2020-DINÂMICA II

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24/08/2020 
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Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
 
 
Dinâmica II 
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Dinâmica II 
 
Bibliografia Recomendada 
 
Bibliografia Básica: 
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc 
Graw Hill, 2006. 
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José 
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. 
 
Bibliografia Complementar: 
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003. 
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982. 
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2003. 496p. 
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João 
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. 
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. 
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p. 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
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Cinemática plana de corpos rígidos 
1. Introdução 
2. Corpos Rígidos 
 2.1 - Movimento de translação 
 2.2 - Movimento de rotação 
 i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular 
 i i - Aceleração Angular 
 i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante 
 iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares 
3. Atividades Introdutórias 
 Dinâmica II 
 Introdução – Dinâmica II 
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1 - Introdução 
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é o 
movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como 
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em 
torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro 
da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão lugar à 
absorção e à emissão da luz e, no interior de um metal, produzem corrente 
elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão origem à 
pressão e aos processos de difusão. 
Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é 
influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com eles. 
Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação, por 
exemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma 
imagem na tela. 
 Introdução – Dinâmica II 
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Introdução 
Um dos objetivos dos físicos e dos engenheiros é descobrir a relação 
existente entre os movimentos e as interações que os produzem e dispor 
as coisas de modo a produzir movimentos úteis. 
 
Para análise e previsão do movimento de partículas (ou de corpos rígidos) 
resultante de diferentes tipos de interações, alguns conceitos primordiais 
como momento, força, e energia foram criados. Estes conceitos são tão 
importantes que raramente podemos analisar um processo sem expressá-
lo em termos destes conceitos. 
 Introdução – Dinâmica II 
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A mecânica de Newton é uma mecânica voltada para o estudo do 
movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton é 
a mecânica do ponto. Mas os casos de maior interesse são aqueles em que 
estudamos não uma partícula (um ponto), mas um sistema de partículas, 
ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes. 
 
As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rígido é um 
sistema constituído de partículas (átomos, por exemplo) agregadas de um 
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou 
o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as distâncias 
entre as várias partes que compõem o corpo são rigorosamente constantes. 
 Introdução – Dinâmica II 
2 - Corpos Rígidos 
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Pode-se dizer então que um Corpo Rígido pode ser definido como um 
corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, 
mesmo sob aplicação de um esforço externo. 
Um corpo rígido executa basicamente dois tipos de movimento: 
movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias 
paralelas, como em (A), e movimento de rotação, quando os pontos 
percorrem trajetórias circulares, como em (B). 
Porém o caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é dado no 
exemplo (C); uma combinação de translação e rotação. 
 Introdução – Dinâmica II 
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O movimento de translação pode ser analisado observando-se 
exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento 
de translação se o seu centro de massa se desloca à medida que o tempo 
passa. Assim, o movimento de translação do corpo rígido está associado 
ao movimento do centro de massa. 
O que provoca o movimento de translação são as forças externas 
agindo sobre o corpo rígido. O corpo rígido se desloca de tal forma que 
tudo se passa como se todas as forças estivessem atuando sobre o centro 
de massa. 
“Nos movimentos de translação valem as leis de Newton e a conservação 
da quantidade de movimento”. 
2.1 - Movimento de translação 
 Introdução – Dinâmica II 
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Seja um corpo rígido em translação e sejam e duas partículas quaisquer 
no interior do corpo. Num sistema de referência fixo, define-se: 
 
Derivando a expressão em relação ao termo, obtém-se: 
 
 
Ou seja, quando um corpo rígido se encontra em translação, todos os 
pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a 
mesma aceleração. 
 Introdução – Dinâmica II 
 
 
Para um corpo que se move uma distância Δs durante um intervalo de 
tempo Δt sua velocidade média é definida como: 
 
A velocidade instantânea v é definida como o limite para o qual tende esta 
razão quando Δt se aproxima de zero: 
 
Se a velocidade do corpo variar Δv num intervalo de tempo Δt, ele tem 
uma aceleração média definida como: 
 
e a aceleração instantânea a é definida como limite desta razão quando Δt 
tende a zero: 
t
s
vm



dt
ds
t
s
v
t




 0
lim
t
v
tt
vv
am






12
12
dt
dv
t
v
a
t




 0
lim
 Introdução – Dinâmica II 
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O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se 
observa sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. Por 
exemplo, em espetáculos de patinação artística no gelo, frequentemente se 
vê uma patinadora girar em torno de si mesma com os braços abertos na 
horizontal. 
2.2 - Movimento de rotação 
Ao encolher os braços sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular 
aumenta consideravelmente. A distribuição de massa do corpo no espaço 
afeta a rotação. 
 Introdução – Dinâmica II 
O uso de coordenadas x, y e z é uma forma sofisticada de descrever as 
rotações, e sendo elas confinadas em um único plano facilmente descritas 
por um ângulo. 
x̂
ŷ
ˆˆ z n
)(t
r

)( tt  )(t
ω r 
 Introdução – Dinâmica II 
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Quando um corpo rígido está animado de rotação em torno de um eixo 
fixo, cada ponto do corpo descreve um círculo cujo centro está sobre o 
eixo de rotação e cujo plano é perpendicular ao eixo. Existem algumas 
relações simples e úteis entre a velocidade e a aceleração angulares do 
corpo em rotação e a velocidade e aceleração lineares dos seus pontos. 
 Introdução – Dinâmica II 
2.3 – Rotação em torno de um eixo fixo 
Seja “r” a distância do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre 
uma circunferência de raio “r”. Quando o raio faz um ângulo “θ” com o 
eixo de referência, a distância “s” percorrida pelo ponto P é: 
 
Derivando ambos os membros desta equação em relação a t e tendo em 
vista que r é constante, vem: 
 
Diferenciando a equação da velocidade em função do tempo 
temos: , onde r é constante. 
 
A componente radial v2/r da aceleração do ponto P também pode ser 
expressa em termos da velocidade angular: 
rs
rdds 
dt
d
r
dt
ds 
 rv 


r
dt
d
r
dt
dv
a 
 Introdução – Dinâmica II 
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Resumindo: 
 Introdução – Dinâmica II 
Vetorialmente: 
O conjunto de equações vistas tem uma forma similar ao encontrado no 
caso do movimento retilíneo se substituirmos θ, ω e α por x, v e a. No 
caso em que é constante (rotação uniformemente acelerada) obtemos por 
integração direta que: 
 
 
 
As grandezas θ, ω e α que caracterizam o movimento rotacional também 
podem ser representadas vetorialmente. A direção neste caso é a do eixo 
em torno do qual o corpo roda. O sentido é definido pela regra da mão 
direita, colocando-se os dedos na direção em que θ aumenta. O polegar 
coincide então com o eixo de rotação e indica o sentido do vetor θ. 
 Introdução – Dinâmica II 
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Também, as equações são válidas mesmo quando ω e v não são 
constantes. 
As equações radial e tangencial da aceleração de um ponto arbitrário de 
um corpo em movimento de rotação são representadas na figura a seguir. 
x̂
ŷ
ẑ


r

s
ω
v
ta
Na
α
 Introdução – Dinâmica II 
 Introdução – Dinâmica II 
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No movimento de translação, quando a mesma força é aplicada a objetos 
de massas diferentes, observam-se acelerações diferentes. Já no 
movimento de rotação, quando o mesmo torque é aplicado em objetos 
idênticos com distribuição diferente de massa, observam-se 
acelerações angulares diferentes. 
 
