AULA 03 - Teoria e Propagação de Erros

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Laboratório de Instalações 
Industriais
Teoria e Propagação de Erros
Teoria e Propagação de Erros
Introdução:
A física e a engenharia baseiam-se fundamentalmente em relações entre
quantidades mensuráveis, contudo qualquer medida ou valor
experimental tem pouco valor (significado), a não ser que tenha uma
estimativa do seu erro ou incerteza e o valor medido reflita a precisão
com que foi mensurado.
As grandezas físicas possuem as seguintes características:
- Um valor numérico;
-Uma indeterminação;
-Uma unidade (existem alguns valores que são adimensionais).
Conteúdo Extraído: Instrumentação Industrial: Conceitos, Aplicações e Análises.
Autor: Arivelto Bustamante Fialho - 7° Edição - Ed.: Saraiva
Teoria e Propagação de Erros
Exemplos:
-Temperatura indicada pelo termômetro de um forno: (500,0 ± 3,0)°C;
-Pressão indicada pelo pressostato de uma caldeira: (200,0 ± 2,0)°bar;
-Resistência elétrica indicada por um multímetro: (300,0 ± 0,3) Ohms;
Ferramentas de Estudo dos Erros
Medidas Diretas: medidas tomadas com um tipo específico de instrumento,
como paquímetro, micrometro, medidor de perfil etc. (exemplo: medição do
diâmetro de um eixo, aspereza de uma superfície, perfil de uma rosca e etc).
Medidas Indiretas: o valor da grandeza é determinado a partir da medição
direta de outras grandezas (exemplo: ensaio de fratura, torção, tração e etc)
Conteúdo Extraído: Instrumentação Industrial: Conceitos, Aplicações e Análises.
Autor: Arivelto Bustamante Fialho - 7° Edição - Ed.: Saraiva
Teoria e Propagação de Erros
Conteúdo Extraído: Instrumentação Industrial: Conceitos, Aplicações e Análises.
Autor: Arivelto Bustamante Fialho - 7° Edição - Ed.: Saraiva
(1)
Método de Kleine e McClintock
O método Kleine e McClintok é um método baseado e fundamentado em aspectos
estatísticos.
Neste, o resultado do cálculo de erro é uma função das variáveis independentes X
1
,
X
2
, X
3
,...X
n
. Ou seja,
ΔZ = f( X1, X2, X3,...Xn.)
Chamando de ΔZ o erro do resultado, tem-se:
sendo ΔX1, ΔX2, ΔX3,... ΔXn os erros das variáveis independentes.
Método de Kleine e McClintock
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Equação geral do referido método é:
Exemplo 1: Calcule a frequência do período é T = 50s ± 5%
(2)
(3)
Método de Kleine e McClintock
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Como a única variável independente é o T, deriva f em função de T:
Onde,
Portanto, substituindo (4) e (5) em (2), tem-se:
(4)
(5)
(6)
Método de Kleine e McClintock
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Substituindo em (6) os valores numéricos, tem-se:
Onde,
Portanto, a frequência é:
(7)
(8)
(9)
Método de Kleine e McClintock
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Exemplo 2: Calcule o volume do cilindro, sendo h = (50,0 ± 0,2) cm e D = (10,0 ± 0,2) cm.
(10)
(12)
O volume do cilindro é:
A equação do cilindro possui duas variáveis independentes que são: h e D, portanto
para aplicar o método de Kleine e McClintock é necessário derivar a equação do
volume duas vezes, uma em função de h e a outra em função de D e a equação
geral do método terá a seguinte configuração:
(11)
Método de Kleine e McClintock
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(13)
(14)
A derivada de V em função de h é:
A derivada de V em função de D é:
onde:
onde:
(15)
(16)
Método de Kleine e McClintock
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Substituindo na equação (12) os termos obtidos em (13), (14), (15) e (16), tem-se :
Portanto, o erro ou imprecisão é...
