SEARS & ZEMANSKY (CAP 2 - MOVIMENTO RETILÍNEO)

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• ••• •• • • 
? Um velocista em geral 
• acelera gradualmente no 
decorrer de uma corrida e de-
sacelera gradualmente após 
cruzar a linha de chegada. 
Em que parte do movimento 
é correto dizer que ele está 
acelerando? (i) Durante a cor-
rida; (ií) depois que ele cruza 
a linha de chegada; (Ili) am-
bas as opções anteriores; (iv) 
nem (i) nem (ii); (v) a resposta 
depende da rapidez com que 
o corredor ganha velocidade 
durante a corrida . 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
Ao estudar este capítulo, 
você aprenderá: 
2.1 Como as ideias de deslocamento e velo-
cidade média nos ajudam a descrever o 
movimento retilíneo. 
2.2 O significado de velocidade instantânea; 
a diferença entre vetor velocidade e velo-
cidade escalar. 
2.3 Como usar a aceleração média e a ace-
leração Instantânea para descrever as 
mudanças no vetor velocidade. 
2.4 Como usar equações e gráficos para 
resolver problemas que envolvem 
movimento retilíneo com aceleração 
constante. 
2.5 Como resolver problemas nos quais um 
objeto está caindo livremente apenas sob 
a Influência da gravidade. 
2.6 Como analisar o movimento retilíneo 
quando a aceleração não é constante. 
Revendo conceitos de: 
1.7 Vetor deslocamento. 
1.8 Componentes de um vetor. 
, 
RETILINE 
ue distância um avião deve percorrer em uma pista antes de atingir a velo-
cidade de decolagem? Quando você lança uma bola diretamente para cima, 
que altura ela atinge? Quando um copo escorrega de sua mão, de quanto 
tempo você dispõe para segurá-lo antes que ele atinja o solo? São esses os tipos 
de perguntas que você aprenderá a responder neste capítulo. Estamos iniciando o 
estudo da física com a mecânica, o estudo das relações entre força, matéria e mo-
vimento. O objetivo deste e do próximo capítulo é o estudo da cinemática, a parte 
da mecânica que trata do movimento. Mais tarde, estudaremos a dinâmica, que 
nos ajuda a compreender por que os objetos se movem de diferentes maneiras. 
Neste capítulo, estudaremos o tipo mais simples de movimento: uma partícula 
se deslocando ao longo de uma linha reta. Para descrever esse movimento, intro-
duziremos as grandezas físicas de velocidade e aceleração. Essas grandezas pos-
suem definições mais precisas e um pouco diferentes das usadas na linguagem 
cotidiana. Uma observação importante é que essas grandezas são vetores. Como 
você aprendeu no Capítulo 1, isso significa que elas possuem módulo, direção e 
sentido. Neste capítulo, estamos interessados apenas em descrever o movimento 
em uma linha reta, de modo que, por enquanto, não necessitamos do tratamento 
matemático completo dos vetores. Porém, no Capítulo 3, abordaremos o movi-
mento em duas e em três dimensões, casos em que o uso dos vetores é essencial. 
Desenvolveremos equações simples para descrever o movimento no caso es-
pecial em que a aceleração permanece constante. Um exemplo é a queda livre de 
um corpo. Também consideraremos casos nos quais a aceleração varia durante o 
movimento; para essa situação, necessitamos do uso da integração para descre-
ver o movimento. (Caso você ainda não tenha estudado integração, a Seção 2.6 
é opcional.) 
38 Física 1 
2.1 DESLOCAMENTO, TEMPO E 
VELOCIDADE MÉDIA 
Suponha que, em uma corrida de carros, uma competidora dirija seu carro em 
um trecho retilíneo (Figura 2.1). No estudo do movimento, precisamos de um 
sistema de coordenadas. Escolhemos o eixo Ox para nosso sistema de coordena-
das ao longo do trecho retilíneo, com a origem O situada no início da linha reta. 
Descreveremos a posição do carro de acordo com a posição de seu ponto repre-
sentativo, como sua extremidade dianteira. Ao fazer isso, o carro todo é represen-
tado por esse ponto, razão pela qual o consideramos uma partícula. 
Um modo útil para a descrição do movimento do carro consiste em dizer como 
x varia em um intervalo de tempo. Suponha que, 1,0 s depois do início do movi-
mento, a extremidade dianteira do carro esteja no ponto P1, a 19 m da origem, e 
que, 4,0 s depois do início do movimento, esse ponto se desloque para P2, a 277 
m da origem. O deslocamento da partícula é um vetor que aponta de P1 para P2 
(Seção 1.7). A Figura 2.1 mostra que esse vetor se posiciona ao longo do eixo Ox. 
O componente x do deslocamento é simplesmente a variação no valor de x, (277 m 
- 19 m) = 258 m, em um intervalo de tempo (4,0 s - 1,0 s) = 3,0 s. Definimos 
a velocidade média do carro nesse intervalo de tempo como um vetor cujo com-
ponente x é a variação de x dividida por esse intervalo: (258 m)/(3,0 s) = 86 m/s. 
Em geral, a velocidade média depende do intervalo específico de tempo esco-
lhido. Para um intervalo de 3,0 s antes do início da corrida, a velocidade média 
seria zero, porque o carro estaria em repouso na linha de partida e seu desloca-
mento seria nulo. 
Vamos generalizar o conceito de velocidade média. Em um instante t1, o carro 
se encontra no ponto P1, cuja coordenada é x1 e, no instante t2, ele se encontra no 
ponto P2 , cuja coordenada é x2 . O deslocamento do carro no intervalo de tempo 
entre t1 e t2 é o vetor que liga P1 a P2• O componente x do deslocamento do carro, 
designado como Lix, é simplesmente a variação da coordenada x: 
(2.1) 
O carro se move somente pelo eixo Ox; logo, os componentes y e z do desloca-
mento são iguais a zero. 
ATENÇÃO O significado de Âr Note que Âx não é o produto de â vezes x; esse símbolo 
significa simplesmente "variação da grandeza x". Sempre usamos a letra grega maiúscula 
â (delta) para representar a variação de uma grandeza, calculada como a diferença entre 
seu valor final e seu valor inicial - nunca o contrário. Analogamente, escrevemos o in-
tervalo de tempo entre t1 e t2 como ât e a variação na grandeza t: ât = t2 - t1 (a diferença 
entre o valor final e o inicial). 
O componente x da velocidade média, ou velocidade x média, é o componente 
x do deslocamento, âx, dividido pelo intervalo de tempo ili durante o qual ocorre 
Figura 2.1 Posição de um carro de corrida em dois instantes de sua trajetória. 
Posição em t1 = 1,0 s Posição em t2 = 4,0 s 
lNÍCIO 1 1 FIM 1 1 
:P1 :P2 ~ 
1 Deslocamento de t1 para t2 1 
------'--
1 
----------- Eixo Ox --------------'''---"""'/-- x 
O"\ ~x1 = 19 m Xi = 277 m 
] { -------- Âx = (Xi - X1) = 258 m -------~ 1 
• • A, : • • 
: ··coordenada x do \ 
• • • • f carro a 1,0 s. -... 
.. ' 
Coordenada x do 
carro a 4,0 s. 
x é positivo à direita do 
ponto de origem ( O), 
negativo à esquerda dele. 
Quando o carro se move no sentido +x, o deslocamento Âx 
é positivo, assim como a velocidade média x: 
Âx 258 m 
vmx = ât = 3,0 s = 86 m/s 
o deslocamento. Representaremos essa grandeza pelo símbolo Vmx (em que o "m" 
subscrito significa valor médio e o "x" subscrito indica que esse é o componente x): 
Componente x do deslocamento da partícula 
Velocidade x média de uma ... • ········~,,···· ··············· ... ~ ...... '):.' .... 
partícula em movimento ···!( .dx x2 - x1 Coordenada x final menos 
retilíneo durante o intervalo Vmx = ~ = coordenada x inicial (2.2) 
de tempo de t1 a t2 ~ t i2 - /1 
•• • • Intervalo de tempo·· Tempo final menos tempo inicial 
Comoumexemplo,paraocarronaFigura2.1,x1 = 19m,x2 = 277rn,t1 = 1,0s 
e t2 = 4,0 s. Logo, a Equação 2.2 fornece: 
v = 277m - 19m = 258m = 86 m/s 
mx 4,0 S - 1,0 S 3,0 S 
A velocidade média do carro de corrida é positiva. Isso significa que, durante 
o intervalo de tempo, a coordenada x cresce e o carro se move no sentido positivo 
do eixo Ox (da esquerda para a direita na Figura 2.1). 
Quando a partícula se move no sentido negativo do eixo Ox durante o intervalo 
de tempo, sua velocidade média para esse intervalo é negativa. Por exemplo, su-
ponha que uma caminhonete se mova da direita para a esquerda ao longo da pista 
(Figura 2.2). A caminhonete se encontra no ponto x1 = 277 m em um instante t1 
= 16,0 s e em x2 = 19 m no instante t2 = 25,0 s. Logo, âx = (19 m - 277 m) = 
-258 me ât = (25,0 s- 16,0 s) = 9,0 s. O componente x da velocidade média 
será Vmx = âxlât = (-258 m)/(9,0 s) = -29 m/s. A Tabela 2.1 apresenta algumas 
regras simples para decidir se a velocidade x é positiva ou negativa. 
ATENÇÃO O sinal do componente x da velocidade média Em nosso exemplo, velocidade 
média positiva implica em um deslocamento para a direita, como na Figura 2.1, e velocidade 
média negativa implica em wn deslocamento para a esquerda, como na Figura 2.2. Porém, 
essas conclusões estão corretas somente quando o eixo Ox é orientado da esquerda para 
a direita. Poderíamos também ter orientado o eixo Ox da direita para a esquerda, com 
origem no ponto final. Neste caso, o carro de corrida teria uma velocidade média nega-
tiva e a caminhonete teria uma velocidade média positiva. Você deve escolher o sentido 
do eixo ao resolver quase todos os problemas. Uma vez feita essa escolha, é necessário 
considerar esse sentido ao interpretar os sinais de Vmx e de outras grandezas que descre-
vem o movimento! 
No caso do movimento retilíneo, em geral âx indica, simplesmente, o deslo-
camento e Vmx, a velocidade média. Contudo, lembre-se de que essas grande-
zas indicam simplesmente os componentes x de grandezas vetoriais que, nesse 
caso particular, possuem apenas componentes x. No Capítulo 3, o deslocamento, 
Figura 2.2 Posições de uma caminhonete em dois instantes durante seu movimento. Os 
pontos P 1 e P 1 indicam agora as posições da caminhonete, e não do carro de corrida, de 
modo que elas são o inverso da Figura 2.1. 
Posição em t2 = 25,0 s Posição em t1 = 16,0 s 
INÍCIO ' ' FIM 
P
2
: P
1
: f-
: Deslocamento de t1 para t2 1 
--~-------------------------~1-~x 
O ,1r .xz=l9m x1 =277m 
{ ~------- t:..x = (x2 - x1) = - 258 m --------1 . ~ ; 
Esta posição agora é Xz· { Esta posição agora é x1. • •• 
Quando a caminhonete se move no sentido -x, t:..x é negativo, 
assim como a velocidade média é negativa: 
t:..x - 258 m 
Vmx = ô..t = 9,0 s = - 29 m/ s 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 39 
TABELA 2.1 Regras para o sinal da 
velocidade x. 
