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CAPÍTULO 7 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes objetivos de aprendizagem: Compreender o processo de recuperação de investimento, de acordo com o critério de equivalência do valor no tempo. Elaborar tabelas de amortização, explicitando os valores de saldo devedor inicial, prestação, juro, amortização e saldo ao fi nal de cada período. Nelson Chalfun Homsy 148 Administração Financeira e Matemática Financeira 149 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 CONTEXTUALIZAÇÃO Você acabou de comprar uma nova casa e o preço de uma habitação é geralmente o maior valor que, individualmente, você irá despender. Entretanto, a aquisição é fi nanciada em prazos longos, tais como dez, 20 ou 30 anos. E em geral, os empréstimos pessoais envolvem o pagamento de prestações mensais, o que signifi ca o pagamento de 120, 240 ou 360 prestações mensais, período no qual o imóvel é dado como garantia do próprio empréstimo, a chamada hipoteca. Os pagamentos mensais que você fi zer incluem uma parcela, denominada amortização (ou devolução do principal e uma parcela paga a título de juro sobre o saldo que ainda resta a pagar). Como o saldo a pagar vai reduzindo ao longo do tempo, a parcela correspondente ao juro é declinante. O fi nanciamento imobiliário é apenas um dos vários tipos de fi nanciamento, que envolvem a aquisição de automóveis, máquinas, equipamentos e indústrias. OS DIVERSOS TIPOS DE PLANOS DE FINANCIAMENTO Planos de fi nanciamento, de pagamento ou amortização de empréstimos, envolvem o pagamento de parcelas de juros sobre o saldo devedor e o pagamento das parcelas de amortização, ou de devolução do principal ao emprestador. A soma dessas duas parcelas é igual ao valor da prestação. Prestação = Amortização + Juro O plano de fi nanciamento mais comum segue as regras do Sistema de Prestações Constantes, ou Price, no qual o valor dos juros decresce, enquanto o valor da amortização aumenta. O plano de amortização é calculado de maneira a produzir pagamentos constantes em cada período (daí o nome Sistema de Prestações Constantes). Este sistema é utilizado no fi nanciamento a pessoas físicas e jurídicas, para as operações de crédito de longo e curto prazo (capital de giro, crédito direto ao consumidor etc.). Utilizamos as tabelas de amortização para apresentar a evolução dos planos de fi nanciamento de empréstimos. As tabelas de amortização incluem os valores do saldo devedor, das prestações, dos juros e das amortizações. 150 Administração Financeira e Matemática Financeira A prestação (mensal, trimestral, semestral etc.) é considerada como um caso típico de pagamento periódico e de valor constante no tempo. O valor da prestação deve ser tal que, ao fi nal do prazo de pagamento, o saldo devedor seja igual a zero. Estamos, então, tratando de uma situação na qual a soma dos valores das prestações descontadas equivale ao valor do empréstimo. O valor do empréstimo concedido pelo emprestador é considerado como uma saída de recursos (com o sinal negativo) e o pagamento das prestações como as entradas (ou receitas), que recebem o sinal positivo. É por essa razão que ao digitarmos o VP na HP 12C ou na função do Excel, o fazemos com o sinal negativo. Caso contrário, devemos digitar o valor da prestação com o sinal positivo. Assim, para determinarmos o valor da prestação devemos calcular o valor atual de um fl uxo futuro de recebimentos iguais e periódicos que seja exatamente igual ao valor do empréstimo efetuado. A taxa de juro empregada na Tabela Price é a TIR do fl uxo, pois é a taxa que faz com que a soma algébrica do valor atual das parcelas seja igual a zero. O exemplo a seguir ilustra o Plano de Financiamento ou de Amortização de Empréstimo segundo o Sistema de Prestações Constantes, conhecido como Tabela Price ou Crédito Direto ao Consumidor (CDC). As condições do empréstimo são: Utilizando a fórmula de cálculo da prestação, temos: VPpost = Apost x [1 - (1+i)-n ] / i >> Apost = VPpost / [1 - (1+i)-n ] / i Apost = 14000/((1-(1/(1,1)5))/0,1) = 3.693,16 Uma vez encontrado o valor da prestação, siga as seguintes etapas: 1. Complete as cinco linhas da coluna Prestação com o valor encontrado ($ 3.693,16). 2. Lance o valor do empréstimo na primeira linha da coluna Saldo Devedor. 