Tecnicas Digitais - eletrônica digital

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Escola SENAI “Ettore Zanini” 
Sertãozinho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Técnicas Digitais 
 
 
Técnicas Digitais 
 
 SENAI-SP, 2001 
 
Trabalho elaborado pela 
Escola Senai “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini” 
 
 
 
 
 Coordenação Geral Magno Diaz Gomes 
 
 
Equipe responsável 
 
 
 Coordenação Luíz Zambon Neto 
 
 
 Elaboração Edson Carretoni Júnior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Versão Preliminar 
 
 
 
 
 
 
 
 
SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial 
Escola SENAI “Prof. Dr. Euryclides de Jesus Zerbini” 
Avenida da Saudade, 125, Bairro Ponte Preta 
CEP 13041-670 - Campinas, SP 
senaizer@sp.senai.br 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 
 
 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas de Numeração e Códigos Binários 
 
Portas Lógicas Básicas 
 
Portas Lógicas Derivadas 
 
Circuitos Combinatórios 
 
Famílias Lógicas 
 
Display 
 
Codificador e Decodificador 
 
Somador e Subtrator Binários 
 
Circuitos Biestáveis Lógicos 
 
Contadores 
 
Conversor D/A 
 
Conversor A/D 
 
Operações Aritméticas e Lógicas entre Palavras 
Binárias 
 
Referências Bibliográficas 
 
5 
 
23 
 
41 
 
57 
 
83 
 
117 
 
127 
 
139 
 
153 
 
185 
 
199 
 
211 
 
233 
 
 
249 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 5
 
 
Sistemas de Numeração e 
Códigos Binários 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo trataremos dos sistemas de numeração que servem de suporte ao 
estudo das técnicas digitais e sistemas de computação. 
 
Estudaremos os sistemas de numeração binário, octal e hexadecimal e os métodos de 
conversão entre esses sistemas, a partir do sistema decimal. Aqui partimos do suposto 
que o sistema decimal já é suficientemente conhecido por fazer parte do nosso dia-a-
dia. 
 
Estudaremos também, neste capítulo, os códigos gerados pelo sistema binário, 
destacando sua importância como linguagem de máquina. 
 
Para assimilar os conteúdos dessa lição é necessário que você já conheça 
perfeitamente o sistema decimal. 
 
 
Sistemas de numeração 
 
Dos sistemas de numeração existentes, os mais utilizados são o decimal, o binário, o 
octal e o hexadecimal. 
 
Sistema de numeração decimal 
O sistema de numeração decimal utiliza dez algarismos para a sua codificação: 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Assim, a base desse sistema é dez. 
 
Com esses dez algarismos, é possível representar qualquer grandeza numérica graças 
à característica do valor de posição. Desse modo, temos: 
• números que representam as unidades: 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 6 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
 
• números que representam as dezenas: 
 
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 
 
O valor da posição de 1 indica uma dezena e o outro dígito, a unidade. 
 
• números que representam as centenas: 
 
110, 111, 112, 113, 114, 115, 116,... 
 
O valor de posição de 1 indica a centena, seguido pela dezena e pela unidade. Assim, 
o número 385 indica: 
 
 centenas dezena unidades; ou seja: 
 ↓ ↓ ↓ 
 3 8 5 
 3.100 8.10 5.1 
 ↓ ↓ ↓ 
 300 + 80 + 5 = 385 
 
O número 385 pode ser expresso também através de uma potência de base 10: 
 
 3 8 5 
 ↓ ↓ ↓ 
3.100 8.10 5.1 
 ↓ ↓ ↓ 
3.10² + 8.10¹ + 5.100 
 
Observação: 
A potência da base 10 indica o valor de posição do número. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 7
 
Sistema de numeração binário 
O sistema de numeração binário é empregado em circuitos lógicos digitais; este 
sistema possui apenas dois algarismos: 0 e 1. Por isso sua base é dois (dois dígitos). 
Cada dígito ou algarismo binário é chamado de bit, do inglês “binary digit” (dígito 
binário). Um bit é, pois, a menor unidade de informação nos circuitos digitais. 
 
A tabela a seguir mostra a correspondência entre números decimais e binários. 
 
Decimal Binário Decimal Binário 
0 0 10 1010 
1 1 11 1011 
2 10 12 1100 
3 11 13 1101 
4 100 14 1110 
5 101 15 1111 
6 110 16 10000 
7 111 - - 
8 1000 - - 
9 1001 - - 
 
Empregando a propriedade do valor de posição do dígito, podemos representar 
qualquer valor numérico com os dígitos 0 e 1. 
 
Como a base da numeração binária é 2, o valor de posição é dado pelas potências de 
base 2, como mostramos no quadro a seguir. 
 
Potências de base 2 24 23 22 21 20 
Valor de posição 16 8 4 2 1 
Binário 1 0 0 1 1 
 
O valor da posição é indicado pelo expoente da base do sistema numérico. Esse valor 
aumenta da direita para a esquerda. O valor da posição do bit mais significativo (de 
maior valor) será a base elevada a n-1 (n = número de dígitos). 
 
Por exemplo, 1010112 é um número binário de 6 bits. Ao aplicar a fórmula, temos 6 - 1 
= 5. Assim, o bit mais significativo terá como valor de posição 25. 
Técnicas Digitais 
SENAI 8 
Binário 1 0 1 0 1 1 
Valor de Posição 25 24 23 22 21 20 
 MSB LBS 
 
Observação: 
 
• MSB - do inglês, “most significant bit” — bit mais significativo; 
• LSB - do inglês, “least significant bit” — bit menos significativo. 
 
A base é o elemento diferenciador entre um número do sistema binário e um do 
sistema decimal: 
 
1012 - base 2; portanto, número binário; lê-se: um, zero, um. 
10110 - base 10; portanto, número decimal; lê-se: cento e um. 
 
Conversão de números do sistema binário para o sistema decimal — Para 
converter um número binário em decimal deve-se multiplicar cada bit pelo seu valor de 
posição (que é indicado, pela potência da base), e somar os resultados. 
 
