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DISTRIBUIÇÃO DE 
ENROLAMENTOS EM MÁQUINAS 
ELÉTRICAS
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Modelagem de Máquinas Elétricas
2 DISTRIBUIÇÃO DE ENROLAMENTOS EM MÁQUINAS ELÉTRICAS
Máquinas elétricas são dispositivos que fazem conversão eletromecânica de 
energia. O equipamento que converte energia elétrica (relacionada com tensão e 
corrente) em energia mecânica (torque, rotação) é denominado motor elétrico. Ao 
contrário, a máquina que converte energia mecânica em energia elétrica é chamada 
de gerador elétrico. As máquinas elétricas são reversíveis, isto é, podem operar como 
motor ou gerador, como ilustra figura 2.1.
Figura 2.49: Conversão eletromecânica de energia. 
Um gerador elétrico deve estar mecanicamente acoplado a uma máquina motriz 
(ou máquina primária), capaz de fornecer energia mecânica, para movimentar a parte 
móvel do gerador. Exemplos de máquinas motrizes são: turbinas hidráulicas, turbinas 
à vapor, motor à combustão, motor elétrico, turbina eólica, etc. As figuras 2.2 e 2.3 
ilustram alguns exemplos de máquinas motrizes.
Figura 2.50: Exemplos de máquinas motrizes. 
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Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.51: Exemplos de máquinas motrizes. 
2.1 PRINCIPAIS TIPOS DE MÁQUINAS ELÉTRICAS 
Máquina síncrona: não possui torque de partida, portanto, é usada normalmente 
como gerador. Apresenta velocidade constante para frequência constante. O sistema de 
excitação, geralmente montado no rotor, requer alimentação em corrente contínua. Pode 
ser usada para corrigir fator de potência no sistema elétrico quando opera na região de 
sobre-excitação. É um equipamento de alto custo e sujeito a manutenção periódica.
Máquina de corrente contínua: possibilita grande variação de velocidade, com 
comando muito simples. Também requer fonte de corrente contínua para alimentação 
do circuito de excitação, que geralmente é montado no estator. Utiliza escovas e 
comutador, resultando em altos custos construtivos e com manutenção. Opera muito 
bem como gerador ou como motor. 
Máquina de indução: opera normalmente como motor e pode ser trifásica, bifásico 
ou monofásica. Possui torque de partida, que no caso monofásico é obtido por artifícios 
especiais. Dispensa fonte CC, sendo robusta, versátil e de baixo custo. É encontrada 
tanto em grandes potências quanto para potências fracionárias. Como não utiliza 
escovas, requer pouca manutenção.
2.1.1 ASPECTOS CONSTRUTIVOS 
Do ponto de vista físico a máquina elétrica é dividida em três partes: 
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 ▪ Rotor – é a parte girante da máquina e é constituída basicamente por um eixo, 
por um circuito magnético e por um ou mais enrolamentos. É comum possuir também 
um ventilador para bombear para fora o calor gerado internamente; 
 ▪ Estator – é a parte estática da máquina, composta de um circuito magnético 
e um ou mais enrolamentos; 
 ▪ Carcaça – serve como suporte para o rotor e o estator. Nas máquinas CC a 
carcaça faz parte do circuito magnético do estator. 
Do ponto de vista eletromagnético a máquina elétrica é dividida em duas partes: 
 ▪ Indutor ou campo – responsável pela magnetização do circuito magnético 
da máquina;
 ▪ Induzido ou armadura – é o local onde ocorre a conversão eletromecânica 
de energia.
A tensão induzida em uma máquina CA será senoidal somente se as componentes 
harmônicas da densidade de fluxo do entreferro forem eliminadas. Os subitens 2.2 e 
2.3 descrevem duas técnicas usadas pelos projetistas para remover as harmônicas 
das máquinas.
2.2 O EFEITO DO PASSO DE UMA BOBINA NAS MÁQUINAS CA
Na máquina CA simples, as tensões de saída das bobinas do estator eram 
senoidais porque a distribuição da densidade de fluxo no entreferro era senoidal. Se a 
distribuição da densidade de fluxo do entreferro não fosse senoidal, as tensões de 
saída do estator também não seriam senoidais; elas teriam a mesma forma não senoidal 
da distribuição de fluxo.
Em geral, a distribuição da densidade de fluxo no entreferro de uma máquina CA 
não é senoidal. Os projetistas de máquinas fazem o melhor possível para obter 
distribuições de fluxo senoidais, mas, naturalmente, nenhum projeto é perfeito. A 
distribuição de fluxo real consistirá em uma componente fundamental senoidal mais 
as harmônicas. Essas componentes harmônicas do fluxo geram componentes harmônicas 
nas tensões e correntes do estator.
As componentes harmônicas das tensões e correntes do estator são indesejáveis, 
de modo que foram desenvolvidas técnicas para removê-las das tensões e correntes 
de saída de uma máquina. Uma técnica importante para eliminar as harmônicas é pelo 
uso de enrolamentos de passo encurtado ou fracionário.
2.2.1 O PASSO DE UMA BOBINA
O passo polar é a distância angular entre dois polos adjacentes de uma máquina. 
O passo polar de uma máquina em graus mecânicos é
(2.1)
em que ρp é o passo polar em graus mecânicos e P é o número de polos da máquina. 
Independentemente do número de polos da máquina, um passo polar sempre é de 180 
graus elétricos (conforme a figura 2.4).
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Figura 2.52: O passo polar de uma máquina de quatro polos é 90 graus mecânicos ou 180 graus elétricos.
Se a bobina do estator ocupar o mesmo ângulo que o passo polar, ela será 
denominada bobina de passo pleno. Se a bobina do estator ocupar um ângulo menor 
do que o passo polar, ela será denominada bobina de passo encurtado ou fracionário. 
Frequentemente, o passo de uma bobina de passo encurtado é expresso como uma 
fração que indica a parte do passo polar que é ocupada por ela. Por exemplo, um passo 
polar de 5/6 abarca cinco sextos da distância entre dois polos adjacentes. Alternativamente, 
o passo de uma bobina de passo encurtado em graus elétricos é dado pelas Equações 
(2.2) ou (2.3):
(2.2)
em que θm é o ângulo mecânico coberto pela bobina em graus e ρp é o passo polar 
da máquina em graus mecânicos, ou 
(2.3)
em que θm é o ângulo mecânico coberto pela bobina em graus e P é o número de 
polos da máquina. Na prática, a maioria das bobinas de estator tem um passo 
encurtado, porque um enrolamento de passo encurtado proporciona benefícios 
importantes. Os enrolamentos que utilizam bobinas de passo encurtado são 
denominados enrolamentos encurtados.
2.2.2 A TENSÃO INDUZIDA DE UM ENROLAMENTO DE 
PASSO ENCURTADO
Examina-se a máquina simples de dois polos mostrada na figura 2.5, que tem 
um enrolamento de passo encurtado. O passo polar dessa máquina é 180° e o passo 
de bobina é ρ. Quando o campo magnético é girado, a tensão induzida nessa bobina 
pode ser obtida determinando as tensões em cada lado da bobina, exatamente da 
mesma forma que no capítulo 1. A tensão total será simplesmente a soma das tensões 
individuais dos lados.
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Figura 2.53: Um enrolamento encurtado de passo ρ. Os vetores de densidade de fluxo magnético e de 
velocidade nos lados da bobina estão descriminados nos lados das bobinas. As velocidades 
são de um referencial no qual o campo magnético está estacionário.
Assumindo-se que a magnitude do vetor B de densidade de fluxo no entreferro, 
entre o rotor e o estator, varia senoidalmente com o ângulo mecânico, ao passo que o 
sentido de B é sempre radialmente para fora. Se α for o ângulo medido desde a direção 
em que ocorre o pico de densidade de fluxo do rotor, a magnitude do vetor B de 
densidade de fluxo em um ponto ao redor do rotor será dada por
B = BM cos α (2.4)
Como o rotor está girando dentro do estator, com uma velocidade angular ωm, 
a magnitude do vetor B de densidade de fluxo, em qualquer ângulo α ao redor do 
estator, é dada por
B = BM cos (ω t - α) (2.5)
A equação da tensão induzida em um fio condutor é 
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eind = (v x B) x (2.6)
em que
v – velocidade do condutor em relação ao campo magnético;
B – vetor de densidade de fluxo magnético;
 – comprimento do condutor dentro do campo magnético.