3. Multiplique o valor do saldo devedor pela taxa de juro (10%) e lance o valor na primeira linha da coluna Juro. 151 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 4. Subtraia do valor da prestação o valor do juro e lance-o na coluna Amortização. 5. Subtraia do valor do Saldo Devedor o valor da Amortização e lance o novo valor do Saldo Devedor na segunda linha (14.000,00 – 2.293,16 = 11.706,84). 6. Repita as operações efetuadas nas etapas 3, 4 e 5 até completar a tabela. Observe que os valores do Saldo Devedor e de Amortização da quinta linha são iguais a $ 3.357,42 (valores assinalados). Isto signifi ca que o Saldo Devedor será zerado quando do pagamento desta última Amortização. Quadro 13 – Saldo devedor x Amortização Fonte: O autor. Observe, ainda, que a variação do valor da amortização entre dois pagamentos consecutivos (última coluna) é igual ao fator referente à taxa de juro por período (1+10% ou 1,10). Assim, sabendo-se o valor de qualquer parcela de amortização, podemos calcular qualquer outro valor (anterior ou posterior) de amortização deste fi nanciamento. Por exemplo, sabendo-se o valor da quarta parcela de amortização ($ 3.052,20), podemos calcular o valor da segunda parcela de amortização (3.052,20 / 1,102 = 2.522,48). Atividades de Estudos: 1) Em um fi nanciamento pelo sistema Price (Sistema de Prestações Constantes), com prazo de 36 meses, os valores da 21ª e 22ª amortizações são 180,62 e 186,04, respectivamente. Qual o valor do fi nanciamento? (Obs.: desprezar os centavos na resposta). ____________________________________________________ ____________________________________________________ 152 Administração Financeira e Matemática Financeira ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 2) Uma pessoa pode comprar à vista por $ 17.000,00 ou a prazo pagando 20 prestações trimestrais postecipadas de $ 3.000,00 cada, pelo Sistema Price. Se a pessoa pode aplicar seus recursos ganhando uma taxa efetiva de 6% a.m., qual é a melhor alternativa: comprar à vista ou a prazo? ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 3) Uma pessoa quer efetuar oito depósitos mensais numa conta que paga juros de 1% a.m., para retirar 18 parcelas mensais de $ 1.500,00, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto deverá depositar mensalmente, a fi m de que após o último resgate de $ 1.500,00 a conta apresente saldo zero? ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 4) Elaborar uma tabela de amortização de um fi nanciamento pelo Sistema de Prestações Constantes (Price), apresentando as colunas com os valores de prestação, amortização e juros. Considerar o empréstimo com as seguintes condições: VP = 14.000,00, n =10 meses, prestações mensais postecipadas, i = 9,6% a.a. nominal ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ 5) Elaborar uma tabela de amortização de um fi nanciamento pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), apresentando as colunas com os valores de prestação, amortização e juros. 153 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 Considerar o empréstimo com as seguintes condições: VP = 14.000,00, n =10 meses, prestações mensais postecipadas, i = 9,6% a.a. nominal ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 6) Elaborar a tabela de um fi nanciamento de 100 mil reais, com juros de 1% ao ano, e prazo de cinco anos, explicitando os valores de juros, amortizações, prestações e evolução do saldo devedor anuais. Considerar um período de carência de dois anos, no qual o devedor paga somente os juros. Utilizar o Sistema de Amortizações Constantes – SAC. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 7) No exercício anterior, a taxa de juro do fi nanciamento é de 1% a.a. Como podemos garantir que a taxa de 1% a.a. foi realmente respeitada, tendo em vista a não observância do número de prestações previamente estabelecido e a existência do pagamento apenas dos juros durante a carência? ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 8) Elaborar a tabela de um fi nanciamento de 100 mil reais, com juros de 1% ao ano, e prazo de cinco anos, explicitando os valores de juros, amortizações, prestações e evolução do saldo devedor anuais. Considerar um período de dois anos de carência total (sem pagamento de amortizações e juros). Utilizar o Sistema de Amortizações Constantes – SAC. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 154 Administração Financeira e Matemática Financeira 9) Elaborar a tabela de amortização de um fi nanciamento de 100 mil reais, com juros de 1% ao ano, e prazo de cinco anos, explicitando os valores de juros, amortizações, prestações e evolução do saldo devedor anuais. Considerar um período de dois anos de carência total (sem pagamento de amortizações e juros). Após esse período, o devedor solicitará a reforma do empréstimo. Utilizar o Sistema de Amortizações Constantes – SAC. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 10) Elaborar a tabela de um fi nanciamento de 100 mil reais, com juros de 1% ao ano, e prazo de cinco anos, explicitando os valores de juros, amortizações, prestações e evolução do saldo devedor anuais. Utilizar o Sistema de Prestações Constantes – Price. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 11) Elaborar a tabela de um fi nanciamento de 100 mil reais, com juros de 1% ao ano, e prazo de cinco anos, explicitando os valores de juros, amortizações, prestações e evolução do saldo devedor anuais. Considerar um período de carência de dois anos, no qual o devedor paga somente os juros. Utilizar o Sistema de Prestações Constantes – Price. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 12) Elaborar a tabela de um fi nanciamento de 100 mil reais, com juros de 1% ao ano, e prazo de cinco anos, explicitando os valores de juros, amortizações, prestações e evolução do saldo devedor anuais. Considerar um período de dois anos de carência total (sem pagamento de amortizações e juros). Após esse período, o devedor solicita a reforma do empréstimo. Utilizar o Sistema de Prestações Constantes – Price. 155 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 13) Uma fi nanceira informou às lojas de eletrodomésticos que os fi nanciamentos pelo CDC (Sistema Price) não poderiam ter prestações superiores a 30% do preço à vista. Se o custo real do dinheiro para CDC é de 1% a/m, qual o maior prazo possível de fi nanciamento? A infl ação prevista é de 0,5% a/m. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ O PLANO DE FINANCIAMENTO E A TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) Vamos agora calcular a TIR do fl uxo de prestações da tabela de fi nanciamento anterior utilizando a planilha eletrônica Excel. Observe que o valor da TIR é 10%, isto é, a taxa que anula a série descontada de prestações. 156 Administração Financeira e Matemática Financeira Figura 4 – Cálculo da TIR do fl uxo de prestações de uma tabela de fi nanciamento utilizando a planilha eletrônica Excel Fonte: O autor. Obs.: Para o cálculo da TIR, utilize a opção TIR do menu “funções fi nanceiras” da planilha Excel. Marque os valores constantes da coluna C (C4:C9) e pressione a tecla ENTER na célula C10. CÁLCULO DO VALOR DA PRESTAÇÃO CONFORME O CONCEITO DE DESCAPITALIZAÇÃO DE UMA SÉRIE DE VALORES NO TEMPO Podemos também calcular o valor da prestação aplicando o conceito de descapitalização de uma série de valores no tempo. Vimos que o valor da prestação deve ser tal que, ao fi nal do prazo de pagamento, o saldo devedor seja igual a zero, isto é, seja totalmente amortizado. Repetindo os dados do exercício: 157 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 Esquematicamente, temos: 14.000 = p1 / (1+0,10)1 + p2 / (1+0,10)2 + p3 / (1+0,10)3 + p4 / (1+0,10)4 + p5 / (1+0,10)5 Ou seja, a soma dos termos do lado direito da igualdade, divididos pelo fator (“um” mais a taxa de juro) elevado ao respectivo expoente da série, deve ser igual a 14.000. Já que p1 = p2 = ... = p5, isto é, o valor da prestação é constante, podemos colocar “p” em evidência e reescrever a equação acima da seguinte maneira: 14.000 = p x [1 / (1,10)1 + 1 / (1,10)2 + 1 / (1,10)3 + 1 / (1,10)4 + 1 / (1,10)5] p (prestação) = 14.000 / [1 / (1,10)1 + 1 / (1,10)2 + 1 / (1,10)3 + 1 / (1,10)4 + 1 / (1,10)5] Os valores entre colchetes caracterizam uma Progressão Geométrica de razão 1 / 1,10, com cinco termos. Podemos então calcular a soma desta PG. p (prestação) = 14.000 / 3,79079 = 3.693,16 CÁLCULO DO VALOR DO SALDO DEVEDOR O saldo devedor inicial é igual ao valor do empréstimo. O saldo devedor subsequente é obtido subtraindo-se do saldo devedor inicial o valor da primeira parcela de amortização e, assim, sucessivamente. 