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Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 1 www.betaconcursos.com Beta Concursos 1 Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 2 Unidade 1 Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio 1.1 Apresentação Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares. 1.2 Simbologia Matemática mais usual Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia: a) = (igual à) b) ≠ (diferente de) c) φ ou { } (conjunto vazio) d) ∈ (pertence à) e) ∉ (não pertence à) f) ⊂ (está contido) g) ⊄ (não está contido) h) ⊃ (contém) i) ⊃/ (não contém) j) ∃ (existe pelo menos um) k) ∃/ (não existe) l) ∃| (existe e é único) m) | (tal que / tais que) n) ∨ (ou) o) ∧ (e) p) BA∩ (interseção dos conjuntos A e B) q) BA ∪ (união dos conjuntos A e B) r) ∀ (para todo e qualquer, qualquer que seja) Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 3 s) ⇒ (implica) t) ⇔ (implica e a recíproca é equivalente) u) ∴ (donde se conclui) 1.3 Conjuntos Numéricos É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados por números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam: a) N { }K 4, 3, 2, 1, 0,= é o conjunto dos números inteiros não-negativos. b) Z { }KK 3, 2, 1, 0, 1, 2, , 3 , −−−= é o conjunto dos números inteiros. c) Q == q p xx | sendo p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠0. É o conjunto dos números racionais. São exemplos de números racionais: 5 3 − , 2 9 − , 3 8 + , etc. São exemplos de números irracionais: K14159,3=pi (pi), K71828,2=e (base dos logaritmos neperianos), K41421,12 = , K73205,13 = , etc. d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em ambos os sentidos. ∞+∞− 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 2 2 2 1 1 3 Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R. e) { }yxzz j+== |C , sendo x ∈ R, y ∈ R e 1−=j , é o conjuntos dos números complexos (voltaremos a tal assunto na seção 1.14). Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do conjunto. Assim, temos: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 4 f) N* { } { ∈== xx |5, 4, 3, 2, 1, K N e }0≠x é o conjunto dos números naturais. g) Z* { ∈= xx | Z e }0≠x h) Q* { ∈= xx | Q e }0≠x i) R* { ∈= xx | R e }0≠x j) C* { ∈= xx | C e }0≠x Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números negativos dos conjunto. k) Z + { ∈= xx | Z e }0≥x = N é o conjunto dos números inteiros não negativos. l) Q+ { ∈= xx | Q e }0≥x é o conjunto dos números racionais não negativos m) R+ { ∈= xx | R e }0≥x é o conjunto dos números reais não negativos. Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos: n) Z − { ∈= xx | Z e }0≤x é o conjunto dos números inteiros não positivos. o) Q − { ∈= xx | Q e }0≤x é o conjuntos dos números racionais não positivos. p) R − { ∈= xx | R e }0≤x é o conjunto dos números reais não positivos. Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z + , Z − , Q+ , Q− , R+ , R− . Se excluímos o zero destes conjuntos, teremos: q) Z +* { ∈= xx | Z e }0>x r) Z − * { ∈= xx | Z e }0<x s) Q+* { ∈= xx | Q e }0>x t) Q − * { ∈= xx | Q e }0<x Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 5 u) R+* { ∈= xx | R e }0>x v) R − * { ∈= xx | R e }0<x O conjunto R+* é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R−* é o conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes. Notemos a propriedade: CRQZN ⊂⊂⊂⊂* isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e todo número real é também complexo. 1.4 Operações com Números Relativos •••• Ilustração 1.1: Números relativos 3− 2− 1− 0 1 2 3∞− ∞+ 1.4.1 Soma ou Adição Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+). •••• ILUSTRAÇÃO 1.2 a) 12210)2()10( +=++=+++ b) 8210)2()10( +=−+=−++ c) 8210)2()10( −=+−=++− d) 12210)2()10( −=−−=−+− Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 6 parcela. •••• ILUSTRAÇÃO 1.3 =++++−+−++ )4()3()7()3()5( =++++−++= )4()3()7()2( =++++−= )4()3()5( =++−= )4()2( 2 Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos. •••• ILUSTRAÇÃO 1.4 Efetuando a soma do exemplo anterior, temos: — soma das parcelas positivas: — 12)4()3()5( +=+++++ — soma das parcelas negativas: — 10)7()3( −=−+− — soma de ambos os resultados: — 2)10()12( +=−++ 1.4.2 Subtração ou Diferença Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior. •••• ILUSTRAÇÃO 1.5 Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 7 a) 8210)2()10( +=−+=+−+ b) 12210)2()10( +=++=−−+ c) 12210)2()10( −=−−=+−− d) 8210)2()10( −=+−=−−− Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”. 1.4.3 Multiplicação • Ilustração 1.6 a) 20)2()10( +=+×+ b) 20)2()10( −=−×+ c) 20)2()10( −=+×− d) 20)2()10( +=−×− 1.4.4 Divisão • Ilustração 1.7 a) 5)2()10( +=+÷+ b) 5)2()10( −=−÷+ c) 5)2()10( −=+÷− d) 5)2()10( +=−÷− Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 8 1.4.5 Potenciação Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por: pa Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base. • Ilustração 1.8 a) () ( ) ( ) ( ) 162)2(222 4 =+×+×+×+=+ b) ( ) ( ) ( ) ( ) 162222)2( 4 =−×−×−×−=− c) ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 =+×+×+=+ d) ( ) ( ) ( ) 8222)2( 3 −=−×−×−=− Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a seqüência de operações é simples: (a) Determinar 42 : 1.º) Digitamos a base (2) 2.º) Pressionamos a tecla exponencial xy yx (CASIO modelo fx- 82LB) ou (CASIO modelo fx-6300 G) , que depende do modelo da minicalculadora. → expoente (n.