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Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital Autor: Guilherme Neves Aula 19 14 de Dezembro de 2020 . Matemática para BNB (Analista Bancário 1) www.estrategiaconcursos.com.br 1 164 1. Ângulos ....................................................................................................................... 3 1.1 Ângulo reto, agudo e obtuso ................................................................................................ 3 1.2 Bissetriz de um ângulo .......................................................................................................... 5 1.3 Ângulos complementares, suplementares e replementares ................................................. 5 1.4 Ângulos opostos pelo vértice ................................................................................................ 6 2. Paralelismo ............................................................................................................... 10 2.1 Lei angular de Tales ............................................................................................................ 13 3. Polígonos .................................................................................................................. 16 3.1 Polígono regular ................................................................................................................. 18 3.2 Número de diagonais de um polígono de n lados .............................................................. 20 3.3 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ......................................................... 26 4. Classificação dos triângulos ....................................................................................... 35 4.1 Síntese de Clairaut .............................................................................................................. 37 5. Teorema de Tales ...................................................................................................... 42 6. Teorema de Pitágoras e suas aplicações .................................................................... 47 6.1 Diagonal do quadrado ........................................................................................................ 48 6.2 Altura do triângulo equilátero ............................................................................................ 49 7. Semelhança de Triângulos ......................................................................................... 61 8. Quadriláteros ............................................................................................................ 69 8.1 Trapézios ............................................................................................................................ 69 8.2 Paralelogramo .................................................................................................................... 72 8.3 Losango .............................................................................................................................. 72 8.4 Retângulo ........................................................................................................................... 74 8.5 Quadrado ............................................................................................................................ 74 9. Circunferência e círculo ............................................................................................. 84 9.1 Corda, diâmetros e tangentes ............................................................................................ 97 9.2 Relações entre cordas e secantes ..................................................................................... 106 10. Triângulos, circunferências e áreas .......................................................................... 108 11. Lista de Questões de Concursos Anteriores ............................................................. 120 12. Gabaritos ................................................................................................................ 133 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 2 164 13. Questões de Concursos Anteriores com Comentários .............................................. 134 14. Considerações Finais ............................................................................................... 164 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 3 164 Oi, pessoal. Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! Vamos começar a nossa aula sobre Geometria. Geometria é um assunto MUITO extenso. São milhares de teoremas que existem por aí. Se fôssemos estudar tudo que se conhece de Geometria Plana, demonstrando todos os teoremas e resolvendo exercícios, teríamos que passar pelo menos 1 ano só neste assunto em um curso com mais de 1.500 páginas. Vamos então aqui resumir as principais definições, propriedades e teoremas que caíram em provas de concurso público. Ao longo da teoria, vou resolver exercícios de várias bancas, inclusive questões bem antigas. O intuito vai ser sedimentar os conhecimentos estudados na teoria. Ao final da aula, vou colocar outra lista com questões de concursos bem recentes e vamos resolver todas. Beleza? Sem mais delongas, vamos começar. 1. ÂNGULOS Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma origem. Essas semirretas são os lados do ângulo e a origem comum das semirretas é o vértice do ângulo. O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semirretas AO e OB. 1.1 ÂNGULO RETO, AGUDO E OBTUSO Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas com graus. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 4 164 Quando as semirretas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso e sua medida é, por definição, 180o (180 graus). Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semirreta que divida exatamente o ângulo ao meio. Teremos dois ângulos de 90o que são chamados de ângulos retos. Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto. Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso. Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1o) é um ângulo reto dividido em 90 partes iguais. O ângulo reto tem 90 graus (90o). Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1o) é igual a um ângulo de 60 minutos (60’). 1° = 60′ Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 5 164 Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60 segundos (60’’). 1' = 60′′ 1.2 BISSETRIZ DE UM ÂNGULO Considere um ângulo de vértice O. A bissetriz deste ângulo é uma semirreta interna ao ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes. 1.3 ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90o. Um deles é o complemento do outro. Se um dos ângulos mede 𝑥, diremos que a medida do outro é 𝑐𝑜𝑚𝑝(𝑥) = 90° − 𝑥. Por exemplo, o complemento de 30º é 𝑐𝑜𝑚𝑝(30°) = 90° − 30° = 60°.Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180o. Um deles é o suplemento do outro. Se um dos ângulos mede x, diremos que a medida do outro é 𝑠𝑢𝑝(𝑥) = 180° − 𝑥. Por exemplo, o suplemento de 30º é 𝑠𝑢𝑝(30°) = 180° − 30° = 150°. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 6 164 Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360o. Um deles é o replemento do outro. Se um dos ângulos mede 𝑥, diremos que a medida do outro é 𝑟𝑒𝑝(𝑥) = 360° − 𝑥. Por exemplo, o replemento de 30º é 𝑟𝑒𝑝(30°) = 360° − 30° = 330°. 1.4 ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semirretas opostas dos lados do outro. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida). (FEPESE 2007/Prefeitura Municipal de São José ) Se dois ângulos são suplementares e a medida do maior é 35o inferior ao quádruplo do menor, assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos: a) 25º b) 36º c) 43º d) 65º e) 137º Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 7 164 Resolução Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em tempo, dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup (𝑥), o seu complemento é denotado por 𝑐𝑜𝑚𝑝(𝑥) e o seu replemento é denotado por 𝑟𝑒𝑝(𝑥). Assim, tem-se as seguintes relações: sup(𝑥) = 180= − 𝑥 comp(𝑥) = 90= − 𝑥 rep(𝑥) = 360= − 𝑥 Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o maior meça x graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus. A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor. 𝑥 = 4 ∙ (180 − 𝑥) − 35 𝑥 = 720 − 4𝑥 − 35 5𝑥 = 685 𝑥 = 137= Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. Como os ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180= − 137= = 43=. Gabarito: C Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 8 164 (CETRO 2006/Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque) Na figura abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo X? (A) 100o 45’ (B) 106o 37’ (C) 98o 99’ (D) 360o (E) 111o 11’ Resolução Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180o. Se um ângulo mede xo, o seu suplemento é denotado por sup (𝑥) e sup(𝑥) = 180= − 𝑥 sup(72=83′) = 180= − 72=83′ Lembremos que 1o é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180o = 179o 60’ e 72o 83’=73o 23’ sup(72=83′) = 179=60′ − 73=23′ sup(72=83′) = 106=37′ Gabarito: B Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 9 164 Questão: Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58o? Resolução Vamos considerar que o ângulo mede 𝑥 graus. Desta forma, seu complemento é igual a 90° − 𝑥. Podemos reescrever o enunciado assim: Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑜 𝑠𝑒𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 58° 𝑥 − (90° − 𝑥) = 58° 𝑥 − 90° + 𝑥 = 58° 2𝑥 = 148° 𝑥 = 74° O ângulo procurado é 74o. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro. Resolução Se um dos ângulos mede 𝑥 graus, então o outro medirá 180° − 𝑥. 𝑥 = 3 ∙ (180° − 𝑥) 𝑥 = 540° − 3𝑥 4𝑥 = 540° 𝑥 = 135° O outro ângulo é 180° − 135° = 45°. Resposta: Os ângulos são 135o e 45o. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 10 164 2. PARALELISMO Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares (pertencem ao mesmo plano) e não possuem pontos comuns. Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas. As retas r e s são paralelas e indicamos assim: 𝒓 ∥ 𝒔. Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente com r e s. Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados. Vamos considerar dois grupos de ângulos: Grupo I → 1T, 3T, 5T, 7T. Grupo II → 2T, 4T, 6T, 8T . Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 11 164 Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si. Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si. Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, certamente eles serão suplementares (a soma é igual a 180o). Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes. Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos determinados, 4 são agudos e 4 são obtusos. Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a mesma medida). Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a mesma medida). Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a soma é igual a 180o). (FEPESE 2009/Prefeitura de Ituporanga) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 12 164 Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: a) 100°. b) 55°30’. c) 60°. d) 44°30”. e) 80°. Resolução Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados. O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a 𝛼 e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha é igual a 𝜃. Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos agudos são congruentes. Assim, 𝛽 = 𝛼 + 𝜃 𝛽 = 44=30' + 55=30' = 99=60' = 100= Gabarito: A Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 13 164 2.1 LEI ANGULAR DE TALES A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180o. (ESAF 2003/CGU) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: a) 40° b) 70° c) 75° d) 80° e) 90° Resolução Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x. Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre 180º. Assim, 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 180= 9𝑥 = 180= 𝑥 = 20= O maiorângulo é 4𝑥 = 4 ∙ 20= = 80= Gabarito: D Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 14 164 (ESAF 2002/Assistente de Chancelaria) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60o. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º Resolução A Lei Angular de Tales garante que 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°. Como 𝐴 = 60°, então: 60° + 𝐵 + 𝐶 = 180° 𝐵 + 𝐶 = 120° Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma semirreta interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A bissetriz do ângulo B o divide em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de medida C/2. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 15 164 Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales: 𝑋 + 𝐵 2 + 𝐶 2 = 180° 𝑋 + 𝐵 + 𝐶 2 = 180° Como 𝐵 + 𝐶 = 120°: 𝑋 + 120° 2 = 180° 𝑋 + 60° = 180° 𝑋 = 120° Gabarito: D Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 16 164 3. POLÍGONOS De acordo com o número 𝑛 de lados, os polígonos recebem nomes especiais. Número de Lados Nome do polígono 3 Triângulo ou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o perímetro de um polígono por 𝟐𝒑 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por 𝒑. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 17 164 (CETRO 2006/Prefeitura Municipal de Cruzeiro) Calcule o perímetro de um terreno retangular de medida 94 m e 36 m. (A) 320 m (B) 280 m (C) 260 m (D) 270 m (E) 300 m Resolução Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os lados de um polígono) por 2p. Assim, 2𝑝 = 94 + 94 + 36 + 36 = 260𝑚. Letra C (CETRO 2006/Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem (A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 18 164 Resolução Denotando a largura por x, o comprimento será 3x. O perímetro é igual a 96m. Assim, 𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 = 96 8𝑥 = 96 𝑥 = 12𝑚 Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m. Letra A 3.1 POLÍGONO REGULAR Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito equilátero. Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito equiângulo. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 19 164 Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo. É muito importante observar o seguinte fato: O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é equilátero é o triângulo. Isto quer dizer que se você sabe que os três lados de um triângulo são congruentes, você já pode concluir que os três ângulos também são congruentes; se você sabe que os três ângulos de um triângulo são congruentes, então você já pode concluir que os três lados são congruentes. Este fato não ocorre com polígonos de 4 lados, 5 lados, etc... Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o, podemos concluir que cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede: 180° 3 = 60° Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 20 164 3.2 NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO DE N LADOS Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. O pentágono e suas 5 diagonais. Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas maneiras: i) Argumento combinatório Um polígono de 𝑛 lados possui 𝑛 vértices. Para determinar uma diagonal devemos escolher dois dos 𝑛 vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal BA. Portanto, não é relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais seria igual a 𝐶_`. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 21 164 Destas 𝐶_` há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do polígono. Devemos das 𝐶_` “pseudo-diagonais” retirar os 𝑛 lados. Portanto, o número de diagonais é igual a: 𝐷 = 𝐶_` − 𝑛 𝐷 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) 2 ∙ 1 − 𝑛 𝐷 = 𝑛` − 𝑛 2 − 𝑛 = 𝑛` − 𝑛 − 2𝑛 2 = 𝑛` − 3𝑛 2 𝐷 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 ii) Argumento geométrico Considere um polígono com 𝑛 lados. De cada vértice partem 𝑛 − 3 diagonais. Subtraímos o número 3, porque não podemos “mandar” uma diagonal para o próprio vértice e nem para os vértices que estão “ao lado”. Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados). Observe que cada vértice “manda” 4 diagonais (7 – 3). Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 22 164 Pois bem, então de cada vértice partem 𝒏 − 𝟑 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi perguntado em prova!! Como são 𝑛 vértices, “então”o total de diagonais seria igual a 𝑛 ∙ (𝑛 − 3). Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 vértices. Portanto, o número de diagonais é igual a: 𝑫 = 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟑) 𝟐 (CONESUL 2008/Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul) Assinale a alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono. a) 340 b) 190. c) 170. d) 380. e) 95. Resolução Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 23 164 Número de Lados Nome do polígono 3 Triânguloou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um polígono com n lados é igual a 𝐷 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a 𝐷 = 20 ∙ (20 − 3) 2 = 170 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. Gabarito: C Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 24 164 (ESAF 2006/AFT) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18 Resolução Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono convexo. 𝐷 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o próprio vértice nem para os vértices adjacentes. Um hexágono possui 𝐷 = 6 ∙ (6 − 3) 2 = 9 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa forma, 𝑛 − 3 = 9 𝑛 = 12 Gabarito: B Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 25 164 (CETRO 2006/Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia (A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal. Resolução De acordo com a questão, o número de diagonais é igual ao número de lados. 𝐷 = 𝑛 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 = 𝑛 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) = 2𝑛 Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”. 