Farias Brito (ITA/IME)

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Lições para toda a vida 
Português 
Matemática 
Vol.1 
'! 
,_ 
SUMÁRIO: 
• 
INGLts li • 
INTI:RPRETAÇÃO DE Te,cros: TRAVEL AND HEALTHY Fooo ......... ............. ~ .......... ........................................................................... ............. 372 • 
INTI:RPRETAÇÃO DE TEXTos: ScREENS AND READING ............................................................................................................................... 376 • 
INnRPRETAÇÃo DE TEx1os: EcoNOMY .......................................................................................................................... ...................... 381 
INTERPRETAÇÃO DE Tooos: EoucATION AND RESEARCH .......................................................................................................................... 386 • 
INTERPRETAÇÃO DE Tooos: HuNGER AND LEARNING ............................................................................................................................... 392 • 
INTERPRETAÇÃO DE TexTos: INVENTION AND HEALTH ............................................................................................................................... 396 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: MEDICINE AND SPORT ............................................................................................................. ........... ......... 400 • 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: SCIENCES ................................................................................................................................................. 405 • 
MATEMÁTICA 
MATEMATICA 1 
REVISÃO DE ÁLGEBRA 1 ....................................................................................................................................................................... 2 
REVISÃO DE ÁLGEBRA 11 .................................................................................................................................................................... 14 
FUNÇÕES: RELAÇÕES E CONCEITOS .......................................................................................................... ........ ...................................... 20 
FuNções: D0MIN10 E BuEÇÃO ......................................................................................................................... ................................... 31 
MONOTONIODAOE, PARIDADE E PERIODICIDADE . .......................................................................................................... ........................... 38 
RETAS PAR.ALELAS .... ............................................................................. ........................................................................................... 44 
TRIÃNGULos - CoNGRUtNCIA DE TRIÃNGULos ........................................................................................................................................ 47 
QUADRllÁTEROS .............. ..... ........................................................................................................................ .................................... 51 
RELAÇÕES MhRICAS NOS QUADRllÁTEROS ..................... ............................................... ..................................................................... .. . 55 
PoLIGoNos - SoMA oos ÃNGULos E NüMERos DE D1AGONA1s .................................................................................................................. 56 
RAZÃO DE SEGMENTOS ...................... ......................... ................................................................................................... .................... 60 
CALCULO ........................................ .......... ...................................................................................................................................... 65 
· MATEMATICA li 
NúMEROS COMPLEXOS ....................... .............................................. .................................................................................................. 96 
MATEMÃTICA Ili 
SEQU~NCIAS ................................. ..................................... .. ...................................................... ..................................... ............... 166 
PROGRESSÕES ÃRITMrnCAs .......................................................................... .................................................................................... 166 
PROGRESSÕES GEOMtTRICAS ............................................................................................................................................................. 166 
SEÇÃO DE PROBLEMA DO ITA (1950·2017) ...................................................................................................................................... 166 
SEÇÃO DE PROBLEMA DO IME .......................................................................................................................................................... 179 
SEÇÃO DE PROBLEMA SIMPLES ......... .......... ............................. ..................................................................................... ..................... 188 
SEÇÃO DE PROBLEMAS AvANÇAoos (DEsAF1os) .................................................................................................................................... 192 
GABARITOS ................. ...................... ..... ....................................................................................................................................... 197 
• (. 
• • •1 • • • • • • .1 
• • • • • • • • • • • • • 
e -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
1 • 
• • • • • 
1• \ 
MATEMÁTICA 1 
ÁLBEBRA/GEOMETRIA PLANAI 
CALCULO 
REVISÃO DE Ãt.GEBRA 1 
Conteúdo: 
Exercícios ...................................................................................................................................................................................... ............................... 2 
REVISÃO DE ÁLGEBRA li 
Exercícios ... ................................................................................................................................. .............................................. ................................. 14 
FUNÇÕES: RELAÇ6ES E CONCEITOS 
Tópicos teóricos ................................................................................................................... , .......................................... .... ........................................ 20 
Êxercícios ............. ......................................................................................................... .. ........... ................................................................................ 20 
FUNÇÕES: DoMINIO E BIJEÇÃO 
Tópicos teóricos ...................................................................................................... ........ ..... ................................................................................. ..... .31 
Exercícios ........................................................................................................ , ............. ... .. .. ............................................ ................................. , ....... .32 
MONOTONICIDADE, PARIDADE E PERIODICIDADE 
Tópicos teóricos .............................. ................................................................ ...... .. .... ............................................................................................... .38 
Exercícios ...................................................................................................................... ... ....... ............................................................................. ..... .38 
RETAS PARALELAS 
Tópicos teóricos ......................................................................................... ..... ....... ...... : ........................................................................................ ..... .44 
Exercícios.................................................................................................... , .. ........ .......................................................... .......................................... 45 
lRIÃNGULOS - CoNGRUtNCIA DE fRIÃNGULOS 
Tópicos teóricos .............................................................................................. ............................................................. .. .. .......................................... .47 
Exercícios ......... ......................................................................................... .................................................................. .. ............................................. 47 
QUADRILÁTEROS 
Quadriláteros notáveis ............................................................................... ..... ...................... ............................................... ...................................... .51 
Exercícios ....................................................................................................... ..... ....................................................................................................... 52 
RELAÇ6ES MtTRICAS NOS QUADRILÁTEROS 
Exercícios ....................................................................................................... ... .. ... ............................................................ ........................................ 55 
PoLIGONOS - SOMA DOS ÂNGULOS E NúMEROS DE DIAGONAIS 
Tópicos teóricos ............................................................................................ ........................................................................ .................................... .. 56 
Exercícios ..................................................................................................................................................................... , ...... .............................. , ....... .5 7 
RAZÃO DE SEGMENTOS 
Teorema de Tales ................................................... : ..................................... .... ........... ............................................................. .................................... 60 
Exercícios .................................................................. ..................................................... .. ........................................................... ............................... 61 
CALCULO 
1 • parte - limite ................................................................................................................. ..... ..................................................... ... ........... .. .. ............. 65 
2• parte - continuidade ............................................................................... , ... , ... , ... , ... , ................................................................................ .............. 68 
3ª parte - derivada ......................................................................................... .. ....................... ........ ..... ............................................... ... .... ................ 69 
4ª parte - integral ........................................................................................... ......... , .. ................ .............................................. , ................................. 75 
Regra de L'Hôpital ........................................................ ..... .. ........................................................................................................................................ 77 
Cálculo no IME ........................................................................................................................... ... ......................................... .......... ........................... 78 
Questões da Escola Naval .............................................................................................................. .................................................. ........................... 80 
Série de Taylor ........................... , ..... .. , .............................................................................................. ........................................................................... 83 
Exercícios ......... ................................................................................................................................ ......................................... .................................. 83 
.. 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
e i 
e 
=========================• 
Revisão de Álgebra 1 
1 
11!1 Exercícios de Fixação 
01. Encontre os valores das raízes racionais a, b e e de x3 + ax2 + bx + e. 
02. Se f(x)f(y) - f(xy) = x + y, Vx,y E m, determine f(x). 
03. Encontre x real satisfazendo J1 + J1 + .ft+x = x. 
04. (Fuvest) Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final 
podiam variar de O a 100 e a nota mínima para aprovação era 
70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram 
reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos 
foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após 
a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma 
questão havia sido mal reformulada e decidiu atribuir 5 pontos 
a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos 
aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8. 
A) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes 
da atribuição dos cinco pontos ext ras. 
B) Com a atribuição dos cinco pontos ext ras, quantos alunos, 
inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação? 
05. Encontre todas as soluções reais positivas da equação 
x +li j = l Í J + l 2; j, onde LkJ denota o maior inteiro menor 
que ou igual ao número real k. (Sugestão: analise o resto da 
divisão de x por 6). 
06. A função f, definida sobre o conjunto dos pares ordenados de 
inteiros positivos, satisfaz as seguintes propriedades: f(x, x) = 
x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(14, 52). 
07. Simplifique a expressão (1+~)(1+~)(1+~) ... ( 1+ 2~00 ) 
sendo a* 1. ª ª a a 
08. A soma dos algarismos de um número é 12. Invertendo-se a ordem 
dos algarismos, tem-se um novo número igual a * do original. 
Determine o número sabendo que ele tem dois algarismos. 
09. (IMO) Encontre o menor inteiro positivo n que possui as 
seguintes propriedades: 
1. Em sua representação, tem 6 como último digito. 
li. Se o último digito (6) é apagado e colocado na frente dos 
dígitos restantes, o número resultante é quatro vezes maior 
que o número original n. 
10. 1. Ache todos os inteiros positivos com dígito inicial 6, tal que 
o inteiro formado apagando-se este 6 é 
2
1
5 
do inteiro original. 
li. Mostre que não existe inteiro, tal que a retirada do primeiro 
dígito produz um novo inteiro que é _2_ do inteiro original. 
35 
. . 1 1 
11. Para quais valores a desigualdade x3 +3 > x
2 + 2 é falsa? X X 
12. (ITA/2012) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 - r2 e r1 + 
r2 + r3 são racionais. Das afirmações: 
1. Se r
1 
é racional ou r
2 
é racional, então, r
3 
é racional; 
li. Se r
3 
é racional, então, r1 + r2 é raciona l; 
Ili. Se r
3 
é raciona l, então, r1 e r2 são racionais. 
é(são) se mpre verdadeira(s): 
A) apenas 1. B) apenas li. 
C) apenas Ili. D) apenas I e li. 
E) 1, li e Ili. 
13. (ITA/2013) Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, 
na divisão de n2 por 6, o quociente é um número ímpar, então, 
o resto da divisão de n por 6 é 
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) 5 
14. (IME/2014) Determine o (s) valor(es) de x, inteiro(s) e positivo(s), 
X [ y- 1 ] 
que satisfaz(em) a equação X2 = L TI (y- z) . 
ya l Z=O 
15. (IME/2014) Qual é o menor número? 
A) 1t • 8! B) 99 
C) 22 
22 
E) 213 . 53 
Exercícios Propostos 
A B C 
01. Demonstre que se -=-=- então, ocorre 
a b c 
JAã+-/Bb+.jCc =.J(A+B+C)(a+b+c), sendo a, b, e, 
A, B, CE IR: 
02. Mostre que se ~ = ª2 = ~ e p1, p2, p3 não são todos nulos, 
b, b2 b3 
03. (IME/2007) Sejam a, b e e números reaisnão nulos. Sabendo que 
a+b b+c c+a . . a+b -- = --=--, determine o valor numérico de --. 
c a b c 
04. Se x é um número satisfazendo a equação Vx + 9 -Vx - 9 = 3, 
então, x2 está entre: 
A) ~5 e 65 
C)// 5 e 85 
E) 95 e 105 
B) 65 e 75 
D) 85 e 95 
05. (OCM) Considere todas as retas que encontram o gráfico 
da função f(x) = 2x4 + 7x3 + 3x - 5 em quatro pontos 
distintos, digamos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4). O valor de 
X1 + X2 + X3 + X4 é: 
A)2 
C) ?_ 
2 
4 
E) n.d.a . 
B) 2_ 
8 
@ ndependente da reta. 
ITA/IME 
• • • • .1 
• • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • ;. 
• • • •• 
• • • • 1 • • • • • • • • I • 
1• • • • • • • • • • • • • • • • • k. 
r· 
06. Qual das sentenças seguintes não é verdadeira para a equação 
ix2,-x + 2i = O, sendo i = J::;7 
A) A soma das raízes é 2. 
B) O discriminante é 9. 
C) As raízes são imaginárias . 
D) As raízes podem ser encontradas usando a fórmula 
quadrética . 
E) As raízes podem ser encontradas por fatoração, usando 
números imaginários . 
07. Se a parábola y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (-1 , 12), (O, 5) 
e (2, -3), então, o valor de a + b + c é: 
A)-4 B) -2 
C)fl D) 1 
E) 2 
08. (IME/2007) Sejam x1 e is as raízes da equação x2 + (m - 15)x + m = O. 
Sabendo que x1 e x2 são números inteiros, determine o conjunto 
de valores possíveis para m. 
09. Se x = 
1 
+ ./í996, então, 4x3 - 1999x - 1997 é igual a: 
2 
A) O B) 1 
C)-1 D)2 
E) -2 
10. Para quais valores de K a equação x = K2(x- 1 )(x - 2) tem raízes 
reais? 
