Teoria de Conjuntos e suas Operações

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DEFINIÇÃO
Noção da linguagem básica de conjuntos e das operações entre conjuntos e
entre intervalos da reta. A teoria de conjuntos aplicada à resolução de
problemas.
PROPÓSITO
Compreender a teoria de conjuntos, trabalhando com vários tipos de
conjuntos e de operações entre eles a fim de aplicar esses conhecimentos
na solução de problemas do cotidiano.
PREPARAÇÃO
Tenha em mãos uma calculadora e a ferramenta Paint no seu computador
ou smartphone para auxiliar na visualização e resolução de alguns
problemas propostos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Compreender a linguagem dos conjuntos
MÓDULO 2
Identificar as operações realizadas entre conjuntos
MÓDULO 3
Resolver operações entre intervalos da reta
MÓDULO 4
Resolver problemas do cotidiano utilizando conjuntos
INTRODUÇÃO
Conheceremos os conceitos básicos para o entendimento da linguagem de
conjuntos. Veremos como relacionar elementos a conjuntos e como
comparar conjuntos. Aprenderemos as principais operações entre
conjuntos e como resolver cada uma delas utilizando as representações de
conjuntos e algumas propriedades dessas operações. Também vamos
identificar geometricamente quais operações foram realizadas.
Outro conteúdo básico e fundamental para a Matemática que trabalharemos
neste tema são as operações envolvendo os intervalos da reta real.
Para alguns conjuntos particulares, as representações geométricas na reta
real são a melhor maneira de desenvolver as operações. Por isso, vamos
listar os tipos de intervalos que a reta real possui e representá-los nas três
principais formas de visualização.
E, por fim, vamos dar sentido a todo esse aprendizado: veremos várias
aplicações do conteúdo estudado aqui em problemas do dia a dia e em
questões cobradas em concursos.
MÓDULO 1
 Compreender a linguagem dos conjuntos
NOÇÕES BÁSICAS DA TEORIA DE
CONJUNTOS
Neste módulo e nos demais, você perceberá um padrão na apresentação
do conteúdo. Escolhemos esse caminho porque acreditamos ser o mais
eficiente para que você:
Conheça o conceito matemático por meio de definições e notações

Perceba a aplicabilidade do conceito com um ou mais exemplos
DEFINIÇÃO 1.1
Dizemos que um elemento x pertence ao conjunto A quando x é um dos
componentes do conjunto A. Em outras palavras, um elemento x pertence
ao conjunto A quando 𝐱 “está dentro” do conjunto A. Quando 𝐱 não “está
dentro” do conjunto A, dizemos que 𝐱 não pertence ao conjunto A.
Notação: Na teoria de conjuntos, é comum utilizarmos letras maiúsculas
para representarmos os conjuntos (exemplo: A, B, C, X,Y,…) e letras
minúsculas para representar os elementos do conjunto (exemplo: a,b,c,
x,y,…). Daqui para frente, utilizaremos as seguintes notações básicas de
pertinência:
x ∈ A (lê-se: x pertence a A) quando x é um elemento de A.
x ∉ A (lê-se: x não pertence a A) quando x não é um elemento de A.
Vejamos um exemplo para entendermos a definição e a notação acima.
EXEMPLO 1.1
Considerando o conjunto A={−2,0, 1,4}, podemos afirmar que:
−2 ∈ A, 0 ∈ A, 1 ∈ A e 4 ∈ A, pois estes elementos estão no conjunto
A.
Qualquer outro número diferente dos listados anteriormente não está
no conjunto A, por exemplo: −4 ∉ A, −1 ∉ A, 2 ∉ A. Assim, podemos
escrever resumidamente que: se x é diferente de -2, 0, 1 e 4, então x
∉ A.
É importante destacar os principais tipos de representação que podemos ter
de um conjunto:
Lembre-se: Conjunto dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}.
Naturais não nulos: ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5,…}= ℕ−{0}. Conjunto dos
números inteiros: ℤ = {,… −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. Inteiros não nulos:
ℤ∗ = {…, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5,…}= ℤ−{0}. Inteiros não negativos: ℤ+ =
{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. Inteiros não positivos: ℤ− = {…,−3,−2,−1, 0}.
Conjunto dos números racionais: ℚ = {x = a/b | 𝑎,𝑏 ∈ ℤ 𝑒 𝑏≠0}.
javascript:void(0)
Conjunto dos números reais: ℝ=ℚ∪𝕀, (o símbolo U representa “união”
de conjuntos, que será explicado no próximo módulo) onde 𝕀 é o
conjunto de todos os números irracionais da reta.
1) REPRESENTAÇÃO POR EXTENSÃO.
Nesse tipo de representação, listamos todos os elementos do conjunto
explicitamente, como fizemos no Exemplo 1.1. Tal representação também
descreve conjuntos infinitos, como o dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3,
4, 5,…}.
2) REPRESENTAÇÃO POR COMPREENSÃO.
Nesse tipo de representação, os elementos do conjunto são determinados
por uma propriedade específica do conjunto.
EXEMPLO 1.2
Observe os seguintes conjuntos:
A = {x ∈ ℕ | x < 4}. Lê-se: A é o conjunto dos números x que são
naturais e menores do que 4. Logo, o conjunto A pode ser
representado explicitamente por:
A = {0, 1, 2, 3}.
B = {x ∈ ℤ| x < 4}. Lê-se: B é o conjunto dos números x que são
inteiros e menores do que 4. Fique atento ao conjunto como um todo,
pois apesar de o conjunto B possuir a mesma propriedade do conjunto
A, (que é: x < 4), no conjunto B estamos considerando x ∈ ℤ, e não
apenas x ∈ ℕ (como no conjunto A). Logo, o conjunto B pode ser
representado explicitamente por:
B = {…,−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
3) REPRESENTAÇÃO POR FIGURAS.
Nesse caso, representamos os conjuntos através de figuras como mostra a
imagem a seguir.
A figura anterior é uma representação gráfica do conjunto A = {−1, 1, 3, 5}.
OBSERVAÇÃO 1.1:
A representação de conjuntos através de figuras é chamada de diagrama de
Venn, em homenagem a John Venn, que criou esse diagrama para facilitar
javascript:void(0)
o entendimento das operações entre conjuntos, conforme veremos no
próximo módulo.
John Venn (1834-1923) foi um matemático inglês, professor de
Ciência Moral na Universidade de Cambridge. Estudou e ensinou
lógica e teoria das probabilidades. Desenvolveu a lógica matemática
de Boole, tendo estabelecido uma forma de representação gráfica das
intersecções e uniões de conjuntos, através de diagramas que levam
o seu nome. 
