maquinas de fluxo Exercícios de triangulo de velocidades

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3. TRIÂNGULO DE VELOCIDADES 
3.1 Composição de uma máquina hidráulica 
Uma máquina hidráulica é composta basicamente de duas partes de constituição simétrica, uma fixa (n=0) e 
outra móvel (n≠0). A parte fixa é composta pelo sistema diretor, por aletas ajustáveis, o pré-distribuidor, injetores e 
tubo de sucção. Nestes órgãos fixos poderá ocorrer a transformação de energia de pressão em energia de velocidade 
ou energia de velocidade em energia de pressão, conforme seu formato (injetor ou difusor). Estes componentes são 
esquematizados na Figura 3.1, que mostra o esquema de uma turbina, e Figura 3.2, mostrando o esquema de uma 
bomba centrífuga. 
A parte móvel da máquina é formada apenas pelo rotor, composto de pás, cubo e coroa. Este é o principal 
órgão da máquina, responsável pela transformação de energia hidráulica em energia mecânica ou vice versa. 
 
 
Figura 3.1 – Arranjo de turbina hidráulica 
 
 
Figura 3.2 – Esquema de uma bomba centrífuga 
 
Para melhor entender a composição de uma máquina hidráulica, a Figura 3.3 mostra o esquema de uma 
bomba centrífuga. Nela o fluido entra, no centro do rotor (olho do rotor), e é capturado pelas pás. O movimento de 
rotação do rotor faz com que o fluido receba energia das pás. Na saída o fluido é descarregado a altas velocidades na 
voluta cuja área da seção transversal aumenta gradualmente à medida que se direciona para a saída da bomba. Este 
formato da voluta faz com que a energia de velocidade do fluido se transforme gradualmente, reduzindo perdas por 
choques e turbulência, em energia de pressão, pela desaceleração do fluido. Algumas bombas tem um sistema 
diretor na saída (em volta do rotor), chamado anel difusor, que tem por objetivo minimizar as perdas ao guiar e 
desacelerar o fluido. 
23 
 
 
 
Figura 3.3 – Esquema de uma bomba centrífuga [Fonte: adaptado de CHAPALLAZ et al. 1992] 
 
3.2 Projeções 
Considera-se, de maneira geral, que o escoamento em máquinas hidráulicas se processa em superfícies de 
revolução superpostas. A velocidade do fluido em cada ponto do escoamento possui uma componente tangencial ao 
eixo, uma componente radial e uma componente axial. 
As pás (simples ou em dupla curvatura) e outras partes do rotor, desenhadas conforme o escoamento 
desejado do fluido no rotor, são definidos a partir da sua projeção em dois planos (Figura 3.4): o plano meridiano e o 
plano normal. 
 
 
Figura 3.4 - Planos de representação e trajetória (fonte: Campos, 1996) 
Plano meridiano 
O plano meridiano (Figura 3.5) é um plano paralelo ao eixo da máquina. A representação nesse plano é feita 
pelo rebatimento dos pontos principais da pá sobre o plano, mantendo-se a mesma distância do ponto ao eixo no 
rebatimento. Assim, cada ponto do rotor fica representado no plano pelo traço da circunferência que ele descreveria 
se dotado de rotação em torno do eixo. 
 
24 
 
 
Figura 3.5 - Projeção meridiana e normal de uma aresta (fonte: Campos, 1996) 
 
Plano normal 
É um plano perpendicular ao eixo da máquina, da mesma maneira, a representação é feita através do 
rebatimento dos pontos necessários da pá sobre o plano. 
Tendo visto os dois planos a representação de um rotor radial de uma bomba no plano meridiano e no plano 
normal é mostrado na Figura 3.6a. E na Figura 3.6b é apresentado um rotor axial. 
 
