Solucionario-Eletromagnetismo-Alaor-e-Chaves

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Fundamentos de/Introdução a Eletromagnetismo é um curso que é reconhecido por sua dificuldade, por isso me dispus a ajudar outros estudantes nessa matéria resolvendo o livro que é mais usado na UFMG na matéria. Em Física Básica, Eletromagnetismo, do professor Alaor, há problemas de diversos níveis e aqui você encontrará a solução de diversos deles – pelo menos por hora – mas futuramente encontrará todos os problemas resolvidos. Antes que sujam questionamentos digo que os Exercícios, por serem mais elementares, não disporão de resolução nesse arquivo (mais uma vez, pelo menos por hora). Observação: Geralmente, procuro deixar as respostas finais na mesma forma em que apresenta o livro do prof. Alaor, isso para evitar confusão. Mesmo assim, sua resposta porde não coincidir exatamente com as apresentadas, então confira os algarismos significativos ou se não é a mesma coisa, porém apresentada de outra maneira. Já, no caso de nossas respostas serem totalmente diferentes e você não se convencer da resolução aqui apresentada, você ou eu poderemos estar errados, então me contate por e-mail. Digo mais, quaisquer problemas, como, por exemplo, erros de conta, digitação e até mesmo conceito, entrem em contato. Espero estar ajudando a muitos. Bons estudos! Atenciosamente, Danilo. Segue aqui um quadro com o número das questões já resolvidas. Prob.\ Cap. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 X X X 2 X X 3 X 4 X 5 6 X - 7 X - 8 X - 9 X - 10 X X - 11 X - 12 X - 13 - X - - 14 - X X - - 15 - - - - - - - 16 - - - - - - - 17 - - - - - - - - 18 - X - - - - - - - - 19 - - - - - - - - - - - 20 - - - - - - - - - - - - “X” = resolvido “ - “ = não há exercício com esse número 
Sumário Capítulo 1 .................................................................................................................................................................. 3 
P.1.1) ...................................................................................................................................................................... 3 
P.1.2) ...................................................................................................................................................................... 3 Capítulo 2 .................................................................................................................................................................. 6 
P.2.18) .................................................................................................................................................................... 6 Capítulo 3 .................................................................................................................................................................. 8 
P.3.1) ...................................................................................................................................................................... 8 
P.3.14) .................................................................................................................................................................. 10 Capítulo 4 ................................................................................................................................................................ 12 
P.4.1) .................................................................................................................................................................... 12 
P.4.2) .................................................................................................................................................................... 12 
P.4.3) .................................................................................................................................................................... 13 
P.4.4) .................................................................................................................................................................... 13 
P.4.5) .................................................................................................................................................................... 13 
P.4.6) .................................................................................................................................................................... 13 
P.4.7) .................................................................................................................................................................... 14 
P.4.8) .................................................................................................................................................................... 14 
P.4.9) .................................................................................................................................................................... 15 
P.4.10) .................................................................................................................................................................. 16 
P.4.11) .................................................................................................................................................................. 16 
P.4.12) .................................................................................................................................................................. 17 
P.4.13) .................................................................................................................................................................. 18 
P.4.14) .................................................................................................................................................................. 18 
Capítulo 5 ................................................................................................................................................................. 20 Capítulo 6 ................................................................................................................................................................ 21 Capítulo 7 ................................................................................................................................................................ 22 Capítulo 8 ................................................................................................................................................................ 23 Capítulo 9 ................................................................................................................................................................ 24 Capítulo 10 .............................................................................................................................................................. 25 Capítulo 11 .............................................................................................................................................................. 26 
Capítulo 1 P.1.1) A força resultante é dada por: 
⃗ܨோ = ෍⃗ܨ௜௡
௜
 
 Então, 
෍⃗ܨ௜
௡
௜
= ૙ → ܨ௤.௤ᇲ − ܨଶ௤.௤ᇲ = 0 ∴ ܨ௤.௤ᇲ = ܨଶ௤.௤ᇲ 
݇.ݍ.ݍᇱ(ܮ − ݔ)ଶ = ݇. 2.ݍ.ݍᇱݔଶ 1(ܮ − ݔ)ଶ = 2ݔଶ 
ݔ = (ܮ − ݔ).√2 
ݔ + √2.ݔ = ൫1 + √2൯.ݔ = ܮ.√2 
ݔ
ܮ
= √21 + √2 = 2 − √2 P.1.2) Como as esferas possuem raios idênticos possuem capacitâncias idênticas. Logo, após contato, pelo fio, as cargas se distribuirão identicamente entres as esferas. Então, as esferas ficarão com carga igual à media aritmética das cargas iniciais. 