 
 Fonte: Wikipédia.
DEFINIÇÃO 1.2 (IGUALDADE DE
CONJUNTOS)
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que os conjuntos A e B são
iguais se eles possuem exatamente os mesmos elementos. Nesse caso,
escreveremos:
A = B.
No caso em que não vale a igualdade, escreveremos:
A ≠ B,
Isso significa que algum desses conjuntos possui um elemento que não
pertence ao outro conjunto.
DEFINIÇÃO 1.3 (SUBCONJUNTOS)
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que A é um subconjunto
de B, (ou que A está contido em B) Se todo elemento de A também é
um elemento de B, ou seja:
x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Logo, escreveremos:
A ⊂ B.
Caso contrário, ou seja, se existe algum elemento de A que não está em
B, dizemos que A não está contido em B e representamos por:
A ⊄ B.
OBSERVAÇÃO 1.2:
A notação de subconjunto A ⊂ B também pode ser expressa da seguinte
maneira:
B ⊃ A (Lê-se: B contém A).
Quando A ⊄ B, podemos também escrever esta expressão da forma:
B ⊅ A (Lê-se: B não contém A).
OBSERVAÇÃO 1.3:
Utilizando o diagrama de Venn, podemos visualizar A ⊂ B (o mesmo que B
⊃ A) como mostra a figura:
Vejamos os exemplos a seguir para entender esses conceitos.
EXEMPLO 1.3
Observe os conjuntos A = {1, 3, 4, 7} e B = {7, 1, 3,4}.
Esses conjuntos são iguais, A = B, pois não importa a disposição dos
elementos no conjunto para a análise de igualdade.
Além disso, também podemos perceber que valem as duas inclusões:
A ⊂ B e B ⊂ A, pois todo elemento de A está em B e vice-versa. Essas
inclusões poderiam ser reescritas como:
B ⊃ A e A ⊃ B
OBSERVAÇÃO 1.4:
Combinando as definições 1.2 e 1.3, podemos destacar uma das
propriedades dos conjuntos que é:
A = B se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A.
EXEMPLO 1.4
Agora observe os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
vistos no exemplo 1.2.
Note que A ≠ B, pois B possui elementos que não estão em A, por
exemplo, −2 ∈ B, mas −2 ∉ A.
O mesmo argumento também garante que B ⊄ A, ou seja, B não está
contido em A. Outra forma de escrever seria: A ⊅ B, ou seja, A não contém
B.
Mas, como pode ser visto facilmente, todo elemento de A está em B,
ou seja, A é um subconjunto de B: A ⊂ B. Outra formade escrever
essa inclusão seria: B ⊃ A.
DEFINIÇÃO 1.4
Seja A um conjunto. Dizemos que A é:
Um conjunto unitário se A possui um único elemento.
Um conjunto vazio se A não possui nenhum elemento.
Portanto, representamos A = { } ou A = Ø.
EXEMPLO 1.5
Considere os seguintes conjuntos: A = {x ∈ ℕ | x < −2} e B = {x ∈ ℤ | −6 < x
< −4}
Note que A é um conjunto vazio, A = Ø, pois não existe x∈ℕ tal que x
< −2.
Já o conjunto B = {x ∈ ℤ | −6 < x < −4} = {−5} é um conjunto unitário.
OBSERVAÇÃO 1.5:
Dado qualquer conjunto A, sempre vale que Ø ⊂ A.
Neste vídeo o professor Sandro Davison apresentará outros exemplos
desses conceitos matemáticos. Vamos assistir!
Neste módulo, você aprendeu quatro definições básicas da Matemática
acerca dos conjuntos, especificamente a linguagem dos conjuntos. Sem
esse conhecimento, não seria possível avançarmos para o conteúdo que
nos aguarda nos módulos seguintes.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE OS CONJUNTOS A = { X ∈ ℤ| 5X + 4 < 3X +
8}, B = {X ∈ ℕ| 2X − 5 < X − 4} E C = {X ∈ ℤ|−2 ≤ X < 2}. 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA INCORRETA:
A) A ⊃ C.
B) B é um conjunto unitário.
C) B ⊂ A.
D) C ⊅ B.
2. SEJAM A, B, C E D CONJUNTOS NÃO VAZIOS. ANALISE
O DIAGRAMA A SEGUIR:
PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) A ⊂ C e D ⊃ B.
B) B ⊃ C e D ⊄ A.
C) C ⊃ D e B ⊂ A.
D) D ⊄ A e C ⊅ B.
GABARITO
1. Considere os conjuntos A = { x ∈ ℤ| 5x + 4 < 3x + 8}, B = {x ∈ ℕ| 2x −
5 < x − 4} e C = {x ∈ ℤ|−2 ≤ x < 2}. 
 
Assinale a alternativa incorreta:
A alternativa "D " está correta.
 
Vamos escrever os conjuntos de maneira explícita para podermos avaliar as
alternativas.
Para x ser um elemento de A, ele deve satisfazer as seguintes
condições:
x ∈ ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}.
5x + 4 < 3x + 8 ⇒ 5x − 3x < 8 − 4 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2.
Logo, A = {…,−1, 0, 1, 2}.
Para x ser um elemento de B, ele deve satisfazer as seguintes
condições:
x ∈ ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.
2x − 5 < x − 4 ⇒ 2x − x < −4 + 5 ⇒ x < 1.
Logo, B = {0}.
(a) E o conjunto C = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 2} = {−2, −1, 0, 1}.
(a): Como podemos ver, C = {−2, −1, 0, 1} ⊂ A = {…,−1, 0, 1, 2}. Logo,
C ⊂ A é o mesmo que A ⊃ C. Portanto, a letra (a) está correta.
(b): Vimos no segundo item, B = {0}. Logo, B é um conjunto unitário, e
a letra (b) está correta.
(c): Claramente, B = {0} ⊂ A = {…,−1, 0, 1, 2}. Logo, a letra (c)
também está correta.
(d): Note que B = {0} ⊂ C = {−2, −1, 0, 1}. Logo, vale que B ⊂ C e que
C ⊃ B.Portanto, a letra (d) é a alternativa incorreta.