 
Figura 3.6 – (a) Rotor radial nos planos (b) - Representação de turbina axial 
 
 
Para as máquinas axiais, além das projeções normal e meridional, pode-se representar o rotor segundo 
vários cortes cilíndricos desenvolvidos, em cada diâmetro em estudo, denominado desenvolvimento de corte 
cilíndrico e mostrado nas Figura 3.7 (a) e (b). 
25 
 
 
Figura 3.7 (a) - Rotor axial com corte cilíndrico (b) – Corte cilíndrico do rotor axial 
3.3 Notação 
Com a finalidade de identificação dos pontos principais do rotor é usual adotar-se índices que indiquem as 
posições desses pontos no rotor. Uma convenção muito usada é a convenção de Betz que apresenta índices que 
aumentam no sentido do escoamento (para todas as máquinas hidráulicas). Ela adota os índices 4 e 5 para as arestas 
de entrada e saída do rotor, respectivamente, e os índices 3 e 6 para os pontos do escoamento imediatamente antes 
e depois do rotor. A Figura 3.8 mostra outros pontos desta convenção. 
 
Figura 3.8- Convenção de Betz (fonte: Campos, 1996) 
 
3.4 Triângulos de velocidade no rotor 
As hipóteses iniciais para análise do triângulo de velocidades consideram que o rotor é composto por um 
número infinito de pás infinitamente finas. Neste caso, consideram-se as linhas de corrente congruentes com as pás 
e o fluxo como sendo unidimensional. Assim, o triângulo de velocidades é válido para todos os pontos localizados no 
mesmo diâmetro. Entre as seções de entrada e saída o fluxo deverá produzir o mínimo de perdas com a adoção de 
perfis ou formatos de pás mais adequados. 
Outras hipóteses consideradas são a de regime permanente (vazão mássica constante); a de que os 
triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor são representativos do escoamento; e a de que as velocidades 
na entrada e saída são uniformes. 
Para construção do triângulo de velocidades é preciso entender os conceitos de velocidade absoluta e 
velocidade relativa do fluido. 
26 
 
Movimento relativo 
É o movimento da partícula percebido por um observador movendo-se com o rotor. Neste caso a trajetória 
(relativa) da partícula acompanha o perfil da pá, como se o rotor estivesse parado (em repouso) e o fluido escoando 
através de suas pás. A velocidade tangente a esta trajetória é conhecida por velocidade relativa e será representada 
por “w” (Figura 3.9). 
 
Figura 3.9 – Movimentos relativo e absoluto [ Fonte: CHAPALLAZ et al., 1992] 
 
Movimento absoluto 
É o movimento da partícula percebido por um observador posicionado fora do rotor. A trajetória da partícula 
resulta da composição de dois movimentos, um dentro dos canais do rotor e outro de rotação do rotor. A velocidade 
tangente a esta trajetória é denominada velocidade absoluta e será representado por “c” (Figura 3.9). 
Velocidade tangencial2 
Como o rotor está em movimento de rotação, o fluido que escoa através de seus canais acompanha esse 
movimento. É possível obter a velocidade tangencial do fluido em cada ponto do rotor, sabendo sua posição 
(diâmetro) e a rotação do rotor. A esta velocidade é dada o nome de velocidade tangencial e representada por “u”. 
Sabendo a velocidade angular ω, assim como as dimensões geométricas do rotor, a componente tangencial 
é expressa por: 
 
 (3.1) 
 
 
 D: diâmetro [m] no ponto considerado 
 n: rotação [rpm] 
 ω: velocidade radial [rd/s] 
 r: raio [m] no ponto considerado 
Triângulos de velocidade 
Finalmente, o triângulo de velocidades é formado pelas três velocidades vistas anteriormente e podem ser 
representadas na forma vetorial por: 
 
 (3.2) 
 
 
2 Também conhecida por velocidade de arrastamento, circunferencial ou periférica. 
60
Dnru  
uWC 


27 
 
Sua representação gráfica é dada pela Figura 3.10 e as componentes mostradas na figura são definidas a 
seguir. 
 
