expressões analíticas da velocidade e da posição em fun-
ção do tempo são dadas, respectivamente por v = vo 1 – exp
gt – v
o
 e 
y = v
o
t –
v2
o
 
g 1 – exp
gt – v
o
 . 
Solução: 
a = = v g 1 – v
o
 
dv 
dt
z = v 1– v
o
 
= gdt
v 1– v
o
 
dv 
=
v 1– v
o
 
dv̍ v
o
t
o
gdt̍ 
dz = – dv v
o
 
– 21 –
Movimento unidimensional
– v
o 
dz dz – v
o = – vo lnz = – vo lnz z =
v 1– v
o
 
 
ln v 1– v
o
 = 
 – gt
v
o 
– v
o 
ln v 1– v
o
 = gt
v 1– v
o
 = exp
– gt
v
o 
v = vo 1 – exp
– gt
v
o 
Expressão analítica para a posição:
dy = vo dt1 – exp
– gt
v
o 
 = v = vo 1 – exp
– gt
v
o 
dy
dt
v =
dy = vo dt1 – exp
– gt
v
o 
y = vot – 1 – exp
– gt
v
o 
v2
o
g
 Importante
O que acontece quando alguém salta de um avião e abre um paraque-
das? Vamos olhar mais de perto a física do paraquedismo. A Figura 6 
mostra uma pessoa em queda livre sem um paraquedas. Inicialmente, 
a força gravitacional (a força com que a Terra nos puxa em sua direção) 
é maior que a resistência do ar sobre o paraquedista. Assim, ele está 
acelerando em direção ao solo.
Física I
– 22 –
À medida que a velocidade do paraquedista aumenta, a resistência 
do ar também aumenta, pois quanto mais rápido um corpo se desloca 
na presença de um fluido como o ar, maior é força de resistência do 
fluido sobre o corpo, até o momento no qual a resistência do ar será 
igual à gravidade em módulo. A partir deste momento, o corpo não 
estará mais acelerando, mas em movimento uniforme com a velocidade 
terminal que pode alcançar 200 km/h.Chocar-se com o solo nessa 
velocidade seria fatal. Assim, o paraquedista abre seu paraquedas, 
aumentando a resistência do ar e diminuindo a sua velocidade. 
Figura 6 – Representação esquemática de uma pessoa num 
salto livre, sujeito à resistência do ar. 
Resitência do ar
Gravidade
Resitência do ar
Gravidade
Fonte: elaborado pelo autor, 2015. 
Resumindo
Neste capítulo, você estudou os diversos tipos de movimentos unidimen-
sionais e conheceu os conceitos de velocidade média, velocidade instantânea, 
aceleração média e aceleração instantânea. Essas definições serão importantes 
para você em várias situações. Elas estão intimamente ligadas, por exemplo, 
– 23 –
Movimento unidimensional
ao desempenho de um automóvel. Para comparar o desempenho de dois car-
ros, você precisa comparar as suas acelerações médias máximas, além, é claro, 
de outros fatores, como a aerodinâmica.
Definimos o conceito de:
Velocidade escalar média: v
escalar
= distância
tempo
; 
Velocidade média: 
x(t
2
) – x(t
1
) Dx
Dtt
2
 – t
1
= = = ; 
Velocidade instantânea: limv(t) = Dx dxDt dt
=Dt 0 ; 
Aceleração média: 
v(t
0 
+ Dt) – v(t
0
) Dv
Dt Dt
= =a ; 
Aceleração instantânea: lima(t) = Dv dv d
2x
Dt dt dt2
= =Dt 0 .
A equação horária do movimento uniformemente variado (MUV) é 
dada por: 
x
0 
+ v
0
 (t – t
0
) + 
a (t – t
0
)2 
x 2=
Enquanto, que a equação horária para a velocidade no MUV é: v = v
0
 + at .
Aplicações importantes para o MUV são a queda livre e o lança- 
mento vertical:
y
0 
± v
0
t –
v
0 
– gt
– g
y
v
a
=
=
=
gt2 
2
2
Vetores 
Os vetores são usadosem física e engenharia para descrever 
qualquer coisa que tenha uma direção, um sentido, e uma inten-
sidade (magnitude). São geralmente representados por flechas ou 
setas, cujo comprimento representa o tamanho (ou módulo) do 
vetor. A representação de um chute numa bola de futebol é um bom 
exemplo de grandeza vetorial, porque tem uma direção, sentido e 
uma intensidade.
Em física ou engenharia, os vetores são utilizados para repre-
sentar qualquer grandeza física. A velocidade de um corpo é uma 
grandeza vetorial, porque tem uma direção (paralela a um trecho 
da Rodovia Presidente Dutra, por exemplo), um sentido (indo para 
São Paulo) e uma magnitude (90 km/h). 
Uma compreensão de vetores é fundamental para o enge-
nheiro na execução de seu projeto. 
Física I
– 26 –
Objetivo de aprendizagem:
 2 Expressar corretamente grandezas escalares e elementos de sua 
representação simbólica.
2.1 O que são vetores?
Várias grandezas físicas, tais como massa, densidade, comprimento e 
tempo, exigem para a sua completa especificação um único número real e 
a unidade na qual é medida. Tais quantidades são chamadas de escalares e, 
o número real, de magnitude desta quantidade. Um escalar é representado 
por uma letra, como t para tempo, T para temperatura, m para massa, etc... 
Assim, quando queremos dizer que a temperatura de uma pessoa é 37 graus 
Celsius , escrevemos T = 37oC, onde 37 é a magnitude e oC (Celsius) é a uni-
dade na qual a temperatura foi medida. 
Outras grandezas da física exigem, para a sua completa especificação, uma 
direção, um sentido e uma magnitude. Elas são chamadas de vetores. Um vetor 
é representado por uma letra com uma seta, L , ou em negrito L. Geometrica-
mente é representado por uma seta, conforme ilustrado na Figura 1. 
Fig. 1 – a) Grandezas escalares são definidas apenas como um número e uma unidade. 
 b) Representação geométrica de vetores. O vetor MN possui magnitude l 
-20
(a)
(b)
ref
α
M
N
-10 0 10 20 30 40 50
ℓ
Fonte: MSPC, 2015.
Módulo de F F| |= F
– 27 –
Vetores 
Grandeza escalar
Descrita por um único 
número e uma unidade
Exemplo: massa, tempo
Grandeza vetorial
Descrita por um módulo (e uma 
unidade), direção e sentido
Exemplo: velocidade, 
aceleração, força
2.2 Álgebra de vetores
As operações de adição, subtração e multiplicação que nos são familiares 
na álgebra de números reais, também são, com as devidas definições, capazes 
de serem estendidas para a álgebra de vetores. As seguintes definições são 
fundamentais: 
i. Dois vetores A e B são iguais se eles possuem a mesma magnitude 
(módulo), direção e sentido, a despeito de suas origens, conforme 
ilustrado na Figura 2. Assim, escrevemos A = B. 
ii. Um vetor possuindo o mesmo módulo (magnitude), a mesma dire-
ção, porém sentido oposto ao vetor A, é escrito como –A, conforme 
ilustrado na Figura 2.
Fig. 2 – Dois vetores iguais (mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido) a e 
b. Os vetores c e d são tais que c = – d.
a b
d
c
Fonte: MSPC, 2015.
iii. A soma ou resultante de A e B é o vetor C formado pelo vetor que 
parte do mesmo ponto de um dos vetores e se estende ao ponto 
Física I
– 28 –
final do segundo vetor: escrevemos C = A + B. Esta definição é 
equivalente à regra do paralelogramo para a adição de vetores, con-
forme ilustrado na Figura 3.
Figura 3 – A soma de dois vetores (a+b).
c = 
a +
 b
aO A B
C
D
α
β
b
ф
Fonte: MSPC, 2015.
Para determinar a magnitude da soma de dois vetores, podemos utilizar 
a lei dos cossenos. Considere a soma C = A + B. A magnitude do vetor soma 
é dada por:
C2 = A2 + B2 + 2A.B.cosf
Onde f é o ângulo entre os vetores A e B (vide Figura 3). 
Extensões para a soma de mais do que dois vetores é imediata. Por exem-
plo, a Figura 4 mostra como obter a soma ou resultante dos vetores w, v , m, 
O, g e i . 