A) Nenhum 
C) -2J2 < K < 2J2 
E) Todos 
B) - 2 < K < 1 
D) K > 1 ou K < -2 
11. Encontre todos os números reais a e b satisfazendo 
2(a 2 + 1)(b2 + 1) = (a + l )(b + 1)(ab + 1). 
(Sugestão: Equação do 2° grau em a) . 
12. (Prof . MM) Suponha que a função f : IR ~ m. satisfaz f(xy) = xf(y) 
+._yf(x) para todos x, y e m.. Podemos af irmar que: 
A)f(1) = O 
B) f(1 ) = 1 
C) f é uma função constante 
D) f(4) = 2f(2) 
E) n.d.a. 
13. (OCM) Seja f : IR*~ m. a função definida por f (x) = ~ -
1+ 2:;-
Mostre que existem números reais b0, b1, b2, . .. , bk, ... , tais que 
(1 + 2t }(~) = - 2F3 · 
n n+ l 
14. (IME/2007)Sejaf: IN~ IRumafunçãotalque L f (k) = 2008- -
2
, 
k-o n+ 
onde IN e o IR são, respectivamente, o conjunto dos números 
naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico 
1 
de --. 
f(2006) 
5. Seja f: 'll. ~ 'll. uma função satisfazendo f(n2) = f(n + m) f(n -m) + m2, 
'v'm, n e 'll. . Então, f(0) pode ser: 
A) O B) 1 
C) O e 1 D) 4 
E) n.d.a. 
ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
16. Se f(x) = ax2 - c satisfaz -4 s f(l) s-1 e - 1 s f(2) s 5, então: 
A) 7 s f(3) s 26 
B) - 1 s f(3) s 20 
C) -4 s f(3) s 15 
D) -
28 
S f(3) S 
35 
3 3 
E) ~ s f(3) s ~ 
3 3 
17. (OCM) 
1. Se n é um inteiro positivo tal que 2n + 1 é quadrado perfeito, 
mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos 
sucessivos; 
li. Se 3n + 1 é um quadrado perfeito, mostre que n + 1 é a 
soma de três quadrados . 
18. Suponha que um número inteiro n é a soma de dois números 
. a2 +a b2 + b 
triangulares n = --+--. Mostre que 4n + 1 pode ser 
2 2 
escrito como a soma de dois quadrados em termos de a e b. 
19. (Prof . MM) Ache todos os inteiros positivos x, y tais que: 
y2 - x(x + 1 )(x + 2)(x + 3) = 1 
20. Para quantos intE?iros positivos n entre 1 e 100 é possível fatorar 
x2 + x - n como produto de dois fatores lineares com coeficientes 
inteiros? 
A)0 ~ 1 
C) 2 \_o/ 9 
E) 10 
21 . Defina a operação "o" por xoy = 4x - 3y + xy, Vx, y e IR. Para 
quantos números reais y tem-se 3oy = 12? 
A)0 
B) 1 
C) 3 
0)4 
E) mais que 4 
22. Quantos dígitos de n = 9 + 99 + 999 + ... + ~ são iguais a 1? 
A) 1997 2001 
B) 1998 
C) 1999 
D)2000 
E) 2001 
23. Seja n > 1 um inteiro. Prove que o número /~ ~ 
não é racional. 'y n 2n 
24. (OCM) 
A) Se tg~ é um número racional (a ~ k1t, k e 'll.), prove que 
2 
cosa e sena são números racionais. 
B) Reciprocamente, se cosa e sena são números racionais, prove 
que tg ~ é um número racional. 
2 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
• • ~=====================================================================:e= 
25. Considere as afirmativas. 
1. Entre dois números racionais sempre existe um outro número 
racional; 
li. A soma de dois números irracionais é sempre irracional;;: 
Ili. O produto de dois números irracionais é sempre irracional; 
IV. Existe sempre um número racional entre dois números 
inteiros; 
V. Existe sempre um número inteiro entre dois números 
. ' ./ 
rac1ona1s. 
Conclua que: 
A) 1 ,Ili, IV são verdadeiras. 
~ 1, li, Ili são verdadeiras. 
CJ somente I e IV são verdadeiras. 
D) somente li e IV são verdadeiras. 
E) somente Ili e V são falsas. 
26. O número de soluções reais da equação: 
lx2 - 1j + 2x = Jx2 - 2x + 1 é: x-1 
A)O 
C)2 
E) maior que 3 
B) 1 
D) 3 
27. Sendo lxl + x + y = 10 ex + lyl - y = 12, encontre x + y. 
A)-2 
B) 2 
C) ~ 
5 
D) 22 
3 
E) 22 
28. {IT.A/2007) Sobre a equação na variável real x, lllx - 11 - 31 - 21 = O, 
podemos afirmar que: 
A) ela não admite solução real. 
B) a soma de todas as suas soluções é 6. 
C) ela admite apenas soluções positivas. 
D) a soma de todas as soluções é 4. 
E) ela admite apenas duas soluções reais. 
29. Qual é o produto das raízes da equação: 
x2 + 18x + 30 = 2Jx2 + 18x + 45? 
A) 10 
C) 30 
E) n.d.a. 
B) 20 
D) 40 
30. Um número primo e positivo é formado por 2 algarismos 
não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, o 
número ficará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, a 
soma desses 2 algarismos po~ ser: 
A) 8 \.ê2)7 
C)6 0)9 
E) 10 
31. No sistema de numeração de base 1 O, o número 526 representa 
5. 1 02 + 2 . 1 O+ 6. Em Terras Brasil is, entretanto, os números são 
escritos na base r. Wellington compra um automóvel lá por 440 
unidades monetárias (abreviada por u.m.). Ele dá ao vendedor 
uma cédula de 1 OOOu.m. e recebe de troco 340u.m. A base r 
é: 
A) 2 B) 5 
C)7 D)8 
E) 12 
32. O número 695 é escrito no sistema de numeração de base 
fatorial, isto é, 695 = a1 + a2 · 2! + a3 • 3! + ... +an · n!, onde 
a1, a2, ... , ª" são inteiros tais que O :5 ak :5 k, e n! representa 
n · (n - 1) · (n - 2) · ... · 2 · 1. Encontre a
4
• 
A)O ~1 
C) 2 (E)J3 
E) 4 
33. O número 121 b' escrito na base inteira b, é o quadrado de um 
inteiro para: 
A) b = 1 O, apenas. 
C) 2 :5 b :5 10. 
E) Nenhum valor de b. 
B) b = 5 e b = 10, apenas. 
D) b > 2. 
34. (Prof. MM) O número de alunos prestando vestibular para o ITA 
era, em um dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, 
com um acréscimo de 100 participantes, o número de alunos 
passou a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois, com 
mais um acréscimo de 100 participantes, o número de alunos 
passa a ser novamente um quadrado perfeito. A quantidade 
inicial de alunos é um múltip~e: 
A) 3 B) 7 
C) 9 D) 11 
E) 17 
35. São dados a, b, e e m. Sabe-se que a + b + c > O, bc + ca + ab > O 
e abc > O. Prove que a > O, b > O, c > O. 
36. Sejam a, b, e, d reais tais que a2 + b2 = c2 + d2 = 1, ac + bd = O. 
Calcule ab + cd. 
37. Se x e y são reais tais que ( x + Jx2 + 1)(y + ~y2 + 1) = 1. Prove 
que x + y = O. 
38. (ITA/2007) Sendo e um número real a ser determinado, 
decomponha o polinômio 9x2 - 63x + c numa diferença de 
dois cubos (x + A)3 - (x + B)3.)l~te caso, la + lbl - cl é igual a: 
A) 104 \.ê2) 14 
C) 124 D) 134 
E) 144 
39. Para x e y números reais distintos, seja M(x, y) o maior 
número entre X e y e seja m{x, Yl9Jllenor núrer-0 entre X e y . 
Se a < b < c < d < e, então, MjÁ'(a, ~). ~(d, m(a, e))) = 
A) a @)b 
C) c D) d 
E) e 
2./6 
40. -=~-=-___,= é igual a: 
Ji+-/3+Js 
A) 1.J2 + -/3 - Js 
C) J2 + -/3 + .J6 - 5 
E) -/3 +Js- Ji 
3 
B) 4-Ji. --/3 
D) J2 +Js--/3 
2 
41 . O número de soluções distintas da equação: 
lx - 1 2x + 1 li = 3 é: 
A) O B) 1 
(g2 D) 3 
E) 4 
• • • • • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • 
=================------~---==• ~ 
ITA/IME 4' 
• • 
• • • • • • • • • • 1. 
1. 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
42. O número de triplas (a, b, c) de inteiros positivos que satisfazemsimultaneamente as equações: 
ab + bc = 44 
ac + bc = 23, é 
A)O 
()2 
E) 4 
B) 1 
D) 3 
43. Seja S a seguinte sentença: Se a soma dos dígitos 
do número inteiro n é divisível por 6, então, n é divisível por 6. 
Um valor de n que mostra que S é falsa é: 
A)30 
B) 33 
() 40 
D)42 
E) n.d.a. 
44. Qual dos seguintes números está mais próximo de M - Í63? 
A) O, 12 B) O, 13 
C) O, 14 D) O, 15 
E) 0, 16 
,# 
_ 21n+4 
45. Prove que a fraçao -- é irredutível para todo número 
n~uraln. 14n+ 3 
46. O produto (1 - 2~ X1-3~ }{1-9~ x,-1~2 } igual a: 
A) 2. B) ~ 
12 2 
C) ~ D) .?_ 
20 3 
E) J_ 
10 
47. (Prof. MM) Seja n um inteiro não negat ivo. O polinômio Tn(x) 
é definido, para - 1 s x s 1, por T0(x) = 1 e Tn(x) = cos h' (arccos 
x), n ~ 1. Considere as afirmações sobre Tn(x): 
1. Seu grau é n; 
11 . Seu coeficiente líder é 2"; 
Ili. T4(X) = 8x4 - 8x2 +1; 
IV. A soma de seus coeficientes é 1 . 
Quantas são verdadeiras? 
A) O B) 1 
C)2 003 
E) 4 
48. O número de pares ordenados (x, y) com x, y e Z, satisfazendo 
2x2 - 3xy - 2y2 = 7 é: 
A)O 
B) 1 
C)2 
D)3 
E) maior que 3 
149. Quantos pares de números reais (a, b) existem 
• ta is que a função f(x) = ax + b satisfaz a desigualdade 
1 
(f(x))1-cosx · f(x) < - sen2x, Vx e [O, b t]? 
4 
A) O 
B) 1 
C) 2 
0)3 
E) mais que 3 
ITA/ IM E 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
50. Dada a equação LxJ · {x} + x = 2{x} + 1 O, sendo LxJ a parte inteira 
de x e {x) a parte fracionária de x (O$ {x} < 1 ): 
A) mostre que ( LxJ - 1 )({x} + 1) = 9; 
B) encontre todas as soluções dessa equação. 
51. (Prof. MM) Analise as sentenças a seguir: 
1. Existem exatamente 1 O números naturais de 4 dígitos que 
são cubos perfeitos; 
li. A soma dos cubos de três números inteiros positivos e 
consecutivos é divisível pelo número do meio e por 9; 
Ili. O cubo de um número natural ou é múltiplo de 8 ou deixa 
resto 1 na divisão por 4; 
IV. A soma dos quadrados de dois números ímpares consecutivos 
é um número par não múltiplo de 4. 
Quantas são verdadeiras? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) 4 
52. Seja A = 77 ... 77 um número em que o dígito 7 aparece 1001 
vezes. Determine o quociente e o resto da divisão de A por 
1001. 
53. O conjunto solução da inequação x
4 
~ 1 
2 
< o é: 
A) (-oo, - 1) u (2, ao) -x4 + 3x -2x 
B)(-oo,-1) u (1 , 2) 
C) (-oo, - 1) u (O, 2) 
D) (-oo, - 1) u (1, 2) 
E) (-oo, -1)u(-1, O) 
54. (ITA/2008) Dado o conjunto A = {x e R. / ,}3x2 + 2x < x2 ), 
expresse-o como união de intervalos da reta real. 