Figura 3.10 – Exemplo de triângulo de velocidades 
 
 c: velocidade absoluta [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 u: velocidade tangencial [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 w: velocidade relativa [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 Cm: componente meridiana da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta C sobre o plano meridional); 
 Cu: componente tangencial da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta sobre a direção tangencial); 
 : ângulo formado pela velocidade absoluta e a velocidade tangencial, também chamado ângulo do escoamento absoluto; 
 β: ângulo formado pela velocidade relativa e a tangencial, também chamado ângulo do escoamento relativo ou ângulo 
construtivo. 
 
O triângulode velocidades pode ser construído em qualquer ponto do rotor (Figura 3.11) , porém, a entrada 
e a saída são os pontos mais importantes e que serão objetos de estudo deste ponto em diante. A Figura 3.12 
mostra triângulos de velocidades, na saída do rotor, para alguns tipos de rotores de bombas e ventiladores com base 
no ângulo construtivo: β5>90º (pás curvadas para frente), β5=90º (pás retas), e β5<90º (pás curvadas para trás). 
 
Figura 3.11 - Trajetórias em uma bomba centrífuga [adaptado de CHAPALLAZ et al., 1992] 
 
 
 
Figura 3.12 – Tipos de rotores em bombas e ventiladores e seus triângulos de velocidades 
28 
 
Velocidade meridiana (componente meridiana) e Vazão 
A componente meridiana tem direção perpendicular à seção transversal em que o fluido escoa. 
Aplicando o princípio da conservação da massa nas seções de entrada (4) e saída (5) e considerando o 
escoamento uniforme na seção de escoamento:
 SC AdC 0


 
Considerando que o produto interno é dado por: 
 
555
444
555
444
cos
dACAdC
dACAdC
motoras
dACAdC
dACAdC
geradoras
AdCAdC
m
saída
m
entrada
m
saída
m
entrada
 
 
 
 






 
Usando como exemplo o caso de máquinas geradoras: 
 
 (3.3) 
 
sendo o mesmo resultado se forem consideradas máquinas motoras. 
As áreas das seções de entrada e saída do rotor terão por base as áreas imediatamente antes e 
imediatamente depois do rotor, e serão definidas para as máquinas radiais por: 
556443 bDAebDA   (3.4) 
onde D é o diâmetro e b a altura (ou largura) da pá. 
E para máquinas axiais por: 
 2263 4 ie DDAA 

 (3.5) 
onde o sub índice e indica diâmetro externo e i diâmetro interno. 
Estas áreas tiveram por base os diâmetros e largura do rotor na seção de entrada e saída, pois estes 
geralmente são os dados disponíveis. O porquê de não considerar as áreas acima diretamente para os pontos “4” e 
“5” serão vistas a seguir, e está relacionado com uma “perda” ou redução de área devido à existência de pás com 
espessura a ser considerada. 
Se as pás tiverem espessura desprezível, então: 
6534 AAeAA  (3.6) 
Se as espessuras das pás não forem desprezíveis, então haverá um estrangulamento da área se comparadas 
às áreas pouco antes da entrada do rotor (ponto “3”) e na entrada do rotor (ponto “4”). Da mesma forma para a 
região da saída do rotor (ponto “5”) e pouco depois da saída do rotor (ponto “6”). Pode-se definir esta 
redução/estrangulamento da área por um fator de estrangulamento (f) e a relação entre as áreas pode ser dada por 
 
655344 AfAeAfA  (3.7) 
 


Q
m
Q
m
ívelincompress
mm ACACACACAdCAdC

   4455445554 0
29 
 
Aplicando às equações da continuidade para entrada e saída 
 
443344334433 fCCAfCACACACQ mmmmmm  
443 fCC mm  (3.8) 
556666556655 fCCACAfCACACQ mmmmmm  
556 fCC mm  (3.9) 
 
