CALCULO II - unicesumar

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G R A D U A Ç Ã O
DR. RICARDO RAMOS FRAGELLI
DR. RONNI GERALDO GOMES DE AMORIM
DR. VINICIUS DE CARVALHO RISPOLI
Cálculo Diferencial 
e Integral II
Híbrido
GRADUAÇÃO
Cálculo 
Diferencial e 
Integral II
Dr. Vinicius de Carvalho Rispoli
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; RISPOLI, Vinicius de Carvalho; FRAGELLI, Ricardo Ra-
mos; AMORIM, Ronni Geraldo Gomes de.
Cálculo Diferencial e Integral II. Vinicius de Carvalho Rispoli; 
Ricardo Ramos Fragelli; Ronni Geraldo Gomes de Amorim. 
Maringá-PR.: Unicesumar, 2018.
384 p.
“Graduação - EAD”.
1. Cálculo Diferencial. 2. Integral. 3. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-1681-9
CDD - 22 ed. 515.5
CIP - NBR 12899 - AACR/2
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação
CEP 87050-900 - Maringá - Paraná
unicesumar.edu.br | 0800 600 6360
Impresso por:
Coordenador de Conteúdo Crislaine Rodrigues Ga-
lan e Fabio Augusto Gentilin .
Designer Educacional Janaína de Souza Pontes e 
Yasminn Talyta Tavares Zagonel.
Revisão Textual Érica Fernanda Ortega e Cíntia Pre-
zoto Ferreira.
Editoração Bruna S. M. Marconato e Isabela M. Belido.
Ilustração Marta Kakitani, Marcelo Goto e Mateus 
Calmon.
Realidade Aumentada Kleber Ribeiro, Leandro Nal-
dei e Thiago Surmani.
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva, Vice-Reitor e 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos 
Silva Filho, Pró-Reitor Executivo de EAD William 
Victor Kendrick de Matos Silva, Pró-Reitor de
Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin, Presidente
da Mantenedora Cláudio Ferdinandi. 
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James 
Prestes e Tiago Stachon; Diretoria de Graduação
e Pós-graduação Kátia Coelho; Diretoria de 
Permanência Leonardo Spaine; Diretoria de 
Design Educacional Débora Leite; Head de 
Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza 
Filho; Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros; 
Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie 
Fukushima; Gerência de Projetos Especiais Daniel 
F. Hey; Gerência de Produção de Conteúdos
Diogo Ribeiro Garcia; Gerência de Curadoria
Carolina Abdalla Normann de Freitas; Supervisão
do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de
Almeida Toledo; Supervisão de Projetos Especiais
Yasminn Talyta Tavares Zagonel; Projeto
Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães
Cripaldi; Fotos Shutterstock
PALAVRA DO REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-
mos com princípios éticos e profissionalismo, não 
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão 
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois 
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos 
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo 
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá, 
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de 
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil 
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo 
MEC como uma instituição de excelência, com 
IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os 
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos 
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter pelo menos 
três virtudes: inovação, coragem e compromisso 
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para 
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as 
quais visam reunir o melhor do ensino presencial 
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
BOAS-VINDAS
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento. 
Essa é a característica principal pela qual a 
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é 
importante destacar aqui que não estamos falando 
mais daquele conhecimento estático, repetitivo, 
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global, 
democratizado, transformado pelas tecnologias 
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de 
pessoas, lugares, informações, da educação por 
meio da conectividade via internet, do acesso 
wireless em diferentes lugares e da mobilidade 
dos celulares. 
As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e 
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer 
transformou-se hoje em um dos principais fatores de 
agregação de valor, de superação das desigualdades, 
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar. 
Logo, como agente social, convido você a saber 
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e 
usar a tecnologia que temos e que está disponível. 
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg 
modificou toda uma cultura e forma de conhecer, 
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas, 
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa 
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação 
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato 
com ambientes cativantes, ricos em informações 
e interatividade. É um processo desafiador, que 
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores 
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida 
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que 
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você 
está iniciando um processo de transformação, 
pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, 
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma 
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível 
de desenvolvimento compatível com os desafios 
que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o 
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa-
nhará durante todo este processo, pois conforme 
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na 
transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem 
dialógica e encontram-se integrados à proposta 
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação 
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como 
principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita 
o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação 
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de 
crescimento e construção do conhecimento deve 
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar 
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas 
ao vivo e participe das discussões. Além disso, 
lembre-se que existe uma equipe de professores e 
tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren-
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) estudante!
Bem-vindo(a) ao curso de Cálculo Diferencial e Integral 2. Iremos, aqui, 
continuar o desenvolvimento das ferramentas matemáticas necessárias 
para a formação de um bom engenheiro. Este cursoé dividido em duas 
partes. Na primeira, serão estudados os conceitos de integrais em mais de 
um variável e também integrais em campos vetoriais. A segunda parte, por 
sua vez, será dedicada às técnicas para resolução de problemas de valor 
inicial envolvendo equações diferenciais ordinárias.
Na primeira parte do curso, como citado, serão trabalhados os conceitos 
relativos às integrais múltiplas e a integração em campos vetoriais e seus 
principais teoremas. A integral de múltiplas variáveis tem um papel muito 
importante no desenvolvimento científico e veremos algumas aplicações 
simples e também interessantes sobre as integrais múltiplas. Estudaremos, 
por exemplo, como calcular a força de sustentação em uma asa que é o 
princípio básico de funcionamento de um avião. Por outro lado, a integração 
em campos vetoriais é de fundamental importância na física e engenharia, 
sendo possível encontrar exemplos aplicados no contexto mais básico até 
o mais avançado. As integrais em campos vetoriais correspondem, em sua 
maioria, a integrais duplas e triplas de integrandos específicos. Esta unidade 
é trabalhada para chegar nos importantes teoremas de Green, Stokes e de 
Gauss, teoremas esses que foram fundamentais no desenvolvimento da 
teoria eletromagnética e também na mecânica dos fluidos.
Nas segunda parte, o estudo será sobre as equações diferenciais e suas 
soluções. As equações diferenciais são fundamentais na ciência, pois elas 
permitem modelar fenômenos da ciência aplicada a partir do seu compor-
tamento dinâmico. Desta forma, sabendo o comportamento dinâmico de 
um determinado sistema, seremos capazes de prever o seu comportamento 
de forma geral. Assim, começamos preparando o terreno com modelos ma-
temáticos simples e as equações de primeira e segunda ordem na Unidade 
2. Também estudaremos como utilizar as séries de potências para encontrar 
soluções de equações diferenciais. 
O uso das séries é interessante quando não temos mais equações diferenciais 
com coeficientes constantes e veremos que existem importantes equações 
da física-matemática que estão nesse formato. Finalmente, iremos estudar 
o conceito das transformadas integrais, em especial a transformada de 
Laplace, e como utilizar essa ferramenta para determinar a solução de pro-
blemas de valor inicial. Estudaremos as propriedades, particularidades e a 
vantagem do uso das transformadas para encontrar soluções de equações, 
principalmente quando temos funções complicadas, e até descontínuas, 
envolvidas com a equação diferencial.
Os conhecimentos adquiridos neste curso que está começando farão toda a 
diferença na sua formação. Desta forma, desejamos a você um ótimo curso 
e que este material possa auxiliá-lo(a) na busca de novos conhecimentos.
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim
Possui Pós-doutorado pela International Centre of Condensed Matter Physics of University 
of Brasilia (2012), Doutorado em Física pela Universidade de Brasília (2009), Mestrado em 
Física pela Universidade de Brasília (2006), Graduação em Física pela Universidade de Brasília 
(2003) e Graduação em Matemática pela Universidade Católica de Brasília (1999). Atualmente 
é Professor Adjunto da Universidade de Brasília.
Para mais informações, acesse: <http://lattes.cnpq.br/4086384842130773>.
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Possui Doutorado em Ciências Mecânicas (2010) pela Universidade de Brasília (UnB), onde 
também fez Mestrado (2003) e Graduação (2000) em Engenharia Mecânica. Professor Adjun-
to da UnB dos cursos de Engenharia da Faculdade UnB Gama e do Mestrado em Design do 
Departamento de Design Industrial, onde orienta trabalhos na área de Design Educacional. 
Desenvolve pesquisas em Sistemas Tutores Inteligentes e Adaptativos, técnicas, métodos e 
tecnologias para Educação. Por meio de suas pesquisas, recebeu onze prêmios nacionais de 
Instituições como MEC, MCT, CAPES, ABED, ABMES e Santander Universidades.
Para mais informações, acesse: <http://lattes.cnpq.br/6119310102978688>.
Dr. Vinícius de Carvalho Rispoli
Possui Doutorado (2014) em Engenharia de Sistemas Eletrônicos e Automação pela Universi-
dade de Brasília, com período sanduíche na University of Michigan (EUA). Graduação (2005) 
e Mestrado (2007) em Matemática pela Universidade de Brasília. Tem experiência na área de 
Matemática Aplicada, com ênfase em Equações Diferenciais, Métodos Numéricos e Otimiza-
ção. Atua na área da Engenharia Biomédica/Matemática Aplicada e é Professor Adjunto II de 
Matemática Aplicada na Faculdade UnB Gama, Universidade de Brasília.
Para mais informações, acesse: <http://lattes.cnpq.br/1386396456867682>.
Integrais Múltiplas 
em Coordenadas 
Cartesianas
13
Integrais Múltiplas 
em Outros Sistemas 
de Coordenadas
43
Aplicações das 
Integrais Múltiplas
89
Integrais 
Curvilíneas
Integrais de 
Superfície
127
175
Equações 
Diferenciais de 
Primeira Ordem
209
Equações 
Diferenciais 
de Segunda Ordem
Soluções em Séries 
de Potências
289
Transformadas 
Integrais
339
249
30 Domínio de integração tridimensional
64 Cunha esférica
111 Gráfico da área de superfície
189 Gráfico da interseção entre as duas funções
Utilize o aplicativo 
Unicesumar Experience 
para visualizar a 
Realidade Aumentada.
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Vinicius de Carvalho Rispoli
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim
• Mostrar as integrais duplas e triplas a partir de suas Somas 
de Riemann.
• Mostrar o Teorema de Fubini e como as integrais duplas 
e triplas são calculadas.
• Exemplificar o cálculo dessas integrais.
Integrais Duplas
Integrais Triplas
Integrais Múltiplas em 
Coordenadas Cartesianas
Integrais 
Duplas
Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, es-
tudamos as integrais. O estudo delas foi motivado 
pela necessidade de encontrar a área de uma figura 
geométrica como o círculo e também de regiões 
definidas pelos gráficos de funções de uma variá-
vel. No entanto, e se quisermos calcular o volume 
de uma figura no espaço? Uma pirâmide, um cone 
ou uma esfera, por exemplo? Será que, de alguma 
forma, o processo de integração definido na dis-
ciplina de Cálculo I pode ser estendido para um 
contexto de mais de uma variável? A resposta é sim!