ݍ௙ = ݍଵ + (−ݍଶ)2 = ݍଵ − ݍଶ2 , se, 
ݍଵ = ݍଶ → ݍ௙ = 0 caso contrário, como as cargas ficarão com cargas idênticas elas, necessariamente, se repelirão. Inicialmente, tem-se: 
ܨ = ݇. |ݍଵ|. |−ݍଶ|
ݎଶ
= ݇. ݍଵ. ݍଶ
ݎଶ
 Para a configuração desejada é necessário que: 
ܨ = ܨᇱ 
݇. ݍଵ. ݍଶ
ݎଶ
= ݇. ቀݍଵ − ݍଶ2 ቁଶ
ݎଶ
 ∴ ݍଵ.ݍଶ = (ݍଵ − ݍଶ)ଶ4 
4. ݍଵ. ݍଶ = ݍଵଶ − 2.ݍଵ. ݍଶ + ݍଶଶ 
ݍଵ
ଶ − 6.ݍଵ.ݍଶ + ݍଶଶ = 0 Resolvendo essa ultima equação para ݍଶ , ou seja, considerando ݍଶ a variável e resolvendo como uma equação de 2º grau em função de ݍଵ: 
ݍଶ = −6.ݍଵ ± ඥ(6.ݍଵ)ଶ − 4.ݍଵଶ2 = −6 ± √36 − 42 .ݍଵ = ൫−3 ± √8൯.ݍଵ 
ݍଶ
ݍଵ
= −3 ± √8 = −3 ± 2√2 
 
P.1.3) P.1.4) P.1.5) P.1.6) P.1.7) P.1.8) P.1.9) P.1.10) P.1.11) P.1.12) 
Capítulo 2 P.2.1) P.2.2) P.2.3) P.2.4) P.2.5) P.2.6) P.2.7) P.2.8) P.2.9) P.2.10) P.2.11) P.2.12) P.2.13) P.2.14) P.2.15) P.2.16) P.2.17) P.2.18) O fio infinito cria um campo elétrico em um ponto de intensidade igual a 
ܧଵ = ߣଵ2. ߝ଴ .ߨ. ݎ Em que “r” é a distância entre o fio e o ponto. A densidade do fio “ab” pode ser dada por: 
ߣଶ = ݀ݍ݀ݔ → ݀ݍ = ߣଶ .݀ݔ (ܫ) Ainda, sabe-se que cada elemento de carda do fio “ab” sofre um elemento de força, devido o campo elétrico ܧଵ. Para encontrar a força total – resultante – devemos somar todos esses elementos de força, ou seja, integrar a seguinte equação: 
݀ܨ = ܧଵ .݀ݍ = ߣଵ2. ߝ଴ . ߨ. ݎ .݀ݍ (ூ) ሳልሰ ݀ܨ = ߣଵ . ߣଶ2. ߝ଴ .ߨ. ݎ .݀ݔ ௫ୀ௥ ሱ⎯ሮ ݀ܨ = ߣଵ. ߣଶ2. ߝ଴. ߨ. ݎ . ݀ݎ 
 ௔௕ݎ݀ ݎ1 නߨ .଴ߝ .2ଶߣ . ଵߣ = ௔௕ݎ݀. ݎ .ߨ. ଴ߝ .2ଶߣ .ଵߣ න = ܨ݀න
 )ܽnl − ܾnl( ߨ . ଴ߝ .2ଶߣ .ଵߣ = ௕௔|)ݎ nl( ߨ. ଴ߝ .2ଶߣ .ଵߣ = ܨ
 ൰ܾܽ൬ nl . ߨ . ଴ߝ .2ଶߣ . ଵߣ = ܨ
Capítulo 3 P.3.1) Chamemos os vértices do quadrado de 1, 2, 3 e 4. Então a energia potencial eletrostática do sistema será dada por: 
ܷ = 12 .෍෍ ௜ܷ௝௡
௝ஷ௝
௡
௜ୀଵ
= ଵܷଶ + ଵܷଷ + ଵܷସ + ଶܷଷ + ଶܷସ + ଷܷସ= ݍଵ.ݍଶ4. ߝ଴ . ߨ. ݎଵଶ + ݍଵ .ݍଷ4. ߝ଴ .ߨ. ݎଵଷ + ݍଵ. ݍସ4. ߝ଴ . ߨ. ݎଵସ + ݍଶ.ݍଷ4. ߝ଴ .ߨ. ݎଶଷ + ݍଶ.ݍସ4. ߝ଴. ߨ. ݎଶସ + ݍଷ .ݍସ4. ߝ଴ .ߨ. ݎଷସ 