Os fatores de estrangulamento são definidos por 
 
Figura 3.13 – Esquemas de pás com respectivas espessuras (s) 
 
 
sen
SS t  (3.10) 
t
Stf t
 (3.11) 
Há diferença entre as espessuras s e st. A primeira indica a espessura da pá e a segunda indica a “espessura 
de recobrimento” da pá nos perímetros de entrada e saída. 
E finalmente, fica fácil perceber que se as espessuras das aletas são desprezíveis, então o fator de 
estrangulamento é “1” (pois St0) e as velocidades meridianas em “3” e “4” são iguais, o mesmo ocorrendo para os 
pontos “5” e “6”. 
Ângulo α 
É função das características operacionais da bomba (rotação e vazão, entre outras). Isto é, se há variação de 
rotação da bomba, há variação do ângulo “α”, pois a alteração de “u” (a velocidade tangencial do rotor) altera o 
triângulo de velocidades. O mesmo ocorre se a vazão da bomba é alterada (abrindo-se ou fechando-se uma válvula 
do sistema de bombeamento ao qual a bomba está conectada, por exemplo): como a vazão está relacionada com a 
magnitude da velocidade absoluta do fluido (a equação da conservação da massa será formulada a seguir), ela 
também impõe variações nos triângulos de velocidades quando é alterada. 
u
m
C
Ctg 
 (3.12) 
30 
 
Ângulo β – ângulo construtivo 
É fixado a partir do momento em que se define a curvatura (o desenho, isto é, o projeto mecânico do rotor) 
das aletas, da entrada até a saída do rotor. 
u
m
u
m
W
C
Cu
C
tg 


 (3.13) 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora radial 
Será considerado que na entrada da pá ocorre escoamento “sem choque”, e a velocidade relativa “w4” 
deverá ser tangente à pá, formando o ângulo “4” com a direção tangencial. Na saída a velocidade relativa “w5” é 
tangente à pá formando o ângulo “5” com a direção tangencial. 
Conforme já foi visto a velocidade meridional “Cm” está relacionada à vazão e conforme será visto adiante, a 
velocidade “Cu” está relacionada à potência. 
 
Figura 3.12 - Representação das velocidades em rotor de bomba radial (fonte: Campos, 1996) 
 
A velocidade meridional (Cm) é normal às seções de entrada e saída do rotor. Para o rotor radial da Figura 
3.12, a vazão é estabelecida em função da área e da componente meridiana, sem considerar as espessuras das pás: 
555444 mm CbDCbDQ   (3.14) 
Caso as espessuras das pás sejam consideradas, devem ser verificadas as relações de velocidades 
meridianas, conforme já visto, ou então pode-se chegar facilmente à seguinte fórmula para vazão 
m
aletas
dasárea
t
aletas
semÁrea
CSbZbDQ












__
.... (3.15) 
 “Z” é o número de pás do rotor. 
 
O triângulo de velocidade na entrada estabelece a condição de entrada radial para o ponto de projeto, de 
modo que Cu4 = 0 , o ângulo 4 = 900, e Cm4=C4. O ângulo construtivo 4 deve ser tal que, 
4
4
4 u
C
arctg m
 (3.16) 
para não haver choque (ou incongruência do escoamento com a pá) na entrada. 
31 
 
 
Figura 3.14 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora radial (fonte: Campos, 1996) 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora axial 
A particularidade deste tipo de rotor é a igualdade das componentes “Cm” na entrada e na saída devido à 
igualdade das áreas, e também a igualdade da componente tangencial “u” na entrada e na saída para o mesmo 
diâmetro. 
 
Figura 3.15 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora axial (fonte: Campos, 1996) 
 
O corte cilíndrico representado na Figura 3.15 é relativo ao diâmetro médio, sendo o corte na pá 
representado por uma linha. Na realidade, as pás de máquinas axiais possuem um certa espessura, e nos casos de 
máquinas de bom rendimento o corte é um perfil aerodinâmico. A vazão para esta máquina é dada por: 
 
    522422 44 miemie CDDCDDQ 

 (5.17) 
32 
 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica motora 
A máquina motora axial é representada na Figura 3.16 (a), e a radial na Figura 3.16 (b). Na radial as 
componentes meridionais (Cm) na entrada e na saída não são necessariamente iguais. Estas serão iguais se a 
máquina for de seção constante. Na máquina axial as componentes meridionais (Cm) são necessariamente iguais, e 
as componentes tangenciais (u), serão iguais ao considerarmos o mesmo diâmetro. No estudo de máquinas axiais 
são estudados os triângulos de velocidade em vários diâmetros. 
 