𝑛 − 3 = 2 𝑛 = 5 Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 26 164 Gabarito: C 3.3 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com 𝒏 lados é 𝑺𝒊 = 𝟏𝟖𝟎° ∙ (𝒏 − 𝟐) Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode facilmente entender a fórmula acima. Em outras palavras, saber o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo permite calcular a soma dos ângulos de qualquer outro polígono convexo. Tomemos como exemplo um polígono de 7 lados (heptágono). Vamos escolher um vértice qualquer e traçar diagonais. A partir de um vértice, quantas diagonais podemos traçar? Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices não adjacentes de um polígono. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 27 164 Assim, escolhendo um vértice qualquer, podemos traçar 7 − 3 = 4 diagonais. Por que eu subtraí 3 do total de vértices, que é 7? Ora, porque não posso enviar uma diagonal para o próprio vértice que eu escolhi nem posso enviar diagonais para os dois vértices adjacentes. Digamos que eu vou traçar diagonais a partir do vértice A. Assim, não posso traçar uma diagonal de A para A (pois eu teria um ponto) nem posso traçar diagonais AB e AG (pois não seriam diagonais e sim lados). Assim, são 7 − 3 = 4 diagonais, a saber: 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐴𝐸, 𝐴𝐹. Lembre-se: o número de diagonais que partem de cada vértice é 𝑛 − 3. Ao traçar as (n – 3) diagonais, o polígono ficou dividido em (n – 2) = 7 – 2 = 5 triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é 180o, então a soma dos ângulos dos 5 triângulos será: 5 × 180° = 900° De uma forma geral. Temos um polígono de n lados. Escolhemos um vértice e traçamos (n – 3) diagonais a partir deste vértice. Com isso, o polígono ficará dividido em (n – 2) triângulos. Portanto, a soma dos ângulos internos do polígono será igual à soma dos ângulos internos dos (n – 2) Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . ==15d12e== Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 28 164 triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é 180o, então a soma dos ângulos do polígono será: 𝑆_ = (𝑛 − 2) ∙ 180° Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de 𝑛 lados é igual a: 𝑨𝒊 = 𝟏𝟖𝟎° ∙ (𝒏 − 𝟐) 𝒏 Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar. 𝑛 = 3 → 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑆q = 180° ∙ (3 − 2) = 180° ∙ 1 = 180° Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales. 𝑛 = 4 → 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑆t = 180° ∙ (4 − 2) = 180° ∙ 2 = 360° 𝑛 = 5 → 𝑝𝑒𝑛𝑡á𝑔𝑜𝑛𝑜 𝑆u = 180° ∙ (5 − 2) = 180° ∙ 3 = 540° (ESAF 2010/SUSEP) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n- 2).1800. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 b) 5 e 44 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 29 164 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5 Resolução O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o “n” por “x – 3” obtendo (𝑥 − 3 − 2) ∙ 180=. O segundo polígono tem “x” lados, e, portanto, devemos substituir o “n” por “x” obtendo (𝑥 − 2) ∙ 180=. Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus ângulos internos será (𝑥 + 3 − 2) ∙ 180=. Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, temos a seguinte equação: (𝑥 − 3 − 2) ∙ 180= + (𝑥 − 2) ∙ 180= + (𝑥 + 3 − 2) ∙ 180= = 3.240= (𝑥 − 5) ∙ 180= + (𝑥 − 2) ∙ 180= + (𝑥 + 1) ∙ 180= = 3.240= 180= ∙ 𝑥 − 900= + 180= ∙ 𝑥 − 360= + 180= ∙ 𝑥 + 180= = 3.240= 540= ∙ 𝑥 − 1.080= = 3.240= 540= ∙ 𝑥 − 1.080= = 3.240= 540= ∙ 𝑥 = 4.320= 𝑥 = 8 Portanto, o número de lados de P2 é 8. O primeiro polígono P1 possui 8 – 3 = 5 lados. O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 30 164 𝐷 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) 2 Assim, o número de diagonais de P3 é 𝐷 = 11 ∙ (11 − 3) 2 = 44 A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF. (ESAF 2008/APO-MPOG) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados en lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a: a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12 Resolução Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida falava-se em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa disso. Vamos considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono B (esta era a intenção da ESAF). Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de 𝑛 lados é igual a: 𝐴v = 180° ∙ (𝑛 − 2) 𝑛 O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 31 164 𝐴vw = 𝐴vx + 5° 180° ∙ (𝑛y − 2) 𝑛y = 180° ∙ (𝑛z − 2) 𝑛z + 5° 180° ∙ (𝑛 + 1 − 2) 𝑛 + 1 = 180° ∙ (𝑛 − 2) 𝑛 + 5° 180° ∙ (𝑛 − 1) 𝑛 + 1 = 180° ∙ (𝑛 − 2) 𝑛 + 5° 180° ∙ (𝑛 − 1) 𝑛 + 1 = 180° ∙ (𝑛 − 2) + 5° ∙ 𝑛 𝑛 180° ∙ 𝑛 − 180° 𝑛 + 1 = 180° ∙ 𝑛 − 360° + 5° ∙ 𝑛 𝑛 180° ∙ 𝑛 − 180° 𝑛 + 1 = 185° ∙ 𝑛 − 360° 𝑛 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: (185° ∙ 𝑛 − 360°) ∙ (𝑛 + 1) = (180° ∙ 𝑛 − 180°) ∙ 𝑛 185° ∙ 𝑛` + 185° ∙ 𝑛 − 360° ∙ 𝑛 − 360° = 180° ∙ 𝑛` − 180° ∙ 𝑛 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 32 164 Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau. 5𝑛` + 5𝑛 − 360 = 0 Vamos dividir os dois membros da equação por 5. 𝑛` + 𝑛 − 72 = 0 𝑛 = −𝑏 ± √𝑏` − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑛 = −1 ± ~1` − 4 ∙ 1 ∙ (−72) 2 ∙ 1 𝑛 = −1 ± √289 2 = −1 ± 17 2 Como 𝑛 é positivo, só devemos usar o +. 𝑛 = −1 + 17 2 = 16 2 = 8 Como o polígono X tem 𝑛 + 1 lados, então ele possui 9 lados. O polígono Y tem 𝑛 lados, então ele possui 8 lados. Letra A Questão anulada Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 33 164 (CEPERJ 2007/Pref. de São Gonçalo) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados. O valor do ângulo ABC é: A) 18o B) 20o C) 22o D) 24o E) 26o Resolução Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com 𝑛 lados utilizamos a fórmula: 𝑆_ = 180° ∙ (𝑛 − 2) Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a: 𝑆u = 180° ∙ (5 − 2) = 180° ∙ 3 𝑆u = 540° Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 34 164 Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são equiângulos (têm todos os ângulos com as mesmas medidas). Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540° por 5. 𝐴 = 540° 5 = 108° Vamos calcular a medida do ângulo 𝑥: 𝑥 + 108° + 108° = 360° 𝑥 + 216° = 360° 𝑥 = 144° Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 35 164 A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes. Vamos chamar os ângulos B e C de 𝑦. 𝑦 + 𝑦 + 𝑥 = 180° 2𝑦 + 144° = 180° 2𝑦 = 36° 𝑦 = 18° Letra A 4. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Os triângulos podem ser classificados: i) Quanto aos lados Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 36 164 ii) Quanto aos ângulos: Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo oposto à base é o ângulo do vértice. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é conhecido como Pons Asinorum). Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 37 164 O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e seus ângulos medem 60o. Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos ângulos? Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo será equilátero. Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum). Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno. E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados? Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut. 4.1 SÍNTESE DE CLAIRAUT Em geometria, nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 38 164 Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo. O triângulo é acutângulo se e somente se 𝒂𝟐 < 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐. O triângulo é obtusângulo se e somente se 𝒂𝟐 > 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐. O triângulo é retângulo se e somente se 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 (esta parte da Síntese de Clairaut é conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS). (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode ser usado apenas uma vez. Coluna 1 1. Triângulo retângulo 2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo Coluna 2 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo. a) 1, 2, 3 b) 3, 2, 1 c) 2, 3, 1 d) 3, 1, 2 e) 2, 1, 3 Resolução Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos ângulos. Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 39 164 Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado. O triângulo é acutângulo se e somente se 𝑎` < 𝑏` + 𝑐`. O triângulo é retângulo se e somente se 𝑎` = 𝑏` + 𝑐` (Teorema de Pitágoras). O triângulo é obtusângulo se e somente se 𝑎` > 𝑏` + 𝑐`. Coluna 11. Triângulo retângulo 2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo Coluna 2 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 13` ? 6` + 12` 169 ? 36 + 144 169 < 180 O triângulo é acutângulo (2). ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 13` ? 5` + 12` 169 ? 25 + 144 169 = 169 O triângulo é retângulo (1). ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 12` ? 6` + 10` 144 ? 36 + 100 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 40 164 144 > 136 O triângulo é obtusângulo (3). Gabarito: E (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui (A) os três lados com medidas diferentes. (B) dois lados com medidas iguais. (C) os três lados com medidas iguais. (D) um ângulo reto. (E) dois ângulos obtusos. Resolução Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com medidas iguais. O gabarito oficial é a letra C. Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois lados com medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é isósceles. A banca também deveria aceitar a letra B. Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o candidato marque a alternativa C. Gabarito: C Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 41 164 (CETRO 2004/Assistente Administrativo IMBEL) Um triângulo que possui os três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo (A) isósceles (B) retângulo (C) equilátero (D) normal (E) escaleno Resolução Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero. Gabarito: C (ESAF 2000/EPPGG – MPOG) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, 𝑎 + 𝑥 e 𝑎 + 𝑦, onde 𝑎, 𝑥 𝑒 𝑦, são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede 𝑎 + 𝑥 é igual a 45o, segue-se que: a) 𝑦 = −2𝑥 b) 𝑦 = �3 � �� 2𝑥 c) 𝑦 = 3 � �𝑥 d) 𝑦 = 𝑥 e) 𝑦 = 2𝑥 Resolução O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45o. Vamos considerar que a medida do terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales, 𝑥 + 45° + 90° = 180° Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 42 164 𝑥 = 45° Portanto, os ângulos do triângulo são 45o, 45o e 90o. Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também possui dois lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, podemos concluir que os catetos são iguais. 𝑎 + 𝑥 = 𝑎 + 𝑦 𝑥 = 𝑦 Gabarito: D 5. TEOREMA DE TALES Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas coisas... Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre si. Uma reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 43 164 Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 (CETRO 2006/Pref. de Taquarivaí) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então o valor de X será de: (A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 4 (E) 2 Resolução O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 44 164 Assim, 4 8 = 2𝑥 + 2 5𝑥 − 1 4 ∙ (5𝑥 − 1) = 8 ∙ (2𝑥 + 2) 20𝑥 − 4 = 16𝑥 + 16 4𝑥 = 20 𝑥 = 5 Gabarito: B (FEPESE 2007/Prefeitura Municipal de São José) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21. Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y. a) 36. b) 42. c) 49. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 45 164 d) 96. e) 98. Resolução O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao segmento de comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30 (10+20) na reta da esquerda corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este valor encontra-se no enunciado). Assim, 10 30 = 𝑦 21 Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21). 