Então, não é a massa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a 
distribuição da massa do seu corpo. Essa distribuição pode ser expressa 
através de uma quantidade denominada momento de inércia. 
Comentário: 
 Introdução – Dinâmica II 
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O disco está girando inicialmente com velocidade angular ω0 = 8 rad/s. 
Considerando uma aceleração angular constante αc = 6 rad/s
2, determine os 
módulos da velocidade e dos componentes n e t da aceleração do ponto A, 
no instante t = 3 s. 
Exemplo 1 
 Introdução – Dinâmica II 
CINEMÁTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS - Introdução 
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Resolução: 
 Introdução – Dinâmica II 
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A carga B está conectada a uma polia dupla por um dos dois cabos 
inextensíveis mostrados na figura. O movimento da polia é controlado pelo 
cabo C, que tem uma aceleração constante de 225 mm/s2 e uma velocidade 
inicial de 300 mm/s, ambas orientadas para a direita. Determine (a) o número 
de revoluções executadas pela polia em 2 s, (b) a velocidade da carga B após 
2 s, e (c) a aceleração do ponto D sobre o aro da polia interna em t = 0. 
Exemplo 2 
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Resolução: a) 
 
 
 
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b) 
 
 
c) 
 
 
 
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A velocidade angular do tambor aumenta uniformemente de 6 rad/s, quando 
t = 0, para 12 rad/s, quando t = 5 s. Determine os módulos da velocidade e 
da aceleração dos pontos A e B na correia, quando t = 1s. Nesse instante, os 
pontos situam-se como indicado na figura. 
Exemplo 3 
 Introdução – Dinâmica II 
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Resolução: 
 
 
 
 Introdução – Dinâmica II 
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A roda A, de raio rA = 10 cm, é acoplada por uma correia B à roda C, de 
raio rC = 25 cm, como mostrado na figura. A roda A desenvolve, a partir 
do repouso, uma velocidade angular à taxa uniforme de π/2 rad/s. 
Determine o tempo para a roda C atingir a velocidade angular de 100 rpm, 
supondo que a correia não deslize. 
Exemplo 4 
 Introdução – Dinâmica II 
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Resolução: 
 
 
 
 Introdução – Dinâmica II 
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O braço AB gira com velocidade angular de 42 rpm no sentido horário. 
Determine a necessária velocidade angular da roda A para no instante em 
que a velocidade angular da roda B é de 20 rpm. 
Considere rA = 60 mm e rB = 90 mm. 
Exemplo 5 
 Introdução – Dinâmica II 
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Resolução: 
 
 
 
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Quando um motor elétrico é ligado, ele alcança sua velocidade nominal de 
3.300 rpm em 6 s, e quando é desligado, o motor livre atinge o repouso em 
40 s. Admitindo um movimento uniformemente acelerado, determine o 
número de revoluções que o motor executa para alcançar sua velocidade 
nominal. 
Exemplo 6 
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Resolução: 
 
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A lixadeira mostrada na figura está inicialmente em repouso. Se o tambor 
de acionamento B tem uma aceleração angular constante de 120 rad/s2 no 
sentido anti-horário, determine a intensidade da aceleração da correia no 
ponto C quando (a) t = 0,5 s e (b) t = 2 s. 
Exemplo 7 
 Introdução – Dinâmica II 
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Resolução: 
 
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A barra em ângulo reto gira no sentido horário com uma velocidade angular 
que está diminuindo na taxa de 4 rad/s2. Escreva as expressões vetoriais 
para a velocidade e a aceleração do ponto A quando ω = 2 rad/s. 
Exemplo 8 
 Introdução – Dinâmica II 
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Resolução: 
 
 Introdução – Dinâmica II 
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Questão 1. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo 
fixo. É possível que a aceleração angular deste corpo seja diferente de zero, 
mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? 
Qual o equivalente linear desta situação? Ilustre ambas as situações com 
exemplos. 
Questão 2. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um 
ponto em sua borda. O ponto tem aceleração radial quando a roda gira com 
velocidade angular constante? Tem aceleração tangencial? 
Questão 3. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de 
engrenagens acopladas, de raios diferentes? 
Atividades 
 Introdução – Dinâmica II 
CINEMÁTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS - INTRODUÇÃO 
Questão 4. Coloque V ou F para as afirmações a seguir a respeito dos corpos 
rígidos: 
a. ( ) Do ponto de vista cinemático, um Corpo Rígido (C.R.) pode ser definido 
como um corpo material que guarda a propriedade de invariância de distância 
relativa entre quaisquer pontos que o constituam. 
b. ( ) Um sólido admitido indeformável concretiza o conceito de um C.R.. 
c. ( ) A componente do vetor velocidade de qualquer ponto de um mesmo corpo 
rígido, na direção de seu vetor de rotação, independe do ponto considerado. 
d. ( ) Um C.R. está realizando um movimento de translação quando todos os 
seus pontos possuem mesma velocidade escalar. 
e. ( ) Um C.R. está realizando um movimento de rotação quando todos os seus 
pontos possuem mesma velocidade angular. 
 
 Introdução – Dinâmica II 
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Questão 5. (ENADE-adaptada) No mecanismo ilustrado, uma placa metálica 
gira em torno de um ponto fixo O devido à aplicação de uma força F 
constante, que provoca o aparecimento de um torque, isto é, faz a placa 
metálica girar em torno do ponto fixo O. 
 
 
 
Com relação ao mecanismo apresentado, julgue os itens seguintes: 
I - Quanto maior for o valor da velocidade angular ω da placa metálica, maior 
será a velocidade linear vA de sua extremidade. 
II - Quanto menor for o valor da distância entre o ponto A e o ponto fixo O, 
maior será a velocidade linear vA da extremidade da placa. 
III - O módulo da velocidade relativa do ponto A em relação ao ponto O pode 
ser calculado pela expressão vA/O = ωd. 
IV - O ponto A na extremidade da placa não possui aceleração se ela gira com 
velocidade angular ω constante. 
 Introdução – Dinâmica II 
Questão 6. A velocidade angular do disco é definida por ω = 5t2 + 2 rad/s, 
onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da 
aceleração do ponto A do disco quando t = 0,5 s. 
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Questão 7. O disco movimentado pelo motor tem sua posição angular 
definida por θ = (20t + 4t2) rad, onde t é dado em segundos. Determine a 
velocidade e a aceleração angulares do disco quandot = 90 s. 
 
 Introdução – Dinâmica II 
Questão 8. O disco circular mostrado na figura gira em relação a seu 
centro O no sentido indicado. Em um certo instante, o ponto P, em sua 
borda, possui uma aceleração dada por a = - 3i - 4j m/s2. 
Para esse instante, determine a velocidade angular ω e a aceleração angular 
α do disco. 
 Introdução – Dinâmica II 
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Questão 9. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um 
eixo fixo e gira à razão de 2,5 rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 
20 cm de comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem 
que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto 
os raios sejam muito finos; veja a figura. 
 
 
 
 
(a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? 
(b) A localização do ponto que você mira, entre o eixo e a borda da roda, 
tem importância? Em caso afirmativo, qual a melhor localização? 
 Introdução – Dinâmica II 
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Questão 10. Considere as engrenagens A e B mostradas na figura. 
Sabendo que A parte do repouso e tem aceleração angular constante 
αA = 2 rad/s
2, determine o tempo necessário para B atingir uma 
velocidade angular ωB = 50 rad/s R: 100 s 
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Questão 11. O pinhão A do motor de elevação aciona a engrenagem B, 
que está presa ao tambor de elevação. A carga P é içada a partir da sua 
posição de repouso e adquire uma velocidade para cima de 2 m/s em uma 
distância vertical de 0,8 m com aceleração constante. Quando a carga 
passa por essa posição, calcule a aceleração do ponto C no cabo em 
contato com o tambor. 
 Introdução – Dinâmica II 
46 
Questão 12. Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior do 
equipamento mostrado na figura. Se a polia A conectada ao motor inicia seu 
movimento a partir do repouso, com uma aceleração angular αA = 2 rad/s
2, 
determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, 
após esta ter completado uma revolução. Suponha que a correia de 
transmissão não escorregue na polia nem na roda. R: 1,23 m/s ; 3,78 m/s2 
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Questão 13. Uma polia e dois blocos estão conectados por cabos 
inextensíveis como mostra a figura. O bloco A tem uma aceleração 
constante de 300 mm/s2 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambas 
direcionadas para baixo. Determine o número de revoluções executadas 
pela polia em 3 s. R: 1,23 m/s ; 3,78 m/s2 
 Introdução – Dinâmica II 
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 Cinemática plana de corpos rígidos 
 
Movimento de Corpos Rígidos 
1 - Movimento Absoluto 
2 - Movimento Relativo: Velocidade 
 2.1 - Posição 
 2.2 – Deslocamento 
 2.3 – Velocidade 
3 - Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
 3.1 – Definição 
 3.2 - Localização 
4 - Movimento Relativo: Aceleração 
 
 Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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Para estudar a cinemática dos corpos rígidos devemos estabelecer as 
relações que existem entre o tempo, as posições, as velocidades e as 
acelerações dos vários pontos materiais que formam um corpo rígido. 
 
. 
Movimento de Corpos Rígidos 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
1. Translação. Diz-se que um movimento é de translação quando qualquer 
reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direção 
durante o movimento; e todos os pontos materiais que formam o corpo 
deslocam-se segundo trajetórias paralelas. Sendo estas trajetórias retas ou 
curvas, translação retilínea e translação curvilínea. 
50 
1. Rotação em torno de um Eixo Fixo. Neste movimento, os pontos 
materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao 
longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa, 
como mostrado na figura abaixo. 
 
