Dualidade onda-particula

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Introdução à Física Moderna 
(Dualidade onda-partícula)
Até agora,
✓ vimos que experiências como a emissão de radiação
por um corpo negro, efeito fotoelétrico,
espalhamento Compton e os espectros do hidrogênio
não puderam ser explicadas pela Física Clássica (teoria
ondulatória), pois foi preciso quantizar os níveis de
energia no átomo e, consequentemente, a radiação
eletromagnética.
✓ Por outro lado, se aceitarmos o caráter corpuscular da
radiação eletromagnética, como entender os resultados
de interferência na experiência de fenda-dupla de
Thomas Young? (que prova que a luz é uma onda e
sofre interferência e difração)
✓ Esta questão acabou ganhando um caráter ainda mais
complexo quando o príncipe Louis de Broglie, num
trabalho de sua tese de doutorado em 1923, propôs
associar ao elétron um comportamento ondulatório
(prêmio Nobel de 1929).
Relembrando da abordagem para explicar o Efeito 
Compton ...
Então a energia de um pacote de ondas podia ser
escrito como E=pc;
Por uma questão de simetria, se ondas podem ter comportamento corpuscular, então partículas podem ter
comportamento ondulatório.
Pela proposta de de Broglie, toda partícula com momento linear p deveria ter, associada a ela, um comprimento de
onda , de forma que:
Comprimento de onda de de Broglie
Três anos depois de realizar esta proposta, o caráter ondulatório do elétron foi confirmado experimentalmente por
Davisson-Germer ao observar franjas de interferência após a incidência de um feixe de elétrons em cristais.
𝐾 =
2

Onde, p pode ser reescrito em termos do número de onda K:
Verificaram
experimentalmente (sem ser
essa a intenção) que um feixe
de elétrons era difratado
como ondas por cristais de Ni
formando um padrão de
difração
Davisson (Nobel 1937) e 
Germer, seu aluno.
Observe a semelhança 
entre os dois padrões G. P. Thomson (filho de J.
J. Thomson que descobriu
o elétron comprovando-o
como partícula _ Nobel
em 1906.) dividiu o
Prêmio Nobel de Física
em 1937 com Davisson,
provando o elétron com
comportamento
ondulatório. Que ironia!
Curiosidade
Exemplo1: Determine
o comprimento de onda
associado de de Broglie
para: a) um próton que
se move com
velocidade de 107 m/ s
e para: b) uma pedra
com massa 50 g e
velocidade 40 m/ s .
Exemplo2: 
Tem-se um fóton e um elétron, ambos com energia de 1 eV.
Determine:
Portanto, com mesma energia, fóton = 10
3eletron
O resultado esperado classicamente em uma experiência de fenda dupla usando-se partículas, seria uma
distribuição de impactos no anteparo como a mostrado abaixo.
Elétrons como ondas
com uma das fendas obstruída
Entretanto, o formalismo da dualidade onda-partícula levanta algumas questões enigmáticas: o
que acontece quando se lança apenas um elétron de casa vez em direção às fendas,
considerando o padrão de interferência observado no anteparo?
Pela proposta ondulatória, cada elétron seria, neste caso, representado por um pacote de ondas 
que, a princípio, passaria pelas duas fendas.
Dualidade onda-partícula
Como o elétron não pode ser dividido, por qual fenda ele efetivamente passará?
Muitos físicos, incluindo Einstein, se propuseram a responder esta pergunta, através de alguma experiência
apropriada, mas nenhum deles teve sucesso.
O problema é que qualquer tentativa de medida irá interferir no sistema, modificando a configuração original!
Posteriormente trataremos dessa propriedade da matéria a partir do Princípio da Incerteza de Heinsenberg.
Ao realizar a experiência com feixe de elétrons 
passando por fendas “adequadas” para se 
observar o caráter ondulatório proposto:
E este padrão é obtido mesmo fazendo-se passar pelas fendas
apenas um elétron de cada vez!
Como entender este comportamento, sabendo-se que não dá
para “dividir” um elétron (por comprovação experimental)?
Ou seja, colocando-se um detector no ponto P do anteparo
(figura acima) e abrindo apenas a fenda B, 100 elétrons/s são
medidos, por exemplo.
E quando as duas fendas são abertas, esperando-se detectar no
tempo um número maior de elétrons, quase nada é medido!
Uma maneira de se tentar compreender observações
experimentais deste tipo é associar algum tipo de função de
onda ou talvez um pacote de ondas, que resultaria da soma de
várias ondas planas de diferentes frequências e amplitudes:
Dualidade onda-partícula
https://www.animations.physics.unsw.edu.au/light/diffraction/index.html#5.6
https://www.animations.physics.unsw.edu.au/light/diffraction/index.html#5.6
De acordo com De Broglie, se o elétron realmente comporta-se
como uma onda, estando restrito ao volume atômico, formaria
ondas estacionárias no átomo de H. O comportamento da onda
deve se ajustar à circunferência da órbita.
Órbita permitida
A circunferência da órbita é
igual a n inteiros de .