º de repetições dos fatores iguais) → base (é o número ou fator em questão) Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 9 3.º) Digitamos o expoente (4) 4.º) Pressionamos a tecla exponencial = EXE (CASIO modelo fx – 82LB) ou (CASIO modelo fx – 6300G) , que depende do modelo da minicalculadora. 5.º) Vai aparecer o número 16 no visor da calculadora. (b) Determinar ( )42− : Primeiramente digitamos a base (–2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 – LB, por exemplo) digitamos o número 2 e depois apertamos a tecla −+ para trocar o sinal para menos. Em outras (CASIO fx – 6300G) apertamos a tecla – e depois digitamos o número 2. O restante da seqüência de operações é igual a do item a: tecla exponencial, expoente... A esta altura é interessante notar a diferença entre a potenciação seqüencial e a potenciação escalonada, que serão analisadas logo a seguir. • Ilustração 1.9 a) Potenciação Seqüencial: [ ] [ ] 64 4 )2( 332 == , que também pode ser efetuada diretamente mantendo- se a base e multiplicando-se os expoentes: 6422 632 ==× b) Potenciação Escalonada: 322 que pode ser entendida como 2 2 3 , ou seja: 25622 82 3 == 1.4.6 Radiciação a) Raiz n-ésima de um número: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 10 Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando nba = e ela é representada por ban = Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Temos então: radical do índice o é "" número O radicando o é "" número O radical o é sinal O n a Assim sendo 39 = porque 932 = 283 = porque 823 = No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical. No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical. b) Valor algébrico dos radicais: Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma operação unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade, em alguns casos, não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos: 1.º) Índice par e radicando positivo. Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos números reais, bem como um par complexo conjugado (vide exercício proposto 39, item j da seção 1.15). 2.º) Índice ímpar. Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n – 1) raízes no conjunto dos números complexos (vide exercício proposto 38, item f, da seção 1.15). 3.º) Índice par e radicando negativo. Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 11 Neste caso não existe nenhum valor do conjunto dos números reais que elevado ao índice par seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção 1.14. • Ilustração 1.10 1.º caso ( ) ( ) ( ) ( ) +=− +=+±=+ +=− +=+±=+ 6255 6255 pois 5625 648 648 pois 864 4 4 4 2 2.º caso ( )( ) −=−−=− +=++=+ 322 pois 232 322 pois 232 55 55 3.º caso ±=− 1.14 seção na abordado será assunto tal mencionado já conforme e, 4 j Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 9 , a resposta e simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 9 teremos então ± 3. A determinação de raízes através de minicalculadoras é simples: a) Determinar 4 625 : a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB: 1.º) Digitamos o radicando 625 2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y 3.º) Digitamos o expoente 4 4.º) Pressionamos a tecla = 5.º) O número 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se desejamos o valor algébrico da raiz a resposta completa é ± 5. a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G 1.º) Digitamos o índice 4 2.º) Pressionamos a tecla x 3.º) Digitamos o radicando 625 Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 12 4.º) Pressionamos a tecla EXE 5.º) O número 5 aparece no visor b) Determinar 5 32− : a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB 1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla −+ para trocar o seu sinal 2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y 3.º) Digitamos o índice 5 4.º) Pressionamos a tecla = 5.º) O valor – 2 aparece no visor. a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G 1.º) Digitamos o índice 5 2.º) Pressionamos a tecla x 3.º) Pressionamos a tecla − e depois o valor 32 4.º) Pressionamos a tecla EXE 5.º) O valor – 2 aparece no visor. Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas de modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros fabricantes? Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se familiarizar com o uso da mesma. 1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador. Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 13 • Ilustração 1.11 a) 2 3 2 1423 2 1 423 aaaaaa ==××× +−+ − b) 3585 8 bb b b == − c) 3525 2 −− == xx x x d) 7)4(34 3 II I I == −− − 1.4.8. Expoente Nulo Toda potência de expoente nulo é igual à unidade. Ilustração 1.12 10 =a Observação: São exceções 00 e 0∞ , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites. 1.4.9 Expoente Negativo Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: n n a a 1 = − . (1) • Ilustração 1.13 a) 16 1 2 12 4 4 == − b) 9 1 3 13 2 2 == − Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 14 Observações: 1ª) Em conseqüência do exposto anteriormente temos: n n a a − = 1 (2) 2ª) Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustração 11 por outro caminho: 743 4 3 III I I =×= − 1.4.10 Expoente Fracionário Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja: q pq p aa = (3) • Ilustração 1.14 Determinar os valores algébricos das seguintes operações: a) 46488 33 23 2 === b) 416162 1 ±== c) 2 1 4 1 4 14 2 1 2 1 ±=== − 1.4.11 Empregode Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 15 • Ilustração 1.15 No Brasil: Nos E.U.A.: a) 3102000 2 ×= * —→ 3102000,2 ×= b) 6104000 000 4 ×= * —→ 6104000,000,4 ×= c) 41030003,0 −×= —→ 41030003.0 −×= d) 31025025,0 −×= —→ 31025025.0 −×= (*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhões, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. Já há alguns anos aboliram-se os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espaço entre as mesmas. 