Se a coordenada .. .a velocidade 
X é: X é: 
Positiva e Positiva: a 
crescente partícula se move 
(tomando-se mais no sentido do eixo 
positiva) +Ox 
Positiva e Negativa: a 
decrescente partícula se move 
(tornando-se no sentido do eixo 
menos positiva) -Ox 
Negativa e Positiva: a 
crescente partícula se move 
(tomando-se no sentido do eixo 
menos negativa) +Ox 
Negativa e Negativa: a 
decrescente partícula se move 
(tomando-se mais no sentido do eixo 
negativa) -Ox 
Nota: estas regras aplicam-se tanto à 
velocidade x média Vmx quanto à 
velocidade x instantânea Vx (que será 
discutida na Seção 2.2). 
1 
1 
1 
1 
' 
40 Física 1 
TABELA 2.2 Ordens de grandeza de 
algumas velocidades. 
O rastejar de uma cobra 
Uma caminhada rápida 
Homem mais veloz 
Velocidade máxima em 
uma estrada 
Carro mais veloz 
Movimento aleatório de 
moléculas do ar 
Avião mais veloz 
Satélite de comunicação 
em órbita 
Elétron na órbita de um 
átomo de hidrogênio 
A luz deslocando-se no 
vácuo 
10-3 m/s 
2m/s 
11 m/s 
30m/s 
341 m/s 
500 m/s 
1.000 m/s 
3.000 m/s 
2 X 106 m/s 
3 x 108 m/s 
a velocidade e a aceleração serão considerados com dois ou três componentes di-
ferentes de zero. 
A Figura 2.3 mostra um gráfico da posição do carro de corrida em função do 
tempo, ou seja, é um gráfico xt. A curva dessa figura não representa a trajetória 
do carro no espaço; como indicado na Figura 2.1, essa trajetória é uma linha reta. 
Em vez da trajetória, o gráfico mostra as variações da posição do carro com o 
tempo. Os pontos designados por p 1 e p2 correspondem aos pontos P1 e P2 da tra-
jetória do carro. A linha reta p 1 p2 é a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujo 
lado vertical é .õ.x = x2 - x1 e cujo lado horizontal é lit = t2 - t1. A velocidade 
média do carro Vmx = .õ.xllit é a inclinação da linha reta p 1 p2, ou seja, a razão 
entre o lado vertical .õ.x do triângulo retângulo e o lado horizontal ~t. (A inclina-
ção tem unidades de metros divididos por segundos, ou m/s, as unidades corretas 
para a velocidade média.) 
A velocidade média depende apenas do deslocamento total .õ.x = x2 - x1, que 
ocorre durante o intervalo de tempo lit = t2 - t1, e não dos detalhes ocorridos 
durante esse intervalo. Suponha que uma motocicleta ultrapasse o carro de cor-
rida no ponto P1 da Figura 2.1 no mesmo instante t1 e, a seguir, diminua a velo-
cidade para passar pelo ponto P2 no mesmo instante t2 do carro. Os dois veículos 
possuem o mesmo deslocamento no mesmo intervalo e, portanto, apresentam a 
mesma velocidade média. 
Quando as distâncias são medidas em metros e os tempos em segundos, a ve-
locidade média é dada em metros por segundo, ou m/s (Tabela 2.2). Outras uni-
dades de velocidade comuns são quilômetros por hora (km/h), pés por segundo 
(pés/s), milhas por hora (mi/h) e nós (1 nó = 1 milha náutica/h = 6.080 pés/h). 
TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.1 Cada uma das viagens de automóvel descri-
tas a seguir leva uma hora. O sentido positivo de x é do oeste para leste. (i) O automóvel A 
segue a 50 km para leste. (ii) O automóvel B segue a 50 km para oeste. (iii) O automóvel 
C segue a 60 km para leste, dá meia-volta e segue a 10 km para oeste. (iv) O automóvel D 
segue a 70 km para leste. (v) O automóvel E segue a 20 km para oeste, dá meia-volta e segue 
a 20 km para leste. (a) Classifique as cinco viagens por ordem de velocidade média, da mais 
positiva para a mais negativa. (b) Há viagens com a mesma velocidade média? Se houver, 
quais? (c) Há alguma viagem com velocidade média igual a zero? Qual? 1 
Figura 2.3 Gráfico da posição de um carro de corrida em função do tempo. 
Percurso do 
carro de corrida 
(não escalar) 
P2 
Para um deslocamento ao longo do eixo Ox, a velocidade média de 
x(m) um objeto vmx é igual à inclinação de uma linha que liga os pontos 
correspondentes em um gráfico de posição (x) versus tempo (t). 
400 
300 
-- Xi 
200 
100 
- - - Xt . 
o 
• • • • • . 
• . 
• • • • • • • • • • ------- i --------------------~ . ~ 
\ ~~ : 
..... J>~i- : 
··.. çf~~ 1 
·~ 4~ li âx = X2 - X1 
~ 
:'b-º .......... .L t ~- .... . .. 
..._ô#~ .... ···· : ···inclinação = segmento vertical 
P1 v ât-.:. = t2 - t1 : sobre segmento horizontal = tu 
--- --------------- t(s) ât 
1 2 3 5 
2.2 VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
' As vezes, a velocidade média é tudo o que precisamos para conhecer o movi-
mento de uma partícula. Por exemplo, uma corrida em movimento retilíneo é real-
mente uma competição para saber de quem é a velocidade média, Vmx, com o maior 
módulo. O prêmio vai para o competidor capaz de percorrer o deslocamento âx do 
início ao rrm no menor intervalo de tempo lit (Figura 2.4). 
Mas a velocidade média de uma partícula durante um intervalo de tempo não 
pode nos informar nem o módulo, nem o sentido do movimento em cada instante 
do intervalo. Para isso, é necessário saber a velocidade instantânea, ou a veloci-
dade em um instante ou em um ponto específico ao longo da trajetória. 
ATENÇÃO Qual é a duração de um instante? No cotidiano, você pode usar a frase 
"só um instante" para indicar que um fato ocorrerá em um curto intervalo de tempo. 
Contudo, em física, um instante não possui nenhuma duração; ele se refere a um único 
valor defmido para o tempo. 
Para achar a velocidade instantânea do carro no ponto P1 indicado na Figura 
2.1, imaginamos que o ponto P2 se aproxima continuamente do ponto P1 e cal-
culamos a velocidade média Vmx = âxlílt nos deslocamentos e nos intervalos de 
tempo cada vez menores. Tanto âx quanto ât tornam-se muito pequenos, mas a 
razão entre eles não se toma necessariamente pequena. Em linguagem matemá-
tica, o limite de âxlllt quando ílt tende a zero denomina-se derivada de x em 
relação a t, e é escrito como dx/dt. Usaremos o símbolo Vx, sem nenhum "m" 
subscrito, para designar a velocidade instantânea ao longo do eixo Ox: 
A velocidade x instantânea 
de uma partícula em ········~ _ lim âx _ dx (2.3) movimentoretilíneo... Vx - ~t~O Jlt - dt 
... ~-. ~ ~ 
... é igual ao limite da velocidade x ••• •• •• 
média da partícula à medida que o intervalo ... e é igual à taxa de variação instantânea 
de tempo aproxima-se de zero... da coordenada x da partícula. 
Sempre supomos que o intervalo de tempo llt é positivo, de modo que Vx pos-
sui o mesmo sinal de âx. Quando o sentido positivo do eixo Ox é orientado da 
esquerda para a direita, um valor positivo de Vx indica que x é crescente e que o 
movimento ocorre da esquerda para a direita; um valor negativo de v x indica que 
x é decrescente e que o movimento ocorre da direita para a esquerda. Um corpo 
pode ter valores de Vx positivos e de x negativos, e vice-versa; x indica onde o 
corpo se encontra, enquanto Vx nos informa como ele se move (Figura 2.5). As 
regras que apresentamos na Tabela 2.1 (Seção 2.1) para o sinal da velocidade x 
média Vm.x também se aplicam ao sinal da velocidade x instantânea, Vx. 
A velocidade instantânea, assim como a velocidade média, é uma grandeza ve-
torial. A Equação 2.3 define seu componente x. No movimento retilíneo, todos os 
demais componentes da velocidade instantânea são nulos e, neste caso, costuma-
mos dizer que Vx é simplesmente a velocidade instantânea. (No Capítulo 3, abor-
daremos o caso geral em que a velocidade instantânea pode ter componentes x, y 
e z não nulos.) Quando empregamos a palavra "velocidade", sempre queremos di-
zer velocidade instantânea, e não velocidade média. 
Os termos "vetor velocidade", "velocidade" e "velocidade escalar" são usados 
quase como sinônimos na linguagem cotidiana, mas na física possuem definições 
completamente diferentes. Usamos a expressão velocidade escalar ou a expres-
são módulo do vetor velocidade para designar uma distância percorrida dividida 
pelo tempo, tanto no caso instantâneo quanto considerando-se a média. Usamos o 
símbolo v sem nenhum subscrito para designar velocidade instantânea, que indica 
com que rapidez uma partícula está se movendo; a velocidade instantânea indica se 
o movimento é rápido ou lento e em qual direção e sentido ele ocorre. Como a ve-
locidade escalar instantânea é o módulo do vetor velocidade instantânea, a veloci-
dade escalar instantânea nunca pode ser negativa. Por exemplo, suponha que duas 
partículas se movam na mesma direção, mas em sentidos contrários, uma com ve-
locidade instantânea Vx = 25 m/s e a outra com Vx = -25 m/s. A velocidade esca-
lar instantânea dessas partículas é a mesma, ou seja, 25 m/s. 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 41 
Figura 2.4 O vencedor de uma 
competição de natação de 50 m é 
aquele que possui uma velocidade 
média cujo módulo é o maior de 
todos, ou seja, o nadador que 
percorrer a distância Ax de 50 m no 
menor intervalo de tempo At. 
Figura 2.5 Em qualquer problema 
envolvendo movimento retilíneo, a 
escolha de qual sentido é positivo 
depende exclusivamente de você. 
.• Um ciclista movendo-se 
•• 
.J-
0 
para a esquerda. .. 
--------------X 
o ..... • • •• • 
... possui uma velocidade x negativa v x 
se escolhermos o sentido positivo de x 
para a direita ... 
X -----------------... 
• • 
••• 
o 
... mas possui uma velocidade x positiva 
vx se escolhermos o sentido positivo de x 
para a esquerda. 
42 Física 1 
ATENÇÃO Velocidade escalar e velocidade média A velocidade escalar média não é 
igual ao módulo da velocidade média. Em 2009, César Cielo estabeleceu um recorde de 
velocidade na natação ao nadar 100,0 m em 46,91 s. A velocidade escalar média desse 
nadador foi (100,0 m)/(46,91 s) = 2,132 m/s. Porém, como ele nadou dois trechos de ida 
e volta em uma piscina de 50 m, seu vetor deslocamento total e o vetor velocidade média 
foram iguais a zero! Tanto a velocidade escalar média quanto a velocidade escalar ins-
tantânea são grandezas escalares, não vetoriais, visto que não informam nem a direção 
nem o sentido do movimento. 