Essa equação somente pode ser usada em um sistema de referência no qual o 
campo magnético parece estar estacionário. Ao se sentarno campo magnético, de 
modo que o campo pareça estar estacionário, os lados da bobina parecerão estar 
passando por um observador com uma velocidade aparente vrel e a equação poderá 
ser aplicada. A Figura 2.5 mostra o vetor de campo magnético e as velocidades do 
ponto de vista de um campo magnético estacionário e um condutor em movimento.
1. Segmento ab. Para o segmento ab da bobina de passo encurtado, tem-se 
α = 90° + ρ / 2. Assumindo que B aponta radialmente para fora a partir do rotor, o 
ângulo entre v e B no segmento ab é 90°, ao passo que o produto v x B aponta na 
direção de . Portanto,
(2.7)
em que o sinal negativo vem do fato de que, na realidade, B está apontando para dentro 
e não como foi suposto, que ele estava apontando para fora.
2. Segmento bc. A tensão no segmento bc é zero, porque o produto v x B é 
perpendicular a . Portanto
ecb = (v x B) x = v B = 0 (2.8)
Segmento cd. Para o segmento c da bobina de passo encurtado, tem-se α = 90° 
- ρ / 2. Assumindo que B aponta radialmente para fora a partir do rotor, o ângulo entre v 
e B no segmento cd é 90°, ao passo que o produto v x B aponta na direção de . Portanto,
edc = (v x B) x = v B apontando para fora da página = - v BM cos
= v BM cos 
(2.9)
Segmento da. A tensão no segmento da é zero, porque o produto v x B é 
perpendicular a . Portanto
ead = (v x B) x = 0 (2.10)
Usando identidades trigonométricas, tem-se
cos = cos (ωm t – 90º) cos + sen (ωm t – 90º) sen (2.11)
cos = cos (ωm t – 90º) cos - sen (ωm t – 90º) sen (2.12)
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sen = - cos (ωm t) (2.13)
Portanto, a tensão senoidal resultante é
eind = v BM =
2 v BM =
2 v BM cos 
(2.14)
Como 2 v BM é igual a φ ω, a expressão final da tensão em uma espira simples é
eind = Φ ω sen cos (2.15)
Esse é o mesmo valor de tensão de um enrolamento de passo pleno, exceto pelo 
termo sen ρ / 2. Costuma-se definir esse termo como o fator de passo kp da bobina. O 
fator de passo de uma bobina é dado por
kp = sen (2.16)
Em termos de fator de passo, a tensão induzida em uma bobina de uma única 
espira é
eind = kp Φ ωm cos (2.17)
A tensão total de uma bobina de passo encurtado de N espiras é, portanto, 
eind = Nc kp Φ ωm cos (2.18)
e sua tensão de pico é
Emax = Nc kp Φ ωm = 2 Nc kp Φ (2.19)
Portanto, a tensão eficaz de qualquer fase desse estator trifásico é
EA = Nc kp Φ = Nc kp Φ (2.20)
Observa-se que, para uma bobina de passo pleno, tem-se ρ = 180° e a equação 
(2.20) reduz-se ao mesmo resultado de antes. 
Para máquinas com mais de dois polos, a equação (2.16) dará o fator de passo 
quando o passo da bobina p for em graus elétricos. Se o passo da bobina for dado em 
graus mecânicos, então o fator de passo poderá ser obtido com
kp = sen (2.21)
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2.2.3 PROBLEMAS DE HARMÔNICOS E ENROLAMENTOS 
DE PASSO ENCURTADO
Há uma boa razão para usar enrolamentos de passo encurtado e ela diz respeito 
ao efeito apresentado pela distribuição não senoidal da densidade de fluxo nas máquinas 
reais. Pode-se compreender esse problema examinando a máquina mostrada na figura 
2.6. Essa figura mostra uma máquina síncrona de polos salientes cujo rotor está varrendo 
a superfície do rotor. Como a relutância do caminho do campo magnético é muito menor, 
imediatamente abaixo da região central do rotor do que nas regiões laterais (entreferro 
menor no centro), o fluxo está fortemente concentrado nesse ponto e a densidade de 
fluxo é muito elevada. A tensão induzida resultante no enrolamento está mostrada na 
figura 2.6. Observa-se que ela não é senoidal – estão presentes muitas componentes 
harmônicas de frequência.
Figura 2.54: a) Um rotor ferromagnético passando por um condutor do estator. b) A distribuição da densidade 
de fluxo do campo magnético em função do tempo em um ponto da superfície do estator. c) A 
tensão induzida resultante no condutor. Observa-se que a tensão é diretamente proporcional 
à densidade de fluxo magnético em qualquer instante.
Como a forma de onda resultante é simétrica em torno do centro do fluxo do rotor, 
não há harmônicas pares presentes na tensão de fase. Entretanto, todas as harmônicas 
de índices ímpares (terceira, quinta, sétima, nona, etc.) estão presentes na tensão de 
fase em certo grau e precisam ser levadas em consideração no projeto das máquinas 
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CA. Em geral, quanto maior o índice de uma dada componente harmônica de frequência, 
menor será a amplitude de sua tensão de fase na saída. Desse modo, além de um 
certo ponto (acima da nona harmônica ou tanto), os efeitos das harmônicas superiores 
podem ser ignorados.
Quando as três fases são ligadas em Y ou ∆, algumas das harmônicas desaparecem 
da saída da máquina como resultado da ligação trifásica. A componente de terceira 
harmônica é uma dessas. Se as tensões da componente fundamental nas três fases 
forem dadas por
ea (t) = EM1 sen ω t (V) (2.22)
eb (t) = EM1 sen (ω t – 120º) (V) (2.23)
ec (t) = EM1 sen (ω t - 240º) (V) (2.24)
então as componentes de terceira harmônica das tensões serão dadas por
ea3 (t) = EM3 sen 3 ω t (V) (2.25)
eb3 (t) = EM3 sen (3 ω t – 360º) (V) (2.26)
ec3 (t) = EM3 sen (3 ω t - 720º) (V) (2.27)
Observa-se que as componentes de terceira harmônica da tensão são todas 
idênticas em cada fase. Se a máquina síncrona for ligada em Y, a tensão de terceira 
harmônica entre dois terminais quaisquer será zero (mesmo que possa haver uma 
componente de terceira harmônica de valor elevado em cada fase). Se a máquina for 
ligada em ∆, então as três componentes de terceira harmônica somam-se e produzem 
uma corrente de terceira harmônica nos enrolamentos em ∆ da máquina. Como as 
tensões de terceira harmônica sofrem quedas nas impedâncias internas da máquina, 
novamente não há componente significativa de terceira harmônica na tensão dos terminais.
Esse resultado aplica-se não só às componentes de terceira harmônica, mas 
também a qualquer componente múltipla de uma componente de terceira harmônica 
(como a nona harmônica, por exemplo). Em particular, essas frequências harmônicas 
são denominadas harmônicas de n múltiplo de três e nas máquinas trifásicas são 
automaticamente suprimidas.
As demais frequências harmônicas são a quinta, a sétima, a décima primeira, a 
décima terceira, etc. Como as amplitudes das componentes harmônicas das tensões 
decrescem com o aumento da frequência, a maior parte da distorção real que ocorre 
na saída senoidal de uma máquina síncrona é causada pela quinta e pela sétima 
frequência harmônica, algumas vezes denominadas harmônicas de grupo. Se houvesse 
um modo de reduzir essas componentes, a tensão de saída da máquina seria basicamente 
uma senóide pura na frequência fundamental (50 ou 60 Hz).
