01 - Grandezas, Medidas e Arredondamentos

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Física I 
Unidade 1 – Apresentação e Revisão Inicial 
Prof. Farley Correia Sardinha 
Mestre em Física 
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Ementa da Disciplina 
 Movimento em uma dimensão; 
 Movimento em duas e três dimensões; 
 As Leis de Newton; 
 Trabalho e Energia; 
 Sistemas de Partículas e Conservação do 
Momento; 
 Rotação; 
 Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido. 
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Unidade 1 
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Conteúdo Programático 
1. Grandezas Físicas e Unidades de Medida 
a) Grandezas Físicas e Análise Dimensional 
b) Sistema Internacional de Unidades 
c) Conversão de Unidades de Medida 
d) Notação Científica 
e) Ordens de grandeza 
f) Algarismos significativos e 
Arredondamentos 
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Conteúdo Programático 
2.Movimento Unidimensional 
a) Introdução ao Estudo da Cinemática 
b) Movimento, posição, deslocamento e 
rapidez (velocidade escalar) 
c) Rapidez Média e Rapidez Instantânea 
d) Aceleração Escalar Média e Instantânea 
e) Relações de Derivação entre as Grandezas 
da Cinemática 
f) Movimento Vertical 
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Conteúdo Programático 
3. Movimento Bidimensional e 
Tridimensional 
a) Vetores e Álgebra Vetorial 
b) Vetor posição e vetor deslocamento 
c) Vetor velocidade média e instantânea 
d) Vetor aceleração média e instantânea 
e) Movimento relativo 
f) Movimento de projéteis 
g) Movimento Circular 
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Conteúdo Programático 
4. As Leis de Newton 
a) Primeira lei de Newton 
b) Segunda lei de Newton 
c) Terceira lei de Newton 
d) Atrito e viscosidade 
e) Força Centrípeta e Movimento Circular 
f) Referenciais não inerciais 
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Conteúdo Programático 
5. Trabalho e Energia 
a) Trabalho, Energia Cinética e Energia Potencial 
b) Teorema Trabalho-Energia 
c) Energia Mecânica 
d) Trabalho da Força Elástica e da Força de Atrito 
e) Potência 
f) Movimento Unidimensional e Bidimensional 
com Força Variável 
g) Forças Conservativas e Dissipativas 
h) A curva de energia potencial 
i) Leis de Conservação 
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Conteúdo Programático 
6. Sistemas de partículas e Conservação do 
Momentum 
a) Centro de massa 
b) A 2ª Lei de Newton para um Sistema de Partículas 
c) Momento Linear para uma Partícula e para um 
Sistema de Partículas 
d) Conservação do Momento Linear 
e) Sistemas de Massa Variável 
f) Impulso e Momento Linear 
g) A Conservação do Momento Linear em Colisões 
h) Colisões Elásticas e Inelásticas em Uma Dimensão 
i) Colisões Elásticas em Duas Dimensões 
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Conteúdo Programático 
7. Rotações 
a) Variáveis lineares e angulares 
b) Rotação com aceleração angular constante 
c) Energia cinética de rotação 
d) Momento de Inércia 
e) Torque 
f) Segunda Lei de Newton para a rotação 
g) Trabalho e potência 
h) Teorema Trabalho-Energia Cinética 
i) Momento angular para uma ou mais partículas 
j) Momento angular para corpos rígidos 
k) Conservação do momento angular 
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Conteúdo Programático 
12. Equilíbrio Estático de Corpos Rígidos 
a) Equilíbrio de sistemas de forças em um 
plano e no espaço. 
b) Centroides e centros de gravidade. 
c) Sistemas de cargas. 
d) Cisalhamento e Torção. 
e) Flexão e Deflexão. 
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Objetivos gerais 
 Apontar a relevância da Mecânica Clássica 
como disciplina de base para um curso de 
Engenharia; 
 Capacitar para a identificação, em 
experiências cotidianas, dos conceitos da 
Mecânica Clássica nos diferentes fenômenos 
naturais e aplicações tecnológicas; 
 Levar à apropriação de tais conceitos para a 
vida profissional, utilizando-os no 
desenvolvimento de soluções dentro das 
atividades características da Engenharia. 
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Formas de Avaliação 
 1º Bimestre (2 avaliações) 
◦ Projeto = 3,0 pontos 
◦ P1 = 7,0 pontos (Sem. de Avaliações) 
 2º Bimestre (2 avaliações) 
◦ Projeto = 3,0 pontos 
◦ P2 = 7,0 pontos (Sem. de Avaliações) 
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Projetos 
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 Colocam em prática os conhecimentos 
adquiridos em aula. 
 Favorecem o desenvolvimento de 
habilidades inerentes à Engenharia. 
 Proporcionam uma avaliação diferenciada 
dos métodos tradicionais e que leva em 
conta as habilidades que vão muito além 
do meio acadêmico. 
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Proposta de Projeto 