55. a x b representa a operação sobre dois números a e b que 
seleciona o maior dos dois números, com a x a =a.Além disso, 
a + b representa a operação sobre dois números a e b que 
seleciona o menor dos dois números, com a + a = a. Qual das 
seguintes regras é(são) correta(s)? 
1. ax b = b xa 
li. a x (b x c) = (a x b) x c 
Il i. a + (b x c) = (a + b) x (a + c) 
A) 1 apenas. 
C) 1 e li apenas. 
E) 1, li e Ili. 
B) li apenas . 
D) 1 e Ili apenas. 
56. Seja f(x) = x2 + 3x + 2 e S, o conjunto de inteiros {O, 1, 2, ... , 25} . 
O número de elementos s de S tais que f(s) deixa resto O (zero) 
na divisão por 6 é: 
A)25 
B) 22 
C) 21 
D) 18 
E) 17 
57 S é . . . . 3p + 25 d . . . e p um inteiro pos1t1vo, então, -- po e ser um inteiro 
2p-5 
positivo para quantos valores de p? 
A)O. --
8) 1. 
C) 2. 
~ais que 3 . 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
58. Calcule a soma dos valores inteiros posit ivos de n, de modo 
que n + 26 seja um inteiro. 
n+2 
A)20 
C) 43 
E) 52 
B) 22 
0)45 
66. O valor da soma S = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + 2008 . 2009 é: 
A) 2008 -2009 · 201 O 
3 
B) 2008 -2009 -2010 
6 
59. (Cone Sul) Existem números inteiros lmpares a1, a2, . . . , a2010 , -
2009 
C) 2007 · 2008 · 2009 
3 
tais que I ia~ = 201 O· a;0 ,0 ? ,., 
60. (Balt ijos Kel ias) Denote por d(n) a quant idade de todos os 
divisores positivos de um inteiro positivo n (incluindo 1 e n). 
Prove que existem infinitos n, tais que _(n) é um inteiro 
positivo. d n 
61 . (Prof. MM) A expressão 2" + 1 é o quadrado de um inteiro para 
exatamente quantos números naturais n? 
A)O 
B) 1 
C)2 
D)3 
E) mais de 3 
62. Os algarismos a, b e e são tais que os números de dois algarismos 
- - - - - - -2 
aa, bc e cb são números primos e aa + bc + cb = aa . Se b < c, 
então, bc é igual a: 
A) 19 
B) 17 
C)37 
0)29 
E) 59 
63. (Prof. MM) O crescimento da quantidade de coelhos do 
professor Fabrício Maia obedece, mês a mês, a sequência 
de Fibonacci, isto é, ao final do primeiro mês ele tinha 
c
1 
= 2 coelhos, ao final do segundo, c2 = 3 coelhos e, a partir do 
terceiro mês, para desespero do professor Fabrlcio, o número 
de coelhos ao final do n-ésimo mês satisfazia c" = cn ., + c0 • 2, 
n ~ 3. Se após um ano e meio ele tinha 6.765 coelhos e nos 
dois meses seguintes nasceu um total de 10.946 coelhos, 
quantos comedores de cenoura o professor Fabrício possula 
ao final do 20° mês? 
A) 17.711 
B) 10.946 
C) 6.766 
D) 5.473 
E) n.d.a. 
64. (OBM) Qual é a quantidade total de let ras de todas as respostas 
incorretas desta questão? 
A) quarenta e oito. 
B) quarenta e nove. 
C) cinquenta. 
O) cinquenta e um. 
E) cinquenta e quatro. 
65. Quantos inteiros positivos N de três digites existem, tais que N 
e a soma de seus digites são divisíveis por 11 ? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) mais de 3 
67. 
D) 2008-2009 -2010 
6 
E) n.d.a. 
Dada a sequência de equações x, + 1 = 1, x2 + 2 = 4, x3 + 3 = 9, 
... , xn + n = n2, calcule o valor de x, + x2 + x3 + ... + x0 • 
A) n2 - 1 
3 
B) n(n2 -1) 
3 
C) n2 +1 
3 
D) n(n
2 + 1) 
3 
E) n.d.a. 
68. Seja N = 21002 + 20992 - 20982 - 20972 + 20962 + ... + 20042 + 
20032 - 20022 - 2001 2, com somas e subtrações alternando-se 
em pares. O resto de N na divisão por 1000 é: 
A)O 
B) 100 
C)200 
0)300 
E) 400 
69. {Prof. MM) Se x12 + 2-,!> (1 - 2y2) + 1 = O ex e IR_,então: 
A) y < 1 
B) y !",-2 
C) y ~ IR 
O) x6 - 2x3y + 1 = O 
E) n.d.a. 
70. Encontre todos os a reais tais que a4 + b4 + 2aa2b2 ~ (a + 1) 
(a3b + ab3), sempre que a e b são reais. 
Sugestão: Most re que a desigualdade dada é equivalente a 
(a - b)2 (a2 + ab - aab + b2) ~ O. 
320 10 + 22010 
71 . (OBM) O ma ior inteiro que não supera 32008 + 2 2008 é 
igual a: 
A) 4 
C)7 
E) 9 
B) 6 
0) 8 
72. Sejam a, b, e, d inteiros distintos tais que a equação (x - a) 
{x - b) (x - c) (x - d) - 4 = O tem uma raiz inteira r. Então: 
A) 4r = a + b + c + d 
B) r = a + b + c + d 
C) a + b + c + d = O 
D) r = O 
E) n.d.a. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • --, 
• • 
• 
1 • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
73. (Cone Sul) Quantas soluções x, y, z inteiras a equação 
3x2 + y2 + z2 = 2x(y + z) possui? 
A) O B) 1 
C) 3 D) 2 
E) mais de 3 
74. Sejam x, y, z números naturais. Se x é um número primo e 
x2 + y2 = z2, então, y é igual a: 
A) x2 - 1 B) x2 + 1 
2 2 
C)x D) x2 - 1 
E) x2 + 1 
75. Seja p um número primo ímpar dado. Quantos valores de k 
inteiro positivo existem tais que ~k
2 
-pk é também um inteiro 
positivo? 
A) O B) 1 
C)2 D)3 
E) mais de 3 
76. Para quais valores de a as duas raízes de x2 - ax + 2 = O 
pertencem ao intervalo [O; 3]? 
77. Sendo À. um parãmetro real, -1 !'. À. !'. 1, resolva a inequação 
quadrática x2 - À.X + 1 < O . 
, 78. Determine todas as soluções reais da inequação 
1 X l 3 - 2x2 - 4 1 X 1 + 3 < 0. 
llxl +IYI +lzl = 6 79. Resolva em IR o sistema de equações !xi Y = -2 yz= 3 
80. São dados os números reais a1, a2• Se a desigualdade 
x2 -(a1 + a2) x + a1 • a2 > O tem como conjunto solução R-{a.}, 
a.~ O, então, _ a._ é igual a: 
ª1 +a2 
A)2 
C)3 
E) 1 
B) 1 
2 
D) _!_ 
3 
81. (EUA) Defina n. l para n e a positivos como n.! = n(n -a)(n - 2a) 
(n - 3a) ... (n - ka), sendo k o maior inteiro para o qual n > ka. 
E t - . t 7 2a ! é . 1 n ao, o quocIen e - Igua a: 
182 ! 
A) 45 
C) 48 
E) 41 2 
82. O número de soluções reais distintas da equação ~ + ~7 - x = 3 
é igual a: 
A) O 
C} 2 
E) 4 
B) 1 
D) 3 -----83. !>e x é um número satisfazendo ~x + 9 -~x -9 = 3, então, x2 
está entre: ____.. 
A) 55e 65 -____.,---
B) 65 e 75 _...... 
C) 75 e 85 
D)~é95 
EY 95e 105 
• ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
84. Considere as afirmações: 
1. A função f associa a cada real x o menor elemento do 
conjunto { x + 1, 
15 
2
-x } · O valor máximo de f(x) é 
1
3
6
; 
li. Existe apenas um valor rea l de x que satisfaz a inequação 
Fx +f-J 5: 2; 
Ili. A soma das raízes reais de x3 + 3x2 + 3x - 1 = O é - 3; 
IV. Há exatamente 20 valores inteiros de x para os quais x + 99 
também é um número inteiro. x + 19 
Quantas são verdadeiras? 
A) O B) 1 
C)2 003 
E) 4 
85. Considere o polinômio quadrático P(x) = ax2 - bx + c, abc * O . 
Se uma de suas raízes está no intervalo de (-2; -1) e a outra 
no intervalo (2; 3), analise as seguintes sentenças e marque o 
item correto. 
1. P(O) < O 
li. abc < O 
Ili. P(1)· P(-~) >0 
A) V-V - V 
B) V- F-V 
C) V- F- F 
D) F-V-V 
E) F- F-V 
2 
86. Considere a expressão matemática f(x) = ~
6 
tal que f(a.) = p, x+ 
{a, P} e Z. Indique o número de valores diferentes que a pode 
assumir. 
A) 18 
C)28 
E) 40 
B) 20 
D)36 
87. O valor mín imo da função real e de variável real dada por 
f(X) = 1 X + 3 I + 1 X - 2 1 + 1 X - 4 I é: 
A) O , ~ B) ·; 
C~ 2 D) 4 
E) 7 
vev ô~ PJ+<.Wl.:l e)(:. ? 
88. Qual é a soma das ~oluções da equaçã6: 
1 X+ 3 I- 1 X - 21- 1 X - 1 1 = 07 
~~ 
C) 10 
) \ 
E) O 
B) 8 
D) - 14 
89. Considere os conjuntos A = {x - 1 e IR /x 2 < 1}. 
B = {xe 71. I 'I?- < 1}, C = {xe 71. /lxl > x}, então, A - (B u C) é o 
conjunto: 
A)0 
C) (-2; 0) - {1} 
E) (-1; 1) 
B) (1; 2) 
D) (-2; O) - {-1} 
90. Se a soma das soluções inteiras da inequação (x - n) (x - n - 3) 
(x - n - 6) (x - n - 9) (x - n - 12) (x - n - 15) < O é 39, indique 
o valor inteiro de n. 
A) 5 
C)-2 
E) 3 
B) 1 
D) -1 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
• • ==========================::::;·-= 
91 . Determine a quantidade de pares ordenados de números reais 
que verificam a equação 5x2 - 2xy + 2y2 - 2x - 2y + 1 ::;: O. 
A) O 8) 1 
C) 2 D) 3 
E) mais de 3 
&seja n um número inteiro positivo e d(n), a quantidade 
de divisores positivos de n. Encontre todos os inteiros 
e não negativos tais que existe n satisfazendo 
d(n) + <p(n) ::;: n + c, sendo <p a função de Euler. 
93. (IME/201 O) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que 
r t e ·d · 1 - • - < - . ons, ere as seguintes re açoes: 
S V 
1. (r+s) < (t+v) 
S V 
r t 
li.--<--
(r+s) (t+v) 
Ili. ~ < (r+t) 
s (s+v) 
IV (r+t) (r+t) 
·--<--
s V 
O número total de relações que estão corretas é: 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) 4 
94. Sejam x, y, z números reais distintos dois a dois. Prove que 
Vx - y + VY - z + Vz - x :t O. (Sugestão: a + b +e= O implica 
a3 + b3 + c3 = 3abc.) 
95. (EUA) Existe um único par de inteiros positivos x e y satisfazendo 
a equação x2 + 84x + 2008::;: y2. Encontre x + y. 
(Austrália) Se x, y , z são números positivos satisfazendo 
1 4 1 1 1 7 - é ' 1 x + - ::;: , y + - = e z + - = - , entao, xyz 1gua a: 
Y Z X 3 
A) 3_ 
3 
cm:~ 
C) ~ 
3 
0)2 
7 
E) -
3 
af sejam x e y números inteiros t ais que x3 + y3 + (x + y)3 + 
/ · ~0xy = 2000. O valor de x + y é: 
\6))10 B) 20 
C) 30 D) 40 
E) 50 
9 . (OBM) Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação 
/ Jx + J.Jy -Jx - iJy = 1. Qual das alternativas apresenta 
um possível valor de y? 
A) 5 B) 6 
Cf7 D) 8 
E) 9 
9. Para quantos valores inteiros de a as duas raízes de x2 - 2ax + 
3 = O pertencem ao intervalo (- 1; 2]? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) mais de 3 
100.Para quantos valores inteiros do parametro p as raízes de 
x2 - 2px + p2 - 2 ::;: O pertencem ao intervalo (O; 2)? 