2. Sejam A, B, C e D conjuntos não vazios. Analise o diagrama a
seguir:
Podemos afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
Note que em cada alternativa temos duas opções para analisar.
a) Pelo diagrama, podemos perceber que vale A ⊂ C, mas a afirmação D⊃B
é falsa. Logo, esta alternativa está incorreta.
b) Aqui, temos que a afirmação D⊄A é verdadeira, mas a afirmação B ⊃ C
(B contém C) é falsa. O correto seria C ⊃ B ou B ⊂ C. Então, esta
alternativa está incorreta.
c) Ambas as afirmações são verdadeiras: C ⊃ D e B ⊂ A. Portanto, esta é
a alternativa correta.
d) A afirmação D⊄A é verdadeira, mas C ⊅ B é falsa, pois B é um
subconjunto de C. Logo, vale que C ⊃ B ou B ⊂ C. Logo, essa alternativa
está incorreta.
MÓDULO 2
 Identificar as operações realizadas entre os conjuntos
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Vimos, no módulo anterior, as definições que caracterizaram a linguagem
dos conjuntos. Agora partiremos para o segundo passo de nosso estudo: as
operações entre conjuntos. Utilizaremos as representações vistas
anteriormente para resolver essas operações, identificando algumas de
suas propriedades para reconhecer geometricamente quais operações
foram realizadas.
Seguiremos nosso mesmo modelo de apresentação do conteúdo: definição
e exemplificação.
DEFINIÇÃO 2.1
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Definimos:
a) A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que pertencem a A ou a B, que representamos por:
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
b) A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que são comuns a A e a B simultaneamente, ou seja, é o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também pertencem
a B. Esse conjunto é representado por:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
c) A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Esse
conjunto é representado por:
A−B= {x | x ∈ A 𝐞 x ∉ B}.
No caso particular, onde B ⊂ A, a diferença A − B chama-se complementar
de B em A e escrevemos:
 = A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}.
d) O produto cartesiano A × B é o conjunto formado por todos os pares
ordenados da forma (x,y), onde x ∈ A e y ∈ B. Esse conjunto é
representado por:
A × B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}.
Vejamos alguns exemplos para entendermos tais conceitos.
EXEMPLO 2.1
Considere os conjuntos A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}. Vamos calcular:
A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, A × B e B × A
SOLUÇÃO
Na união, tomamos todos os elementos que aparecem em cada
conjunto. Logo,
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} = {−1, 0, 1, 2, 3}.
Note que B ∪ A = {x | x ∈ B ou x ∈ A} = {−1, 0, 1, 2, 3} = A ∪ B.
Como veremos posteriormente, sempre vale A ∪ B = B ∪ A.
Na interseção, tomamos apenas os elementos em comum. Portanto,
javascript:void(0)
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} = {0, 3}
Note que B ∩ A = {x | x ∈ B e x ∈ A} = {0, 3} = A ∩ B
Como veremos posteriormente, sempre vale A ∩ B = B ∩ A.
Na diferença, tomamos apenas os elementos do primeiro conjunto
que não estão no segundo conjunto. Assim:
A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B} = {1}
B − A = {x | x ∈ B e x ∉ A} = {−1, 2}
Note que A − B ≠ B − A, ou seja, nem sempre vale a igualdade.
No produto cartesiano, tomamos todos os pares ordenados, sendo
que a primeira coordenada pertence ao primeiro conjunto (conjunto da
esquerda) e a segunda coordenada pertence ao segundo conjunto
(conjunto da direta). Vejamos:
Como A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}, então:
A × B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} = 
= {(0,−1), (0,0), (0, 2), (0,3), (1,−1), (1,0), (1, 2), (1,3), (3,−1), (3,0), (3, 2),
(3,3)}.
Enquanto
B × A = {(x,y) | x ∈ B e y ∈ A} = 
= {(−1,0), (−1,1), (−1,3), (0,0), (0,1), (0,3), (2,0), (2,1), (2,3), (3,0), (3,1),
(3,3),}.
Note que A × B ≠ B × A, ou seja, nem sempre vale a igualdade.
Vejamos mais um exemplo envolvendo essas operações com três conjuntos
envolvidos.
EXEMPLO 2.2
Considere os conjuntos A = {x ∈ ℤ | x ≤ 4}, B = {x ∈ ℤ | x > −2} e C = {x ∈ ℕ |
x < 7}. Calcule as seguintes operações:
A − (B ∩ C), (A ∩ B) − C, (A ∪ C ) ∩ B, (B − A) ∪ C.
SOLUÇÃO
Primeiramente, vamos explicitar os conjuntos para facilitar nossas
operações:
A = {x ∈ ℤ | x ≤ 4} = {…−3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
B = {x ∈ ℤ | x > −2} = {−1, 0, 1, 2, …}.
C = {x ∈ ℕ | x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Agora vamos realizar as operações desejadas.
Para solucionar A − (B ∩ C), primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
B ∩ C e após A − (B∩C).
Observando os conjuntos dados, temos que
B ∩ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = C. (Note que C ⊂ B).
Logo,
A − (B ∩ C) = {…, −3, −2, −1}.
javascript:void(0)
Para solucionar (A ∩ B) − C, primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
A ∩ B e após (A ∩ B) − C.
Observando os conjuntos dados, temos que
A ∩ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Logo,
(A ∩ B) − C = {−1}.
Para solucionar (A ∪ C) ∩ B, primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
A ∪ C e após (A ∪ C) ∩ B.
Observando os conjuntos dados, temos que
A ∪ C = {…,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Logo,
(A ∪ C) ∩ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Para solucionar (B − A) ∪ C, primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
B − A e após (B − A) ∪ C.
Observando os conjuntos dados, temos que
B − A = {5, 6, 7, …}.
Logo,
(B − A) ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}.
Note que as operações anteriores foram realizadas utilizando a forma
explícita dos elementos de cada conjunto envolvido. Mas, dependendo
dos conjuntosenvolvidos, essa representação pode não ser conveniente.
Assim, vamos analisar agora outra forma de trabalhar com esses conjuntos,
utilizando figuras no diagrama de Venn.
OBSERVAÇÃO 2.1:
Geometricamente, dados dois conjuntos A e B, podemos representar a
união, a interseção e a diferença pelos diagramas abaixo:
No caso particular em que B ⊂ A, a diferença A − B = é representada
por:
Quando temos três ou mais conjuntos envolvidos, nossa representação
geométrica fica similar ao que realizaremos no exemplo a seguir.
Veja o exemplo no vídeo a seguir:
Nos exemplos, desenvolvemos várias operações entre os conjuntos, mas
existem muitas outras que podem ser realizadas, conforme veremos
posteriormente. Agora, vamos listar algumas das principais propriedades
que envolvem as operações entre conjuntos.
PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS
PROPRIEDADES DA UNIÃO
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. A ∪ Ø = A.
2. A ∪ A = A.
3. A ∪ B = B ∪ A, ou seja, a operação união é comutativa.
4. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ou seja, a operação união é associativa.
5. A ⊂ B e C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂(B ∪ D).
6. A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A.
PROPRIEDADES DA INTERSEÇÃO
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. A ∩ Ø = Ø.
2. A ∩ A = A.
3. A ∩ B = B ∩ A, ou seja, a operação interseção é comutativa.
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ou seja, a operação interseção é associativa.
5. A ⊂ B e C ⊂ D ⇒ (A ∩ C) ⊂(B ∩ D).
6. A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B.
PROPRIEDADES DA DIFERENÇA
Considere os conjuntos A, B e X tais que A, B ⊂ X. Temos:
1. A − Ø = A.
2. A − A = Ø.
3. A − B = Ø ⇔ A ⊂ B.
4. A − B = A − (A ∩ B).
5. A ⊂ B ⇔ ⊂ .
6. = ∩ .
7. = ∪ .
OBSERVAÇÃO 2.2:
Você deve se lembrar que essas propriedades, como tantas outras
afirmações no campo da Matemática, não são meras determinações de
algum cientista matemático. Todas as propriedades podem ser
provadas algebricamente.
No entanto, por conta do objetivo de nosso módulo, mostraremos
geometricamente a validade de algumas das propriedades
apresentadas.
Vejamos a propriedade 5 da união e a propriedade 5 da
interseção: em ambas, temos que A ⊂ B e C ⊂ D. Isso pode ser
representado geometricamente na seguinte figura:
Assim, temos que:
Isso nos mostra que (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D).
E o diagrama a seguir nos mostra que (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D).
A propriedade 4 da diferença pode ser vista da seguinte maneira:
representando os conjuntos A e B pelo diagrama, podemos
observar que:
Para a propriedade 5 da diferença, temos que A, B ⊂ X e que A ⊂ B.
Isso pode ser representado por:
Assim, temos que:
Logo, nos mostra que ⊂ .
Com essas propriedades, podemos explorar outros conceitos
envolvendo conjuntos, como, por exemplo, a quantidade de elementos
que um conjunto possui.
 SAIBA MAIS
Se você quiser ver as demonstrações dessas propriedades, confira o
capítulo 1 do livro Curso de Análise v.1 (2007), de Elon Lages Lima.
DEFINIÇÃO 2.2
Seja A um conjunto finito qualquer (ou seja, um conjunto que possui
uma quantidade finita de elementos), a quantidade de elementos que o
conjunto A possui é denotada por:
n(A).
Em algumas bibliografias, o número de elementos de um conjunto A é
denotado por #A.
Antes de vermos o exemplo que nos ajudará a compreender esse
conceito, queremos levantar dois questionamentos, os quais serão
respondidos mais à frente:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
1. Será que vale n(A ∪ B) = n(A) + n(B)?
2. Será que vale n(A−B) = n(A) − n(B)?
Vejamos agora um exemplo para nos ajudar a entender o conceito de
n(A) e a responder nosso questionamento.
EXEMPLO 2.3
Considere os conjuntos A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1,1, 3}. Calcule:
n(A), n(B), n(A ∪ B), n(A ∩ B), n(A − B) e n(B − A).
SOLUÇÃO
Note que:
n(A) = 4, pois o conjunto A possui 4 elementos.
javascript:void(0)
n(B) = 3, pois o conjunto B possui 3 elementos.
Para responder aos demais questionamentos, vamos, primeiramente,
determinar o que são os conjuntos:
A ∪ B, A ∩ B, A − B e B − A.
Sendo A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1, 1, 3}, então:
A ∪ B = {−2, −1, 1, 3, 4}, logo, n(A ∪ B) = 5.
A ∩ B = {1, 3}, logo, n(A ∩ B) = 2.
A − B = {−2, 4}, logo, n(A − B) = 2.
B − A = {−1}, logo, n(B − A) = 1.
Então, você já pode responder aos nossos questionamentos?
Relembrando:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
1. Será que vale n(A ∪ B) = n(A) + n(B)?
2. Será que vale n(A − B) = n(A) − n(B)?
SOLUÇÃO
OBSERVAÇÃO 2.3
javascript:void(0)
Utilizando o Exemplo 2.3, podemos perceber que:
n(A ∪ B) ≠ n(A) + n(B) e n(A−B) ≠ n(A) − n(B).
Portanto, as perguntas 1 e 2 realizadas anteriormente têm resposta
negativa, ou seja, nem sempre valem as igualdades apresentadas nos
questionamentos.
PROPRIEDADES DE N(A):
Utilizando as propriedades das operações vistas anteriormente, vamos
apresentar algumas das principais propriedades para a quantidade de
elementos de um conjunto.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então, valem as seguintes
propriedades:
1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
2. n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B).
3. n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B).
4. Se B ⊂ A, então n( ) = n(A − B)= n(A) − n(B). 
OBSERVAÇÃO 2.4:
Para entendermos essas propriedades, vamos relembrar os diagramas
vistos na Observação 2.1 que representam as operações entre os
conjuntos A e B :
A propriedade n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) decorre do fato
que, quando fazemos n(A) + n(B), a quantidade de elementos n(A
∩ B) da interseção é contada duas vezes (uma vez em n(A) e
outra em n(B)).
A propriedade n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B) decore da propriedade 4
da diferença de conjuntos, pois A − B = A − (A ∩ B).
A propriedade n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B) também decore da
propriedade 4 da diferença de conjuntos, pois B − A = B − (A ∩ B).
A Propriedade 4 é dada por: se B ⊂ A, então n( ) = n(A − B) =
n(A) − n(B).
E pode ser interpretada pelo seguinte diagrama:
Vejamos agora alguns exemplos envolvendo essas propriedades.
OBSERVAÇÃO 2.6
A operação de produto cartesiano tem mais aplicabilidade geométrica
quando trabalhamos com produto cartesiano entre intervalos da reta.
Isso será visto com mais detalhes no próximo módulo.