Se essa reta, chamada de eixo de rotação, intercepta o corpo rígido, os 
pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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Não se deve confundir o movimento de rotação com certos tipos de 
translação curvilínea. Por exemplo, a placa ilustrada na figura (a) está em 
translação curvilínea, havendo grupos de pontos materiais deslocando-se 
segundo circunferências paralelas. Enquanto a placa ilustrada na figura (b) 
está em rotação, já que todos os pontos materiais descrevem circunferências 
concêntricas. 
 
 
 
 
 
 
No primeiro caso, qualquer reta da placa conserva a mesma orientação, 
enquanto, no segundo, o ponto O permanece fixo. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
52 
3. Movimento Plano Geral. Há outros tipos de movimento plano, isto é, 
movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em 
planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao 
redor de um eixo fixo sem translação, considera-se como um movimento 
plano geral. Dois exemplos de movimento plano geral são dados na 
figura abaixo. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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4. Movimento em torno de um Ponto Fixo. Este é movimento 
tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo O. Um exemplo 
típico é o movimento de um pião sobre o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Movimento Geral. Qualquer movimento de um corpo rígido que não 
esteja incluído nos tipos anteriormente mencionados é denominado 
movimento geral. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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 Será abordado o movimento de translação, a rotação de um corpo rígido 
em torno de um eixo fixo. 
 
Definiremos a velocidade angular e a aceleração angular do corpo e 
relacionaremos a velocidade e aceleração de um ponto qualquer do corpo 
com seu vetor de posição e as quantidades angulares mencionadas. 
 
Serão estudados mecanismos como engrenagens, barra de conexão e 
articulações; bem como o método de análise das velocidades no 
movimento plano que se baseia no conceito de centro instantâneo de 
rotação. 
 
 
 
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Movimento de Corpos Rígidos 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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 O movimento absoluto é completamente definido pelo conhecimento da 
rotação de uma linha fixa do corpo e do movimento de um ponto desse 
corpo. 
 
 
 
O estudo do movimento absoluto de 
um Corpo Rígido irá relacionar o 
movimento de um corpo com o de 
outro a ele conectado, e estudar o 
movimento de um corpo sujeito a uma 
rotação em torno de um eixo fixo. 
 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Deve-se utilizar uma coordenada de posição retilínea s para situar o ponto 
em sua trajetória e uma coordenada de posição angular θ para especificar 
a rotação da linha. 
 
 A velocidade e a aceleração de um ponto P em movimento retilíneo 
podem ser relacionadas com a velocidade e a aceleração angulares de uma 
linha pertencente ao corpo pela aplicação direta das equações diferenciais: 
 
dt
ds
v 
 
dt
dv
a 
 
dt
d
 
dt
d
 
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Exemplo 1 
A barra DC gira uniformemente em torno do eixo em D com uma 
velocidade angular ω constante. Determinar a velocidade e a aceleração 
da barra AB que é obrigada pelas guias a se mover verticalmente. 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
B 
Resolução: 
 Analisando o movimento vertical da barra, para sua coordenada y 
podemos escrever: 
 
 
Como vAB = vy , aAB = ay , = ω e = α = 0; 
 
 Temos: 
 
B 
)..(cos.cos 2  senlaylvylseny yy 
 
 cos...cos llvy   senlay ..
2
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61 
Exemplo 2 
 
O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm/s. Calcule 
as velocidades do corpo deslizante A e dos pontos C e D dos cabos. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
Considerando os deslocamentos constantes representado podemos escrever: 
 
Como vB = 300 mm/s → vA = 200 mm/s 
Para encontrar a velocidade do ponto C: 
 
Como vA = 200 mm/s → vC = 600 mm/s 
 
Para o ponto D: 
 
Então → vD = - 200 mm/s 
3
2
2323 BA
BA
BA
v
v
dt
dx
dt
dx
ctexx 
AC
CA
CA vv
dt
dx
dt
dx
ctexx 333 
AD
DA
DA vv
dt
dx
dt
dx
ctexx 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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32 
63 
Exemplo 3 
Um exemplo de movimento plano é representado por uma barra cujas 
extremidades deslizam ao longo de uma pista horizontal e de uma vertical, 
respectivamente. Esse movimento pode ser substituído por uma translação em 
uma direção horizontal e uma rotação em torno de A ou por uma translação 
em uma direção vertical e uma rotação em torno de B. Represente estes 
movimentos em separados. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
33 
65 
Exemplo 4 
Sabendo que o cursor C se move para direita com velocidade constante v0, 
deduza expressões para a velocidade angular e a aceleração angular da 
barra AB. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
34 
67 
Exemplo 5 
Usa-se o mecanismo para converter o movimento de rotação com 
velocidade angular constante ω da barra AB em movimento de translação 
da barra CD. Determine a velocidade e a aceleração de CD para qualquer 
ângulo θ . 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
35 
69 
Exemplo 6 
O disco A rola sem escorregar sobre a superfície de um cilindro fixo B. 
Determine a velocidade angular de A se o seu centro C tem velocidade 
vC = 5 m/s. Quantas revoluções A terá feito em torno de seu centro ao fim de 
uma volta completa da barra DC? 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
36 
71 
Exemplo 7 
O movimento da barra está limitado pelos planos inclinados, como 
mostrado na figura. Se a velocidade do rolete A é = 6 pés/s, quando 
θ = 45°, determine a velocidade angular da barra e a velocidade do rolete 
B, nesse instante. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
37 
73 
Exemplo 8 
A janela mostrada na figura é aberta por meio do cilindro hidráulico AB. 
Se o cilindro se estende a uma taxa constante de 0,5 m/s, determine a 
velocidade e a aceleração angulares da janela quando θ = 30 °. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
38 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
76 
Atividades 
Questão 1. Uma roda de raio r rola sobre uma superfície plana sem 
deslizar. Determine a aceleração de um ponto na extremidade da roda, 
quando o ponto entra em contato com a superfície sobre a qual a roda rola.
 R: r.ω2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
24/08/2020 
39 
dt
ds
v 
 
dt
dv
a 
 
dt
d
 
dt
d
 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
78 
Questão 2. Considerando que a mola mantém o contato entre o rolete e a 
superfície de acionamento da haste mostrada na figura, determine o 
módulo da aceleração da haste B para θ = 60º. A manivela AO tem uma 
velocidade angular de 2 rad/s e uma aceleração angular de 6 rad/s2 nessa 
posição. R: 37,1 mm/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
40 
79 
Questão 3. No instante em que θ = 50º, a guia está subindo com 
aceleração de 3 m/s2 e velocidade de 2 m/s. Determine a aceleração e a 
velocidade angulares da barra AB no instante considerado. 
 R: 8,7 rad/s; 50,5 rad/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
80 
Questão 4. O braço ranhurado AO mostrado na figura gira com uma 
velocidade angular constante durante um intervalo limitado de seu 
movimento, e move o bloco deslizante pivotado ao longo da ranhura 
horizontal. Escreva as expressões para a velocidade vB e para a aceleração 
aB do bloco deslizante em função de θ. 
R: vB = bω sec
2 θ, aB = 2bω
2 sec2 θ tg θ 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
41 
81 
Questão 5. A extremidade R da barra mostrada na figura mantém-se em 
contato com a came por meio de uma mola. Se a came gira em torno de 
um eixo pelo ponto O, com uma aceleração angular α e velocidade angular 
ω, determine a velocidade e a aceleração da barra quando a came tem uma 
posição arbitrária θ. 
 R: vR = 2rωsen θ; aR = 2r(αsen θ + ω
2cos θ) 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
82 
Questão 6. A plataforma S pode ser elevada hidraulicamente pelo 
movimento do rolete A que se aproxima do pino B. Se a velocidade de A é 
de 1,5 m/s determine a velocidade com que a plataforma sobe 
considerando θ = 60º. As barras de 4 m estão articuladas por pinos em seus 
pontos médios. 
R: 0,866 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
42 
83 
Questão 7. O mecanismo composto de disco giratório e haste deslizante 
converte o movimento de rotação do disco em movimento alternativo do 
eixo. Para dados valores de θ, ω, α, r e d, determine a velocidade e a 
aceleração do ponto P do eixo. 
 R: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
84 
Questão 8. O came circular é montado excentricamente sobre seu 
rolamento fixo em O e gira no sentido anti-horário com velocidade angular 
constante ω. O came faz o garfo A e a haste de controle, ligada a ele, 
oscilar na direção horizontal x. Escreva expressões para a velocidade vx e 
a aceleração ax da haste de controle em termos do ângulo θ medido a partir 
da vertical. As superfícies de contato do garfo são verticais. 
 