1.5 Produtos Notáveis 1.5.1 Quadrado de um binômio a) 2)( ba + : 22222 2)( )()( babababababababa ++=+++=++=+ ou 22 2 2 2 baba bab aba ba ba ++ ++ + + + 222 2)( bababa ++=+ (4) b) 2)( ba − : 22222 2)( )()( babababababababa +−=+−−=−−=− ou 22 2 2 2 baba bab aba ba ba +− +− − − − 222 2)( bababa +−=− (5) Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 16 1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles )( )( baba −+ : 2222)( )( babababababa −=−+−=−+ ou 22 2 2 ba bab aba ba ba − −− + − + 22)( )( bababa −=−+ (6) 1.5.3 Cubo de um binômio a) =+++=++=+ )2)(())(()( 2223 babababababa =+++++= 322223 22 babbaabbaa 3223 33 babbaa +++= ou 3223 322 223 22 33 2 2 2 babbaa babba abbaa ba baba +++ ++ ++ + ++ 32233 33)( babbaaba +++=+ (7) b) =+−−=−−=− )2)(())(()( 2223 babababababa =−+−+−= 322223 22 babbaabbaa 3223 33 babbaa −+−= ou Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 17 3223 322 223 22 33 2 2 2 babbaa babba abbaa ba baba −+− −+− +− − +− ( ) 32233 33 babbaaba −+−=− (8) •••• Ilustração 1.16 a) ( ) ( ) ( ) ( ) =++=+ 222 55 25 xxaaxa 22 2510 xaxa ++= b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =+−=− 222222 33 52535 yyxxyx 224 93025 yyxx +−= c) ( )( ) ( ) ( ) yxyxyxyx −=−=−+ 22 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=+ 32233 33 2 332 3232 yyxyxxyx 3223 2754368 yxyyxx +++= e) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =−+−=− 32233 22 32 32 yyxyxxyx 3223 8126 yxyyxx −+−= 1.6 Equações 1.6.1 Equação do 1º Grau com uma Incógnita Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma 0=+ baz (9) em que 0≠a . Sua solução é: ⇒−=⇒=+ bazbaz 0 a b z −= (10) EXEMPLO 1.1 Resolver as seguintes equações do 1º grau: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 18 a) 3713 −=+ zz b) 12 15 2 5 = x c) 4 6 2 3 = −y d) 0=+ qpz (sendo p ≠ 0) Solução: a) ∴−=+ 3713 zz 1 4 4 44 3173 =∴ − − = ∴−=− ∴−−=− zz z zz b) ∴= 12 15 2 5 x ( ) 2 30 60 6030 125152 =∴= ∴= ∴×= xx x x c) ∴= − 4 6 2 3 y ( ) 4 6 24 246 12126 4326 =∴= ∴= ∴=− ∴×=− yy y y y d) ∴=+ 0qpz p q z qpz −= ∴−= 1.6.2 Equação do 2º Grau com uma Incógnita A forma geral da equação do 2º grau com uma incógnita é: 02 =++ cbzaz (11) Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 19 onde 0≠a . Vamos então transformar a equação em outra equivalente, de modo que o primeiro membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equação (4). a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem: cbzaz −=+2 b) Multiplicando por a4 , teremos: acabzza 444 22 −=+ c) Somando 2b aos dois membros, resulta: acbbabzza 444 2222 −=++ d) Verificando que o 1º membro é um quadrado perfeito, teremos: ( ) acbbaz 42 22 −=+ e) Extraindo as raízes quadradas de ambos os membros, obtemos: ∴−±−= ∴−±=+ 42 42 2 2 acbbaz acbbaz a b a acbb z 22 42 ∆±− = −±− = (12) que é a conhecida fórmula da Bhaskara, onde acb 42 −=∆ .....(13) é o discriminante da equação, e três casos podem ocorrer: 1º) 0>∆ ⇒ teremos duas raízes reais e desiguais. 2º) 0=∆ ⇒ teremos duas raízes reais e iguais. 3º) 0<∆ ⇒ não teremos raízes no conjunto dos números reais, e este caso será abordado na seção 1.14. Exemplo 1.2 Resolver as seguintes equações do 2º grau: a) 0352 2 =−+ zz b) 0144 2 =+− zz c) 01342 =++ zz Solução: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 20 a) −= = = ⇒=−+ 3 5 2 0352 2 c b a zz ( ) 4932454 22 =−××−=−=∆ acb 4 75 22 495 2 ±− = × ±− = ∆±− = a b z 2 1 4 2 4 75 1 == +− =z 3 4 12 4 75 2 −= − = −− =z b) = −= = ⇒=+− 1 4 4 0144 2 c b a zz ( ) 014444 22 =××−−=−=∆ acb ( ) 8 04 42 04 2 ± = × ±−− = ∆±− = a b z dupla raiz 2 1 8 04 2 1 8 04 2 1 = − = = + = z z c) = = = ⇒=++ 13 4 1 01342 c b a zz ( ) 0365216131444 22 <−=−=××−=−=∆ acb e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção 1.14.1 ( 321 j+−=z e 322 j−−=z são as suas raízes). 1.7 Progressão Aritmética (P.A.) 1.7.1 Definição É uma sucessão de termos ( , , , , , , , , , 1 termos 14321 K4444 34444 21 K +− n n nn aaaaaaa ) finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da progressão, ou seja: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 21 raaaaaaaa nnnn =−=−==−=− +− 112312 K As seguintes seqüências são exemplos de P.A.: a) ( 2 ) 22 17, 12, 7, 2, 1 =⇒ aK e 5=r b) ( xatxtxtxx =⇒+++ 1 ) 6 ,4 ,2 , K e tr 2= c) ( 5 ) 5 ,5 ,5 ,5 ,5 1 =⇒ aK e 0=r d) 7 9 , 2 17 ,8 , 2 15 ,7 1 =⇒ aK e 2 1 =r e) ( 8 ) 4 1, ,2 ,5 ,8 1 =⇒−− aK e 3−=r 1.7.2 Classificação As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r: ⇒> 0r P.A. crescente ⇒= 0r P.A. constante ou estacionária ⇒< 0r P.A. decrescente 1.7.3 Termo geral A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma: ( ) ( ) ( )rnaraaraa rarraraaraa rarraraaraa raaraa nnnn 1 32 2 111 113434 112323 1212 −+==+=⇒=− +=++=+=⇒=− +=++=+=⇒=− +=⇒=− −− L Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja: ( ) ( ) ( ) ( )rnaa raraa raraa raraa n 1 143 132 12 1 114 113 112 −+== −+=+= −+=+= −+=+= L O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir: ( )rnaan 11 −+= (14) Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 22 que pode também ser obtida da seguinte maneira: ( )rnaa raa raa raa raa n nn 11 1 34 23 12 −=− =− =− =− =− − Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a expressão do termo de ordem n. e ( )rnaan 11 −+= (14) que é a mesma equação anteriormente encontrada. 