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Uma possibilidade de se eliminar essas harmônicas é fazer com que a distribuição 
do fluxo no próprio rotor seja aproximadamente senoidal. Embora isso possa auxiliar 
na redução do conteúdo harmônico da tensão de saída, é possível que não se possa 
ir suficientemente longe dessa forma. Um etapa adicional utilizada consiste em projetar 
a máquina com enrolamentos de passo encurtado.
A chave para compreender o efeito dos enrolamentos de passo encurtado sobre 
a tensão produzida no estator de uma máquina está em que o ângulo elétrico da n-ésima 
harmônica é n vezes o ângulo elétrico da componente fundamental de frequência. Em 
outras palavras, se uma bobina abarcar 150 graus elétricos na sua frequência fundamental, 
então ela abarcará 300 graus elétricos na frequência da segunda harmônica, 450 graus 
elétricos na frequência da terceira harmônica e assim por diante. Se ρ representar o 
ângulo elétrico abrangido pela bobina na sua frequência fundamental e ν for o índice 
(ou número) da harmônica que está sendo analisada, então a bobina abrangerá ν ρ 
graus elétricos na frequência daquela harmônica. Portanto, o fator de passo da bobina 
para a frequência da harmônica pode ser expresso como
kp = sen (2.28)
A consideraçãoimportante a ser feita aqui é que o fator de passo de um enrolamento 
é diferente para cada frequência harmônica. Por meio de uma escolha adequada do 
passo da bobina, é possível eliminar quase completamente as componentes de 
frequências harmônicas da saída da máquina.
Deve-se observar que há certos tipos de harmônicas de frequência mais elevada, 
denominadas harmônicas de ranhura, que não podem ser eliminadas variando o passo 
das bobinas do estator
2.3 ENROLAMENTOS DISTRIBUÍDOS EM MÁQUINAS CA
No item 2.2, assumiu-se implicitamente que os enrolamentos associados com 
cada fase de uma máquina CA estavam concentrados em um único par de ranhuras 
na superfície do estator. Na realidade, os enrolamentos associados com cada fase são 
quase sempre distribuídos entre diversos pares adjacentes de ranhuras, porque é 
simplesmente impossível colocar todos os condutores em uma única ranhura.
Nas máquinas CA reais, a fabricação dos enrolamentos do estator é bem 
complicada. Os estatores das máquinas CA normais consistem em diversas bobinas 
em cada fase, distribuídas em ranhuras ao redor da superfície interna do estator. Em 
máquinas maiores, cada bobina é uma peça pré-moldada consistindo em diversas 
espiras, sendo cada espira isolada das outras e do próprio estator (conforme a figura 
2.7). A tensão em qualquer espira simples é muito pequena e tensões razoáveis podem 
ser produzidas somente colocando muitas dessas espiras em série. Normalmente, o 
grande número de espiras é dividido fisicamente entre diversas bobinas, que são 
colocadas em ranhuras igualmente distanciadas ao longo da superfície do estator, 
como está mostrado na figura 2.8.
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Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.55: Uma típica bobina pré-moldada de estator.
Figura 2.56: a) Um estator de uma máquina CA com bobinas de estator pré-moldadas. b) Uma vista em 
detalhe das terminações das bobinas em um estator. Observa-se que um lado da bobina está 
mais para fora em uma ranhura e o outro lado está mais para dentro na outra ranhura. Essa 
forma permite que um tipo padrão simples de bobina seja usado em todas as ranhuras do estator. 
O espaçamento em graus entre ranhuras adjacentes em um estator é denominado 
passo de ranhura γ do estator. O passo de ranhura pode ser expresso em graus 
mecânicos ou elétricos.
Exceto em máquinas muito pequenas, as bobinas do estator são montadas em 
enrolamentos de camada dupla, como está mostrado na figura 2.9. Usualmente, os 
enrolamentos de camada dupla são mais facilmente fabricados (menos ranhuras para 
um dado número de bobinas) e têm conexões de terminais mais simples do que os 
enrolamentos de camada única. Portanto, sua fabricação é bem menos cara.
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Figura 2.57: Um enrolamento distribuído simples de passo pleno de camada dupla para uma máquina CA 
de dois polos.
A Figura 2.9 mostra o enrolamento distribuído de passo pleno de uma máquina 
de dois polos. Nesse enrolamento, há quatro bobinas associadas a cada fase. Todos 
os lados de bobina de uma dada fase são encaixados em ranhuras adjacentes e são 
conhecidos como agrupamentos de fase. Ressalta-se que há seis agrupamentos de 
fase nesse estator de dois polos. Em geral, há 3 P agrupamentos de fase em um estator 
de P polos, P em cada fase.
A Figura 2.10 mostra um enrolamento distribuído que usa bobinas de passo 
encurtado ou fracionário. Destaca-se que esse enrolamento ainda tem agrupamentos 
de fase, mas que dentro de uma ranhura individual as fases das bobinas podem estar 
misturadas. O passo das bobinas é 5 / 6 ou 150º elétricos.
Figura 2.58: Um enrolamento CA de camada dupla e passo encurtado para uma máquina CA de dois polos.
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2.3.1 O FATOR DE DISTRIBUIÇÃO
A divisão do número total de espiras necessárias em bobinas separadas permite 
um uso mais eficiente da superfície interna do estator e propicia uma resistência 
estrutural mais elevada, porque as ranhuras abertas na estrutura do estator podem ser 
menores. Entretanto, o fato de que as espiras que compõem uma dada fase estão em 
ângulos diferentes significa que suas tensões serão menores do que poderia ser 
esperado se fosse de outro modo.
Para ilustrar esse problema, examina-se a máquina mostrada na figura 2.11. Essa 
máquina tem um enrolamento de camada única, com o enrolamento de estator de cada 
fase (cada agrupamento de fase) distribuído entre três ranhuras distanciadas 20º entre si.
Figura 2.59: Um estator de dois polos com um enrolamento de camada única constituído de três bobinas 
por fase, cada uma distanciada de 20°.
Se a bobina central da fase a tiver inicialmente uma tensão dada por
Ea2 = E ∠ 0º V
Então as tensões nas outras bobinas da fase a serão
Ea1 = E ∠ - 20º V
Ea3 = E ∠ 20º V
A tensão total na fase a será dada por
Ea = Ea1 + Ea2 + Ea3 = E ∠ - 20º + E ∠ 0º + E ∠ 20º = E cos (-20º) + j E sen (- 
20º) + E + E cos 20º + j E sen 20º = E + 2 E cos 20º = 2,879 E
Essa tensão na fase a não é bem o que seria esperado se todas as bobinas de 
uma dada fase tivessem sido concentradas na mesma ranhura. Então a tensão Ea teria 
sido igual a 3 E, e não 2,879 E. A razão entre a tensão real em uma fase de um 
enrolamento distribuído e o valor esperado no caso de um enrolamento concentrado, 
para o mesmo número de espiras, é denominada fator de distribuição do enrolamento. 
O fator de distribuição é definido como
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Modelagem de Máquinas Elétricas
kp = (2.29)
O fator de distribuição da máquina da Figura 2.11 é, portanto,
kp = = 0,960
O fator de distribuição é um modo conveniente de expressar o efeito de diminuição 
de tensão causado pela distribuição espacial das bobinas de um enrolamento de estator.
Para um enrolamento com n ranhuras por agrupamento de fase, distanciadas de 
γ graus, pode-se demonstrar que o fator de distribuição é dado por
kd = (2.30)
Observa-se que no exemplo anterior com n = 3 e γ = 20º, o fator de distribuição torna-se
kd = = = 0,960
que é igual ao resultado anterior.