Na conversão de 10102 para o sistema decimal, procede-se da seguinte forma: 
 
Exemplo 1: 
 
Potência de 2 23 22 21 20 
Binário 1 0 1 0 
Valor de posição 1.8 0.4 1.2 0.1 
Número decimal 8 + 0 + 2 + 0 = 1010 
 
Portanto, 10102 = 1010 
 
Exemplo 2: 
 
Neste exemplo, converte-se 110012 em decimal. Ou seja: 
 
Potência de 2 24 23 22 21 20 
Binário 1 1 0 0 1 
Valor de posição 1.16 1.8 0.4 0.2 1.1 
Número decimal 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510 
Técnicas Digitais 
SENAI 9
Observe a seguir uma tabela das potências de base 2. 
 
Potência Decimal Potência Decimal 
20 1 29 512 
21 2 210 1024 
22 4 211 2048 
23 8 212 4096 
24 16 213 8192 
25 32 214 16384 
26 64 215 32768 
27 128 216 65536 
28 256 217 131072 
 
Conversão de números do sistema decimal para o sistema binário — A conversão 
de números do sistema decimal para o sistema binário é realizada efetuando-se 
divisões sucessivas do número decimal por 2 (base do sistema binário). 
 
Exemplo: 
 
29 2 
09 14 2 
1 0 7 2 
1 3 2 
 1 1 
 
O número binário é formado pelo quociente da última divisão e os restos das divisões 
sucessivas da direita para a esquerda: 
 
2910 = 111012 
 
Esse é um método prático de conversão de número decimal para binário. 
 
Observação 
Todo número decimal par, ao ser convertido para binário, terminará em zero. Por outro 
lado, todo o número decimal ímpar, ao ser convertido para binário, terminará em um. 
 
Números fracionários — Todo número fracionário decimal tem uma parte inteira 
(à esquerda da vírgula) e uma fracionária (à direita da vírgula). 
Técnicas Digitais 
SENAI 10 
Exemplo: 
 
105 ,25 
parte 
inteira 
parte 
 fracionária 
 
No exemplo dado, a parte fracionária (0,25) possui duas casas. O valor de posição da 
primeira casa após a vírgula corresponde aos décimos: 
 
0,25 = 2 = 2 = 2.10-1 
 10 101 
 
O valor da segunda posição após a vírgula corresponde aos centésimos : 
 
0,25 = 5 = 5 = 5.10-2 
 100 102 
 
Assim, o número 105,2510 tem os seguintes valores de posição: 
 
1 0 5 , 2 5 
 
1 . 102 + 0 . 101 + 5 . 100 + 2 . 10-1 + 5 . 10-2 
 
No sistema binário, a parte fracionária é análoga ao do sistema decimal: 
 
101 ,112 
parte 
inteira 
parte 
fracionária 
 
O valor de posição da primeira casa da parte fracionária será: 
 
0,11 = 1 = 1.2-1 
 21 
 
O valor de posição da segunda casa após a vírgula será: 
 
0,11 = 1 = 1.2-222 
Técnicas Digitais 
SENAI 11
Assim os valores de posição do número 101,11 serão: 
 
22 21 20 2-1 2-2 
 
1 0 1, 1 1 
Conversão de números binários fracionários em números decimais fracionários 
Já vimos que para converter um número binário em decimal devemos multiplicá-lo pelo 
valor de posição da base. Observe a seguir, o valor de posição da parte fracionária dos 
seguintes números: 
 
2-1 = 1 = 1 = 0,5 
 21 2 
 
2-2 = 1 = 1 = 0,25 
 22 4 
 
2-3 = 1 = 1 = 0,125 
 23 8 
 
2-4 = 1 = 1 = 0,0625 
 24 16 
 
Veja a seguir o procedimento da conversão de binário fracionário em decimal 
fracionário. 
 
A título de exemplo, vamos converter o número 1001,012 (binário fracionário) em 
número decimal: 
 
1 Faz-se a conversão da parte inteira do número (1001) 
 
Binário 1 0 0 1 
Valor de posição 1.23 0.22 0.21 1.20 
Número decimal 8 + 0 + 0 + 1 = 910 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 12 
2 A seguir faz-se a conversão da parte fracionária (0,01) da seguinte maneira: 
 
Binário fracionário 1001, 0 1 
Valor de posição 0.2-1 1.2-2 
 0.0,5 + 1.0,25 
Decimal fracionária 0 + 0,25 = 0,25 
 
Assim, 0,25 é a parte decimal fracionária. Portanto, o número 1001,012 equivale a 
9,2510 . Outro exemplo: 
 
1 0 1, 1 0 1 
1.22 0.21 1.20 1.2-1 0.2-2 1.2-3 
 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 
 5 + 0,625 = 
 5,62510 
 
Portanto, 101,1012 = 5,62510 
Conversão de números decimais fracionários em números binários fracionários 
Como já vimos, para converter um número decimal inteiro em binário, basta dividí-lo 
por 2, sucessivamente. O número binário será dado pelos restos das divisões e o 
quociente da última divisão. 
 
Exemplo 1: 
 
9 2 
1 4 2 
 0 2 2 
 0 1 
 
Portanto, 910 = 10012 
 
Para converter a parte fracionária do número, deve-se fazer o inverso, ou seja, 
multiplicá-la sucessivamente por 2 até que o resultado seja 0, ou que se obtenham oito 
dígitos. 
 
Assim, temos: 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 13 
 0,25 
 x 2 
 0,50 
1001,01 x 2 
1,00 
 
 
Os algarismos à esquerda da vírgula na multiplicação constituirão os dígitos binários 
fracionários. 
 
Portanto, 9,2510 = 1001,012 
 
Exemplo 2: 
 
Converter 23,3510(decimal fracionário) em número binário fracionário. 
 
Conversão da parte inteira : 23 
 
23 2 
1 11 2 
 1 5 2 
1 2 2 
 0 1 ∴ 23 = 10111 
 
Conversão da parte fracionária: 0,35 
 
0,35.2 = 0,70 
0,70.2 = 1,40 (considere para multiplicação apenas a parte fracionária) 
0,40.2 = 0,80 
0,80.2 = 1,60 
0,60.2 = 1,20 
0,20.2 = 0,40 
0,40.2 = 0,80 
0,80.2 = 1,60 
 
Assim, 0,35 = 01011001... 
 