 R: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
43 
85 
Questão 9. Ao ponto A é fornecida uma aceleração constante a para a 
direita, partindo do repouso com x praticamente nulo. Determine a 
velocidade angular ω da barra de ligação AB em função de x e de a. 
 R: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
86 
Questão 10. Para o instante em que y = 200 mm, a barra do pistão do 
cilindro hidráulico C impõe ao pino A um movimento vertical com 
velocidade vy = 400 mm/s e aceleração ÿ = - 100 mm/s
2. Determine, para 
esse instante, a velocidade angular ω e a aceleração angular α da barra 
AB. R: - 1,155 rad/s ; - 0,481 rad/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
44 
87 
Questão 11. O cilindro hidráulico C impõe à extremidade A da barra AB 
uma velocidade constante v0 no sentido negativo da direção x. Determine 
as expressões para a velocidade angular ω = dθ/dt da barra em função de 
x. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
88 
Para visualizar as componentes (translação e rotação) separadamente 
utiliza-se uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos 
de eixos coordenados: 
 
 
 
 
 
 
 
. o sistema x, y, z fixo; mede a posição absoluta entre dois pontos, A e B 
por exemplo. 
. outro sistema x', y', z'; com origem fixada no ponto de referência A (que 
tem um movimento conhecido). Estes eixos não giram com o corpo, elespoderão apenas transladar em relação ao sistema fixo. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
45 
89 
 - Posição 
 
rA: vetor posição que caracteriza a localização do ponto de referência A. 
rB/A: posição relativa que localiza B em relação à A. 
 
A posição de B é escrita: 
 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
- Deslocamento 
Num pequeno intervalo de tempo dt, os pontos A e B se deslocam de drA e 
drB. Considerando o movimento plano geral por partes, pode-se inicialmente 
transladar o corpo como um todo de uma quantidade drA de modo que o ponto 
da base se move para posição final, e B se move para B'. O corpo então gira 
de um ângulo dθ em torno de A, de modo que B' sofre um deslocamento 
relativo drB/A, movendo para sua posição final B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
46 
O deslocamento se escreve: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
- Velocidade 
 
Tomando as velocidades como derivadas dos deslocamentos, tem-se: 
 
 
vB: velocidade absoluta do ponto B (medida em relação aos eixos fixos 
x, y, z). 
vA: velocidade absoluta do ponto A (medida em relação aos eixos fixos 
x, y, z). 
vB/A: velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A. 
 
Devido a rotação em torno de A, escreve-se: vB/A = ω.rB/A 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
47 
93 
A rotação em torno de A é um movimento relativo circular, em que o 
módulo da velocidade é vB/A = ωrB/A e sua direção é perpendicular a rB/A. 
Uma vez que a velocidade relativa (vB/A) representa o efeito de um 
movimento circular em relação a A, esse termo pode ser expresso pelo 
produto vetorial: 
 
 Então: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 
 
 
 
 
A figura (a) mostra a contribuição vcm para a velocidade de um ponto 
qualquer da periferia Pi; a figura (b) mostra a contribuição proveniente da 
rotação em torno do centro de massa, ω × ri, para a velocidade desses pontos 
e na figura (c) estão indicadas as velocidades desses pontos, obtidas por meio 
da soma vetorial das contribuições desenhadas nas figuras (a) e (b). 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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48 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Vídeo 
24/08/2020 
49 
97 
Exemplo 1 
Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no instante 
considerado, o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda. 
Determinar a velocidade dos pontos A e C sobre a roda no instante 
mostrado. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
98 
Resolução: 
 
A velocidade de A pode ser determinada usando-se O como ponto de 
referência da equação: 
 onde 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Como a roda não desliza, o ponto C apresenta velocidade 
nula no instante do contato com o solo e é chamado de centro instantâneo 
de velocidade nula, que será estudado mais à frente. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
50 
99 
Exemplo 2 
Uma chapa quadrada uniforme, movendo-se no plano xy, possui uma 
velocidade angular no sentido horário. No instante mostrado, o ponto A 
tem uma velocidade de 2 m/s para a direita, e a velocidade do ponto C em 
relação a um observador fixo a B tem módulo de 1,2 m/s. Determine as 
expressões vetoriais para a velocidade angular da chapa e para a 
velocidade de seu centróide G. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 
A velocidade angular pode ser determinada usando-se a velocidade do 
ponto C em relação a ponto B: 
 
smjiv
jikiv
rvv
sradk
sradrv
G
G
AGAG
CBCB
/)ˆ6,0ˆ6,2(
)ˆ2,0ˆ2,0(ˆ3ˆ2
/ˆ3
/3
4,0
2,1
;











24/08/2020 
51 
101 
Exemplo 3 
No sistema motor mostrado na figura, l = 0,254 m e b = 0,0762 m, a 
manivela AB gira com velocidade angular constante de 750 rpm, no 
sentido horário. Determine a velocidade do pistão P e a velocidade 
angular da biela para a posição em que θ = 90°. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
171 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
52 
103 
Exemplo 4 
A figura plana mostrada na figura desloca-se no plano xy. Sabendo que 
(vA)x = 300 mm/s, (vB)y = −180 mm/s e (vC)x = −150 mm/s, determine 
(a) a velocidade angular da placa; 
(b) a velocidade do ponto A. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
171 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
53 
105 
Exemplo 5 
Pequenas rodas estão fixadas nas extremidades da barra AB e giram 
livremente ao longo da superfície mostrada na figura. Sabendo que a roda 
A se desloca para a esquerda com velocidade constante de 1,5 m/s, 
determine pelo método do CIR a velocidade da extremidade B da barra. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 
24/08/2020 
54 
107 
Exemplo 6 
A manivela AB mostrada na figura tem velocidade angular horária 
constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine a velocidade 
angular da barra de conexão BD e a velocidade do pistão P. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 
24/08/2020 
55 
109 
Exemplo 7 
A barra AB mostrada na figura gira no sentido horário, com uma 
velocidade angular de 30 rad/s, no instante em que θ = 60º. Determine a 
velocidade angular ωD do disco conectado à articulação nesse instante. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 
24/08/2020 
56 
111 
Exemplo 8 
Considere que o bloco C está descendo a 4 pés/s, determine a velocidade 
angular da barra AB na situação mostrada na figura. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 
24/08/2020 
57 
113 
Exemplo 9 
O parafuso de acionamento gira a uma velocidade que fornece ao cursor 
rosqueado C uma velocidade de 0,25 m/s verticalmente para baixo. 
Determine a velocidade angular do braço ranhurado quando θ = 30°. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 
24/08/2020 
58 
115 
Exemplo 10 
Num dado instante, o colar C mostrado na figura está descendo com uma 
velocidade de 2 m/s. Determine a velocidade angular da barra AB para 
esse instante. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 
24/08/2020 
59 
117 
Atividades 
Questão 1. O cilindro rola sem deslizar sobre a superfície de uma 
correia transportadora que se move a 2 m/s. Determine a velocidade do 
ponto A. O cilindro tem uma velocidade angular no sentido horário 
ω = 15 rad/s no instante mostrado. 
R: v = 12,1 m/s 
 
 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
118 
Questão 2. Considere o instante representado, quando a manivela OA passa 
pela posição horizontal. Desprezando as forças de resistência, para os itens a 
seguir, marque verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações. 
 
