INTRODUCTION TO GROUPS

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SIMETRIAS DE UM QUADRADO
Suponha que removamos uma região quadrada de um plano, movamos de alguma forma e, em seguida, colocamos o quadrado de volta no espaço que ocupava originalmente. Nosso objetivo neste capítulo é descrever todas as maneiras possíveis pelas quais isso pode ser feito.
Mais especificamente, queremos descrever as possíveis relações entre a posição inicial do quadrado e sua posição final em termos de movimentos. No entanto, estamos interessados ​​no efeito líquido de um movimento, e não no próprio movimento. Assim, por exemplo, consideramos uma rotação de 90 ° e uma rotação de 450 ° como iguais, uma vez que elas têm o mesmo efeito líquido em todos os pontos.
Com esta convenção simplificadora, é fácil atingir nosso objetivo.
Para começar, podemos pensar na região quadrada como sendo transparente (vidro, digamos), com os cantos marcados de um lado com as cores azul, branco, rosa e verde. Isso facilita a distinção entre movimentos que têm efeitos diferentes. Com este esquema de marcação, estamos agora em condições de descrever, de maneira simples, todas as maneiras possíveis pelas quais um objeto quadrado pode ser reposicionado. Veja a Figura 1.1. Nós agora afirmamos que qualquer movimento - não importa o quão complicado seja - é equivalente a um desses oito. Para verificar essa afirmação, observe que a posição final do quadrado é completamente determinada pela localização e orientação (ou seja, para cima ou para baixo) de qualquer canto específico. Mas, claramente, existem apenas quatro locais e duas orientações para um determinado canto, portanto, existem exatamente oito posições finais distintas para o canto.
Vamos investigar algumas consequências do fato de que cada movimento é igual a um dos oito listados na Figura 1.1. Suponha que um quadrado seja reposicionado por uma rotação de 90° seguida por uma inversão do eixo horizontal de simetria
Assim, vimos que este par de movimentos - tomados em conjunto - é igual ao único movimento D. Esta observação sugere que podemos compor dois movimentos para obter um único movimento. E, de fato, podemos, uma vez que os oito movimentos podem ser vistos como funções da região quadrada para si mesma e, como tal, podemos combiná-los usando a composição de funções.
Com isso em mente, escrevemos HR90 = D porque nos cursos de matemática de nível inferior a função composição f o g significa "g seguido por f". Os oito movimentos R0, R90, R180, R270, H, V, D e D', juntamente com a operação composição, formam um sistema matemático denominado grupo diédrico de ordem 8 (a ordem de um grupo é o número de elementos que ele contém). É denotado por D4. Em vez de apresentar a definição formal de um grupo aqui, vamos examinar algumas propriedades dos grupos por meio do exemplo D4.
Para facilitar cálculos futuros, construímos uma tabela de operação ou tabela Cayley (assim chamada em homenagem ao prolífico matemático inglês Arthur Cayley, que os introduziu pela primeira vez em 1854) para D4, abaixo. A entrada circulada representa o fato de que D = HR90 (em geral, ab denota a entrada na interseção da linha com a à esquerda e a coluna com b no topo).
Observe como esta tabela parece ordenada! Não é por acaso. Talvez a característica mais importante desta tabela seja que ela foi completamente preenchida sem a introdução de novos movimentos. Claro, isso ocorre porque, como já apontamos, qualquer sequência de movimentos acaba sendo a mesma que uma dessas oito. Algebricamente, isso diz que se A e B estão em D4, então AB também está. Essa propriedade é chamada de fechamento e é um dos requisitos para um sistema matemático ser um grupo. Em seguida, observe que se A é qualquer elemento de D4, então AR0 = R0A = A. Assim, combinar qualquer elemento A em qualquer lado com R0 retorna A novamente. Um elemento R0 com essa propriedade é chamado de identidade e todo grupo deve ter um. Além disso, vemos isso para cada elemento A em D4, existe exatamente um elemento B em D4, tal que AB = BA = R0. Nesse caso, B é dito ser o inverso de A e vice-versa. Por exemplo, R90 e R270 são inversos um do outro, e H é seu próprio inverso. O termo inverso é descritivo, pois se A e B são inversos um do outro, então B "desfaz" tudo o que A "faz", no sentido de que A e B tomados juntos em qualquer ordem produzem R0, representando nenhuma mudança. Outra característica marcante da tabela é que cada elemento de D4 aparece exatamente uma vez em cada linha e coluna. Esse recurso é algo que todos os grupos devem ter e, de fato, é muito útil manter esse fato em mente ao construir a tabela em primeiro lugar.