1.7.4 Propriedades I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e o termo seguinte. Com efeito,se KK , , 11 +− nnn aaa são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever: nnnn aaaa −=− +− 11 ou seja, 112 +− += nnn aaa e 2 11 +− + = nn n aa a (15) II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é constante e igual à soma dos próprios extremos. Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razão r, e A e B os termos eqüidistantes dos extremos, conforme ilustrado a seguir: ( 44 344 21 KK 44 344 21 K termos 1 termos 21 , , , , , , , , p nn p aaBAaa − ) Pela fórmula do termo geral, ( )rpaA 11 −+= (16) Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 23 Considerando agora a progressão 44 344 21 K termos 1 , , , p nn aaB − temos pela fórmula de termo geral, ( )rpBan 1−+= (17) Subtraindo (17) de (16) resulta: BaaA n −=− 1 o que nos conduz a naaBA +=+ 1 (18) C.Q.D I) Em uma P.A. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média aritmética dos extremos. Neste caso temos: ( 444444 3444444 21 44 344 21 K 44 344 21 K termos12 com P.A. termos 1 termos 21 , , , , , , , , += − pn p nn p aaBMAaa ) Pelas propriedades I e II temos: 2 BAM += e naaBA +=+ 1 Logo, 2 1 naaM += (19) C.Q.D. 1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Com relação a P.A.: ( , , , , , , , , 1 termos 12321 K44444 344444 21 K +−− n n nnn aaaaaaa ) podemos escrever: nnnn aaaaaaS ++++++= −− 12321 K (20) ou, invertendo-se a ordem das parcelas, Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 24 12321 aaaaaaS nnnn ++++++= −− K (21) Somando (20) e (21) membro a membro obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1213223121 2 aaaaaaaaaaaaS nnnnnnn ++++++++++++= −−−− K , onde temos n parênteses. No entanto, pela propriedade II todos os parênteses são iguais a naa +1 . Logo, ( )naaS nn += 12 e ( ) 2 1 naaS nn + = (22) Observações: 1) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos NSn > , sendo N um número arbitrariamente grande. Poremos: ∞+= lim nS +∞→n ou ∞+→ nS quando ∞+→ n 2) No caso de uma progressão decrescente, ilimitada, teremos as seguintes condições: ∞−= lim nS +∞→n ou ∞−→ nS quando ∞+→ n Exemplo 1.3 Calcule o 17: termo da P.A. ( K ,31 ,8 ,3 ) Solução: Temos que: 31 =a e 5=r Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 25 Logo, ( ) 83516316117 1117 =×+=+=−+= raraa Exemplo 1.4 Calcule a soma dos doze primeiros números ímpares. Solução: Temos então: ( K ,5 ,3 ,1 ) Donde, 11 =a e 2=r , logo ( ) 23211111112 1112 =×+=+=−+= raraa ( ) ( ) 144 2 12231 2 12121 12 = ×+ = ×+ = aaS Exemplo 1.5 No depósito de uma firma de informática, costuma-se empilhar as caixas de um determinado equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas dessas filas seriam necessárias para empilhar 171 dessas caixas? Fig. 1.2 Solução: Temos uma P.A. representada por ( K ,3 ,2 ,1 ) Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 26 onde, 11 =a e 1=r Desejamos saber o n para o qual temos 171=nS . Sabemos que: ( ) ( )[ ] ( )[ ] 2 12 2 1 2 1111 nrnanrnaanaaS nn ×−+ = −++ = + = Substituindo valores, ( )[ ] [ ] [ ] 0342 ,342 ,1342 ,12342 , 2 1112171 2 2 =−+ += += −+= ×−+× = nn nn nn nn nn que é uma equação do 2º grau para a qual 1=a , 1=b e 342−=c . Assim sendo, ( ) 19 18 2 371 2 13691 12 3421411 2 4 2 1 22 −= = = ±− = ±− = = × −××−±− = −±− = n n a acbb n Como não existe número de fileiras negativo, só a 1ª raiz tem significado físico. 1.8 Progressão Geométrica (P.G.) 1.8.1 Definição É uma sucessão de termos ( , , , , , , , , , 1 termos 14321 K44444 344444 21 K +− n n nn aaaaaaa ) finita ou infinita, sendo que , a partir do 2º termo inclusive, a razão entre um termo qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante q, denominada razão da progressão, ou seja: q a a a a a a a a n n n n ===== + − 1 12 3 1 2 K As seqüências a seguir são exemplos de P.G.: a) (1 , 4 , 16 , 64 , K) ⇒ 11 =a e 4=q b) (x , 2xt , 4xt , 6xt , K) ⇒ xa =1 e 2tq = c) (8 , 2 , 2 1 , 8 1 , K) ⇒ 81 =a e 4 1 =q Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 27 d) (7 , 7 , 7 , 7 , K) ⇒ 71 =a e 1=q e) ( 4− , 8 , 16− , 32 , K) ⇒ 41 =a e 2−=q 1.8.2 Classificação <<< >> 10e 0 ou 1 e 0 1 1 qa qa ⇒ P.G. crescente <<> >< 10e 0 ou 1 e 0 1 1 qa qa ⇒ P.G. decrescente 1a∀ e 0<q ⇒ P.G. alternante 1a∀ e 0=q ⇒ P.G. constante ou estacionária 1.8.3 Termo geral A partir da definição, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma: q a a = 1 2 ⇒ qaa 12 = q a a = 2 3 ⇒ ( ) 21123 qaqqaqaa === q a a = 3 4 ⇒ ( ) 312134 qaqqaqaa === ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ q a a n n = −1 ⇒ 111 − − === n nn qaqaa K Observe que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja: 12 112 − == qaqaa 13 1 2 13 − == qaqaa 14 1 3 14 − == qaqaa ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 1 − == n n qaa K Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 28 O termo de ordem n da P.G. é dado, portanto, pela fórmula a seguir: 1 1 − = n n qaa (23) que pode também ser obtida da seguinte maneira: = = = = − q a a q a a q a a q a a n n 1 3 4 2 3 1 2 Multiplicando membro a membro estas 1−n igualdades obtemos a expressão do termo de ordem n 1 13 4 2 3 1 2 − − =×××× n n n q a a a a a a a a K Fazendo os cancelamentos, obtemos: 1 1 − = nn q a a o que nos leva a 1 1 − = n n qaa (23) conforme há havia sido deduzido anteriormente. 