1º Bimestre 
 Aerodeslizador (Hovercraft) 
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Proposta de Projeto 
2º Bimestre 
 Catapulta ou Trabuco (Trebuchet) 
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Bibliografia Básica 
 HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica - vol. 1, 8ª. 
ed., Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos 
Editora, 2009. 
 TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para 
cientistas e engenheiros: Mecânica, Oscilações e 
Ondas, Termodinâmica - vol. 1, 6ª ed, Rio de 
Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora, 2009. 
 NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física 
Básica: Mecânica - vol. 1, 4ª ed, São Paulo, Editora 
Edgard Blücher LTDA., 2002. 
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Bibliografia Complementar 
 SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark W.; YOUNG, Hugh D. 
Física 1: Mecânica. 12ª ed. São Paulo, Editora Pearson, 
2008. 
 SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Physics For 
Scientists And Engineers, 6th ed., Brooks Cole, 2003. 
 HEWITT, Paul G., Física Conceitual, 9° ed., Porto Alegre, 
Editora Bookman, 2002. 
 BEER, Ferdinand. P.; JOHNSTON Jr., E. Russel. Mecânica 
Vetorial para Engenheiros: Estática, 5ª ed., São Paulo, 
Makron Books & McGraw-Hill, 1994. 
 BEER, Ferdinand. P.; JOHNSTON Jr., E. Russel. Mecânica 
Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 5ª ed., São Paulo, 
Makron Books & McGraw-Hill, 1994. 
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A Mecânica Clássica 
“Meu objetivo é expor uma ciência 
muito nova que trata de um tema muito 
antigo. Talvez nada na Natureza seja 
mais antigo que o movimento...” 
Galileu Galilei 
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Unidade 1 
“Ofereço este trabalho como os princípios 
matemáticos da filosofia, pois toda a tarefa da 
filosofia parece consistir nisto – a partir dos 
fenômenos de movimento investigar as forças da 
Natureza e depois, a partir destas forças, demonstrar 
os demais fenômenos.” 
Isaac Newton 
“Partindo desses princípios ... Newton conseguir 
explicar os movimentos dos planetas, luas e 
cometas, até os mínimos detalhes, assim como 
as marés e o movimento de precessão da Terra, 
trata-se de uma realização dedutiva de 
magnificência única.” 
Albert Einstein 
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Da Physis à Física 
 Do grego “physis”= natureza. 
 Iniciou como Filosofia Natural. 
 Filósofos, através de um método intuitivo, buscavam 
explicar a natureza à sua volta. 
 Ao incorporar a experimentação e a Matemática tornou-
se a mais fundamental das Ciências Naturais. 
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A Física e o Método Científico 
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As Grandezas e suas Unidades 
de Medida 
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Unidade 1 
 A principal tarefa na coleta de dados sobre 
determinado fenômeno natural é a 
identificação e a medição das grandezas 
físicas envolvidas. 
 É importante saber identificá-las e 
determinar quais são suas características. 
 Da mesma forma, é necessário determinar 
em qual sistema de unidades serão feitas 
as medições dessas grandezas. 
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As Grandezas e suas Unidades 
de Medida 
 Uma grandeza ou quantidade é o 
conceito que descreve as relações entre 
as propriedades observadas no estudo da 
Natureza. O que é feito de duas formas: 
◦ Qualitativamente – pois para cada 
propriedade diferente pode haver (pelo menos 
em princípio) uma grandeza diferente. 
◦ Quantitativamente – pois exprime qualquer 
propriedade em forma de um binário 
VALOR+UNIDADE (de medida). 
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As Grandezas e suas Unidades 
de Medida 
Grandeza Física 
Representa uma 
propriedade de 
algum elemento da 
Natureza 
Mensura tal 
propriedade através de 
um binário 
VALOR+UNIDADE 
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As Grandezas e suas Unidades 
de Medida 
 Grandeza é tudo aquilo que envolve 
medidas. 
 Medir significa comparar 
quantitativamente uma grandeza física 
com uma unidade através de uma escala 
pré-definida. 
 Ou seja, medir uma grandeza física é 
compará-la com outra grandeza de mesma 
espécie, que é a unidade de medida. 
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As Grandezas e suas Unidades 
de Medida 
 Verifica-se, então, quantas vezes a 
unidade está contida na grandeza que está 
sendo medida. 
 Em resumo, grandeza física é tudo aquilo 
que pode ser medido e associado a um 
valor numérico e a uma unidade. 
 As grandezas podem ser classificadas em: 
◦ Fundamentais – existem por si mesmas. 
◦ Secundárias – são definidas a partir das 
fundamentais. 
 