ܷ = 14. ߝ଴ . ߨቆ−ݍଶܮ + ݍଶܮ.√2 − ݍଶܮ − ݍଶܮ + ݍଶܮ.√2 − ݍଶܮ ቇ = ݍଶ4. ߝ଴ . ߨ. ܮ ൬−4 + 2√2൰ = ݍଶߝ଴ . ߨ. ܮ ൬ 12.√2 − 1൰ 
ܷ = ݍଶ
ߝ଴. ߨ. ܮ ൬ 1√8− 1൰ 
 P.3.2) P.3.3) P.3.4) P.3.5) P.3.6) P.3.7) P.3.8) P.3.9) P.3.10) P.3.11) P.3.12) P.3.13) 
P.3.14) A) O desenho deve ser algo parecido com o seguinte. O importante é desenhar linhas de campo mais densas na ponta da agulha. 
 B) Como aproximação, devemos considerar a ponta da agulha como uma esfera de raio 
ݎ = 0,01ߤ݉ = 1. 10ି଼݉ e que essa possui um potencial igual a 10 volts. Assim: 
ܧ. ݎ ≅ ܸ ∴ ܧ ≅ ܸ
ݎ
 
ܧ ≅
101. 10ି଼ = 10ଽ ܸ ݉ൗ 
ܧ ≅ 10ଽ ܸ ݉ൗ 
 P.3.15) P.3.16) P.3.17) P.3.18) 
Capítulo 4 P.4.1) A) Para um capacitor de placas esféricas concêntricas a capacitância é: 
ܥ = 4.ߨ. ߝ଴ ܴ. ݎܴ − ݎ = 4.ߨ. ߝ଴ 0,1.0,050,1− 0,05 = 1,112. 10ିଵଵ ܨ 
ܥ = 11 ݌ܨ B) Num ponto médio teremos o raio (̅ݎ) médio que será: ̅ݎ = ோା௥
ଶ
 . Então, tracemos uma superfície Gaussiana com esse raio médio, concêntrica às esferas. Teremos: 
Φ = ݍ
ߝ଴
= රܧሬ⃗ ∙ ݀⃗ܣ 
 Como o campo elétrico é constante na superfície: 
ݍ
ߝ଴
= ܧ.ර݀ܣ = ܧ.ܣ = ܧ. 4.ߨ. ̅ݎଶ 
ܧ = ݍ
ߝ଴ . 4.ߨ. ̅ݎଶ = ݍߝ଴ . 4.ߨ. ቀܴ + ݎ2 ቁଶ = 1,0. 10
ି଺
ߝ଴ . 4. ߨ. ቀ0,1 + 0,052 ቁଶ = 1,598. 10଺ ܸ ݉ൗ 
ܧ = 1,6. 10଺ ܸ ݉ൗ P.4.2) A) Para capacitores esféricos tem-se que a capacitância é dada por: ܥ = 4.ߨ. ߝ଴ ோ.௥ோି௥ Porém, só há a espera interior. Para resolver esse caso devemos considerar que o raio da espera maior tende ao infinito. lim
ோ→ஶ
ܥ = lim
ோ→ஶ
4. ߨ. ߝ଴ ܴ. ݎܴ − ݎ = 4.ߨ. ߝ଴ .ݎ. limோ→ஶ ܴܴ − ݎ = 4.ߨ.ߝ଴ . ݎ Assim, 
ܥோ→ஶ = 4.ߨ. ߝ଴ . ݎ = 4.ߨ.ߝ଴ . 0,1 = 1,1121. 10ିଵଵ 
ܥ = 11 ݌ܨ B) Simplesmente faça a substituição na fórmula: 
ܷ = ܥ.ܸଶ2 = 11. 10ିଵଶ. (100)ଶ2 = 5,5. 10ି଼ ܬ 
ܷ = 5,5. 10ି଼ ܬ = 55.݊ܬ 
P.4.3) A questão é apenas aplicação de fórmulas. A) ݍ = ܥ.ܸ → ܸ = ௤
஼
= ଷ.ଵ଴షఴ
ଶ଴଴.ଵ଴షభమ = 1,5. 10ଶ ܸ݋݈ݐݏ 
ܸ = 1,5. 10ଶ ܸ B) ݑ = ௎
௏
 , em que u é a densidade de energia, U é a energia do capacitor e V o volume entre as placas. 