Nesta unidade, o nosso objetivo principal é 
definir o processo de integração de múltiplas va-
riáveis. Começaremos, nesta seção, tratando de 
funções z f x y� � �, de duas variáveis. Veremos 
como podemos determinar as fórmulas de volu-
me já conhecidas das figuras geométricas citadas 
anteriormente utilizando a ideia da integral em 
mais de uma variável.
15UNIDADE I
Antes de começarmos, vamos lembrar que já estudamos as funções de uma va-
riável, lembrando que as integrais eram definidas em intervalos da reta, desta forma 
faz todo sentido que, ao integrarmos funções de duas variáveis, estaremos trabalhan-
do em regiões do espaço bidimensional 2.
Vamos, inicialmente, assumir que a região em que desejamos calcular a integral 
de uma função z f x y� � �, seja dada pelo retângulo
R a b c d� � ��� �, , .
Iremos considerar, apenas por conveniência, que a função f x y,� � seja não negati-
va. Isso facilitará a compreensão da integral dupla de forma geométrica, mas lembre-
-se que essa não é uma hipótese necessária. A seguir, na Figura 1, vemos o gráfico da 
função f x y,� � sobre o domínio retangular R .
R
S
y
x
b
a
c
d
z
Figura 1 - Gráfico da função z f x y� � �, no domínio R a b c d� � ��� �, ,
Fonte: os autores.
O nosso objetivo, aqui, é encontrar o volume abaixo do gráfico desta função. Desta 
forma, vamos proceder de forma análoga ao que aprendemos em Cálculo I. Lá, apro-
ximamos a área da figura geométrica por meio de áreas de retângulos. Sendo con-
sistente com a ideia já estudada, vamos, então, aproximar o volume desejado por 
volumes de figuras geométricas mais simples, no caso paralelepípedos. Para isso, 
vamos dividir o intervalo a b,� � em n subintervalos e o intervalo c d,� � em m subin-
tervalos.Isto irá dividir o domínio R em uma série de retângulos menores de di-
mensões x x xi i i 1� e y y yj j j 1� . Além disso, em cada um desses retân-
gulos, escolheremos um ponto interior x yi j, .� �, como podemos observar na figura a 
a seguir.
16 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
c = y
a = x x
x
y
0
1 xi xn-1
i j
b=xn0
d = ym
yj
 x , y ( (* *
Figura 2 - Discretização do domínio R a b c d, ,
Fonte: os autores.
Agora, sobre cada um desses retângulos menores, iremos construir um paralelepípedo 
cuja altura é dada por f x yi j, .� � Desta forma, teremos que o volume de interesse é 
dado, aproximadamente, pela soma dos volumes de todos os paralelepípedos, como 
podemos ver na Figura 3.
x
z
y
Figura 3 - Aproximação do volume desejado
Fonte: os autores.
Lembrando que volume do paralelepípedo é o produto entre a área da base pela 
altura, então o volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por
V f x y x y f x y Aij i j i j i j ij, , ,� � �
em que Aij� é a área do retângulo da base.
17UNIDADE I
Finalmente, para conseguirmos a melhor aproximação possível do volume, preci-
samos diminuir a área da base dos retângulos de forma que os paralelepípedos que 
aproximam o volume sejam suficientemente finos e assim obtemos
V f x y A
n m i
n
j
m
i j ij� � ��
�� � �
��lim ,
, 1 1
R
f x y dA�� , ,
que é a definição do volume abaixo do gráfico da função f x y,� � e também a inte-
gral dupla sobre o retângulo R.
Utilizar a definição pura e simples da integral, mesmo no Cálculo 1, para deter-
minar os volumes não é uma forma prática de usar essa ferramenta tão importante. 
Desta forma, precisamos de uma maneira prática de calcularmos, de fato, as integrais 
duplas. Para tal, utilizaremos o teorema de Fubini (ANTON, 2000).
Teorema de Fubini
Se f x y,� � é contínua no retângulo R a b c d� � ��� �, , ,� então a integral dupla na 
região R é calculada por meio das integrais iteradas
R a
b
c
d
c
d
a
b
f x y dA f x y dy dx f x y dx∫∫ , , , ddy.
TEOREMA1
Temos, então, que o volume abaixo da superfície é dado, aproximadamente, pela 
soma de todos os possíveis paralelepípedos que nos fornece a seguinte soma
V f x y A
i
n
j
m
i j ij
1 1
, ,
que é conhecida como Soma de Riemann da z f x y, relativa à partição do 
intervalo a b, em n subintervalos e do intervalo c d, em m subintervalos.
18 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
O que esse teorema nos diz é que, para calcularmos uma integral dupla, primeiro re-
solvemos uma integral com relação a uma das variáveis, considerando a outra variável 
constante e, em seguida, calculamos a integral restante. Perceba que é um processo 
semelhante ao cálculo das derivadas parciais, os quais, no caso, para derivarmos em 
uma variável, considerávamos a outra como constante. Vamos, a seguir, conhecer 
alguns exemplos para facilitar o entendimento.
Para entendermos o uso do Teorema de Fubini, vamos começar com a seguinte 
integral
R
x xy dA�� 2 ,
em que R é o retângulo R � �� ��� ��0 2 1 3, , . Então, pelo teorema de Fubini, temos que 
o cálculo do volume desejado é dado pela integral iterada que segue
R
x xy dA x xy dydx2 2
0
2
1
3
.
Escolhemos, inicialmente, esta ordem de integração, pois, pelo teorema, não importa 
se integramos primeiro em relação a x ou y . Integrando inicialmente em relação 
a y, temos
R
x xy dA x xy dydx2 2
0
2
1
3
� �
�
�
��
�
�
���
0
2 2
1
3
2
2
xy xy dx
� �� � � �� � � �� � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
��0
2 2 2
2 3
3
2
2 1
1
2
x
x
x
x
dx
� �� ��
0
2
4 4x x dx
� � �4 2
0
2
x
=16.
1 EXEMPLO
19UNIDADE I
Podemos repetir esse exemplo invertendo a ordem de integração escolhida anterior-
mente. Temos que encontrar o mesmo resultado. De fato, temos
R
x xy dA x xy dxdy2 2
1
3
0
2
� �� �
�
�
��
�
�
���
1
3 2
0
2
2
2
� y x dy
� �� ��2 2
1
3
y dy
� �
�
�
��
�
�
��2 2 2
2
1
3
y y
� � � �
�
�
��
�
�
��2 6
3
2
2 1
2
2
=16.
Claro que nem sempre a nossa região de integração será retangular. Se desejamos 
calcular, por exemplo, o volume de um cone ou esfera, então a região de integração 
em ambos será circular. Desta forma, é de nosso interesse entender como calcular as 
integrais duplas em regiões de integração que são mais gerais que apenas retângulos. 
Em particular, existem dois tipos de regiões que iremos trabalhar na maior parte do 
tempo. São regiões que podem ser definidas por meio de funções de uma variável, 
como podemos ver nas figuras abaixo.
a b
y
x
Caso 1
y = g2 ( x )
y = g1 ( x )
x
y Caso 2
c
d x = h2 (y)
x = h1 (y)
a b
y
x
Caso 1
y = g2 ( x )
y = g1 ( x )
x
y Caso 2
c
d x = h2 (y)
x = h1 (y)
Figura 4 - Regiões de integração não retangulares
Fonte: os autores.
20 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
Utilizando a notação de conjuntos, podemos escrever as regiões mostradas como 
Caso 1 e Caso 2 nas seguintes formas, respectivamente
D x y a x b g x y g x1 1 2� � � � � � � � � � �� �, ,�|
e
D x y c y d h y x h y2 1 2, ,|
Em cada um dos casos, temos as seguintes integrais duplas
D a
b
g x
g x
f x y d f x y dydx
1 1
2
�� , ,A
e
D c
d
h y
h y
f x y d f x y dxdy
2 1
2
�� , .A,
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Com a integral dupla, nós podemos também calcular a área de figuras planas. Vimos 
que se f x y,� � é uma função não negativa, então a integral dupla dessa função em 
um determinado domínio D , fornece o volume do sólido cuja base é a região no 
plano xy D e delimitado pela função f x y,� � . No entanto, se essa função é unitá-
ria, então a integral dupla da função f x y,� � � 1 fornece a área da região D . A 
partir deste exemplo, vamos calcular a área de uma região no plano. Defina a região 
D como sendo a região acima do eixo x limitada à esquerda pela função 
y x� �� �1 2
e à direita pela função
x y y� � 3
2 EXEMPLO
21UNIDADE I
Na Figura 5, podemos ver um exemplo da região que desejamos calcular a área.
x
y
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.5 -0.0 0.5
Figura 5 - Região acima do eixo x e entre as curvas � y x� �� �1 2 e x y y� � 3
Fonte: os autores.
Observe que não será possível escrever a curva à direita do gráfico, x y y� � 3, como 
sendo uma função y f x� � � facilmente. Ela naturalmente viola a definição do que 
é uma função. Desta forma, vamos calcular a área dessa região calculando, primeira-
mente, a integral na variável x e, em seguida, integrando em relação a y . Precisamos, 
agora, encontrar a variação das variáveis x e y. Podemos verificar graficamente que 
a variável y deve satisfazer a seguinte desigualdade
0 1y .≤ ≤
Agora, para encontrar a variação em x, precisamos, inicialmente, escrever y x� �� �1 2 
na forma x g y� � �. Neste caso, não será tão complicado, pois basta tirar a raiz 
quadrada dos dois lados para obter
x y� � �1.
Neste caso, escolhemos x y� �1 , a nossa função deve satisfazer x 0 1� � � � e tam-
bém x 1 0� � � , como é possível novamente vermos no gráfico da função. Portanto, 
a variável x deve satisfazer a seguinte desigualdade
y x y y� � � �1 3.
22 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
Finalmente, temos que a área da região é dada por
dA
D
� 1A
0
1
1
3
y
y y
dx dy
� � �� �
�
0
1
1
3
x dy
y
y y
� � � �� ��
0
1
3 1y y y dy
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
y y y y
2 4
3
2
0
1
2 4
2
3
� � � �
1
2
1
4
2
3
1
=
7
12
.
Portanto, a área da região limitada pelo eixo x � e as curvas x y y� � 3 e y x� �� �1 2 �
é A = 7 12/ .