Encerramos mais um módulo, esperando que você tenha percebido
como os conteúdos são encadeados e como cada novo aprendizado
dá suporte àquele que vem em seguida.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (UFSM-RS) DADOS OS CONJUNTOS A={X ∈ ℕ| X É
ÍMPAR}, B = {X ∈ ℤ | −2 < X ≤ 9} E C = {X ∈ ℤ | X ≥ 5}, O
PRODUTO DOS ELEMENTOS QUE FORMAM O CONJUNTO
(A ∩ B) − C É:
A) 1
B) 3
C) 15
D) 35
2. DADOS OS CONJUNTOS A, B E C NÃO VAZIOS,
CONSIDERE O DIAGRAMA:
A PARTE HACHURADA PODE SER REPRESENTADA POR:
A) (A ∩ C) − B.
B) (A − B) ∪ C.
C) (A ∪ C) − B.
D) A ∪ (C − B).
GABARITO
1. (UFSM-RS) Dados os conjuntos A={x ∈ ℕ| x é ímpar}, B = {x ∈ ℤ | −2
< x ≤ 9} e C = {x ∈ ℤ | x ≥ 5}, o produto dos elementos que formam o
conjunto (A ∩ B) − C é:
A alternativa "B " está correta.
 
Inicialmente, vamos colocar os conjuntos de maneira explícita para
podermos manuseá-los mais facilmente:
A = {x ∈ ℕ| x é ímpar} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}.
B = {x ∈ ℤ | −2 < x ≤ 9} = {−1, 0, 1, 2,…,9}.
C = {x ∈ ℤ | x ≥ 5} = {5, 6, 7, 8,…}.
Para descobrir (A ∩ B) − C, primeiro resolvemos os parênteses, ou
seja:
A ∩ B = {1, 3, 5, 7, 9}.
Agora fazemos (A ∩ B) − C = {1, 3, 5, 7, 9} − {5, 6, 7, 8,…} = {1, 3}.
Portanto, o produto dos elementos de (A ∩ B) − C = {1, 3} é 1 × 3 = 3.
2. Dados os conjuntos A, B e C não vazios, considere o diagrama:
A parte hachurada pode ser representada por:
A alternativa "C " está correta.
 
Vamos verificar as alternativas para identificar a correta.
A) Esta não é a alternativa correta, pois a operação (A ∩ C) - B é
representada por:
B) Esta não é a alternativa correta, pois a operação (A − B) ∪ C é
representada por:
C) Esta é a alternativa correta, pois a operação (A ∪ C) − B é
representada por:
D) Esta não é a alternativa correta, pois a operação A ∪ (C − B) é
representada por:
MÓDULO 3
 Resolver operações entre intervalos da reta
OPERAÇÕES COM OS
INTERVALOS DA RETA REALNeste módulo, trabalharemos exclusivamente com operações
envolvendo os intervalos da reta. Veremos que, para esses conjuntos
particulares, as representações geométricas na reta real são a melhor
maneira de desenvolver as operações. Lembramos a você que
insistiremos em manter a estrutura de definição e exemplos, por
acreditarmos que ela facilita a compreensão dos conceitos
matemáticos.
DEFINIÇÃO 3.1
Sejam a, b ∈ ℝ. Os intervalos são tipos especiais de subconjuntos dos
números reais que são definidos por:
Intervalo fechado: [a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Intervalo fechado à esquerda: [a,b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
Intervalo fechado à direita: (a,b] = {x ∈ ℝ | a<x ≤ b}
Intervalo aberto: (a,b)={x ∈ ℝ | a < x < b}
Semirreta direita fechada de origem a: [a, +∞) = {x ∈ ℝ | a ≤ x}
Semirreta direita aberta de origem a: (a, +∞) = {x ∈ ℝ | a < x}
Semirreta esquerda fechada de origem b: (−∞,b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}
Semirreta esquerda aberta de origem b: (−∞,b) = {x ∈ ℝ | x < b}
Reta real inteira: (−∞,+∞) = ℝ
OBSERVAÇÃO 3.1
Note que os termos fechado e aberto na definição significam,
respectivamente, que o extremo do intervalo pertence ou não pertence
ao intervalo considerado.
O colchete representa que o extremo pertence ao intervalo, enquanto
os parênteses representam que o extremo não pertence ao intervalo.
Desse modo, para fazer operações entre intervalos da reta, é essencial
tomarmos o cuidado de destacar quando o extremo pertence ou não
pertence ao intervalo.
REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS
NA RETA
Agora veremos como representar geometricamente cada um dos
intervalos apresentados na Definição 3.1. Como a grande diferença
situa-se no(s) extremo(s) do intervalo, utilizaremos:
Bolinhas fechadas no extremo, quando ele pertence ao intervalo;
Bolinhas abertas no extremo, quando ele não pertence ao
intervalo.
Assim, a representação de cada intervalo será:
A seguir, apresentaremos vários exemplos de operações realizadas
entre intervalos.
EXEMPLO 3.1
Considere os intervalos A = [−2,3), B = (−1,4), C = (−∞, 2] e D = [−3,1).
Vamos calcular:
A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, A ∩ C, C − D, D − C.
SOLUÇÃO
A resolução dessas operações ocorre do seguinte modo:
javascript:void(0)
Representamos geometricamente os intervalos envolvidos na
operação um abaixo do outro (colocando os extremos do intervalo
seguindo a ordem crescente da reta, ou seja, crescimento da esquerda
para a direita) e abaixo da representação desses dois intervalos
colocamos uma terceira reta real para marcar o resultado da operação.
Vejamos caso a caso.
A ∪ B: como a união é formada utilizando todos os elementos
dos conjuntos, temos a seguinte representação:
Logo, A ∪ B = [−2,4).
A ∩ B: como a interseção é formada apenas pelos elementos
comuns aos dois conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas em -1 e em 3 são abertas, pois −1 ∉ B, 3 ∉ A,
portanto, −1 e 3 ∉ A ∩ B. Logo, A ∩ B = (−1,3).
A − B: vamos considerar apenas os elementos que estão em A,
mas que não pertencem a B. Temos a seguinte representação:
Note que em A − B, a bolinha em -1 é fechada, pois −1 ∈ A, mas −1 ∉ B.
Portanto, −1 ∈ A − B. Logo, A − B = [−2,−1].
B - A: vamos considerar apenas os elementos que estão em B,
mas que não pertencem a A. Temos a seguinte representação:
Note que em B − A, a bolinha em 3 é fechada, pois 3 ∉ A, mas 3 ∈ B.
Portanto, 3 ∈ B − A. Logo, B − A = [3,4).
A ∩ C: como a interseção é formada apenas pelos elementos
comuns aos dois conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas são fechadas em -2 e 2, pois −2, 2 ∈ A e −2, 2 ∈ C.
Portanto, −2 e 2 ∈ A ∩ C. Logo, A ∩ C = [−2, 2].
