Otimização - Cilindro e custo de produção

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Resolução do problema de otimização do
cilindro
Wyndam Baxter
wyndam22@gmail.com
ABSTRACT
Este trabalho serve de guia e contém a resolução do problema de otimização do cilindro e orientações
sobre a comparação real.
Keywords:
A QUESTÃO
Estudo de Caso
Diversas indústrias de produtos alimentı́cios utilizam embalagens de lata em formato cilı́ndrico para
comercializar seus produtos. A produção de latas (que são utilizadas para armazenar ervilhas, extrato
de tomate, óleo de soja, leite condensado, leite em pó, etc.) busca adotar técnicas para obter algumas
otimizações, por exemplo, minimizar as perdas de materiais, de custos e atrasos ou maximizar os lucros.
Diante de tais necessidades, surgem certas indagações:
Como cortar a matéria-prima, no caso metal, de forma a obter a maior quantidade possı́vel de unidades
e a menor quantidade de rejeitos?
Suponha que você seja contratado por uma Empresa de Produtos Alimentı́cios, com o intuito de
colaborar com o processo de fabricação de embalagens referentes às latas de extrato de tomate, em
formato cilı́ndrico, procurando reduzir seus gastos e minimizar perdas de material. Então, sua primeira
tarefa será maximizar o volume da lata de extrato de tomate.
Sabendo-se que a Empresa compra da CSN (Companhia Siderúrgica Nacional) chapas de folha-de-
flandres retangulares, você deverá determinar dimensões ótimas da chapa que resultam no maior volume
da lata, supondo que o volume seja conhecido. Procure determinar a forma mais econômica dessa lata
(adotando-se o volume V), estabelecendo relações entre a altura h e o raio r que minimize o custo do
material usado?
Será que na prática, as latas produzidas e comercializadas realmente seguem com rigor às proporções
encontradas, escolha um recipiente cilindrico e comprove ou não se segue as dimensões que você
encontrou.
RESOLUÇÃO
Tomando as dimensões do problema como h, r e V os valores de altura, raio e volume do cilindro
respectivamente. Sendo o volume um valor constante e com o propósito de minimizar o custo do metal,
devemos minimizar a área de superfı́cie total do cilindro. A área será:
A = 2πr2 +2πrh (1)
Sabendo-se que o volume do cilindro pode ser escrito como:
V = πr2h (2)
Fazendo a substituição de (2) em (1) temos:
A = 2πr2 +2πr(
V
πr2
)
Com as devidas alterações, vamos ter a função A(r) para minimizar:
A(r) = 2πr2 +
2V
r
; r > 0 (3)
Desta forma calculam-se os pontos crı́ticos:
A′(r) = 4πr− 2V
r2
⇒ A′(r) = 4πr
3−2V
r2
Fazendo alguns ajustes algébricos, tem-se:
A′(r) =
2(2πr2−V )
r2
, Para A′(r) = 0, tem− se : 2πr3−V = 0⇐⇒ r = 3
√
V
2π
(4)
Vale notar que para:
A′(r)< 0 ∀ r < 3
√
V
2π
e A′(r)> 0 ∀ r > 3
√
V
2π
A figura do gráfico mostra um esboço do comportamento da função A(r) considerando um valor de
1L = 1000cm3 hipotético, como reforço para exemplificar a posição do valor da derivada no ponto crı́tico.
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Dessa forma, pode-se perceber que a função A está descrescendo para todo r à esquerda do ponto
crı́tico e crescendo para o lado direito, desta forma o valor r = 3
√
V
2π deve originar o mı́nimo absoluto.
Dessa forma, por (2):
h =
V
πr2
⇒ h = V
π( 3
√
V
2π )
2
(5)
Desenvolvendo, tem-se:
h = 2 3
√
V
2π
= 2r. (6)
CONCLUSÃO
Logo para minimizar o custo de material da lata, a altura h deve ter o dobro do raio do cı́rculo da base do
cilindro, ou seja, o diâmetro.
GUIA PARA EXECUÇÃO DA PRÁTICA
Para a parte teórica basta apenas seguir a sequência de cálculos como no documento. Neste ponto você
fica livre para gravar da sua melhor maneira. Uma dica: grave com o celular escrevendo sua linha de
raciocı́nio em um papel ou quadro, seguindo como referência este guia. LEMBRANDO, este documento
é apenas um guia com a solução, você não deve enviá-lo no vı́deo, use-o para poder criar seu próprio
rascunho.
Resultados e comparação
Para executar a prática siga estes passos
1. Meça com uma régua os valores de diâmetro da base (2r) e altura (h) de algum recipiente
cilindrico que você tenha em casa; (ex: lata de ervilhas, leite, etc...)
2. Compare as medidas de h e r, verificando se o valor da altura corresponde ao dobro do valor do
raio (diâmetro da base).
3. Você vai achar valores próximos, mas nunca exatos e a explicação para isso é por conta de que o
material em sı́ possui dobras nas dobras de mateal e as partes circulares tem um leve aumento de
uso de metal por conta da construção da própia lata.
4. Resultado final: O recipiente não segue à risca as proporções por questões construcionais, porém
tem valores próximos do valor teórico ótimo.
3/3