Portanto, 23,3510 = 10111,01011001... 
Técnicas Digitais 
SENAI 14 
Observação 
Observe que o número 0,80 é uma repetição. Isso significa que se trata de uma dízima 
periódica, o que pode ser indicado por três pontinhos (...). 
Sistema de numeração octal 
O sistema de numeração octal tem a base 8. Os oito símbolos da numeração octal 
são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 
 
A tabela a seguir mostra a relação entre a numeração decimal e a octal. 
Sistemas numéricos 
 
Decimal Octal Decimal Octal 
0 0 9 11 
1 1 10 12 
2 2 11 13 
3 3 12 14 
4 4 13 15 
5 5 14 16 
6 6 15 17 
7 7 16 20 
8 10 17 21 
 
A base da numeração octal é 8; portanto, os valores das posições serão as potências 
de base 8. Observe o quadro a seguir. 
 
Potências de base 8 83 82 81 80 
Valores de posição 512 64 8 1 
 
O sistema de numeração octal é muito empregado em máquinas digitais que usam 
palavras de 6 bits. 
 
Conversão de números do sistema de numeração octal para o sistema decimal — 
Sabemos que todos os sistemas de numeração apresentam o valor de posição do 
dígito de acordo com sua base. Desse modo, o valor da posição de um número octal 
corresponde ao expoente da base 8. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 15 
Por isso, para converter um número octal em decimal, considera-se o seu valor de 
posição, multiplica-se cada algarismo do número octal pelo valor de posição e soma-se 
o resultado. Veja o exemplo abaixo. 
 
Conversão de 1378 para decimal: 
Potência → 82 81 80 
 
Número octal → 1 3 7 
 ↓ ↓ ↓ 
Valor de posição → 1.64 3.8 7.1 
 ↓ ↓ ↓ 
Número decimal → 64 24 7 = 9510 
 
Portanto, 1378 = 9510 
 
A seguir apresentamos uma tabela das potências de base 8. 
 
Potência Decimal 
80 1 
81 8 
82 64 
83 512 
84 4096 
85 32768 
86 262144 
 
Conversão de números do sistema decimal para o sistema octal — Para converter 
um número decimal em um número do sistema octal faz-se a divisão sucessiva do 
número decimal pela base 8. 
 
Por exemplo, para converter o número 128410 em um número octal, proceder da 
seguinte maneira: 
 
1284 8 
4 160 8 
 0 20 8 
 4 2 8 
 2 0 
Técnicas Digitais 
SENAI 16 
 
Os restos das divisões por 8 lidas de baixo para cima, formam o número octal 24048. 
Portanto 128410 = 24048 . 
Conversão de números do sistema octal para o sistema binário — Há uma regra 
prática para a conversão de números octais em binários . Ou seja, cada dígito do 
número octal deve ser transformado no seu correspondente binário. 
 
Lembremos que, para cada dígito octal, são necessários três dígitos binários (3 bits). 
Isto porque o maior número do sistema octal é representado por três bits (1112 = 78) 
 
A seguir mostramos como se faz para converter em binário o número octal 378. 
 
dígitos octais → 3 7 
 ↓ ↓ 
dígitos binários → 011 111 
 
Portanto, 378 = 111112 
Observação 
Você deve estar lembrado que o dígito zero à esquerda de 011 não é significativo; 
portanto, deve ser cortado. 
 
Conversão de números do sistema binário para o sistema octal — Para converter 
um número binário em octal, é preciso separar o número binário, da direita para a 
esquerda, em grupos de três bits; e, em seguida, converter cada grupo no algarismo 
octal correspondente. 
 
Na conversão de 1010112 em octal, devemos proceder da seguinte maneira: 
 
número binário → 101 011 
 ↓ ↓ 
número octal → 5 3 
 
Portanto, 1010112 = 538 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 17 
Observação 
Deve-se acrescentar um ou dois zeros ao último grupo de bit à esquerda a fim de 
completar os três algarismos do número binário a ser convertido. Por exemplo, na 
conversão de 10111012 em octal, ao separar os grupos de 3 bits, teremos: 
 
 
dígitos binários → 10111012 → 001 011 101 
 
 ↓ ↓ ↓ 
dígitos octais → 1 3 5 
 
Portanto, 10111012 = 1358 
Sistema de numeração hexadecimal 
O sistema de numeração hexadecimal tem a base 16. Os dezesseis símbolos que 
constituem a numeração hexadecimal são os seguintes números e letras: 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7,8, 9, A, B, C, D, E, F. 
 
Emprega-se este sistema em computação e em mapeamento de memórias de 
máquinas digitais que utilizam palavras de 4, 8 ou 16 bits. 
 
A tabela a seguir mostra a relação entre a numeração decimal e a hexadecimal. 
 
Decimal Hexadecimal Decimal Hexadecimal Decimal Hexadecimal 
0 0 11 B 22 16 
1 1 12 C 23 17 
2 2 13 D 24 18 
3 3 14 E 25 19 
4 4 15 F 26 1A 
5 5 16 10 27 1B 
6 6 17 11 28 1C 
7 7 18 12 29 1D 
8 8 19 13 30 1E 
9 9 20 14 31 1F 
10 A 21 15 32 20 
 
Observe pela tabela acima, que a contagem recomeça a cada 16 dígitos. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 18 
Os valores de posição da numeração hexadecimal serão as potências de base 16. 
Observe o quadro a seguir. 
 
Potências de base 16 163 162 161 160 
Valores de posição 4096 256 16 1 
 
Conversão de número do sistema hexadecimal para o sistema decimal — A 
conversão de um número hexadecimal em decimal é realizada do mesmo modo como 
nos sistemas já estudados.Ou seja, multiplica-se cada dígito hexadecimal por seu 
valor de posição e somam-se os resultados. 
 
Para converter 1A816 em decimal, procede-se da seguinte forma: 
 
Potências 16 → 162 161 160 
 ↓ ↓ ↓ 
Número hexadecimal → 1 A 8 
 ↓ ↓ ↓ 
Valor de posição → 1.256 10.16 8.1 
 ↓ ↓ ↓ 
Número decimal → 256 + 160 + 8 = 42410 
 
Portanto 1A816 = 42410 
 
Conversão de números do sistema decimal para o sistema hexadecimal — Para 
converter um número decimal em hexadecimal, executam-se divisões sucessivas do 
número decimal por 16 que é a base do sistema hexadecimal. O número hexadecimal 
será dado pelo último quociente e pelos restos das divisões. 
 