30 ∙ 𝑦 = 10 ∙ 21 30 ∙ 𝑦 = 210 𝑦 = 7 Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14. 2𝑥 + 2 = 14 2𝑥 = 12 𝑥 = 6 O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 46 164 Letra B (ESAF 2005/AFC) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56 Resolução Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima. O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 47 164 Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta paralela do feixe mede 2 + 10 + 18 = 30. O seu segmento correspondentena reta B mede 90 cm (exatamente o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 2, 10 e 18 serão exatamente o triplo. Podemos afirmar que: 𝑎 = 3 ∙ 2 = 6 𝑏 = 3 ∙ 10 = 30 𝑐 = 3 ∙ 18 = 54 Gabarito: A 6. TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS APLICAÇÕES “O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de mentes humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é forçada a aprender.” Simon Singh O Último Teorema de Fermat – Editora Record Vamos considerar um triângulo retângulo. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 48 164 O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é chamado de hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são chamados de catetos. O Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo se e somente se 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐. Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver alguns problemas envolvendo diretamente este assunto. 6.1 DIAGONAL DO QUADRADO Vamos considerar um quadrado de lado 𝓵. Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (retos). Pelo Teorema de Pitágoras: 𝑑` = ℓ` + ℓ` 𝑑` = 2ℓ` 𝒅 = 𝓵√𝟐 Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado 5 𝑐𝑚 mede 5√2 𝑐𝑚. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 49 164 É importante notar que ao dividir um quadrado em dois polígonos congruentes usando a sua diagonal, obtemos na verdade dois triângulos retângulos isósceles. Assim, se temos um triângulo retângulo de catetos de medida ℓ, sua hipotenusa será: 𝑑 = ℓ√2 6.2 ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um vértice e atinge o lado oposto formando um ângulo reto. Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em dois segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o lado do triângulo equilátero é igual a ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois segmentos de comprimento ℓ/2. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 50 164 Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que: ℓ` = ℎ` + � ℓ 2� ` ℓ` = ℎ` + ℓ` 4 Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador. 4ℓ` = 4ℎ` + ℓ` 3ℓ` = 4ℎ` ℎ` = 3ℓ` 4 𝒉 = 𝓵√𝟑 𝟐 Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com 4 𝑐𝑚 de lado é igual a: ℎ = 4√3 2 = 2√3 𝑐𝑚 (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a: a) 36 cm b) 38 cm c) 40 cm d) 42 cm e) 44 cm Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 51 164 Resolução O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar esta frase. Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo: A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de medida a. Os outros lados, adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos. O teorema de Pitágoras afirma que: 𝑎` = 𝑏` + 𝑐` Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa com o auxílio do teorema de Pitágoras. 𝑎` = 9` + 12` 𝑎` = 81 + 144 𝑎` = 225 𝑎 = 15 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 52 164 O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum em geometria plana indicar o perímetro por 2𝑝 (desta forma o semiperímetro é indicado por 𝑝). 2𝑝 = 9 + 12 + 15 = 36 𝑐𝑚 Gabarito: A (ESAF 2009/ATRFB) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90o uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento? a) 5 km b) 4 km c) km d) 3 km e) km Resolução. Vamos chamar a distância entre os dois carros de x. 24 25 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 53 164 Como as estradas formam um ângulo de 90o, então o triângulo de lados 3, 4 e x é um triângulo retângulo. Desta forma, podemos aplicar o teorema do finado Pitágoras. 𝑥` = 3` + 4` 𝑥` = 25 𝑥 = 5 Gabarito: A (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste. (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Resolução Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 54 164 O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical medir x metros, então o segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do poste). Apliquemos o Teorema do finado Pitágoras no triângulo retângulo. 𝑥` + 12` = (18 − 𝑥)` 𝑥` + 144 = 324 − 36𝑥 + 𝑥` 36𝑥 = 324 − 144 36𝑥 = 180 𝑥 = 5 Gabarito: B (ESAF 2006/ENAP) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 55 164 d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m. Resolução Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-los de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y. O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim, 𝑦 + 𝑦 + 2𝑥 = 36 2𝑦 + 2𝑥 = 36 Dividindo ambos os membros por 2, temos 𝑦 + 𝑥 = 18 𝑦 = 18 − 𝑥 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐼) Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. 𝑥` + (2𝑥 + 2)` = 𝑦` (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼𝐼) Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 56 164 Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações. Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa solução. Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las. Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas. Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já podemos descartar algumas alternativas: a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m. Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m. x = 5 Da equação I, temos: Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida. As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta. xy -= 18 13=Þ y 222 )22( xxy ++= 222 5)252(13 ++´= 25144169 += 169169 = Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 57 164 Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal. 