C − D: vamos considerar apenas os elementos que estão em C,
mas que não pertencem a D. Temos a seguinte representação:
Note que em C − D temos duas partes onde a bolinha está aberta em
-3, pois −3 ∈ C e −3 ∈ D.
Logo, −3 ∉ C − D. A bolinha em 1 fica fechada, pois 1 ∈ C e 1 ∉ D.
Portanto, 1 ∈ C − D. Como C − D ficou dividido em duas partes,
escrevemos C − D como a união das duas partes:
C − D = (−∞,−3) ∪ [1,2].
D − C: vamos considerar apenas os elementos que estão em D,
mas que não pertencem a C. Observe que, nesse caso, temos D ⊂
C. Logo, todos os elementos de D também estão em C, ou seja,
não existem elementos que estão em D, mas que não pertencem
a C. Portanto,
D − C = { } (conjunto vazio).
Outra forma de ver que D − C = { } é utilizando a propriedade da
diferença vista no módulo 2: D − C = { } ⇔ D ⊂ C
OBSERVAÇÃO 3.2
Quando existem mais do que dois conjuntos envolvidos em
operações, analisamos as operações em etapas de dois a dois, sempre
trabalhando inicialmente de dentro dos parênteses para fora, como
mostraremos no próximo exemplo.
EXEMPLO 3.2
Vamos considerar os mesmos intervalos do exemplo 3.1, ou seja,
A = [−2,3), B = (−1,4), C = (−∞, 2] e D = [−3,1).
Agora calcularemos as seguintes operações entre esses conjuntos:
A − (A ∩ B), (A ∪ B) − (A ∩ B), D − (C ∩ A), (D − C) ∩ A
Para resolver A − (A ∩ B), primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
A ∩ B e após A − (A ∩ B) .
Como já vimos no exemplo 3.1, sabemos que:
A ∩ B = (−1,3).
Assim, podemos realizar a operação desejada, A − (A ∩ B), pela
seguinte figura:
Note que a bolinha em -1 é fechada, pois −1 ∈ A, mas −1 ∉ A ∩ B.
Portanto, 1 ∈ A − (A ∩ B). Logo, A − (A ∩ B) = [−2,−1].
No exemplo 3.1, vimos que A − B = [−2,−1], ou seja, A − B = [−2,−1] = A
− (A ∩ B), conforme já havíamos visto nas propriedades da diferença
no módulo 2.
Para resolver (A ∪ B) − (A ∩ B), primeiro resolvemos as partes
entre parênteses separadamente, ou seja:
A ∪ B e após A ∩ B.
Como já fizemos essas operações no exemplo 3.1, sabemos que:
A ∪ B = [−2,4) e A ∩ B = (−1,3).
Agora podemos realizar a operação desejada, (A ∪ B) − (A ∩ B), pela
seguinte figura:
Note que, na última reta, -1 e 3 estão com bolinha fechada, pois −1, 3 ∈
A ∪ B, mas −1, 3 ∉ A ∩ B. Logo, (A ∪ B)−(A ∩ B) = [−2,−1] ∪ [3,4)
Para resolver D − (C ∩ A), primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
C ∩ A e após D − (C ∩ A).
Pelo Exemplo 3.1, sabemos que A ∩ C = [−2, 2]. Assim, como vimos no
módulo 2, temos que:
C ∩ A = A ∩ C = [−2, 2]
Agora podemos realizar a operação desejada, D − (C ∩ A), da seguinte
forma:
Note que, na última reta, -2 está com bolinha aberta, pois −2 ∈ D e −2 ∈
A ∩ C, então:
−2 ∉ D − (A ∩ C).
Logo,
D − (C ∩ A) = [−3,−2).
Para resolver (D − C) ∩ A, primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
D − C e após (D − C) ∩ A.
Pelo Exemplo 3.1, sabemos que D − C = { }. Logo, como vimos no
módulo 2, temos que:
(D − C) ∩ A = { } ∩ A ={ }.
Logo, (D − C) ∩ A = { } é vazio.
OBSERVAÇÃO 3.3
O exemplo anterior mostra claramente que:
D − (C ∩ A) = [−3,−2) ≠ (D − C) ∩ A = { }.
Perceba que é muito importante respeitar e distinguir a ordem de
resolução das operações.
Veja os exemplos 3.3 no vídeo a seguir:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DADOS OS INTERVALOS A = (−5, 2], B = [−6, 4], C = (−∞,
2), PODEMOS AFIRMAR QUE A ∪(B ∩ C) É DADO POR:
A) [-6,2]
B) [-6,2)
C) (−∞, 4]
D) (−∞, 4)
2. DADOS OS INTERVALOS A = [−1, 3) B = (1, 5) E C = (1, 3),
QUAL DOS ITENS ABAIXO REPRESENTA O CONJUNTO (A
− B) × C ?
A)
A)
B)
B)
C)
C)
D)
D)
GABARITO
1. Dados os intervalos A = (−5, 2], B = [−6, 4], C = (−∞, 2), podemos
afirmar que A ∪(B ∩ C) é dado por:
A alternativa "A " está correta.
 
Para resolver A ∪ (B ∩ C) , primeiramente faremos a parte entre
parênteses, ou seja:
B∩C e após A ∪ (B ∩ C).
Para resolver B ∩ C, operamos utilizando a figura abaixo:
Note que, na última reta, o 2 aparece com bolinha aberta, pois 2 ∈ B,
mas 2 ∉ C. Logo, 2 ∉ B ∩ C e temos que:
B ∩ C = [−6, 2).
Agora podemos calcular A∪(B∩C) utilizando a representação abaixo:
Portanto, A ∪ (B ∩ C) = [−6, 2]. Resposta: (a).
2. Dados os intervalos A = [−1, 3) B = (1, 5) e C = (1, 3), qual dos itens
abaixo representa o conjunto (A − B) × C ?
A alternativa "C " está correta.
 
Antesde buscar a representação geométrica do conjunto (A − B) × C,
vamos determinar o conjunto A − B para então procurarmos a melhor
representação de (A − B) × C.
Para encontrarmos A−B, basta realizarmos a seguinte operação com
os intervalos:
Note que, na última reta, 1 aparece com bolinha fechada
, pois 1 ∈ A, mas 1 ∉ B. Logo, 1 ∈ A − B. Portanto:
A − B = [−1, 1].