Veja isto pelo exemplo a seguir. 
 
12412 16 
12 775 16 
 7 48 16 
 0 3 
 
O último quociente e os restos das divisões resultarão no número hexadecimal. 
Contudo, em hexadecimal não existe o número 12. Veja na tabela que a letra C, em 
Técnicas Digitais 
SENAI 19 
hexadecimal, significa o número 12 decimal. Portanto, pela conversão, obtivemos o 
número 307C16 . 
 
Onde, 1241210 = 307C16 
 
Conversão de números do sistema hexadecimal para o sistema binário — A 
tabela a seguir mostra a correspondência entre o código hexadecimal e o binário. 
Sistema de numeração 
 
Hexadecimal Binário Hexadecimal Binário 
0 0000 8 1000 
1 0001 9 1001 
2 0010 A 1010 
3 0011 B 1011 
4 0100 C 1100 
5 0101 D 1101 
6 0110 E 1110 
7 0111 F 1111 
 
Observe a tabela e veja como a cada código hexadecimal corresponde a quatro dígitos 
binários. Desse modo, para converter um número hexadecimal em número binário, 
basta converter cada algarismo ou letra do número hexadecimal no número binário 
correspondente . Este número binário terá 4 dígitos. 
 
A título de exemplo, para converter o número FACA16 em binário , basta proceder como 
demonstramos a seguir. 
 
Dígitos hexadecimais → F A C A 
 ↑ ↑ ↑ ↑ 
Dígitos binários → 1111 1010 1100 1010 
Portanto, FACA16 = 11111010110010102 
 
Veja mais este exemplo: 
 
Converter o número 1A2516 em binário: 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 20 
Dígitos hexadecimais → 1 A 2 5 
 ↑ ↑ ↑ ↑ 
Dígitos binários → 0001 1010 0010 0101 
Portanto, 1A2516 = 1101000100101 
 
Conversão de números do sistema binário para o sistema hexadecimal — Para 
converter um número binário em hexadecimal, basta separar o número binário, da 
direita para a esquerda, em grupos de quatro bits; e, em seguida, converter cada grupo 
no algarismo hexadecimal correspondente. 
 
Na conversão de 1010011012 em hexadecimal, deve-se proceder da seguinte forma: 
 
Dígitos binários → 1 0100 11012 → 0001 0100 1101 
 ↑ ↑ ↑ 
Hexadecimal → 1 4 13 
 
Na numeração hexadecimal não existe o número 13; em seu lugar usa-se a letra D. 
Assim sendo, o resultado da conversão será: 
 
1010011012 = 14D16 
Códigos binários 
Os códigos binários utilizam os mesmos símbolos do sistema de numeração binário, 
ou seja, 0 e 1. O 1 e o 0 são códigos que podem representar números, letras do 
alfabeto e sinais de pontuação. 
 
Os códigos binários mais empregados são: 
 
BCD 8421 
BCD-AIKEN 
Johnson 
ASC II 
BCD 8421 
BCD significa “Decimal Codificado em Binário” (do inglês: “Binary Coded Decimal”). É 
um código que utiliza números binários para representar os dígitos de um número 
Técnicas Digitais 
SENAI 21 
decimal. Cada grupo de quatro dígitos representa um algarismo do número decimal. 
Veja os exemplos que se seguem : 
 
Valores de posição → 8421 8421 
 
Dígitos binários → 11 01112 → 0011 0111 
 ↓ ↓ 
Dígitos decimais → 3 7 
Portanto, 1101112 = 3710 
 
Outro exemplo: 
Dígitos binários → 1000 0010 01012 → 1000 0010 0101 
 ↓ ↓ ↓ 
Dígitos decimais → 8 2 5 
Assim, 1000001001012 = 82510 
 
O código BCD é um código ponderado. O bit mais significativo tem peso 8 e o menos 
significativo, peso 1. 
 
Tal código é mais conhecido como BCD 8421. Os algarismos 8421 significam o valor 
de posição ou peso de cada dígito do código de quatro bits. 
 
Observe a seguir a tabela do código BCD 8421. 
 
BCD 
Decimal 
8421 
0 0000 
1 0001 
2 0010 
3 0011 
4 0100 
5 0101 
6 0110 
7 0111 
8 1000 
9 1001 
 
SENAI 22 
 
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SENAI 23 
 
 
 Portas Lógicas 
Básicas 
 
 
 
 
 
 
Os circuitos eletrônicos podem ser divididos em dois grupos: circuitos analógicos e 
circuitos digitais. 
 
Nos circuitos analógicos, os componentes ativos operam normalmente de forma 
continua ou linear como, por exemplo, os amplificadores e as fontes reguladas. 
 
Os circuitos digitais, também chamados de circuitos de chaveamento, empregam 
componentes ativos que operam nos estados de corte ou de saturação. É o caso de 
um transistor que, conectado a um circuito, num momento está em corte e noutro, 
saturado. 
 
Daqui para frente vamos tratar dos circuitos digitais. Antes, porém, vamos abordar 
alguns conceitos básicos que você deverá dominar, a fim de melhor compreender os 
circuitos digitais. 
 
Estes conceitos básicos são: 
• estados ou níveis lógicos; 
• funções lógicas; 
• operações lógicas. 
 
 
Conceitos e operações básicas em eletrônica 
 
Estados ou níveis lógicos 
Em sistemas digitais trabalha-se com dois estados ou níveis lógicos. 
A eletrônica digital apóia-se no princípio da lógica que considera uma proposição 
verdadeira ou falsa. Assim, um ponto qualquer do circuito digital pode assumir 
apenas um de dois estados: 
Técnicas Digitais 
SENAI 24 
 
• ligado ou desligado; 
• alto ou baixo; 
• fechado ou aberto; 
• saturado ou em corte; 
• com pulso ou sem pulso; 
• excitado ou desexcitado. 
 
Vamos supor, por exemplo, um circuito em que uma lâmpada é acionada por um 
interruptor. Nesse caso, a lâmpada pode assumir os dois estados: ligado ou desligado. 
De fato, um relé, num circuito, assume os estados: energizado ou desenergizado. 
Assim, também um transistor ligado como chave no circuito pode assumir os estados 
saturados ou em corte. 
 