 
 
 
( ) O módulo da velocidade do ponto A é igual à velocidade do ponto G. 
( ) O vetor velocidade do ponto A é vertical. 
( ) O módulo da velocidade linear do ponto A é nulo. 
( ) O ponto B possui velocidade nula. 
( ) O vetor aceleração do ponto A é nulo. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
60 
Questão 3. Uma roda de raio r = 300 mm rola para a direita sem deslizar, 
e seu centro O possui uma velocidade v0 = 3 m/s. Calcule: 
a) A velocidade angular da roda no instante considerado. 
b)A velocidade do ponto A sobre a roda para o instante representado. 
c) A velocidade de um ponto P em contato com o solo nesse instante. 
 R: 10 rad/s; 4,36 m/s; 0 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
120 
Questão 4. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a 
cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s 
para a direita e sua velocidade angular é igual a 8 rad/s no sentido horário. 
Determine os módulos das velocidades da cremalheira superior R e do 
ponto D da engrenagem. 
 R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
61 
Questão 5. A manivela AB gira a 500 rad/s em torno de um eixo fixo 
passando por A. Determine a velocidade do pistão P no instante em que 
ele passa pela posição mostrada na figura. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Questão 6. A barra AB move-se sobre a superfície horizontal. A 
velocidade do seu centro de massa é vG = 2 m/s, com direção paralela ao 
eixo y e, a barra tem uma velocidade angular anti-horária (como pode ser 
vista de cima) ω = 4 rad/s. Determine a velocidade do ponto B. 
 R: 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
62 
123 
 
Questão 7. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. 
Se a velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine o 
módulos das velocidades dos pontos A e B, mostrados na figura. 
 R: vA = 2,84 m/s; vB = 7,37 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 
124 
Questão 8. O elemento de controle de um mecanismo de aplicação 
específica é submetido a um movimento no plano da figura. Se, em um 
determinado instante, a velocidade do pino B em relação ao pino A tem 
um módulo de 0,926 m/s, qual é o módulo correspondente da velocidade 
do pino C relativamente ao pino D? 
R: vC/D = 0,579 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 
24/08/2020 
63 
125 
Questão 9. Num dado instante, um bumerangue tem velocidade angular 
ω = 4 rad/s e seu centro de massa G tem velocidade vG = 6 m/s. 
Determine a velocidade do ponto B nesse instante. 
R: v = 6,47 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 
126 
Questão 10. A bicicleta tem velocidade v = 4 pés/s, enquanto a roda 
traseira gira no sentido horário com velocidade angular ω = 3 rad/s, o que 
provoca um escorregamento de seu ponto de contato A. Determine a 
velocidade do ponto A da roda. 
R: 2,5 pés/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 
24/08/2020 
64 
127 
Questão 11. A barra mostrada na figura é guiada pelos blocos A e B, que 
se movem nas ranhuras fixas. Se a velocidade de A é de 2 m/s para baixo, 
determine a velocidade de B no instante em que θ = 45º. 
R: 2 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 
Questão 12. Num dado instante, o colar C mostrado na figura está 
descendo com uma velocidade de 2 m/s. Se o ponto B possui velocidade 
de 2 m/s para a direita, determine a velocidade angular da barra CB. 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
65 
Questão 13. Se a extremidade da corda está sendo puxada com 
velocidade vC = 120 mm/s, determine as velocidades angulares das polias 
A e B e a velocidade do bloco D. Suponha que a corda não escorregue nas 
polias. R: 4 rad/s ; 1 rad/s ; 60 mm/s 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Questão 14. Um disco gira com velocidade angular ω = 4 rad/s, como 
mostrado na figura. Determine: 
a) A velocidade vA do ponto A. Você se sabe como pode ser chamado 
esse ponto no instante considerado? 
b) As velocidades vB e vC dos pontos B e C nesse instante. 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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66 
Questão 15. O tambor de raio R rola sem escorregar numa correia C que 
se desloca para a esquerda com a velocidade constante, como indicado na 
figura. Determine a velocidade angular do tambor e a velocidade do ponto 
A para o instante em que a velocidade do centro D do tambor têm o valor 
indicado. R: 5 rad/s ; 1,7 m/s 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Questão 16. O volante mostrado na figura gira com velocidade angular 
ω = 2 rad/s e aceleração angular α = 6 rad/s2. Determine as velocidades 
angulares das hastes AB e BC para o instante representado. 
R: 1,5 rad/s ; 0 rad/s 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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67 
Questão 17. Sabendo que a barra AB tem a velocidade angular 
ωAB = 3 rad/s no sentido anti-horário, determine as velocidades angulares 
das barras BD e DE. 
R: 0 rad/s ; 1,6 rad/s 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Questão 18. O colar B desloca-se para cima com velocidade de 1,2 m/s. 
No instante mostrado na figura, quando θ = 25º, determine a velocidade 
do colar A. 
R: 1,08 m/s 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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68 
Questão 19. A velocidade angular da barra AB é ωAB = 4 rad/s. Determine 
a velocidade do colar C e a velocidade angular da barra CB no instante em 
que θ = 60º e *φ = XXº. A barra CB está na horizontal nesse instante. 
* Considere XX os dois últimos números de sua matrícula! 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
136 
Questão 20. A manivela CB oscila em torno de C através de um arco 
limitado, obrigando a manivela OA a oscilar em torno de O. Quando o 
mecanismo passa pela posição mostrada com CB horizontal e OA 
vertical, a velocidade angular de CB é de 2 rad/s no sentido anti-horário. 
Para esse instante, determine as velocidades angulares de OA e AB. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
69 
137 
Questão 21. A configuração usual de um motor alternativo é a do 
mecanismo de bloco deslizante e manivela apresentado. Se a manivela 
OB possui uma velocidade de rotação no sentido horário de 1500 rpm, 
determine para a posição em que θ = 60°, a velocidade do pistão A, a 
velocidade do ponto G sobre a biela e a velocidade angular da biela. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Outra abordagem para solução de problemas envolvendo as velocidades 
dos pontos de uma placa rígida em movimento plano é baseada na 
determinação do centro instantâneo de rotação (CI) da placa. 
 
 
 
 
 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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70 
A expressão da velocidade relativa permite calcular a 
velocidade de um ponto quando conhecemos a velocidade de um ponto 
base. 
Esta determinação se simplifica quando a velocidade do ponto base é 
nula; e o ponto base se torna o C.I.R. 
 
Então: 
 
 
 
 O eixo de velocidade nula é perpendicular ao plano do movimento. 
 Os pontos se movem em trajetória circular em torno do CI. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
A figura mostra uma roda girando com velocidade angular ω. Como os 
pontos em contato têm a mesma velocidade, no contato com o piso v = 0, 
este ponto é o CI e todos os outros pontos têm naquele instante uma 
trajetória circular em relação ao CI. 
 
Em geral, um novo centro instantâneo CI existirá para cada nova posição 
do corpo durante o seu movimento. O lugar geométrico desses centros no 
espaço é conhecido como centrodo espacial, e o lugar geométrico sobre o 
corpo (ou prolongamento do corpo) é conhecido como centrodo de corpo. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
71 
- Localização 
Em função das grandezas conhecidas, podemosdistinguir três casos: 
 
1. A velocidade instantânea vA e a velocidade 
angular ω são conhecidas. Então rA/CI = vA / ω. 
 
 
2. As direções das velocidades de dois pontos 
A e B são conhecidas. Neste caso o CI 
localiza-se no ponto de encontro das 
perpendiculares às direções das velocidades 
nos pontos A e B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 Tem-se: rA/CI + rB/CI = d ou rB/CI – rA/CI = d 
 
O CI só vale para um determinado instante! 
Não significa que a aceleração é nula! 
3. Os módulos e direção de duas velocidades paralelas são conhecidas. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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Vídeo! 
 
 
 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Exemplo 1 
Mostre como se pode determinar o Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
para a barra BC mostrada na figura. Represente-o na figura. 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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73 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
Exemplo 2 
Para o instante mostrado, a velocidade angular da barra BE é de 4 rad/s no 
sentido anti-horário. a) Determine a posição do centro instantâneo de 
rotação (CIR) da barra AD; e b) Desenhe na figura sua posição para o 
instante considerado. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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74 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
b) 
148 
Exemplo 2 
O mecanismo mostrado na figura foi 
projetado para dar a uma lâmina pesa no 
cursor C um golpe lento e retornar 
rapidamente. Sabendo que a barra AB gira 
em torno do ponto A no sentido anti-
horário, represente para esse instante o 
Centro Instantâneo de Rotação (CIR) da 
barra BC, considerando as inclinações e os 
comprimentos das barras AB e BC 
apresentados. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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75 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Exemplo 3 
O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a 
superfície horizontal fixa, e o ponto O possui uma velocidade de 0,8 m/s 
para a direita. Utilizando o procedimento do CIR, determine as 
velocidades dos pontos A, B, C e D. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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76 
smrv
smrv
smrv
smrv
sradrv
DPD
CPC
BPB
APA
OPO
/92,3)16.(050,0250,0
/08,4)16.(250,0050,0
/2,3)16.(200,0
/8,4)16.(300,0
/16
050,0
8,0
;
22
22









Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
152 
Exemplo 4 
Para o instante representado, quando a manivela OA passa pela posição 
horizontal, determine a velocidade do centro G da barra AB pelo método 
do CIR. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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77 
178 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
154 
Exemplo 5 
O carretel de fita e sua estrutura de 
apoio são puxados para cima com uma 
velocidade vA = 100 mm/s. Sabendo que 
a extremidade B da fita é puxada para 
baixo com velocidade de 300 mm/s e 
que, no instante mostrado na figura, a 
espessura total da fita no carretel é de 
20 mm, determine o Centro Instantâneo 
de Rotação (CIR) do carretel. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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78 
178 
Resolução: 
 
Por semelhança de triângulos: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
156 
Exemplo 6 
Um tambor de 75 mm de raio está rigidamente preso a um tambor de 
125 mm de raio como ilustra a figura. Um dos tambores rola sem deslizar 
sobre a superfície mostrada e uma corda é enrolada ao redor do outro 
tambor. Sabendo que a extremidade E da corda é puxada para a esquerda 
com uma velocidade de 150 mm/s, determine a velocidade angular dos 
tambores. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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79 
178 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
158 
Exemplo 7 
Uma porta basculante é guiada por roletes em A e B que rolam em uma 
pista horizontal e uma vertical, segundo uma inclinação θ, como 
mostrado na figura. Se a velocidade do rolete B é de 0,5 m/s para cima, 
represente o CIR da porta neste instante . 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
160 
Atividades 
Questão 1. A manivela AB mostrada na figura tem velocidade angular 
horária constante para a posição indicada. Represente no desenho o centro 
instantâneo de velocidade nula do sistema para o instante considerado. 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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81 
161 
Questão 2. O disco rola sem deslizamento sobre duas chapas A e B, as 
quais movem-se paralelamente uma a outra, mas em direções opostas. Se 
vA = 2 m/s e vB = 4 m/s, posicionar o centro instantâneo de velocidade nula 
para o disco, e determinar a velocidade do ponto D no instante 
representado. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Questão 3. A roda da figura rola para a direita sem deslizar, com seu 
centro O possuindo uma velocidade vO = X,Y m/s. Localize o centro 
instantâneo de velocidade nula e utilize-o para encontrar a velocidade do 
ponto A para a posição indicada. 
• Considere X o primeiro número de sua matrícula e Y o segundo! 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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82 
163 
 
Questão 4. Na situação mostrada na figura, o disco gira com velocidade 
angular ω = 4 rad/s. Utilizando o conceito de centro instantâneo de 
rotação (CIR), determine as velocidades dos pontos B e C. 
 R: 1,2 m/s; 0,849 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
164 
Questão 5. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a 
cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s 
para a direita. Determine as velocidades da cremalheira superior R e do 
ponto D da engrenagem usando o método do centro instantâneo de 
rotação. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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83 
165 
 
Questão 6. A extremidade A da barra possui uma velocidade vA = 2 m/s 
para baixo durante um certo intervalo de seu movimento. Para a posição 
em que θ = 30º, determine, pelo método do Centro Instantâneo de 
Rotação, a velocidade angular ω da barra AB e a velocidade vG do 
centróide G da barra. R: ω = 11,55 rad/s; vG = 1,155 m/s
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
166 
 
Questão 7. A lâmina de uma ceifadeira mecânica gira no sentido anti-
horário a uma velocidade angular de 1800 rpm. Se o centrodo de corpo é 
um círculo com 0,75 mm de raio, calcule a velocidade vO da ceifadeira. 
R: 0,1414 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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84 
167 
 
Questão 8. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. 
Se a velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine 
utilizando o conceito de Centro Instantâneo de Velocidade Nula (C.I.R.) as 
velocidades dos pontos A e B mostrados na figura. 
R: 7,33m/s; 2,83 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
168 
 
Questão 9. O cilindro mostrado na figura rola sem escorregar entre as 
placas E e D. Determine a posição do centro instantâneo de rotação do 
cilindro e sua velocidade angular. 
R: 2,6 rad/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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85 
169 
 
Questão 10. A roda motriz dianteira de um veículo possui um diâmetro de 
650 mm e uma velocidade angular ω de 200 rpm quando em movimento 
sobre uma pista de gelo. Se o centro instantâneo de velocidade nula da 
roda está 100 mm acima do ponto de contato do pneu com a pista, 
determine a velocidade v do veículo e a velocidade de deslizamento vd do 
pneu sobreo gelo. 
R: 4,71 m/s, 2,09 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
Questão 11. O corpo cilíndrico de secção elíptica descreve movimento plano 
deslizando sobre o apoio em A e sobre a superfície horizontal sem atrito. 
Sabendo que no instante em que a secção do corpo no plano do movimento é 
a indicada na figura, a velocidade do ponto B (10,809; -27,042) cm é 
0,1 m.s-1,determine: 
a) as coordenadas no sistema [OXY] do centro instantâneo de rotação; 
b) a velocidade angular do corpo. 
R: 0,3 rad/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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86 
 
Questão 12. Sabendo que a extremidade D da corda avança para a esquerda 
com velocidade de 150 mm/s e que o cilindro rola sem escorregar, determine 
a velocidade angular do cilindro e a velocidade do ponto A utilizando o 
conceito de CIR. 
Considere os raios dados: r = XX mm e R = 2r. Sendo XX igual aos dois 
últimos números de sua matrícula. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
Questão 13. Para o instante mostrado, a velocidade angular da barra BE é de 
4 rad/s no sentido anti-horário. 
a) Determine a posição do centro instantâneo de rotação (CIR) da barra AD. 
b) Desenhe na figura sua posição para o instante considerado. 
 R: (31,1;18) cm 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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87 
Questão 14. A caixa representada na figura move-se mantendo as arestas 
C e D em contato com as paredes lisas contidas respectivamente no plano 
OX e OY. Num determinado instante a velocidade do ponto D é 0,5 m/s. 
Determine nesse instante: 
a) As coordenadas do centro instantâneo de rotação 
b) A velocidade angular da caixa. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Questão 15. Num dado instante, a extremidade superior A de uma barra 
tem a velocidade mostrada na figura. Considerando a inclinação da barra 
igual a 3X graus, sendo X igual ao último número de sua matrícula, 
determine o CIR da barra no instante mostrado. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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88 
Questão 16. O sistema suspenso na figura move-se para a esquerda ao 
longo do tubo horizontal, a uma velocidade de 0,610 m/s. Sabendo-se que 
o disco de 0,127 m de raio tem uma velocidade angular de 8 rad/s, no 
sentido anti-horário, determine a posição do centro instantâneo de rotação 
do disco. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
176 
Questão 17. Devido ao escorregamento, os pontos A e B na borda do 
disco de raio r = 0,8 pés têm as velocidades indicadas na figura. 
Determine: 
a) a posição do centro instantâneo de velocidade nula; 
b) a velocidade do centro C disco. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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89 
177 
Uma equação que relaciona a aceleração de dois pontos de um corpo 
rígido sujeito a um movimento plano geral pode ser determinada pela 
derivação da equação de velocidade em relação ao tempo: 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 e são acelerações absolutas medidas no sistema de 
coordenadas fixo. 
 
 é medido por um observador fixo ao sistema móvel em 
translação. 
 
O movimento relativo tem uma trajetória circular com raio rB/A. 
 
 Então: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Voltando à expressão da aceleração relativa: 
 Pode-se escrever: 
 
Em que os módulos são: 
 : com direção perpendicular a rB/A 
 : com direção igual a BA e o sentido de B para A. 
Estas componentes representam um movimento circular observado num 
referencial em translação. 
Utilizando a noção de produto vetorial: 
 
 
 Resultando: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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90 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
180 
Pode-se concluir que quando dois corpos são articulados: 
 
- pontos coincidentes na rótula têm a mesma aceleração. Descrevem a 
mesma trajetória; 
- se fazem contatos mas se movem em trajetórias diferentes terão a 
mesma aceleração tangencial (at); porém as acelerações totais não serão 
iguais pois an é diferente para cada trajetória. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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91 
181 
Exemplo 1 
No cálculo da velocidade relativa vimos a determinação das velocidades 
dos pontos A e C sobre a roda de raio r que rola para a esquerda sem 
deslizar no instante considerado. Vamos agora determinar as acelerações 
destes mesmos pontos da roda no instante considerado, lembrando que o 
centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda. 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
 
Resolução: 
A aceleração de A é dada por: aA = aO + aA/O, 
onde o termo da aceleração relativa tem as componentes:(aA/O)n = r0ω
2, 
dirigida de A para O, e a componente (aA/O)t = r0α dirigida ao longo de t. 
A adição dos vetores dá aA. 
A aceleração do centro instantâneo de velocidade nula C, considerado 
um ponto sobre a roda, é obtida pela expressão: aC = aO + aC/O, 
em que as componentes da aceleração relativa são: 
(aC/O)n = rω
2, dirigida de C para O, e 
(aC/O)t = rα, dirigida para a direita, 
para levar-se em conta a aceleração angular no sentido anti-horário de 
linha CO em torno de O. 
 