EXEMPLO 2.1 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÃNEA 
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
Um leopardo africano está de tocaia a 20 m a leste de um jipe 
de observação blindado (Figura 2.6a). No instante t = O, o leo-
pardo começa a perseguir um ann1ope que está a 50 ma leste 
do veículo. Durante os 2,0 s iniciais do ataque, a coordenada x 
do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação x = 
20 m + (5,0 m/s2)t2. (a) Determine o deslocamento do leopardo 
durante o intervalo entre ti = 1,0 se t2 = 2,0 s. (b) Ache a velo-
cidade instantânea durante o mesmo intervalo. (c) Ache a veloci-
dade instantânea no tempo t1 = 1,0 s, considerando llt = 0,1 s, 
depois 0,01 s e, a seguir, 0,001 s. (d) Deduza uma expressão 
geral para a velocidade instantânea em função do tempo e, a par-
tir dela, calcule a velocidade Vx para t = 1,0 se t = 2,0 s. 
SOLUÇÃO 
IDENTIFICAR E PREPARAR: a Figura 2.6b mostra nosso dese-
nho do movimento do leopardo. Para analisar esse problema, 
usamos a Equação 2.1 para deslocamento, a Equação 2.2 para 
velocidade média e a Equação 2.3 para velocidade instantânea. 
EXECUTAR: (a) Nos instantes ti= 1,0 se t2 = 2,0 s, as posições 
xi e x2 do leopardo são 
xi = 20 m + (5,0 m/ s2)( 1,0 s) 2 = 25 m 
x2 = 20 m + (5,0 m/s2) (2,0 s) 2 = 40 m 
O deslocamento durante esse intervalo de 1,0 s é 
llx = xi - xi = 40 m - 25 m = 15 m 
(b) A velocidade média x durante esse intervalo é 
xi - xi 40 m - 25 m 15 m 
V = 
mx ti - ti 2,0 S - 1,0 S 1,0 S 
= 15 m/ s 
(c) Para llt = 0,1 s, o intervalo é de ti= 1,0 s a um novo t2 = 1,1 s. 
No instante t2, a posição é 
x2 = 20 m + (5,0 m/s2)( 1,1 s) 2 = 26,05 m 
A velocidade x média durante esse intervalo de 0,1 s é 
_ 26,05 m - 25 m _ 
0 5 
m/ 
Vmx - 1,1 S - 1,0 S - l ' S 
Seguindo esse padrão, você pode calcular as velocidades x 
médias para os intervalos t = O,Ol s e t = 0,001 s. Os resul-, 
tados são 10,05 m/s e 10,005 m/s, respectivamente. A me-
dida que Ât se toma menor, a velocidade x média fica cada 
vez mais próxima do valor 10,0 m/s. Logo, concluímos que 
a velocidade instantânea para t = l,O s é igual a 10,0 m/s. 
(Suspendemos as regras para a contagem de algarismos sig-
nificativos nesses cálculos.) 
(d) Pela Equação 2.3, a velocidade x instantânea é Vx = dxldt. A 
derivada de uma constante é zero, de modo que a derivada de 
i2 é 2t. Logo, 
Figura 2.6 Leopardo atacando um antílope a partir de uma tocaia. Os animais não estão desenhados na mesma escala do eixo. 
(a) A situação 
Veículo 
~-
Leopardo 
lllleta 
V = ? 
lx • .. Antílope 
(b) Nosso esboço -----,!:o,-----------...... ---x-l ....... ? _______ x2----4t-?---------r---- X (m) 
x0 = 20,0 m 50,0 m 
(e) Decisões G) Trace um eixo 
apontado na direção e 
no sentido em que o 
leopardo corre, de modo 
que todos os valores 
sejam positivos. 
t = o tl = 1,0 s .õ..x = ? t2 = 2,0 s 
V =? --->I 
0 Eleja o veículo 
como ponto 
de origem. 
mx 
® Marque as posições 
iniciais do leopardo 
e do antílope. 
© Marque as posições 
para o leopardo em 
1 se 2 s. 
®Acrescente as grandezas 
conhecidas e desconhecidas. 
(Continua) 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 43 
( Continuação) 
dx d / 2 .2 
Vx = dt = dt [ 20 m + ( 5 ,O m s ) r] 
= O + (5,0 m/ s2)( 2t) = (10 m/ s2) t 
No instante t = 1,0 s, Vx = 10 m/s, de acordo com o resultado 
obtido no item (e). No instante t = 2,0 s, Vx = 20 m/s. 
AVALIAR: nossos resultados demonstram que o leopardo ganhou 
velocidade a partir de t = O ( quando em repouso) até t = 1,0 s 
(vx = 10 m/s) e até t = 2,0 s (vx = 20 m/s). Isto faz sentido; o 
leopardo percorreu apenas 5 m no intervalo de t = O até t = 1,0 s, 
mas percorreu 15 m no intervalo de t = 1,0 s até t = 2,0 s. 
········································································································································ ························ ································································~ 
Cálculo da velocidade usando um gráfico xt 
A velocidade x deuma partícula também pode ser encontrada a partir de um 
gráfico da posição da partícula em função do tempo. Suponha que você deseja 
calcular a velocidade x do carro de corrida no ponto P1 indicado na Figura 2.1. 
Quando o ponto P2 dessa figura se aproxima do ponto P1, o ponto P2 nos gráfi-
cos xt indicados nas figuras 2.7a e 2.7b se aproxima do ponto Pl e a velocidade 
média é calculada em intervalos Jit cada vez menores. No limite /lt ~ O, indicado 
na Figura 2.7c, a inclinação da linha reta Pl P2 torna-se igual à inclinação da tan-
gente da curva no ponto Pl. Assim, em um gráfico da posição da partícula em 
função do tempo no movimento retilíneo, a velocidade x instantânea em qual-
quer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto. 
Quando a tangente é inclinada para cima e para a direita, como no gráfico xt 
da Figura 2.7c, sua inclinação e velocidade são positivas e o movimento ocorre no 
sentido positivo do eixo Ox. Quando a tangente é inclinada para baixo e para adi-
reita, sua inclinação e velocidade são negativas e o movimento ocorre no sentido 
negativo do eixo Ox. Quando a tangente é horizontal, a inclinação é igual a zero e 
a velocidade é nula. A Figura 2.8 ilustra essas três possibilidades. 
Figura 2.7 Usamos um gráfico xt para ir de (a) e (b), velocidade média, para (c), velocidade instantânea Vx. Em (c), achamos a 
inclinação da tangente para a curva xt, dividindo qualquer intervalo vertical (em unidades de distância) ao longo da tangente pelo 
intervalo horizontal correspondente (em unidades de tempo). 
(a) (b) (e) 
x(m) x(m) x(m) 
400 400 
Ât = 2,0 s Ât = 1,0 s 
300 Âx = 150m 300 Âx = 55m 
Vmx = 15 m/s Vmx = 55 m/ s 
200 200 • • • • . . . 
100 100 
1 4 5 
t (s) 
3 4 5 
400 
V = 160m 300 
X 4,0 s • • • = 40m/ s • • 200 . . • • • • • • . . 
• 
100 • • !( 
t (s) 
1 2 3 
1 
1 
1160m 1 
1 
Enquanto a velocidade média v mx é calculada ... seu valor v nu = Âxl Ât tende para o valor A velocidade instantânea v .i em qualquer 
dado ponto é igual à inclinação da tangente 
da curva xt nesse ponto. 
em intervalos de tempo cada vez menores... da velocidade instantânea. 
Figura 2.8 (a) Gráfico xt do movimento de uma certa partícula. (b) Diagrama do movimento mostrando a posição e a velocidade 
da partícula em cada um dos cinco instantes indicados no gráfico xt. 
(a) Gráfico xt (b) Movimento da partícula 
x lnclin~ção zero: Vx = O 
\liC 
······································ ••••• ••••• 
v ~· 1 •• A partícula está a x < O e tA = 0 • :.a - X o movendo-se no sentido +x . ...... Inclinação negativa: 
D ~·:····· Vx < 0 
••••••••••••••••••••• 
•••• • ••• 
. . 
• 
~E 
ol-~B~---~ ~ ~ ~ t 
~ • • • • • • • • • • . . 
• 
: ""·· .. ~ : \ ~ 
.......... Inclinação positiva: \ ! 
Vx > O V -• • • 
~· lJ •• 
• • x ·oo intervalo tA para tB ela acelera. .. 
o 
1 
v = O•·"'·· ... e de tB para te ela reduz a velocidade 
te--------'-o------•-x e para momentaneamente em te . 
••••••••••• 
11( v . JL'····· ; · De te para tn acelera no sentido de - x ... 
o 
••••••••••••••• V •••• • ••• «• •··· ;· ... e de tn para tE reduz a velocidade 
O no sentido de -x. 
• Em um gráfico xt, a inclinação da tangente em qualquer ponto é igual à velocidade da partícula nesse ponto. 
• Quanto maior a inclinação (positiva ou negativa) do gráfico xt de um objeto, maior a velocidade desse objeto 
no sentido Positivo ou ne~ativo de x. 
44 Física 1 
Figura 2.9 Gráfico xt para 
uma partícula. 
Q 
Note que a Figura 2.8 ilustra o movimento de uma partícula de dois modos: 
(a) mostra um gráfico xt e (b) mostra um exemplo de diagrama do movimento. 
Um diagrama do movimento indica a posição da partícula em diversos instantes 
de seu movimento (como se fosse um filme ou vídeo do movimento da partícula), 
bem como apresenta flechas para indicar as velocidades da partícula em cada ins-
tante. Tanto o gráfico xt quanto o diagrama do movimento são valiosas ferramen-
tas para a compreensão do movimento. Você verificará que é conveniente usar 
ambos os recursos na solução de problemas que envolvem movimentos. 
TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.2 A Figura 2.9 é um gráfico xt do movi-
mento de uma partícula. (a) Classifique os valores da velocidade Vx da partícula nos pontos 
P, Q, R e S, do mais positivo para o mais negativo. (b) Em quais pontos Vx é positiva? 
(c) Em quais pontos Vx é negativa? (d) Em quais pontos Vx é nula? (e) Classifique os valores 
da velocidade escalar da partícula nos pontos P, Q, R e S, do mais rápido para o mais lento. 1 
2.3 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
E ACELERAÇÃO MÉDIA 
Assim como a velocidade indica uma taxa de variação da posição com o tempo, 
a aceleração descreve uma taxa de variação da velocidade com o tempo. Como 
a velocidade, a aceleração também é uma grandeza vetorial. No movimento reti-
líneo, seu único componente diferente de zero está sobre o eixo ao longo do qual 
ocorre o movimento. Como veremos, a aceleração em um movimento retilíneo 
pode referir-se tanto ao aumento quanto à redução da velocidade. 
Aceleração média 
Vamos considerar novamente o movimento de uma partícula ao longo do eixo 
Ox. Suponha que em dado instante t 1 a partícula esteja em um ponto P 1 e pos-
sua um componente x da velocidade (instantânea) u1x, e que em outro instante t2 
a partícula esteja em um ponto P2 e possua um componente x da velocidade v2x. 
Logo, a variação do componente x da velocidade é âvx = V2x - v1x em um inter-
valo ât = t2 - t1. Definimos a aceleração média tlmx da partícula que se move de 
P 1 a P 2 como uma grandeza vetorial cujo componente x é dado pela razão entre 
âvx, a variação do componente x da velocidade e o intervalo ât: 
Aceleração média x de Mudança no componente x da velocidade da partícula 
••• mticul ···•••················ um" p a em ••• • ····· • ···•• ........ _ ....... !! •• ~ •••• •• •• 
•. A ~·· ~ movimentoretilíneo ·~ L.lVx V2x - V1x Velocidadexfinal 
durante o intervalo lZui.x = = menos velocidade 
ât t2 - t l X inicial 
de t1 a t2 •• ~ "-:. .t-
•••• 
Intervalo de tempo Tempo final menos tempo inicial 
(2.4) 
Para o movimento retilíneo ao longo do eixo Ox, chamamos tlmx simplesmente 
de aceleração média. (No Capítulo 3, encontraremos outros componentes do ve-
tor aceleração média.) 