Considere a integral
xy y dA
D
�� ��� 4 3 ,
em que D é a região limitada pelas curvas y x= e y x=
3. Para calcularmos a 
integral, o nosso primeiro passo é determinar as desigualdades para x e y . Precisa-
mos encontrar a interseção entre as curvas. Para tal, temos
x x= 3
� � � � � �x x2 3 2
� �x x6
� �� � �x x5 1 0.
3 EXEMPLO
23UNIDADE I
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e x =1 .
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.4 0.60.8 1.0
Figura 6 - Domínio de integração formado pelas curvas y x= e y x= 3
Fonte: os autores.
Pelo esboço da região, podemos ver que as desigualdades são dadas por
0 1x≤ ≤
x y x3 .≤ ≤
Agora, podemos calcular a integral que é dada por
D
x
xy y d x y y dydx4 3
0
1
3
x3
A 4
� �
�
�
��
�
�
���
0
1 2
4
2 3
xy y dx
x
x
� � � �
�
�
��
�
�
���
0
1 2 7
12
2 2
x x x dx
� � � �
�
�
��
�
�
��
x x x3 8 13
0
1
6 16 13
� �
95
624
.
24 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
Neste exemplo, vamos calcular um volume no caso em que o domínio é circular. 
Vamos considerar para tal a função 
z x y� � �� �1 2 2
que define um paraboloide e pode ser vista na figura abaixo.
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0
0,0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
-1,0
-0,5
-0,0
0,5
1,0
x
y
Figura 7 - Paraboloide z x y� � �� �1 2 2
Fonte: os autores.
Nosso objetivo é determinar o volume entre o paraboloide e o plano xy . Neste caso, 
temos que o domínio de integração é todo o interior do círculo de raio unitário 
D x y x y� � � � �� �, : 2 2 1 . Perceba que o círculo que delimita essa região corres-
ponde exatamente à interseção entre o paraboloide e o plano xy . Assim, temos que 
o volume desejado é dado por
V x y dA
D
�� 1 2 2
Precisamos, agora, reescrever as desigualdades que representam o domínio D para, 
finalmente, calcularmos a integral. Nesse caso, temos que
x y x y x2 2 2 21 1 1� � � � � � � � .
Além disso, fazendo y = 0 , podemos encontrar a variação do x que, nesse caso, nos dá
� � �1 1x .
4 EXEMPLO
25UNIDADE I
Portanto, 
D
x y dA x y1 12 2
1
1
2 2
x1 2
x1 2
dxdy
Como a região é simétrica em ambas as variáveis x e y , então podemos reescrever 
essa integral em uma forma mais simples usando apenas a parte do círculo no pri-
meiro quadrante, o que nos dá
D
x
x
x y dA x y dy1 12 2
1
1
1
1
2 2
2
2
1
0
1
0
1
2 2
2x
x y dy dx.4
Finalmente, podemos calcular a integral para obter
D
x
x y dA x y dy dx1 4 12 2
0
1
0
1
2 2 
2
� � �
�
�
��
�
�
���
�
4
30
1
2
3
0
1 2
y x y y dx
x
� �� ��83 10
1
2
3
2x dx.
Aparentemente “assustadora”, essa integral pode ser resolvida utilizando uma subs-
tituição trigonométrica. Podemos fazer x sen� � �q e então dx d� � �cos .q q Além 
disso, se x sen� � �q então 1 2 2� � � �x cos .q Finalmente, quando x = 0 , temos que 
q = 0 , pois sen 0 0� � � ; e quando x =1, temos que θ π= / 2 , pois sen p
2
1�
�
�
�
�
� � . 
26 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
Assim, toda a integral pode ser reescrita como
D
x y dA x dx1 8
3
12 2
0
1
2
3
2
� � � �� � � ��83 10
2
2
3
2
π
θ θ θsen cos d
� � ��
8
3 0
2
4
π
θ θcos d
�
� � � � � �
�
8
3
3 4 2 4
80
2
π
θ θ
θ
�cos
d
cos
� � � � � � ��� ���
1
3
3 4 2 4
0
2
π
θ θ θ�cos dcos
� � � � � � ��
�
�
�
�
�
1
3
3 2 2
4
4 0
2
θ θ
θ
π
sen
sen
�
=
p
2
.
Portanto, o volume desejado é V = p
2
.
Neste tópico, vimos como determinar o volume abaixo do gráfico de uma função de 
duas variáveis utilizando a integral dupla. Além disso, estudamos também como efe-
tivamente fazemos o cálculo dessas integrais. Na próxima aula, iremos estudar como 
podemos calcular uma integral em domínios não mais planos e sim tridimensionais. 
27UNIDADE I
Agora que sabemos como integrar em uma região 
bidimensional, vamos passar para integrais em 
uma região tridimensional. Nós usamos uma inte-
gral dupla para calcular a integral de uma função 
em uma região bidimensional e, por isso, não deve 
ser muito surpreendente, porque iremos utilizar 
a integral tripla para integrar funções definidas 
em uma região tridimensional. 
Para a integral dupla, a interpretação do cál-
culo do volume é natural, assim como na integral 
simples era natural o cálculo da área abaixo do 
gráfico da função. No entanto, apesar de para as 
integrais triplas esse tipo de interpretação não ser 
imediata, veremos nas próximas unidades que 
existem várias possíveis interpretações físicas para 
o uso da integral tripla.
A integral tripla, assim como a integral dupla 
e a integral simples, pode ser vista como sendo 
o limite das somas de Riemann de uma função 
F x y z, ,� �, definida em uma região E do espaço.
Integrais 
Triplas
28 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
x
y
z
D
x ,k ,z kk k( (
z
x
yk
k
k
∆
∆
∆
Figura 8 - Domínio de integração tridimensional e elemento de volume
Fonte: os autores.
Isto é, dada a soma de todos os produtos entre a função F e os elementos de volume 
Vk� mostrados na Figura 8, temos
S F x y z Vn
k
n
k k k k
1
, , ,�
definimos a integral tripla como sendo o limite dos volumes tendendo a zero
I F x y z V
n k
n
k k k klim , ,
1
�
� � ���� F x y z dV
E
, , �
A forma de se calcular uma integral tripla é semelhante das integrais duplas, isto é, por 
meio de integrais iteradas dadas pelo teorema de Fubini. Neste caso, vamos começar 
com nossos domínios de integração da forma mais simples possível, ou seja, quando 
eles são na forma de uma caixa 
B a b c d r s� � ��� ��� �, , , .
Observe que, quando utilizamos essa notação, listamos primeiramente a variável x, em 
seguida a variável y e, finalmente, a variável z. A integral tripla, neste caso, é escrita 
como sendo uma integral iterada dada por
F x y z dV F x y z dzdydx
E a
b
c
d
r
s
, , , .
29UNIDADE I
Observe que estamos integrando com relação a z primeiro, em seguida, y e x . No 
entanto, quando temos um domínio em forma de um paralelepípedo, a ordem de 
integração não importa, da mesma forma que era feito nas integrais duplas. Neste 
caso, há seis diferentes ordens de integração possíveis de calcular a integral, e o leitor 
pode escolher qualquer uma delas em que achar que facilitará os cálculos. Indepen-
dentemente da ordem de integração, chegaremos certamente ao mesmo resultado 
para as seis possíveis integrais.
Vamos, agora, fazer um rápido exemplo deste tipo de integral.
Considere a integral
8xyz dV
B
���
cujo domínio é dado pelo paralelepípedo B � �� � �� ��� ��2 3 1 2 0 1, , , . Apenas com o 
objetivo de mostrar que a ordem de integração, neste caso, não é importante, vamos 
utilizar uma ordem diferente da que foi escrita a integral acima. Faremos a integral 
na ordem z x y→ → , como podemos ver a seguir
8 8
1
2
2
3
0
1
xyz dV xyzdzdxdy
E
���� ����
� � ���
1
2
2
3
2
0
1
4xyz dxdy
� ��
1
2
2
3
4xydxdy
� � ��
1
2
2
2
3
2x y dy
� �
1
2
10ydy
=15.
Esse exemplo é demasiadamente simples, mas antes de passar para as regiões mais 
gerais, vamos dar uma interpretação geométrica importante sobre a integral tripla. 
5 EXEMPLO
30 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
Quando a função dada é unitária, isto é, F x y z, ,� � � 1 em todo o domínio E no 
qual ela está definida, então o volume da região tridimensional E é dada pela integral
V dV
E
� ���1 ,
que é a mesma interpretação que obtivemos na primeira aula para as integrais duplas.
Vamos, agora, passar as regiões tridimensionais um pouco mais gerais que as caixas. 
Temos três possibilidades diferentes para uma região em geral. Abaixo, mostramos 
um esboço desta primeira possibilidade, no entanto, as demais possibilidades são 
idênticas à menor da ordem das variáveis.
Neste caso, define-se a região de integração E como se segue
E x y z x y D u x y z u x y{ , , , , },1 2
em que x y D, � �� �� representa que o ponto x y,� � situa-se na região D do plano xy. 
Assim, podemos calcular a integral tripla da seguinte forma,
f x y z dV f x y z dz dA
E D u x y
u x y
, , , , .
,
,
∫∫
1
2
Figura 9 - Domínio de integração tridimensional dado 
na forma E x y z x y D u x y z u x y{ , , , , }1 2 
Fonte: os autores.
z
y
x
z=u (x,y)
z=u (x,y)
2
1
D
Domínio de integração tridimensional
31UNIDADE I
Observe que a integral dupla que surge pode ser calculada com qualquer uma das 
técnicas estudadas nas aulas anteriores. Em outras palavras, podemos integrar pri-
meiro em relação à variável x , ou podemos integrar em primeiro lugar com relaçãoà variável y , ou também podemos usar coordenadas polares quando for necessário.
 Neste exemplo, vamos calcular a seguinte integral
x y dV
E
�� ���� ,
em que a região E é definida abaixo do plano 2 3 6x y z� � � que se encontra 
no primeiro octante. Primeiro, temos que definir o que significa a palavra octante. 
Assim como o sistema de coordenadas bidimensional é dividido em quatro partes 
iguais, chamados de quadrantes, o sistema tridimensional é dividido em oito partes 
denominadas de octantes. O primeiro octante é aquele em que as três coordenadas 
são positivas. A seguir, temos um esboço do plano no primeiro octante.
z
6
4
0
0
1
2
2 3
y
x
3
4
2
Figura 10 - Parte do plano 2 3 6x y z� � � no primeiro octante
Fonte: os autores.
Para calcularmos a integral, é necessário determinar a região D no plano xy . Uma 
forma de olhar a região D é imaginar que se está olhando o objeto de cima para baixo. 
O que veremos será a região D no plano xy . Uma forma mais analítica de determinar 
a região D é fazer a componente z = 0 na equação do plano dada. Neste caso, temos
2 3 6x y z� � �
� � �2 3 6x y
� � �y x2 2
3
.