Figura 4 – A soma de vários vetores.
Resultado
da soma
i
g
O
m
v
w
Fonte: Aprendendo física, 2015.
– 29 –
Vetores 
iv. A diferença entre os vetores v1 e v2 , representada por v1 – v2 é o vetor v , 
que quando somado ao vetor v2 , resulta no vetor v1 , conforme ilus-
trado na Figura 5. Do mesmo modo, v = v1 – v2 pode ser escrito 
como v = v1 + ( – v2 ). Se v1 = v2 , então v é o vetor nulo, representado 
por o . O vetor nulo possui módulo (magnitude) nulo, mas sua 
direção e sentido não são definidos.
Figura 5 - A diferença entre dois vetores.
V
V = -
V1
V1
-V2
V2
Fonte: e-física, 2015.
v) O produto de um vetor A por um escalar l (lê-se lambda), é o vetor l A 
com magnitude |l| vezes a magnitude de A, com a mesma direção e o sentido 
sendo o mesmo ou contrário ao de A, dependendo se l é positivo ou negativo, 
conforme ilustrado na Figura 6. Se l=0, então l A = 0 é o vetor nulo.
Figura 6 - O produto de um vetor por um escalar. 
a
−a
−2 a
3 a
Fonte: MSPC, 2015. 
Física I
– 30 –
Leis da álgebra de vetores:
Se A, B e C são vetores e a (lê-se alfa) b (lê-se beta) são escalares, então:
A + B = B + A (propriedade comutativa para a adição)
A + (B + C ) = (A + B) + C (propriedade associativa para a adição)
a(bA) = (ab)A = b(aA) (propriedade associativa para a multiplicação 
por escalar)
(a+b)A = aA + bA (propriedade distributiva)
a(A+ B) = aA + aB (propriedade distributiva)
 Você Sabia
Os vetores foram criados no início do século XIX como represen-
tações geométricas dos números complexos. Entre os responsáveis 
pela criação, podemos citar os matemáticos C. Wessel (1745-1818), 
J. R. Argand (1768-1822), C. F. Gauss (1777-1855). Eles conce-
beram os números complexos como pontos no plano bidimensional, 
ou seja, como vetores no plano.
Fonte:http://www.ebah.com.br/content/ABAAABhs0AL/historia-
dos-vetores 
2.3 Componentes de um vetor
Os componentes de um vetor v são números reais (escalares), Fx, Fy e 
Fz a relação aos eixos de um sistema de coordenadas tridimensional xyz. No 
caso particular de um sistema de coordenadas bidimensional, os componen-
tes de um vetor são obtidos pelo traçado de retas perpendiculares aos eixos, 
conforme ilustrado na Figura 7.
– 31 –
Vetores 
Figura 7 – As componentes de um vetor. 
θ
y
XVx
Vy
V
Fonte: e-física, 2015. 
Pela Figura 7, podemos verificar que os componentes horizontal e verti-
cal são dados por (lembre-se do Teorema de Pitágoras):
senθ = 
Fy
F
cosθ = 
Fx
F
tgθ = 
Fy
Fx
senθ 
cosθ = (1)
Onde q é o ângulo entre o vetor F e o semi-eixo positivo x. O ângulo q 
fornece a orientação do vetor. Dados os componentes de um vetor, podemos 
calcular o módulo do vetor como: 
O módulo de F : F| | = F = F²x + F²y (2)
2.4 Vetores unitários
Os vetores unitários î, ĵ e possuem módulo unitário, | î |, | ĵ | e | | = 1, 
e sentido igual ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente. 
Física I
– 32 –
Figura 8 – Os vetores unitários î, ĵ e . 
x
z
k
yO
i
j
Fonte: e-física, 2015. 
Figura 9 – O espaço cartesiano em três dimensões com um vetor A, suas 
componentes A
x
, A
y
 e A
z
.
Ay
Az
A
Ax
Fonte: MSPC, 2015. 
– 33 –
Vetores 
Módulo dos vetores unitários: | î | = | ĵ | = | | = 1 (3)
Os vetores unitários | î |, | ĵ | , | | são mutuamente perpendiculares, ou 
seja, o ângulo entre eles é 90o. Em um sistema de coordenadas tridimensional 
cartesiano, podemos expressar um vetor F em termos de suas componentes e 
dos vetores unitários:
F = Fx î + Fy ĵ + Fz (4) 
O módulo de um vetor tridimensional pode ser calculado como:
|F | = F²x + F²y + F²z (5)
Soma de dois vetores. Sejam os vetores A = Axî + Ay ĵ+ Az e 
B = Bxî + Byĵ+ Bz . O vetor soma (ou diferença) A ± B é escrito em termos de 
os componentes de A e de B como:
 A ± B = (Ax ± Bx)î + (Ay ± By)ĵ + (Az ± Bz) (6)
2.5 Produto escalar entre vetores
O produto escalar AB (lê-se A escalar B) entre dois vetores A e B é uma 
grandeza escalar dada por:
A.B = |A ||B | cosθ (7)
Onde q é o ângulo entre o vetor A e o vetor B. O produto escalar é 
comutativo, ou seja, 
A.B = B.A (8)
É fácil verificar a partirda equação (7) que o produto escalar de um vetor 
unitário por ele mesmo é igual a 1.
î.î = ĵ.ĵ = . = 1 (9)
Do mesmo modo, o produto escalar de um vetor unitário por um outro 
vetor unitário da base é nulo, pois o ângulo entre eles é 90o e cos900 = 0. 
î.ĵ = ĵ. = .î = 0 (10)
Em termos das componentes de um vetor, o produto escalar pode ser 
escrito como:
A.B = Ax Bx + Ay By + Az Bz (11)
Física I
– 34 –
2.6 Produto vetorial entre vetores
O produto vetorial entre dois vetores A e B, representado por A × B é 
uma grandeza vetorial dada por:
C = A × B
|C| = |A||B| senθ (12)
 Importante
Note que podemos multiplicar vetores de formas diferentes. O pro-
duto escalar entre dois vetores resulta num escalar, enquanto o pro-
duto vetorial entre dois vetores resulta num vetor. Para diferenciarmos 
entre estes dois tipos distintos de multiplicação, utilizamos a notação 
A.B para o produto escalar e A×B para o produto vetorial.
Onde q, como anteriormente, é o ângulo entre o vetor a e o vetor b . A 
orientação do vetor a×b é perpendicular ao plano definido pelos vetores a e
b . Para encontrar a direção do vetor a×b , utilizamos a regra da mão direita, 
conforme ilustrado na Figura 10.
Figura 10 – A regra da mão direita para o produto vetorial. 
polegarindicador
médio
a
b
a x b
Fonte: Universidade Federal do Ceará, 2015.
– 35 –
Vetores 
O produto vetorial é anticomutativo
A × B = –B × A (13)
Em termos dos vetores unitários, o produto vetorial pode ser expandido 
de acordo com a lei distributiva:
A × B = (Axî + Ay ĵ+ Az ) × (Bxî + By ĵ+ Bz )
= (Ay Bz – Bz Ay)î + (AzBx – Bx Az)ĵ + (Ax By – Bx Ay) (14)
Grandeza vetorial: um parâmetro físico no qual tanto a magni-
tude quanto a direção e o sentido devem ser especificados. 
Grandeza escalar: um parâmetro físico que possui um valor 
numérico e uma unidade, na qual a direção é aplicável. 
 
 Saiba mais
Quer aprofundar seus conhecimentos em vetores? Leia Academia 
Khan, Introdução à vetores e escalares: https://pt.khanacademy.
org/science/physics/one-dimensional-motion/displacement-velocity-
time/v/introduction-to-vectors-and-scalars 
Resumindo 
As grandezas em Física e Engenharia podem ser classificadas em 
grandezas escalares e grandezas vetoriais. As grandezas escalares são espe-
cificadas por um número e uma unidade, obedecendo às leis da aritmética 
ordinária. Por outro lado, as grandezas vetoriais possuem uma magnitude 
ou módulo, uma direção e um sentido, além de obedecerem às leis da 
álgebra de vetores: 
A + B = B + A (propriedade comutativa para a adição)
Física I
– 36 –
A + (B + C ) = (A + B) + C (propriedade associativa para a adição)
a(bA) = (ab)A = b(aA) (propriedade associativa para a multiplicação 
por escalar)
(a+b)A = aA + bA (propriedade distributiva)
a(A+ B) = aA + aB (propriedade distributiva)
Vivemos em um mundo de mudanças. O movimento é sem-
pre presente em nossa vida, sendo fundamental para a existência 
humana. Os ponteiros dos relógios estão sempre se movendo, mar-
cando a passagem do tempo. Precisamos de movimento para cres-
cer, para aprender, para pensar e para aproveitar a vida. 