A) O B) 1 
C) 2 D) 3 
E) mais de 3 
101.Determine todos os números reais a, tais que a inequação 
lx2 + 2ax + 3al ~ 2 tem exatamente uma solução em x. 
@Prof. MM) Um número complexo ç é uma raiz primitiva n-ésima da 
unidade se, e somente se, Ç" ::;: 1 mas Çk ~ 1 para cada inteiro k com 
1 s k s n - 1. Isto é, n é o menor expoente para o qual a 
potência de ç é 1 . 
O n-ésimo polinômio ciclotômico Q"(t) é o produto de todos 
os polinômios lineares (t - Q, sendo ç ra iz n-ésima primitiva 
da unidade. 
Analise as seguintes afirmações. 
1. O grau de Qn é <p(n) e sempre é par, em que q:, é função de Euler; 
li. Toda raiz n-ésima da unidade é uma raiz de Qn; 
Ili. Q5't) = t2 - t + 1; 
IV. Se pé um número primo, então, QP(t)::;: tp- 1 + tP- 2 + ... + t + 1. 
Assim, somente: 
A) IV é verdadeira. 
B) 1 e IV são verdadeiras. 
C) li é falsa. 
D) Ili e IV são verdadeiras. 
E) n.d.a. 
.,93, Se as raízes da equação x2 - 2ax + a2 + a - 3 = O são reais e 
menores que 3, então: 
A) a < 2 
C) 3 <a s 4 
E) n.d.a. 
f 
B) 2 s as 3 
D} a > 4 
04 Banco Central) Um quadrado é cortado em 49 quadrados 
menores. Todos esses quadrados têm as medidas de seus lados, 
em centlmetros, expressas por números inteiros positivos. 
Há exatamente 48 quadrados com área igual a 1 cm2. O número 
de resultados passiveis para expressar, em cm2, a medida da 
área do quadrado original é exatamente igual a: 
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) 5 
105.(Banco Central) Para selecionar um recruta dentre 225 voluntários, 
o sargento de determinado batalhão os dispõe em um quadrado de 
1 5 linhas por 15 colunas e, a princípio, manda sair o mais alto 
de cada linha e denomina de A o mais baixo, dentre esses 
15. Em seguida, faz com que todos retomem suas posições 
noquadrado e, agora, manda sair o mais baixo de cada coluna 
e denomina de B o mais alto, dentre esses 15. 
Analise as seguintes situações: 
1. A ser mais alto do que B; 
li. B ser mais alto do que A; 
Ili. A e B serem a mesma pessoa. 
~(São) possfvel(is) apenas a(s) situação(ões): ( J 
A) 1 B) li 
C) Ili D) f e Ili 
E) li e Ili 
ITA/IME 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • 1. 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
~rof. MM) 
A) Mostre que se a e b são números reais, então, [a]+ [b] s [a+ b]. 
B) Seja p um número primo e f(k) a quantidade de fatores 
p em k ! . Sendo m e n números nat urais, mostre que 
f(m) + f (n) s f (m + n) . 
107.(Prof. MM) Se n é um número natural maior que 1, então, de 
quantas maneiras podemos escrever n como soma de dois 
números naturais primos entre si? 
108.(Prof. MM) Mostre que a soma dos quadrados de três inteiros 
consecutivos não pode terminar em 1 ou em 6 . 
109.Se as raízes da equação x2 + px + q = O são positivas, 
mostre que o mesmo ocorre com as raízes da equação 
qy2+ (p - 2rq)y + 1 - pr = O, onde r é um número posit ivo. 
110.Na equação x2 - px + q = O, os números p e q são inteiros 
positivos. Mostre que se essa equação tem duas rafzes reais e 
iguais, então, p é par . 
111.(Torneio Harvard-MIT) Encontre a(s) solução(ões) real(is) da 
equação (x + y)2 = (x + 1 )(y - 1 ). 
112.(0CM) Prove que não existem inteiros positivos a e b tal que 
b2 + b = 4 . 
a2 + a 
[ x3 + 3x(x + 1) + 1J + [ x3 - 3x(x - 1) - 1J 
113.0 valor de 
2 2 
[ x3 + 3x(x + 1) + 1] - [ x3 - 3x(x - 1) - 1] 
ifi + 1 
quando x = 
3
r.; é: 
v2 -1 
A) 1 
C) 12/5 
E) n.d.a . 
B) 3/5 
D) 5/3 
114.Quantos dígitos (base 1 O) possui S = 22 + 42 + 62 + 82 + ... + 1002? 
A) 4 B) 5 
C) 6 D) 7 
E) 8 . 
Liiilo resto na divisão por 1000 de 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... 
+2010 ·2011 é: 
A) 140 
()340 
E) n .d.a . 
B) 240 
D)440 
116.Quantos inteiros posit ivos menores que 1000 são iguais a 6 vezes 
a soma de seus dígitos? 
A)O 
B) 1 
C)2 
D)4 
E) 12 
H,ra quantos valores inteiros de x a função 
f(x) = J 201 O está definida? 
A) O 
B) 4 
C)8 
D) 12 
9 - 1 5 - 1 2x - 3 1 
E) mais de 12 
ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
118.(Prof. MM) Que números a seguir são racionais? 
1. (J2Jir 
li. 11 ... 122 ... 25 n e N ----.-.., ~ ' 
n n + 1 
Ili.~ 
IV. log
3
5 
A) I B) 1 e li 
C) 1, li e Ili 
E) n.d.a . 
D) 1, li , Ili e IV 
119. Encontre o menor inteiro positivo n tal que ~ é um quadrado 
2 
perfeito, ~ é um cubo perfeito e ~ é uma quinta potência 
3 5 
perfeita. 
~eja n um inteiro positivo tal que 2n tem 28 divisores positivos 
e 3n tem 30 divisores positivos. Quantos divisores positivos 
tem 6n?121. Para n inteiro positivo, def inimos n! (lê-se "n fatorial" ) como o 
produto de todos os inteiros posit ivos menores que ou iguais 
~ n. Por exemplo, 6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6. Se n! = 2 15 - 36 -
53 • 72 - 11 · 13, então, n é igual a: 
A) 13 
B) 14 
C) 15 
D) 16 
E) 17 
122.(Prof. MM) Analise as afirmações: 
1. x+ ~e~ - x são inversos, 'r:/x e R; 
li. x + ~ e x -~ são inversos, 'r:/x e R; 
Ili. x2 + x + 1 e x2 - x + 1 são inversos, 'r:/x e R; 
IV. Todo número racional possui inverso . 
São verdadeiras: 
A) I 
B) 1 e li 
C) 1, li e 111 
D) n.d.a. 
~(Prof. MM) Seja x um número real ou complexo para o qual 
1 1 
x + - = 1. O valor de x6 + 6 é: X X 
1 
2 
3 
D)4 
E) 5 
l? r 
/4 
/;;;;),rof. MM) Se x + y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 3 e x3 + y3 + z3 = 4, 
então, o valor de x5 + y5 + z5 é: 
A) 6 B) 
1 
3 
35 
C)6 
E) n:d .a . 
) 
26 
D -
3 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
125.Sejam a, b, e números reais não nulos, tais que a + b + c = O 
e a3 + b3 + c3 =as+ b> + cs. Encontre o valor de a2 + b2 + c2• 
126.Seja P(x) um polinômio mônico com grau 2008, tal que 
P(O) = 2007, P(1) = 2006, P(2)= 2005, ... , P(2007) =O.Determine 
o valor de P(2008). Você pode usar fatoriais em sua resposta. 
(Sugestão: Crie o polinômio Q(x) = P(x) + x - 2007) 
6._2zj>etermine todas as soluções inteiras de n~+ n;+ ... + n~ = 1599. 
(Sugestão: Divisão por 16) 
128. O produto dos números que aparecem nas alternativas 
incorretas dessa questão é um cubo perfeito. Assinale a 
alternativa correta. 
A)4 
C) 18 
E) 192 
B) 8 
D) 54 
129. Se a razão entre as raízes da equação mx2 + nx + n = O é E, 
então, mostre que t + J¾-J!f = O. q 
~Se a e b são as raízes de x2 - 10cx - 11 d = O, e e e d são 
-- as raízes de x2 - 1 Oax - 11 b = O, então, encontre o valor de 
a + b + c + d sabendo que a, b, e, d são números distintos. 
131. (Prof. MM) O número a é racional se: 
A) a4 é racional. B) a3 e a 11 são racionais. 
C) a8 e a6 são racionais. D) aJi é irracional. 
E) n.d.a. 
§ Sejam m, n, p números inteiros, tais que m + nJi + p-./3 = O. 
Mostre que m = n = p = O. 
133. Mostre que se a é uma raiz da equação 4x2 + 2x - 1 = O, 
então, 4a3 - 3c:t é a outra raiz. 
134. D e termine o conjunto s o I u ç ão d a equação 
4Lx) - 36[_ x J + 45 = O, onde LaJ representa a parte inteira 
de a. 
2 
135. A soma dos algarismos do número ~ é: 
A) 9 2 5 100 algarismos 
B) 905 
C) 916 
D) 898 
E) 998 
136. (Prof. MM) Sejam a, b e e números ímpares. Qual dos valores 
a seguir pode ser raiz da equação ax2 + bx + c = O? 
A)O 
B) 1 
()2 
0)3 
E) n.d.a. '-
137. (Prof. MM) Quantos pares de números inteiros m e n satisfazem 
m2 - n2 = 2011? 
A)O 
B) 1 
()2 
0)3 
E) mais de 3 
138. Defina (n)= n(n-1) ... (n-k + l}, sendo k um número natural. 
k 1-2· -k 
Assim, o menor valor ~~ a ta l que 2ª -(½) é um número 
inteiro é: 4 
A) 7 B) 8 
()9 0)10 
E) n.d.a. 
139. Se a, b e e são números naturais não nulos, tais que c = 5a e 
b + 3c = 60, os possíveis valores de e são em número de: 
A) 2 B) 3 
C) 4 D) 5 
E} 6 
140. O menor inteiro positivo x para o qual 1260x = N3, sendo N 
um número inteiro, é: 
A) 1050 
C) 12602 
E) n.d.a. 
B) 1260 
0)7350 
141. Seja r um número real positivo, tal que * + .~ = 6. O valor 
tr 
máximo de efr -
4
~ é: 
tr 
A) 14 B) -14 
3 
C) 12 D) 62 
E) n.d.a. 
142. (Prof. MM) O número de maneiras de escrever 201 O como 
soma de dois números inteiros positivos primos entre si é: 
A) 2009 B) 1004 
()502 0)528 
E) 264 
143. Suponhamos que p e q sejam os catetos de um triângulo 
retângulo e h, a altura relativa à hipotenusa do mesmo. Nessas 
d' - d f' - 2 2 2 1 o con ,çoes, po emos a ,rmar que a equaçao -x --h x +- = : 
p q 
A) não admite raízes rea is. 
B) admite uma raiz da forma m..J-1, sendo m real positivo. 
C) sempre admite raízes reais. 
D) admite uma raiz da forma -mJ::i, sendo m real positivo. 
E) n.d.a. 
44. A notação L x J sign ifica o maior inteiro não maior que x. 
Por exemplo, L 3, 5 J = 3 e L 5 J = 5. O número de inteiros x entre 
O e 500 para os quais x-l xi J = 10 é: 
A) 17 
B) 18 
C) 19 
D)20 
E) 21 
145. (Prof. MM) Determine o conjunto solução da equação 
x = L1- xJ, onde LaJ representa a parte inteira de a. 
146. Determine todas as triplas de números reais (x, y, z) que são 
solução da equação 
4x4 - x2 • (4y4 + 4z4 - 1) - 2xyz + y8 + 2y4z4 + y2z2 + z8 = O 
• • 
• • • • • • • • • • ., 
• • • •1 • • • • • • • • • • • • • • • • 
ITA/IME • 
• • 
• 1. 
• • • • • • • 
1. 1• • 1• 1: 
• • • • • • • • • • l e 
• • • • • 
• \ 
147. Se f(x) = px2 + qx + r, sendo p, q, r números racionais e 
f : 'li.-+ 'li., sendo 'li. o conjunto dos números inteiros. Então, 
p + q é: 
A) inteiro negativo. 