 Figura 3.16 – (a) Máquina hidráulica motora axial (b) Máquina hidráulica motora radial (fonte: Campos, 1996) 
Sistema diretor de máquina hidráulica radial 
Aplicando a equação da conservação da massa na formulação integral, considerando regime permanente e 
velocidade uniforme nas seções, para a superfície de controle composta das superfícies de controle I e II , e uma vez 
que não há fluxo pelas laterais (Figura 3.17 (a)), pode-se simplificar a equação da continuidade, desenvolvida 
inicialmente para máquinas geradoras. 
 
Figura 3.17 – (a) Sistema diretorradial (b) Sistema diretor axial (fonte: Campos, 1996) 
 
 SC AdC 0

 
 ACACdACdAC mmSCI mSCII m 778887788 0   
ou: 
 77778888 bDCbDC mm   (3.18) 
33 
 
Ao considerar b7=b8 , e b1=b2 tem-se para máquinas hidráulicas geradoras: 
7878
8
7
7
8 ppeCC
D
D
Cm
Cm
mm  
Verifica-se que há uma desaceleração do escoamento na direção da saída para caixa espiral. 
Para máquinas hidráulicas motoras: 
2121
1
2
2
1 ppeCC
D
D
Cm
Cm
mm  
Há, portanto, uma aceleração do escoamento na direção da entrada do rotor. 
 Sistema diretor de máquinas hidráulicas axiais 
Da mesma maneira, pode-se considerar: 
 221121 ACACQQ mm  
Sendo: 
 
 
A
De Di
1
1
2
1
2
4


 e 
 
A
De Di
2
2
2
2
2
4


 (3.19) 
Para máquinas axiais (Figura 3.17 (b)) a área na entrada é igual a área na saída do sistema distribuidor, pois 
De1=De2 e Di1=Di2 , sendo De e Di , respectivamente, os diâmetros externos e internos, da coroa circular por onde 
passa a água, tanto para turbinas quanto para bombas axiais. Então: 
 Para MHM: Cm Cm1 2 
 Para MHG: Cm Cm7 8 
EXERCÍCIOS SUGERIDOS 
1. Pede-se desenhar e determinar os elementos dos triângulos de velocidades para os diâmetros de entrada e saída de um ventilador 
radial, do qual são conhecidos: 
a. Rotação do rotor: 750 rpm 
b. Vazão: 240 m3/min 
c. Diâmetro na entrada do rotor: 600 mm 
d. Diâmetro na saída do rotor: 855 mm 
e. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90º 
f. Por motivos de facilidade de construção, as alturas das pás na entrada e saída do rotor são iguais e valem 210 mm; e 
g. A espessura das pás é desprezível. 
(R. u4=23,55m/s; u5=33,6m/s; c5=34,34m/s; c4=cm4=10,11m/s; cm5=7,1 m/s; w4=25,6m/s; w5=7,1m/s; α4=90º; α5=11,9º) 
 
2. Desenhar e determinar os triângulos de velocidades, para a entrada e saída do rotor de uma bomba centrífuga. Sabe-se que o 
mesmo gira a 1470 rpm, o canal é de secção constante e a espessura das pás desprezível. São conhecidos ainda: 
a. Diâmetro de saída igual ao dobro do diâmetro de entrada; 
b. Ângulo construtivo da pá na entrada: 30º 
c. Ângulo construtivo da pá na saída: 38º 
d. Diâmetro na entrada: 0,2 m 
 R. u4=15,4m/s; u5=30,8m/s; c4=8,9m/s, c5=21,3m/s; w4=17,8m/s; w5=14,5m/s; α4=90º; α5=24,7º ) 
 