O movimento é a observação mais fundamental sobre a natu-
reza. Tudo o que acontece no mundo é algum tipo de movimento, 
não há exceção. A cinemática, por exemplo, é a parte da mecânica 
que estuda o movimento sem se preocupar com as suas causas. Nesta 
aula, você irá aprender sobre os diversos tipos de movimento e os 
seus componentes, como velocidade média, velocidade instantânea, 
aceleração média e aceleração instantânea.
3
Movimento no plano 
e no espaço
Física I
– 38 –
Galileu Galilei foi o primeiro estudioso da natureza a observar e descre-
ver cuidadosamente o movimento dos objetos. O conceito central na des-
crição quantitativa deste fenômeno é o de velocidade. Galileu determinava 
experimentalmente as velocidades e as suas mudanças que ocorriam quando 
os corpos se moviam. O físico também percebeu que não só a magnitude, 
mas também a direção e o sentido do movimento eram de grande importân-
cia para seu estudo. 
Objetivos de aprendizagem:
 2 Varacterizar o movimento;
 2 Compreender o caráter vetorial do deslocamento, da velocidade e 
da aceleração.
3.1 O vetor posição
A posição de um corpo (idealizado aqui como uma partícula) em função 
do tempo pode ser determinada, de forma generalizada, pelo vetor posição 
r (t). Este vetor liga a partícula à origem de um sistema de coordenadas. Na 
notação dos vetores unitários î, ĵ, , o vetor posição é escrito como (SEARS; 
ZEMMANSKY: YOUNG, 2008): r (t) = x(t)î + y(t) ĵ + z(t) (1)
Onde x(t)î, y(t) ĵ e z(t) são as componentes vetoriais do vetor posição 
e x, y, e z, são as suas componentes escalares.
3.2 O vetor velocidade
Suponha que uma partícula se mova ao longo do caminho C, conforme 
mostrado abaixo. Seja o vetor posição do ponto P no tempo t for r = r (t) 
enquanto o vetor posição do ponto Q no tempo t+Dt for r + ∆r = r (t + ∆t). 
Então a velocidade instantânea, ou simplesmente velocidade da partícula em 
P é dada por:
Velocidade instantânea: v (t) = d (t)r
dt
Dr
Dt
Dr
Dt
= =lim∆t → 0 lim∆t → 0 (t + Dt) – r (t) (2)
– 39 –
Movimento no plano e no espaço
Figura 1 – Trajetória de uma partícula ao longo do caminho C. 
Caminho C
P v
r
Origem
Fonte: elaborado pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
O vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória da partí-
cula na posição da partícula. 
Se r (t) = x(t)î + y(t) ĵ + z(t) , podemos escrever:
dr
dt
dx
dt
dy
dt
dz
dtv
= = + +
v = vx î + vy ĵ + vz (3)
A magnitude, ou módulo do vetor velocidade, é chamada de velocidade 
escalar e é dada por:
Módulo da velocidade: dr
dt
dx
dt
dy
dt
dz
dt
ds
dt
= = + +v – | v | – 
² ² ²
 (4)
Onde s é comprimento do arco ao longo do caminho C, medido a partir 
de algum ponto inicial.
Física I
– 40 –
3.3 O vetor aceleração
Se v = r é o vetor velocidade da partícula, podemos definir o vetor ace-
leração instantânea da partícula no ponto P como:
a (t) = d (t)v
dt
Dv
Dt
v
Dt
= =lim∆t → 0 lim∆t → 0 (t + Dt) – v (t) (5)
Em termos do vetor r (t) = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) , a aceleração é represen-
tada por: 
= ax î + ay ĵ + az 
d²r d²x d²y d²z
dt² dt² dt² dt²
= = + +a(t)
a(t)
 (6)
E a sua magnitude ou módulo é:
dv
dt
= + +a – | a | – 
² ² ²d²x d²y d²z
dt² dt² dt²
 (7)
Exemplo: A posição de uma partícula que se move no espaço é dada por 
= t²î – 2t ĵ + 3 r (t) , onde a posição é dada em metros e o tempo em segundos. 
Calcule posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 1 s. 
Solução: para t=1s a posição da partícula é = 1î – 2 ĵ + 3 r(1) .
A velocidade da partícula é dada por dr dx dy dz
dt² dt dt dt
= = + +v ,
ou seja, 2tî – 2ĵ=v . No instante t =1s, a velocidade da partícula é: 2î – 2ĵ=v .
A aceleração da partícula é dada por d²r d²x d²y d²z
dt² dt² dt² dt²
= = + +a(t) . Ou 
seja, o vetor aceleração é dado por a (t) = 2î . Vemos que a aceleração é constante.
3.4 Movimento relativo
Todos nós sabemos que movimento se difere do repouso. No entanto, 
Galileu mostrou que não há uma diferença intrínseca entre movimento e 
repouso. Movimento e repouso dependem do observador, ou seja, é relativo. 
Movimento relativo refere-se ao movimento ou velocidade de 
qualquer objeto em relação a um determinado ponto ou referên-
cial. Por exemplo, uma bola é jogada verticalmente para cima 
– 41 –
Movimento no plano e no espaço
dentro de um ônibus, enquanto ele se move com velocidade 
constante. Para um observador dentro do ônibus a bola cairá 
na mesma posição na qual foi arremessada. No entanto, para 
um observador fora do ônibus a bola cairá num ponto dife-
rente, pois o ônibus se moveu enquanto a bola estava no ar. 
 
Se duas partículas P1 e P2 estão se movendo com velocidades v1 e v2, 
respectivamente, e acelerações a
1
e a
2
, os vetores:
v
21
 = v2 – v1 e a21 = a2 – a1 (8)
São respectivamente a velocidade relativa ea aceleração relativa da partí-
cula P2 em relação à partícula P1. 
3.5 Movimento com aceleração constante
As definições básicas de velocidade e aceleração sugerem um procedi-
mento apropriado para determinar a posição de uma partícula em função 
do tempo. A variação da velocidade de uma partícula, Dv , num período de 
tempo infinitesimal (suficientemente pequeno) Dt, é dado pela equação: 
Dv = aDt (9)
Quando o intervalo de tempo deixa de ser infinitesimal e passa a ser 
finito, mais precisamente entre os instantes to e t, quando as velocidades 
da partícula são v0 e v , respectivamente, podemos reescrever a equação 
acima como:
v – v
0
 = ∫
t
t
0
 a(t)dt (10)
Onde escrevemos a(t) para mostrar que a aceleração da partícula é con-
siderada uma função do tempo. Na maioria dos casos, a integral é calculada 
até um instante definido de tempo t, a partir de um instante inicial de tempo, 
definido como to. Note que, a integral acima, partindo do conhecimento da 
aceleração da partícula em função do tempo, nos fornece somente a varia-
ção do vetor velocidade durante os instantes to e t. A informação a respeito 
Física I
– 42 –
da velocidade no instante to (ou qualquer outro instante) deve ser fornecida 
adicionalmente. A velocidade v
0
 é um exemplo típico de uma constante de 
integração que exige o conhecimento das condições iniciais. Em termos das 
componentes ax, ay e az do vetor aceleração, as componentes do vetor veloci-
dade podem ser calculadas como: 
v
x – vx0 = ∫
t
t
0
 a
x
(t)dt 
v
y – vy0 = ∫
t
t
0
 a
y
(t)dt 
v
z – vz0 = ∫
t
t
0
 a
z
(t)dt (11)
Onde =vxî + vy ĵ + vz v , =vx0î + vy 0 ĵ + vz0 v0 , e =axî + ay ĵ + az a(t) . 