8) um inteiro. 
C) racional não inteiro. 
O) r . 
E) n.d.a. 
148. A quantidade de inteiros positivos menores que ou iguais a 
1000 que são múlt iplos de 5 e não são múltiplos de 7 é: 
A) 172 8) 171 
• C) 58 O) 57 
E) n.d.a. 
149. Suponha que f seja uma função tal que, para todo número 
real x: 
i) f(x) + f( 1 - x) = 11 ; 
ii) f(1 + x) = 3 + f(x). 
Então, f(x) + f(-x) deve ser igual a: 
A) 8 B) 9 
C) 1 O O) 11 
E) 12 
150. Seja f : 'li.. -+ 'li.. t al que f(mn) = mf(n) + nf(m), f(1 O) = 19, 
f(12) = 52 e f(l5) = 26. Então, f(8) é igual a: 
A) 12 8) 24 
()36 0) 48 
E) 60 
151. (Prof. MM) A função f é definida para todos os pares ordenados 
(x, y) de inteiros positivos e tem as seguintes propriedades: 
f(x, x) = x, f(x, y) = f (y, x) e (x + y)f(x, y) = yf(x, x+ y). Qual é o 
valor de f(22, 55)? 
A) 11 
C)SS 
E) n.d.a. 
B) 22 
O) 110 
152. O número de pares ordenados (m, n) de números inteiros 
. . - 1 - d - 4 2 1é pos1t1vos que sao so uçoes a equaçao - + - = : 
m n 
A) 1 8) 2 
( )3 0)4 
E) mais de 4 
153. Sejam p e q números inteiros e pos1t1vos, ta is que 
x2 - px + 2q = O tem duas raízes reais e iguais. Então, podemos 
afirmar que: 
A) pé par. 
C) q é ímpar. 
E) n.d.a. 
B) p = q. 
O) p e q são primos entre si . 
154. Seja N o número de Os consecutivos no final (à direita) da 
representação decimal do produto 1 ! 2! 3! 4! .. . 99! 100!. 
Encontre o resto quando N é dividido por 1000. 
A) 1248) 126 
()348 0)485 
E) n.d.a . 
155. A quantidade de inteiros positivos menores que ou iguais a 
1000 que são múltiplos de 3 e não múltiplos de 7 é: 
A) 191 8) 277 
()286 0)312 
E) n.d.a . 
ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
156. A soma dos algarismos do número 9 + 99 + 999 + ... + 99 ... 9 é: .____.,_....., 
A)2032 
B) 2033 
()2034 
0)2035 
E) n.d.a. 
201 1 
157. (Prof. MM) Qual dos números a seguir não é um quadrado 
perfeito? 
A) 4044121 B) n(n+1)(n +2)(n+3)+1, n E Z 
C) !..LJ lld 5, n e 'li. O) !..LJ~. n e 'li. 
n n + 1 n 2n 
E) n.d.a. 
158. A soma de todos os inteiros positivos n s 100 para os quais 
n(n - l) é um quadrado perfeito é: 
2 
A)61 
B) 60 
C) 12 
0)62 
E) 53 
159. Em relação à equação do segundo grau x2 - 1995x + - 1- = O, 
1995 
de raízes a e p, podemos afirmar que: 
A) se a> p, então, 1990 é o maior inteiro não maior que a. 
B) 
1 1 é . . d . . 1 - + - nunca inteiro, para to o inteiro n <! . 
a n w 
C) a3 + p3 é um inteiro que deixa resto 2 ao ser dividido por 5. 
O) a"+ pn é inteiro para todo n natural. 
E) n.d.a . 
3 31 + 2 31 
160. O maior inteiro menor que ou igual a --=-----== é: 
3 29 + 2 29 
A)4 
B) 6 
()7 
0)8 
E) 9 
liIJse a + b + c = O, então, a equação quadrática 3ax2 + 2bx + c = O 
tem: 
A) pelo menos uma raiz em (O, 1 ). 
8) uma raiz em (2, 3) e a outra em (-2, -1 ). 
C) raízes imaginárias. 
O) raízes iguais. 
E) n.d.a. 
§/ Sejam a e b dois números inteiros não negativos. Então, 
(2ª + 2b)2 pode expressar-se como soma de duas potências 
distintas de 2, sempre que: 
',, 
A) a= b 
B) a= O ou b = O 
C) la - bl = 1 
O) a e b são ambos potências de 2 . 
E) nunca. 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
163. Mostre que não existem números naturais distintos a, b, e, d 
tais que a3 + b3 = c3 + d3 e a + b = C + d. 
164. Se f(x)= l-x+x: ~3. 'd x e IR, então, o valor máximo de 
1+x+x 
1+2x+ 4x 2 ---é: 
1-2x+4x2 
A)9 
()3 
E) n.d:a. 
B) 6 
D) i 
2 
& :'seja n omenor inteiro positivo tal que n é divislvel por 20, 
- n2 é um cubo perfeito e n3 é um quadrado perfeito. Qual é a 
quantidade de dígitos de n? 
A) 3 B) 4 
C) 5 D) 6 
E) 7 
166. Para a, b, e distintos, o valor da expressão 
1 + 1 + 1 é· 
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) · 
A) a+ b + c 
C) abc 
1 
E) a+ b + c 
167. (Prof. MM) 
B) sempre O 
D) 3(a + b + C) 
A) Os Polinômios de Tchebyshev de 1 ª espécie são definidos 
por Tn(x)=cos[n(arccosx)], n ;?; 1. Mostreque T
1
(x)=x, 
Tn)x) = 2x · Tn(x)- T,,)x), para n;?; 1. 
B) Os Polinômios de Tchebyshev de 2ª espécie são definidos 
sen[(n + l)(arccosx )] 
por Un(x)=-~----~, n ;?; 1. Mostre que 
sen( arccosx) 
U1(x) = 2x, Un.,(x) = 2x · Un(x) - Un-/x), para n ;?; 1. 
Sugestão: 
A) Use Tn ( cos 0) = cos (n0) 
sen[(n+ 1)e] 
B) Use Un(cos0)=~~-~ 
sene 
GJ.se uma raiz da equação quadrática ax2 + bx + c = O é igual 
ao quadrado da outra, então: 
A) a3 + bc(b + c) = 3abc 
B) b3 + ac(a + c) = 3abc 
C) c3 + ab(a + b) = 3abc 
D) b3 + ac(a + c) = abc 
169. A sequência de Fibonacci começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 
21, ... (cada número a partir do terceiro é a soma dos dois 
números anteriores). A notação fn signif ica o n-ésimo termo 
dessa sequência. Por exemplo, f4 = 3 e f7 = 13. Quantos dos 
termos f
38
, f
51
, f
150
, f
200
, f
300 
são ímpares e quantos dos termos 
f
48
, f75, f,96, f379, f,000 são divisíveis por 3, respectivamente? 
A) 2 e 3 B) 2 e 4 
C) 3 e 3 D) 3 e 4 
170. O menor inteiro positivo x para o qual 1260x = N3, onde N é 
um inteiro, é: 
A) 1050 
C) 12602 
E) 44100 
B) 1260 
0)7350 
171. O número de soluçôes inteiras positivas para 2(x + y) = xy + 7 é: 
A) 1 B) 2 
()3 0)4 
E) n.d.a. 
172. Dizemos que N é um número automórfico se o valor de 
N2 termina com a mesma sequência de dígitos que N. Por 
exemplo, 6 é automórfico pois 62 term ina em 6. Quantos 
números automórficos de 2 dígitos (base 10) existem? 
A) O B) 1 
()2 ~3 
E) mais de 3 
173. Se lx2 - 41 < N para todo x real ta l que Jx - 2J < 1, então: 
·A) o menor va lor possível de N é 3. 
B) o maior valor possível de N é 3. 
C) o menor valor possível de N é 5. 
D) o maior valor possível de N é 5. 
E) N pode assumir qualquer valor. 
174. (Prof. MM) O menor inteiro positivo n para o qual a diferença 
Jn+i - ~ fica menor que 0,02 é: 
A) 51 B) 2500 
()2501 0)2502 
E) n.d.a. 
175. Sejam a e b números reais não nulos tais que b > 2a. A respeito 
da inequação ax2 - bx + b - a> O podemos garantir que: 
(
b-a ) A) sua solução é (-oo; 1) u 7 ;-too . 
( 
b-a) B) sua solução é -oo; - a- u(1;-too). 
(
b-a ) C) existe a ta l que a solução é - a- ;1 . 
D) existe a tal que a solução é ( 1; b ;ª} 
E) n.d.a . 
176. Se x e R e 4y2 + 4xy + x + 6 = O, então, o conjunto completo 
dos valores de x para os quais y e R é: 
A) (-oo; -2] u [3 ; +ao) B) (-oo; 2] u [3 ; +ao) 
C) (-oo; - 3] u [2 ; +oo) D) [-3; 2] 
E) [-2; 3) 
177. Se p e q são primos e x2 - px + q = O tem raízes inteiras 
positivas e distintas, então, quais das seguintes sentenças são 
verdadeiras? 
1. A diferença entre as raízes é ímpar; 
li. Pelo menos uma raiz é um número primo; 
Ili. p2 - q é primo; 
IV. p + q é primo. 
A) 1, apenas. 
C) li e Ili, apenas. 
E) todas. 
B) li, apenas. 
D) 1, li e IV, apenas. 
ITA/IME 
• • 
• • • • •• • • • • • • • • • .1 
• • -• • • • • • • •• • • • • • • • ... 
• • 
•• • • • 
178. O menor valor de k, tal que k! termina em 100 zeros é: 
A) 399 B) 401 
C)403 D)405 
E) n.d.a. 
179. Determine todos os valores de x para os quais (1999x - 99)3 = 
= (1234x - 56)3 + (765x - 43)3 . 
,&!Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe 
• pelo menos um número real x sat isfazendo ~1 - 4x2 ~ a + x2. 
• &Encontre todas as soluções reais de ~13 + x + ~4 - x = 3 . 
• ~ k+l 
• ~ { Se as raízes da equação ax2 + bx + c = O são da forma - k-
• • 1: 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
e k + 
2 
então (a + b + c)2 é igual a: 
k + 1 ' ' 
A) b2 - 4ac B) b2 - 2ac 
C) 2b2 - ac 
E) n.d.a. 
D) a2 + b2 + c2 
183. A soma de todos os inteiros positivos n, tais que 1 + 22 + 33 + 4" 
é um quadrado perfeito é: 
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) maior que 4 
184. Quantos inteiros de 1 O a 99 (incluindo 1 O e 99) tem a 
propriedade que a soma de seus dígitos é igual ao quadrado 
de um inteiro? 
A) 13 
C) 15 
E) 17 
B) 14 
D) 16 
185. (Prof. MM) Seja n um inteiro não negativo. Definimos os 
Polinômios de Tchebyshev por T 
0
(x) = cos [ n ( arccosx)] , - 1 ~ 
x ~ 1. Podemos afirmar que: 
A) T
5
(x) = 16x5 - 20x3 + 5x. 
1 
B) todas as raízes de T/x) têm módulo menor que 
2
. 
C) o conjunto-solução de T2(x) ~ O é [ ~ ; 00 )-
D) o coeficiente líder de T
2012
(x) é 22012 • 
E) n.d.a. 
186. (Prof. MM) Seja n um inteiro não negativo. Definimos os 
Polinômios de Tchebyshev por T
0
(x) = cos [n(arccosx)], 
- 1 ~ x ~ 1. Analise as afirmações: 
1. T6(x) = 32x
6 - 49x4 + 19x2 - 1; 
li. Todas as raízes de T)x) são números irracionais; 
Ili. O conjunto-solução de T3(x) ~ O é [ 1; ;00 J 
IV. O coeficiente líder de T
2012
(x) é 22011 • 
ITA/IME 
Quantas são verdadeiras? 
A)0 
B) 1 
()2 
D) 3 
E) 4 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
187. (Prof. MM) Os Polinômios de Tchebyshev de 1 ª espécie 
são definidos por T
0
(x) = cos [n(arc cos x)] e os 
Polinômios de Tchebyshev de 2ª espécie são definidos por 
sen[(n + 1) (arccos x)] 
U (x) = ---=-'---:-'-_;_---:-__,,., n ~ 1. Prove que T
0
• 
1
(x) = 
n sen (arccos x) 
x · T
0 
(x) - (1 - x2) · U
0
_ 1(x) e U0(x) = X · U0 _ 1 (x) + T0 (x), para 
n ~ 1. 