3. Em uma turbina de reação são conhecidos: 
a. Altura da pá na entrada: 8 cm 
34 
 
b. Altura da pá na saída: 13 cm 
c. Diâmetro de entrada: 60 cm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 120º 
e. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º 
f. Número de pás: 15 
g. Espessura das pás: 6 mm 
Sabendo-se que o canal tem secção transversal constante, pede-se determinar para uma rotação de 600 rpm: a vazão e o ângulo 
formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na entrada do rotor. (R. Q= 1,0475m3/s; α4=17,5º ) 
4. Tem-se uma bomba centrífuga cujo rotor gira a 1150 rpm e tem as seguintes dimensões: 
a. Altura da pá na entrada: 40,7 mm 
b. Diâmetro do rotor na entrada: 178 mm 
c. Diâmetro do rotor na saída: 381 mm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º 
e. Ângulo construtivo da pá na saída: 20º 
Desprezando-se a espessura das pás pede-se: 
f. Os elementos dos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor 
g. A vazão recalcada pela bomba 
Obs. Os canais são de seção transversal constante. (R. u4=10,71m/s; u5=22,93m/s; c4=3,5m/s, c5=13,8m/s; cm4=cm5=3,5 m/s; w4=11,27m/s; 
w5=10,23m/s; α4=90º; α5=14,7º; Q= 7,96.10
-2m3/s ) 
5. Uma turbina Francis operando com 79 m3/h e sob uma queda de 6,8 mca e rotação de 1025 rpm desenvolve uma potência hidráulica 
de 1,99 CV. São conhecidos os seguintes elementos do seu rotor: 
a. Diâmetro de saída: 0,0725 m 
b. Altura da pá na saída: 31,6 mm 
c. Altura da pá na entrada: 17 mm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 90º 
Considerando canais de seção transversal constante e espessura das pás desprezível, pede-se determinar os elementos dos 
triângulos de velocidades para a entrada e saída do rotor. (R. u4=7,13m/s; u5=3,9m/s; c4=7,8m/s, c5=3,1m/s; cm4=cm5=3,1 m/s; cu4=7,13m/s; 
cu5=0, wu4=0m/s; wu5=3,9m/s, w4=3,1m/s; w5=5m/s; α4=21,7º; α5=90º; β5= 38,5º ) 
6. Uma instalação de bombeamento opera na captação de água da estação de tratamento que serve a uma indústria de abate de gado. 
São conhecidos os seguintes elementos da bomba hidráulica: 
a. Diâmetro de entrada do rotor: 200 mm 
b. Diâmetro de saída do rotor: 400 mm 
c. Altura do rotor na entrada: 40 mm 
d. Altura do rotor na saída: 20 mm 
e. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º25’ 
f. Ângulo construtivo da pá na saída: 20º 
g. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,815 
h. Vazão de 453 m3/h 
i. Considerar constante a seção transversal dos canais do rotor 
Determinar 
j. O valor da componente absoluta na direção tangencial na saída do rotor (R. 20 m/s) 
k. O valor do ângulo formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na saída do rotor (R. 17º) 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CAMPOS, M.C. Apostila de Máquinas Hidráulicas-UFPR. Curitiba: 1996. 
CHAPALLAZ, J.M.; EICHENBERGER, P.; FISCHER, G. Manual of pumps used as turbines. Deutsches Zentrum fur 
Entwicklungstechnologien GATE: Eschborn, 1992. Disponível em: http://www.nzdl.org/gsdlmod?e=d-00000-00---off-0hdl--00-0----0-10-0---0---
0direct-10---4-------0-1l--11-en-50---20-about---00-0-1-00-0-0-11-1-0utfZz-8-00&cl=CL1.11&d=HASH011f05bf8734d88d1a080257.1&gc=1. Visitado: 10/10/2014. 
GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991. 
TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. 2th ed. London: Chapman & Hall, 1995.