6 EXEMPLO
32 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
Neste caso, a região D será o triângulo com vértices em 0 0,� �, 3 0,� � e 0 2,� �. Temos, a 
seguir, um esboço da região.
2.0
2.0 2.5 3.0
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
Figura 11 - Região D de integração no plano
Fonte: os autores.
Agora, vamos encontrar os limites de integração. Uma vez que estamos na região 
abaixo do plano 2 3 6x y z� � � � e no primeiro octante (então estamos acima do 
plano z = 0 ), temos os seguintes limites para z
0 6 2 3z x y
Para calcularmos a integral dupla que surge sobre o domínio D , podemos utilizar 
qualquer um dos seguintes conjuntos de desigualdades
0 3x≤ ≤
0 2
3
2� � � �y x
ou
0 3
2
3� � � �x y
0 2y .≤ ≤
33UNIDADE I
É indiferente qual dos dois conjuntos de desigualdades iremos usar. Neste caso, uti-
lizaremos o primeiro. Finalmente, podemos calcular a integral, como
x y dV x y dz dA
E D
x y
0
6 2 3
D
x yx y z dA
0
6 2 3
0
3
0
2
3
2
6 2 3
x
x y x y dydx
0
3
0
2
3
2
2 26 2 6 5 3
x
x x y xy y dydx
� � � � �
�
�
��
�
�
���
� �
0
3
2 2
2
3
0
2
3
2
6 2 3 5
2
xy x y y xy y dx
x
� � � �
�
�
��
�
�
���
0
3 2 3
4 2 8
3
14
27
x x x dx
� � � �
�
�
��
�
�
��4
8
9
7
54
2
3 4
0
3
x x x x
�
15
2
.
Vamos repetir os nossos cálculos para mostrar que, na verdade, é indiferente a escolha 
da desigualdade. Assim,
x y dV x y dz dA
E D
x y
��
0
6 2 3
D
x yx y z dA�� 0
6 2 3
0
2
0
3
2
3
2 26 2 6 5 3
y
x x y xy y dxdy
34 Integrais Múltiplas em Coordenadas Cartesianas
� � � � �
�
�
��
�
�
���
� �
0
2
2 3
2
2
0
3
2
3
3 2
3
6 5
2
3x x xy x y y x dy
y
� � � �
�
�
��
�
�
���
0
2 2 3
9 9
2
9
4
9
8
y y y dy
� � � �
�
�
��
�
�
��9
9
4
3
4
9
32
2 3 4
0
2
y y y y
=
15
2
.
Finalmente, neste exemplo, vamos determinar o volume de uma região no espaço 
usando a integral tripla. Vamos considerar a região E que é limitada pelos paraboloi-
des y x z� �2 2 e y x z� � �8 2 2 . Neste caso, para calcularmos o volume; precisamos 
determinar a integral da função unitária F x y z, , .� � � 1 Observe que ambos os para-
boloides estão centrados na origem, mas eles têm como base o plano xz . Precisamos, 
então, determinar o domínio plano no qual a nossa integral será calculada. Assim, 
para encontrarmos a região no plano, é necessário encontrar a interseção entre os 
paraboloides dados, isto é, 
x z x z x z2 2 2 2 2 28 4� � � � � � � .
Portanto, a região que precisamos calcular o volume é dada por
E x y z x z x z y x z, , 2 2 2 2 2 24 8
Finalmente, temos que o volume é dado por
V dV
E
� ���1
x z x z
dy dA
2 2 2 24
x z2 28
��
x z
x z
x zy dA
2 2
2 2
2 2
4
8��
x z
x z dA
2 2 4
2 28 2 2�� .
7 EXEMPLO
35UNIDADE I
Observe que essa integral é muito semelhante à integral que resolvemos no último 
exemplo da aula anterior. Aqui, não apenas existe a mesma simetria que existia lá, afinal, 
estamos calculando uma integral dupla de um parabolóide dentro de um círculo de 
raio 2, como também a mudança de variáveis que iremos utilizar para resolver essa 
integral é a mesma que utilizamos lá. Desta forma, considerando que o procedimento 
é análogo, vamos pular alguns passos no processo de solução. Temos, finalmente, que
V x z dA
x z2 2 4
2 28 2 2��
8 2 2
0
2
0
4
2 2
2x
x z dzdx4
� �� ��163 40
2
2
3
2x dx
=16p.
Nesta unidade, estudamos as integrais duplas e triplas em coordenadas Cartesianas. 
Vimos que, na prática, o cálculo das integrais é feito por meio das integrais itera-
das, dadas pelo teorema de Fubini. Nas próximas unidades, iremos verificar como 
podemos facilitar o cálculo dessas integrais quando os domínios satisfazem alguns 
formatos específicos.
36
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Calcule a integral dupla no domínio elíptico a seguir 
2
2
0
1
4
2x
x dydx.
2. A integral 
1 2
1 2
2
1 2
x
x
dydx representa a área entre a parábola 1 2− x e a reta 
−2x.� Calcule essa área.
3. Determine o volume da cunha limitada pelo cilindro x y2 2 1� � , pelo plano 
z y� � e z = 0.
4. Calcule a integral 
1
2
0
2
� �
y
y lnx
zye dzdxdy.�
5. Determine o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coor-
denados, pelo plano y x= e pela superfície z x� �
�
�
�
�
�sen
p
2
, com 0 1x≤ ≤ .
37
Os limites de integração nas integrais duplas são uma das principais dificuldades 
do processo de integração. Por isso, vale a pena assistir a seguinte aula.
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Exemplos nunca são demais! Assista esta videoaula para mais exemplos sobre 
integrais duplas em regiões não retangulares.
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38
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000.Volume 2.
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Pioneira /Thomson Learning, 2011. Volume 2.
39
1. Integrando inicialmente com relação à variável y, temos
2
2
0
1
4
2
2
0
1
4
2
2
x
x
x dydx xy dx
� �
�
�
2
2 2
1
4
x x dx.
Fazendo agora uma substituição u x1 42 / , temos que � �2du xdx . Além disso, u �� � � � �� � �2 1 2 4 0
2 / e 
u 2 1 2 4 02� � � � � � �/ . Logo, 
�
� �� � �
2
2 2
0
0
1
4
2x x dx udu = 0.
2. Integrando inicialmente com relação à variável y, temos
1 2
1 2
2
1
1 2
1 2
2
2
1 2
x
x
dydx x x dx
=
8
3
2.
3. O volume da região é dado pela integral
Volume
1
1
1
0
02x
y
dzdydx
� �� �
�
�
1
2
1
1
1
2x dx
�
2
3
.
40
4. Temos que
1
2
1
22
y
y lnx
z
y
y
ye dzdxdy yx y dxdy
2
0
� �
�
�
��
�
�
���
1
2 2
2
2
yx xy dy
y
y
�
47
24
.
5. O volume da região é dado pela integral
Volume
sen
0
1
0
2
x
x
dzdydx
π
0
0
1
0 2
x x dydxsen π
� �
�
�
�
�
��
0
1
2
x x dxsen p
2
2
4
2
2
0
1
osπ π π
π
x x sen x
�
4
2π
.
41
42
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Estudar como aplicar as coordenadas polares para o cál-
culo de integrais duplas.
• Estudar como aplicar as coordenadas cilíndricas para o 
cálculo de integrais triplas.
• Estudar como aplicar as coordenadas esféricas para o 
cálculo de integrais duplas.
• Estudar o teorema de mudança de variáveis e aplicá-lo 
para converter integrais duplas e triplas para quaisquer 
sistema de coordenadas.
Integrais Duplas em 
Coordenadas Polares
Integrais Triplas em 
Coordenadas Cilíndricas
Mudança de 
Variáveis
Integrais Triplas 
em Coordenadas Esféricas
Dr. Vinicius de Carvalho Rispoli
Dr. Ricardo Ramos Fragelli
Dr. Ronni Geraldo Gomes de Amorim
Integrais Múltiplas 
em Outros Sistemas 
de Coordenadas
Integrais Duplas em 
Coordenadas Polares
Até este ponto, estudamos algumas integrais du-
plas e, em todos os casos que vimos, a região D 
poderia ser facilmente descrita em termos de fun-
ções simples em coordenadas Cartesianas. No 
entanto, em vários casos,trabalhar com a região 
dada no problema pode ser muito complicado ou 
até impossível. Neste contexto, surgem as mudan-
ças de variáveis. Elas são ferramentas que nos 
ajudam a reescrever um determinado domínio de 
integração e, consequentemente, uma integral, em 
uma forma mais simples de lidar. Este é o tópico 
desta primeira seção e também desta unidade 
como um todo. Veremos como lidar com integrais 
duplas e triplas em alguns sistemas diferentes de 
coordenadas e veremos exemplos de como as coi-
sas podem simplificar quando se olha o problema 
sobre a ótica oportuna.
45UNIDADE II
Começaremos o nosso estudo de mudança de variáveis lidando com as coor-
denadas polares. Observe que, quando a região em questão é, de alguma forma, 
circular como um disco, ou um anel, ou uma parte de um disco ou anel, a utilização 
das coordenadas cartesianas pode ser, em alguns casos, um pouco complicada. Por 
exemplo, suponha que se deseje calcular uma integral como esta:
x y dA
D
, ,( )∫∫
em que o domínio D é um círculo de raio 1. Para isso, temos de determinar um 
conjunto de desigualdades para x e y que descrevem esta região. Neste caso, as 
variações para x e y seriam facilmente escritas e dadas por
� � �1 1x
� � � � �1 12 2x y x .
Com estes limites descritos. Podemos reescrever a integral desejada na forma iterada 
para obter
x y dA f x y dydx
D x
x
, ,( ) = ( )∫ ∫∫ ∫− − −
−
1
1
1
1
2
2
Considere, apenas por simplificado, que a função dada fosse unitária, isto é, f x y,� � � 1 
dentro do círculo. Apesar dessa função ser super simples, essa integral seria bem tra-
balhosa de se calcular, pois
� � �
�
�� � �� � � �1
1
1
1 2
1
1
2
2
2 1f x y dydx x dx
x
x
, .
Lembre-se que essa integral possui primitiva e que podemos encontrá-la usando o 
método da substituição trigonométrica. Apesar de não ser nenhuma tarefa de outro 
mundo, isso ainda nos daria algum trabalho para encontrar o valor dessa integral.
Por outro lado, o domínio limitado por um círculo de raio unitário tem equação 
dada por
x y2 2 1� � .