1.8.4 Propriedades I) Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo precedente e o termo seguinte. Realmente, se 1−naK , na , K1+na são termos consecutivos de uma P.G., então podemos escrever: n n n n a a a a 1 1 + − = ou seja, 11 2 +− ×= nnn aaa e 11 +− ×±= nnn aaa . (24) C.Q.D. Onde os sinais (+) ou (–) são usados de acordo com as características da P.G. Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 29 II) Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Seja então a P.G. limitada, com n termos, razão q, e A e B os termos eqüidistantes dos extremos, conforme mostrado logo a seguir: ( 44 344 21 KK 44 344 21 K termos 1 termos 21 , , , , , , , , p nn p aaBAaa− ) Pela fórmula do termo geral, 1 1 − = pqaA . (25) Considerando agora a progressão 44 344 21 K termos 1 , , , p nn aaB − temos pela fórmula do termo geral, 1− = p n Bqa . (26) Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta: B a a A n 1 = o que nos leva a: naaAB ×= 1 . (27) C.Q.D. III) Em uma P.G. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média geométrica dos extremos. Neste caso temos: ( 444444 3444444 21 44 344 21 K 44 344 21 K termos12 com P.G. termos 1 termos 21 , , , , , , , , += − pn p nn p aaBMAaa ) Pelas propriedades I e II temos: ABM = e naaAB ×= 1 logo, naaM ×±= 1 . (28) C.Q.D. 1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.G. Com relação a P.G. Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 30 ( , , , , , , , , , 1 termos 12321 K44444 344444 21 K +−− n n nnn aaaaaaa ) podemos escrever: nnnn aaaaaaS ++++++= −− 12321 K . (29) Multiplicando ambos os membros por q resulta: qaqaqaqaqaqaqS nnnn ++++++= −− 12321 K o que é equivalente a 11432 +− ++++++= nnnn aaaaaaqS K (30) Subtraindo (30) de (29) temos: 11 +−=− nnn aaqSS ou já que nn qaa 11 =+ , n n qaaqS 11)1( −=− e ( ) ( )1 , 1 11 ≠ − − = q q qaS n n (31) Observações: 1.ª) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos NSn > , sendo N um número arbitrariamente grande. Poremos, ∞+= lim nS +∞→n ou ∞+→ nS quando ∞+→ n 2.ª) Na hipótese da progressão decrescente 1<q , ( ) q qa q a q qaS nn n − − − = − − = 111 1 111 se admitirmos que +∞→n (cresça cada vez mais), a primeira parcela, q a −1 1 , não sofre qualquer modificação, enquanto que a segunda pode ser tomada tão próxima de zero quanto quisermos. Poremos: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 31 lim ∞+→ n q aSn − = 1 1 (32) Exemplo 1.6 Determine o 10º termo da P.G. (1 , 2 , 4 , K) Solução: 11 =a e 2=q Logo, ( ) ( ) 5122 1 991110110 ==== − qaqaa Exemplo 1.7 Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. ( 22− , 12− , 02 , K) Solução: Temos: 4 1 2 12 2 2 1 === −a e ( ) 222 2 2 2121 2 1 ==== +−−−− − − q Logo, ( ) ( ) = − − = − − = 21 21 4 1 1 1 20 20 1 20 q qaS 75,143 262= Exemplo 1.8 Um barco patrulha está distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de armas pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcações estão seguindo o mesmo rumo (movimentos na mesma direção e mesmo sentido) e que a velocidade do barco patrulha é o dobro da velocidade do navio, pede-se calcular a distância que o barco deve percorrer para alcançar o navio. Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 32 Solução: mi 65 v 2 v 0 x Fig. 1.3 Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio terá percorrido 2 65 milhas, uma vez que sua velocidade é a metade da do barco. Assim o barco terá que percorrer também 2 65 milhas. Quando o barco tiver percorrido estas últimas 2 65 milhas, o navio terá percorrido 4 65 milhas, e assim por diante, de modo que a distância total a ser percorrida pelo barco é: K+++= mi 4 65 mi 2 65 mi 65bx . Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a 651 =a mi e 2 1 =q . Logo, 130 2 11 mi 65 1 1 = − = − = q a xb mi. Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema não poderia ter sido pelos métodos da Cinemática aprendidos na Física do 2º grau? Sim, é claro! Senão vejamos: As equações horárias dos movimentos são: Barco → vtxb= Navio → t v xn 2 65 += No encontro nb xx = e t v vt 2 65 += , Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 33 65 2 =− vt vt , 65 2 = vt e o tempo de encontro é: v t 130 = . Voltando à equação do barco, temos então: 130130 =×== v vvtxb mi e concluímos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcançar o navio. Aí cabe uma outra pergunta: Por quê não termos utilizados diretamente o segundo método? A resposta é simples: esta foi apenas uma ilustração de soma de parcelas, que são termos de uma P.G., as quais vão se tornando cada vez menores. 