ݑ = ܷ
ܸ
= ݍଶ2.ܥ
ܸ
= ݍଶ2.ܥ.ܸ = (3. 10ି଼)ଶ2.200. 10ିଵଶ. 100. 10ି଺ = 2,25. 10ିଶ ܬ ݉ଷൗ 
ݑ = 2,25. 10ିଶ ܬ ݉ଷൗ = 2,25 ݉ܬ ݉ଷൗ 
 P.4.4) Devemos desconsiderar o efeito de borda. O módulo do campo elétrico gerado por uma das placas é: 
ܧ = ߪ
ߝ଴
= ݍ
ߝ଴ .ܣ (ܫ) Cada elemento de carga sofrerá um elemento de força devido o campo elétrico (ܧሬ⃗ ). Assim: 
݀ܨ = ܧ. ݀ݍ 
න݀ܨ = නܧ.݀ݍ Fazendo a devida substituição da equação (I) na integral à direita: 
ܨ = න ݍᇱ
ߝ଴ .ܣ . ݀ݍᇱ௤଴ = 1ߝ଴ .ܣ .න ݍᇱ.݀ݍᇱ௤଴ = ݍଶ2. ߝ଴ .ܣ 
ܨ = ݍଶ2. ߝ଴.ܣ P.4.5) P.4.6) Sabe-se que para uma esfera metálica podemos usar a seguinte equação: 
ܧ = ݍ4. ߨ. ߝ଴. ݎଶ → ݍ = 4.ߨ. ߝ଴ . ݎଶ .ܧ 
ݍ௠á௫. = 4.ߨ.ߝ଴ . ݎଶ .ܧ௠á௫. = 4.ߨ. ߝ଴ . 0,005ଶ. 3. 10଺ = 8,34. 10ିଽܥ 
ݍ௠á௫. = 8. 10ିଽܥ = 8 ݊ܥ P.4.7) A) Da equação para a intensidade de um campo elétrico em um capacitor de placas paralelas e da equação do capacitor em função de sua geometria temos: 
ܧ = ߪ
ߝ଴
= ݍ
ߝ଴ .ܣ → ݍெá௫. = ߝ଴ .ܣ.ܧெá௫. (ܫ) 
ܥ = ߝ଴ .ܣ
݀
 (ܫܫ) Substituindo (I) e (II) na equação da energia: 
ܷ = ݍଶ2.ܥ → ܷெá௫ . = (ߝ଴ .ܣ.ܧெá௫.)ଶ2. ߝ଴ .ܣ݀ = ߝ଴ .ܣ.ܧெá௫ .ଶ .݀2 = ߝ଴ .ܧெá௫.ଶ2 .ܸ 
ܷெá௫. = ߝ଴ .ܧெá௫ .ଶ2 .ܸ B) substituindo os valores dados na equação encontrada: 
ܷெá௫ . = ߝ଴ .ܧெá௫.ଶ2 .ܸ = ߝ଴2 (3. 10଺)ଶ. 200. 10ି଺ = 79,65. 10ିସ 
ܷெá௫. = 8,0. 10ିଷܬ = 8,0 ݉ܬ P.4.8) No caso de um capacitor cilíndrico, haverá capacitância apenas onde houver o cilindro interno. Isso pode ser provado pela lei de Gauss. Tracemos uma superfície internamente ao cilindro maior, onde não haja o menor, veremos que não há fluxo de campo elétrico, ou seja, a carga nessa região é nula. Concluímos que a capacitância também é nula nessa região. Onde o cilindro estiver presente haverá capacitância. Essa será dada por uma função de y, parcela do cilindro interno no externo. 
ܥ = 2.ߨ. ߝ଴ . ݕln ቀܾܽቁ Substituindo essa fórmula na de energia teremos ܷ(ݕ), ou seja, a função energia potencial em função da posição y. 