Se considerarmos que as variáveis x x r� � �,q e y y r� � �,q são funções de r e q 
na forma
x r r, cosq q� � �
y r r sen ,θ( ) = θ
46 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
então a região dada pelo círculo unitário pode ser descrita facilmente nesse novo 
sistema de coordenadas usando as seguintes desigualdades
0 2θ π≤ ≤
0 1r .≤ ≤
Para verificar esse fato, basta observar que, substituindo x e y na equação �x y2 2 1� � , as 
desigualdades serão facilmente satisfeitas. Claro que esses novos limites de integração 
são bem mais simples que os originais. Além disso, são constantes, o que normalmente 
facilita bastante o processo de integração.
Se pudermos, então, transformar a nossa integral dupla em coordenadas Car-
tesianas em alguma forma que envolva as coordenadas polares, é possível que a 
nova integral possa ser bem mais simples de se trabalhar, o que é obviamente muito 
benéfico para nós. 
Considerando que a transformação para coordenadas polares é dada pelas equações
x rcos y rsen= =θ θ,
podemos reescrever uma função z f x y� � �, para coordenadas cartesianas simples-
mente substituindo as novas variáveis para obter
z f rcos rsen� � �q q, .
Observe que, ao calcularmos as integrais duplas em coordenadas Cartesianas, até este 
momento, estamos utilizando o fato que um elemento de área é dado por dA dxdy= . 
O nosso maior problema é que não podemos simplesmente converter os infinitesimais 
dx e dy em um dr e um dq . Uma vez que passamos para o mundo polar o nosso 
elemento de área dA , na verdade, é dA drdθ≠ . Desta forma, é necessário determinar-
mos como é o elemento de área quando passamos para as coordenadas polares, caso 
contrário, não podemos reescrever a integral dada nas novas variáveis.
Considere a figura a seguir que traz um esboço de uma região no plano em coor-
denadas polares.
47UNIDADE II
θ = β
θ = α
r = h2 ( θ )
r = h1 ( θ )
Figura 1 - Região em coordenadas polares
Fonte: os autores.
A nossa região é definida pelas seguintes desigualdades
α θ β≤ ≤
h r h1 2q q� � � � � �.
Agora, com o objetivo de encontrarmos o elemento de área desejado dA, vamos criar 
uma malha dentro desta região polar como mostrada na figura a seguir.
r1Δθ
r0Δθ
Δr
Figura 2 - Malha dentro da região em coordenadas polares
Fonte: os autores.
Estamos, neste caso, dividindo a região em uma malha de linhas radiais e arcos. 
Olhando para apenas uma peça da malha, como mostrado na figura, temos uma 
região que se assemelha com um retângulo, mas que ainda assim não é um. 
48 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Considere que a área desta pequena região seja A∆ . Essa região tem comprimento 
dado por � � �r r ri0 , em que ro é o raio do arco exterior e ri é o raio do arco interno. 
Da geometria básica, temos que o comprimento da aresta interior é ri θ∆ enquanto 
o comprimento do arco de fora é r0 θ∆ , considerando θ∆ como sendo o ângulo 
entre as duas linhas radiais que formam os lados dessa região. Agora, suponha que a 
malha seja tão pequena que podemos supor que r r ri � �0 . Neste caso, esta hipótese 
é suficiente para dizer que a área então desejada é dada, aproximadamente, pela área 
de um retângulo. A nossa pequena área de interesse é dada por
� � � �A r rq .
Finalmente, supondo que a malha seja fina o suficiente, temos que
dA A dr rθ θd
Assim, temos que o elemento de área procurado para as coordenadas polares pode 
ser escrito como
dA rdrd= q.
Considerando, então, as fórmulas de conversão para coordenadas polares
x rcos y rsen r x y� � � �q q,� � , � � � ,2 2 2
podemos reescrever a integral Cartesiana nas novas coordenadas, para uma região 
qualquer D no plano, como sendo 
f x y dA rf rcos rsen drd
D h
h
, , .( ) = ( )∫ ∫∫ ∫ ( )
( )
α
β
θ
θ
θ θ θ
1
2
É importante observar que não se deve esquecer que o elemento de área em coorde-
nadas polares leva um r, multiplicando os infinitesimais drdq . Desta forma, sempre 
que fizer a mudança, não se esqueça do r .
Neste exemplo, vamos determinar o valor da integral a seguir, convertendo-a em 
coordenadas polares
xy dA
D��
em que a região D corresponde à região entre os círculos de raio 1 e raio de 2 cen-
trados na origem no primeiro quadrante, como podemos ver na Figura 3.
1 EXEMPLO
49UNIDADE II
x
y
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
1.5
1.5
2.0
2.0
Figura 3 - Região de integração D
Fonte: os autores.
A utilização das coordenadas polares, neste caso, faz-se interessante, pois em coor-
denadas Cartesianas a mesma integral é escrita como
xy dA xydydx xydydx
D x
x x
0
1
1
4
1
2
0
4
2
2 2
Apesar de ser possível calcular essas integrais, o trabalho para fazer essa tarefa não 
será pequeno.
Primeiro, vamos reescrever a região D em termos das coordenadas polares. O 
círculo de raio 1 é dado pela equação em coordenadas polares r �� =1 e o círculo de 
raio 2 é dado por r �� =2 . Queremos calcular a integral na região entre os dois círculos, 
desta forma, temos que a variação da variável r é dada por
1 2r .≤ ≤
Além disso, uma vez que a região está no primeiro quadrante, então q varia conforme
0
2
θ π .≤ ≤
Agora, podemos reescrever a integral em termos das coordenadas polares que é dada por
xy dA rcos rsen rdrd
D 0
2
1
2π
θ θ θ
50 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Não podemos nos esquecer de fazer a multiplicação da função por um r extra. 
Finalmente, podemos simplificar o integrando utilizando a fórmula do arco duplo 
para o seno,
sen sen cos2 2q q q� � � ,
temos que a integral é dada por
xy dA r sen drd
D
��� � �� � �
1
2
2
0
2 3
1
2π
θ θ
� � ��
��
�
���
1
8
24
1
2
0
2 r sen dθ θ
π
� � ��
15
8
2
0
2 sen dθ θ
π
�
� � ��
�
�
�
�
�
15
8
2
2 0
2cos θ
π
=
15
8
.
Considere a seguinte integral
e dAx y
D
2 2���
em que D é o círculo unitário centrado na origem, isto é, D x y x y� � � � �� �, : 2 2 1 . Neste 
caso, não é possível determinar uma primitiva para a função f x y exy,� � � �
2 2
 em coor-
denadas Cartesianas para nenhuma das variáveis x ou y , pois, caso fosse possível, 
deveríamos encontrar uma função tal que
dF z
dz
ez� � � 2 .
No entanto, como o domínio, nesse caso, é circular, podemos utilizar a transformação 
por coordenadas polares e, enfim, será possível determinar o valor desta integral. 
Em primeiro lugar, a região D, sendo um círculo unitário, é dada em coordenadas 
polares pelas seguintes desigualdades
0 2θ π≤ ≤
0 1r .≤ ≤
2 EXEMPLO
51UNIDADE II
Em termos de coordenadas polares, a integral pode ser reescrita e calculada como
e dA re drdx y
D
r r2 2 2 2 2 2
0
2
0
1� ��� � ��
π θ θ θcos sen
� � �0
2
0
1 2π
θre drdr
0
2 2
0
1 1
2
π
θe dud u ru faze
� �
��
�
���
1
2 0
1
0
2
e du θ
π
� �� ��
1
2
1
0
2
e dθ
π
� �� �p e 1 .
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Sabemos da geometria espacial que o volume de um cone é dado por 
1
3
 do produto 
entre a área da base do cone e sua altura. Isto é, o volume é dado por
V A hbase� �
1
3
.
Se o cone tem a base dada por um círculo de raio r , então a fórmula do volume é 
dada por
V r h= p
2
3
.
3 EXEMPLO
52 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Nosso objetivo, aqui, é provar essa fórmula usando as integrais duplas. Para tal, 
precisamos de uma função que define o cone. Entretanto, lembre-se que estudamos 
essa função na Unidade 7 do Cálculo 1. A equação geral do cone circular é dada por
z k x y2 2 2� �� �
que pode ser vista na próxima figura.
y
x
z
-4
-2
0
2
4
-4
4
-2-4
-2
0
0
2
2
4
Figura 4 - Cone z k x y2 2 2� �� � com k =1
Fonte: os autores.
Tirando a raiz quadrada dos dois lados, podemos escolher a parte positiva para re-
presentar a parte superior do cone mostrado na figura anterior. Além disso, esco-
lhendo a raiz quadrada da constante para ser k h
r
= , temos que a função 
z h
r
x y� �2 2
nos dá a parte superior do cone com altura h e raio r . Perceba que se calcularmos a 
integral desta função dentro do domínio D x y x y r� � � � �� �, : 2 2 2 , teremos exata-
mente o volume da região abaixo do cone. Isto é, se queremos exatamente o volume 
do cone, temos que perceber que ele será dado pela diferença entre o volume do 
cilindro circular que o contém e a integral citada, logo
53UNIDADE II
V r h h
r
x y dAcone
D
π 2 2 2��
Precisamos, agora, reescrever as desigualdades que representam o domínio D para 
finalmente calcularmos a integral. Nesse caso, temos que
x y r r x y r x2 2 2 2 2 2 2� � � � � � � � .
Além disso, fazendo y = 0, podemos encontrar a variação do x que, nesse caso, nos dá
� � �r x r.
Portanto, 
h
r
x y dA h
r
x y dy dx
D r
r
r x
r x2 2 2 2
2 2
2 2
.
Como a região é simétrica em ambas as variáveis x e y, então podemos reescrever 
essa integral em uma forma mais simples dada por
h
r
x y dA h
r
x y dy dx
D r
r
r x
r x2 2 2 2
2 2
2 2
+ = +∫∫ ∫ ∫− − −
−
= +∫ ∫
−4
0
2 2
0
2 2h
r
x y dy dx
r r x
. .
A primitiva desta função, com relação às variáveis x ou y , é bem trabalhosa e é uma 
ótima sugestão para ser calculada como exercício. Neste caso, é muito mais convenien-
te trabalhar com essa integral fazendo a mudança para coordenadas polares. Como 
o domínio agora foi restringido a apenas a parte do círculo no primeiro quadrante, 
então nas coordenadas polares
x � � �ρ θcos
y sen� � �ρ θ
temos que
0
2
θ π≤ ≤
0 ρ r.≤ ≤
54 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Além disso, temos também que em coordenadas po-
lares
x y2 2 2 2 2 2� � � �ρ θ ρ θ ρcos .sen
Portanto, temos
h
r
x y dA h
r
drd
D
r2 2
0
2 2
0
4
� ��� � ��
π
ρ θ
� � �
4
2 3
3h
r
rp
=
2
3
3phr .
Finalmente, temos que o volume do cone é dado por
V r h hrcone � �p
p2
32
3
=
πr h2
3
,
que é a fórmula que aprendemos lá no ensino médio!