1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano Este nome é em homenagem ao grande matemático francês René Descartes (Renatus Cartesius em Latim). Aqui em nosso curso vamos utilizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas dimensões) e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que têm a mesma origem comum, conforme ilustrado a seguir: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 34 x y y y x x quadrante 2º quadrante 1º quadrante 3º quadrante 4º ( )yxP , )(+ )(+)(− 0 )(− ( )pi Plano Fig. 1.4 A localização de um ponto P qualquer de uma plano ( )pi genérico, fica então perfeitamente determinada através de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representação genérica é ( )yxP , . No caso presente o ponto genérico foi representado no 1º quadrante, onde 0>x e 0>y mas, de um modo geral temos: ⇒<> ⇒<< ⇒>< ⇒>> quadrante º40 e 0 quadrante º30 e 0 quadrante º20 e 0 quadrante º10 e 0 yx yx yx yx Temos também que se i) 0=x ⇒ ponto situado no eixo y ii) 0=y ⇒ ponto situado no eixo x iii) 0== yx ⇒ ponto situado origem Exemplo 1.9 Marcar em um diagrama cartesiano as localizações dos pontos a seguir: ( )3,41P ; ( )5,22 −P ; ( )4,33 −−P ; ( )6,24 −P ; ( )0,55P ; ( )4,06P Solução: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 35 x y 0 1 2 3 4 5( )5 ,22 −P ( )4 ,33 −−P ( )4 ,06P ( )6 ,24 −P ( )3 ,41P ( )0 ,55P 1−2−3− 5− 6− 4− 1− 2− 3− 1 2 3 4 5 Fig. 1.5 1.10 Equação Reduzida da Reta Em Geometria Analítica demonstra-se que toda equação do primeiro grau em x e y representa, no plano, uma reta, ou seja: pmxy += (33) onde tgαm = é coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo que a mesma forma com a direção horizontal (paralela ao eixo x), e p é o coeficiente linear, sendo igual à ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Por esta convenção teremos sempre 0 ≤ α < 180º. Analisemos então algumas situações mostradas na figura 1.6. São evidentes as seguintes propriedades: 1ª) Se αααα é agudo, então m é positivo, pois a tangente de um ângulo é sempre positiva no 1º quadrante. 2ª) Se αααα é obtuso, então m é negativo, pois a tangente de uma ângulo do 2º quadrante é negativa. 3ª) Se αααα é nulo, então m é nulo, pois a tg de 0 é nula e, neste caso, a equação da reta se reduz a constante=y , uma vez que ela é paralela ao eixo x. 4ª) Se αααα é reto, então m não é definido, pois ∃/=º90tg , e neste caso a equação da reta tem a forma constante=x , uma vez que ela é paralela ao eixo y. Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 36 º90=α α α x y 0 α é um ângulo agudo ( )º900 << α x y 0 α é um ângulo obtuso ( )º180º90 << α x y 0 x y 0 α é um ângulo reto( )º90=α 0=α Fig. 1.6 É também oportuno, baseados no que se viuaté então, listarmos algumas situações na figura 1.7, lembrando que, se p = 0, a reta passa pela origem, e sua equação é da forma y = mx. x y 0 α α α p ( )0 e 01 >> pmR α α α ( )0 e 04 >< pmR R5(m<0 e p =0) R6(m<0 e p =0) R2(m>0 e p =0) R3(m>0 e p <0) Fig. 1.7 Exemplo 1.10 Representar graficamente as seguintes retas: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 37 a) 1R : 12 += xy b) 2R : 12 +−= xy c) 3R : xy 2= d) 4R : 4=y e) 5R : 5=x Solução: As representações das retas 4R e 5R são imediatas. Entretanto, para as retas 1R , 2R e 3R vamos construir as tabelas a seguir onde os valores assumidos para x, ao serem substituídos nas equações conduzem aos valores de y correspondentes. Bastaria um par de pontos para determinar cada reta, uma vez que, por dois pontos do plano passa tão somente uma reta ou, em outras palavras: dois pontos determinam uma reta. No entanto, a fim de que o estudante possa verificar, na prática, que uma equação do 1.º grau em x e y representa uma reta, optamos por eleger três pontos para cada uma delas, e concluir que, em cada caso, os três pontos estão alinhados ao longo de uma mesma direção, ou seja, pertencem a uma mesma reta. 1R 2R 3R X y x y x y 0 1 0 1 0 0 1 3 1 2 1 1 2 2 5 2 0 2 4 Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 38 x y 0 1 2 3 4 5 1R 2 1 1 2 3 4 5 2R 3R 5R 4R Fig. 1.8 Exemplo 1.11 Uma firma de projeto A cobra R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de trabalho e uma firma B cobra R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia. a) Representar em um mesmo diagrama cartesiano os custos dos serviços de ambas as empresas. b) Estabelecer um critério para a escolha da melhor firma pelo usuário, sob o ponto de vista financeiro, admitindo que, hipoteticamente, ambas tenham a mesma competência. Solução: a) Do enunciado vem que: Custo de A: ( ) ( )1000,00 R$600,00/dia R$ += dC A Custo de B: ( ) ( )400,00 R$800,00/dia R$ += dCB em que AC e BC representam, respectivamente, os custos dos serviços das empresas e d os dias trabalhados. Temos então as seguintes correspondências: dx ↔ Cy ↔ Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 39 Tratam-se, portanto, das equações de duas retas e a reta A começa em um ponto de ordenada mais baixa (pA = 400) e a reta B em um ponto de ordenada mais alta (pB = 1000). No entanto, o coeficiente angular de B (mB = 800) é maior do que o coeficiente angular de A (mA = 600). Isto significa que tgαB > tgαA , ou seja αB > αA , e as retas vão se interceptar. Determinemos pois as coordenadas do ponto de intersecção: ( ) ( ) ( ) ( )∴+=+⇒= 400,00 R$800,00/dia R$R$1000,00600,00/dia R$ ddCC BA ( ) ( ) ∴−=− dd 600,00/dia R$800,00/dia R$400,00 R$1000,00 R$ ( ) ∴= d200,00/dia R$600,00 R$ 2800,00 R$ dias 3 ==⇒= BA CCd Lembrando também que para 0=d temos 1000,00 R$=AC e 400,00 R$=BC podemos traçar as retas de custos. Assim sendo: 0 1 2 3 ( )dias d 2800,00 R$ ( )custos , BA CC 1000,00 R$ 400,00 R$ A B Fig. 1.9 Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 40 b) Uma rápida análise dos gráficos nos conduzem às seguintes conclusões: 1.