Logo, (A − B) × C = [−1, 1] × (1, 3) é representado geometricamente por:
Lembramos que, conforme vimos na Observação 3.4, no vídeo do
módulo, a bolinha do canto é aberta quando este não pertence ao
produto cartesiano como, por exemplo, os cantos:
(1,1) e (−1,1) ∉ (A − B) × C, pois 1 ∉ C, e 
(−1,3) e (1,3) ∉ (A − B) × C, pois 3 ∉ C.
,Resposta: (c).
MÓDULO 4
 Resolver problemas do cotidiano utilizando conjuntos
APLICAÇÕES DA TEORIA DE
CONJUNTOS
Chegamos ao nosso último módulo. Como você sabe, nosso objetivo é
a aplicabilidade dos conceitos aprendidos anteriormente, seja no
âmbito da resolução de problemas cotidianos, ou na solução de
questões geralmente cobradas em concursos públicos.
Aqui você perceberá, portanto, a falta do item definição, já que vamos
recuperar os conceitos apresentados nos módulos anteriores mais
alguns exemplos para ajudá-lo a seguir em frente nesse processo de
compreensão dos conjuntos matemáticos.
EXEMPLO 4.1 – ADAPTADO DA UNESP
Em um estudo de grupos sanguíneos humanos, realizado com 1000
pessoas, constatou-se que 470 tinham o antígeno A, 230 tinham o
antígeno B e 450 não tinham nenhum dos dois antígenos. Determine o
número de pessoas que possuem os antígenos A e B
simultaneamente.
SOLUÇÃO
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando
de:
a) X o conjunto de todas as pessoas do estudo;
b) A o conjunto das pessoas com antígeno A;
c) B o conjunto das pessoas com antígeno B;
javascript:void(0)
Podemos formar a seguinte figura:
Pelo enunciado, temos que:
d) X possui 1000 pessoas, A possui 470 pessoas, B possui 230
pessoas;
e) Dentro do conjunto X, mas fora de ambos os conjuntos A e B
existem 450 pessoas.
Completando a figura com essas informações, temos:
Precisamos encontrar a quantidade de pessoas que possuem os
antígenos A e B, simultaneamente, ou seja:
f) Queremos saber a quantidade y de pessoas presentes no conjunto A
∩ B.
Colocando y na parte correspondente a A ∩ B e utilizando a figura
anterior, podemos formar o seguinte diagrama:
Note que o conjunto A está dividido em 2 partes. A parte
correspondente à interseção A ∩ B possui y pessoas. Como A
tem 470 pessoas, então a outra parte do conjunto A possuirá
470− y pessoas, fornecendo a figura a seguir
Da mesma forma, o conjunto B está dividido em 2 partes. A parte
correspondente à interseção A ∩ B possui y pessoas. Como B
tem 230 pessoas, então a outra parte do conjunto B possuirá 230
− y pessoas, fornecendo a seguinte figura:
Assim, podemos ver que o conjunto X foi dividido em quatro partes:
Uma parte fora dos conjuntos A, B;
Duas partes dentro do conjunto A;
Mais uma parte dentro do conjunto B.
Logo, o total de pessoas do conjunto X (ou seja, 1000) é obtido
somando a quantidade de pessoas (números na cor preta) dessas
quatro partes, por meio do seguinte cálculo:
450 + (470 − y) + y + (230−y) = 1000 ⇒ 
920 − y + y + 230 − y = 1000 ⇒ 920 + 230 − y = 1000 ⇒ 
1150 − y = 1000 ⇒ −y = 1000 − 1150 ⇒ − y = −150 ⇒ 
y = 150.
Portanto, y = 150 é a quantidade de pessoas desse grupo com os
antígenos 𝐀 e 𝐁 simultaneamente.
EXEMPLO 4.2
Em uma escola, foram oferecidas aulas de reforço para Física e
Matemática. Feito um levantamento em uma turma com 48 alunos,
obteve-se que 22 alunos querem reforço em Matemática, 28 querem
reforço em Física e 10 querem reforço em ambas as matérias. Para
essa turma, determine:
a) Quantos alunos querem reforço apenas em Matemática?
b) Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
c) Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
d) Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
e) Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
SOLUÇÃO
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando
de:
X o conjunto de todos os alunos dessa turma;
F o conjunto dos alunos que querem reforço em Física;
M o conjunto dos alunos que querem reforço em Matemática.
Podemos formar a seguinte figura:
javascript:void(0)
Pelo enunciado, temos que:
X possui 48 alunos, M possui 22 alunos, F possui 28 alunos e
M∩F possui 10 alunos.
Completando a figura com essas informações, temos:
Assim como vimos no exemplo 4.1, podemos perceber que os
conjuntos M e F foram divididos em duas partes e o conjunto X foi
dividido em quatro partes. Utilizando os valores que temos na figura
anterior, podemos completar os conjuntos M e F da seguinte maneira:
Agora, vamos resolver os questionamentos.
a) Quantos alunos querem reforço apenas em Matemática?
Resposta: 12 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver
que, dentre os 22 alunos que querem reforço de Matemática, somente
12 querem reforço apenas em Matemática.
b) Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
Resposta: 18 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver
que, dentre os 28 alunos que querem reforço de Física, apenas 18
querem reforço apenas em Física.
c) Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
Resposta: Os alunos que querem reforço em pelo menos uma
disciplina formam exatamente o conjunto M∪F. Pela figura, essa união
possui:
12 + 10 + 18 = 40 alunos.
d) Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
Resposta: Os alunos que não querem reforço em nenhuma matéria são
exatamente aqueles que estão fora de M∪F. Como X tem 48 alunos e
em M∪F tem 40 alunos (como vimos na letra (c)), então a quantidade 𝐲
que está fora de M∪F é:
y = 48 − 40 = 8 alunos.
e) Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
Resposta: Dizer que o aluno quer reforço em no máximo uma matéria
significa que o aluno: ou quer reforço em apenas uma matéria, ou não
quer reforço em nenhuma matéria.
Analisando a figura, destacamos os alunos que querem reforço em
apenas uma matéria e os que não querem reforço em nenhuma
matéria.
Assim, a quantidade de alunos que querem reforço em, no máximo,
uma matéria, é dada por:
12 + 18 + 8 = 38 alunos.
Outra forma de analisar esse caso é:
Os alunos que querem reforço em, no máximo, uma matéria,
correspondem ao total de alunos da turma (X=48), exceto aqueles
que querem reforço nas duas matérias (M∩F= 10):
48 − 10 = 38 alunos.
Nos exemplos anteriores, trabalhamos casos com apenas dois
conjuntos dentro do conjunto principal. Vamos analisar agora
problemas com três ou mais conjuntos dentro do conjunto X.