Quando a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em se-
gundos, a aceleração média é expressa em metros por segundo por segundo, ou 
(m/s)/s. Normalmente, escrevemos isso como m/s2 e lemos "metro por segundo 
ao quadrado". 
ATENÇÃO Aceleração versus velocidade A velocidade indica como a posição de um 
corpo varia com o tempo; é um vetor cujo módulo indica a velocidade do deslocamento 
do corpo, e sua direção e sentido mostram a direção e o sentido do movimento. A ace-
leração indica como a velocidade e a direção do movimento variam com o tempo. Pode 
ser útil lembrar-se da frase "a aceleração está para a velocidade assim como a velocidade 
está para a posição". Também pode ser útil se imaginar movendo-se com o corpo em 
movimento. Quando o corpo acelera para a frente e ganha velocidade, você se sente 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 45 
empurrado para trás; quando ele acelera para trás e perde velocidade, você se sente em-
purrado para a frente. Quando a velocidade é constante e não há aceleração, você não tem 
nenhuma dessas sensações. (Explicaremos essas sensações no Capítulo 4.) 
EXEMPLO 2.2 
.. ~~~.~~~~~~~.~~.~~·~····················································································································································· 
Uma astronauta saiu de um ônibus espacial em órbita no espaço 
para testar uma nova unidade de manobra tripulada. À medida 
que ela se move em linha reta, seu companheiro a bordo da 
espaçonave mede sua velocidade a cada intervalo de 2,0 s, co-
meçando em t = l,O s, do seguinte modo: 
t V.r t V.r 
1,0 s 0,8 rn/s 9,0 s -0,4 m/s 
3,0 s 1,2 m/s 11,0 s -1,0 m/s 
5,0 s 1,6 m/s 13,0 s -1,6 m/s 
7,0 s l ,2m/s 15,0 s - 0,8 m/s 
Calcule a aceleração média e verifique se a velocidadeda as-
tronauta aumenta ou diminui para cada um dos seguintes inter-
valos de 2,0 s: (a) t1 = 1,0 s até t2 = 3,0 s; (b) t1 = 5,0 s até 
t2 = 7,0 s; (c) t1 = 9,0 s até t2 = 11,0 s; (d) t1 = 13,0 s até 
t2 = 15,0 s. 
SOLUÇÃO 
IDENTIFICAR E PREPARAR: usamos a Equação 2.4 para en-
contrar o valor de amx a partir da variação em velocidade para 
cada intervalo. Para determinar as variações em velocidade, 
usaremos o conceito de que a velocidade u é o módulo da velo-
cidade instantânea Vx · 
A parte superior da Figura 2.10 mostra um gráfico da velocidade 
em função do tempo. No gráfico Vxt, a inclinação da linha que 
une os pontos do início e do final de cada intervalo fornece a ace-
leração média lZmx = livxllit para cada intervalo. As quatro in-
clinações ( e, portanto, os sinais das acelerações médias) são, da 
esquerda para a direita, positiva, negativa, negativa e positiva. A 
terceira e a quarta inclinações ( e, portanto, as próprias acelerações 
médias) possuem maiores módulos que a primeira e a segunda. 
EXECUTAR: usando a Equação 2.4, encontramos: 
(a) ªmx = (1,2 m/s - 0,8 m/s)/(3,0 s - 1,0 s) = 0,2 m/s2. 
A velocidade escalar (o módulo da velocidade instantânea) au-
menta de 0,8 m/s para 1,2 m/s. 
(b) ~ = (1,2 m/s - 1,6 m/s)/(7,0 s - 5,0 s) = -0,2 m/s2. 
A velocidade diminui de 1,6 m/s para 1,2 m/s. 
(c) amx = [-1,0 m/s - (-0,4 m/s)]/(11,0 s - 9,0 s) = -0,3 m/s2• 
A velocidade aumenta de 0,4 m/s para 1,0 m/s. 
(d) ªmx = [-0,8 m/s - (-1,6 m/s)]/(15,0 s - 13,0 s) = 0,4 m/s2. 
A velocidade diminui de 1,6 m/s para 0,8 m/s. 
Na parte inferior da Figura 2.10, representamos graficamente 
os valores de ªmx· 
AVALIAR: os sinais e os módulos relativos das acelerações mé-
dias correspondem às nossas previsões qualitativas. Observe que, 
quando a aceleração média x possui o mesmo sentido (mesmo 
sinal algébrico) da velocidade inicial, como nos intervalos (a) e 
( c ), a astronauta acelera. Quando llmx possui sinal algébrico con-
trário, como nos intervalos (b) e ( d), ela diminui a aceleração. 
Logo, a aceleração positiva x implica velocidade crescente, 
quando a velocidade x é positiva [intervalo (a)], mas redução da 
velocidade, quando ela é negativa [intervalo (d)]. Da mesma 
forma, a aceleração negativa x implica velocidade crescente, 
quando a velocidade x é negativa [intervalo ( c)], mas decres-
cente, quando a velocidade é positiva [intervalo (b)]. 
Figura 2.10 Nossos gráficos de velocidade versus tempo 
(parte superior) e aceleração média versus tempo (parte 
inferior) para a astronauta. 
vx(mls) 
(b) 
1,5 
1,0 
0,5 
(a) K 
·~âvx 
1 
1 
~ :--l 1 1 
1 ât 1 1 1 
1 1 1 1 
Oi----..... , ~----'-~--------'5~~~' ~~----'-~~~~~l-'-5~ t(s) 
1 10 (e) 
-0,5 
- 1,0 
- 15 
' 
1 
~ 
ltt.' 
1 
1 
1 
1 
1 A inclinação da linha que liga dois 
: pontos em um gráfico de v xt. .. 
amx(mls2) é igual à aceleração média entre 
1 esses pontos. \ 
0,5 1 , \ 
• 
1 
1 
1 ---, 
1 
1 
1 
1 
1 
1 : 
0 ------5:.,-_-_-_ ..... --....,-i ...... 1"-o _____ l..._5_ t(s) 
-0,5 
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
Aceleração instantânea 
Podemos agora definir a aceleração instantânea seguindo o mesmo procedi-
mento adotado quando defmimos velocidade instantânea. Considere a situação em 
que um piloto de carro de corrida acaba de entrar na reta final do Grand Prix, como 
ilustra a Figura 2.11. Para definir a aceleração instantânea no ponto P1, imagi-
namos que o ponto P2 da Figura 2.11 se aproxima continuamente do ponto P1, de 
modo que a aceleração média seja calculada em intervalos cada vez menores. 
A aceleração instantânea 
x de uma partícula em ............ ,.. . âu x dv x 
movimento retilíneo.. . a = lim = -
X ât-+0 ât dt ~ ... 
... :e ••• •• 
(2.5) 
... é igual ao limite da aceleração média x 
quando o intervalo de tempo tende a zero ... 
. .. e é igual à taxa instantânea de variação 
da velocidade x com o tempo. 
46 Física 1 
Figura 2.11 Um carro de corrida do Grand Prix na reta final. 
Módulo da velocidade v 1 
Ve'locidade v1x 
Módulo da velocidade v2 
Velocidade v2x ,. 
o 
Note que ªx na Equação 2.5 é, de fato, o componente x do vetor aceleração 
instantânea x; no movimento retilíneo, todos os demais componentes desse vetor 
são iguais a zero. A partir de agora, quando usarmos o termo "aceleração", desig-
naremos a aceleração instantânea, não a aceleração média . 
EXEMPLO 2.3 .. ~~~~~~~ç·~º·~~·º·1.~ .. ~.~~.~~.~~~çAº.~~.~!~~!~~~~ ....................................................................................... . 
Suponha que a velocidade Vx do carro na Figura 2.11 em qual-
quer instante t seja dada pela equação 
Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3)t2 
(a) Ache a variação da velocidade média do carro no intervalo 
entre t1 = 1,0 se t2 = 3,0 s. (b) Ache a aceleração média do 
carro nesse intervalo. ( c) Ache a aceleração instantânea do 
carro para t1 = 1,0 s, considerando ll.t = 0,1 s, 0,01 se 0,001 s. 
( d) Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea 
em função do tempo e, a partir dela, calcule ªx para t = 1,0 s 
e t = 3,0 s. 
SOLUÇÃO 
IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo é análogo ao Exem-
plo 2.1 da Seção 2.2. Naquele caso, encontramos a velocidade 
média x ao longo de intervalos cada vez mais curtos a partir da 
variação da posição e determinamos a velocidade instantânea 
x pela diferenciação da posição como uma função do tempo. 
Neste caso, temos um paralelo exato. Usando a Equação 2.4, 
encontramos a aceleração média x da variação na velocidade 
em um intervalo. Da mesma forma, usando a Equação 2.5, 
obteremos uma expressão para a aceleração instantânea deri-
vando a velocidade em função do tempo. 
EXECUTAR: (a) Antes de aplicar a Equação 2.4, temos de achar 
a velocidade x em cada instante da equação fornecida. Para t 1 = 
1,0 se t2 = 3,0 s, as velocidades são 
v1x = 60 m/s + (0,50 m/ s3)(1,0 s) 2 = 60,5 m/ s 
v2x = 60 m/s + (0,50 m/s3)(3,0 s) 2 = 64,5 m/ s 
A variação da velocidade ll.vx entre t1 = 1,0 s e t2 = 3,0 s é 
dada por 
ll.vx = V2x - Vtx = 64,5 m/ s - 60,5 m/ s = 4,0 m/ s 
(b) A aceleração média durante esse intervalo de duração t2 - t1 
= 2,0 sé 
V2x - V1x 4,0 m/ s / 2 llmx= = =20ms 
t2 - t1 2,0 s ' 
Durante esse intervalo, a velocidade e a aceleração média pos-
suem o mesmo sinal (nesse caso, positivo) e o carro acelera. 
(c) Quando /l.t = 0,1 s, t2 = 1,1 s. Prosseguindo como antes, 
encontramos 
v2x = 60 m/ s + (0,50 m/s3)(1,1 s) 2 = 60,605 m/ s 
ll.vx = 0,105 m/ s 
_ ll.vx _ 0,105 m/s _ / 2 
llmx - àt - O,l s - 1,05 m s 
Convidamos você a seguir o mesmo raciocínio e refazer os cál-
culos de llmx para os intervalos àt = 0,01 se ll.t = 0,001 s; os 
resultados são lZnu; = 1,005 m/s2 e ªmx = 1,0005 m/s2, respec-, 
tivamente. A medida que flt se toma cada vez menor, a acele-
ração média x fica cada vez mais próxima do valor 1,0 m/s2• 
Logo, concluímos que a aceleração instantânea para t = 1,0 sé 
igual a 1,0 m/s2• 
( d) Pela Equação 2.5, a aceleração instantânea x é ªx = dv x / dt. 
A derivada de uma constante é igual a zero e a derivada de fl é 
2t, portanto 
dvx d 3 ,2 
ax = dt = dt[60m/s + (0,50m/ s )r] 
= (0,50 m/ s 1(2t) = (1,0 m/s3)t 
Para t = 1,0 s, 
ªx = (1,0 m/ s3Xl,O s) = 1,0 m/s2 
Para t = 3,0 s, 
ªx = (1,0 m/ s3X3,0 s) = 3,0 m/s2 
AVALIAR: note que nenhum desses valores encontrados no item 
(d) é igual à aceleração média obtida no item (b). Isso porque a 
aceleração instantânea desse carro varia com o tempo. A taxa 
de variação da aceleração com o tempo produz uma variação 
brusca da velocidade . 