Os sistemas digitais processam apenas números binários: 1 e 0 (zero). De modo que 
se a um estado ou nível lógico associarmos o valor binário 1, ao outro estado 
associaremos o valor binário 0. Dizendo de outra maneira, se à proposição verdadeira 
associarmos o valor binário 1, à proposição falsa corresponderá o valor binário 0. 
 
 
Função lógica 
 
A função lógica (f) é uma variável dependente e binária. Seu valor é o resultado de 
uma operação lógica em que se relacionam entre si duas ou mais variáveis binárias. 
 
As funções lógicas, como as funções reais, operam com variáveis independentes 
(elementos de entrada num circuito) e com variáveis dependentes (elementos de 
saída), tal como mostram os circuitos a seguir. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 25 
 
Convenção: 
• A e B – Variáveis independentes (de 
entrada) 
• Y ou S – Variável dependente (de 
saída) 
 
As variáveis lógicas independentes (de entrada) são representadas por letras 
maiúsculas A, B, C ... N; as variáveis dependentes (de saída), por S ou Y. 
 
Exemplo: 
 
Y = f (A, B, C ... N) 
 
As funções lógicas têm apenas dois estados: o estado 0 e o estado 1. 
 
 
Operações lógicas 
 
A relação entre duas ou mais variáveis que representam estados lógicos é 
estabelecida através de operações lógicas. 
 
As operações lógicas são: 
 
• as operações produto ou multiplicação lógica; 
• a soma lógica; 
• a inversão. 
 
Essas operações, nos circuitos ou sistemas lógicos, são efetuadas por blocos 
denominados portas lógicas. 
 
 
 
 
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SENAI 26 
Portas lógicas básicas 
 
Portas são unidades básicas de sistemas lógicos eletrônicos. 
 
Denomina-se porta lógica qualquer arranjo físico capaz de efetuar uma operação 
lógica. 
 
As portas lógicas operam com números binários, ou seja, com dois estados lógicos: 1 
e 0. 
 
Os sistemas digitais, mesmo os mais complexos como os computadores, são 
constituídos a partir de portas lógicas básicas. 
 
Três são as portas lógicas básicas: 
 
• a porta E que realiza a operação produto ou multiplicação lógica; 
• a porta OU que realiza a operação soma lógica;• a porta NÃO ou inversor que realiza a operação inversão, ou negação ou 
complementação. 
 
Porta E 
A porta E (“AND”, em inglês) é chamada porta tudo ou nada. 
 
A função E é a que assume o valor 1 quando todas as variáveis de entrada forem 
iguais a 1; e assume o valor 0 quando uma ou todas as variáveis de entrada forem 
iguais a 0. 
 
A operação E, executada pela porta E, é a multiplicação ou o produto lógico de duas 
ou mais variáveis binárias. Essa operação pode ser expressa da seguinte maneira: 
 
Y = A . B 
 
Lê-se tal expressão como: a saída (Y) é igual a A e B. 
 
Observação 
O ponto ( . ) significa e. O ponto ( . ) é a função lógica em “álgebra booleana” e não 
multiplicação como nas expressões algébricas. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 27 
A figura abaixo mostra o circuito elétrico equivalente à porta E. 
 
 
Convenção: 
• Chave aberta = 0 
• Chave fechada = 1 
• Lâmpada apagada = 0 
• Lâmpada acesa = 1 
 
Neste circuito, a lâmpada (saída Y) acenderá (1) somente se ambas as chaves de 
entrada (A e B) estiverem fechadas (1). 
 
A seguir apresentamos todas as combinações possíveis das chaves A e B. 
Apresentamos também a respectiva tabela-verdade, que é uma forma de 
representação gráfica das funções lógicas. 
 
Combinações Possíveis Tabela – Verdade 
Chaves de entrada 
Saída 
(lâmpada) 
 Entrada Saída 
B A Y B A Y 
aberta aberta apagada 0 0 0 
aberta fechada apagada 0 1 0 
fechada aberta apagada 1 0 0 
fechada fechada acesa 1 1 1 
 
Lembre-se de que a porta E é a porta “tudo ou nada”. Isto significa que somente 
quando todas as entradas forem 1 é que a saída da porta E será ativada com 1. 
 
O símbolo ou bloco lógico para a porta E está abaixo ilustrado. Observe as duas 
variáveis de entrada A e B e a saída Y. 
 
ABNT ASA 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 28 
Muitas vezes um circuito lógico tem três variáveis, ou seja, uma porta E de três 
entradas. Portanto, as variáveis de entrada serão A, B e C e a saída Y. Neste caso a 
operação será expressa assim: 
 
A . B . C = Y ou Y = A . B . C 
 
O símbolo da porta E com três variáveis de entrada é mostrado a seguir. 
 
ABNT ASA 
 
 
Observação 
É possível construir uma porta E de três entradas empregando duas portas E de duas 
entradas, como é mostrado a seguir. 
 
ABNT ASA 
 
 
 
A este esquema dá-se o nome de diagrama de blocos lógicos de portas E. 
 
Mostramos também o circuito elétrico equivalente a uma porta E de três entradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 29 
As combinações possíveis da operação E com três variáveis e a tabela-verdade estão 
a seguir apresentadas. 
 
Combinações Possíveis Tabela – Verdade 
Chaves de entrada 
Saída 
(lâmpada) 
 Entrada Saída 
C B A Y C B A Y 
aberta aberta aberta apagada 0 0 0 0 
aberta aberta fechada apagada 0 0 1 0 
aberta fechada aberta apagada 0 1 0 0 
aberta fechada fechada apagada 0 1 1 0 
fechada aberta aberta apagada 1 0 0 0 
fechada aberta fechada apagada 1 0 1 0 
fechada fechada aberta apagada 1 1 0 0 
fechada fechada fechada acesa 1 1 1 1 
 
Porta OU 
A porta OU (“OR”, em inglês) é chamada porta qualquer ou todas. 
 
A função OU é a que assume o valor 1 quando uma ou mais variáveis de entrada 
forem iguais a 1; e assume o valor 0 quando todas as variáveis de entrada forem 
iguais a 0. 
 