EXEMPLO 4.3
Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita
uma pesquisa de mercado, colheram-se os seguintes resultados
tabelados.
a) Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
b) Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das
marcas.
c) Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas
marcas.
Determine o número de pessoas consultadas.
SOLUÇÃO
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando
de:
X o conjunto de todas as pessoas consultadas.
javascript:void(0)
A, B e C os conjuntos das pessoas que consomem as marcas A,
B e C, respectivamente.
Assim, podemos formar a figura a seguir:
Observe que o conjunto X ficou dividido em várias partes, e os
conjuntos A, B e C estão divididos em quatro partes.
Pela tabela, temos as seguintes informações com relação ao número
de consumidores:
X = ?, A = 105, B = 200, C = 160.
A ∩ B = 25, B ∩ C = 40, A ∩ C = 25.
A ∩ B ∩ C = 5 e X−(A ∪ B ∪ C) = 120.
Para resolvermos problemas como este, vamos anotar inicialmente: a
quantidade nos conjuntos maiores (X, A, B e C), a quantidade fora da
união (X −(A ∪ B ∪ C)) e a quantidade no menor conjunto que é a
interseção dos 3 (A ∩ B ∩ C).
Assim, utilizando o primeiro e o terceiro itemacima, podemos
preencher a figura anterior da seguinte maneira:
Agora, utilizando o segundo item acima (A ∩ B = 25, B ∩ C = 40, A ∩ C
= 25), podemos completar os seguintes espaços:
Como sabemos que A = 105, B = 200, C = 160, então podemos finalizar
a figura analisando a quantidade que já está em cada conjunto e
verificando quanto falta em cada conjunto. Sendo assim, obtemos a
figura:
Agora, vamos resolver os questionamentos.
a) Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
Resposta: 100 pessoas, pois, dentre as 160 pessoas que consomem a
marca C, podemos ver na figura que 100 delas não consomem outra
marca.
b) Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das
marcas.
Fazendo uma análise semelhante à letra (a), podemos ver que:
A quantidade de pessoas que só consomem a marca A é 60.
A quantidade de pessoas que só consomem a marca B é 140.
Pela letra (a), a quantidade de pessoas que só consomem a
marca C é 100.
Resposta: Logo, a quantidade de pessoas que consomem apenas uma
das marcas é dada por:
60 + 140 + 100 = 300 pessoas.
c) Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas
marcas.
Para isso, temos que analisar a quantidade de pessoas presentes nas
interseções e em apenas dois conjuntos. Destacamos essas
quantidades na figura abaixo:
Resposta: Logo, a quantidade de pessoas que consomem exatamente
duas marcas é dada por:
20 + 20 + 35 =75 pessoas.
d) Determine o número de pessoas consultadas.
Resposta: A quantidade de pessoas consultadas é o total da soma de
todos os valores da figura, ou seja:
X = 120 + 60 + 20 + 5 + 20 + 140 + 35 + 100 = 500 pessoas.
OBSERVAÇÃO 4.1:
Quando há 4 conjuntos (A, B, C, D) contidos em um conjunto X, a
análise é similar àquela que realizamos no exemplo 4.3, porém a
análise geométrica é mais sofisticada.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FCC - 2019) UM GRUPO É FORMADO POR 410
CICLISTAS, DOS QUAIS 260 PRATICAM NATAÇÃO E 330
CORREM REGULARMENTE. SABENDO QUE 30 CICLISTAS
NÃO NADAM E NÃO CORREM REGULARMENTE, O
NÚMERO DE CICLISTAS QUE PRATICAM NATAÇÃO E
CORREM REGULARMENTE É:
A) 170
B) 150
C) 190
D) 210
2. EM UMA PESQUISA REALIZADA COM TODAS AS
PESSOAS DE UMA PEQUENA CIDADE SOBRE A LEITURA
DOS JORNAIS A, B E C, OBTEVE-SE QUE 28% DAS
PESSOAS LEEM O JORNAL A, 35% LEEM O JORNAL B,
23% LEEM O JORNAL C, 15% LEEM OS JORNAIS A E B,
8% LEEM OS JORNAIS B E C, 12% LEEM OS JORNAIS A E
C E 5% LEEM OS TRÊS JORNAIS. QUAL O PERCENTUAL
DAS PESSOAS DESSA CIDADE NÃO LEEM NENHUM DOS
JORNAIS?
A) 44%
B) 43%
C) 34%
D) 33%
GABARITO
1. (FCC - 2019) Um grupo é formado por 410 ciclistas, dos quais 260
praticam natação e 330 correm regularmente. Sabendo que 30 ciclistas
não nadam e não correm regularmente, o número de ciclistas que
praticam natação e correm regularmente é:
A alternativa "D " está correta.
 
Veja a resolução no vídeo a seguir:
2. Em uma pesquisa realizada com todas as pessoas de uma pequena
cidade sobre a leitura dos jornais A, B e C, obteve-se que 28% das
pessoas leem o jornal A, 35% leem o jornal B, 23% leem o jornal C,
15% leem os jornais A e B, 8% leem os jornais B e C, 12% leem os
jornais A e C e 5% leem os três jornais. Qual o percentual das pessoas
dessa cidade não leem nenhum dos jornais?
A alternativa "A " está correta.
 
Veja a resolução no vídeo a seguir:
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Conforme vimos ao longo deste tema, existem várias maneiras de se
trabalhar com conjuntos, sendo que o melhor método a ser utilizado
depende dos conjuntos envolvidos. As operações realizadas entre
conjuntos fornecem diversas informações de dados pertinentes, de
acordo com aquilo que se deseja saber a respeito ou de acordo com o
que se espera sobre determinadas informações.
No caso particular onde os conjuntos são intervalos da reta, as
operações entre intervalos geram novos conjuntos, mas isso é
assunto para outro momento do seu estudo matemático! Finalmente,
utilizamos todos os conceitos e todas as operações de conjuntos para
resolvermos vários problemas do cotidiano, assim como questões
comuns em concursos para diversos setores da sociedade.
REFERÊNCIAS
GIOVANNI, J. R; BONJORNO, J.R; GIOVANNI Jr., J.R. Matemática
Fundamental - Uma Nova Abordagem. Volume único. São Paulo: FTD,
2002.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA,
2011.
LIMA, E. L. Curso de análise. v.1, 12. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.
EXPLORE+
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conhecimento, especialmente a Matemática.
CONTEUDISTA
Aleksandro de Mello
 CURRÍCULO LATTES
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