De maneira análoga, a partir de uma dada função v(t) que descreve 
o vetor velocidade em função do tempo, podemos determinar a distância 
percorrida pela partícula entre os instantes to e t. A variação da posição (ou 
deslocamento) de uma partícula, Dr , num intervalo de tempo infinitesimal 
(suficientemente pequeno) Dt, é dado pela equação: 
Dr = vDt (12)
Quando o intervalo de tempo deixa de ser infinitesimal e passa a ser 
finito, mais precisamente entre os instantes to e t, quando as posições da par-
tícula são r
0
 e r , respectivamente, podemos reescrever a equação 12 como:
r – r
0
 = ∫
t
t
0
 r (t)dt (13)
Onde, como anteriormente, escrevemos v(t) para mostrar que a veloci-
dade da partícula é considerada uma função do tempo. Como visto antes, na 
maioria dos casos, a integral é calculada até um instante definido de tempo 
t, a partir de um instante inicial de tempo, definido como to. Note nova-
mente que, a integral acima, partindo do conhecimento da velocidade da 
– 43 –
Movimento no plano e no espaço
partícula em função do tempo, nos fornece somente a variação do vetor posi-
ção durante os instantes to e t. A informação a respeito da posição no instante 
to (ou qualquer outro instante) deve ser fornecida adicionalmente. O vetor 
posição inicial, r
0
, é outro exemplo típico de uma constante de integração que 
exige o conhecimento das condições iniciais. Em termos das componentes 
vx, vy e vz do vetor velocidade, as componentes do vetor posição podem ser 
calculadas como: 
x – x
0
 = ∫
t
t
0
 v
x
(t)dt 
y – y
0
 = ∫
t
t
0
 v
y
(t)dt 
z – z
0
 = ∫
t
t
0
 v
z
(t)dt (14)
A aplicação mais simples destas equações cinemáticas, para v = O, são 
familiares a você, e é conhecido como movimento uniforme: 
v – v
0
 = ∫
t
t
0
 a(t)dt = 0 
v = v
0
 (15)
e
r – r
0
 = v
0
t (16)
Em termos das componentes:
x – x
0
 = v
x
t
y – y
0
 = v
y
t
z – z
0
 = v
z
t (17)
Física I
– 44 –
No caso de uma aceleração constante (movimento retilíneo uniforme-
mente variado ou MRUV), temos:
v – v
0
 = at (18)
e r – r
0
 = v
0
t + t
2
2
a (19)
Em termos das componentes:
x – x
0
 = v
x
t + 
t2
2
a
x 
y – y
0
 = v
y
t + 
t2
2
a
y 
z – v
0
 = v
z
t + 
t2
2
a
z (20)
 Importante
A direção do vetor velocidade instantânea de uma partícula é sempre 
tangente à trajetória da partícula. 
3.6 Movimento circular
A Terra descreve um movimento aproximadamente circular ao redor do 
Sol. Este tipo é conhecido como movimento uniforme com trajetória cur-
vilínea, onde a direção do vetor velocidade é variável, porém o seu módulo 
é constante. Há, no entanto, situações nas quais tanto a direção quanto o 
módulo do vetor velocidade são variáveis. Assim, há duas componentes da 
aceleração vetorial, uma responsável pela variação do módulo do vetor veloci-
dade - a aceleração tangencial -, e outra responsável pela mudança de sua dire-
ção - a aceleração centrípeta. Nesta seção, vamos estudar esses movimentos. 
A aceleração tangencial (tangente à trajetória), at, está relacionada com 
a taxa de variação do módulo do vetor velocidade. A direção da componente 
tangencial da aceleração é a mesma do vetor velocidade. O sentido pode ser 
o mesmo de v (movimento acelerado) ou oposto a v (movimento retardado). 
Se a aceleração tangencial é nula, então o módulo da velocidade é constante. 
– 45 –
Movimento no plano e no espaço
Módulo da aceleração tangencial: dvdtat= (21)
Suponha que uma partícula P se mova sobre um círculo C de raio R. Se 
s é o comprimento do arco medido ao longo de C, a partir do ponto A até 
o ponto P, e q é o ângulo correspondente expresso em radianos, então s=Rθ. 
Assim, as magnitudes da velocidade tangencial e da aceleração tangencial são 
dadas, respectivamente por:
dv dθ
dt dtv = R = Rω=
dv d²s d²θ
dt dt² dt²
a
t
= R = Rα= =
 (22)
Onde ω= dθdt e α=
d²θ
dt²
dω
dt =
 são respectivamente a velocidade angular 
e a aceleração angular. No sistema internacional, a velocidade angular é dada 
em rad/s e a aceleração angular em rad/s2.
A aceleração normal ou centrípeta, é dada por ac=
v²
R =
ω²R (23).
A aceleração centrípeta, ac, é responsável pela mudança da direção de v . 
A direção da aceleração centrípeta é perpendicular ao vetor velocidade v , e o 
sentido está orientado para o centro da curvatura da trajetória no ponto da loca-
lização do objeto. Se a aceleração centrípeta for nula, o movimento será retilíneo. 
Figura 2 – Os elementos essenciais para o movimento curvilíneo. 
Aceleração centrípeta
Aceleração resultante
Velocidade
Aceleração tangencial
Fonte: elaborado pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
Física I
– 46 –
Na Figura 2, acp representa a aceleração centrípeta que aponta para o 
centro da circunferência. A aceleração at, representa a aceleração tangencial, 
que, assim como a velocidade, é tangente à trajetória.
 Você sabia
O sentido dos ponteiros do relógio, ou sentido horário, é o movi-
mento circular de rotação num plano, que se desenvolve a partir 
do topo do círculo para a direita, retornando ao ponto original. O 
movimento contrário, ou sentido anti-horário, é o movimento circular 
de rotação num plano, que se desenvolve a partir do topo do círculo 
para a esquerda. Por definição, o sentido anti-horário é definido, em 
matemática e em física, como sendo o sentido positivo. Estas expres-
sões tiveram origem na direção do movimento que o Sol descreve no 
céu do hemisfério norte. 
 Saiba mais
Antigamente, utilizavam-se relógios de Sol, cujo ponteiro era a som-
bra do gnómon projetado no mostrador. Enquanto que o Sol des-
creve a sua trajetória no céu de leste para oeste, a sombra do ponteiro 
do relógio solar movimenta-se no mesmo sentido de rotação. 
3.7 Lançamento de projéteis 
nas vizinhanças da Terra
A questão que Galileu queria responder era: qual é a curva descrita 
por um projétil nas vizinhanças da superfície da Terra? Todos os projéteis 
têm trajetórias similares. Ao lançar um objeto, testemunha-se que a traje-
tória é uma curva com concavidade para baixo. Este fato fica ainda mais 
evidente se o lançamento for realizado horizontalmente, a trajetória do 
objeto é defletida para baixo, logo apóso projétil perder o contato com o 
causador do movimento.
– 47 –
Movimento no plano e no espaço
Um objeto lançado nas vizinhanças da superfície da Terra, desprezando 
a resistência do ar e a rotação da Terra, descreve uma trajetória em forma de 
parábola (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 1996). As resistências ao des-
locamento, bem como efeitos da rotação da Terra, são desprezadas para que 
a sua análise torne-se mais simples. O lançamento de projéteis é observado 
como uma composição de dois movimentos independentes: na componente 
horizontal (eixo Ox), por não haver aceleração nessa direção, ou seja, ax = 
0, temos um movimento retilíneo uniforme (MRU); na componente verti-
cal (eixo Oy), verificamos um movimento retilíneo uniformemente variado 
(MRUV) devido à aceleração da gravidade, g, cujo valor é constante (não 
varia no tempo) e aproximadamente uniforme (não varia no espaço), dirigida 
verticalmente para baixo, ou seja, se adotarmos uma orientação positiva no 
eixo y para cima, teremos ay = -g. 
Considerando–se os aspectos importantes da trajetória do projétil, 
temos as seguintes informações fundamentais: a magnitude da velocidade 
inicial vo; o ângulo de lançamento do projétil q; a altura máxima H alcançada 
pelo projétil; o alcance A do projétil, conforme ilustrado abaixo. Na Figura 3, 
a posição inicial é escolhida como a origem.
Figura 3 – Os elementos essenciais para o lançamento de projéteis. 
y
Altura
máxima (H)
Alcance (A)
x
Fonte: elaborado pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
Física I
– 48 –
Na Figura 3, H representa a altura máxima alcançada pelo projétil e A o 
seu alcance horizontal.