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O Sistema Internacional de 
Unidades (SI) 
Em 1974, a 14ª Conferência Internacional de 
Pesos e Medidas definiu as sete grandezas 
fundamentais e formou o SI: 
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O Sistema Internacional de 
Unidades (SI) 
A partir dessas grandezas são definidas outras chamadas 
grandezas secundárias: 
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Unidade 1 
Grandeza Dimensão Unidade 
Densidade 
Velocidade 
Aceleração 
Força 
Trabalho 
Potência 
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Prefixos do SI 
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Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 
1024 iota Y 10-1 deci d 
1021 zeta Z 10-2 centi c 
1018 exa E 10-3 mili m 
1015 peta P 10-6 micro m 
1012 tera T 10-9 nano n 
109 giga G 10-12 pico p 
106 mega M 10-15 fento f 
103 quilo k 10-18 ato a 
102 hecto h 10-21 zepto z 
101 deca da 10-24 iocto y 
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Outros Sistemas de Unidades 
 Sistema cgs – cuja unidade fundamental 
para o comprimento é o centímetro (cm), 
para a massa é o grama (g) e para o 
tempo é o segundo (s). 
 Sistema Técnico Inglês – cuja unidade 
fundamental para o comprimento é o pé 
(ft), a massa é definida em função da 
unidade de força, libra (lb) e para o 
tempo é o segundo. 
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Outros Sistemas de Unidades 
Algumas unidades de comprimento do 
Sistema Técnico Inglês 
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Unidade 1 
Nome 
(em português) 
Nome 
(em inglês) 
Símbolo 
Equivalência 
no Sistema 
Valor no SI 
polegada inch in. - 2,54 cm 
pé foot ft 1 ft = 12 in. 30,48 cm 
jarda yard yd 1 yd = 3 ft 91,44 cm 
milha mile mi 1760 yd ~ 1609 m 
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Conversão de Unidades 
 O método mais usado é o chamado 
conversão em cadeia, no qual se multiplica 
a medida original por um fator de 
conversão (uma relação entre as unidades 
que é igual a 1). 
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Unidade 1 
1 min 60 s
1 min 60 1 ou 1
60 s 1 min
s   
     
60 s
2 min = 2 min 1 2 min 2 min = 120 s
1 min
 
    
 
Exemplo – Converta 2 minutos para segundos: 
Resp.: 
Sabendo que os fatores de conversão são: 
 
 
 
Logo: 
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Exemplos 
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Exemplos 
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Análise Dimensional 
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Unidade 1 
 A palavra dimensão pode ser utilizada em 
contextos diferentes: 
◦ Dimensão = Grau de Liberdade – quando está 
relacionada ao número de parâmetros para 
localizar um ponto no espaço. 
◦ Dimensão = Natureza Física – quando está 
relacionada às características de uma grandeza 
física. 
 Apesar de lidar com os dois conceitos, a 
análise dimensional está diretamente ligado 
ao segundo. 
 