Concluímos que as coordenadas polares podem 
ser aplicadas a uma integral dupla sempre que o do-
mínio tiver uma forma circular ou anelar. Neste caso, 
a transformação permite reescrever as integrais de 
uma forma bem mais simples e até pode permitir 
calcular integrais que não seriam possíveis utilizando 
outros métodos.
55UNIDADE II
Neste tópico, vamos trabalhar com integrais tri-
plas calculadas em coordenadas cilíndricas. As 
coordenadas cilíndricas são nada mais que uma 
extensão das coordenadas polares, estudadas na 
seção anterior, no espaço tridimensional. Assim 
como as coordenadas polares permitiam escrever 
regiões circulares de forma mais simples no pla-
no, as coordenadas cilíndricas irão nos permitir 
escrever regiões cilíndricas de forma mais simples 
no espaço. Neste caso, as fórmulas da transforma-
ção para coordenadas cilíndricas são dadas por
x rcos y rsen zz� � �θ θ
Para podermos calcular a integral em coorde-
nadas cilíndricas, é necessário saber como fica o 
elemento de volume dV em termos das novas 
coordenadas, assim como fizemos para o caso das 
coordenadas polares. Nas aulas a seguir, seremos 
capazes de mostrar, sem grandes dificuldades, que 
o elemento de volume em coordenadas cilíndricas 
é dado por
dV rdzdrd= q,
Integrais Triplas em 
Coordenadas Cilíndricas
56 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
no entanto, ele nada mais é que o produto do elemento de área em coordenadas 
polares e o dz (volume nada mais é que o produto entre a área da base e a altura, 
como podemos ver na Figura 5).
r r
r
r r
θ
θ
θ
Z
Z
∆
∆
∆
∆
∆∆
Figura 5 - Elemento de volume em coordenadas cilíndricas
Fonte: os autores.
Neste caso, uma região E no espaço sobre a qual estamos calculando a nossa integral 
se torna em coordenadas cilíndricas na forma
E x y z x y D u x y z u x y� � � � �� � � � � � �� �, , , ,� , ,| 1 2
r z h r h u rcos rsen z u rcos, , ,θ α θ β θ θ θ θ θ| 1 2 1 2 rrsenθ .
Note que estamos descrevendo a nova região em coordenadas cilíndricas consi-
derando o conjunto D no plano xy . Contudo, podemos modificar este conjunto 
facilmente quando o conjunto D está em algum dos planos xz ou yz .
Em termos das coordenadas cilíndricas, a integral tripla em coordenadas carte-
sianas é reescrita como 
f x y z dV rf rcos rsen z dzdrd
D h
h
u rco
, , , , .� � � ����� � � � �
� �
α
β
θ
θ
θ θ θ
1
2
1 ss rsen
u rcos rsen
θ θ
θ θ
,
,
� �
� �
� 2
f x y z dV
D
, ,� ����
É importante não se esquecer de fazer o produto da função com as novas coordena-
das por r na integral. Além disso, é bom sempre se certificar que todas as variáveis 
x e y também foram colocados nas coordenadas cilíndricas.
57UNIDADE II
Neste primeiro exemplo, vamos determinar o valor da integral ydV
E
∫∫∫ , em que E 
é a região no espaço que se situa abaixo do plano z x� �2 1 , acima do plano xy e 
entre os cilindros dados pelas equações x y2 2 1� � e x y2 2 4� � . Neste exemplo, não 
há muito o que fazer além de converter diretamente a região E e calcular a integral. 
Vamos começar obtendo o intervalo de variação da variável z em termos das novas 
coordenadas, temos então
0 2 1 0 2 1z x z rcos .θ
Lembre-se que a região está acima do plano xy e, portanto, a variável z deve estar 
acima do plano z = 0,� consequentemente z ≥ 0 .
Em seguida, a região D no plano é dada pela região entre os dois círculos 
x y2 2 1� � e x y2 2 4� � no plano xy , como podemos ver na Figura 6.
x
y
-2
-2
-1
-1
0
0
1
2
1 2
Figura 6 - Anel que forma a região D no plano
Fonte: os autores.
Neste caso, como D x y x y� � � � � �� �, :1 42 2 , então podemos facilmente escrever 
as variações do ângulo e da distância em coordenadas cilíndricas que são dadas por
0 2 1 2≤ ≤ ≤ ≤θ π r
4 EXEMPLO
58 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Finalmente, podemos reescrever a integral em termos das novas coordenadas e assim
y dV rsen rdzdrd
E
rcos
∫∫∫ ∫ ∫ ∫= ( )
−
0 1
2
0
2 2 1π θ
θ θ
� �� �� �0
2 2
1
2
2 1
π
θ θ θr sen rcos drd�
� � � ��� ��� �0
2 3 2
1
2
2
π
θ θ θr sen r sen drd
� � � ��
��
�
���
1
2
2 1
3
4 3
12
0
2
r sen r sen dθ θ θ
π
� � � ��
��
�
���
15
2
2 7
30
2
sen sen dθ θ θ
π
� � � � ��
��
�
��
15
2
2 7
3 0
2
cos cosθ θ
π
= 0.
Considere, agora, a integral tripla a ser calculada
2
2
4
4
2
2
2 2
2 2
y
y
x y
x y
xy dzdxdy
Primeiramente, vamos analisar a região de integração dada. Em seguida, vamos 
reescrevê-la em coordenadas cilíndricas, o que certamente nos dará uma região 
transformada bem mais conveniente para efetuar o cálculo da integral. Observe que 
os intervalos de integração em variáveis Cartesianas são dados por
� � �2 2�� ��y
� � � � �4 42 2� � �� � �y x y
x y z x y2 2 2 2
5 EXEMPLO
59UNIDADE II
As duas primeiras desigualdades definem a região D no plano xy , que nada mais 
é que um círculo de raio 2. Note que da segunda desigualdade
x y�� �� �4 2
podemos, elevando os dois lados ao quadrado, chegar que 
x y2 2 4� � .
Desta forma, a região no plano é a parte interna de um círculo de raio 2. Logo, faz-se 
conveniente utilizar a mudança para coordenadas cilíndricas e, nesse caso, a região 
D fornece as seguintes desigualdades em coordenadas cilíndricas
0 2θ π≤ ≤
0 2r .≤ ≤
Tudo o que resta fazer agora é converter os limites da variável z, mas isso não é di-
fícil, pois
x y z x y2 2 2 2� � � ��� �
� � � � � � � � � � � � �rcos rsen z rcos rsenq q q q2 2 2 2�� �
r z r2 .
Vale observar que o limite inferior aqui é um paraboloide e o limite superior é um 
cone. Portanto, a região E que está sendo trabalhada é a porção da região entre estas 
duas superfícies.
60 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Finalmente, temos que a integral Cartesiana escrita em coordenadas cilíndricas 
toma a forma
� � �
�
�
�
� � � � � �� � �2
2
4
4 2
0
2
0
2
2
2
2 2
2 2
y
y
x y
x y r
xy dzdxdy r rcos rsen�
0
π
θ θθ θ� �� dzdrdr
r
2
� � �� � �0
2
0
2 3
2
22
π
θ θ
r sen dzdrd
r
r
� � � � �� �
1
2
2
0
2 3
0
2
2
π
θ θz r sen drdr
r
� �� � � �� �12 20
2 4 5
0
2π
θ θr r sen drd
� �
�
�
��
�
�
�� � ��
1
2 5 6
2
5 6
0
2
0
2 r r sen dθ θ
π
�
� � � � ��
6 2 5 2
60
2
5 6
0
2
sen dθ θ
π
� � ��
��
�
��
32
15
2
0
2
cos θ
π
= 0.
Neste tópico, estudamos as coordenadas cilíndricas e pudemos observar como ela 
é, de fato, uma extensão natural das coordenadas polares para domínios tridimen-
sionais. Veremos nas próximas seções desta unidade como realizar outros tipos de 
transformações convenientes para domínios tridimensionais e também como fazer 
a sua própria transformação para casos bem específicos. 
61UNIDADE II
Para entendermos melhor o que são as coorde-
nadas esféricas, vamos começar escrevendo um 
domínio E esférico, que é limitado por uma es-
fera de raio r centrada na origem. Isto é, essa 
região é definida pela desigualdade
x y z2 2 2 2� � � r .
Como, de certa forma, essa figura tem uma base 
circular, basta fazer z = 0 , podemos aplicar nela 
as coordenadas cilíndricas para obter o seguinte 
conjunto de desigualdades
0 2θ π≤ ≤
0 r ρ≤ ≤
� � � � �r r2 2 2 2r z r .
Você deve estar pensando agora que utilizar essa 
transformação é bem conveniente e que não tem 
nada demais em usá-la, afinal ela facilita, em mui-
to, a escrita da região de integração. Se você pensou 
isso, você está totalmente correto! Perceba que, 
nessa nova configuração, o domínio no plano qr 
Integrais Triplas em 
Coordenadas Esféricas
62 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
é um domínio retangular, enquanto em z temos apenas essas raízes quadradas um 
pouco incômodas, mas que somos totalmente capazes de lidar com elas.
Apesar de que reescrever o domínio em coordenadas cilíndricas já melhora em 
lidar com um domínio esférico, fica a seguinte dúvida no ar: será que não tem uma 
transformação da esfera que a transforma em um domínio totalmente retangular, 
como as coordenadas polares fazem com o círculo? A resposta é: sim, há! O nome 
dessa transformação é utilizando o sistema de coordenadas esféricas. Por meio delas, 
poderemos reescrever um domínio esférico em um domínio totalmente retangular, 
o que nos leva a dizer que as coordenadas esféricas são o equivalente tridimensional 
das coordenadas polares.
Agora, precisamos definir como funciona esse novo sistema de coordenadas. Para 
tal, vamos utilizar a Figura 7 como referência. Nela podemos ver a relação entre o sis-
tema de coordenadas Cartesianas e o sistema de coordenadas esféricas que desejamos 
construir. Além disso, como já havíamos observado anteriormente, as coordenadas 
esféricas se assemelham com as coordenadas polares no sentido de que iremos repre-
sentar um ponto no espaço Cartesiano por meio de ângulos e distância até a origem.
z
y
x
( x, y, z ) = ( ρ, θ, φ )
ρ
φ
θ r
z
Figura 7 - Sistema de coordenadas esféricas
Fonte: os autores.
63UNIDADE II
Por meio apenas das relações básicas da trigonometria, podemos verificar que um 
ponto x y z, ,� � no espaço e em coordenadas Cartesianas pode ser reescrito utilizando 
uma distância r e os dois ângulos distintos q e j por meio das seguintes relações:
x cos sen= ρ θ ϕ
y sen sen= ρ θ ϕ
z cos= ρ ϕ
x y z2 2 2 2� � � r .