A operação OU, executada pela porta OU, é a soma lógica de duas ou mais variáveis 
binárias. 
 
Essa operação pode ser expressa assim: 
 
Y = A + B 
 
Lê-se essa expressão da seguinte forma: a saída Y é igual a A ou B. 
 
 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 30 
Observação 
O sinal (+) significa OU. O símbolo (+) é a função lógica em álgebra booleana; não 
significa, portanto, o sinal de adição das expressões algébricas. 
 
A figura a seguir mostra o circuito elétrico equivalente à porta OU. 
 
 
Convenção: 
• Chave aberta = 0 
• Chave fechada = 1 
• Lâmpada apagada = 0 
• Lâmpada acesa = 1 
 
A lâmpada (Y) acenderá quando: ou a chave A ou a chave B estiver fechada. Ela 
também acenderá quando A e B estiverem fechadas. 
 
Quando A e B estiverem abertas a lâmpada não acenderá. 
 
Veja, a seguir, as combinações possíveis das chaves e, também, a tabela-verdade da 
função OU. 
 
Combinações Possíveis Tabela – Verdade 
Chaves de entrada 
Saída 
(lâmpada) 
 Entrada Saída 
B A Y B A Y 
aberta aberta apagada 0 0 0 
aberta fechada acesa 0 1 1 
fechada aberta acesa 1 0 1 
fechada fechada acesa 1 1 1 
 
Confirme, nas tabelas, como a saída do circuito OU é ativada quando qualquer uma 
ou todas as chaves estiverem fechadas. 
 
A porta OU é ativada (Y = 1) quando o 1 aparece em qualquer uma ou em todas as 
entradas. 
 
O símbolo lógico de uma porta OU com duas entradas (A e B) e a saída (Y) está 
esquematizado a seguir. 
Técnicas Digitais 
SENAI 31 
 
ABNT ASA 
 
 
 
Numa porta OU de três entradas temos as variáveis A, B e C para as entradas e Y 
para a saída. 
 
A operação lógica da porta OU de três entradas será: 
 
A + B + C = Y 
 
O símbolo ou bloco lógico da porta OU com três entradas está abaixo ilustrado. 
 
ABNT ASA 
 
 
 
É possível construir uma porta OU de três entradas utilizando duas portas OU de duas 
entradas, como é mostrado abaixo. 
 
ABNT ASA 
 
 
 
Esse é o diagrama de blocos lógicos de portas OU. 
 
 
Veja na figura a seguir um exemplo de circuito elétrico equivalente à porta lógica OU. 
Técnicas Digitais 
SENAI 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe agora a tabela das combinações possíveis e a tabela-verdade da porta OU de 
três variáveis. 
 
Combinações Possíveis Tabela – Verdade 
Chaves de entrada 
Saída 
(lâmpada) 
 Entrada Saída 
C B A Y C B A Y 
aberta aberta aberta apagada 0 0 0 0 
aberta aberta fechada acesa 0 0 1 1 
aberta fechada aberta acesa 0 1 0 1 
aberta fechada fechada acesa 0 1 1 1 
fechada aberta aberta acesa 1 0 0 1 
fechada aberta fechada acesa 1 0 1 1 
fechada fechada aberta acesa 1 1 0 1 
fechada fechada fechada acesa 1 1 1 1 
 
Porta NÃO 
A porta NÃO (“NOT”, em inglês) é também chamada de inversor. A porta NÃO tem 
apenas uma entrada e uma saída. 
 
A função NÃO, ou função complemento, ou ainda função inversora, é a que inverte o 
estado da variável de entrada. Se a variável de entrada for 1, ela se tornará 0 na saída; 
e se for 0, ela se tornará 1. 
 
Desse modo, a operação lógica inversão (ou negação, ou complementação) consiste 
em converter uma dada proposição em uma proposição a ela oposta. 
 
Essa operação pode ser assim expressa: 
Técnicas Digitais 
SENAI 33 
Y = A 
 
O traço sobre o A significa não. Portanto, lê-se tal expressão da seguinte forma: saída 
Y é igual a não A. Para o A pode-se dizer, também, A barrado ou A negado. 
 
A figura abaixo mostra o circuito elétrico equivalente à porta NÃO. 
 
 
 
 
 
 
Convenção 
• Chave aberta = 0 
• Chave fechada = 1 
• Lâmpada apagada = 0 
• Lâmpada acesa = 1 
 
A lâmpada (Y) acenderá (1) quando a chave A estiver aberta (0). Quando a chave A 
estiver fechada (1), a lâmpada não acenderá (0). 
 
Veja a seguir as combinações possíveis da chave e a respectiva tabela -verdade. 
 
Combinações Possíveis Tabela – Verdade 
Chaves de entrada Saída (lâmpada) A Y 
aberta acesa 0 1 
fechada apagada 1 0 
 
A entrada é modificada para seu oposto. Se a entrada for 0, a porta NÃO dará seu 
complemento ou oposto 1. Se a entrada for 1, a porta NÃO dará o complemento 0. 
 
O símbolo lógico do inversor ou porta NÃO está abaixo representado. 
 
ABNT ASA 
 
Outro exemplo de porta lógica NÃO, construída a partir de relé, e mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 34 
 
 
 
 
 
 
 
Quando houver a negação de uma variável já negada ( A , que se lê: A barrado, 
barrado; ou, ainda, não, não A), o resultado será a própria variável. Ou seja: 
 
A = A 
 
Numa expressão, quando o traço estiver sobre uma variável, somente essa variável é 
negada. 
 
Por exemplo, na expressão A B = Y, somente a variável A é negada. 
 
O diagrama de blocos dessa expressão é traçado da seguinte forma: 
 
ABNT ASA 
 
 
 
Quando o traçoestiver sobre toda a expressão, o resultado da ex-pressão é que será 
negado. 
 
O diagrama de blocos abaixo se refere à expressão: 
 
Y = BA + 
 
Observe que a negação atua sobre a saída da porta OU, que é o resultado da 
expressão. 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 35 
ABNT ASA 
 
 
Pode-se demonstrar essa afirmação pela tabela-verdade da expressão BA + = Y. 
 