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Análise Dimensional 
 É um método matemático para identificar a 
interação de grandezas físicas em fenômenos 
naturais, sem que se conheça a lei física 
associada a eles. 
 Sua aplicação é baseada em matemática 
aplicada, observação prática, implementação 
e avaliação de ensaios sobre o entendimento 
físico e intuitivo. 
 Além disso, é uma técnica que ajuda a 
reduzir a necessidade da memorização de 
equações, auxiliando na verificação de 
possíveis erros. 
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Análise Dimensional 
 Tem muitas aplicações, principalmente em 
Física Experimental e Engenharia, dentre as 
quais: 
◦ Investigação e otimização da aerodinâmica de 
veículos e construções. 
◦ Resistência ao fluxo e queda de pressão no fluxo 
em tubulações. 
◦ Formação de ondas e sua propagação em várias 
meios. 
◦ Difusão e transporte de calor. 
◦ Dinâmica de explosões. 
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Análise Dimensional 
 Tem muitas aplicações, principalmente em 
Física Experimental e Engenharia, dentre 
as quais: 
◦ Resistência de Materiais e testes de colisão . 
◦ Estudo dos efeitos de terremotos (por 
exemplo, para edifícios de grande altura) e 
teste de capacidade de carga de fundações. 
◦ Estudo de deslizamentos de terra e avalanches. 
◦ Fluxo de saída de canais e transporte de 
sedimentos em rios. 
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Análise Dimensional 
 Tem muitas aplicações, principalmente em 
Física Experimental e Engenharia, dentre as 
quais: 
◦ Estudo da corrente sanguínea. 
◦ Estudo do crescimento de plantas. 
 A análise dimensional desses processos 
fornece proporcionalidades úteis, requisitos 
para a calibração de modelos de teste. 
 Em qualquer caso, ela contribui para uma 
melhor compreensão dos problemas emestudo. 
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Análise Dimensional 
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Unidade 1 
 As grandezas fundamentais e suas 
dimensões: 
Grandeza Símbolo Dimensão 
Comprimento L L 
Massa m M 
Tempo t T 
Temperatura Termodinâmica q q 
Intensidade de Corrente Elétrica i I 
Quantidade de Matéria n N 
Intensidade Luminosa I0 I0 
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Análise Dimensional 
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Unidade 1 
 Algumas grandezas secundárias e suas 
dimensões: 
Grandeza Símbolo Dimensão 
Área A L2 
Volume V L3 
Velocidade v L/T 
Aceleração a L/T2 
Força F ML/T2 
Pressão p = F/A M/LT2 
Densidade r = M/V M/L3 
Energia E ML2/T2 
Potência P = E/T ML2/T3 
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Análise Dimensional 
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Unidade 1 
 Para expressar a dimensão de uma 
grandeza como a velocidade, por 
exemplo, costuma-se colocar seu símbolo 
entre colchetes: 
 
 
L
v =
T
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Análise Dimensional 
 Toda grandeza física pode ser expressa, 
matematicamente, em função de outras 
grandezas físicas, através da equação 
dimensional. 
 É comum que se adote as grandezas 
fundamentais do S.I. nas equações 
dimensionais. 
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Análise Dimensional 
 Assim, uma grandeza mecânica (X), que 
depende da massa, do comprimento e do 
tempo, tem sua equação dimensional 
escrita da seguinte forma. 
[X] = Ma. Lb. Tc 
 Onde a, b, c representam as dimensões 
geométricas das grandezas. 
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Análise Dimensional 
EXEMPLO: Determine a fórmula ou 
equação dimensional da velocidade escalar 
linear. (use os símbolos dimensionais 
fundamentais do S.I.) 
 RESOLUÇÃO: 
 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
 
 
 
ss L
v v
t t T

   
 
  1.v LT 
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Princípio da Homogeneidade 
Dimensional 
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 Em uma equação que traduz uma lei física 
as parcelas que constituem os dois 
membros da igualdade apresentam os 
mesmos símbolos dimensionais. 
 Ou seja, ambos os lados de uma equação 
devem ter as mesmas dimensões. 
 A homogeneidade de uma equação é 
critério de verificação de sua validade e 
essa verificação é chamada de análise 
dimensional. 
P
ro
f.
 F
ar
le
y
 C
o
rr
ei
a 
S
ar
d
in
h
a 
Princípio da Homogeneidade 
Dimensional 
EXEMPLO: Verifique se há homogeneidade 
na equação definida da energia potencial 
gravitacional. (EP = m.g.h) 
 
RESOLUÇÃO: 
 