2.4 TENSÃO GERADA COM A INCLUSÃO DOS EFEITOS 
DE DISTRIBUIÇÃO
A tensão eficaz em uma bobina simples de NC espiras e fator de passo kp foi 
determinada anteriormente como
EA = Nc kp Φ (2.31)
Se uma fase de estator consistir em i bobinas, cada uma com Nc espiras, então 
o total de Np = i Nc espiras estará presenta na fase. A tensão presente na fase será 
simplesmente a tensão devido às Np espiras, todas na mesma ranhura, vezes a redução 
de tensão causada pelo fator de distribuição, de modo que a tensão da fase será
EA = Np kp kd Φ (2.32)
Para facilitar o uso, algumas vezes o fator de passo e o fator de distribuição de um 
enrolamento são combinados em um único fator de enrolamento kenr, o qual é dado por
kenr = kp kd (2.33)
Aplicando essa definição à equação da tensão de uma fase, obtém-se
EA = Np kenr Φ (2.34)
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Modelagem de Máquinas Elétricas
2.5 HARMÔNICAS DE RANHURA
Embora os enrolamentos distribuídos ofereçam vantagens em relação aos 
enrolamentos concentrados, em termos de resistência mecânica do estator, utilização 
e facilidade de construção, o uso de enrolamentos distribuídos introduz um problema 
adicional ao projeto da máquina. A presença de ranhuras uniformes na periferia 
interna do estator causa variações regulares na relutância e no fluxo ao longo da 
superfície do estator. Essas variações regulares produzem componentes harmônicas 
de tensão denominadas harmônicas de ranhura (de acordo a figura 2.12). Harmônicas 
de ranhura ocorrem em frequências determinadas pelo espaçamento entre ranhuras 
adjacentes e são dadas por
νranhura = ± 1 (2.35)
em que
νranhura - índice (ou número) da componente harmônica;
R - número de ranhuras do estator;
M - um número inteiro;
P - número de polos da máquina.
O valor M = 1 corresponde às harmônicas de ranhura de frequência mais baixa, 
que são também as que causam mais problemas.
Figura 2.60: As variações de densidade de fluxo no entreferro devido às harmônicas de ranhura. A relutância 
de cada ranhura é maior do que a relutância dasuperfície de metal entre as ranhuras, de modo 
que as densidades de fluxo são menores diretamente acima das ranhuras.
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Modelagem de Máquinas Elétricas
Como essas componentes harmônicas são determinadas pelo espaçamento entre 
ranhuras adjacentes de bobina, variações no passo de bobina e na distribuição não 
podem reduzir esses efeitos. Independentemente do passo de uma bobina, ela deve 
iniciar e terminar em uma ranhura e, portanto, o espaçamento da bobina é um inteiro 
múltiplo do espaçamento básico que causa as harmônicas de ranhura.
Por exemplo, considere o estator de uma máquina CA de seis polos e 72 ranhuras. 
Nessa máquina, as duas harmônicas de frequência mais baixa e mais difíceis de 
manipular são
νranhura = ± 1 = ± 1 = 25 e 23
Em uma máquina de 60 Hz, essas harmônicas são de 1.380 e 1.500 Hz.
As harmônicas de ranhura causam diversos problemas nas máquinas CA:
 ▪ Elas induzem harmônicas na tensão induzida dos geradores CA;
 ▪ A interação entre as harmônicas de ranhura do estator e do rotor produzem 
conjugados parasitas nos motores de indução. Esses conjugados podem afetar seriamente 
a forma da característica de conjugado versus velocidade do motor;
 ▪ Elas introduzem vibração e ruído na máquina;
 ▪ Elas aumentam as perdas no núcleo pela introdução de componentes de alta 
frequência de tensões e correntes nos dentes do estator.
As harmônicas de ranhura são especialmente trabalhosas nos motores de indução, 
nos quais podem induzir harmônicas de mesma frequência no circuito de campo do 
rotor, reforçando ainda mais seus efeitos sobre o conjugado da máquina.
Duas abordagens comuns são usadas para reduzir as harmônicas de ranhura: 
enrolamentos com um número fracionário de ranhuras e condutores inclinados de rotor.
O uso de enrolamentos com um número fracionário de ranhuras consiste em usar 
um número fracionário de ranhuras por polo do rotor. Por exemplo, pode-se utilizar 
para enrolamentos distribuídos números inteiro de ranhuras, isto é, 2, 3, 4 ou algum 
outro número inteiro de ranhuras por polo. Por outro lado, um estator com um número 
fracionário de ranhuras pode ser construído com 2½ ranhuras por polo. O afastamento 
entre polos adjacentes, proporcionado por enrolamentos com um número fracionário 
de ranhuras, auxilia na redução das harmônicas de grupo e também de ranhura. Essa 
forma de redução das harmônicas pode ser usada em qualquer tipo de máquina CA. 
Outra forma de abordagem, muito mais comum, para reduzir as harmônicas de 
ranhura é inclinando os condutores do rotor da máquina. Essa forma é usada basicamente 
em motores de indução. Os condutores do rotor de um motor de indução recebem uma 
leve torção, de forma que, quando uma extremidade de um condutor está debaixo de 
uma ranhura, a outra extremidade está debaixo de uma ranhura vizinha. Essa forma 
construtiva do rotor está mostrada na figura 2.13. Como um condutor simples de rotor vai 
desde uma ranhura de bobina até a próxima (uma distância correspondente a um ciclo 
elétrico completo da frequência harmônica mais baixa de ranhura), haverá cancelamento 
das componentes de tensão devido às variações de fluxo das harmônicas de ranhura.
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Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.61: Um rotor de motor de indução exibindo a inclinação de condutores. A inclinação dos condutores 
do rotor é simplesmente igual à distância entre uma ranhura de estator e a seguinte.
Tanto a amplitude como a forma de onda das tensões geradas e da fmm de 
armadura das máquinas são determinadas pela disposição dos enrolamentos e pela 
geometria geral da máquina. Essas configurações por sua vez são ditadas pelo uso 
econômico de espaço e material na máquina e pela adequação ao serviço pretendido. 
Vai-se dar um tratamento analítico às tensões e fmms CA em regime permanente 
equilibrado. A atenção estará voltada à componente fundamental de tensão no tempo 
e à componente fundamental espacial das fmms.
2.6 TENSÕES GERADAS
De acordo com a equação (1.74), a tensão gerada por fase em um enrolamento 
concentrado contendo Nfase espiras é
E = Nfase Φ (2.36)
em que é a frequência e Φ é o fluxo fundamental por polo.
Na prática, em um enrolamento mais complexo, os lados das bobinas de cada 
fase estarão distribuídos em diversas ranhuras por polo. A equação (2.36) pode então 
ser usada para calcular a distribuição de tensão nas bobinas individuais de uma forma 
mais detalhada do que vista nos itens anteriores. Para determinar a tensão de um grupo 
completo de fases, as tensões das bobinas componentes devem ser somadas como 
fasores. Essa soma de tensões de frequência fundamental é o objetivo deste item.
2.6.1 ENROLAMENTOS DISTRIBUÍDOS DE PASSO ENCURTADO
Um exemplo simples de um enrolamento distribuído está ilustrado na figura 2.14 
para uma máquina trifásica de dois polos. Esse caso contém todas as características 
95
Modelagem de Máquinas Elétricas
de um mais geral, com qualquer número inteiro de fases, polos e ranhuras por polo e 
por fase. Ao mesmo tempo, um enrolamento de dupla camada está mostrado. Os 
enrolamentos de dupla camada usualmente levam a conexões terminais mais simples 
e a uma máquina mais econômica de ser fabricada. Esses enrolamentos são encontrados 
em todas as máquinas com exceção de alguns pequenos motores com menos de 10 
kW (13,5 CV). Geralmente, um lado da bobina, como a1, é colocado no fundo de uma 
ranhura e o outro lado, - a1, é colocado no topo de uma outra ranhura. Lados de bobina, 
como a1 e a3 ou a2 e a4, que estão em ranhuras adjacentes e associados à mesma fase 
constituem um cinto de fase. Todos os cintos de fase são idênticos quando se usa um 
número inteiro de ranhuras por polo e por fase. Na máquina normal, o ângulo periférico 
subentendido por um cinto de fase é de 60º elétricos para uma máquina trifásica e de 
90º elétricos para uma máquina bifásica.