Em cada instante da trajetória, o vetor v , que é tangente à trajetória 
parabólica, aponta numa direção, que varia de acordo com as suas compo-
nentes: uma componente horizontal, vx constante, e outra vertical, vy variável. 
Para facilitar nosso estudo sobre o movimento parabólico de um pro-
jétil, vamos analisar as componentes horizontal e vertical, obtendo assim as 
respectivas equações horárias e a equação da parábola descrita. Lembre-se que 
como a trajetória é parabólica, a análise é realizada em duas dimensões, sobre 
o plano cartesiano xy.
Movimento uniforme no eixo Ox. Considere a situação ilustrada na 
Figura 3, onde a componente da aceleração é nula. 
a
x
= 0
v
x= vx0 =v0cosθ
x = vxt = v0(cosθ)t
Movimento uniformemente variado no eixo Oy.
a
y
= – g
v
y= v0y – gt =v0senθ – gt 
y = v
0y
t – gt²
2
 = v
0 
senθe – gt²
2
Com estas informações, podemos obter a altura máxima, H, e alcance 
horizontal, A, do projétil? A partir das equações do movimento de projéteis, 
é possível encontrar H e A. No ponto mais alto de sua trajetória, há mudança 
de sentido no eixo vertical, e, consequentemente, a componente vertical da 
velocidade é nula, vy = 0. Pode-se determinar o tempo de subida, ou seja, o 
tempo no qual o projétil leva desde o instante em que é lançado até alcançar 
a altura máxima, H, igualando a velocidade vertical a zero, ou seja,
v
y
 = v
0 
senθ – gts = 0
ts = 
v
0 
senθ
g
– 49 –
Movimento no plano e no espaço
H = y
max 
= y(t=ts) = v0 senθ 
v
0 
senθ
g – 
g
2
 v0 senθg
2
 = 
v
0 
2 sen2 θ
2g
H = 
v
0 
2 sen2 θ
2g
Altura máxima de um projétil: H = 
v
0 
2 sen2 θ
2g
 (24) 
De modo a determinar o alcance, A, basta verificar que, por simetria, o 
tempo de subida é igual ao tempo de descida. Assim, o tempo total de voo é 
o dobro do tempo de subida.
A = x
max 
= x(t=2ts) = v0 (cosθ) 
2v
0
 senθ
g
 = 
2v
0
2 senθcosθ
g
 
Alcance de um projétil: A = 
v
0
2 sen2θ
g
 (25)
Onde utilizamos a igualdade 2senθcosθ = sen2θ.
Da equação 25, verificamos que o alcance horizontal é o maior possível 
quando o ângulo de lançamento é q=45o, pois sen2q=sen90o =1. 
Figura 4 – O vetor velocidade do projétil é tangente à trajetória em cada ponto 
da trajetória. 
Retas tangentes
Fonte: elaborado pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 2006.
Cada instante da trajetória parabólica é tangenciado pela velocidade 
vetorial, que muda de direção e de módulo a cada instante, e cujo módulo é 
dado por:
Física I
– 50 –
v| | = v²x + v²y (26)
Como visto, quando y=H, a componente vertical da velocidade é nula 
(vy = 0) e vx = constante ≠ 0. Consequentemente, o projétil não para no ponto 
mais alto de sua trajetória.
3.8 Trajetória de um projétil 
nas vizinhanças da Terra
Podemos isolar o tempo na equação horária da componente horizontal 
do movimento do projétil:
x = v
0
 cosθt
temos
x = 
x
v
0 
cosθ
Substituindo o tempo na equação horária para a componente verti- 
cal, temos,
y = v
0
 (senθ)t – gt²
2
obtemos
y – (tgθ)x – 
gx²
2v
0
²cosθ
Que é a equação da parábola que passa pela origem e cuja concavidade 
é dirigida para baixo.
Exemplo: Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que 
está a yo = 50,0 m acima de um terreno plano,com uma velocidade de 20 m/s. 
Por quanto tempo o projétil permanece no ar?
Solução:
As equações do movimento para o projétil são (escolhendo o eixo y 
orientado para cima):
– 51 –
Movimento no plano e no espaço
v = 20t
y – 50 – 5t²
vx = 20
vy = – gt
O projétil toca o solo quando y=0. Ou seja: 50=5t2
t = √10s
A que distância horizontal do ponto de disparo, o projétil se choca com 
o chão?
Solução:
Substituindo o tempo de voo na equação para o deslocamento horizon-
tal: x = 20√10 metros. 
Cinemática: é o ramo da física que se ocupa da descrição dos 
movimentos dos corpos, sem se preocupar com as suas causas. 
Trajetória: É o nome dado ao percurso realizado por um dado 
corpo no espaço, com base em um sistema de coordenadas. 
 
Resumindo
Nesta aula, estudamos os diversos tipos de movimento. Defini-
mos os conceitos de posição, deslocamento, velocidade e aceleração 
como vetores. O vetor velocidade instantânea é sempre tangente à tra-
jetória da partícula na posição da partícula. Se o vetor posição de uma 
partícula é dado por r (t) = x(t)î + y(t) ĵ + z(t) ,então podemos escrever 
a sua velocidade como: drdt
dx
dt
dy
dt
dz
dtv
= = + + e sua aceleração como 
d²r d²x d²y d²z
dt² dt² dt² dt²
= = + +a(t) . Em termos do vetor r (t) = x(t)î + y(t) ĵ + z(t), 
a aceleração fica d²r d²x d²y d²z
dt² dt² dt² dt²
= = + +a(t) .
Isaac Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642, em 
Woolsthorpe, na Inglaterra. Em 1665, Newton obteve o grau de 
Bachelor of Arts, mas devido à peste, teve que voltar para a sua terra 
Natal naquele mesmo ano. Mas esses dois anos passados em Wols-
thorpe foram os mais produtivos de sua vida. 
A dinâmica, parte essencial da mecânica, está fundamentada 
em três princípios, ou leis, também conhecidas como as três leis 
de Newton.
Objetivo de aprendizagem:
 2 Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de 
partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.
4
As leis de Newton
Física I
– 54 –
4.1 Definições 
Em seu livro Principia, Isaac Newton faz a seguinte distinção: 
O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua 
própria natureza, flui uniformemente sem relação com qualquer coisa 
externa e é também chamado de duração; o tempo relativo, aparente 
e comum é alguma medida da duração perceptível e externa que é 
obtida através do movimento e que é normalmente usado no lugar 
do tempo verdadeiro, tal como uma hora, um dia, um mês, um ano. 
(Assis, 1998, p.50)
4.1.1 Tempo
É aquilo que medimos com um relógio.
4.1.2 Espaço
Newton separou os movimentos de uma partícula em absolutos, ou ver-
dadeiros e relativos, ou fictícios. Os movimentos verdadeiros seriam os relati-
vos ao espaço absoluto. Por outro lado, os relativos seriam com respeito a um 
referencial em movimento, em relação ao espaço absoluto. 
Mas será que o espaço e o tempo são mesmos absolutos? A visão atual 
é de que o espaço e o tempo são na verdade ferramentas que possibilitam a 
descrição do movimento de objetos materiais. Assim, eles não têm qualquer 
significado quando separados da matéria. O espaço eo tempo são relativos, 
eles resultam das interações entre a matéria. 
4.1.3 Referencial e referencial inercial
Um sistema de referência, ou referencial, consiste de uma origem, três 
vetores unitários e um relógio. Um referencial pode estar em movimento. De 
fato, não existe o absolutamente em repouso, ou velocidade absoluta nula. 
Para que possamos afirmar que algo está parado ou em movimento, precisa-
mos descrever o movimento (ou o repouso) em relação a outros objetos. 
Mas e se o objeto também estiver em movimento? Não existe a imobili-
dade absoluta e nenhum referencial é mais absoluto ou imóvel do que outro. 
Será então que todos os referenciais são iguais? A resposta é não! Existem sim 
– 55 –
As leis de Newton
alguns referenciais nos quais podemos aplicar com sucesso as leis da dinâmica. 
Eles são chamados de referenciais galileanos, ou inerciais. Se conhecemos um 
destes referenciais galileanos, é possível encontrar todos os outros inerciais: 
todos eles se movem com velocidade constante em relação aos outros. Uma 
boa aproximação para um referencial inercial são as estrelas fixas. 