/liiJ(Prof. MM) Um número complexo Ç é uma raiz primitiva 
n-ésima da unidade se, e somente se, Ç" = 1 mas Çk 7' 1 para 
cada inteiro k com 1 ~ k ~ n - 1. Isto é, n é o menor expoente 
para o qual a potência de e, é 1. 
O n-ésimo polinômio ciclotômico Q
0
(t) é o produto de todos 
os pol inômios lineares (t - e,), sendo Ç raiz n-ésima primitiva 
da unidade . 
Analise as seguintes afirmações. 
1. O grau de Q
0 
é cp(n); 
li. Toda raiz de Q
0 
é uma raiz n-ésima da unidade; 
Ili. Q4(t) = t2 + 1; 
IV. t6 - 1 = Q6't)Q/t)Q2(t)Q/t). 
Assim: 
A) somente I e li s.ão verdadeiras. 
B) somente 1, li e Ili são verdadeiras. 
C) somente 1, li e IV é falsa. 
D) todas são verdadeiras . 
E) n.d.a. 
189. (Prof. MM) O grau do 2012° polinômio ciclotômico é: 
A) um número ímpar. B) 2012. 
C) 1506. D) 1004. 
E) n.d.a . 
190. Para quantos valores inteiros do parâmetro p as raízes de 
x2 - 2px + p2 - 2 = O pertencem ao intervalo (O; 2)? 
A)0 
B) 1 
()2 
D)3 
E) mais de 3 
@,TA) Seja y = [ ax2 - 2bx - (a+ 2b)] i. Em qual dos casos 
abaixo y é real e diferente de zero? 
a+b 
A) a > O, b > O, - 1 < x < --
a 
a +2b 
B) a > O, b < O, x = --
a 
C) a > O, b = O, - 1 < x < 1 
D) a < O, b = 3a, x < - 1 
a+b E) a < O, b = 2a, - 1 < x < --
a 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
192. Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade 
x2 - ax - 2a2 
------< O: 
x2 - (a + 2)x + 2a 
A) a< O, x < 2a 
C) a > 2, 2 < x < a 
E) a> 2, x > 2a 
B) a= O, x >-a 
D) a > 2, -a < x < 2 
193. O conjunto solução da desigualdade I x + 1 1- 1 x 1 :s; x + 2 é: 
A) (-3, O) u (1, 73) 
B) {x e R / x :s; O} u (3, 15) 
C) (-3, O) u {x e R/ X<!: O} 
D){x e R / - 5 < x < - 1} u {x e R / 1 < x < 17) 
E) (-4, 2) u [-2, 1) 
194. A respeito da equação 3x2 - 4x + J3x2 - 4x - 6 = 18, 
podemos dizer que: 
A) 
2 ± J7õ são raízes. 
3 
B) a única raiz é x = 3. 
C) a única raiz é x = 2 + .Jfõ. 
D) tem 2 ralzes reais e 2 imaginárias. 
E) n.d.a. 
195. A respeito das raízes reais da equação Jx
2 
+ 3 _ ~ x = ~, 
. X X2 + 3 2 podemos afirmar que: 
A) são 3 e -3. B) são 3 e 3. 
C) são 3 e Ji D) elas não existem. 
E) n.d.a. 
,/ii1 (Prof. MM) A soma de todos os inteiros positivos n :s; 150 
. n(n - 2) d d f . para os quais --'----'- é um qua ra o per eito: 
3 
A) é um múltiplo de 6. 
B) é um número primo. 
C) é menor que 17. 
D) não é possível de calcular, pois não existem tais inteiros 
positivos. 
E) n.d.a. 
197. Dois conjuntos finitos têm m e n elementos. O número 
total de subconjuntos do primeiro conjunto é 56 a mais 
que o número total desubconjuntos do segundo conjunto. 
Os valores de m e n são: 
A) 3 e 6 
C) 5 e 1 
E) n.d.a. 
B) 6 e 3 
D) 8 e 7 
198. Sejam x e y inteiros positivos de dois dígitos com média 60. 
Qual é o valor máximo da razão ~? 
y 
A) 3 B) 
33 
7 
C) 39 
7 
E) 99 
10 
0)9 
199. Encontre todas as soluções da equação (x - 1 )3 + (x - 2)3 + 
+ (x - 3)3 + (x - 4)3 + (x - 5)3 = O. 
Revisão de Álgebra li 
Exercícios Propostos 
01. Seja f : R ~ R uma função definida por f(x) = (x - a) (x - b) + 
+ (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a), sendo O < a < b < e. 
Mostre que o valor mínimo de f não pode ser um número 
positivo. 
02. (Prof. MM) O número de maneiras de escrever 2010 como 
soma de dois números inteiros positivos primos entre si é: 
A)2009 
B) 1004 
()502 
D) 528 
E) 264 
03. ~screva 43 como soma de quatro números ímpares 
/~ ~onsecutivos. 
/ ~ Demonstre que, para todo número inteiro positivo n, nk é 
~ a soma de n números ímpares consecutivos, sendo k um 
inteiro maior que ou igual a 2. 
04. O intervalo de valores de m para os quais a equação (m - 5)x2 + 
+ 2(m - 1 O)x + m + 1 O = O tenha raízes reais com o mesmo 
sinal é dado por (considere que O não tem sinal): 
A) m > 1 O B) -5 < m < 5 
C) m < - 1 O ou 5 < m :s; 6 D) m < 1 O 
E) n.d.a. 
05. (Mack) Se 1 está entre as raízes da equação 3x2 - 3x · sen a -
- 2cos2 a= O e a e [O, 21tl. ent'ão, a está no interva lo: 
06. 
07. 
1 
A) (o .z:J B) (..2:. .z:J 
'2 12'2 
C) (i, 561tJ D) (2: 2:Ju(.z: 5~J 
6' 2 2 ' 6 
E) n.d.a . 
Se as raízes da equação x2 - 12kx + k2 + k - 5 = O são reais e 
menores que 5, então, k está no intervalo: 
A) (-oo, 4) B) (4, 5) 
C) (5, 6) D) (6, +oo) 
E) n.d.a. 
(Prof. MM) Sobre o número x = J17 - 12J2 - 2J2 é correto 
afirmar que: 
A) x é racional. 
C) x + 4J2 é racional. 
E) n.d.a. 
B) x2 é um número ímpar. 
D) x é posit ivo. 
Sejam a, b, e e z:. Prove que a2 + b2 + c2 é divisível por 4 se, 
e somente se, a, b, e são pares. 
9 S 
. , . . 1 y 2 
O . eiam x, y, z numeras reais tais que - = --- = - . 
xy z -x + l z+1 
Prove que um desses números é a média aritmética dos outros dois. 
\ 
• • 
• ~-• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • 
f Mostre que ~20 + 14./i + ~20 - 14./i = 4 . 
22 - 1 32- 1 42 - 1 20122 - 1 
Simplificando S--- ·--·--· ·---,,--
obtemos: - 22 32 42 ... 20122 ' 
C) 2011 
4024 
B) ! 
2 
D) 1 
4024 
y- Se uma raiz da equação quadrática ax2 + bx + e = O é igual 
ao quadrado da out ra, então: 
a3 + bc(b + e) = 3abc 
b3 + ac(a + e) = 3abc 
c3 + ab(a + b) = 3abc • e @ D) b3 + ac(a + e) = abc Se o gráfico de f(x) = li x - 2 1 - a 1 - 3 tem exatamente três 
interseções com o eixo x, então, a é igual a: • • • • • • 
A)3 
B) 4 
C)O 
D)-3 
,./ A sequência de Fibonacci começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 
7 · 21, ... (cada número a partir do terceiro é a soma dos dois 
números anteriores). A notação fn significa o n-ésimo termo 
dessa sequência. Por exemplo, f4 = 3 e f7 = 13. Quantos dos 
termos f38, '~ f200~ ~ s_ão ír:npares e quant~s dos ter~os 
~,~196, )6· f 1000 saóã1v1síve1s por 3, respectivamente . 
• 
• @ • 
B) 2 e 4 
C) 3 e 3 
D) 3,1,e.Jl 
Determine para quais va lores reais de x é verdadeira a 
desigualdade I x2 - 10x + 211 s l 3x - 151. 
• • • • • • • • • • • • • 
16. Determine a soma dos naturais positivos que, divididos por 
37, dão resto igual ao cubo do quociente . 
Uma companhia telefônica oferece aos seus clientes 2 planos 
diferentes de tarifas. No plano básico, a assinatura inclui 200 
minutos mensais de ligações telefônicas. Acima desse tempo, 
cobra-se uma tarifa de R$ 0, 1 O por minuto. No plano alternativo, 
a assinatura inclui 400 minutos mensais, mas o tempo de cada 
chamada desse plano é acrescido de 4 minutos, a título de taxa 
de conexão. Minutos adicionais no plano alternativo custam 
R$ 0,04. Os custos de assinatura dos dois planos são iguais 
e não existe taxa de conexão no plano básico. Supondo que 
todas as ligações durem 3 minutos, qual o número máximo de 
- chamadas para que o plano básico tenha um custo menor ou 
igual ao do plano alternativo? 
18. Os valores de a para os quais a equação 2x2 - 2(2a + 1)x + 
a(a - 1) = O tem raízes a e ~. tais que a < a < ~ satisfazem: 
A) a ~ O 
B) a < O 
C) - 3 < a< O 
D)-2 < a< O 
E) n.d.a. 
ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
1.81 Para quantos inteiros m o número 
f .. inteiro? 
2012 
--- é um número 
m2 - 26 
A)l ~2 
()3 ~4 
E) mais que 4 
/(I) (ITA) Sejam a1, a2, ... , ª" números reais. A expressão (a1 + a2 + ... + aJ 
é igual a: 
n n 
A) I:a:.2+ 4Lªi 
i=l i=l 
8) t,,' + t,[ t.~j] 
C) L, __ º, a:.
2 
+ ( ~) I:, __ 
0
1 ª i D) :tí :tàiªil 
' ~-J"' i=1i~ 
E) n.d.a. ~"'-~ , - .;f:- r ':, 
0 ';0 ~e+'€~ 'v 
/. Se a + 2b + Se= O, com a, b, e reais, a '* O, então, mostre 
que a equação 3ax2 + 4bx + Se = O sempre possui raízes 
reais distintas. 
, 22. Prove que a equação an + 201 O· b" = c0 • 1 tem infinitas soluções 
naturais a, b, e para todo inteiro positivo n. 
i/. Um palíndromo, como 83438, é um número qu~ permanece 
/ ,- · o mesmo quando seus dígitos são invertidos. Os números x 
e x + 32 são palíndromos de 3 e 4 dígitos, respectivamente. 
Qual é a soma dos dígitos de x? ~ 
A) 20 f v - r;,o' 'f\P -\-es 
8) 21 v 
C) 22 'f.-~ ~6C\ 
~! 
Y, Mostre que 
20142 20152 30142 
----+ + .. . + = 
2013 -2015 2014 -2016 3013 -3015 
25. Mostre que: 
A) se a e b são números reais com a < b, então, valem as 
. a+b b-a 
desigualdades a < - - < b e a < a + r:; < b. 
2 v2 
B) Entre dois números racionais quaisquer distintos existem 
pelo menos um número racional e um número irraciona~ 
26. A sequência de Fibonacci é definida por F1 = F2 = 1 e, para 
n ~ 3, Fn = F n-, + F n-i· Mostre que se a, b, e, d são 4 termos 
consecutivos dessa sequência, então, 2bc, ad e b2 + c2 são as 
medidas dos lados de um triângulo retângulo . 
/. Se a, b, e são naturais pares e consecutivos, então, o número3• 
+ 3b + 3' é sempr divisível por: 
A) 2 · 
~ 
D) 11 
E) n.d.a . 
<.. 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
ft Se n é real e positivo, então, o valor de ~ : 
A) está entre n e 2n. n2 + 1- n 
B) está entre ~ e n. 
2 
C) está entre O e n. 
D) diminui à medida que n cresce. 