Figura 2.62: Enrolamento distribuído de armadura, trifásico, com dois polos e de passo pleno com o diagrama 
fasorial de tensão.
As bobinas individuais na figura 2.14 cobrem um passo polar pleno ou de 180º 
elétricos. Portanto, o enrolamento é de passo pleno. Supõe-se agora que todos os lados 
de bobina nos topos das ranhuras sejam deslocados de uma ranhura no sentido anti-
horário, como na figura 2.15. Qualquer uma das bobinas, como a1, -a1, está abrangendo 
então apenas 5/6 de um passo podar ou 5/6 (180) = 150º elétricos e o enrolamento é de 
passo encurtado ou fracionado, e assim por diante. Agora, os agrupamentos por fase 
estão entrelaçados, porque algumas ranhuras contêm lados das fases a e b, a e c, e b 
e c. grupos de fases individuais, como os formados por a1, a2, a3, e a4 em um lado e –a1, 
-a2, -a3 e –a4 no outro, ainda estão deslocados de 120º elétricos em relação aos agrupamentos 
das outras fases, de modo que tensões trifásicas são produzidas. Além da característica 
menos importante de encurtar as conexões terminais, pode-se mostrar que os enrolamentos 
encurtados diminuem o conteúdo harmônico de ambas as ondas de tensão e de fmm.
96
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.63: Enrolamento distribuído de armadura, trifásico, com dois polos e de passo encurtado com o 
diagrama fasorial de tensão.
As conexões terminais entre os lados das bobinas estão normalmente em uma 
região de densidade de fluxo desprezível e, portanto, modificá-las não afeta de forma 
significativa o fluxo concatenado do enrolamento. A distribuição dos lados das bobinas 
nas ranhuras é, então, o fator determinante para a geração de tensões e apenas essa 
distribuição precisa ser especificada nas figuras 2.14 e 2.15. O único requisito é que 
todos os lados de bobina de uma fase sejam incluídos na interconexão, de modo tal 
que as tensões individuais façam uma contribuição positiva ao local. A consequência 
prática é que as conexões terminais podem ser feitas de acordo com o que é ditado 
pela simplicidade de fabricação. A consequência teórica é que resultam vantagens 
computacionais, os lados de bobina em uma fase podem ser combinados de modo 
arbitráriopara formar bobinas equivalentes.
Um sacrifício é feito quando são usados os enrolamentos distribuídos e encurtados 
das figuras 2.14 e 2.15 e não um enrolamento concentrado de passo pleno: para o 
mesmo número de espiras por fase, a tensão gerada de frequência fundamental é inferior. 
Entretanto, geralmente as harmônicas são diminuídas por um fator apreciavelmente 
maior, e o número total de espiras que podem ser acomodadas em uma geometria fixa 
de ferro é aumentado. O efeito de distribuir o enrolamento da figura 2.14 é que as tensões 
das bobinas a1 e a2 não estão em fase com as das bobinas a3 e a4. Assim, a tensão 
das bobinas a1 e a2 pode ser representada pelo fasor OX na figura 2.14 e a das bobinas 
a3 e a4, pelo fasor OY. A defasagem no tempo entre essas duas tensões é igual ao 
ângulo elétrico entre ranhuras adjacentes, de modo que OX e OY coincidem com as 
linhas centrais das ranhuras adjacentes. O fasor resultante OZ da fase a é obviamente 
menor do que a soma aritmética de OX e OY.
97
Modelagem de Máquinas Elétricas
Além disso, o efeito do passo encurtado na figura 2.15 é que uma bobina concatena 
uma porção menor do fluxo total do polo do que se a bobina fosse de passo pleno. O 
efeito pode ser sobreposto ao efeito de distribuir o enrolamento como se os lados da 
bobina a2 e –a1 fossem considerados como uma bobina equivalente de tensão fasorial 
OW (figura 2.15), os lados de bobina a1, a4, -a2 e -a3, como duas bobinas equivalentes 
com tensão fasorial OX (com o dobro do comprimento de OW), e os lados de bobina 
a3 e –a4, como uma bobina equivalente com tensão fasorial OY. O fasor resultante OZ 
para a fase a é obviamente menor do que a soma aritmética de OW, OX e OY e é 
também menor do que OZ na figura 2.14.
A combinação desses dois fatores pode ser incluída em um fator de enrolamento 
kenr, que é usado como um fator de redução na equação (2.16). Assim, a tensão gerada 
por fase é
(2.37)
em que Nfase é o número total de espiras em série por fase e kenr leva em consideração 
a diferença em relação ao caso de passo pleno. Para uma máquina trifásica, a equação 
(2.37) fornece a tensão de linha para um enrolamento ligado em ∆ e a tensão de fase 
para um enrolamento conectado em Y. Como em qualquer ligação Y equilibrada, a 
tensão de linha deste último enrolamento é √3 vezes a tensão de fase.
2.6.2 FATORES DE DISTRIBUIÇÃO E DE PASSO
Considerando os efeitos de distribuir e encurtar o enrolamento separadamente, 
fatores de redução podem ser obtidos de forma generalizada, convenientes para análise 
quantitativa. O efeito de distribuir o enrolamento em n ranhuras por cinto de fase dá 
origem a n fasores de tensão, defasados de um ângulo elétrico γ entre as ranhuras, 
sendo que γ é igual a 180º elétricos dividido pelo número de ranhuras por polo. Esse 
agrupamento de fasores está mostrado na figura 2.16, item a) e novamente na figura 
2.16, item b), de forma mais conveniente à realização da soma. Cada fasor AB, BC e 
CD é a corda de um círculo com centro em O subentendendo o ângulo γ no centro. A 
soma fasorial AD subentende o ângulo nγ que, como foi observado anteriormente, é 
de 60º elétricos em uma máquina trifásica normal com distribuição uniforme e de 90º 
graus na respectiva máquina bifásica. Dos triângulos OAa e OAd vem, respectivamente
(2.38)
(2.39)
98
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.64: a) Fasores de tensão de bobina e b) soma fasorial.
Igualando esses dois valores de AO, obtém-se
(2.40)
mas a soma aritmética dos fasores é n (AB). Consequentemente, o fator de redução 
que surge da distribuição do enrolamento é
(2.41)
O fator kd é chamado fator de distribuição de enrolamento. Mesmo resultado 
obtido para a equação (2.30).
O efeito de encurtamento sobre a tensão de bobina pode ser obtido determinando 
primeiro o fluxo concatenado na bobina de passo encurtado. Como há n bobinas por fase 
e um total de Nfase espiras em série por fase, então cada bobina terá N = N / n espiras 
por bobina. Da figura 2.17, o lado de bobina –a está a apenas ρ graus elétricos do lado 
a ao invés de 180º completos. O fluxo concatenado com a bobina de N espiras é
(2.42)
(2.43)
em que:
l – comprimento axial do lado da bobina;
r – raio da bobina;
polos - número de polos.
99
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.65: Bobina de passo encurtado em um campo senoidal.
Com α substituído por ω t para indicar um movimento de rotação a ω radianos 
elétricos por segundo, a equação (2.43), torna-se
(2.44)
A soma dos termos em cosseno e dentro dos colchetes da equação (2.44) pode 
ser feita usando um diagrama fasorial como indicado na figura 2.18, do qual vem que
(2.45)
um resultado que também pode ser obtido diretamente dos termos da equação (2.44) 
usando transformações trigonométricas apropriadas.
Figura 2.66: Soma fasorial para bobina de passo encurtado.
100
Modelagem de Máquinas Elétricas
O fluxo concatenado é, então, 
λ = - N Bpico l r cos cos (2.46)
e a tensão instantânea é
λ = = - ω N Bpico l r cos sen (2.47)
O ângulo de fase (π - ρ) / 2 na equação (2.47) indica simplesmente que a tensão 
instantânea não é mais nula quando α na figura 2.13 é zero. No entanto, o fator cos 
[(π - ρ) / 2] é um fator de redução de amplitude, de modo que a tensão eficaz na equação 
(2.36) é modificada para
E = kp Nfase Φ (2.48)
em que o fator de passo kp é
kp = cos = sen (2.49)
Quando ambos os fatores de distribuição e de passo são aplicados, a tensão 
eficaz é
E = kp kd Nfase Φ = kenr Nfase Φ (2.50)
que é uma forma alternativa da equação (2.37). Observa-se que o fator de enrolamento 
kenr é o produto dos fatores de distribuição e de passo
kenr = kp kd (2.51)
obteve-se o mesmo resultado da equação (2.33) apresentada anteriormente.