158 AdministraçãoFinanceira e Matemática Financeira CÁLCULO DO VALOR DO JURO O juro é calculado aplicando-se a taxa de juro sempre sobre o saldo devedor. Conforme verifi cado, o valor do juro lançado na primeira linha é 1.400, igual a 10% sobre o valor do primeiro saldo devedor (no caso, o valor do empréstimo = 14.000). A segunda parcela de juro é igual a 10% aplicados sobre 11.706,84 e, assim, sucessivamente. CÁLCULO DO VALOR DA AMORTIZAÇÃO A amortização é obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor do juro, pois: Prestação = Amortização + Juro Devemos nos lembrar de que apenas o valor da prestação é constante, enquanto que a amortização e o juro variam. A amortização representa a parcela do capital que está sendo devolvida ao emprestador (amortecida do capital, usando um sentido fi gurado). Por essa razão ela é abatida do valor do saldo devedor a cada período. O valor do juro é calculado pela aplicação da taxa de juro sobre o saldo devedor (que vai diminuindo por força das deduções das amortizações). No nosso caso, temos: - Prestação = 3.693,16 - Valor da primeira parcela de juro = 1.400,00. - Valor da primeira parcela de amortização = 2.293,16 (3.693,16 – 1.400,00) A determinação dos valores de amortização pode ser obtida a partir do valor da primeira parcela, multiplicando-a por (1 + taxa)k-1, sendo k o número de ordem da amortização que se deseja determinar. No nosso exemplo, o valor da parcela de amortização referente à quinta prestação é igual a: - Valor da primeira parcela de amortização: 2.293,16 - Valor da quinta parcela de amortização: 2.293,16 x (1,10)5-1 = 3.357,42 O valor da amortização é o valor da prestação descontada. 159 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 Quando um fi nanciamento é realizado, o credor espera que o devedor pague os juros sobre o VP que lhe é emprestado, de acordo com uma taxa de juro, período de cálculo de juros, periodicidade dos pagamentos (diários, mensais, trimestrais etc.) e prazo previamente combinados. Se o contrato não estabelece uma periodicidade no pagamento dos valores ao credor, o devedor pode pagar os juros e amortizar o fi nanciamento conforme a sua conveniência. A maior parte dos fi nanciamentos, entretanto, estabelece regras de pagamento das prestações de forma periódica. Os fi nanciamentos se enquadram no conceito de Anuidade (ver item CAPITALIZAÇÃO DE UM VALOR E DE UMA SÉRIE DE VALORES NO TEMPO, deste capítulo). Figura 5 – Saldo devedor x Amortização Fonte: O autor. A tabela anterior recupera os dados da tabela de fi nanciamento já apresentada, na qual calculamos o valor das amortizações subtraindo os juros do valor das prestações, pois Prestação = Amortização + Juros. Nesta tabela estamos calculando o valor das mesmas amortizações de maneira diferente. Estamos aplicando o esquema usado no item CAPITALIZAÇÃO DE UM VALOR E DE UMA SÉRIE DE VALORES NO TEMPO nº 4. Estamos dividindo cada uma das prestações (seus valores se repetem) pelo fator de desconto (1,10), cada um deles com o expoente correspondente à “linha Período”. Portanto, temos (assinalado na tabela): 3.693,16/1,101 = 3.357,42; 3.693,16/1,102 = 3.052,20; etc. Esses valores são os mesmos da tabela anterior, mas estão na ordem inversa. Na outra tabela os juros são maiores ao início e as amortizações são menores. As diferenças estão na maneira de se contabilizar os valores. Os juros são receita fi nanceira e as amortizações são receitas de capital. 160 Administração Financeira e Matemática Financeira Sob a perspectiva de um banqueiro, ele estaria recebendo uma receita fi nanceira maior no curto prazo e a recomposição do seu capital seria mais lenta. Para um empresário a expectativa é a de que ele recupere o seu capital mais rápido, para reinvestir. Repare que a soma das amortizações é igual ao VP. Surge aqui outro conceito importante no cálculo fi nanceiro: o VPL, ou Valor Presente Líquido. Ele signifi ca que se somarmos o valor do fi nanciamento (com o sinal negativo) e os valores descontados das prestações, em termos líquidos, teremos ZERO! Vejamos: -14000+ 3.357,42 + 3.052,20 + 2.774,73 + 2.522,48 + 2.293,16 = ZERO Revendo o item TAXA INTERNA DE RETORNO (EFETIVA) – TIR podemos concluir que uma tabela de fi nanciamento é semelhante ao esquema de recuperação de um investimento, de acordo com o critério da TIR. Atividades de Estudos: 1) Um inquilino resolve antecipar, de uma só vez, o pagamento de dez aluguéis mensais de R$ 400,00, ao assinar o contrato. Calcular o valor desse pagamento total, sabendo-se que a taxa de juro é igual a 1% a.m. (um por cento ao mês) e que o pagamento dos aluguéis iria ocorrer ao fi nal de cada mês. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 2) Um funcionário, prevendo sua aposentadoria, resolve efetuar nos próximos dois anos depósitos mensais iguais em um fundo de pecúlio, sendo o primeiro depósito efetuado ao término do primeiro mês. A totalidade do capital acumulado será resgatada por meio de dez retiradas semestrais de $ 80.000, ocorrendo a primeira dois anos após o último depósito. Considerando um 161 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 rendimento efetivo do fundo de 4% a.m., determinar o valor dos depósitos mensais $ 3.446,34. ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ OPERAÇÕES DE LEASING OU ARRENDAMENTO MERCANTIL A operação de leasing é um caso particular da operação normal de fi nanciamento. A diferença é que em uma operação normal de fi nanciamento não há resíduo após o pagamento da última prestação. O tratamento fi nanceiro que se dá às operações de leasing é o de calcular o valor atual do resíduo (trazê-lo para a data inicial) e subtraí-lo do valor do fi nanciamento. De maneira geral, uma operação de leasing ou arrendamento de natureza mercantil (não fi nanceira), congrega três agentes: 1) o fabricante do bem de consumo ou de capital, 2) o usuário do bem e 3) a instituição fi nanceira que compra o bem do fabricante e o aluga ao usuário. Do ponto de vista da análise fi nanceira, as variáveis envolvidas em uma operação de leasing estão registradas em contrato e compreendem: 1) o valor do bem, 2) o valor residual do bem (que é a estimativa do valor futuro de mercado do bem ao término do contrato de arrendamento), 3) o número de prestações que o usuário se compromete a pagar ao banco, 4) o valor da prestação e 5) a taxa de juro. Exemplo: Um empresário efetuou um leasing de uma laminadora por cinco meses. O valor do equipamento é $ 100.000,00 e o valor residual é $ 1.000,00. Calcular o valor da prestação mensal, sabendo-se que a taxa de juro da operação é de 2,5% a.m. Resolver a questão desenvolvendo uma tabela que evidencie a amortização do fi nanciamento. 162 Administração Financeira e Matemática Financeira Valor do equipamento 100.000,00 Valor residual 1.000,00 Taxa de juro (a.m.) 2,50% Período (meses) 5 Solução: Constrói-se a tabela de amortização como se o empréstimo fosse de $ 100.000,00. Abate-se deste o Valor Presente do valor residual do equipamento e tem-se o valor da prestação do leasing. Cálculo do Valor Presente do valor residual do equipamento 1.000 x (1/(1+0.025) 5) = $ 883,85 Cálculoda Prestação a) Determinação do Valor do Empréstimo, abatendo-se o Valor Presente do valor residual do equipamento. 100.000,00 - 883,85 = 99.116,15 b) Cálculo da Prestação n =5; a1 = q = 1 / (1.025); Empréstimo = 99.116,15 Prestação = 99.116,15 / 4,6458285 = 21.334,44 163 PLANOS DE FINANCIAMENTO E TABELAS DE AMORTIZAÇÃO Capítulo 7 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A concessão de empréstimos para o consumo e para o investimento é instrumento importante para a geração do crescimento econômico e para o atendimento das necessidades de cidadãos, empresas e governos. A fl exibilidade das operações de fi nanciamento no que respeita ao pagamento dos empréstimos em prazos e condições diferenciados facilita a possibilidade da realização de um elevado número de operações de fi nanciamento. As tabelas de amortização de fi nanciamentos em prestações constantes e em amortizações constantes apresentam a desagregação do calendário de pagamentos da primeira à última prestação. Elas detalham o valor das parcelas de capital e dos juros pagos e do saldo devedor a cada período. A tabela de amortização é um dos mais importantes instrumentos para o acompanhamento dos contratos de fi nanciamento. REFERÊNCIAS FUNENSEG. Diretoria de Ensino e Produtos. Fundamentos de Matemática Financeira. Assessoria Técnica: Nelson Chalfun Homsy. 6. ed. Rio de janeiro: FUNENSEG, 2007.