Outra propriedade de D4 merece um comentário especial. Observe que HD ≠ DH mas R90R180 = R180R90. Assim, em um grupo, ab pode ou não seja o mesmo que ba. Se acontecer de ab = ba para todas as opções de grupo elementos a e b, dizemos que o grupo é comutativo ou - melhor ainda - Abeliano (em homenagem ao grande matemático norueguês Niels Abel). Caso contrário, dizemos que o grupo é não Abeliano. Até agora, ilustramos, por meio de D4, três das quatro condições que definem um grupo, ou seja, fechamento, existência de uma identidade, e existência de inversos. A condição restante necessária para um grupo é associatividade; isto é, (ab) c = a (bc) para todo a, b, c no conjunto. Para ter certeza que D4 é realmente um grupo, devemos verificar esta equação para cada um dos 83 = 512 escolhas possíveis de a, b e c em D4. Na prática, porém, isto raramente é feito! Aqui, por exemplo, simplesmente observamos que os oito movimentos são funções e a operação é composição de funções. Então, uma vez que a composição da função é associativa, não temos que verificar as equações.
OS GRUPOS DIÉDRICOS
A análise realizada acima para um quadrado pode ser feita de forma semelhante para um triângulo equilátero ou pentágono regular ou, de fato, qualquer n-gon regular (n ≥ 3). O grupo correspondente é denotado por Dn e é chamado de grupo diédrico de ordem 2n. 
Os grupos diédricos surgem frequentemente na arte e na natureza. Muitos dos projetos decorativos usados em revestimentos de pisos, cerâmica e edifícios têm um dos grupos diédricos como um grupo de simetria. Logotipos corporativos são fontes ricas de simetria diedral [1]. O logotipo da Chrysler tem D5 como um grupo de simetria, e o da Mercedes-Benz tem D3. A onipresente estrela de cinco pontas tem grupo de simetria D5. O filo Echinodermata contém muitos animais marinhos (como estrelas do mar, pepinos do mar, penas estrelas e dólares de areia) que exibem padrões com simetria D5. Os químicos classificam as moléculas de acordo com sua simetria. Além disso, considerações de simetria são aplicadas em cálculos orbitais, em determinados níveis de energia de átomos e moléculas, e no estudo de vibrações. O grupo de simetria de uma molécula piramidal, como a amônia (NH3), representado na Figura 1.2, é D3.
Uma molécula piramidal com grupo de simetria D3
Os mineralogistas determinam as estruturas internas dos cristais (isto é, corpos rígidos em que as partículas estão dispostas em três dimensões padrões de repetição - sal de cozinha e açúcar de mesa são dois exemplos) estudando projeções de raios-x bidimensionais da composição atômica dos cristais. A simetria presente nas projeções revela a simetria interna dos próprios cristais. De ocorrência comum os padrões de simetria são D4 e D6 (ver Figura 1.3). Curiosamente, é matematicamente impossível para um cristal possuir um padrão de simetria Dn com n = 5 ou n > 6.
Fotos de difração de raios-X revelando padrões de simetria D4 em cristais.
O grupo diedro de ordem 2n é frequentemente chamado de grupo de simetrias de um n-gon regular. Uma simetria plana de uma figura F em um plano é uma função do plano para si mesmo que transporta F para F e preserva distâncias; ou seja, para quaisquer pontos p e q no plano, o distância da imagem de p para a imagem de q é a mesma que a distância de p para q. (O termo simetria vem da palavra grega simetros, que significa "da mesma medida".) O grupo de simetria de um plano figura é o conjunto de todasas simetrias da figura. Simetrias em três dimensões são definidas analogamente. Obviamente, a rotação de um plano sobre um ponto no plano é uma simetria do plano, e uma rotação sobre uma linha em três dimensões é uma simetria em três dimensões espaço. Da mesma forma, qualquer translação de um plano ou de um espaço tridimensional é uma simetria. Uma reflexão através de uma linha L é aquela função que deixa cada ponto de L é fixo e leva qualquer ponto q, não em L, ao ponto q’ então que L é a bissetriz perpendicular do segmento de linha que une q e q’ (veja a Figura 1.4). Uma reflexão em um plano em três dimensões é definida analogamente. Observe que a restrição de uma rotação de 180° sobre um a linha L em três dimensões para um plano contendo L é uma reflexão através L no avião. Assim, nos grupos diédricos, os movimentos que definimos inscritos como voltas sobre eixos de simetria em três dimensões (por exemplo, H, V, D, D9) são reflexos através de linhas em duas dimensões. Assim como uma reflexão através de uma linha é uma simetria plana que não pode ser alcançada por um movimento físico do plano em duas dimensões, um reflexo através um plano é uma simetria tridimensional que não pode ser alcançada por um movimento físico do espaço tridimensional. Uma xícara, por exemplo, tem simetria reflexiva através do plano que divide a taça, mas essa simetria não pode ser duplicada com um movimento físico em três dimensões.