 Importante
Um sistema de referência inercial é aquele que não possui acelera-
ção (está em repouso ou com velocidade constante) em relação às 
“estrelas fixas” do universo, ou seja, aquelas estrelas distantes, a vários 
bilhões de anos-luz de distância da Terra. 
4.1.4 Força
No nosso dia-a-dia, utilizamos a palavra “força” com vários sentidos dis-
tintos, por exemplo: “estou tão cansado que não tenho forças para dar mais 
um passo”, ou “a Força Aérea Brasileira é uma instituição de heróis nacio-
nais”. Como a palavra “força” pode ser empregada de várias formas diferentes 
no nosso cotidiano, precisamos de uma definição rigorosa, muitas vezes dis-
tinta do seu significado usual.
 Importante
Força é o agente de mudança. Força atuante sobre um corpo é qual-
quer agente capaz de modificar o seu estado de repouso ou de movi-
mento retilíneo e uniforme. É a interação entre dois corpos ou entre 
o corpo e seu ambiente. Força é um vetor.
 Você sabia
Atualmente, são conhecidas quatro interações ou forças fundamen-
tais em física: a gravitacional, a eletromagnética, a forte e a fraca.
Física I
– 56 –
4.1.5 Massa
Há três definições comumente utilizadas para massa: 
i. quantidade de matéria; 
ii. uma medida da habilidade de um objeto a resistir a mudança de seu 
movimento (inércia); 
iii. aquilo que dá origem a interação gravitacional. 
No entanto, todas estas definições apresentam problemas práticos 
ou conceituais.
Quantidade de máteria. Esta é uma definição conceitual. Embora haja uma 
relação entre massa e quantidade de matéria, elas não significam a mesma coisa. 
Aquilo que dá origem a interação gravitacional. Este modo de definir 
massa é menos popular. Está baseada na lei de gravitação universal de Newton,
F = G MmR2
 , onde G = 6,67 X 10-11 N.m2.kg-2 é a constante de gravitacão 
universal, M = 5,97 X 1024 kg é a massa da Terra, m é a massa do corpo e R = 
6,37 X 106 m é o raio da Terra. 
Para Newton, a inércia de um corpo seria uma interação entre o corpo 
e o espaço absoluto. No entanto, para Mach (Assis, 1998) (e a visão atual 
corrobora esta ideia) a inércia de um corpo é uma interação entre ele e toda 
a matéria do Universo.
4.2 Princípio da superposição
No caso geral, um sistema pode estar sujeito à ação de várias forças que 
atuam simultaneamente. Cada uma dessas forças produz um efeito parcial. 
O efeito resultante, então, pode ser analisado como sendo uma única força, 
conhecida como força resultante. A soma de todas as forças atuantes no corpo 
é equivalente a uma única força, ou seja,
Força resultante (principio da superposição): F = F
1
 + F
2
 + ... + F
N
 (1)
É o que acontece, por exemplo, quando várias pessoas empurram um 
automóvel enguiçado, exercendo sobre ele várias forças de forma simultânea. 
– 57 –
As leis de Newton
Um sistema é dito isolado quando a resultante de todas as forças atuantes 
sobre ele é nula.
Exemplo: Uma partícula está sujeita a ação de duas forças: F
1
 = 2i + 3j N^ ^ 
e F
2
 = −2i + 5k^ ^ . Calcule a força resultante que atua sobre a partícula.
Solução:
Pelo princípio de superposição, a força resultante é a soma vetorial das 
duas forças que atuam sobre a partícula. Assim, somando componente a com-
ponente, obtemos:
F
1
 + F
2
 = (2i + 3j) + (−2i + 5k) = 0i + 3j + 5k N^ ^ ^ ^ ^ ^ ^F = 
4.3 Leis de Newton
As leis do movimento clássico são enunciadas como válidas somente com 
respeito a referenciais inerciais, que definimos como um sistema de coordenadas 
que possui as seguintes propriedades: sempre que o movimento de uma par-
tícula não for influenciado por nenhum agente externo, ou seja, se a partícula 
estiver infinitamente distante de todos os demais corpos do universo, a partí-
cula se moverá com velocidade (vetor) constante em relação ao dito referencial. 
4.3.1 Primeira lei de Newton
Lei da inércia: toda partícula permanece em seu estado de repouso, ou 
em movimento retilíneo e uniforme, a não ser que seja compelida a alterá-lo 
por forças que atuem sobre ela.
A primeira lei descreve o caráter do movimento de todas as partículas na 
ausência de forças. A Terra, por exemplo, serve como um referencial inercial 
para os movimentos na sua superfície, desde que limitados espacial e tempo-
ralmente; para outros tipos de movimento, a Terra não serve como referencial 
inercial. E mesmo as “estrelas fixas”, quando consideramos os movimentos 
relativos das estrelas com respeito uma as outras, perdem o status de âncora 
como referencial inercial. 
Uma consequência imediata da definição de referencial inercial é 
que qualquer sistema de coordenadas que se mova com o vetor velocidade 
Física I
– 58 –
constante, em relação a um referencial inercial, será também um referen- 
cial inercial.
Uma aplicação da primeira lei de Newton é quando nos encontramos 
dentro de um automóvel em alta velocidade. Ao frear bruscamente, somos 
“forçados para frente”. Na verdade, é a inércia que nos faz tender a manter o 
movimento que tínhamos antes da freada. 
Exemplo: Um ônibus se move numa estrada retilínea horizontal com 
velocidade uniforme, ou seja, com movimento retilíneo e uniforme (MRU). 
Ao desligar o motor, o ônibus irá reduzir a sua velocidade e eventualmente irá 
parar. Por quê o ônibus pára?
Solução: Pela primeira lei de Newton, o ônibus continuaria com velo-
cidade constante se não ouvessem forças atuantes. O ônibus pára devido à 
resistência do ar e aos atritos entre as suas partes móveis. 
4.3.2 Segunda lei de Newton
Newton também definiu a segunda lei de “quantidade de movimento” e 
Galileu chamava de “momento”. De acordo com Newton: “a quantidade de 
momento é a medida do mesmo, que se origina conjuntamente da velocidade 
e da massa”. Em termos atuais, o momento linear de uma partícula é um 
vetor formado pelo produto de sua massa por sua velocidade, ou seja:
Momento linear: p = mv (2)
Newton enunciou a sua segunda lei: Segunda lei: a variação do movimento 
é proporcional à força motora e se produz na direção em que age essa força.
Em termos atuais: dp
dt
F = (3)
No caso de velocidades não relativísticas e sistemas de massa constante, 
a segunda lei assume a forma:
dp dvd(mv )
dt dtdt
F = = = =m ma , ou seja
F = ma (4)
– 59 –
As leis de Newton
O vetor força exercida por agente externo sobre a partícula em um 
dado instante é definido como a massa da partícula multiplicada pelo vetor 
aceleração, que ela experimenta naquele instante de tempo se todos os 
outros agentes externos fossem instantaneamente removidos no instante de 
tempo considerado. 
Exemplo: Um móvel se desloca sob a ação de uma força resultante 
F   = 3î + 4ĵN. e sofre uma aceleração de módulo 5 m/s2. Determine a 
sua massa.
Solução:
O módulo da força resultante é |F | = 3² + 4² = 5N. Pela segunda lei 
de Newton, a sua massa é igual a: m = 
|a |
|F | = 1kg
4.3.3 Terceira lei de Newton
Terceira lei: a cada ação semprese opõe uma reação igual, ou seja, as 
ações mútuas de dois corpos são sempre iguais e de sentidos opostos. 
Isto é, considere duas partículas designadas por 1 e 2. Seja F
12
 a força 
exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2 e F
21
 a força exercida pela partí-
cula 2 sobre a partícula 1. A terceira lei de Newton afirma:
Terceira lei de Newton: F
12
 = – F
21
 (5)
Como consequência, sempre que duas partículas interagirem na ausên-
cia de um terceiro corpo, a razão das magnitudes de suas acelerações possui 
a cada instante o mesmo valor finito, não nulo e constante, que depende 
somente do par de partículas específico.