@é maior que 2n. 
'JÍ. Seja L x J o maior inteiro menor que ou igual a x. O valor de n, 
tal que Í:l .Jk J =217, é: 
k-1 
~48 
(950 
E) n.d.a. 
B) 49 
D) 51 
31' Assuma que, para uma certa escola, seja verdade que: r· 1. alguns estudantes não são honestos; 
li. Todos membros de fraternidade são honestos. 
Uma conclusão necessária é: 
A) alguns estudantes são membros de fraternidade. 
lguns membros de fraternidade não são estudantes. 
lguns estudantes não são membros de fraternidade. 
nenhum estudante é um membro de fraternidade. 
E) n.d.a. 
31 . Os inteiros maiores que 1 são arranjados em 5 colunas como segue: 
2 3 4 5 
9 8 7 6 
10 11 12 13 
17 16 15 14 
(Quatro inteiros consecutivos aparecem em cada linha; na 
primeira, na terceira e nas outras colunas numeradas com 
números ímpares, os inteiros aparecem nas 4 últimas colunas 
e crescem da esquerda para a direita; na segunda, na quarta e 
nas outras colunas numeradas com números pares, os inteiros 
aparecem nas 4 primeiras colunas e crescem da direita para a 
esquerda.) Em qual coluna aparecerá o número 1000? 
A) primeira. B) segunda. 
C) terceira. D) quarta. 
E) quinta. 
~ Encontre todas as soluções reais da equação 1 + x + x2 + x3 = 
/ x4 +xs 
33. 
34. 
Af Encontre todas as soluções de x4 - x3 - x + 1 = O. 
~ · · {X1 + X2 + ... + Xn = n 
B) Resolvaos1stemanosrea1s 4 4 4 _ 3 3 3 X1 +X2 + ... +Xn -X1 +X2 + ... +Xn 
2012 
Sejam S = L i! . Os dígitos das dezenas e das unidades de 
1-1 
S (na notação decimal) são a e b, respectivamente. O valor de 
10a+bé: 
A)O 
() 13 
E) 33 
B) 3 
D) 23 
,Ir Dado que 20 ! = 20 x 19 x 18 x ... x 2 x 1 e 2" é um fator de r· 20!, então, o maior valor possível de n é: 
~
10 B) 12 
18 0)20 
24 
36. Resolve-se 100 vezes a equação 1 ! + 2 ! + 31 + ... + n ! = y2 no 
conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100a n. As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo: 
A) [8; O) B) [4; 1] 
C) [-2; 6) D) [-3; 5) 
E) [- 5;-1] 
37. Escrevendo o número 2013 na base fatorial, isto é, na forma 
2013 = a1 + a2 ·2! + a3 · 3!+ ... + ª" · n!, sendo a1, a2, ... , an 
inteiros tais que O s ak !,; k, o valor de a5 é: 
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) 5 
38. Quantos são os inteiros positivos com 3 dígitos não 
necessariamente distintos abc, com a e e não nulos, tais que 
abc e cba sejam divisíveis por 47 
A) 10 B) 20 
C) 40 D) 80 
E) n.d.a. 
39. Mostre que não existe inteiro N (base 1 O), tal que a retirada do 
primeiro dígito produz um novo inteiro igual a ~ . 
27 
40. Seja f(x) = (1 - k)x2 + kx + 1, sendo k -t 1 um número real. 
Para qual dos valores de k a seguir as raízes da equação 
f(x) = O são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo 
fechado compreendido entre as raízes? 
A) 1/3 B) 2/5 
C)Sn D)-1 
E) n.d.a. 
41 . Todos os valores de m para os quais ambas as raízes da equação 
x2 - 2mx + m2 - 1 = O são maiores que -2 e menores que 4, 
estão no intervalo: 
A) m > 3 
C) 1 < m < 4 
E) n.d.a. 
B) -1 < m < 3 
D) - 2 < m < 2 
,fÍ. Qual é o menor valor inteiro positivo de k, tal que 2x(kx - 4) - x2 
+ 6 = O não tem raízes reais~ 
A) 1 \fil,1 2 
C) 3 D) 4 
E) 5 
4Y." A soma dos quadrados das raízes da equação x2 + 2xh = 3 é 1 O. 
/ O valor absoluto de h é igual a: 
A)-1 B) _! 
2 
C) ~ D) 2 
2 
~.d.a. r Se a e b não nulos são as raízes da equação x2 + ax + b = O, 
então, o valor mínimo de x2 + ax + b (x e R) é: 
G-~ B) ~ 
4 4 
1 
C) --
4 
E) n.d.a. 
D) .!_ 
4 
ITA/IME 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • •• • • • • • • • • ,. 
• • 1. 
• • • • • • • • • • • 
Mi A equação ax2 + bx + c = O, sendo a, b, e números reais tais r · e 4a + 2b + c = O e ab > O, tem: 
afzes reais . 
aízes complexas. 
C) exatamente uma raiz . 
D) uma raiz real e uma raiz complexa. 
E) n.d.a . 
46. Seja Pum polinômio com grau 2012 tal que P(x)=-x- para 
x = O, 1, 2, ... , 2012. O valor de P(2013) é: x +1 
A) 2013 8) O 
2014 
C) 1006 
1007 
E) n.d.a. 
D) 1 
47. (Prof. MM) Seja Pum polinômio mônico com grau 2013 tal 
que P(0) = 2012, P(1) = 2011 , P(2) = 2010, ... , P(2012) = O . 
O valor de P(2013) é: 
A)-1 8) O 
- 1 
C) -- D) 2013! -1 
20131 
E) n.d.a. 
@(Prof. MM) Encontre todos os números inteiros a e b satisfazendo 
2(a3 + 1 )(b3 + 1) = (a + 1 )(b + 1 ) . 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
55. (Prof. MM) Os Polinômios de Tchebyshev de 2ª espécie são 
. . sen[(n+ 1)(arccosx)] 
defm1dosporun(x) = ( ) . n ~ 1. Asomados 
sen arccosx 
coeficientes de U3 é: 
A) a mesma de U
1 
pois essa soma é constante. 
8) 1. C) 3. 
D) 4 . E) n.d.a. 
56. (Prof. MM) Os Polinômios de Tchebyshev de 2• espécie são 
. . sen[(n+ l)(arccosx)] . 
definidos por Un ( x) = sen( arccosx) , n ~ 1. Analise as 
seguintes afi rmações: 
1. U
1
(x) = 2x; 
li. o grau de un é n; 
Ili. O coeficiente líder de Un é 2"; 
IV. A soma dos coeficientes de Un é constante, v'n . 
Quantas são verdadeiras? 
A) O 8) 1 
C)2 D)3 
E) 4 
@(Prof. MM) Prove que 
11 1 1 1 1 1 
1--+---+ ... +-----=--+--+ 
2 3 4 2013 2014 1008 1009 
1 1 
+ ... +--+--· 
2013 2014 
49. (Prof. MM) Seja n um número inteiro. Se 5n + 1 é um quadrado (,1 1 1 1 1 
perfeito, mostre que n + 1 é a soma de cinco quadrados perfeitos. valor da soma ~+3-5+ ... + (2n-1)· (2n + 1) + ... + 255 . 257 
G. -· 
50. Seja f(x) = ax2 + bx + c, sendo a, b e e inteiros. Suponha que 
f(1) = O, 50 < f(7) < 60, 70 < f(8) < 80 e 5000k < f(100) < 
5000(k + 1) para algum inteiro k. Qual é o valor de k? 
% (Prof. MM) O número 2013 pode ser escrito na forma a2 - b2, 
sendo a e b inteiros maiores que 1. O valor de a2 + b2 pode ser: 
A) 160825 )U._160801 
C) 80418 <-EY16805 
A) 127 
255 
1 
()2 
E) 129 
... 
127 
B) 250 
~128 
\::..!J 257 
E) n.d .a. 
257 b O ~ ,;,.Q{tô ~ c:;;:::_ Se. ~L.- / 'IJ 
1 1 1 1 
y.'(ITA) A_ rls?eito da. equação Jx + a ".' .Jx + ./b, :m que a e b 
52. Seja num inteiro positivo tal que -+-+-+ - é um inteiro. são rea1s~ao negativos, e de seu coniunto soluçao S, podemos 
/ - 2 3 7 n afirmar que: 
Qual das alternativas não é verdadeira? A) se a= b = o então s = 0 . 
A) 2 divide n B) 3 divide n ' ' 
divide n D)42dividen ~) ~b t - S= \(a - b)
2
) > 
42 
\ l. 
1 
'-.Ye a , en ao, __ . 
~1,~ 1 1'(y\l~V~ 4b 
~uAnYi'aa~ e ~ feiros positivos n tais que 1 + 23 + 32+ 42" C) se a< b ou b = O, então, S = 0 . 
~
1
m quadrado perfeito é: D) se a = b, então, S é um conjunto unitário . 
'g{, E) n.d.a . 
( ) 2 
D)3 
E) maior que 3 
54. (Prof. MM) Seja n um inteiro não negativo. Definimos os 
Polinômios de Tchebyshev por Tn(x) = cos[ n(arccosx)] , 
-1 s x s 1. Quantas raízes reais possui o polinômio T 5? 
A) 1 
B) 2 
( ) 3 
0)4 
E) 5 
ITA/IME 
60. Quantos inteiros positivos não excedem 2001 e são múltiplos 
de 3 ou 4, mas nao de 5? 
A)768 
()934 
E) 1167 
8) 801 
D) 1067 
~(Prof. MM) A sequência de Fibonacci é definida por F1 = ~2_=_ 1 
e, para n ~ 3, F" = Fn _ 1 + Fn _2• Qual é o resto de F2013 na d1v1sao 
por 57 · 
A)0 ~ ~ .pf ~ 8) 1 
Q2 .l'ê"" ~-~ D) 3 
E) 4 ..... _µ -r' 1\1 "'-r ~ 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
/
Na sequência de 8 termos A, B, C, D, E, F, G, H, o valor de 
C é 5 e a soma de quaisquer três termos consecutivos é 30. 
Qual é o valor de A+ H? 
7 B) 18 
5 D) 26 
43 
p:"suponha que lx + yl + lx - yl = 2, x e y reais. Qual é o máximo 
valor possível de x2 - 6x + y2? 
A)5 ~~ 
C)7 ~ 
E) 9 
)'- Encontre o menor primo que é o 5° termo de uma P.A. crescente 
e tal que os 4 termos precedentes também são primos. 
65. Encontre o resto de 201312 na divisão por 125. 
® ~~e f(x) = x2 + 6x + c, sendo e um número inteiro, prove que 
f(0) + f(-1) é ímpar. 
@eja g(x) = x3 + px2 + qx + r, sendo p, q e r números inteiros. 
Prove que se g(0) e g(-1) são ambos ímpares, então, a 
equação g(x) = O não pode ter t rês raízes inteiras. 
@ Defina a • b = ab + a + b, 'va, b e Z. Calcule 1 • (2 • (3 • 
':I (4 • ... (99 • 100) ... ))). ~· 
rf r8· M Mostre que 121 b (base b) é um quadrado perfeito qualquer 
;· que seja a base b > 2. 
~ Determine o menor valor de b para o qual 232b é um 
/ quadrado perfeito. 
69. Quantos pontos (x, y) com coordenadas inteiras positivas estão sobre 
a curva definida por x2 + y2 + 2xy- 2005x - 2005y- 2006 = O? 
JÍ. O produto das raízes da equação x2 + 4 ,./x2 - 2x - 6 = 2x + 3: 
A) é O. 
B) é 1. 
C) é um número negativo. 
l'mlnão está definido pois a equação não possui raízes. 
~n.d.a. 
71. A quantidade de soluções reais positivas da equação 
x +l 
2
; j = li J+l ~x J sendo L kJ o maior inteiro menor que 
ou igual ao número real k, é: 
A) O B) 3 
C) 13 D) 23 
E) maior que 23 
72. (Prof. MM) Determine todos os números naturais n, tais que 
l2~::~2 J = 8 
73. (Prof. MM) Qual dos seguintes números está mais próximo de 
-J82- ,./ãfJ? 
A) O, 11 B) O, 13 
C) O, 15 D) O, 17 
E) 0,19 \.. "°' ? , comt M. ~(Pro . ''MM) Qual dos seguintes valores é raiz da equação 
/ ' ' x2 -12·13-14·15=1? 