2.7 ONDAS DE FMM DE ARMADURA
A distribuição de um enrolamento em diversas ranhuras por polo e por fase e o 
uso de bobinas de passo encurtado influenciam não apenas a fem gerada no enrolamento, 
como também o campo magnético produzido por ele. As componentes fundamentais 
espaciais da distribuição de fmm são examinadas neste item.
2.7.1 ENROLAMENTOS CONCENTRADOS DE PASSO PLENO
Um enrolamento polifásico concentrado de Nfase espiras em uma máquina com 
múltiplos polos produz uma onda retangular de fmm ao longo da circunferência do 
entreferro. Para uma excitação com corrente senoidal de amplitude I, a amplitude 
máxima da componente fundamental espacial dessa onda, no tempo, é dada de acordo 
com a equação (1.29)
101
Modelagem de Máquinas Elétricas
( g1) pico = A.e / polo (2.52)
em que o fator de enrolamento kenr da equação (1.29) foi tornado unitário já que, neste 
caso, se está discutindo a onda de fmm de um enrolamento concentrado.
Cada fase de um enrolamento concentrado polifásico cria uma dessas ondas de 
fmm variáveis no tempo e estacionárias no espaço. Essa situação fundamenta a análise 
que conduz à equação (1.63). Para enrolamentos concentrados, a equação (1.63) pode 
ser reescrita como
(θae, t) = cos ( ) = 
cos ( ) (2.53)
A amplitude da onda de fmm resultante em uma máquina trifásica é então, em 
Ampères-espiras por polo
A = Ae / polo (2.54)
De modo semelhante, para uma máquina de nf fases, a amplitude é
A = Ae / polo (2.55)
Nas equações (2.54) e (2.55), I é a corrente eficaz por fase. As equações incluem 
apenas a componente fundamental da distribuição real e aplicam-se a enrolamentos 
concentrados de passo pleno com excitação em equilíbrio.
2.7.2 ENROLAMENTOS DISTRIBUÍDOS DE PASSO ENCURTADO
Quando as bobinas de cada fase de um enrolamento estão distribuídas entre 
diversas ranhuras por polo, a fmm fundamental espacial resultante pode ser obtida 
usando sobreposição, com base nas considerações feitas sobre os enrolamentos 
concentrados. O efeito da distribuição pode ser visto na figura 2.19, que é uma reprodução 
do enrolamento trifásico de dois polos e passo pleno, com duas ranhuras por polo e 
por fase, dado na figura 2.14. As bobinas a1 e a2, b1 e b2 e c1 e c2 constituem elas 
próprias o equivalente de um enrolamentotrifásico concentrado de dois polos, porque 
elas formam três conjuntos de bobinas excitadas por uma fmm fundamental espacial 
girante. A amplitude dessa contribuição é dada pela equação (2.54), quando Nfase é a 
soma das espiras em série das bobinas a1 e a2 apenas. De modo semelhante, as 
bobinas a3 e a4, b3 e b4 e c3 e c4 produzem uma outra onda idêntica de fmm, mas que 
está defasada no espaço de um ângulo de ranhura γ em relação à primeira onda. A 
onda de fmm fundamental espacial, que resulta desse enrolamento, pode ser obtida 
somando essas duas contribuições senoidais.
102
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.67: Enrolamento distribuído de armadura, trifásico, dois polos e passo pleno com o diagrama fasorial 
de fmm.
A contribuição de fmm das bobinas a1 a2 b1 b2 c1 c2 pode ser representada pelo 
fasor OX na figura 2.19. Essa representação fasorial é adequada porque as formas de 
onda envolvidas são senoidais, e os diagramas fasoriais são simplesmente um meio 
conveniente de se somar ondas senoidais. Entretanto, essas ondas são senóides no 
espaço, e não senóides no tempo. O fasor OX é desenhado na posição espacial de pico 
de fmm para o instante de tempo em que a corrente da fase a é um máximo. O comprimento 
de OX é proporcional ao número de espiras das bobinas associadas. De modo semelhante, 
a contribuição de fmm das bobinas a3 a4 b3 b4 c3 c4 pode ser representada pelo fasor 
OY. Portanto, o fasor OZ representa a onda de fmm resultante. Exatamente como no 
respectivo diagrama de tensões, vê-se que a fmm resultante é menor que se o mesmo 
número de espiras por fase estivesse concentrado em uma ranhura por polo.
Do mesmo modo, os fasores de fmm podem ser desenhados para os enrolamentos 
de passo encurtado como está ilustrado na figura 2.20, que é uma reprodução do 
enrolamento trifásico de dois polos e passo encurtado, com duas ranhuras por polo 
por fase, dado na figura 2.15. O fasor OW representa a contribuição das bobinas 
equivalentes formadas pelos condutores a2 e –a1, b2 e –b1 e c2 e –c1; OX para a1 a4 e 
–a3 –a2, b1 b4 e –b3 –b2 e c1 c4 e –c3 –c2; e OY para a3 e –a4, b3 e –b4 e c3 e –c4. O 
fasor resultante OZ é, naturalmente, menor do que a soma algébrica das contribuições 
individuais e é também menor do que OZ na figura 2.19.
103
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.68: Enrolamento distribuído de armadura, trifásico, dois polos e passo encurtado com o diagrama 
fasorial de fmm.
Comparando com as figuras 2.14 e 2.15, pode-se ver que esses diagramas 
fasoriais são idênticos aos de tensões geradas. Consequentemente, vem que os fasores 
de passo e de distribuição, anteriormente desenvolvidos, podem ser aplicados diretamente 
à determinação da fmm resultante. Assim, para um enrolamento distribuído polifásico 
de passo encurtado, a amplitude da componente espacial fundamental de fmm pode 
ser obtida usando kd kp Nfase = kenr Nfase nas equações (2..54) e (2.55) ao invés de 
simplesmente Nfase. Essas equações tornam-se, então, 
A = = (2.56)
para uma máquina trifásica e
A = = (2.57)
para uma máquina de nf fases, em que FA é dado em Ae / polo.
104
Modelagem de Máquinas Elétricas
2.8 INDUTÂNCIAS DE ENTREFERRO DE ENROLAMENTOS 
DISTRIBUÍDOS
A figura 2.21, item a) mostra um enrolamento de armadura concentrado de N 
espiras e passo pleno em uma estrutura magnética com um rotor cilíndrico concêntrico. 
A fmm dessa configuração está mostrada na figura 2.21, item b). Como o comprimento 
de entreferro pode ser considerado uniforme e igual ao valor de fmm dividido por g. da 
equação (1.3), a fmm fundamental espacial é dada por
g1 = cos θ a (2.58)
e a respectiva densidade de fluxo no entreferro é
g1 = µ0 = cos θ a (2.59)
Figura 2.69: a) Uma bobina concentrada de N espiras e b) fmm resultante.
A equação (2.59) pode ser integrada para se encontrar o fluxo fundamental de 
entreferro por polo (equação 1.45), obtendo-se
Φ = r dθ = i (2.60)
em que é o comprimento axial do entreferro. A indutância de entreferro da bobina 
pode ser obtida através da equação
105
Modelagem de Máquinas Elétricas
L = = = (2.61)
Para um enrolamento distribuído multipolos com Nfase espiras em série e um 
fator de enrolamento kenr = kd kp, a indutância de entreferro pode ser obtida da 
equação (2.51) substituindo-se N pelas espiras efetivas por par de polos (2 kenr Nfase 
/ polos), obtendo-se
(2.62)
Finalmente, a figura 2.22 mostra esquematicamente duas bobinas (indicadas por 1 e 
2) com fatores de enrolamento kenr1 e kenr2 e com 2N1 / polos e 2N2 / polos espiras por 
par de polos, respectivamente. Os seus eixos magnéticos estão separados por um 
ângulo elétrico α (igual a polos / 2 vezes o seu deslocamento angular espacial). A 
indutância mútua entre esses dois enrolamentos é dada por
(2.63)
Figura 2.70: Dois enrolamentos distribuídos separados por um ângulo elétrico α.