ܷ = ݍଶ2.ܥ = ݍଶ2. 2.ߨ. ߝ଴ .ݕln ቀܾܽቁ → ܷ(ݕ) =
ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ .ݕ 
Como já se sabia, em uma dimensão: 
ܨ = −ܷ݀
݀ݕ
 
ܨ = −݀ቌ
ݍଶ. lnቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ .ݕቍ
݀ݕ
= −ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . ݀ ቀ1ݕቁ݀ݕ = ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . 1ݕଶ → ܨ = ݍଶ. lnቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . 1ݕଶ Como foi pedido para que a força eletrostática compense a gravitacional, teremos a seguinte igualdade: 
ܨ௘௟௘௧௥௢௦௧á௧௜௖௔ = ܨ௚௥௔௩௜௧௔௖௜௢௡௔௟ 
ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ . 1ݕଶ = ݉݃ Explicitando o y: 
ݕଶ = ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4. ߨ. ߝ଴ .݉݃ 
ݕ = ቌ ݍଶ. ln ቀܾܽቁ4.ߨ. ߝ଴ .݉݃ቍ
ଵ
ଶ 
 P.4.9) Chamemos de ܥ௦ a capacitância da parte superior e ܥ௜ , da inferior. Se dissermos, sem perda de generalidade, que as placas superiores distam de x, teremos: 
ܥ௦ = ߝ଴.ܣݔ (ܫ) 
ܥ௜ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ − ݔ (ܫܫ) Pela figura fica evidente que ܥ௦ e ܥ௜ estão em série. Calculemos a capacitância equivalente para esse caso: 
1
ܥ௘௤. = ෍ 1ܥ௜ →௡
௜
1
ܥ௘௤. = 1ܥ௦ + 1ܥ௜ → ܥ௘௤ . = ܥ௦ .ܥ௜ܥ௦ + ܥ௜ (ூ),(ூூ) ሱ⎯⎯⎯⎯ሮ ܥ௘௤. = ߝ଴.ܣݔ . ߝ଴ .ܣܮ − ݈ − ݔߝ଴ .ܣ
ݔ + ߝ଴ .ܣܮ − ݈ − ݔ 
ܥ௘௤. = (ߝ଴ .ܣ)ଶ ቀ1ݔ . 1ܮ − ݈ − ݔቁ(ߝ଴ .ܣ). ቀ1ݔ + 1ܮ − ݈ − ݔቁ = ߝ଴ .ܣ.
൬
1(ܮ − ݈ − ݔ).ݔ൰
൬
ܮ − ݈ − ݔ + ݔ
ݔ. (ܮ − ݈ − ݔ)൰ = ߝ଴.ܣ.
൬
1(ܮ − ݈ − ݔ).ݔ൰
൬
ܮ − ݈
ݔ. (ܮ − ݈ − ݔ)൰ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ 
ܥ௘௤ . = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ Como se vê, claramente, a capacitância equivalente não depende da posição do bloco, depende unicamente da geometria dos elementos. P.4.10) Foi dado que ௔ܸ௕ = 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nos capacitores ܥ௩ e ܥ௫ devem ser iguais. Analisando o sistema, obrigatoriamente, as quedas em ܥଵ e ܥଶ, também, são idênticas. Disso, pode-se escrever: 
௩ܸ = ௫ܸ ௏ୀ௤஼ ሳልልሰ ݍ௩ܥ௩ = ݍ௫ܥ௫ (ܫ) 
 ଵܸ = ଶܸ ௏ୀ௤஼ ሳልልሰ ݍଵܥଵ = ݍଶܥଶ (ܫܫ) Das informações dadas conclui-se, ainda, que ܥ௩ e ܥଶ estão em série, assim como o estão ܥ௫ e 
ܥଵ. Disso pode-se inferir que: 
ݍ௫ = ݍଵ ݁ ݍ௩ = ݍଶ Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): 
ݍଵ
ܥ௫
= ݍଶ
ܥ௩
 (ܫܫܫ) 
 ݍଵ
ܥଵ
= ݍଶ
ܥଶ
 (ܫܸ) 
 Dividindo a equação (IV) por (III): 
ݍଵ
ܥଵ ݍଵ
ܥ௫
൙ = ݍଶܥଶ ݍଶ
ܥ௩
൙ ∴ ܥ௫
ܥଵ
= ܥ௩
ܥଶ
 
ܥ௫ = ܥ௩ .ܥଵܥଶ P.4.11) Inicialmente, como a chave está em “a”, ܥଵ e ܥଶ estão na mesma ddp. Então a carga inicial em ܥଵ é: 
ݍଵ = ܸ.ܥଵ (ܫ) Ao desligar a conexão a carga em ܥଵ permanecerá a mesma. Finalmente, liga-se a chave em “b”, ao fazê-lo a carga ݍଵ se distribui por essaparte do circuito fechado, até que a diferença de potencial entre os capacitores ܥଵ e ܥଷ sejam idênticas. Com a lei da conservação das cargas elétricas: 
ݍଵ + ݍଷ = ݍ′ଵ + ݍ′ଷ Consideremos que o capacitor ܥଷ inicie descarregado: 
ݍଵ = ݍ′ଵ + ݍ′ଷ (ܫܫ) Como as ddp’s entre ܥଵ e ܥଷ são as mesmas. 