𝑦 = 18 − 𝑥 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼) 𝑥` + (2𝑥 + 2)` = 𝑦` (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐼𝐼) Como 𝑦 = 18 − 𝑥, 𝑥` + (2𝑥 + 2)` = (18 − 𝑥)` 𝑥` + 4𝑥` + 8𝑥 + 4 = 324 − 36𝑥 + 𝑥` 4𝑥` + 44𝑥 − 320 = 0 Dividindo ambos os membros por 4, obtemos: 𝑥` + 11𝑥 − 80 = 0 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏` − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −11 ± ~11` − 4 ∙ 1 ∙ (−80) 2 ∙ 1 𝑥 = −11 ± √441 2 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 58 164 𝑥 = −11 ± 21 2 Como x > 0, então 𝑥 = −11 + 21 2 = 5 A base é 2x, logo a base é 𝑏 = 2𝑥 = 2 ∙ 5 = 10 Como a altura é 2x+2, então ℎ = 2 ∙ 5 + 2 = 12 Gabarito: B (CEPERJ 2010/RIOPREVIDENCIA) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m. Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é: a) 15m b) 16m Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 59 164 c) 17m d) 19m e) 21m Resolução Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é traçar um segmento que ligue estes dois pontos. Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD. Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 = 11. Está formado o triângulo retângulo ADE. O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD. Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. (𝐴𝐷)` = 11` + 13` (𝐴𝐷)` = 290 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 60 164 O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 17` = 289, portanto: 𝐴𝐷 ≅ 17 Gabarito: C (CEPERJ 2010/SEE-RJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente: a) 7 km b) 8 km c) 9 km d) 10 km e) 11 km Resolução O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte: Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 61 164 Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho. 𝑥` = 8` + 4` 𝑥` = 80 Como 9` = 81, então: 𝑥 ≅ 9 Gabarito: C 7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Observem os dois triângulos da figura abaixo: Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da direita, e demos um zoom. Com isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os triângulos são semelhantes. Um é o outro “aumentado”. Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né? Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 62 164 Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é: 𝒂 𝒂′ = 𝒃 𝒃′ = 𝒄 𝒄′ = 𝒌 A constante de proporcionalidade 𝒌 é a chamada razão de semelhança. Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para chegar no maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”. Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do triângulo pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 63 164 Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é 𝒌, pode-se afirmar que a razão entre as áreas dos triângulos é 𝒌𝟐. Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será multiplicada por 16 = 4². (CETRO 2006/Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é: (A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25 Resolução Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 64 164 Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: 𝑥 15 = 5 3 3𝑥 = 75 𝑥 = 25𝑚 Gabarito: E (CETRO 2009/Prefeitura Municipal de Mairinque) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de (A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros.(C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros. (E) 7,2 metros. Resolução Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 65 164 Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: 𝑥 5,4 = 80 60 60𝑥 = 432 𝑥 = 7,2 Gabarito: E (CEPERJ 2009/APO – SEPLAG/RJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de: a) 1,5m b) 1,6m c) 1,75m d) 1,92m e) 2,00m Resolução Usemos a semelhança dos triângulos: Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 66 164 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑥 + 6 𝑥 = 8 1,6 𝑥 + 6 𝑥 = 5 5𝑥 = 𝑥 + 6 4𝑥 = 6 𝑥 = 1,5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Gabarito: A (ESAS 2006/ENAP) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2. Resolução Relembremos uma propriedade importantíssima: A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 67 164 Assim, 128 𝐴�` = 8` 128 𝐴�` = 64 64 ∙ 𝐴�` = 128 𝐴�` = 2 Gabarito: E (CEPERJ 2010/SEE-RJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede: a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4 Resolução Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 68 164 Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC. (𝐵𝐶)` = (𝐴𝐵)` + (𝐴𝐶)` (𝐵𝐶)` = 8` + 6` (𝐵𝐶)` = 100 𝐵𝐶 = 10 Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de 𝛽. O outro ângulo agudo do triângulo ABC e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de 𝛼. Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então 𝐶𝑀 = 𝑀𝐵 = 5. Os triângulos ABC e MNB são semelhantes. 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑀𝑁𝐵 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑀𝑁𝐵 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝐵𝑁 𝐵𝐶 = 𝑀𝐵 𝐴𝐵 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 69 164 𝐵𝑁 10 = 5 8 8 ∙ 𝐵𝑁 = 5 ∙ 10 𝐵𝑁 = 50 8 = 6,25 𝐴𝑁 + 𝐵𝑁 = 𝐴𝐵 𝐴𝑁 + 6,25 = 8 𝐴𝑁 = 1,75 = 175 100 = 7 4 Gabarito: A 8. QUADRILÁTEROS De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a soma dos ângulos internos é igual a 360o. Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados. 8.1 TRAPÉZIOS Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados paralelos do trapézio são as bases. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 70 164 De acordo com os dois lados que não são bases, temos: - trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes. - trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes. O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 71 164 Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases. A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma: 𝑨 = (𝑩 + 𝒃) ∙ 𝒉 𝟐 Onde ℎ é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 72 164 8.2 PARALELOGRAMO Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos. Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes são suplementares (a soma é 180o). Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases. 𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 8.3 LOSANGO Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes (quadrilátero equilátero). Todo losango é um paralelogramo. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 73 164 As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos). Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos paralelogramos. A área do losango é o semiproduto das diagonais. 𝑨 = 𝑫 × 𝒅 𝟐 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 74 164 8.4 RETÂNGULO Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos. O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida). Todos os retângulos são paralelogramos. As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de Pitágoras. 𝒅𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura). 𝑨 = 𝒂 × 𝒃 8.5 QUADRADO Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo (quadrilátero regular). Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes. Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RSwww.estrategiaconcursos.com.br 75 164 Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo e losango. Já vimos que um quadrado de lado ℓ tem diagonal com medida 𝓵√𝟐. A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado. 𝑨 = 𝓵𝟐 (CETRO 2006/Assistente Administrativo EBDA) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de (A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m (D) 3m e 12m (E) 10m e 16m Resolução A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que 𝑥 ∙ 𝑦 = 36 (𝐼) Como o perímetro é igual a 26m, então Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 76 164 2𝑥 + 2𝑦 = 26 Dividindo ambos os membros por 2, temos 𝑥 + 𝑦 = 13 Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as condições do problema. 𝑥 + 𝑦 = 13 𝑦 = 13 − 𝑥 Substituindo essa expressão na equação (I): 𝑥 ∙ 𝑦 = 36 (𝐼) 𝑥 ∙ (13 − 𝑥) = 36 13 ∙ 𝑥 − 𝑥` = 36 𝑥` − 13𝑥 + 36 = 0 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏` − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(−13) ± ~(−13)` − 4 ∙ 1 ∙ 36 2 ∙ 1 𝑥 = 13 ± √169 − 144 2 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 77 164 𝑥 = 13 ± 5 2 Assim, 𝑥 = 9 ⇒ 𝑦 = 13 − 9 = 4 Ou 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 13 − 4 = 9. Logo, as dimensões são 4m e 9m. Gabarito: C (CETRO 2006/Assistente de Informática – Pref. de Itapeva) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente: Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m Resolução Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 78 164 A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ`. A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que 𝑥` + 𝑦` = 25 Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que 4𝑥 + 4𝑦 = 28 Dividindo ambos os membros por 4, temos 𝑥 + 𝑦 = 7 Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A. Isolando o y: 𝑦 = 7 − 𝑥 Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas: 𝑥` + 𝑦` = 25 𝑥` + (7 − 𝑥)` = 25 𝑥` + 49 − 14𝑥 + 𝑥` = 25 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 79 164 2𝑥` − 14𝑥 + 24 = 0 Dividindo ambos os membros por 2, 𝑥` − 7𝑥 + 12 = 0 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏` − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −(−7) ± ~(−7)` − 4 ∙ 1 ∙ 12 2 ∙ 1 𝑥 = 7 ± 1 2 Assim, 𝑥 = 4 ⇒ 𝑦 = 3 Ou 𝑥 = 3 ⇒ 𝑦 = 4 Assim, as dimensões são 3m e 4m. Gabarito: A (FEPESE 2010/Analista de Sistemas – UDESC) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo: Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 80 164 Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40. Resolução A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8. Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as bases: o segmento BE. Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula passada) no triângulo ABE. Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, 𝑥` + 3` = 5` 𝑥` + 9 = 25 𝑥` = 16 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 81 164 𝑥 = 4 Assim, a área do paralelogramo é dada por Á𝑟𝑒𝑎 = (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = 8 ∙ 4 = 32 Gabarito: D (CETRO 2006/Pref. Municipal de Arujá) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: (A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400 Resolução Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Lembremos a fórmula da área de um trapézio: 𝐴 = (𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ 2 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 82 164 Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos projetar a base menor sobre a base maior. A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 – x – 16 = 28 – x. Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda: 𝑥` + ℎ` = 17` 𝑥` + ℎ` = 289 (𝐼) Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita: (28 − 𝑥)` + ℎ` = 25` 784 − 56𝑥 + 𝑥` + ℎ` = 625 Sabemos por (I) que 𝑥` + ℎ` = 289. Assim, 784 − 56𝑥 + 289 = 625 Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 83 164 1.073 − 56𝑥 = 625 56𝑥 = 448 𝑥 = 8 Voltemos para (I). 𝑥` + ℎ` = 289 (𝐼) 8` + ℎ` = 289 ℎ` = 289 − 64 ℎ` = 225 ℎ = 15 𝑚 A fórmula da área de um trapézio: 𝐴 = (𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ 2 𝐴 = (44 + 16) ∙ 15 2 = 60 ∙ 15 2 = 450 𝑚 ` Gabarito: D Guilherme Neves Aula 19 Raciocínio Lógico-Matemático p/ PC-RN (Agente e Escrivão) Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br . . Prof. Guilherme Neves Aula 14 Raciocínio Lógico para SEFAZ-RS www.estrategiaconcursos.com.br 84 164 9. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado (centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro do raio é denominado diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem as duas extremidades no círculo e que passa pelo seu centro.
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