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
Cálculo da aceleração usando um gráfico vxt ou um 
gráficoxt 
Na Seção 2.2, interpretamos a velocidade média e a velocidadeinstantânea 
de uma partícula em termos da inclinação em um gráfico de posição em fun-
ção do tempo. De modo semelhante, podemos ter melhor noção dos conceitos de 
aceleração média e instantânea x usando um gráfico com a velocidade instantâ-
nea Vx no eixo vertical e o tempo t no eixo horizontal- ou seja, um gráfico vxt 
(Figura 2.12). Os pontos nesse gráfico, designados por p 1 e p2, correspondem aos 
pontos P1 e P2 indicados na Figura 2.11. A aceleração média amx = .âvx !.ât du-
rante esse intervalo é a inclinação da linha Pt P2· 
' A medida que o ponto P2 da Figura 2.11 se aproxima do ponto P1, o ponto p 2 no 
gráfico vxt indicado na Figura 2.12 se aproxima do ponto p 1 e a inclinação da linha 
reta p 1 p2 se aproxima da inclinação da tangente da curva no ponto p 1. Portanto, 
em um gráfico da velocidade em função do tempo, a aceleração instantdnea x em 
qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto. Na Figura 
2.12, tangentes traçadas em diferentes pontos ao longo da curva possuem diferen-
tes inclinações, de modo que a aceleração instantânea varia com o tempo. 
ATENÇÃO Sinais de aceleração e velocidade Note que o sinal algébrico da aceleração 
não é suficiente para informar se um corpo está em movimento acelerado ou retardado. 
Você deve comparar o sinal da velocidade com o da aceleração. Quando Vx e ªx possuem 
o mesmo sinal, o movimento do corpo está sendo acelerado. Quando ambos forem positi-
vos, o corpo está se movendo no sentido positivo com uma velocidade crescente. Quando 
ambos forem negativos, o corpo está se movendo no sentido negativo com uma veloci-
dade que se torna cada vez mais negativa, e novamente a velocidade é crescente. Quando 
Vx e ªx possuem sinais opostos, o movimento do corpo é retardado. Quando Vx é posi-
tivo e ªx é negativo, o corpo se desloca no sentido positivo com velocidade decrescente; 
quando Vx é negativo e ªx é positivo, ele se desloca no sentido negativo com uma velo-
cidade que se torna menos negativa, e novamente o movimento do corpo é retardado. A 
Tabela 2.3 resume essas regras, e a Figura 2.13 ilustra algumas dessas possibilidades. 
O termo "desaceleração" algumas vezes é usado para designar diminuição de 
velocidade. Como isso pode corresponder a um valor de ªx positivo ou negativo, 
dependendo do sinal de Vx, evitamos esse termo. 
Também podemos estudar a aceleração de uma partícula a partir do gráfico 
de sua posição versus tempo. Como ªx = dvx /dt e Vx = dxJdt, podemos escrever: 
(2.6) 
Ou seja, ªx é a derivada de segunda ordem de x em relação a t. A derivada de 
segunda ordem de qualquer função é relacionada com a concavidade ou curva-
tura do gráfico dessa função (Figura 2.14). Em um ponto no qual o gráfico xt 
tenha concavidade voltada para cima (encurvado para cima), como o ponto A ou 
E na Figura 2.14a, a aceleração x é positiva e Vx é crescente. Em um ponto no 
qual o gráfico xt tenha concavidade voltada para baixo (encurvado para baixo), 
como o ponto C na Figura 2.14a, a aceleração x é negativa e Vx é decrescente. Em 
Figura 2.12 Gráfico Vx t do movimento indicado na Figura 2.11. 
Para um deslocamento no eixo Ox, a aceleração média de 
um objeto x é igual à inclinação da linha que liga os pontos 
Vx correspondentes em um gráfico de velocidade (u.J versus tempo (t) . 
• • • • • • • • . 
• --- - ----------------• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
1 
1 
1 
1 
1 
:âvx = V2x - Vix 
1 
~ .... 1 
······t· .... Inclinação da tangente para a curva v; em um 
: dado ponto = aceleração instantânea nesse ponto. 
----'-------------------t o 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 47 
TABELA 2.3 Regras para o sinal 
da aceleração. 
-
Se a velocidade ... a aceleração é: 
X é: 
Positiva: a 
Positiva e partícula se move 
crescente no sentido do eixo 
(tomando-se mais +Oxem 
positiva) velocidade 
crescente 
Negativa: a 
Positiva e partícula se move 
decrescente no sentido do eixo 
(tomando-se +Oxem 
menos positiva) velocidade 
decrescente 
Positiva: a 
Negativa e partícula se move 
crescente no sentido do eixo 
(tomando-se -Oxem 
menos negativa) velocidade 
decrescente 
Negativa: a 
Negativa e partícula se move 
decrescente no sentido do eixo 
(tomando-se mais -Oxem 
negativa) velocidade 
crescente 
Nota: estas regras aplicam-se tanto à 
aceleração média amx quanto à 
aceleração instantânea ªx· 
1 
48 Física 1 
Figura 2.13 (a) Gráfico vxt do movimento de uma partícula diferente da mostrada na Figura 2.8. (b) Diagrama do movimento 
mostrando a posição, a velocidade e a aceleração da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico v x t. 
(a) Gráfico vx1 (b) Movimento da partícula 
A partícula está a x < O, movendo-se no sentido 
Inclinação zero: ªx = O 
•• •• ""). e 
• V• 
~ 
tB e 
•••••••••••••••• I ~······ ··••·••••• -x (vx < O), e reduzindo a velocidade 
0 x (vx e ªx possuem sinais opostos) . 
·•··•···•·························••···· A partícula está a x < O, instantaneamente em 
~·· 1 ~ ··· repouso (vx = O), e prestes a se mover no sentido 
O +x (aA'. > O). v = O Ül---9'--------~~~~t 
~ 
Inclinação positiva: 
A •• ~····· ªx > O 
• • • • • • • • • • • • • : ••• ··>-
: ····· :.··· 
Inclinação negativa: 
ªx < O Y. ··. ..~ 
~ .. · • • • • •• • • •• •• •• M • • • • • • 
a = o ....................... A partícula está a x > O, movendo-se no sentido 
1 • v :,. x +x (vx > O); sua velocidade está instantaneamente 
O invariável (ax = O) . 
a ...... A partícula está a x > O, instantaneamente em .... 
tD _____ __._I -----;•~ x repouso (vx = 0), e prestes a se mover no sentido 
O v = O -x (a < O). 
:X 
a ••••••••• 
1 • u 11:.···· •• A partícula está a x > O, movendo-se no sentido 
1E ------0.L..-,....,_,.. __ x -x (vx < O), acelerando (vx e a:x têm o mesmo sinal) . 
• Em um gráfico V:.l• a inclinação da tangente em qualquer ponto é igual à aceleração da partícula nesse ponto. 
• Quanto maior a inclinação (positiva ou negativa), maior a aceleração da partícula no sentido positivo ou negativo de x. 
Figura 2.14 (a) O mesmo gráfico xt indicado na Figura 2.8a. (b) Diagrama do movimento mostrando a posição, a velocidade e a 
aceleração da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico xt. 
(a) Gráfico xt (b) Movimento da partícula 
X 
Inclinação zero: vx = O 
Concavidade para baixo: ªx < O 
• • • • • • •• ··~ e 
• Inclinação negativa: 
• 
j Vx < 0 
f Concavidade para cima: 
D \ ax> O 
• • • • 
A partícula está a x < O, movendo-se 
•••••••••••••••••••••••••• 
-~ .............. ·•·•···•·• no sentido +x (vx > O), e acelerando 
tA= O • v :,. 1 x (vx e a:x possuem o mesmo sinal) . 
O A partícula está a x = O, movendo-se no 
a 
a = O .._ .............................. sentido +x (vx > O); sua velocidade está 
• v :,. x instantaneamente invariável (a:x = O) . 
O a A partícula está a x > O, instantaneamente 
.-
0
•········· em repouso (vx = O), e prestes a se mover 
B ~~·~E 
01---+-----.~-- ~~-- t r.. . 
••• 
••••••• •·•• Inclinação negativa: vx < O 
1 V -te ------'-Ó-----41•1--- x no sentido -x (aA'. < O). 
........ A partícula está a x > O, movendo-se no 
a = O ..... ··••• sentido -x (vx < O); sua velocidade está 
• \ Concavidade zero: ªx = O 
Inclinação positiva: vx > O 
Concavidade zero: ªx = O 
Inclinação positiva: vx > O 
Concavidade para cima: ªx > O 4'... ··"' ,... ..· •• • • • •• •• • • • 
1 < V • tv _____ ....... o .. ""'~-.1---- x instantaneamente invariável (aA'. = O). 
a .................. A partícula está a x > O, movendo-se no ... . ... 
v • • )Ili sentido -x (vx < O), retardando (vx e aA'. 
1E ----- •o,._. _____ x possuem sinais opostos). 
• Em um gráfico xt, a concavidade em qualquer ponto indica a aceleração da partícula nesse ponto. 
• Quanto maior a concavidade (positiva ou negativa), maior a aceleração da partícula no sentido positivo ou negativo de x. 
um ponto no qual o gráfico xt não possui nenhuma concavidade, como nos pon-
tos de inflexão B e D, a aceleração é igual a zero e a velocidade não varia. 
Examinando a concavidade de um gráficoxt, torna-se fácil determinar o sinal da 
aceleração. Essa técnica é menos útil para a determinação do módulo da aceleração, 
visto que a concavidade de um gráfico é difícil de ser determinada com exatidão. 
TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.3 Analise novamente o gráfico xt na 
Figura 2.9, ao final da Seção 2.2. (a) Em quais dos pontos P, Q, R e S a aceleração ªx é 
positiva? (b) Em quais dos pontos a aceleração é negativa? (c) Em quais pontos a ace-
leração parece ser zero? (d) Em cada ponto, indique se a velocidade está aumentando, 
diminuindo ou é constante. 1 
2.4 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 
O mais simples dos movimentos acelerados é o movimento retilíneo com ace-
leração constante. Neste caso, a velocidade varia com a mesma taxa durante o 
movimento. Como exemplo, um corpo em queda livre possui uma aceleração 
constante quando os efeitos da resistência do ar são desprezados. O mesmo ocorre 
quando um corpo escorrega ao longo de um plano inclinado ou de uma superfície 
horizontal com atrito, ou no caso do movimento de um caça a jato sendo lançado 
pela catapulta de um porta-aviões. 
A Figura 2.15 é um diagrama do movimento que mostra a posição, a veloci-
dade e a aceleração para uma partícula que se move com aceleração constante. 
Nas figuras 2.16 e 2.17, mostramos esse mesmo diagrama por meio de gráfi-
cos. Como a aceleração a é constante, o gráfico axt (gráfico da aceleração versus 
tempo) indicado na Figura 2.16 é uma linha horizontal. O gráfico da velocidade 
versus tempo (gráfico Vxt) possui uma inclinação constante, pois a aceleração é 
constante e, portanto, o gráfico é uma linha reta (Figura 2.17). 