Órbita proibida
A circunferência da órbita NÃO 
é igual a n inteiros de .
Ondas estacionárias –apresentam
uma frequência única característica
e os nodos não sofrem
deslocamentos (Energia confinada
espacialmente).
https://www.geogebra.org/m/W8etDR28
https://www.physicsclassroom.com/Physics-Interactives/Waves-
and-Sound/Standing-Wave-Patterns/Standing-Wave-Patterns-
Interactive
https://www.geogebra.org/m/W8etDR28
https://www.physicsclassroom.com/Physics-Interactives/Waves-and-Sound/Standing-Wave-Patterns/Standing-Wave-Patterns-Interactive
A condição de Bohr para a quantização do momento angular,
utilizada agora com as novas ideias de de Broglie, faz sentido,
pois corresponde à condição de ondas estacionárias para as
órbitas eletrônicas (elétron preso num campo Coulombiano):
n é um número inteiro
n = circunferência da órbita
Usando p=h/ e S=2r para o perímetro da órbita temos a relação:
n=S
Visualização do elétron como uma onda
estacionária no átomo de hidrogênio
Na mecânica clássica, conhecendo-se a posição inicial e o momento linear (massa e
velocidade) das partículas de um sistema, pode-se calcular suas interações e
prever sua evolução. Ou seja, as partículas têm trajetória bem definida e suas
variáveis cinemáticas podem ser especificadas a cada instante. (Determinista)
Entretanto, não é possível especificar a localização precisa de uma partícula se ela
se comporta como uma onda.
Segundo o princípio da incerteza, não se pode conhecer com precisão absoluta a
posição ou o momento ( portanto, a velocidade) de uma partícula. Isto acontece
porque no intuito de aumentar a precisão de uma das grandezas, interfere-se no
sistema. Essa impossibilidade não advém da questão dos aparelhos de medida
serem ou não adequados, mas sim da própria estrutura atômica da matéria!
Princípio da incerteza de Heisenberg 
(1901-1976) – Nobel em 1932
Quanto maior a precisão na determinação da posição do elétron, menor a precisão na determinação de sua 
quantidade de movimento e vice-versa.
Se a incerteza na posição é 
muito pequena, (x, muito 
pequeno), então a incerteza no 
momento linear deve ser 
grande, e vice-versa.
Incerteza na posição Incerteza no momentum 
A localização e o momento de uma partícula são complementares. Ambos não podem ser conhecidos 
simultaneamente com precisão arbitrária.
“Não é possível projetar qualquer experimento no qual seja possível determinar, ao mesmo tempo, ambas as 
características corpuscular e ondulatória de um objeto físico.”
Não é possível estabelecer a localização de um elétron em um átomo. 
Em vez disso, é necessário considerar a probabilidade do elétron ocupar uma certa região do espaço. 
Princípio da incerteza 
A partir da equação acima chega-se ao princípio da incerteza referente às grandezas energia (E=hf) e
tempo. Se a precisão na determinação da energia de uma partícula aumenta, aumenta a incerteza na
determinação do intervalo de tempo que ela permanece com essa energia.
Complementaridade (parte de texto extraído: pg 597 - Física Conceitual – Paul Hewit 12ª ed.)
O domínio da física quântica parece confuso. Ondas luminosas, capazes de produzir interferência e de sofrer
difração, entregam sua energia na forma de “pacotes” corpusculares, os quanta. Os elétrons,que se deslocam
pelo espaço em linhas retas e que experimentam colisões como se fossem partículas, distribuem-se pelo espaço
formando padrões de interferência como se fossem ondas. Nessa confusão, porém, existe uma ordem subjacente.
O comportamento da luz e dos elétrons parece igualmente confuso! Tanto a luz como os elétrons exibem
características de onda e de partícula.
O físico dinamarquês Niels Bohr, um dos fundadores da física quântica, formulou uma expressão explícita da
totalidade inerente a esse dualismo. Ele chamou de complementaridade a expressão dessa totalidade. Como Bohr
a expressou, os fenômenos quânticos exibem propriedades complementares (mutuamente exclusivas) –
revelando-se como partículas ou como ondas – dependendo do tipo de experimento que esteja sendo realizado.
Os experimentos projetados para examinar trocas individuais de energia e de momentum expõem propriedades
corpusculares, ao passo que os experimentos projetados para examinar a distribuição espacial da energia expõem
as propriedades ondulatórias. As propriedades ondulatórias da luz e as propriedades corpusculares da luz
complementam-se – ambas são necessárias para a compreensão da “luz”. Qual dessas partes é enfatizada
depende de qual questão se indaga a respeito da natureza.
A complementaridade não é uma solução de compromisso, e não significa que toda a verdade acerca da natureza
da luz situa-se em algum lugar entre partículas e ondas. Ela se parece mais com olhar os lados de um cristal. O que
você enxerga depende de para qual das facetas está olhando, razão pela qual luz, energia e matéria revelam-se
como quanta em determinados experimentos, e como ondas em outros.