ª) d < 3 dias ⇒ B é mais econômica. 2.ª) d = 3 dias ⇒ o custo é o mesmo. 3.ª) d > 3 dias ⇒ A é mais econômica. 1.11 Noção de Aplicação Dados dois conjuntos A e B, denominamos aplicação de A em B a toda correspondência em que a cada elemento x ∈ A temos associado um único y ∈ B. Por exemplo: dados os conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l} vamos apresentar a seguir algumas aplicações de A em B: 87658765 8765 h g i j l j h g i l j h g i l (b) (a) (c) Fig. 1.10 A flecha indica a correspondência entre os elementos de A e B. Na parte (a), a aplicação é o conjunto de pares ordenados. {(5, g), (6, h), (7, i), (8, j)} na parte (b) {(5, g), (6, i), (7, j), (8, l)} e na parte (c) {(5, g), (6, g), (7, i), (8, l)}. Devemos ressaltar que cada elemento de A é unido pela flecha a um só elemento de B. Assim sendo, do mesmo elemento x ∈ A não podem partir duas ou mais flechas. Deste modo a correspondência Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 41 8765 jhg i l Fig. 1.11 não é uma aplicação. O conjunto A é denominado domínio da aplicação e o elemento y, correspondente de x, é denominado imagem de x. No exemplo (a) da figura 1.9 temos. Elemento de A Imagem 5 → 6 → 7 → 8 → O conjunto das imagens de uma aplicação f de A em B denomina-se imagem da aplicação e será representado por f(A). Devemos notar que f(A) é uma sucessão, ou seja, um conjunto ordenado. Para o exemplo (a) da figura 1.9 temos: ( ) ( )jihgA , ,, =f e não ( ) 43421 incorreta ordem , ,, ijgh 1.12 Exercícios Propostos 1) Calcular as seguintes expressões: a) ( ) ( )125 −++ b) ( ) ( )7,07,3 −++ c) ( ) ( )28,072,1 −++ d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )352472 ++−+++++−++ e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )751269 ++−+−+−+−++ 2) Calcular as seguintes expressões: Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 42 a) ( ) ( )24 +−+ b) ( ) ( )410 +−+ c) ( ) ( )39 +−− d) ( ) ( )57 −−− e) ( ) ( )26 −−+ 3) Calcular as seguintes expressões: a) ( ) ( )54 +×+ b) ( ) ( )54 −×− c) ( ) ( )12 +×− d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )52314 −×−×+×−×− e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54132 +×−×−×−×+ 4) Calcular as seguintes expressões: a) ( ) ( )312 +÷+ b) ( ) ( )315 −÷− c) ( ) ( )436 −÷+ d) ( ) ( )642 +÷− e) ( ) ( )981 −÷− 5) Calcular as seguintes potências: a) ( )52+ b) ( )33− c) ( )32− d) ( )37− e) ( )410+ 6) Calcular os valores algébricos das seguintes raízes: a) 4 625 b) 3 8 c) 4 81 d) 3 27− Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 43 e) 5 32 7) Efetuar os seguintes produtos notáveis: a) ( )2343 52 mbym − b) 2 52 4 3 3 2 + xa c) ( )( )25 25 aa +− 8) Resolver as seguintes equações do 1.º grau: a) 5 2 = x b) ( ) ( ) ( ) 22132435 +−=+−− zzz c) yy =−− 5 526 9) Resolver as seguintes equações do 2.º grau: a) 01582 =+− zz b) 0156 12 =+− −− zz c) ( ) 6 7 1 = −zz d) 0442 =+− zz e) 0 3 12 =++ zz 10) Calcular 13a na progressão aritmética (1 , 5 , 9 , K) 11) Calcular 1a em uma progressão aritmética, sabendo-se que 4=r e 318 =a . 12) Somar os 15 primeiros termos da progressão aritmética (3 , 2 7 , 4 , K) 13) Quantas vezes bate um relógio em 24 horas, admitindo-se que apenas bata as horas? 14) Calcular o 5.º e 8.º termos da progressão geométrica (2 , 4, K) 15) Em uma progressão geométrica, sabemos que 1284 =a e 4=q . Achar 1a . 16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das expressões a seguir quando o número de radicais cresce indefinidamente. a) Kxxxx b) Kyxyx Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 44 c) Kxxxx +++ 1.13 Respostas dos Exercícios Propostos 1) a) 7− ; b) 0,3+ ; c) 44,1+ ; d) 1− e) 2+ 2) a) 2+ ; b) 6+ ; c) 12− ; d) 2− e) 8+ 3) a) 20+ ; b) 20+ ; c) 2− ; d) 120+ e) 120− 4) a) 4+ ; b) 5+ ; c) 9− ; d) 7− ; e) 9+ 5) a) 32+ ; b) 27− ; c) 8− ; d) 343− ; e) 000.10+ 6) a) 5± ; b) 2+ ; c) 3± ; d) 3− ; e) 2+ 7) a) 2644386 25204 mbymbym +− b) 10524 16 9 9 4 xxaa ++ c) 2225 a− 8) a) 10=x ; b) 4=z ; c) 5=y 9) a) 31 =z; 52 =z b) 31 =z ; 22 =z c) 71 =z ; 62 −=z d) z = 2 e) Não admite raízes no conjunto dos números reais. Voltaremos a esse assunto após estudar a seção 1.14 (suas raízes são: 6 3 2 1 1 j+−=z ; 6 3 2 1 2 j−−=z ). 10) 4913 =a 11) 31 =a 12) 2 195 15 =S 13) 156 14) 325 =a ; 2568 =a 15) 21 =a 16) a) x; b) 3 23 1 3 2 yxyx = c) 2 411 x++ 1.14 Números Complexos Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 45 1.14.1 Introdução (a) Do mesmo modo que a generalização da noção de raiz de índice qualquer para um número positivo exigiu a introdução do conceito de número irracional (p.ex.: K414,12 = , K732,13 = ), também a impossibilidade da determinação de raízes de índice par de um número negativo levou à noção de número imaginário. (b) Os números positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de números reais. Em contrapartida, denomina-se número imaginário ou número complexo à toda expressão de forma x + jy 1, na qual x e y são números reais e 1−=j é a unidade imaginária. (c) Conforme já vimos na subseção 1.6.2, as raízes de uma equação do 2º grau, az2 + bz + c = 0 são dadas pela conhecida fórmula a acbb z 2 42 −±− = . (12) Obtemos, então duas raízes reais e desiguais quando o discriminante é positivo e uma raiz real dupla se ele for nulo. Quando o