Assim como nas coordenadas polares, temos também algumas restrições sobre as 
novas coordenadas. Por exemplo, a distância r deve ser sempre positiva e os ângulos 
j e q devem satisfazer no máximo as seguintes variações
ρ ϕ π θ π≥ ≤ ≤ ≤ ≤0 0 0 2 .
Observe que essas variações angulares fazem sentido, pois o ângulo q varia no pla-
no, logo tem que dar uma volta completa. No entanto, o ângulo j não precisa dar 
uma volta completa, caso contrário a parametrização que escolhemos daria duas 
voltas para cobrir toda a esfera (consegue enxergar isso?). Portanto, esse ângulo só 
pode variar até p.
Para facilitar o entendimento e visualização das desigualdades, vamos considerar 
a seguinte região E dada por uma cunha esférica. Neste caso, as variações de ângu-
lo e distância são dadas por 
a bρ≤ ≤
α θ β≤ ≤
δ γ≤ ≤ϕ
Na Figura 8, temos um esboço de uma cunha esférica em que o limite inferior para 
ambas as variáveis r e j são nulas, isto é, a = 0 e d = 0 nas equações anteriores. 
Apesar de estarmos fazendo essa escolha apenas para efeitos de referência, veremos 
que boa parte das regiões de integração esféricas que iremos trabalhar se encaixará 
neste modelo.
64 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Perceba que essa região E nada mais é que a interseção entre uma esfera e um cone.
Assim como mostramos que o elemento de área em coordenadas polares era dado 
por dA rdrd= q através da análise de um pequeno elemento de área de um setor 
circular, precisamos fazer análise similar também com o novo sistema de coordenadas 
esféricas. Veremos que, em coordenadas esféricas, também temos que o elemento 
de volume deve satisfazer uma determinada relação nas novas variáveis, neste caso, 
diferente daquela obtida para coordenadas polares. Para encontrarmos o elemento 
de volume no novo sistema de coordenadas, precisaremos analisar o volume de uma 
cunha esférica como mostrado na Figura 9.
x
y
z
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
sin
sin
θ
θ
θ +
O
∆
∆
φ
∆
∆
ϕ
ϕ
ϕ
Figura 9 - Elemento de volume em coordenadas esféricas
Fonte: os autores.
x
y
z
Figura 8 - Cunha esférica
Fonte: os autores.Cunha esférica
65UNIDADE II
Com bastante esforço, é possível verificar geometricamente que o volume da cunha 
esférica observada em destaque na Figura 9 é dado por
� � � �� � �V senρ ϕ ρ ϕ θ2 .
Logo, fazendo o limite para as variações dos ângulos e distância irem a zero, temos 
que o elemento de volume em coordenadas esféricas tem que ser dado por
dV sen d d d� � �ρ ϕ ρ ϕ θ2 .
Finalmente, dada uma integral tripla de uma função contínua f x y z, ,� � em uma 
região no espaço E , então em coordenadas esféricas a integral em coordenadas 
Cartesianas é reescrita como
 
f x y z dV sen f cos sen sen sen cos d d
E
y
, ,( ) ( )=∫∫∫ ∫δ ρ ρ θ θ ρ ϕ ρ
2 ϕ θ
α
β
d
a
b
∫∫ ϕ ϕ ϕ, ,
observando que a b, , ,� ,� ,�α β γ δ não são, necessariamente, constantes.É possível definir o ângulo ϕ de forma diferente. Em alguns casos, é possível en-
contrar na literatura ϕ como sendo definido entre as retas de comprimento ρ e r, 
na Figura 7. Essa outra forma leva a diferentes equações para as coordenadas 
esféricas e consequentemente uma integral transformada diferente da encontrada 
logo acima. Você consegue mostrar como ficaria a integral nessa nova situação?
Após ver a integral resultante, a mudança para coordenadas esféricas pode não parecer 
muito promissora. No entanto, veremos nos exemplos a seguir que essa mudança faz 
toda a diferença quando o domínio é esférico. 
Como primeiro exemplo, vamos calcular a fórmula do volume de uma esfera de 
raio r.� Para tal, precisamos calcular a integral 1dV
E
,∫∫∫ em que a região no espaço 
E é a região limitada pela esfera de equação x y z r2 2 2 2� � � . Estamos escolhendo 
uma esfera com centro na origem para facilitar a nossa análise. Entretanto, teori-
camente ,poderia ser uma esfera centrada em qualquer ponto no espaço. Para que 
consigamos varrer todos os pontos de E, é necessário que, na mudança para as 
6 EXEMPLO
66 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
coordenadas esféricas, as variáveis r , q e j satisfaçam as seguintes desigualdades
0 ρ r≤ ≤
0 2θ π≤ ≤
0 ϕ π.≤ ≤
Lembrando que, após a mudança para coordenadas esféricas, o elemento de volume 
Cartesiano é igual a dV sen d d d� � �ρ ϕ ρ ϕ θ2 , então o volume da esfera deve ser 
dado por
V dV
E
= ∫∫∫ 1 
� � � �� � �0
2
0
2
0
1
π π
ρ ϕ ρ ϕ θsen d d d
r
� � �� � �0
2
0
2
0
π π
ρ ϕ ρ ϕ θsen d d d
r
�
�
�
��
�
�
�� � �� �0
2 3
0
0 3
π π ρ
ϕ ϕ θ
r
sen d d
� � � ��� ���
r d
3
00
2
3
cos ϕ θ
ππ
� � �� ��
r d
3
0
2
3
2 θ
π
� �
2
3
3
0
2
r dθ
π
=
4
3
3pr ,
que é a conhecida fórmula do cálculo do volume da esfera!
67UNIDADE II
Vamos, agora, considerar a seguinte integral
0
3
0
9 2 2 218
2
2 2
2 2
� � �
�
�
� �
� �� �y x y
x y
x y z dzdxdy
para entendermos as vantagens do uso das coordenadas esféricas. Inicialmente, vamos 
analisar a região de integração para, em seguida, convertê-la para as coordenadas 
esféricas. Temos que os limites de integração nas variáveis Cartesianas são dadas por
0 3y≤ ≤
0 9 2� � �x y
x y z x y2 2 2 218+ ≤ ≤ − − .
As duas primeiras desigualdades dadas nos fornecem as informações necessárias so-
bre a parte da região E no plano xy . A segunda desigualdade, que nos dá a variação 
da variável x, nos informa que estamos na metade direita de um círculo de raio 3 com 
centro na origem, pois x y2 2 33� � . Pela primeira desigualdade, temos que a variável 
y está sendo restrita a valores positivos e menores que 3. Desta forma, temos que a 
região no plano xy de E é a parte de um disco de raio 3, que se encontra exatamente 
no primeiro quadrante do plano xy . Portanto, uma vez que o domínio plano D está 
no primeiro quadrante, então a região no espaço E deve estar no primeiro octante. 
Além disso, essa informação nos indica que a variável q, das coordenadas esféricas, 
deve satisfazer à seguinte desigualdade
0 2θ π / .≤ ≤
Agora, vamos ver o que o intervalo para a variável z nos diz. O limite inferior, 
x y2 2+ , nada mais é que a metade superior de um cone z x y2 2 2� � , enquanto o 
limite superior, � 18 2 2− −x y , é a metade superior da esfera,
x y z2 2 2 18� � � .
Assim sendo, temos que a variação do raio r é dada por
0 18 3 2� � �r .
7 EXEMPLO
68 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Finalmente, o que nos falta é o intervalo de variação para j . Há duas formas de 
obtermos esse intervalo. Uma das formas é encontrando a interseção entre o cone e 
a esfera. Como a equação do cone é z x y2 2 2= + então, substituindo na equação 
da esfera, temos
x y z2 2 2 18� � �
� � �z z2 2 18
� �2 182z
� �z2 9
� �z 3.
Observe que podemos assumir que a variável z é positiva, afinal a região E corres-
ponde à parte da esfera sobre o plano xy e no primeiro octante. No ponto de inter-
seção entre a esfera e o cone, temos que r = 3 2 . Além disso, temos que z = 3, e em 
coordenadas esféricas a variável z satisfaz z cos= ρ ϕ, assim substituindo, temos que 
o ângulo j deve ser limitado
ρ ϕcos = 3
� �3 2 3cosj
� � �cosj 1
2
2
2
� �ϕ
π
4
.
Logo, o ângulo j deve satisfazer à seguinte desigualdade
0
4
ϕ
π .≤ ≤
69UNIDADE II
Finalmente, temos que a integral que desejamos calcular pode ser reescrita em coor-
denadas esféricas em uma forma que ficará muito mais simples, dada por
0
3
0
9 2 2 2
0
2
18
0
44
2
2 2
2 2
� � �� �
�
�
� �
� �� � � � �y x y
x y
x y z dzdxdy sen d
π π
ρ ϕ ρdd dϕ θ
0
3 2
�
� � � � �� �15 02
5
0
3 2
0
4
π π
ρ ϕ ϕ θsen d d
� � �� �
972 2
5 0
2
0
4
π π
ϕ ϕ θsen d d
� �� ��
972 2
5 0
4
0
2 cos dϕ θ
ππ
�
� �
�
�
��
�
�
���
972 2
5
1 2
20
2 dθ
π
� �
�
�
��
�
�
��
972 2
5
1 2
2 2
p .
Com isso, concluímos este tópico sobre coordenadas esféricas. No próximo tópico, 
mostraremos uma fórmula geral para determinarmos o elemento de volume para 
uma transformação qualquer e provaremos, sem necessidade de nenhum argumento 
geométrico, como são obtidos os elementos de volume e área para as mudanças de 
coordenadas construídas.
Para entendermos melhor como realizar as mu-
danças de variáveis em integrais múltiplas, vamos, 
inicialmente, fazer um paralelo com o Cálculo 1. 
Tínhamos, naquele curso, uma regra da substitui-
ção na integral que nos dizia que
f g x g x dx f u du
a
b
g a
g b� �� � � � � � � �� �' ,( )
( )
em que u g x� � � . Essencialmente, o que está 
acontecendo é que temos uma integral em termos 
da variável x e que podemos transformá-la em 
uma nova integral apenas na variável u. Assim, se é 
conhecida a primitiva da função f u� � , podemos 
resolver facilmente o problema dado. No entanto, 
perceba que, ao transformar a integral da variável 
u em uma integral na variável x, obtemos o fator 
g x'� � multiplicando o integrando. Fazendo um 
paralelo com as integrais em coordenadas esféri-
cas e cilíndricas, esse du g x dx� � �' seria o equi-
valente aos elementos de área de volume encon-
trados dA rdrd= q e dV sen d d d� � �ρ ϕ ρ ϕ θ2 .