Os termos são adicionados conjuntamente, e tem-se que: aC = rω
2. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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92 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Exemplo 2 
Num determinado instante a barra AB da conexão está girando com 
velocidade e aceleração angulares como apresentado na figura. Considerando 
os comprimentos das barras AB e BC dadas, e sabendo que para o instante 
representado a barra BC está girando com velocidade angular de módulo 
ωBC = 3 rad/s, determine a aceleração do bloco C, que é obrigado a deslizar na 
guia inclinada. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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93 
Resolução: 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Exemplo 3 
O movimento do cilindro de 75 mm de raio é controlado pela corda mostrada 
na figura. Sabendo que a extremidade E da corda tem velocidade de 
300 mm/s e aceleração de 480 mm/s2, ambas orientadas para cima, determine 
a aceleração do ponto A. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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94 
Resolução: 
A aceleração de A é dada por: aB = aA + aB/A, 
 
Encontra-se a aceleração do ponto A: 
 
 
 
Determinando a aceleração pedida em termos dos unitários: 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Exemplo 4 
O disco está se deslocando para a esquerda com aceleração angular 
α = 8 rad/s2 e velocidade angular ω = 3 rad/s. Se ele não escorrega em A, 
determine a aceleração do ponto D. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Exemplo 5 
Uma corda se desenrola do carretel mostrado na figura ao lado, de forma 
que num dado instante este tem velocidade angular de 3 rad/s e uma 
aceleração angular de 4 rad/s2. Determine a aceleração do ponto B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
192 
Exemplo 6 
O centro da dupla engrenagem já vista em problemas anteriores tem uma 
velocidade de 1,2 m/s para a direita e uma aceleração de 3 m/s2 na mesma 
direção e sentido. Determine as acelerações dos pontos B, C e D da 
engrenagem. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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97 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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98 
195 
Exemplo 7 
Uma viga de aço de 10 pés está sendo baixada por meio de dois cabos que 
se desenrolam de guindastes à mesma velocidade. Assim que a viga 
aproxima-se do solo, os operadores dos guindastes aplicam freios para 
desacelerar a descida. No instante considerado, a desaceleração do cabo 
preso em A é de 12 pés/s2, enquanto a do cabo preso em B é de 5pés/s2. 
Determine a aceleração angular da viga. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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99 
197 
Exemplo 8 
O mecanismo da questão 20 das atividades sobre velocidade relativa é 
reapresentado aqui. A manivela CB possui uma velocidade angular no 
sentido anti-horário constante de 2 rad/s na posição indicada durante um 
curto intervalo de seu movimento. Determine a aceleração angular das 
barras AB e AO para essa posição. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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100 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
200 
Exemplo 9 
A manivela AB do sistema biela-manivela de motor tem uma velocidade 
angular constante no sentido horário de 2.000 rpm. Para a posição 
mostrada da manivela, determine a aceleração angular da barra de 
conexão BD e a aceleração do ponto D. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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101 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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102 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
204 
Atividades 
 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Questão 1. O centro O da roda é montado em um bloco deslizante que 
possui uma aceleração aO = 8 m/s
2 para a direita. Determine os módulos 
das acelerações dos pontos A e B para o instante em que θ = 45º, 
ω = 3 rad/s, α = - 8 rad/s2. R: aA = 12,8 m/s
2, aB = 3,21 m/s
2 
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103 
205 
Questão 2. O volante mostrado na figura possui um diâmetro de 600 mm 
e gira aumentando sua velocidade de rotação em torno de seu eixo, que 
coincide com a orientação z. Quando o ponto P sobre sua borda cruza o 
eixo y com θ = 90º, ele possui uma aceleração dada por 
a = - 1,2 i - 10,8 j (m/s2). Para esse instante, determine a velocidade 
angular ω e a aceleração angular α do volante. 
 R: 6 rad/s; 4 rad/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
206 
Questão 3. As duas pás de rotor com 800 mm de raio giram no sentido 
anti-horário com uma velocidade angular constante 2 rad/s em torno do 
eixo O montado em um bloco deslizante. A aceleração do bloco é 
aO = 3 m/s
2. Determine o módulo da aceleração da ponta A da pá quando 
(a) θ = 0º, (b) θ = 90º e (c) θ = 180º. A velocidade de O ou o sentido de ω 
influenciam o cálculo? R: (a) 0,2 m/s2, (b) 4,39 m/s2, (c) 6,2 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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104 
207 
Questão 4. Para o instante representado na figura, o vértice C da chapa 
retangular possui uma aceleração de 5 m/s2 no sentido negativo do eixo y, 
e a placa possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido horário que 
diminui de 12 rad/s a cada segundo. Determine a aceleração do vértice A 
nesse instante. R: aA = 11,18 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
208 
Questão 5. O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e 
aceleração angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola 
sem deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da 
aceleração de B para esse instante. 
R: aB = 16,44 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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105 
209 
Questão 6. Num dado instante, o pé A da escada tem aceleração 
aA = 4 m/s
2 e velocidade vA = 6 m/s, ambas para a esquerda. Determine a 
aceleração angular da escada no instante em que θ = 30º. 
R: 3,294 rad/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
210 
Questão 7. A bola mostrada na figura possui 0,5 m de raio e rola sem 
escorregar para a esquerda com aO = 2 m/s
2. Determine as acelerações 
vetoriais dos pontos B e A. 
R: aB = (–20 i + 2 j) m/s2; aA = (–4 i – 18 j) m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
106 
211 
Questão 8. Num dado instante, o bloco deslizante A tem a velocidade e a 
aceleração mostradas na figura. Se a barra AB possui velocidade angular 
constante ωAB = 7,07 rad/s, determine a aceleração aB do bloco B nesse 
instante. 
R: 11,9 m/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
212 
Questão 9. O centro da roda mostrada na figura está se deslocando para a 
direita com aceleração escalar a = 5,80 m/s2,velocidade angular 
ω = 2 rad/s e aceleração angular α = 4 rad/s2. Sabendo que o ponto A não 
escorrega e que o raio da roda vale r = 1,45 m, determine a aceleração do 
ponto B. R: 13,9 m/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
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107 
213 
Questão 10. Num dado instante, a extremidade superior A de uma barra 
tem a velocidade e a aceleração mostradas na figura. Determine a 
aceleração da extremidade inferior B e a aceleração angular da barra, 
nesse instante. 
R: 7,656 pés/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
214 
Questão 11. Determine a aceleração linear do bloco deslizante B que 
desloca-se para a direita com a velocidade e a aceleração mostradas na 
figura. Nesse instante, a roda possui aceleração angular constante igual 
0,42 rad/s2. Lembre-se que para a inclinação representada, a velocidade do 
ponto A é paralela à do bloco B, o que indica que a barra AB não está 
girando. R: 0,336 i + 0,29 j m/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
108 
215 
Questão 12. O disco mostrado possui uma velocidade angular constante 
de 360 rpm no sentido horário. Para o instante em que θ = 0º, determine: 
a) A aceleração aB do ponto B. 
b) A velocidade angular ωBC da barra BC. 
c) A aceleração aC do cursor C. 
R: 106,6 m/s2 ; 9,43 rad/s2 ; 79,9 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
216 
Questão 13. No instante mostrado a roda está girando com velocidade angular 
ω = 2 rad/s e aceleração angular α = 6 rad/s2, como mostrado na figura. 
Sabendo que o vetor aceleração do ponto A mostrado é aA = - 2,16 i + 0,14 j, 
determine a aceleração angular da barra AB e a aceleração linear do ponto B. 
R: 8,37 rad/s2 ; 3,56 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
24/08/2020 
109 
217 
Questão 14. Uma barra de 900 mm repousa em uma mesa horizontal. A 
força P aplicada como mostrado na figura produz as seguintes acelerações: 
aA = 3,6 m/s
2 para a direita, α = 6 rad/s2 no sentido anti-horário se visto de 
cima. Determine a aceleração (a) do ponto G, (b) do ponto B. 
R: 0,9 m/s2 ; 1,8 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
218 
Questão 15. Um automóvel desloca-se para a esquerda a uma velocidade 
constante de 10 Km/h. Sabendo que o diâmetro da roda é de 500 mm, 
determine a aceleração escalar dos pontos B e D representados na figura. 
R: 30,8 m/s2 ; 30,8 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
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110 
219 
Questão 16. Um automóvel parte do repouso e tem aceleração constante 
de 2,13 m/s2 para a direita. Sabendo que a roda rola sem escorregar, 
determine a velocidade do automóvel para a qual o módulo da aceleração 
do ponto B mostrado na figura é aB = 15,2 m/s
2. 
R: 2,02 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
220 
Questão 17. Num dado instante, o centro B da polia dupla tem velocidade 
de 0,6 m/s e aceleração de 2,4 m/s2, ambas para baixo. Sabendo-se que a 
corda enrolada na polia interna está presa no suporte fixo A, determine a 
aceleração do ponto D, na posição mostrada na figura. 
R: 14 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
30º 
24/08/2020 
111 
221 
Questão 18. Lança-se um aro sobre uma superfície áspera de forma que 
num dado instante ele tem velocidade angular ω = 4 rad/s e 
desaceleração angular α = 5 rad/s2, como indicaa figura. Considerando 
que seu centro tem velocidade v0 = 5 m/s e desaceleração a0 = 2 m/s
2, 
determine a aceleração do ponto A, nesse instante. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
112 
Na discussão das equações do movimento relativo para a análise do 
movimento plano de corpos rígidos, foram utilizados eixos de referências 
não-girantes para descrever a velocidade relativa e a aceleração relativa. O 
uso de eixos de referência girantes facilita bastante a solução de muitos 
problemas de cinemática, em que o movimento é gerado no interior de um 
sistema ou observado a partir de um sistema que está girando. 
Inicia-se a descrição do movimento utilizando eixos girantes na análise do 
movimento plano de duas partículas A e B no plano XY. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Considera-se, inicialmente, que as partículas A e B se movem 
independentemente uma da outra. Observa-se o movimento de A a partir 
de um sistema de referência xy em movimento, que possui sua origem fixa 
a B e que gira com uma velocidade angular ω = dθ/dt. Pode-se escrever 
esta velocidade angular como o vetor ω = ωk = dθ/dk, que é perpendicular 
ao plano do movimento e cujo sentido positivo coincide com a orientação 
positiva da direção z, conforme estabelecido pela regra da mão direita. O 
vetor posição absoluta da partícula A é dado por: rA = rB + r 
 rA = rB + (xi + yj) ou 
onde i e j são vetores unitários fixos ao referencial xy, e r = xi + yj, 
representativo de rA/B, é o vetor posição de A em relação a B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 jyixrr BA ˆˆ