Entradas Y 
A B A + B BA + 
0 0 0 1 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 1 0 
 
 
Tabela -verdade 
 
É uma tabela em que as situações ou combinações possíveis das variáveis 
independentes (de entrada) são dispostas, de modo organizado, com os respectivos 
resultados (variável dependente ou de saída). 
 
A tabela-verdade é a forma de representação gráfica da função lógica, em que se 
indica o valor 1 ou 0 que a função assume (resultado/saída) para cada combinação 
possível das variáveis de entrada. 
 
A tabela-verdade terá tantas colunas quantas forem as variáveis independentes (de 
entrada) e mais uma coluna de resultado (variável dependente/saída). 
 
Exemplo: 
 
Variáveis Independentes 
ou de Entrada 
Variável Dependente 
ou de Saída 
D C B A Y 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 36 
 
O número de combinações possíveis determinará o número de linhas horizontais da 
tabela-verdade. 
 
As combinações possíveis vêm a ser 2n (n = número de variáveis). 
 
Exemplificando: se as variáveis forem 3, teremos então 23 = 8. A tabela-verdade terá 8 
linhas horizontais. 
 
 Entrada Saída 
 C B A Y 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 
A seguir mostramos uma maneira prática de dispor as combinações possíveis. 
 
1. Na coluna do resultado (saída), colocam-se, sucessivamente, os valores 0 e 1. 
 
Entrada Saída 
C B A Y 
 0 
 1 
 0 
 1 
 0 
 1 
 0 
 1 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 37 
2. Na coluna imediatamente vizinha, colocam-se, de dois em dois, sucessivamente, os 
valores 0 e 1. 
 
Entrada Saída 
C B A Y 
 0 0 
 0 1 
 1 0 
 1 1 
 0 0 
 0 1 
 1 0 
 1 1 
 
3. Na coluna da variável seguinte, colocam-se, de quatro em quatro, sucessivamente, 
os valores de 0 e 1. 
 
Entrada Saída 
C B A Y 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
 
Você acabou de acompanhar a elaboração de uma tabela-verdade de três variáveis. O 
mesmo procedimento é empregado para a construção da tabela-verdade com mais de 
três variáveis. Isto é: a cada coluna repetem-se os valores 0 e 1 o dobro de vezes 
desses mesmos valores dispostos na coluna anterior. 
 
A título de exemplo veja como é construídas uma tabela-verdade com 4 variáveis (24 
linhas). 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 38 
Entrada Saída 
D C B A Y 
0 0 0 0 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
1 1 1 1 
 
A saída, na tabela-verdade, é determinada de acordo com a operação lógica que une 
as variáveis de entrada. 
 
Veja no exemplo a seguir como isto é feito na prática. 
 
Exemplo: 
 
Y = A . B + C 
 
Nesta expressão, temos as operações E e OU. 
 
A tabela-verdade dessa expressão será: 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 39 
 Entrada Saída Y 
 A B C A . B (A . B) + C 
1 0 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 1 
3 0 1 0 0 0 
4 0 1 1 0 1 
5 1 0 0 0 0 
6 1 0 1 0 1 
7 1 1 0 1 1 
8 1 1 1 1 1 
 
Para obter este resultado, procede-se da seguinte maneira: 
 
1. Identifica-se o número de variáveis para traçar a tabela-verdade. Neste caso, são 
três as variáveis; portanto, 23 (8 linhas). 
 
2. Dispõem-se os números binários nas colunas das variáveis. 
 
3. Faz-se a operação E entre as variáveis A e B. 
 
4. Coloca-se na coluna da saída Y o resultado final que é a operação soma lógica da 
variável C com o resultado de A . B. 
 
 
SENAI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 41 
 
 
Portas Lógicas 
Derivadas 
 
 
 
 
 
 
Os sistemas digitais mais complexos, como os computadores de grande porte, são 
construídos a partir das portas lógicas básicas E, OU e NÃO. Dessas portas podem-se 
construir quatro outras portas denominadas portas lógicas derivadas. São portas 
lógicas derivadas as portas NE ou NÃO E, a porta NOU ou NÃO OU, a porta OU-
EXCLUSIVO e a porta NÃO OU-EXCLUSIVO. 
 
Nesse capítulo veremos: os símbolos lógicos, a tabela-verdade e a expressão 
booleana das portas lógicas derivadas usadas em sistemas digitais. 
 
Contudo, antes de entrar no assunto vamos abordar os aspectos da álgebra de Boole 
necessários ao estudo da lógica digital e sua aplicação em projeto de circuitos de 
eletrônica digital. 
 
Como requisito para melhor compreensão do assunto a ser tratado você já deverá 
conhecer as : 
 
- portas lógicas básicas; 
- a construção da tabela-verdade. 
 
 
Álgebra booleana 
 
A álgebra booleana é parte da matemática destinada à análise e projetos de sistemas 
lógicos. Seu criador foi o matemático inglês George Boole (1815 - 1864). 
A álgebra booleana opera com variáveis que só podem assumir dois valores lógicos, 
usando para isso números binários. Assim, por exemplo, tanto a variável A, como a B e 
a Y podem assumir os valores 0 ou 1. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 42 
A álgebra booleana é aplicada aos sistemas digitais que também trabalham com dois 
estados ou níveis lógicos. De modo que para operar matematicamente dentro dos 
princípios da álgebra booleana basta associar a um dos estados lógicos o valor binário 
1 e ao outro estado o valor binário 0. 
 
Operações lógicas fundamentais 
Três são as operações lógicas básicas na álgebra booleana: 
 
Operação Expressão Leia-se 
Multiplicação ou 
produto lógico - E 
A . B A e B 
Adição ou soma 
lógica - OU 
A + B A ou B 
Negação ou 
Complementação - NÃO 
A A barrado ou NÃO A 
 
Operação produto lógico - A operação produto ou multiplicação lógica permite obter 
uma nova proposição (saída Y) a partir de duas ou mais proposições (variáveis A, B, C 
... N), ligadas pela palavra E. 
 
A expressão algébrica booleana da operação E de acordo com o enunciado é: 
 
Y = A . B 
 
A saída é igual a A e B . O ponto ( . ) significa E. 
 
A expressão booleana da operação E com três variáveis será : 
 
Y = A . B . C 
 
AÂ 
 
A operação E é definida pela tabela a seguir. 
 