A partir da terceira lei, pode-se concluir que duas partículas interagem 
na ausência de influências de um terceiro corpo, a razão das magnitudes das 
respectivas acelerações que as partículas experimentam é, a cada instante de 
tempo, igual a recíproca da razão de suas respectivas massas; os vetores acele-
ração são a cada instante direcionados na mesma direção e sentidos opostos. 
Ou seja, m1a1 = – m2a2 .
Física I
– 60 –
4.4 Aplicações das leis de Newton
4.4.1 O campo gravitacional terrestre, 
o conceito de campo
Se um corpo for abandonado no vácuo, ou se a resistência do ar puder 
ser considerada desprezível, o objeto estará unicamente sob a ação de seu peso, 
devido à atração gravitacional com a Terra. É 
fato conhecido desde Galileu que um corpo, 
independentemente de sua massa, possui 
uma aceleração constante. 
Como vimos nas aulas anteriores, essa 
aceleração é vertical, aponta para a Terra e seu 
módulo é igual a 9,8 m/s2, às vezes, é apro-
ximada por 10 m/s2. Ela é conhecida como 
aceleração da gravidade e é simbolizada pelo 
vetor g . 
Nos limites da vizinhança da superfí-
cie da Terra, e sempre que a resistência do 
ar possa ser preterida, todos os objetos em 
queda livre possuem uma aceleração igual 
a g . Assim, pela segunda lei de Newton: a 
força gravitacional que age sobre o corpo é 
igual a P = mg . Como g aproximadamente não varia no espaço e é cons-
tante no tempo, o campo terrestre é chamado uniforme, conforme ilustrado 
na Figura 1. 
4.4.2 Forças de atrito
Todo o movimento voluntário é baseado em atrito. O atrito não é observado 
em sistema de poucas partículas (nível microscópico). O atrito aparece somente 
A Figura 2 mostra uma situação hipotética, onde um bloco está inicial-
mente em repouso sobre uma superfície na presença de atrito e sob a ação de 
uma força externa aplicada.
Figura 1 – O campo gravitacional 
da Terra. 
Fonte: elaborada pelo autor, com 
base em HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 2006.
– 61 –
As leis de Newton
Figura 2 – Bloco sob a ação de uma força externa F , de uma força peso P , de uma 
força normal de contato N e de uma força de atrito entre as duas superfícies de 
contato F
at
.
N
Fat
F
P
Fonte: elaborada pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
Na Figura 2 estão representadas apenas as forças que atuam no bloco.
Podemos notar pela ilustração que a área de contato real é muito menor do 
que a estimada macroscopicamente. A área real de contato, em oposição à área 
aparente, é proporcional ao módulo N da força normal. (RAYMOND, 2012).
Existe atrito ocorre quando duas superfícies estão em contato entre si. 
A força de atrito é contrária ao movimento relativo entre as duas superfícies 
em questão. O atrito entre as duas superfícies é descrito por duas forças, cada 
uma atuando em uma superfície. Estas forças constituem um par de ação e 
reação, obedecendo à terceira lei de Newton. As direções de ambas as forças 
de atrito são tais que tendem a empurrar cada uma das superfícies, de modo 
a reduzir o movimento relativo entre elas. 
Dizemos que há atrito estático entre duas superfícies quando não houver um 
movimento relativo entre elas, ou seja, uma superfície está em repouso em relação 
à outra. Dizemos que há atrito cinético entre duas superfícies quando ocorre uma 
velocidade relativa entre as superfícies e uma desliza em relação à outra.
A Figura 3 apresenta, de forma esquemática, os resultados experimentais 
relacionados com a força de atrito, para a situação hipotética apresentada na 
Figura 2. 
Física I
– 62 –
Figura 3 – Módulo da força de atrito, F
at
, em função da força externa aplicada de módulo 
F. Para pequenos valores de F, o corpo permanece em repouso e o módulo da força de atrito 
estático é igual à F. Quando F aumenta F
at
 também aumenta, até atingir um valor máximo 
igual a m
e
N, onde m
e
 é o coeficiente de atrito estático e N é o módulo da força normal de 
contato. Se a força F for aumentada, o corpo se desprende, acelerando de forma súbita. 
Neste caso, a força de atrito passa a ser cinética, sendo constante e igual a m
c
N, onde m
c
 é o 
coeficiente de atrito cinético. 
Fo
rç
a 
de
 a
tr
ito
 (N
)
Movimento (atrito cinético)
Força aplicada (N)
Repouso
(atrito estático)
Iminência de movimento (atrito estático máximo)
Fonte: elaborada pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
No caso do atrito estático, conforme ilustrado na Figura 3, o módulo da 
força de atrito varia de acordo com a força aplicada F, variando desde zero até 
um valor máximo mem, ou seja:
0 ≤ Fat ≤ meN (5)
Do ponto de vista qualitativo, as forças de atrito estático opor-se-ão 
sempre à possível ou eventual velocidade relativa de escorregamento no 
contato, que cada superfície teria, na ausência do de atrito. (HALLIDAY; 
RESNICK;WALKER, 1996).
Entretanto, estas forças de atrito, ainda que opostas ao movimento rela-
tivo, podem ter o mesmo sentido do movimento do sólido e tornarem-se 
força “motriz” do movimento, conforme ilustrado na Figura 4. Ao andarmos, 
a tendência é de “empurrarmos” o chão para trás. Na ausência de atrito, have-
– 63 –
As leis de Newton
ria movimento relativo entre a superfície do pé e o chão. Assim, como vimos, 
a força de atrito aponta na direção de se opor ao movimento relativo. No 
caso da próxima ilustração, a força de atrito sobre o pé da mulher aponta na 
direção de seu movimento.
Figura 4 - A força de atrito pode sim apontar na direção do movimento.
Fat
Fonte: elaborada pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
No atrito cinético, ocorre um movimento relativo entre as superfícies. O 
sentido das forças de atrito cinético que cada uma das superfícies em contato 
exerce sobre a outra será sempre oposto ao sentido das velocidades relativas de 
escorregamento. (SERWAY, 1996).
Força de atrito cinético: |F
cin
| = mcN (6)
A Tabela 1 apresenta estimativas para alguns coeficientes de atrito. Estes 
valores são aproximados e dependem das condições de limpeza e polimento 
das superfícies, além da temperatura e umidade.
Física I
– 64 –
Tabela 1 – Valores aproximados para alguns coeficientes de atrito. 
Superfícies Coeficiente de atrito estático
Coeficiente de 
atrito cinético
Madeira com madeira 0,25 ≤ m
e 
≤ 0,50 0,2
Vidro com vidro 0,9 ≤ m
e 
≤ 1,0 0,4
Aço com aço 0,6 0,6
Teflon com teflon 0,04 0,04
Fonte: Nussenzveig, 1987.
Exemplo: Na Figura 5, um bloco de massa M é mantido em repouso 
contra uma parede vertical por uma força horizontal de módulo F2. O coefi-
ciente de atrito estático entre a parede e o bloco é me e o coeficiente de atrito 
cinético é mc. Uma segunda força F2 é aplicada ao corpo, paralelamente à 
parede. Qual é o módulo da força de atrito que age sobre o corpo se: a) a força 
F2 é aplicada para cima; b) a força F2 é aplicada para baixo?
Figura 5 – Ilustração da situação descrita no enunciado. Note que a força de atrito 
representada em ambos os casos é hipotética e depende dos módulos de F
1
 e F
2
 e da direção 
da força vertical.
N
Fat
F
P
Fonte: elaborada pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
– 65 –
As leis de Newton
Solução: este é um problema complexo. Para resolvê-lo, temos que ana-
lisar várias situações. 
a) Considerando que a força F2 é aplicada para cima e que o módulo do 
peso P do corpo é menor do que a força de atritoestático máxima, 
Fatmax = meN = meF1. Assim, o corpo permanecerá em repouso, ou 
seja, a sua aceleração vertical, ay, é nula. 
Pela segunda lei de Newton: F
1
 + F
2
 + P + F
at
 + N = Ma .
Direção horizontal (não há movimento, assim, a aceleração horizontal é 
nula, ou seja, ax = 0 ): F1 = N.