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113 
Ao contrário do caso de eixos em translação, os vetores unitários i e j estão 
girando com o sistema de eixos xy e, portanto, suas derivadas em relação ao 
tempo devem ser calculadas. 
Utilizando o conceito de produto vetorial, pode-se perceber, pela figura, que 
ω X i = ωj e ω X j = - ωi. 
 
 
 
 
 
 
Assim, as derivadas em relação ao tempo dos vetores unitários podem ser 
expressas como: di/dt = ω X i = ωj e dj/dt = ω X j = - ωi 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Utilizando as expressões das derivadas dos vetores unitários, e derivando 
em relação ao tempo a equação do vetor posição de A e B, 
 
obtém-se a relação da velocidade relativa: 
 
 
Porém, 
e uma vez que o observador em xy percebe as componentes da velocidade 
vx e vy, tem-se que 
que é a velocidade em relação ao sistema de referência xy. 
 
Assim, a equação da velocidade relativa fica: 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
   jyixjyixrr
jyix
dt
d
dt
rd
dt
rd
BA
BA




 ˆˆ
 jyixrr BA ˆˆ

ryjxiyjxijyix
   )(
relvjyix

 
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114 
A figura ilustra o movimento da partícula A em relação ao plano girante xy, 
limitado pela ranhura curva na chapa que representa o sistema de referência 
girante xy. A velocidade de A, medida relativamente à chapa, , é tangente à 
trajetória fixa na chapa xy e possui um módulo ds/dt, onde s é medido ao longo 
da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
Essa velocidade relativa pode também ser vista como a velocidade 
 relativa a um ponto P fixo à chapa e coincidente com A no instante 
considerado. O termo possui um módulo e uma direção perpendicular 
a , e é a velocidade relativa a B no ponto P vista dos eixos não-girantes 
fixos a B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
relv

r


BAv /

r
 
r
A equação da aceleração relativa pode ser obtida derivando-se a relação da 
velocidade relativa. 
 
Assim: 
 
 
Trabalhando-se os termos do lado direito da equação, com o auxílio das 
equações das derivadas dos vetores unitários, e agrupando os termos 
idênticos, obtém-se a expressão vetorial geral da aceleração absoluta de uma 
partícula A em função de sua aceleração medida relativamente a um 
sistema de coordenadas móvel que gira com uma velocidade angular e 
uma aceleração angular . 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
 
relBA
relBA
vrraa
vr
dt
d
vv






relrelBA avrraa
   2)(
rela





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115 
Os termos e representam, respectivamente, as 
componentes tangencial e normal da aceleração do ponto coincidente P 
em seu movimento circular em relação a B. Esse movimento pode ser 
observado de um conjunto de eixos não-girantes movendo-se com B. O 
módulo de é , e sua direção é tangente ao círculo. O módulo de 
 é rω2 e sua orientação é de P para B ao longo da normal ao 
círculo. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
relrelBA avrraa
   2)(
r
  )( r

 
BPa /

r
  r
)( r

 
A aceleração de A em relação à chapa ao longo da trajetória, , pode ser 
expressa em coordenadas retangulares, normal e tangencial, ou polares, no 
sistema girante. Geralmente são utilizadas as componentes n e t, e essas 
componentes foram ilustradas na figura anterior. 
A componente tangencial possui um módulo , 
onde s é a distância medida ao longo da trajetória até A. 
 
 
A componente normal tem módulo , 
onde ρ é o raio de curvatura da trajetória medida em xy. 
 
O sentido desse vetor é sempre em direção ao centro de curvatura. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
rela

sa trel )(

2
)( relnrel
v
a 
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116 
Os resultados expressos pela equação da aceleração relativa podem ser 
visualizados de forma mais simples escrevendo-se a aceleração de A em 
função da aceleração do ponto coincidente P. 
Uma vez que a aceleração de P é 
 
pode-se reescrever a equação da aceleração relativa como: 
 
 
Quando a equação é escrita dessa forma o ponto P não pode ser escolhido 
aleatoriamente, pois ele é um ponto fixo ao sistema de referência girante 
coincidente com A no instante da análise. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
)( rraa BP
  
relrelPA avaa

 2
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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117 
Exemplo 1 
A bola B, de tamanho desprezível, rola num tubo, de forma que num dado 
instante ela tem uma velocidade de 5 pés/s e uma aceleração de 3 pés/s2, 
medidas relativamente ao tubo. Se o tubo tem velocidade angular ω = 3 rad/s 
e aceleração α = 5 rad/s2 nesse instante, determine a velocidade da bola. 
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MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
118 
Exemplo 2 
Considere o movimento da bola do exercício anterior, determine sua 
aceleração para o instante considerado. 
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Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
24/08/2020 
119 
Exemplo 3 
A figura mostra uma partícula A que move-se numa ranhura circular de 80 
mm de raio, no mesmo instante em que uma placa gira em torno de sua 
extremidade inferior O, na razão ω = dθ/dt. Determinar a velocidade de A 
na posição para a qual θ = 45º se, neste instante, dθ/dt = 3 rad/s e 
dβ/dt = 5 rad/s. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
Resolução 
 
 
 
 
 
Os eixos xy, fixados à placa com origem em B constituem o sistema girante de 
referência. A relação da velocidade relativa é vA = vB + ω x r + vrel. Os termos 
mostrados na parte (b) da figura representam os vetores velocidades e posição. 
 
 O ponto B move-se num arco circular em torno de O; assim sua 
velocidade tem a intensidade: |vB| = rBω = √2 . 0,10 . 3 = 0,424 m/s 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos – Dinâmica II 
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