Quando a aceleração ªx é constante, a aceleração média amx para qualquer in-
tervalo de tempo é a mesma que ªx· Assim, é fácil deduzir equações para a posi-
ção x e para a velocidade Vx em função do tempo. Para achar uma expressão para 
Vx, primeiro substituímos ªmx na Equação 2.4 por ax: 
(2.7) a= ----x 
t2 - ti 
Agora, faça t1 = O e suponha que t2 seja um instante posterior arbitrário t. Usa-
mos o símbolo Vox para a velocidade no instante t = O; a velocidade para qualquer 
instante t é Vx. Então, a Equação 2.7 torna-se: 
a=----
x t - o 
ou 
Velocidade x no instante Velocidade x da partícula 
•••••••• 
t de uma partícula com •••••· ••• no instante O 
~ . 
aceleração constante x vx = VÔx + axt •·· 
•••• •• ••• • 
Aceleração constante x da partícula Tempo 
(2.8) 
Na Equação 2.8, o termo axt é o produto da variação da velocidade por uni-
dade de tempo, ax, multiplicada pelo tempo t. Portanto, indica a variação total da 
velocidade desde o instante inicial t = O até um instante posterior t. A velocidade 
Vx em qualquer instante t é igual à velocidade inicial Vox (para t = O) mais a varia-
ção da velocidade axt (Figura 2.17). 
Outra interpretação da Equação 2.8 é que a variação da velocidade Vx - Vox da 
partícula desde t = O até um instante posterior t é igual à área sob o gráfico entre 
esses limites em um gráfico axt. Na Figura 2.16, a área sob a linha do gráfico de 
aceleração versus o tempo é indicada pelo retângulo com altura ªx e comprimento 
t. A área desse retângulo é igual a axt, que pela Equação 2.8 é igual à variação da 
velocidade Vx - Vox· Na Seção 2.6, verificamos que, mesmo no caso em que a ace-
leração não seja constante, a variação da velocidade continua sendo dada pela área 
sob a linha em um gráfico axf, embora nesse caso a Equação 2.8 não se aplique. 
A seguir, queremos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se 
move com aceleração constante. Para isso, usaremos duas diferentes expressões 
para a velocidade média Vmx da partícula desde t = O até um instante posterior t. 
A primeira expressão resulta da definição de Vmx, Equação 2.2, que permanece 
válida em caso de aceleração constante ou não. Denominamos a posição no ins-
tante t = O de posição inicial e a representamos por x0• Designamos simples-
mente por x a posição em um instante posterior t. Para o intervalo /lt = t - O e 
para o deslocamento correspondente âx = x - x0, a Equação 2.2 fornece 
V = mx 
X -.xo 
t 
(2.9) 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 49 
Figura 2.15 Diagrama do 
movimento para uma partícula que 
se move em linha reta no sentido 
positivo de x com aceleração 
constante positiva ªx· 
. ...... Se uma partícula tem 
i . movimento retilíneo com 
a l -_ ace eraçao constante a ... 
-V /t 
t=O J,,: X 
<r ... a velocidade varia em 
: quantidades iguais para 
: a intervalos de tempo iguais. 
1 +-;V •• . •••• 
t=l1t 
0
1, • • ••• ! -....·· .. .: ·•. 
1 
a : \ .. 
X 
1 V ..:./ : \ ••• 
t = 2/1t I , 1 )l i ·\ ~ X °' : a ; • • 
1' 1 V .j. \ 
t = 3f1t 1 ' )l \ X °' a : 1 .... V \ 
t = 4/1t l 1 ... ... ... 1 )1 .,.. X 
ri'; • • : •• t-vi i i 1 • 
Entretanto, a posição varia em 
quantidades diferentes para intervalos 
de tempo iguais porque a velocidade 
está variando. 
Figura 2. 16 Gráfico da aceleração 
versus tempo (axt) para uma partícula 
que se move em linha reta com 
aceleração constante positiva ªx· 
Aceleração constante: o gráfico 
a t é uma linha horizontal 
X 
(inclinação = O). 
.... 
• • 
•• •• • •• • 
,..:L 
1 
1 
1 
1 
----1,------· ------ t • o • • • .. t 
• 
Área sob o gráfico axt = vx - vlh: = 
variação na velocidade do tempo 
O ao tempo t. 
Figura 2.17 Gráfico da velocidade 
versus tempo (vxt) para uma 
partícula que se move em linha reta 
com aceleração constante positiva 
ªx· A velocidade inicial Vox também 
é positiva neste caso. 
No intervalo 
Aceleração constante x: de tempo t, a 
o gráfico v x! é uma velocidade x 
linha reta. 
• . 
• • • • • 
• • • • • • • 
• • • • • • • • • .. ...... 
•• ••• 
i ltv, 
V0x 
• • : .. -----1~-------. -.-----'--.......__-L-- t 
O 
•• . . t ••• .... ~· , ... 
Area total sob o gráfico Vx! = x - Xo = 
variação na coordenada do tempo O 
para o tempo t. 
50 Física 1 
BIO Aplicação Testando humanos 
em altas acelerações 
Em experimentos realizados pela Força 
Aérea dos Estados Unidos nas décadas 
de 1940 e 1950, os humanos pilotando 
um trenó a jato puderam suportar 
acelerações de até 440 m/s2. As três 
primeiras fotos nesta sequência mostram 
o médico da Força Aérea John Stapp 
acelerando do repouso até 188 m/s 
(678 km/h = 421 mi/h) em apenas 5 s. 
As fotos 4 a 6 mostram um módulo de 
aceleração ainda maior, quando o 
equipamento freou até parar. 
Para deduzir uma segunda expressão para Vmx, observe que a velocidade varia 
com uma taxa constante se a aceleração for constante. Nesse caso, a velocidade 
média durante o intervalo de tempo de O até t é simplesmente a média aritmética 
das velocidades desde o início até o instante final do intervalo: 
Vmx = ~ (Vox + Vx) (somente para aceleração constante) (2.10) 
(Essa equação não vale quando a aceleração varia durante o intervalo de 
tempo.) Sabemos também que, no caso de aceleração constante, a velocidade Vx 
em qualquer instante t é dada pela Equação 2.8. Substituindo essa expressão por 
Vx na Equação 2.10, encontramos: 
Vmx = } (Vox + V0x + axt) 
= V0x + ~axt 
( somente para 
aceleração constante) (2.11) 
Finalmente, igualando a Equação 2.9 com a Equação 2.11 e simplificando o 
resultado, obtemos: 
ou 
. _ . Posição da partícula no instante O 
Pos1çao no mstante t Tempo 
de uma partícula com _ 1 2 
aceleração constante x X - Xo + Voxt + 2ªxt (2.12) 
Velocidade da partícula no instante O Aceleração constante da partícula 
A Equação 2.12 mostra que, se para um instante inicial t = O, a partícula está 
em uma posição xo e possui velocidade Vox, sua nova posição em qualquer ins-
tante t é dada pela soma de três termos - a posição inicial x0, mais a distância 
Voxt que ela percorreria caso a velocidade permanecesse constante, mais uma dis-
tância adicional } axi2 produzida pela variação da velocidade x. 
Um gráfico da Equação 2.12, que é um gráfico xt para movimento com acele-
ração constante (Figura 2.18a), é sempre uma parábola. A Figura 2.18b mostra 
esse gráfico. A curva intercepta o eixo vertical (eixo Ox) em x0, na posição t= O. 
A inclinação da tangente em t = O é igual a vox, a velocidade inicial, e a inclina-
ção da tangente para qualquer tempo t é igual à velocidade Vx em qualquer tempo. 
A inclinação e a velocidade são continuamente crescentes, de modo que a ace-
leração ª x é positiva; também se pode verificar isso porque o gráfico na Figura 
Figura 2.18 (a) Movimento em linha reta com aceleração constante. (b) Gráfico de 
posição versus tempo (xt) para esse movimento (o mesmo que aparece nas figuras 2.15, 
2.16 e 2.17). Para esse movimento, a posição inicial x0, a velocidade inicial Vox e a 
aceleração ªx são todas positivas. 
(a) Um carro de corrida se desloca 
na direção do eixo Ox com uma 
aceleração constante 
(b) Gráfico xt 
X 
X 
x ------------------ x ------
~ ~, . ~ 
·•••.•... No intervalo de tempo t, .....•. ····· 1 
:::,,. a velocidade varia em ... u::·· ····• 
Inclinação = v x 
Aceleração constante: 
•• •• •• • 
•••• • V.x - Vfu = a.xt. 
o gráfico xt é uma parábola. 
... 1 ••• '"······1····· 
• ,;. 
Vfu Xo 
.xo -----------------
~ --1l,- Inclinação = v fu 
______ _J 
1 
1 
-....---------- t 
o o t 
2.18b é côncavo para cima (encurvado para cima). Se ªx é negativo, o gráfico xt é 
uma parábola côncava para baixo (encurvada para baixo). 
Quando a aceleração é zero, o gráfico xt é uma linha reta; quando a acelera-
ção é constante, o termo adicional }axt2 na Equação 2.12 para x em função de t 
encurva o gráfico para formar uma parábola (Figura 2.19a). Podemos analisar 
o gráfico Vxt da mesma forma. Quando a aceleração é zero, esse gráfico é uma 
linha horizontal (a velocidade é constante). Acrescentando-se uma aceleração 
constante na Equação 2.8, temos uma inclinação para esse gráfico (Figura 2.19b). 
Aqui está outra forma de derivar a Equação 2.12. Do mesmo modo que ave-
locidade é dada pela área sob um gráfico axt, o deslocamento (a variação da po-
sição) é igual à área sob um gráfico Vxt. Ou seja, o deslocamento x - x0 de uma 
partícula desde t = O até um instante posterior t é igual à área sob o gráfico Vxt 
entre esses dois limites de tempo. Na Figura 2.17, a área sob o gráfico é com-
posta pela soma da área do retângulo de lado vertical Vox e lado horizontal t mais 
a área do triângulo dada por }(axt)(t) = J axt2. Já a área total sob o gráfico Vxt é 
x - Xo = Voxt + à axt2, de acordo com a Equação 2.12. 
O deslocamento durante um dado intervalo de tempo sempre pode ser calcu-
lado pela área sob a curva v xt. Isso é verdade mesmo quando a aceleração não é 
constante, embora para esses casos a Equação 2.12 não possa ser aplicada. (Isso 
será demonstrado na Seção 2.6.) 
Em muitos problemas, é conveniente usar uma equação que envolva a posição, 
a velocidade e a aceleração (constante), que não leve em conta o tempo. Para obtê-
-la, inicialmente explicitamos t na Equação 2.8; a seguir, a expressão obtida deve 
ser substituída na Equação 2.12 e simplificada: 
Vx - Vox 
t=---
ªx 
Transferindo o termo x0 para o membro esquerdo, multiplicando por 2ax e 
simplificando: 
2ax(x - Xo) = 2VoxVx - 2Vox2 + Vx2 - 2VoxVx + Vox2 
Finalmente, ao simplificar, obtemos 
Velocidade no instante t Velocidade da partícula no instante O 
de uma partícula com ..... ..•• 
aceleração constante ··~vx2 = vi x2 + 2aJ... x - x0) (2.13) •••••••• ~ ~ >:-
••••• •• •• 
~ . ~ 
Aceleração constante Posição· da ••····· Posição da 
da partícula partícula no instante t partícula no instante O 
Figura 2.19 Como uma aceleração constante afeta (a) o gráfico xt e (b) o gráfico vxt de 
um corpo. 