Embora a figura mostre um enrolamento no rotor e um segundo no estator, a 
equação (2.63) é igualmente válida para o caso em que ambos os enrolamentos estão 
no mesmo membro.
106
Modelagem de Máquinas Elétricas
2.9 COMPORTAMENTO DO GERADOR EM VAZIO E SOB CARGA
Em vazio (com rotação constante), a tensão de armadura depende do fluxo 
magnético gerado pelos polos de excitação, ou ainda da corrente que circula pelo 
enrolamento de campo (rotor). Isto porque o estator não é percorrido por corrente, 
portanto é nula a reação da armadura, cujo efeito é alterar o fluxo total.
A relação entre tensão gerada e a corrente de excitação chamamos de característica 
a vazio (figura 2.23), onde pode-se observar o estado de saturação da máquina.
Figura 2.71: Característica a vazio.
Em carga, a corrente que atravessa os condutores da armadura cria um campo 
magnético, causando alterações na intensidade e distribuição do campo magnético 
principal. Esta alteração depende da corrente, do cos ϕ e das características da carga, 
como descrito a seguir:
a) Carga puramente resistiva: Se o gerador alimenta um circuito puramente 
resistivo, é gerado pela corrente de carga um campo magnético próprio.
O campo magnético induzido produz dois polos (gerador bipolar figura 2.24, item 
a) defasados de 90º em atraso em relação aos polos principais, e estes exercem sobre 
os polos induzidos uma força contrária ao movimento, gastando-se potência mecânica 
para manter o rotor girando. O diagrama da figura 2.24, item b) mostra a alteração do 
fluxo principal em vazio, φ0, em relação ao fluxo de reação da armadura, φR. A alteração 
de φ0 é pequena, não produzindo uma variação muito grande em relação ao fluxo 
resultante φ. Devido à perda de tensão nos enrolamentos da armadura será necessário 
aumentar a corrente de excitação para manter a tensão nominal (figura 2.25).
107
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.72: Carga puramente resistiva.
Figura 2.73: Variação da corrente de excitação para manter a tensão de armadura constante.
b) Carga puramente indutiva: neste caso, a corrente de carga I está defasada 
em 90º em atraso em relação a tensão E, e o campo de reação da armadura ΦR estará 
consequentemente na mesma direção do campo principal φ0, mas em polaridade oposta. 
O efeito da carga indutiva é desmagnetizante (figuras 2.26, itens a) e b).
As cargas indutivas armazenam energia no seu campo indutor e a devolvem 
totalmente ao gerador, não exercendo nenhum conjugado frenante sobre o induzido 
(rotor). Neste caso, só será necessário energia mecânica para compensar as perdas.
Devido ao efeito desmagnetizante, será necessário um grande aumento da 
corrente de excitação para manter a tensão nominal (figura 2.25).
108
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.74: Carga puramente indutiva.
c) Carga puramente capacitiva: a corrente de armadura I para uma carga puramente 
capacitiva está defasada de 90º, adiantada, em relação à tensão E. O campo de reação 
da armadura ΦR consequentemente estará na mesma direção do campo principal Φ e 
com a mesma polaridade.
O campo induzido, neste caso, tem um efeito magnetizante (figuras 2.27, itensa) e b).
As cargas capacitivas armazenam energia em seu campo elétrico e a devolvem 
totalmente ao gerador, não exercendo também, como nas cargas indutivas, nenhum 
conjugado frenante sobre o induzido (rotor). Devido ao efeito magnetizante, será 
necessário reduzir a corrente de excitação para manter a tensão nominal (figura 2.25).
Figura 2.75: Carga puramente capacitiva.
a) Cargas intermediárias: na prática, o que se encontra são cargas com defasagem 
intermediária entre totalmente indutiva ou capacitiva e resistiva. Nestes casos o campo 
induzido pode ser decomposto em dois campos, um transversal e outro desmagnetizante 
(indutiva) ou magnetizante (capacitiva). Somente o campo transversal tem um efeito 
frenante, consumindo, desta forma, potência mecânica da máquina acionante. O efeito 
magnetizante ou desmagnetizante é compensado alterando-se a corrente de excitação.
109
Modelagem de Máquinas Elétricas
2.10 MÁQUINAS DE POLOS LISOS E SALIENTES
Os geradores síncronos são construídos com rotores de polos lisos ou salientes.
Polos lisos: São rotores nos quais o entreferro é constante ao longo de toda a 
periferia do núcleo de ferro.
Figura 2.76: Rotor de pólos lisos.
Polos salientes: São rotores que apresentam uma descontinuidade no entreferro 
ao longo da periferia do núcleo de ferro. Nestes casos, existem as chamadas regiões 
interpolares, onde o entreferro é muito grande, tornando visível a saliência dos polos.
Figura 2.77: Rotor de pólos salientes.
110
Modelagem de Máquinas Elétricas
Um circuito efetivo de rotor, além do enrolamento de campo principal, é formado 
pelas barras amortecedoras. Considerando uma máquina operando inicialmente em 
vazio e um curto-circuito trifásico súbito aparecendo em seus terminais, na figura 2.30 
pode ser observada uma onda de corrente de estator em curto-circuito, tal como pode 
ser obtida num osciloscópio.
Figura 2.78: Corrente de Armadura Simétrica em Curto-Circuito em uma máquina síncrona.
Desse modo, podem ser obtidas as reatâncias subtransitória, transitória e síncrona 
de um gerador síncrono.
2.10.1 REATÂNCIA SUBTRANSITÓRIA XD”
É o valor de reatância da máquina correspondente a corrente que circula na 
armadura durante os primeiros ciclos, conforme pode ser visto na figura 2.30 (período 
subtransitório). Seu valor pode ser obtido dividindo-se o valor da tensão da armadura 
antes da falta pela corrente no início da falta, para carga aplicada repentinamente e à 
frequência nominal.
Xd” = (2.64)
em que:
E - Valor eficaz da tensão fase-neutro nos terminais do gerador síncrono, antes 
do curto-circuito.
I’’ - Valor eficaz da corrente de curto-circuito do período sub-transitório em regime 
permanente. Seu valor é dado por:
I” = (2.65)
111
Modelagem de Máquinas Elétricas
2.10.2 REATÂNCIA TRANSITÓRIA XD’
É o valor de reatância da máquina correspondente à corrente que circula na 
armadura após o período sub-transitório do curto, perdurando por um número maior 
de ciclos (maior tempo).
Seu valor pode ser obtido dividindo-se a tensão na armadura correspondente ao 
início do período transitório pela respectiva corrente, nas mesmas condições de carga.
Xd’ = (2.66)
2.10.3 REATÂNCIA SÍNCRONA XD
É o valor da reatância da máquina correspondente a corrente de regime permanente 
do curto-circuito, ou seja, após o término do período transitório do curto. Seu valor pode 
ser obtido dividindo-se a tensão nos terminais da armadura ao final do período transitório 
do curto dividido pela respectiva corrente.
Xd = (2.67)
A importância do conhecimento destas reatâncias está no fato de que a corrente no 
estator (armadura), após a ocorrência de uma falta (curto-circuito) nos terminais da 
máquina, terá valores que dependem destas reatâncias.
Assim, pode ser conhecido o desempenho da máquina diante de uma falta e as 
consequências daí originadas.