Assim, o valor do volume do cilindro é:
(17)
(18)
(19)
Método de Kleine e McClintock
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Sabendo que: 0,75% de 550°C  4°C.
Exemplo 3: Para realizar o tratamento de têmpera em uma determinada peça
mecânica, é preciso mantê-la aquecida durante certo período de tempo em um
forno elétrico a temperatura de 550°C. Sabendo que o erro (imprecisão) do
termopar utilizado é de ± 0,75% para essa faixa de temperatura, e seus cabos de
compensação produzem um erro de ± 1°C, e além disso um termômetro de
mercúrio monitora a temperatura ambiente (erro de ± 0,5°C), o erro do
instrumento digital de leitura é de ± 1°C. Qual será o erro final na temperatura do
forno?
(20)
Portanto aplicando o Método de Kleine e McClintock, tem-se:
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Método de Kleine e McClintock
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OBS:
No exemplo 3 tem-se a seguinte conclusão para a resolução com o método Kleine
e McClintock:
“o maior erro presente em um processo de medição contribui mais significamente 
para o resultado final”
Erro em Instrumentos Analógicos
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Autor: Arivelto Bustamante Fialho - 7° Edição - Ed.: Saraiva
Um instrumento analógico é aquele que utiliza-se de ponteiro e uma escala para
determinar o valor a ser mensurado. Neste tipo de instrumento o erro é
geralmente em termos de fundo de escala, ou seja, o valor que é originado pela
deflexão total do ponteiro, levando-o até o fim de escala. Sua precisão é
normalmente expressa em percentual.
O Exemplo a seguir auxilia nesta compreensão:
Um voltímetro possui erra de 5% de fundo de escala está sendo utilizado na
escala de 1000 Volts, para medir uma tensão de 220V. Qual é o erro da medida?
Solução:
Sendo 5% de 1000V = ± 50V
Portanto:
U = (220 ± 50V) ou U = (220V ± 23%)
(22)
(23)
Erro em Instrumentos Analógicos
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Autor: Arivelto Bustamante Fialho - 7° Edição - Ed.: Saraiva
Erro de Paralaxe: é o erro originado pelo posicionamento incorreto do usuário em
relação ao instrumento.
(I)
(II)
(III)
(I) - Observador a direita do mostrador;
(II) - Observador a esquerda do mostrador;
(III) - Observador na posição correta.
Fonte das figuras: http://www.blogdaqualidade.com.br/o-
erro-de-paralaxe-parte-1/
Erro em Instrumentos Analógicos
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Autor: Arivelto Bustamante Fialho - 7° Edição - Ed.: Saraiva
Erro de Interpolação: é o erro que se origina em função do posicionamento do
ponteiro em relação à escala de medida do instrumento. Neste caso o ponteiro
acusa uma posição incerta entre dois valores conhecidos, a qual necessariamente
não é o ponto médio destes, ficando a critério do observador, em função da
proximidade, definir o valor correspondente ao traço da esquerda ou da direita.
O ponteiro marca uma posição não determinada 
na escala.
Erro em Instrumentos Digitais
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Autor: Arivelto Bustamante Fialho - 7° Edição - Ed.: Saraiva
Todo o indicador digital proporciona uma leitura numérica que elimina o erro do
operador em termos de paralaxe e interpolação.
Em instrumentos digitais é sempre importante antes de iniciar a sua utilização ler
o manual, por neste informará o uso correto do equipamento.
Fonte de energia do instrumento ineficiente, como uma má conexão entre as
partes móveis do instrumento, podem originar erros na medida realizada com
instrumentos digitais.
Exemplo: Um instrumento digital está sendo usado numa escala de 20V e mede
uma tensãoAC, e o valor indicado é 8,00V. A especificação do erro conforme
leitura no manual é de ± (0,8% Leitura + 3 dígitos). Como se interpreta a
informação e como se calcula o erro?
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