(a) Um gráfico xt para uma partícula que se 
move a uma aceleração constante positiva 
Gráfico com aceleração constante: 
X X= Xo + V0xt + ! axt2 
• • • • . 
• • • ..·Efeito da 
• 
.. .: aceleração: 
la t2 2 X 
---Gráfico que obteríamos 
• ·•·· com aceleração zero: 
X = Xo + V0xt 
-----------t 
o 
(b) O gráfico v xf para a mesma partícula 
Gráfico com aceleração constante: 
Vx + Vx = V0x a xt 
• • • • • • • • • • 
Velocidade acrescentada 
• 
··'pela aceleração: 
axt 
Vax --~ -- -- - --
· ..... Gráfico com aceleração zero: 
Vx = Vox -----------t 
o 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 51 
52 Física 1 
Podemos obter outra equação útil igualando as duas expressões de Umx, dadas 
pelas equações 2.9 e 2.10, e multiplicando os dois membros por t: 
Posição no instante t de Posição da partícula no instante O Tempo 
11m.a partícula com · ·· ......... f ... ·· 
aceleração constante ·-.. x - x~ = i ( Vox + v.J t ~···· (2.14) . ~ .. ,. . 
•• • •••• • 
Velocidade da partícula no instante O ··•·•• Velocidade da partícula no instante t 
Note que a Equação 2.14 não contém a aceleração ªx· Essa equação pode ser 
útil quando ªx possuir um valor constante, porém desconhecido. 
As equações 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14 são as equações do movimento com acelera-
ção constante (Tabela 2.4). Usando essas equações, podemos resolver qualquer 
problema que envolva o movimento retilíneo com aceleração constante. 
TABELA 2A Equações de movimento com aceleração constante. 
Equação 1 Inclui grandezas 
Vx = V0x + axt (2.8) t Vx ª x 
X = XQ + V0xt + !axt2 (2.12) t X ªx 
v; = vo} + 2ax(x - xo) (2.13) X Vx ª x 
x - xo = !(v0x + Vx) t (2.14) t X Vx 
IDENTIFICAR os conceitos relevantes: na maioria dos proble-
mas de movimento retilíneo, você pode usar as equações de 
aceleração constante 2.8, 2.12, 2.13 e 2.14. Mas, eventual-
mente, você encontrará uma situação em que a aceleração 
não é constante. Nesse caso, necessitará de uma abordagem 
diferente (ver Seção 2.6). 
PREPARAR o problema seguindo estes passos: 
1. Leia o problema cuidadosamente. Crie um diagrama de mo-
vimento mostrando o local da partícula nos instantes em 
que houver interesse. Decida onde colocar a origem das 
coordenadas e a direção do eixo, assinalando qual é seu 
sentido positivo. É sempre útil colocar a partícula na origem 
t = O; então .xo = O. Sua escolha do sentido positivo do eixo 
automaticamente determina o sentido positivo da veloci-
dade e da aceleração. Se o eixo Ox for orientado para adi-
reita da origem, então v x e ªx também serão positivos 
quando tiverem esse sentido. 
2. Identifique as grandezas físicas (tempos, posições, veloci-
dades e acelerações) que aparecem nas equações 2.8, 2.12, 
2.13 e 2.14, atribuindo-lhes símbolos apropriados: x, x0, Vx 
e ax, ou símbolos relacionados. Reformule o problema em 
palavras: "Quando uma partícula atinge seu ponto mais 
alto?" significa "Qual é o valor de t quando x tem seu valor 
máximo?". Já o Exemplo 2.4 "Onde está o motociclista 
quando sua velocidade é de 25 m/s?" quer dizer "Qual é o 
valor de x quando Vx = 25 m/s?". Esteja atento a informa-
ções implícitas. Por exemplo, "Um carro para em um semá-
foro" normalmente significa Vox = O. 
3. Faça uma lista de grandezas como x, xo, V» vnx, ª x e t. Em 
geral, algumas delas serão conhecidas e outras, desconhecidas. 
Escreva os valores das conhecidas e decida quais das desco-
nhecidas são variáveis-alvo. Anote a ausência de qualquer 
uma das grandezas que aparecem nas quatro equações de ace-
leração constante. 
4. Use a Tabela 2.4 para identificar as equações que se apli-
cam. (Normalmente são aquelas que não incluem qualquer 
uma das grandezas ausentes, identificadas na etapa 3.) 
Normalmente, você encontrará uma única equação que 
' contém apenas uma das variáveis-alvo. As vezes, você de-
verá achar duas equações, cada uma contendo as mesmas 
duas incógnitas. 
5. Faça um esboço dos gráficos correspondentes às equações 
que se aplicam. O gráfico v xi da Equação 2.8 é uma linha 
reta com inclinação ªx· O gráfico xt da Equação 2.12 é uma 
parábola voltada para cima, se ax for positiva, ou para 
baixo, se a aceleração for negativa. 
6. Com base em sua experiência com esse tipo de problema, 
e levando em consideração o que seus gráficos lhe infor-
mam, faça as previsões qualitativas e quantitativas que 
puder a respeito da solução. 
EXECUTAR a solução: se uma única equação se aplicar, resolva-
-a para a variável-alvo, usando somente sfmbolos. A seguir, 
substituaos valores conhecidos e calcule o valor da variável-
-alvo. Algumas vezes, você terá de resolver um sistema de duas 
equações com duas incógnitas; resolva-as simultaneamente 
para as variáveis-alvo. 
AVALIAR sua resposta: faça uma análise rigorosa dos resul-
tados para verificar se eles fazem sentido. Eles estão dentro 
dos limites de valores que você esperava? 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 53 
EXEMPLO 2.4 ... ~~~~~·~º~ .. ~.~Y.º~Y.~~ºº··~~-~~~.~~ç~º··ç·º·~~!~~!.~ ...................................................................................... . 
Um motociclista se dirige para o leste da cidade de Osasco (SP) 
e acelera a moto a uma aceleração constante de 4,0 m/s2 depois 
de passar pela placa que indica os limites da cidade (Figura 
2.20). No instante t = O, ele está a 5,0 m a leste do sinal, mo-
vendo-se para leste a 15 m/s. (a) Determine sua posição e velo-
cidade para t = 2,0 s. (b) Onde está o motociclista quando sua 
velocidade é de 25 m/s? 
Figura 2.20 Motociclista deslocando-se com 
aceleração constante. 
ª x = 4,0 m/s2 .. 
Vax = 15 m/ s 
)1 
V =? X • .. 
__._ __ .....::....~~ .z....._---------......L:::....lllllll:;,...._ ___ x (leste) 
O x0 = 5,0 m x = ? 
t = O t = 2,0 s 
SOLUÇÃO 
IDENTIFICAR E PREPARAR: o enunciado do problema revela 
que a aceleração é constante. Portanto, podemos usar as equa-
ções de aceleração constante. Escolhemos o sinal demarcador do 
limite da cidade como origem das coordenadas (x = O) e orien-
tamos o eixo +Ox de oeste para leste (veja a Figura 2.20, que 
também funciona como um diagrama de movimento). As variá-
veis conhecidas são posição e velocidade iniciais, .xo = 5,0 me 
v0x = 15 m/s. A aceleração constante é ªx = 4,0 m/s2• As variá-
veis-alvo na parte (a) são os valores da posição x e da velocidade 
Vx em um instante posterior t = 2,0 s; a variável-alvo na parte (b) 
é o valor de x quando Vx = 25 m/s. 
EXECUTAR: (a) Visto que conhecemos os valores de xo, Vox e 
ax, a Tabela 2.4 nos diz que podemos determinar a posição x 
em t = 2,0 s usando a Equação 2.12 e a velocidade Vx nesse 
instante usando a Equação 2.8: 
X= Xo + V0xt + }axt2 
= 5,0 m + (15 m/s)(2,0 s) +} (4,0 m/s2)(2,0 s) 2 
=43m 
Vx = Vox + axt 
= 15 m/ s + (4,0 m/ s2)(2,0 s) = 23 m/ s 
(b) Queremos encontrar o valor de x para Vx = 25 m/s, mas 
não sabemos quando a motocicleta possui essa velocidade. A 
Tabela 2.4 nos diz que devemos usar a Equação 2.13, que en-
volve x, Vx e ax, mas não envolve t: 
Explicitando x e substituindo os valores numéricos conhecidos, 
obtemos 
Vi - V0x2 
x=.xo+----
2ax 
(25 m/ s) 2 - (15 m/ s) 2 
= 5,0 m + / 2 = 55 m 2(4,0 m s) 
AVALIAR: você pode conferir o resultado no item (b) usando 
primeiro a Equação 2.8, Vx = Vox + axt, para descobrir o instante 
em que Vx = 25 m/s, que é t = 2,5 s. Então, você pode usar a 
Equação 2.12, x = Xo + v0xt + iªxi2, para explicitar x. Você 
deverá encontrar x = 55 m, a mesma resposta dada na solução. 
Mas esse é o caminho mais longo para resolver o problema. O 
método usado no item (b) é muito mais eficiente. 
EXEMPLO 2.5 
' .. ·º º ~·ª ··~º ~·~º~. ~º·~· ~~ ~.~~.~~ç·º·~~. º~ ~.~~~~!.~~ ............................................................................................. .. 
Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15 m/s 
quando passa em frente a uma escola, onde a placa de limite 
de velocidade indica 10 m/s. Um policial que estava parado no 
local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista 
com uma aceleração constante de 3,0 m/s2 (Figura 2.21a). 
(a) Qual o intervalo desde o início da perseguição até o mo-
mento em que o policial alcança o motorista? (b) Qual é a velo-
cidade do policial nesse instante? (c) Que distância cada veículo 
percorreu até esse momento? 
Figura 2.21 (a) Movimento com aceleração constante concomitante a um movimento com velocidade constante. (b) Gráfico dex 
em função de t para cada veículo. 
(a) 
o 
Policial: inicialmente em repouso, 
aceleração constante 
ªPx = 3,0 m/ s2 
Xp 
Motorista: velocidade constante 
"1'-- vMOx = 15 m/ s 
• ;,..._-----~X 
(b) 
x(m) 
160 
120 
80 
40 
O policial e o motorista 
se encontram no intervalo t, 
onde seus gráficos xt se cruzam. 
-~oeec::=---'---1-_i__-1-_L t (s) 
O 2 4 6 8 10 12 
(Continua) 
54 Física 1 
(Continuação) 
SOLUÇÃO 
IDENTIFICAR E PREPARAR: o policial e o motorista se movem 
com aceleração constante (que é igual a zero para o motorista), 
de modo que podemos usar as equações deduzidas anterior-
mente. Escolhemos o sentido positivo para a direita e a origem 
coincidindo com o sinal da escola, de modo que .xo = O para 
ambos os veículos. Sejam Xp a posição do policial e xM a posi-
ção do motorista em qualquer instante. As velocidades iniciais 
são Vrox = O e VM0x = 15 m/s; as acelerações constantes são 
ªPx = 3,0 m/s2 e ªMx = O. Nossa variável-alvo na parte (a) cor-
responde ao instante em que o policial e o motorista estão na 
mesma posição x; a Tabela 2.4 nos diz que a Equação 2.12 é útil 
nessa parte. Na parte (b), usaremos a Equação 2.8 para achar a 
velocidade v do policial ( o módulo de sua velocidade) no ins-
tante encontrado na parte (a). Na parte (e), usaremos a Equa-
ção 2.12 novamente para achar a posição do seu veículo nesse 
mesmo instante. 