O gerador síncrono é o único componente do sistema elétrico que apresenta três 
reatâncias distintas, cujos valores obedecem à inequação:
Xd” < Xd’ < Xd (2.68)
2.11 EXEMPLOS
2.11.1 EXEMPLO 2.1
A distribuição do enrolamento do estator de dois polos da figura 2.15 encontra-se 
em um motor de indução com um comprimento de entreferro de 0,381 mm, um raio 
médio de rotor de 6,35 cm e um comprimento de eixo axial de 20,3 cm. Cada bobina 
de estator deve ter 15 espiras e as conexões das bobinas de fase são as mostradas 
na figura 2.31. Calcule a indutância de entreferro Laa0 da fase a e a indutância mútua 
Lab entre as fases a e b.
112
Modelagem de Máquinas Elétricas
Figura 2.79: Ligações das bobinas de fase da figura 2.15 do exemplo 2.1.
Solução:
Observa-se que a colocação das bobinas ao redor do estator é tal que os fluxos 
concatenados em cada um dos dois ramos paralelos são iguais. Além disso, a distribuição 
de fluxo no entreferro não se alterará caso, ao invés de fazer uma divisão igual entre 
os dois ramos como ocorre na realidade, um ramo for desconectado e toda a corrente 
circular no outro ramo. Assim, as indutâncias de fase podem ser encontradas calculando 
as indutâncias associadas a apenas um dos ramos paralelos.
Esse resultado pode parecer um pouco enigmático porque os dois ramos estão 
ligados em paralelo e, assim, poderia parecer que a indutância em paralelo deveria ser 
a metade da indutância de um único ramo. Entretanto, as indutâncias compartilham um 
circuito magnético comum e a sua indutância combinada deve refletir esse fato. No entanto, 
deve ser salientado que a resistência da fase é a metade daquela de cada um dos ramos.
Primeiramente vai-se calcular os fatores de distribuição, passo e enrolamento 
para o enrolamento distribuído de passo encurtado da figura 2.15.
O enrolamento da figura 2.15 tem duas bobinas por cinto de fase, separadas por 
um ângulo elétrico de 30º. Da equação (2.30) o fator de distribuição é
kd = = = 0,966
As bobinas de passo encurtado abrangem 150º = 5 π / 6 da equação (2.49), o 
fator de passo é
kp = sen = sen = 0,966
O fator de enrolamento é dado pela equação (2.51)
kenr = kp kd = 0,933
da equação (2.62), vem
L = = = 42,4 mH
113
Modelagem de Máquinas Elétricas
Os eixos dos enrolamentos estão separados por α = 120º e, assim, da equação 
(2.63), tem-se
L12 = cos α = - 21,2 mH.
2.11.2 EXEMPLO 2.2
Um estator trifásico de dois polos tem bobinas com um passo de 5/6. Quais são 
os fatores de passo para as harmônicas presentes nas bobinas da máquina? Esses 
passos auxiliam na eliminação do conteúdo harmônico da tensão gerada?
Solução:
O passo polar em graus mecânicos dessa máquina é dado pela equação (2.1)
ρp = = = 180º
Portanto, o ângulo de passo mecânico dessas bobinas é cinco sextos de 180°, 
ou 150°. Da equação (2.2), tem-se que o passo resultante em graus elétricos é
ρ = x 180º = x 180º = 150º
ângulo de passo mecânico é igual ao ângulo de passo elétrico apenas porque essa máquina 
é de dois polos. Para qualquer outro número de polos, os ângulos não seriam os mesmos. 
Portanto, os fatores de passo para a fundamental e as frequências harmônicas ímpares 
de ordem mais elevada (lembrando que as harmônicas pares não estão presentes) são:
Fundamental:
kp = sen = 0,966
Terceira harmônica
kp = sen = - 0,707
(observação: essa é uma harmônica de n múltiplo de três que não está presente na 
saída trifásica).
Quinta harmônica
kp = sen = 0,259
Sétima harmônica
kp = sen = 0,259
Nona harmônica
kp = sen = - 0,707
(observação: essa é uma harmônica de n múltiplo de três que não está presente na 
saída trifásica).
114
Modelagem de Máquinas Elétricas
A terceira e a nona componente harmônica não são muito suprimidas com esse 
passo de bobina, mas isso não é importante, porque, de qualquer forma, elas não 
aparecem nos terminais da máquina. Entre os efeitos das harmônicas de n múltiplo de 
três e os efeitos do passo da bobina, tem-se que as terceira, quinta, sétima e nona 
harmônicas ficam relativamente suprimidas quando comparadas com a frequência 
fundamental. Portanto, o uso de enrolamentos de passo encurtado reduz drasticamenteo conteúdo harmônico da tensão de saída da máquina, causando apenas um pequeno 
decréscimo de tensão na frequência fundamental.
A tensão de terminal desta máquina síncrona está mostrada na Figura 2.32, tanto 
para os enrolamentos de passo pleno quanto para enrolamentos com um passo de ρ 
= 150°. Observa-se que os enrolamentos de passo encurtado produzem visivelmente 
uma grande melhoria na qualidade da forma de onda.
Figura 2.80: A tensão de saída de um gerador trifásico com enrolamentos de passo pleno e de passo 
encurtado. Embora a tensão de pico do enrolamento de passo encurtado seja ligeiramente 
menor do que a tensão do enrolamento de passo pleno, a forma de sua tensão de saída 
assemelha-se muito mais à de uma senóide.
2.11.3 EXEMPLO 2.3
O estator de uma máquina síncrona trifásica, de dois polos e ligada em Y, é usado 
para construir um gerador. As bobinas são de camada dupla, com quatro bobinas de estator 
por fase, distribuídas como está mostrado na figura 2.10. Cada bobina consiste em 10 
espiras. Os enrolamentos têm um passo elétrico de 150°, como mostrado. O rotor (e o 
campo magnético) está girando a 3.000 rpm e o fluxo por polo nesta máquina é 0,019 Wb.
a) Qual é o passo de ranhura desse estator em graus mecânicos? Em graus 
elétricos?
b) Quantas ranhuras são ocupadas pelas bobinas do estator?
c) Qual é a tensão de fase em uma das fases do estator dessa máquina?
115
Modelagem de Máquinas Elétricas
d) Qual é a tensão de terminal da máquina?
e) Qual é a redução que o enrolamento de passo encurtado dá para a componente 
de quinta harmônica, em relação à redução verificada na sua componente fundamental?
Solução:
a) O estator tem 6 agrupamentos de fase com 2 ranhuras por agrupamento, 
totalizando, portanto, 12 ranhuras. Como o estator inteiro abrange 360°, o passo de 
ranhura desse estator é
γ = = 30º
Esse valor é do passo elétrico e também do passo mecânico, porque trata-se de 
uma máquina de dois polos.
b) Como há 12 ranhuras e 2 polos no estator, há 6 ranhuras por polo. Um passo 
de bobina de 150 graus elétricos é 150°/180° = 5/6, de modo que as bobinas devem 
ocupar 5 ranhuras do estator
c) A frequência dessa máquina é
= = = 50 Hz
Da equação (2.28), tem-se que o fator de passo da componente fundamental da 
tensão é
kp = sen = = 0,966
Embora os enrolamentos de um dado agrupamento de fase estejam distribuídos 
em três ranhuras, as duas ranhuras laterais têm cada uma apenas uma bobina dessa 
fase. Portanto, o enrolamento ocupa essencialmente duas ranhuras completas. O fator 
de distribuição do enrolamento é
kd = = = 0,966
Assim, a tensão em uma única fase desse estator é
EA = Np kp kd Φ = (40 espiras) (0,966) (0,966) (0,19 Wb) (50 Hz) = 157 V
A tensão de terminal dessa máquina é
VT = = EA = (157 V) = 272 V
d) O fator de passo para a componente de quinta harmônica é
kp = sen = = 0,259
Como o fator de passo da componente fundamental da tensão é 0,966 e o fator 
de passo da componente de quinta harmônica da tensão é 0,259, a componente 
fundamental diminui 3,4%, ao passo que a componente de quinta harmônica diminui 
74,1 %. Portanto, a componente de quinta harmônica da tensão diminui 70,7% a mais 
do que diminui a componente fundamental.