Mudança de 
Variáveis
71UNIDADE II
No caso das integrais múltiplas, embora muitas vezes a razão para a mudança de 
variáveis seja obter um integrando que possamos calcular nas novas variáveis, temos 
uma outra razão mais importante que é converter uma região dada em outra muito 
mais conveniente de se trabalhar. Quando fizemos, nas seções anteriores, as mudan-
ças de variáveis para coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas, não estávamos 
preocupados com essa mudança no domínio, uma vez que era bem fácil determinar 
os novos limites de integração com base na nova região, pois eram todos, de alguma 
forma, retangulares. No entanto, isso nem sempre é o caso. Então, antes de se mudar 
para novas variáveis nas integrais múltiplas, primeiro precisamos ver como a região 
fica nas novas variáveis. Além disso, outro fato importante da mudança de variáveis 
nas integrais múltiplas é como determinar o novo elemento de área e volume, como 
fizemos para os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Aqui, começaremos com um exemplo de como uma região se transforma depois de 
uma mudança de variáveis. Desta forma, considere uma região, R , nas coordenadas 
xy e vamos transformá-la, neste exemplo, em uma nova região S em coordenadas 
uv . Isto é, vamos determinar a nova região S obtida por meio da aplicação de uma 
transformação dada à região R. Considere a região R como sendo a região fechada 
no plano que é delimitada pelas seguintes retas
y x� � �� 4
y x�� � �1
y x� �
3
4
3
.
A região R definida pelas retas pode ser observada na Figura 10: 
-3
-3-4
-2
-2
-1
-1 1
1
2
2
3
3
4
x
y
3
2
5, 2( (
( (
x 
3
4
3
7 5
22
y =
y = - x + 4
y = x + 1
( 4, 0 )
Figura 10 - Região R
Fonte: os autores.
8 EXEMPLO
72 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Temos que aregião dada é um triângulo. Apesar de não ser uma região complicada, 
é possível transformá-la em uma região mais simples. Para tal, vamos considerar a 
seguinte 
x x u v u v� � � � �� �, 1
2
y y u v u v� � � � �� �, .1
2
Queremos saber o que acontece com a região R sujeita à transformação dada. Desta 
forma, o que vamos fazer é aplicar a transformação em cada uma das retas que defi-
nem as arestas do triângulo e ver onde chegamos.
Começamos com a reta y x� � � 4. Substituindo a transformação dada, temos
1
2
1
2
4u v u v�� � � � �� � �
� � � � � �u v u v 8
� �2 8u
� �u 4.
Percebemos que a primeira fronteira transformada é reduzida a uma equação bem 
mais simples. Agora, vamos verificar o que acontece com a reta y x� �1, que nos dá
1
2
1
2
1u v u v�� � � �� � �
� � � � �u v u v 2
� � �2 2v
� � �v 1.
Mais uma vez, temos uma equação muito mais simples do que aquela que começamos 
a trabalhar. Finalmente, transformando y x� �/ /3 4 3 , obtemos
1
2
1
3
1
2
4
3
u v u v�� � � �� ��
�
�
�
�
� �
� � � � �3 3 8u v u v
� � �4 2 8v u
� � �v u
2
2.
73UNIDADE II
Neste caso, obtivemos algo semelhante ao que já tínhamos inicialmente, no entanto, 
quando olhamos para a região S transformada, percebemos que obtemos um triângulo 
bem mais simples de trabalhar que o dado pela região R, como podemos ver na Figura 
11, afinal este é retângulo e dois de seus lados são paralelos aos eixos coordenados.
4
3
2
2 2 1
-1
2-2-4-6 4
ν
ν = -1
ν = υ = 4υ
υ
+
( -6, -1 ) ( 4, -1 )
( 4, 4 )
Figura 11 - Região transformada S
Fonte: os autores.
Note que nem sempre podemos esperar que iremos transformar um tipo específico 
de região (um triângulo, por exemplo) para o mesmo tipo de região. É completamente 
possível vermos um triângulo se transformar em uma região em que cada uma das 
extremidades são curvas e que de forma alguma se assemelha a um triângulo. Vimos 
isso na transformação em coordenadas polares e esféricas, em que transformávamos 
regiões circulares em regiões retangulares. 
Observe que, no exemplo anterior, pegamos uma região bidimensional que teria 
sido um pouco mais difícil e trabalhoso de integrar e a convertemos em uma região 
que seria possivelmente mais simples à integração. Como observamos no início deste 
exemplo, este é, muitas vezes, o objetivo da transformação. Além de simplesmente 
converter o integrando em algo mais simples de se trabalhar, é conveniente também, 
muitas vezes, transformar a região em uma que é muito mais fácil de lidar. 
Agora que nós vimos um exemplo de como as regiões se transformam, precisamos 
falar sobre como realmente fazemos a mudança de variáveis dentro da integral. Vamos 
começar com as integrais duplas, mesmo porque a versão em integrais triplas é aná-
loga. A fim de realizar a mudança de variáveis em uma integral dupla, precisaremos 
do que é conhecido como o Jacobiano da transformação. Dada uma transformação 
de variáveis x g u v� � �, e y h u v� � �, , o Jacobiano da transformação é definido 
pelo determinante
J
x
u
x
v
y
u
y
v
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
74 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
De posse do Jacobiano da transformação, podemos apresentar a fórmula para a 
mudança de variáveis para uma integral dupla. Suponha que queremos integrar a 
função contínua f x y,� � sobre a região R. Assim, considerando a transformação 
x g u v� � �, e y h u v� � �, , então a região R é transformada em S e a integral se torna
f x y dA f g u v h u v J dudv
R S
, , , ,� � � � � � �� ��� ��
Note que usamos dudv em vez de dA na integral para deixar claro que estamos agora 
com a integração nas novas variáveis u e v . Observe que na fórmula é tomado o 
valor absoluto do Jacobiano. Faça o cálculo do Jacobiano para coordenadas esféricas 
e verifique que ele, neste caso, é negativo, diferentemente do elemento de volume que 
calculamos na seção anterior. Logo, o módulo da fórmula não pode ser esquecido 
ou desconsiderado!
Vamos mostrar aqui, usando o teorema da mudança de variáveis, que, na transforma-
ção em coordenadas polares, temos que o elemento de área dA é transformado em 
rdrdq, como já havíamos feito na aula sobre coordenadas polares. A transformação 
em coordenadas polares é dada por
x rcos y rsen= =θ θe
Então, seu Jacobiano é
J
x
r
x
y
r
y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
q
q
�
�cos rsen
sen rcos
q q
q q
� � �� �rcos rsen2 2q q
� �� �r sencos2 2q q
= r.
9 EXEMPLO
75UNIDADE II
Temos, então que
dA J drd r drd rdrd= = =q q q.
Assim, a fórmula que usamos na aula sobre integrais em coordenadas polares 
estava correta.
Vamos, agora, fazer alguns exemplos com integrais de fato.
Vamos calcular a 
R
f x y dA( )∫∫ em que R é um losango com vértices dados pelos 
pontos 0 0, ,� � 5 0, ,� � 5 2 5 2/ , /� � e 5 2 5 2/ , / ,�� � utilizando a transformação x u v� �2 3 
e y u v� �2 3 . Começamos com um esboço da região R e vamos determinar as 
equações para cada um dos lados do losango.
y
x
( 0, 0 )
( 5, 0 )
1
1 2 3 4 5
-1
-2
-3
2
3
y = x y = -x + 5
y = -x
y = -x -5
5
2
5
2,( (
5
2
5
2,( (
Figura 12 - Região de integração R
Fonte: os autores.
Cada uma das equações das retas mostradas na Figura 12 foram encontradas usando 
o fato de sabermos dois pontos em cada reta.
Enquanto nós poderíamos calcular essa integral em termos de x e y, o cálculo 
envolveria dividir a integral e duas integrais e isso nos daria algum trabalho. Então, 
usando a transformação, veremos no que dá. Vamos, assim como no primeiro exemplo, 
substituir a transformação em cada uma das equações anteriores e ver o resultado. 
10 EXEMPLO
76 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Começamos com y = x, temos
2 3 2 3u v u v� � �
� �6 0v
� �v 0.
A transformação y x� � é semelhante, assim
2 3 2 3u v u v� � � �� �
� �4 0u
� �u 0.
Em seguida, transformando � y x� � � 5 ,
2 3 2 3 5u v u v� � � �� � �
� �4 5u
� �u 5
4
.
Finalmente, a reta y x� � 5 fica
2 3 2 3 5u v u v� � � �
� � � �6 5v
� �v 5
6
.
77UNIDADE II
Temos, que a região transformada S é dada por um retângulo cujos lados são u = 0, 
v = 0 , u = 5 4/ e v = 5 6/ e a variação das variáveis u e v é
0 5
4
0 5
6
u ve≤ ≤ ≤ ≤
Agora, o próximo passo é determinar o Jacobiano desta transformação, que é
J
x
u
x
v
y
u
y
v
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 3
2 3
� � �6 6
� �12.
Finalmente, temos que a integral é dada por
R
x y dA u v u v dudv+( ) = +( ) + −( )( ) −∫ ∫0
5
6
0
5
4 2 3 2 3 12∫∫
� � �0
5
6
0
5
4 48u dudv�
� � �� 24 2 0
5
4
0
5
6 u dv
� � �75
2 0
5
6v
=
125
4
.
78 Integrais Múltiplas em Outros Sistemas de Coordenadas
Vamos brevemente falar sobre as integrais triplas. Suponha que seja dada uma região 
R, agora no espaço, e a transformação x g u v w� � �, , , y h u v w� � �, , e z k u v w� � �, , 
para transformar R na região S. De forma análoga às integrais duplas, temos que 
determinar o Jacobiano desta transformação que, neste caso, será um determinante 
3 3× dado por
J
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Finalmente, a integral relacionada a essa transformação é dada por
f x y z dA ff g u v w h u v w k u v w J dudvdw
R S
, , , , , , , , ( , , .� � � � � � �� ��� ��
É um ótimo exercício verificar que o Jacobiano das coordenadas cilíndricas e esfé-
ricas, por exemplo, coincidem com aqueles encontrados nas seções anteriores e são 
dados, respectivamente, por
J rndricas =í
J senes ricas = − ( )ρ ϕ2 .fé
Encerramos a unidade sobre mudança de variáveis nas integrais múltiplas. Estudamos 
as coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e também o teorema de mudança de 
variáveis. Esses teoremas são de fundamental importância, pois muitos problemas 
práticos das ciências aplicadas, como engenharia e física, se passam em sistemas de 
coordenadas convenientes e veremos nas unidades a seguir várias aplicações dos 
assuntos aqui tratados.
79
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Utilizando coordenadas