Muitos objetos e figuras têm simetria rotacional, mas não simetria reflexiva. Um grupo de simetria que consiste nas simetrias rotacionais de 0°, 360°/n, 2*(360°) / n,. ... , (n - 1)*360°/n, e nenhuma outra simetria, é chamado de grupo de rotação cíclica de ordem n e é denotado por . Grupos cíclicos de rotação, junto com grupos diédricos, são favoritos de artistas, designers e da natureza. A Figura 1.5 ilustra com logotipos corporativos os grupos de rotação cíclica das ordens 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16 e 20. Um estudo de simetria em maior profundidade é dado nos Capítulos 27 e 28.
Logotipos com grupos de simetria de rotação cíclica
Exercícios 
A única maneira de aprender matemática é fazendo matemática. 
Paul R. Halmos, A Hilbert (Livro de Problemas Espaciais)
 
1. Com imagens e palavras, descreva cada simetria em D3 (o conjunto de simetrias de um triângulo equilátero). 
2. Escreva uma tabela Cayley completa para D3. D3 é abeliano? 
3. Em D4, encontre todos os elementos X de forma que. 
a. X3 = V; 
b. X3 = R90; 
c. X3 = R0; 
d. X2 = R0; 
e. X² = H. 
4. Descreva em imagens ou palavras os elementos de D5 (simetrias de um pentágono regular). 
5. Para n ≥ 3, descreva os elementos de Dn. (Dica: você precisará considerar dois casos n pares e n ímpares.) Quantos elementos Dn tem? 
Solução: Dn tem n rotações na forma k*(360/n), onde k = 0, ..., n-1. Além disso, Dn tem n reflexões. Quando n é ímpar, os eixos de reflexão são as retas dos vértices aos pontos médios dos lados opostos. Quando n é par, metade dos eixos de reflexão são obtidos unindo vértices opostos; a outra metade, juntando-se pontos médios de lados opostos.
6. Em Dn, explique geometricamente por que um reflexo seguido por um reflexo deve ser uma rotação.
7. Em Dn, explique geometricamente por que uma rotação seguida por uma rotação deve ser uma rotação. 
8. Em Dn, explique geometricamente por que uma rotação e um reflexo tomados juntos em qualquer ordem devem ser um reflexo. 
9. Associe o número 1 a uma rotação e o número 21 a um reflexo. Descreva uma analogia entre a multiplicação desses dois números e a multiplicação dos elementos de Dn.
10. Se r1, r2 e r3 representam rotações de Dn e f1, f2 e f3 representam reflexões de Dn, determine se r1r2 f1r3f2f3r3 é uma rotação ou uma reflexão. 
11. Suponha que a, b e c sejam elementos de um grupo diedro. a²b4ac5a3c é uma rotação ou um reflexo? Explique seu raciocínio. 
12. Quais letras do alfabeto escritas em estilo de bloco maiúsculo têm um grupo de simetria com quatro elementos? Descreva as quatro simetrias. 
13. Encontre os elementos A, B e C em D4 de modo que AB = BC, mas A ≠ C. (Assim, "cancelamento cruzado" não é válido.) 
14. Explique o que o diagrama a seguir prova sobre o grupo Dn.
15. Descreva as simetrias de um retângulo não quadrado. Construa o tabela Cayley correspondente. 
16. Descreva as simetrias de um paralelogramo que não é um retângulo nem um losango. Descreva as simetrias de um losango que não é um retângulo. 
17. Descreva as simetrias de uma elipse não circular. Faça o mesmo para uma hipérbole. 
18. Considere uma faixa infinitamente longa de H’s igualmente espaçados: 
 H H H H 
Descreva as simetrias desta faixa. O conjunto de simetria da tira é abeliano? 
19. Para cada um dos flocos de neve na figura, encontre o grupo de simetria e localizar os eixos de simetria reflexiva (desconsiderar imperfeições).
20. Determine o grupo de simetria da camada externa da seção transversal do vírus da imunodeficiência humana (HIV) mostrado abaixo. 
21. Sejam X, Y, R90 elementos de D4 com Y≠ R90 e X²Y = R90. Determine Y. Mostre seu raciocínio. 
22. Se F é uma reflexão no grupo diedro Dn, encontre todos os elementos X em Dn tais que X² = F e todos os elementos X em Dn tais que X³ = F. 
23. Que propriedade de simetria as palavras "sega", "mana" e "nada" tem quando escrito em letras maiúsculas? 
24. Para cada projeto abaixo, determine o grupo de simetria (ignore imperfeições). 
25. Que propriedade teórica de grupo az letras maiúsculas F, G, J, L, P, Q, R têm que não é compartilhada pelas letras maiúsculas restantes no alfabeto?