discriminante é negativo, a fórmula (12) não conduz a nenhuma raiz real e o trinômio az2 + bz + c = 0 é sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real que se atribua à z. Por exemplo, se tentarmos resolver a equação z2 + 4z + 1 3 = 0 que já havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a: 2 364 12 131444 2 −±− = × ××−±− =z que não representa nenhum número real. Por outro lado, se operarmos normalmente como se 1− fosse um número, teremos: 1 Os matemáticos usam i no lugar do j e os eletricistas preferem a letra j minúscula normal, já que estes últimos usam a letra i para representar a corrente. No entanto, na Unidade 3, Matrizes, é quase que universal a notação ija para representar o elemento genérico. Assim sendo optamos por j minúscula em negrita e itálica para representar a unidade imaginária. Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 46 ( ) 132 2 164 2 1364 −±−=−±−= −±− =z ou seja 1321 −+−=z e 1321 −−−=z Vamos substituir tais “números” na equação original a fim de verificar se eles são realmente raízes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o símbolo 1− como se ele fosse mesmo um número em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado é: ( ) 11 2 −=− . Temos então: ( ) ( ) ( ) 013112891124 131324132134 2 1 2 1 =+−+−−−−= =+−+−+−+−=++ zz e ( ) ( ) ( ) 013112891124 131324132134 2 2 2 2 =+−−−−−+= =+−−−+−−−=++ zz A partir de tais considerações conclui-se ser possível resolver a equação do 2º grau mesmo quando temos 042 <− acb , se operarmos com o símbolo 1−=j como se fosse um número. Conforme já mencionado ele deve ter a propriedade de que 12 −=j , e deve operar ao lado dos números reais com as mesmas leis que regem formalmente tais números. Temos então os números complexos da forma yx j+ onde, conforme já mencionado, x e y são reais e 1−=j , tais como: 64 j+ , 2 3 1 j− , 9 43 j+ , 7 32 j−− onde o novo elemento 1−=j é denominado unidade imaginária. Utilizando tal notação, as raízes da equação que acabamos de resolver assumem as formas seguintes: 321 j+−=z e 322 j−−=z Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 47 e no final da subseção 1.14.3 veremos por que tais raízes constituem um par complexo conjugado. Temos então de forma geral: yxz j+= (34) onde as grandezas reais x e y são denominadas as partes real e imaginária de z, respectivamente. Podemos, inclusive, usar as notações )Re(z e )Im(z para representar tais partes, ou seja: )Re(zx = (35) e )Im(zy = (36) Em particular quando 0=x temos a expressão yj que será denominada número imaginário puro ou simplesmente imaginário, reservando-se o nome número complexo para o caso geral. Quando y = 0 o número complexo reduz-se à sua parte real x. (d) Uma vez que os números complexos não pertencem ao corpo dos números reais, alguns “desavisados de plantão” podem pensar que tais soluções são meramente fictícias e não representam nenhum fenômeno físico real. Para estes é bom mencionar que a corrente alternada que chega às indústrias, hospitais e residências, é representada por funções senoidais ou cossenoidais, que têm a mesma representação gráfica a menos de uma defasagem de 90º. Acontece que o equacionamento de circuitos elétricos sob excitação harmônica (senoidal) é bem mais simples no domínio da freqüência, no qual a solução para a corrente é dada por um “fasor” I& , que é um número complexo. A fim de relacionarmos o domínio da freqüência com o domínio do tempo é utilizada a relação ( ) ( )teIti ω= j&Re i mI mI− 0 tωφ− + + − − corrente alternada Fig. 1.12 que é bem conhecida do pessoal da área da Eletricidade. Ora, a corrente alternada senoidal do tipo ( ) ( )φ+ω= tIti m cos tem existência física real (qualquer dúvida é só tocar com um dedo no terminal da fase de uma tomada energizada!). Assim sendo, as soluções complexas ou imaginárias (sendo este último termo um tanto impróprio pois pode levar à conclusões erradas) estão bem longe de serem fictícias sendo, é bem verdade, artifícios Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 48 engenhosos, nascidos no problema primordial de lidar com raízes de índices pares de números negativos. Exemplo 1.12 Determine x ∈ R para que o número complexo ( ) 775 2 j+− xx seja imaginário puro. Solução: Para ele ser um número imaginário puro devemos ter parte real nula, ou seja: ( ) = = ∴=−∴=− 5 7 0 075075 2 x ou x xxxx 1.14.2 Potências de j As potências sucessivas de j reproduzem-se periodicamente de quatro em quatro, ou seja: 10 +=j jj =1 ( ) 11 22 −=−=j jj jj −== .23 ( ) ( ) 111. 224 +=−−== j jj ( )( ) jj j jj =−−== 1. 325 ( ) ( ) 1. 2336 −==−−== jj jj jj ( ) ( ) jjjjj −=+−== 1 . 437 ( ) ( ) 111. 448 +=++== j jj ( ) ( ) jj j jj =+== 1. 549 ......................................................... Podemos escrever em geral: ( ) 144 == pp jj Beta ConcursosBeta ConcursosBeta ConcursosBeta Concursos 49 ( ) jjjj ==+ pp 414 ( ) 12424 −==+ jjj pp ( ) jjjj −==+ 3434 pp Regra geral: para determinar o valor de uma potência de j qualquer, basta dividir o expoente da potência por 4 e elevar j à potência determinada pelo resto da divisão. Exemplo 1.13 Efetuar as seguintes potências: a) 7j ; b) 513j ; c) 1998j ; d) 500j Solução: a) 7 4 → jjj −== 37 3 1 b) ''' 315 4 → jj =513 11 128 33 1 c) '''' 8991 4 → 121998 −== jj 39 499 38 2 d) ''' 005 4 → 1jj 0500 == 10 125 20 0
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