Direção vertical: note que o módulo e a direção da força de atrito depen-
derá de F2 e de F1. Supondo que o módulo de F2 é menor do que o módulo P 
do peso do corpo, a força de atrito apontará para cima, opondo-se à tendência 
ao movimento. Assim, 
–F2 + P –Fat = 0 , ou seja, Fat = P + F2 se P – F2 < meN – meF1.
Se F1 for diminuída de modo que a desigualdade P – F2 < meN não seja 
mais válida, então, o corpo tenderá a deslizar para baixo e a força de atrito 
passa a ser cinética, ou seja, Fat = mcN = mcF1 e apontará para cima. 
Por outro lado, se o módulo de F2 for aumentada, de modo que F2 > P, 
então a força de atrito estático apontará para baixo. No caso estático, temos 
que Fat = F2 – P. Se F2 – P > meN = meF1, o corpo tenderá a deslizar para 
cima e força de atrito será cinética, apontando para baixo com módulo 
Fat = mcN = mcF1.
Agora, consideramos os casos nos quais a força F2 é aplicada para baixo. 
Como F
2
 aponta para baixo, na mesma direção da força peso, a força de atrito 
apontará necessariamente para cima. Devemos considerar dois casos: quando 
o corpo está em repouso e quando começa a deslizar para baixo. Se o corpo 
está em repouso, isto significa que a força de atrito máxima é maior ou igual 
à soma P + F2, ou seja, P + F2 < meN = meF1. Neste caso, a força de atrito será 
estática, apontando para cima e com módulo igual a Fat = P + F2. Se dimi-
nuirmos F1 ou aumentarmos F2, teremos que P + F2 > Fatmax = meN e o corpo 
tenderá a deslizar para baixo. A força de atrito neste caso será Fat = mcN = mcF1.
Física I
– 66 –
4.5 Resistência de um fluído
Além da força de atrito entre duas super-
fícies, outras forças podem atuar em um corpo 
de modo a se opor ao seu movimento. Tais for-
ças geralmente surgem quando o objeto esta 
se movendo em um fluido viscoso, como o ar, 
água, óleo, etc... Estas forças são também conhe-
cidas como dissipativas. 
É um fato experimental que, para corpos 
que se movem em velocidade baixas num meio 
viscoso, a força resistiva, ou de arrasto, F
arrasto
, é 
proporcional à velocidade do corpo neste meio, 
ou seja, F
arrasto
 = – kv .
4.6 Força centrípeta
Se um objeto descreve uma circunferên-
cia ou arco de circunferência de raio R, com 
uma velocidade de módulo constante igual a v, 
diz-se que o objeto descreve um movi-
mento circular uniforme. Nesse caso, ela 
possui uma aceleração centrípeta, a
c
, e esta 
sob a ação de uma força centrípeta, F
c
. 
Tanto a aceleração centrípeta, a
c
, quanto 
a força centrípeta, F
c
, são grandezas veto-
riais e apontam para o centro de curvatura 
da trajetória do objeto, conforme ilustrado 
na Figura 7.
dv = |dv | = vdθ, análogo à ds = sdθ
Mas, v = r dθ
dt
,ou seja, dr = r dθ
v
.
F arrasto = -kv
P = mg
Figura 6 – A força de arrasto. 
Fonte: elaborado pelo autor, com 
base em HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 2006.
Figura 7 - O movimento circular 
 de um objeto. 
V1
V2
F
F
F
on
te
: 
In
st
itu
to
 d
e 
F
ís
ic
a,
 
U
F
R
G
S,
 2
01
5.
 
– 67 –
As leis de Newton
Então, a
c
 = |a
c
| = dv
dt
 = 
rdθ
v
vdθ = v
2
r
.
Como F
c
 = ma
c
, temos que módulo da força centrípeta fica:
F
c
 = mv
2
r
 (7)
Exemplo: o projeto de uma curva numa estrada. 
Se um automóvel entra com uma velocidade muito alta em uma curva, 
a tendência será derrapar. No caso de uma curva construída com a devida 
compensação (inclinação), a força de atrito age sobre um carro em alta velo-
cidade no sentido de se opor à tendência de derrapagem para fora da pista. 
Considere uma curva circular de raio R e um ângulo de compensão θ, na qual 
o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada é me. Um automóvel 
sem sustentação negativa (carros de corridas possuem sustentação negativa 
para que realizem curvas a altas velocidades), começa a fazer a curva, como 
mostra a Figura 8. Escreva uma expressão para a velocidade máxima na qual 
o automóvel pode realizar a curva sem derrapar. 
Figura 8 – O vetor velocidade aponta para dentro da página. O ângulo de inclinação 
está exagerado para maior clareza. A Figura mostra também um diagrama de corpo livre 
do automóvel na situação de velocidade máxima, situação na qual a tendência do carro 
é de escorregar para fora da pista, assim, a força de atrito estático aponta para dentro. 
Fat
N
P
Fonte: elaborada pelo autor, com base em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2006.
Física I
– 68 –
Resolução:
Aplicando a segunda Lei de Newton: 
P N F
at
 a
F 
i
 F
i
 a
A componente na direção vertical:
onde
N = mg
 – 
A componente na direção horizontal:
 m v
2
R
Substituindo o valor da normal calculado a partir da componente vertical:
mg senθ + m
e
mg v²max 
R
Ou seja,
v²
max
 = Rg 
Na ausência de atrito (me = 0) a velocidade máxima fica: 
v²
max
 = Rg 
A física pode, de fato, nos dizer muito sobre como os carros reagem às for-
ças. Ela também mostra que potência, energia, torque e momento são relações 
importantes para carros. Estes conceitos serão aprofundados nas próximas aulas.
– 69 –
As leis de Newton
 Saiba mais
Se você desejar saber um pouco mais sobre Newton, há alguns arti-
gos disponíveis gratuitamente para baixar.
John Maynard Keynes, Newton, Revista Brasileira de Ensino de 
Física, Dezembro de 1983, página 43.
Silvio Seno Chibeni, A Fundamentação Empírica das Leis Dinâmicas de 
Newton, Revista Brasileira de Ensino de Física, página 1, Maio de (1999). 
Lei (Física): Em física, lei é uma regra com base em fenô-
menos que ocorrem com regularidade. É uma generalização 
que vai além das observações, e é exaustivamente confron-
tada, testada e validada frente a um amplo e diverso conjunto 
de fatos.(SEARS, F.; ZEMMANSKY, M. W.; YOUNG, H. 
D.. Física I: mecânica v. I, São Paulo: Pearson, 2008.Dispo-
nível em: https://fael.bv3.digitalpages.com.br/reader#0.)
 
Resumindo
Isaac Newton formulou a teoria dos corpos que se movem. Esta teoria 
se aplica a todos os corpos que se movem com velocidades muito menores do 
que a velocidade da luz e constitui um dos fundamentos da física. 
As leis do movimento podem ser resumidas como:
Primeira lei: toda partícula permanece em seu estado de repouso, ou em 
movimento retilíneo e uniforme, a não ser que seja compelida a alterá-lo por 
forças que atuem sobre ela.
Segunda lei: a variação do movimento é proporcional à força motora e 
se produz na direção em que age essa força.
Terceira lei: a cada ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as 
ações mútuas de dois corpos são sempre iguais e de sentidos opostos.
Na linguagem do cotidiano, uma criança empurrando um 
carrinho está “brincando”, enquanto um professor na escola, um 
motorista ou um garçom estão trabalhando. No entanto, em física, 
a palavra “trabalho” possui uma definição totalmente diferente, 
envolvendo conceitos físicos de força e deslocamento. 
Energia é um conceito crítico na análise dos fenômenos físi-
cos, em engenharia, nos processos em biologia, química, astrono-
mia e geologia. Também é uma fonte de confusão para o estudante 
se a apresentação não é cuidadosamente realizada. Energia é uma 
palavra com origem grega; originalmente era utilizada para des-
crever caráter com o significado de vigor intelectual ou moral. Foi 
introduzida na física por Thomas Young (1773-1829), em 1807, 
devido ao seu significado literal de força interior. O conceito geral 
de energia é difícil de definir. Mas, certas formas particulares de 
energia são mais fáceis. 
5
Trabalho e energia
Física I
– 72 –
A lei da conservação da energia nos diz que há uma grandeza, que cha-
mamos energia, que não altera apesar das várias mudanças que podem ocorrer 
na natureza. Não se trata da descrição de algo concreto,