ݍ′ଵ = ܸᇱ.ܥଵ ; ݍ′ଷ = ܸᇱ.ܥଷ → ݍ′ଵܥଵ = ݍ′ଷܥଷ → ݍ′ଷ = ݍ′ଵ.ܥଷܥଵ (ܫܫܫ) Substituindo (III) em (II): 
ݍଵ = ݍ′ଵ + ݍ′ଵ.ܥଷܥଵ = ݍ′ଵ. ൬1 + ܥଷܥଵ൰ 
ݍ′ଵ = ݍ = ݍଵ
ቀ1 + ܥଷܥଵቁ (ூ) ሱ⎯ሮ ݍ = ܸ.ܥଵቀ1 + ܥଷܥଵቁ 
ݍ = ܸ.ܥଵଶ(ܥଵ + ܥଷ) P.4.12) Inicialmente, pode-se inferir que: 
଴ܷ = ݍଶ2.ܥଵ = ܥଵ. ଴ܸଶ2 (ܫ) 
ݍ = ܥଵ. ଴ܸ (ܫܫ) Ao fechar o circuito a carga “q” se distribuirá pelos dois capacitores até que a ddp entre os condensadores sejam iguais. Também, como a carga se conserva, a soma das cargas distribuídas entre os capacitores deve ser igual à inicial. 
ݍ = ݍଵ + ݍଶ (ூூ) ሱ⎯⎯ሮ ܥଵ. ଴ܸ = ܥଵ . ௙ܸ + ܥଶ. ௙ܸ ∴ ௙ܸ = ܥଵ. ଴ܸܥଵ + ܥଶ 
௙ܸ = ܥଵ. ଴ܸܥଵ + ܥଶ (ܫܫܫ) Da equação (III): 
௙ܷ = (ܥଵ + ܥଶ). ௙ܸଶ2 (ூூூ) ሱ⎯⎯⎯ሮ ௙ܷ = (ܥଵ + ܥଶ). ቀ ܥଵ. ଴ܸܥଵ + ܥଶቁ
ଶ
2 = ܥଵଶ. ଴ܸଶ2(ܥଵ + ܥଶ) = ܥଵ(ܥଵ + ܥଶ) .ܥଵ . ଴ܸଶ2 (ூ) ሱ⎯⎯ሮ ௙ܷ= ܥଵ(ܥଵ + ܥଶ) . ଴ܷ 
௙ܷ = ܥଵ(ܥଵ + ܥଶ) . ଴ܷ 
 P.4.13) A) Esse caso é imediato: 
ܥ଴ = ߝ଴ . ܮଶ݀ B) Para solucionar o problema deve-se separar o condensador em dois elementos em paralelo, já que cada metade está na mesma ddp. ܥ஻ é o capacitor com a barra, ܥௌ o sem a barra. Com todas essas informações e as dadas temos: 
ܥௌ = ߝ଴ .ܮ. ܮ2݀ = 12 . ߝ଴ .ܮଶ݀ = ܥ଴2 
ܥௌ = ܥ଴2 (ܫ) Para encontrar ܥ஻ recorreremos ao Problema 4.9, caso análogo a essa parte do prroblema. Vemos nele que a capacitância equivalente será: 
ܥ஻ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ = ߝ଴ .ܮ. ܮ2݀ − ݀2 = 12 . ߝ଴. ܮଶ݀2 = ܥ଴ 
ܥ஻ = ܥ଴ (ܫܫ) Inicialmente dividimos o condensador em duas metades, calculamos a capacitância em cada uma e agora retomemos ao capacitor como um todo, ou seja, calcularemos a capacitância equivalente. Como os condensadores estão em paralelo: 
ܥ௅
ଶ
= ܥ௦ + ܥ஻ (ூ) ௘ (ூூ) ሱ⎯⎯⎯⎯⎯ሮ ܥ௅
ଶ
= ܥ଴ + ܥ଴2 
ܥ௅
ଶ
= 32 .ܥ଴ C) Repito, como visto no P.4.9: 
ܥ௅ = ߝ଴ .ܣܮ − ݈ = ߝ଴ . ܮ. ܮ݀ − ݀2 = 2. ߝ଴. ܮଶ݀ 
ܥ௅ = 2.ܥ଴ P.4.14) Para evitar confusão entre o “d” da derivada e o “d” de distância, chamaremos a distância de y. No final, retomaremos ݕ = ݀ para a resposta ficar idêntica ao gabarito não causado confusão. Primeiramente, deve-se expressar a energia (U) em função de da posição da barra (x). 