1º membro → [EP] = M. L
2. T -2 
2º membro → [mgh] = M. L. T -2 = M. L2. T -2 
 
Fica assim demonstrada a homogeneidade 
dimensional da equação. 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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a 
Teorema de Bridgman 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
 Se, empiricamente, for constatado que 
uma determinada grandeza física X 
depende das grandezas A, B, C, (....), 
independentes entre si, então X pode ser 
expressa da seguinte forma: 
X = cte. Aa.Bb.Cc.(…) 
 Onde a cte é um fator puramente 
numérico, cujo valor é determinado 
mediante experiências. 
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a 
Análise Dimensional 
EXEMPLO: Numa experiência, verifica-se que o período (T) de 
oscilação de um sistema corpo-mola depende somente da massa 
(m) do corpo e da constante elástica (k) da mola. Determine a 
forma dessa dependência 
RESOLUÇÃO: Pelo Teorema de Bridgman: 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
       . . . .
a ba bT cte m k T cte m k  
     
2. .
. . 1. .
bb
a aF M LTT cte m M
x L
  
       
  2 2. . .a b b a b bT M M T M T   
0 2. .a b bM T M T 
P
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a 
Análise Dimensional 
EXEMPLO: Numa experiência, verifica-se que o período (T) de 
oscilação de um sistema corpo-mola depende somente da massa 
(m) do corpo e da constante elástica (k) da mola. Determine a 
forma dessa dependência 
RESOLUÇÃO: Ou seja: 
 
 
 
Disso vem que: 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
1
0 2
2 1 1
2
a b a
a b
b
b

     
 
    

1 1
2 2. . . .a bT cte m k T cte m k

  
.
m
T cte
k

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a 
Notação Científica 
 Trata-se de uma forma de escrever os 
valores das grandezas físicas, quando 
estes são muito pequenos ou muito 
grandes. 
 Serve para representar esses valores com 
mais clareza e concisão, ajudando também 
a identificar as ordens de grandeza 
envolvidas no fenômeno em questão. 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Notação Científica 

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Unidade 1 
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Ordem de Grandeza 
 Das muitas definições de ordem de 
grandeza, a que é mais usada em 
Engenharia e em Física é a seguinte: 
“Ordem de grandeza é a potência de 10 
mais próxima do número avaliado ou 
estimado.” 
Exemplos: 
a) 623 → 103 c) 0,0015 → 10-3 
b) 1274 → 103 d)0,00097 → 10-3 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Algarismos Significativos 
 São aqueles que possuem alguma 
importância na representação do valor de 
uma medida e indica a precisão da mesma. 
 Eles englobam os algarismos certos 
(obtidos diretamente do instrumento de 
medida) e os duvidosos (obtidos a partir de 
uma estimativa do valor). 
 Os algarismos duvidosos costumam ser o 
último de um número. 
 Além disso, qualquer zero à esquerda em um 
número não é considerado algarismo 
siginificativo. 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Regras de Arredondamento 
 As regras de arredondamento aplicam-se aos 
algarismos decimais situados na posição seguinte 
ao número de algarismos decimais que se queira 
transformar, ou seja, se tivermos um número de 3 
algarismos decimais e quisermos arredondar para 
2, aplicar-se-ão estas regras de arredondamento: 
◦ Se o algarismo decimal seguinte for menor que 5, o 
anterior não se modifica. 
◦ Se o algarismo decimal seguinte for maior que 5, o 
anterior incrementa-se em uma unidade. 
◦ Se o algarismo decimal seguinte for igual a 5,deve-se 
verificar o anterior, se ele for par não se modifica, se 
ele for impar incrementa-se uma unidade. 
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Unidade 1 
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Regras de Arredondamento 
Exemplo - Arredonde para 2 algarismos 
decimais: 
a) 12,652  12,65 
b) 12,658  12,66 
c) 12,865  12,86 
d) 12,875  12,88 
 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Regras de Arredondamento 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
 Em somas e subtrações, o resultado final 
tem a mesma quantidade de algarismos 
decimais que a parcela com menor 
número de dígitos decimais. 
Exemplo: 
90,235 + 0,47 + 8,5 = 99,205  999,21 
4,35  0,868 + 0,6 = 4,3758...  4,4 
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Regras de Arredondamento 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
 Em multiplicações, divisões e potências, o 
resultado final terá o mesmo número de 
algarismos significativos que o fator que 
possui menos algarismos significativos 
envolvido no cálculo. 
Exemplo: 
8425  22,3 = 187,8775... 188 
 OBSERVAÇÃO: 
Essa é a regra geral adotadapelos autores 
de nosso livro texto. 
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Exercícios 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Exercícios 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Exercícios 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Exercícios 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Exercícios 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1 
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Exercícios 
Fundamentos de Mecânica Clássica - 
Unidade 1