A Figura 2.21b mostra um gráfico xt para ambos os veículos. A 
linha reta representa o movimento do motorista, xM = xMo + 
VMoxt = VMoxt. O gráfico do movimento do policial é a metade 
direita de uma parábola com concavidade voltada para cima: 
Um bom desenho mostra que o policial e o motorista estão na 
mesma posição (xp = xM) em cerca de t = 10 s, quando ambos 
se afastaram cerca de 150 m da placa. 
EXECUTAR: (a) Para calcular o tempo t no momento em que o mo-
torista e o policial estão na mesma posição, defmimos xp = xM, 
igualando as expressões acima e explicitando t nessa equação: 
t=O ou 
2VMox 
t=--
2(15 m/s) 
---= 10s 
3,0 m/s2 
Existem dois instantes nos quais os dois veículos possuem o 
mesmo valor de x, como indica a Figura 2.21 b. O primeiro, t = O, 
corresponde ao ponto em que o motorista passa pela placa onde 
o policial estava. O segundo, t = 10 s, corresponde ao momento 
em que o policial alcança o motorista. 
(b) Queremos o módulo da velocidade do policial Vpx no instante 
t, encontrado na parte (a). Substituindo os valores de Vrox e ªPx 
na Equação 2.8, com t = 10 s da parte (a), encontramos 
Vpx = Vrox + apxt = O + (3,0 m/s2)(10 s) = 30 m/s 
A velocidade do policial é o valor absoluto disso, que também 
é 30 m/s. 
(c) Em 10 s, a distância percorrida pelo motorista é 
XM = VMoxt = (15 m/s)(lO s) = 150 m 
e a distância percorrida pelo policial é 
xp = iªPxt2 = !{3,0 m/s2)(10 s) 2 = 150 m 
Isso confirma que eles percorreram distâncias iguais após 10 s. 
AVALIAR: nossos resultados nas partes (a) e (c) combinam com 
nossas estimativas do desenho. Note que, quando o policial 
passa pelo motorista, eles não têm a mesma velocidade. O mo-
torista está se movendo a 15 m/s e o policial, a 30 m/s. Você 
também pode ver isso pela Figura 2.21b. Onde as duas curvas 
xt se cruzam, suas inclinações (iguais aos valores de Vx para os 
dois veículos) são diferentes. , 
E apenas uma coincidência que, quando os dois veículos estão 
na mesma posição, o policial está com o dobro da velocidade 
do motorista? A Equação 2.14, x - Xo = }(v0x + vx) t, ofe-
rece a resposta. Como o motorista tem velocidade constante, 
VM0x = vMx, e o deslocamento do motorista x - .xo no instante 
t é vMoxl, Como vrox = O, no mesmo instante to deslocamento 
do policial é i Vpxt • Os dois veículos têm o mesmo desenvolvi-
mento no mesmo período de tempo, de modo que vMoxt = i Vpxl 
e Vpx= 2vMox - ou seja, o policial tem exatamente o dobro da 
velocidade do motorista. Isso é verdadeiro, não importando o 
valor da aceleração do policial . 
............................................................................................... ..................................................................................................................................Para o caso específico do movimento com aceleração constante esquematizado 
na Figura 2.15 e cujos gráficos são apresentados nas figuras 2.16, 2.17 e 2.18, os 
valores x0, Vox e ªx são todos positivos. Convidamos você a refazer essas figuras 
considerando um, dois ou três desses valores negativos. 
TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 2.4 O Exemplo 2.5 mostra quatro gráficos Vxt 
para dois veículos. Qual gráfico está correto? 1 
(a) (b) (e) (d) 
Motorista Motorista 
1 Policial 
1 t (s) 
1 
1 t (s) Polici 
1 
1 t (s) 
1 
1 t (s) 
o 10 O 10 O 10 O 10 
2.5 QUEDA LIVRE DE CORPOS 
O exemplo mais familiar de um movimento com aceleração (aproximada-
mente) constante é a queda livre de um corpo atraído pela força gravitacional da 
Terra. Tal movimento despertou a atenção de filósofos e cientistas desde tempos 
remotos. No século IV a.e., Aristóteles pensou (erroneamente) que objetos mais 
pesados caíam mais rapidamente que objetos leves, com velocidades proporcio-
nais aos respectivos pesos. Dezenove séculos mais tarde, Galileu (ver Seção 1.1) 
afirmou que um corpo deveria cair com aceleração constante independentemente 
de seu peso. 
Experiências demonstram que, quando os efeitos do ar podem ser desprezados, 
Galileu está correto; todos os corpos em um dado local caem com a mesma ace-
leração, independentemente de seus tamanhos e pesos. Além disso, quando a dis-
tância da queda livre é pequena em comparação com o raio da Terra e ignoramos 
os pequenos efeitos exercidos por sua rotação, a aceleração é constante. O movi-
mento ideal resultante de todos esses pressupostos denomina-se queda livre, em-
bora ele inclua também a ascensão de um corpo. (No Capítulo 3, estenderemos 
a discussão da queda livre para incluir o movimento de projéteis, que possuem 
componentes do movimento na horizontal e na vertical.) 
A Figura 2.22 é uma fotografia de múltipla exposição da queda livre de uma 
bola feita com auxílio de um estroboscópio luminoso que produz uma série de 
flashes com intervalos de tempo iguais. Para cada flash disparado, a imagem da 
bola fica gravada no filme nesse instante. A distância crescente entre duas ima-
gens consecutivas na Figura 2.22 mostra que a velocidade está aumentando e que 
a bola acelera para baixo. Medidas cuidadosas mostram que a variação da velo-
cidade é sempre a mesma entre os intervalos, de modo que a aceleração de uma 
bola em queda livre é constante. 
A aceleração constante de um corpo em queda livre denomina-se aceleração 
da gravidade, e seu módulo é designado por g. Sempre usaremos o valor aproxi-
mado de g na superfície terrestre ou próximo a ela: 
g = 9,80 m/s2 = 980 cm/ s2 = 32,2 pés/ s2 (valor aproximado próximo à 
superfície terrestre) 
O valor exato varia de um local para outro, de modo que normalmente forne-
cemos o valor de g na superfície terrestre com somente dois algarismos signifi-
cativos (9,8 m/s2). Na superfície da Lua, como a atração gravitacional é da Lua e 
não da Terra, g = 1,6 m/s2. Próximo à superfície do Sol, g = 270 m/s2. 
ATENÇÃO g é sempre um número positivo Como g é o módulo de uma grandeza ve-
torial, ele é sempre um número positivo. Se você considerar que o sentido positivo está 
para cima, como fazemos na maioria das situações envolvendo queda livre, a aceleração 
é negativa (para baixo) e igual a -g. Tenha cuidado com o sinal de g, ou então terá difi-
culdade com os problemas de queda livre. 
Nos exemplos seguintes, usaremos as equações de movimento com aceleração 
constante da Seção 2.4. Sugerimos que, antes de resolver esses exemplos, você 
leia novamente a Estratégia para a solução de problemas 2.1 dessa seção. 
DADOS MOSTRAM 
Queda livre 
Capítulo 2 - Movimento retilíneo 55 
Figura 2.22 Fotografia de múltipla 
exposição de uma bola em queda 
livre. 
-• 
• A velocidade média em cada intervalo é 
proporcional à distância entre as imagens. 
• Essa distância aumenta continuamente, 
de modo que a velocidade da bola está 
variando constantemente; a bola acelera 
para baixo. 
Quando os alunos recebiam um problema sobre queda livre, mais de 20% davam uma resposta incorreta. Erros comuns: 
• Confusão entre velocidade escalar, vetor velocidade e aceleração. A velocidade escalar nunca pode ser negativa; o vetor 
velocidade pode ser positivo ou negativo, dependendo do sentido do movimento. Em queda livre, velocidade escalar e vetor 
velocidade variam continuamente, mas a aceleração (taxa de variação da velocidade) é constante e para baixo. 
• Não observar que um corpo em queda livre que se move para cima com uma certa velocidade além de um ponto passará 
pelo mesmo ponto na mesma velocidade quando se mover para baixo (ver Exemplo 2.7). 
56 Física 1 
EXEMPLO 2.6 UMA MOEDA EM QUEDA LIVRE 
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Uma moeda de 1 euro é derrubada da Torre de Pisa. Ela parte 
do repouso e se move em queda livre. Calcule sua posição e sua 
velocidade nos instantes 1,0 s, 2,0 s e 3,0 s. 
SOLUÇÃO 
IDENTIFICAR E PREPARAR: "queda livre" significa ''possuir 
uma aceleração constante pela gravidade". Portanto, podemos 
usar as equações de aceleração constante. O lado direito da Fi-
gura 2.23 demonstra nosso diagrama de movimento para a 
Figura 2.23 Uma moeda em queda livre a partir do repouso. 
y 
o 
• t0 = O s,y0 = O 
v0 =0 
• t1 = 1,0 S,Y1 = ? + + tly = --9,8 mJs2 
• i v2y =? 
moeda. Como o eixo é vertical, vamos chamá-lo de y em vez 
de x. Todos os valores de x d.as equações serão substituídos por y. 
Consideramos a origem O como o ponto inicial e escolhemos um 
eixo vertical orientado com sentido positivo de baixo para cima. 
A coordenada inicial y0 e a velocidade inicial Voy são iguais a 
zero. A aceleração está orientada para baixo (no sentido negativo 
do eixo Oy), de modo que ay = -g = -9,8 rn/s2• (Lembre-se de 
que, por definição, g é sempre positivo.) As variáveis-alvo são y 
e vy nos três instantes especificados. Para determiná-las, usamos 
as equações 2.8 e 2.12, substituindo-se x por y. Nossa escolha do 
sentido para cima como positivo significa que todas as posições e 
velocidades que calcularmos serão negativas. 
EXECUTAR: em um instante t após a moeda ser derrubada, sua 
posição e velocidade são: 
Y = Yo + v0yt + 1 ayt2 = O + O + à (-g) t2 = (-4,9 m/s2) t2 
vy = v0y + ayt = O + (-g)t = (-9,8 m/s2)t 
Quando t = 1,0 s, y = (-4,9 m/s2)(1,0 s)2 = -4,9 me vy = 
(-9,8 m/s2) (1,0 s) = -9,8 m/s; depois de 1 s, a moeda está a 
4,9 m abaixo da origem (y é negativo) e possui uma velocidade 
orientada para baixo (vy é negativa) com módulo igual a 9,8 m/s. 
A posição e a velocidade nos instantes 2,0 s e 3,0 s são encontradas 
da mesma forma. Os resultados são y = -20 m e Vy = -20 m/s 
em t = 2,0 s, e y = -44 me vy = -29 m/s em t = 3,0 s. 
AVALIAR: todas as respostas são negativas, como esperávamos. 
Mas também poderíamos ter escolhido o sentido para baixo. 
Nesse caso, a aceleração teria sido ay = +g e todas as respostas 
teriam sido positivas . 
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EXEMPLO 2.7 MOVIMENTO PARA CIMA E PARA BAIXO EM QUEDA LIVRE 
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Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um 
edifício alto. A bola deixa sua mão à velocidade de 15 m/s em 
um ponto que coincide com a extremidade superior do para-
peito do edifício; a seguir, ela passa a se mover em queda livre. 
Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e conti-
nua a queda. Calcule (a) a posição e a velocidade da bola 1,0 s 
e 4,0 s depois que ela deixa sua mão; (b) a velocidade quando a 
bola