A) 179 B) 180 
C)-181 D) 182 
E) n.d.a. 
75. (Prof. MM) Determine todos os valores reais do parâmetro a 
para os quais a equação x2 = la-xi admita exatamente três 
soluções distintas. 
16!'(Prof. MM) Se as igualdades a3 + b3 + c3 = 3, a2 + b2 + c2 = 2, 
, - a + b + c = 1 são satisfeitas, então, o valor de abc é: 
1 
A) O B) -2 
C) - ~ 
3 
@,.d.a. 
1 
D) --
6 
77. O menor número maior que 2 que deixa resto 2 quando dividido 
por 3, 4, 5 ou 6 está entre que números? 
A) 40 e 50 B) 51 e 55 
C) 56 e 60 D) 61 e 65 
E) 66 e 99 
78. (Prof. MM) Um número complexo Ç é uma raiz primitiva n-ésima 
da unidade se, e somente se, çn = 1 mas Çk e/, 1 para cada inteiro 
k com 1 ~ k ~ n - 1 . Isto é, n é o menor expoente para o qual 
a potência de ç é 1. 
O n-ésimo polinômio ciclotômico Qn(t) é o produto de todos 
os polinômios lineares (t- Ç), sendo Ç raiz n-ésima primitiva da 
unidade. 
Mostre que, se p é um número primo, então, QP(t) = tP--1 + tP--2 
+ .. . +t+1 . 
79. (Prof. MM) Um número complexo Ç é uma raiz primitiva n-ésimada unidade se, e somente se, Ǻ = 1 mas çk e/, 1 para cada inteiro 
k com 1 ~ k :$; n - 1. Isto é, n é o menor expoente para o qual 
a potência de ç é 1. Das raízes sextas da unidade, a soma dos 
argumentos das que são raízes primitivas é: 
A) 60° 
B) 180° 
C) 240° 
D) 300° 
E) 360° 
~ Um triângulo, semelhante ao mostrado a seguir, é construído com 
os números de 1 a 8 na prmeira linha. Cada número no triângulo, 
a partir da 2ª linha, é a soma dos dois números acima dele. 
O número que ocupa o vértice mais inferior do triângulo é: 
2 3 4 5 
3 5 7 9 
8 12 
20 28 
48 
A) ímpar. 
,m__ par, mas não é múltiplo de 4. 
l.Q)iuadrado perfeito. 
D) múltiplo de 1 O. 
E) n.d.a. 
16 
wY. (Prof. MM) Um número natural n é dito perfeito quando a soma 
7· de seus divisores positivos é 2n. Assim: 
A) 28 é o menor número perfeito. 
(_fil) não existe número perfeito ímpar e quadrado perfeito . 
C) 36 é um número perfeito. 
D) toda potência de primo é um número perfeito. 
E) n.d.a. 
82. Mostre que se 10a + b é um múltiplo de 7, então, a - 2b 
também deve ser um múltiplo de 7. 
lTA/IME 
• • 
• • • • • • • • -• • • • • e 
• -• • • • • • • • • • • • • • • • 
•• -
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
' 
83. Encontre o número de pares ordenados de inteiros positivos 
(m, n), tais que 2Om + 12n = 2012. 
84. Seja S o conjunto dos inteiros positivos n para os quais .! tem 
n 
a representação decimal periódica O, ab = O, ababab ... , com 
dígitos a e b distintos. Qual é a soma dos elementos de S? 
A) 11 
B) 44 
C) 11 O 
D)143 
E) 155 
85. Encontre o número de inteiros positivos de 5 dígitos n 
satisfazendo as seguintes condições: 
A) n é divisível por 5; 
B) o primeiro e o último dígitos de n é divisível por 5. 
86. Mostre que a seguinte pesquisa a respeito do nível de ensino 
em uma certa escola está falha: " Há 45 crianças, 30 das quais 
são garotos. 30 crianças tem boas notas e, dentre essas, 
16 são garotos. 28 crianças praticam algum esporte, sendo que 
18 delas são garotos e 17 delas têm boas notas. 25 garotos tem 
boas notas e também praticam algum esporte." 
87. Todos os valores de m para os quais ambas as raízes da equação 
x2 - 2mx + m2 - 1 = O são maiores que -2 e menores que 4, 
estão no intervalo: 
A) m > 3 
B) - 1 < m < 3 
C) 1 < m < 4 
D)-2 < m < 4 
E) NDA 
88. Encontre todos os pares de números primos (p, q) com p > q, 
para os quais os números p + q e p - q também são primos. 
R · (5, 2) . 
O número de maneiras de escrever 2016 como soma de dois 
números inteiros positivos primos entre si é: 
A)576 
B) 992 
C) 1008 
D)2O15 ,, 
E) NDA \. 
89. O intervalo de valores de m para os quais a equaçao 
(m - 7)x2 + 2(m -14)x + m + 14 = O tenha raízes reais e positivas 
é dado por: 
A) m > 7 
B) m s 42/5 
C) 7 < m s 42/5 
D)7<m<14 
E) NDA 
90. Denote por L x J o maior inteiro menor que ou igual a x. Seja 
2016 
B a soma dos dígitos de A= L l Jk J. A soma dos dígitos de 
k•1 
B é um número: 
A) par . 
B) primo. 
C) quadrado perfeito . 
D) maior que 1 O. 
E) NDA 
ITA/IME 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
91. Se a e b sao as raízes de x2 - 2Ocx - 16d = O, e e e d são as 
raízes de x2 - 2Oax - 16b = O, então, encontre o valor de 
a+ b + c + d, sabendo que a, b, e, d são números distintos . 
92. Determine todos os valores de x para os quais 
(2O16x - 16)3 = (1934x - 7)3 + (82x - 9)3• 
93. Para quantos inteiros n existem 4 números reais distintos 
satisfazendo a equação lx2 - 4x - 71 = n? 
A) 12 
B) 10 
()8 
D) 7 
E) 5 
94. Determine todos os valores de x para os quais (2017x - 16)3 
= (1934x - 7)3 + (83x - 9)3 . 
95. Se a e b são as raízes de x2 - 2Ocx - 16d = O, e e e d são 
as raízes de x2 - 2Oax - 16b = O, entao, encontre o valor de 
a + b + c + d, sabendo que a, b, e, d são números distintos . 
)Hf.' A soma dos módulos do valores inteiros de n tais que 3n + 17 
também é um inteiro é: n + 2 
A) O 
B) 9 
3 
6 
NDA 
. . . 4201a + 3201a 
97. O maior inteiro que nêlo supera 42016 + 32016 é: 
A) 14 
()16 
E) NDA 
B) 15 
D) 17 
98. Quantas soluções inteiras e positivas (a, b) possui a equação 
ab - 24 = 2a, em que a + b é ímpar? 
A) 8 B) 7 
C) 6 D) 5 
E) NDA 
99. Denote por [x] o maior inteiro menor que ou igual a x . 
2016 
Seja B a soma dos dígitos de A= L l Jk J . A soma dos dígitos 
de B é um número: k- 1 
A) par . 
B) primo. 
C) quadrado perfeito . 
D) maior que 1 O. 
E) NDA 
100. Prove que a fração 
2
0n + 17 é irredutível para todo natural n . 
1 Sn + 13 
101. Dada a equação L x J{ x} + 2x = 3{x} + 14 , sendo L xJ a parte 
inteira de x e {x} a parte fracionária de x (Os {x} < 1): 
A) mostre que (L xJ- 1){{x} + 2) = 12 
B) encontre todas as soluções dessa equação. 
102. Defina a sequência de Fibonacci como F1 = F2 = 1 e Fn.2 = 
Fn•• + Fn, para n.:: 1. Mostre que F12 + Ff + ... + F~ = FnFn+1 . 
MATEMÁTICA 1 
Volume 1 
103. A soma dos dígitos na base 1 O de (102º17" + 1)2, n inteiro 
positivo, é: 
A)4 
C)2017n+1 
E) NDA 
B) 4n 
D) um número primo 
104. Defina [a] como o maior inteiro não maior que a. Por exemplo, 
l¾J = O. Dada a função f(x) = liJl 1: J em que x é um 
inteiro tal que 1 !> x !> 2017, quantos valores f(x) pode assumir? 
A) 5 B) 6 
C) 7 D) 8 
E) mais que 8 
105 Calcule .J1 111-22 e .J1 1 1 1 11- 222 . Em seguida, conjecture 
e prove o resultado para /~ - Ll· 
'V 2n n 
106 S . ' . , . . Q I d [2n+I + 1] eJa n um numero inteiro posItIvo. va or e 20_1 + 1 : 
A) é sempre 4. 
B) é constante para todos os n maiores que algum n0 natural. 
C) aumenta com o valor de n. 
D) pode ser um valor irracional. 
E) NDA. 
Funções: Relações e Concei!os 
Tópicos teóricos 
Produto cartesiano A x B 
Definição 
Exercícios de Fixação 
01. (Prof. MM)SejamA, B eC conjuntos finitos não vazio. Prove que se 
n(A X B) = n(A X C), então, n(B) = n(C). 
2. éjam A e B dois conjuntos tais que o número de elementos 
de A é a e o número de subconjuntos de B é b. O número de 
elementos do conjunto A x (P(A x B)) é: · 
A) ab• B) a•b 
C) abb D) a1>+1 
E) b•+1 
pí.'se t(-x-)=~ paratodox*O, x*1 e 0 < 8<~, então, 
X-1 X 2 
c28) é igual a: 
en28 
cos28 
C) tg28 
D) cotg28 
E) cossec28 
y.' (AFA) A função linear f, dada por f(x) = ax + b, satisfaz a 
condição f(Sx + 2) = Sf(x) + 2. Então: · 
A) a= 2b 
=b+2 
= 2b + 1 
=2(b+1) 
Obs.: A literatura costuma definir como linear uma função 
que satisfaz f(x) =.. ax, a * O e como afim, a que sat isfaz 
f(x) = ax + b, a * O. ( 
OY. Para tocl,os os inteiros x, a função f(x) satisfaz f(x + 1) = 1 + f(x) . 
/ Se f(1 ) = 2, calcule f(2003). 1- f(x) 
,v o ... 
o/ Julgue: S~bendo que n(A x A) = 9 e que (1; 2) e (3; 3) são_ 
/ - · elementos de A x A. então, A= {1 , 2, 3}. 
É o conjunto formado por todos os pares ordenados de tal ~ -
. sorte que os primeiros elementos pertençam a A e os segundos a B. 07 m polinômio f(x) = x3 + ax2 + bx + c é tal que b < O e ab = 9c. 
• Prove que o polinômio tem 3 raízes reais distintas. 
Numero de elementos de A X B Sugestão: Calcule f(O), f(-a) e obseNe os casos a = D. a > O, 
n(A X B) = n(A) X n(B) a < o. 
Relação binária de A em B 
Definição 
É qualquer subconjunto do produto cartesiano A x 8. 
/
(EUA) Se f(2x) = -
2
- , 'vx > O, então, 2f(x)= 
- 2+x 
' 
A) _2_ B) _2_ 
1+x 2+ x 
Número de relações binárias de A em B C)_i__ 
1+x 
D) ~ 
2+ x 
2n(A) . n<B> 
@-ª . 
( 
Observação: J 4 + x 
.._A_ te_m_ 2_1'1.Al_s_u_b_co_n..;.ju_n_t_os_.____________ J'- Seja f(x) umq função polinomial, tal que: 
Função 
Seja fuma relação binária de A em B. Dizemos que f é uma funçé!o 
de A em B se, e somente se, estão verificadas as seguintes condições. 
1. Todo x e A relaciona-se com algum y e B; 
li. Cada x e A relaciona-se com um único y e B. 
f(x2 + 1) = x4 + 5x2 + 3, Vx. Para todo x real, f(x2 - 1) é: 
.A4. x4 + 5x2 + 1 
(!!Vx4 + x2 -3 
C) x• - 5x2 + 1 
D) x• + x2 + 3 
E) n.d.a. 
ITA/IME 
• • 
• • ,. 
• • • • • • • • • • • • • • • • • ,. 
• • • • ~-• • • • • • • 
'1'-
• -
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1: 
• • • • • • • • • "-' 
. a• 
10. SeJa f(x) = ~ . onde a é um número