 Pode-se separar o capacitor em duas partes, uma com o bloco metálico (ܥ௫), outra sem (ܥ௅ି௫). Esses estão em paralelo entre si, pois estão à mesma ddp. Assim, tem-se: 
ܥ = ܥ௫ + ܥ௅ି௫ ܥ௫ pode ser encontrado a partir do P.4.9. 
ܥ = 2. ߝ଴ .ܣ௫
ݕ
+ ߝ଴ .ܣ௅ି௫
ݕ
= ߝ଴
ݕ
. ൫2.ܮ. ݔ + ܮ. (ܮ − ݔ)൯ 
ܥ = ߝ଴ . ܮ. (ܮ + ݔ)
ݕ
 (ܫ) 
ܷ = ݍଶ2.ܥ (ூ) ሱ⎯ሮ ܷ(ݔ) = ݍଶ2. ߝ଴. ܮ. (ܮ + ݔ)ݕ = ݕ.ݍ
ଶ2. ߝ଴ .ܮ. (ܮ + ݔ) 
 Foi dado que: 
ܨ = −݀൫ܷ(ݔ)൯
݀ݔ
= −݀ ൬ ݕ.ݍଶ2. ߝ଴ .ܮ. (ܮ + ݔ)൰
݀ݔ
= − ݕ. ݍଶ2.ߝ଴ .ܮ.݀ ൬ 1(ܮ + ݔ)൰݀ݔ 
ܨ = − ݕ.ݍଶ2. ߝ଴ . ܮ . ൬− 1(ܮ + ݔ)ଶ൰ = ݕ. ݍଶ2. ߝ଴ .ܮ. (ܮ + ݔ)ଶ 
ܨ = ݀.ݍଶ2. ߝ଴. ܮ. (ܮ + ݔ)ଶ 
 
Capítulo 5 
Capítulo 6 P.6.10) Fomos informados que ௔ܸ௕ = 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nas resistências 
ܴଵ e ܴଶ devem ser idênticas. Logo, as diferenças de potenciais em ܴ௫ e ܴ௩ são idênticas. Disso, pode-se inferir que: ଵܸ = ଶܸ ௏ୀோ.௜ ሳልልልሰ ܴଵ . ݅ଵ = ܴଶ. ݅ଶ (ܫ) 
௩ܸ = ௫ܸ ௏ୀோ .௜ ሳልልልሰ ܴ௩ . ݅௩ = ܴ௫ . ݅௫ (ܫܫ) Ainda, pode-se afirmar que, que ܴ௩ e ܴଵ estão em série, bem como ܴ௫ e ܴଶ. Disso: 
݅௩ = ݅ଵ ݁ ݅௫ = ݅ଶ Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): 
ܴ௩ . ݅ଵ = ܴ௫. ݅ଶ (ܫܫܫ) Dividindo a equação (III) pela (I): 
ܴ௩. ݅ଵ
ܴଵ. ݅ଵ = ܴ௫ . ݅ଶܴଶ . ݅ଶ ∴ ܴ௩ܴଵ = ܴ௫ܴଶ 
ܴ௫ = ܴ௩ .ܴଶܴଵ Essa ponte de resistência é chamada de Ponte de Wheatstone. A título de ficar mais prático, ai invés de decorar os índices das resistências, é só pensar como uma multiplicação cruzada das resistências, quando não houver ddp entre a e b. 
Capítulo 7 
Capítulo 8 
Capítulo 9 
Capítulo 10 
Capítulo 11