A B Y(A . B) 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
Técnicas Digitais 
SENAI 43 
1 1 1 
 
Lembre-se de que a operação E, executada pela porta E, é a operação “tudo ou nada”. 
A porta E pode ter duas ou mais entradas e terá sempre uma única saída. Esta saÍda 
terá o estado 1 somente quando todas as entradas tiverem o estado 1. 
 
Propriedades da operação E — As propriedades da operação E e as respectivas 
expressões booleanas estão abaixo discriminadas : 
 
• propriedade associativa: A (BC) = (AB) C 
 
• propriedade comutativa: AB = BA 
 
• propriedade distributiva: A + (BC) = (A + B) (A + C) 
 
A título de exemplo, vamos demonstrar como, através da tabela-verdade, pode-se 
provar a propriedade associativa da operação E. 
 
A (BC) = (AB) C 
 
 Y Y 
A B C (B . C) A (BC) (A.B) (AB) C 
0 0 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 
0 1 0 0 0 0 0 
0 1 1 1 0 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 
1 0 1 0 0 0 0 
1 1 0 0 0 1 0 
1 1 1 1 1 1 1 
 
Observação 
As colunas reticuladas — colunas dos resultados ou saída — apresentam, linha por 
linha, os mesmos valores. Isto prova que: 
 
A (BC) = (AB) C 
 
Identidades básicas — A operação E possui as seguintes identidades básicas: 
Técnicas Digitais 
SENAI 44 
 
1. A . 0 = 0 
2. A . 1 = A 
3. A . A = A 
4. A . A = 0 
 
Observação 
É o postulado da multiplicação lógica que determina as regras da multiplicação 
booleana, ou seja: 
 
(A) . (B) = (Y) 
 0 . 0 = 0 
 0 . 1 = 0 
 1 . 0 = 0 
 1 . 1 = 1 
 
Vamos agora analisar cada identidade básica a partir desse postulado. 
A . 0 = 0 
 
Postula-se que todo número multiplicado por 0 (zero) é igual a 0 (zero). Temos assim 
as seguintes possibilidades: 
 
 (A) . (B) = (Y) 
se A = 0 → 0 . 0 = 0 
 A = 1 → 1 . 0 = 0 
 
Provamos com isso que A . 0 = 0 
A . 1 = A 
 
Demonstramos quese, 
 
 (A) . (B) = (Y) 
A = 0 → 0 . 0 = 0 
A = 1 → 1 . 1 = 1 
 
Portanto, A . 1 = A 
Técnicas Digitais 
SENAI 45 
A . A = A 
 
Vamos demonstrar as duas possibilidades existentes: 
 
 (A) . (B) = (Y) 
se A = 0 → 0 . 0 = 0 
 A = 1 → 1 . 1 = 1 
 
Portanto, A . A = A 
 
A . A = 0 
 
Analisando as possibilidades, vemos que: 
 
 (A) . (B) = (Y) 
se A = 0 e A = 1 → 0 . 1 = 0 
 A = 1 e A = 0 → 1 . 0 = 0 
 
Portanto, A . A = 0 
 
Operação soma lógica — A operação soma ou adição lógica permite obter uma nova 
proposição (saída Y) a partir de duas ou mais proposições (variáveis A, B, C ... N), 
ligadas pela palavra OU. 
 
A expressão algébrica booleana da operação OU de acordo com o enunciado é: 
 
Y = A + B 
 
A saída é igual a A ou B .O sinal (+) significa OU na álgebra de Boole. 
 
A expressão booleana da operação OU com três variáveis será: 
 
Y = A + B + C 
 
A operação OU é definida pela tabela abaixo mostrada. 
 
A B Y (A + B) 
0 0 0 
Técnicas Digitais 
SENAI 46 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
 
É importante lembrar que a operação OU, executada pela porta OU, é a operação 
“qualquer ou todas”. A porta OU pode ter duas ou mais entradas e uma só saída. Esta 
saída terá o estado 1 quando uma ou todas as entradas tiverem o estado 1. 
 
Propriedades da operação OU — As propriedades da operação OU e as respectivas 
expressões booleanas estão abaixo discriminadas: 
 
• propriedade associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
 
• propriedade comutativa: A + B = B + A 
 
• propriedade distributiva: A (B + C) = AB + AC 
 
A título de exemplo, demonstramos através da tabela-verdade a propriedade 
distributiva da operação OU : 
 
A (B + C) = AB + AC 
 
 Y1 Y2 
A B C (B + C) A (B + C) A . B A . C AB + AC 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 1 1 0 0 0 0 
0 1 0 1 0 0 0 0 
0 1 1 1 0 0 0 0 
1 0 0 0 0 0 0 0 
1 0 1 1 1 0 1 1 
1 1 0 1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 
 
Observação 
As colunas reticuladas — colunas dos resultados ou saídas — apresentam, linha por 
linha, os mesmos valores. Isto prova que: 
 
A (B + 0) = AB + AC 
Técnicas Digitais 
SENAI 47 
 
Identidades básicas — A operação OU possui as seguintes identidades básicas: 
 
1. A + 0 = A 
2. A + 1 = 1 
3. A + A = A 
4. A + A = 1 
 
Observação 
O postulado da adição determina as regras da adição dentro da álgebra booleana. 
 
(A) + (B) = (Y) 
1. 0 + 0 = 0 
2. 0 + 1 = 1 
3. 1 + 0 = 1 
4. 1 + 1 = 1 
 
Vamos então analisar cada identidade básica a partir desse postulado. 
A + 0 = A 
 
Vamos demonstrar as possibilidades. 
 
 (A) + (B) = (Y) 
se A = 0 → 0 + 1 = 0 
 A = 1 → 1 + 0 = 1 
 
O resultado será, portanto, sempre A . 
A + 1 = 1 
 
 (A) + (B) = (Y) 
se A = 0 → 0 + 1 = 1 
 A = 1 → 1 + 0 = 1 
 
O resultado será sempre 1. De onde A + 1 = 1 
 
A + A = A 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 48 
 (A) + (B) = (Y) 
se A = 0 → 0 + 0 = 0 
 A = 1 → 1 + 1 = 1 
 
Conclui-se que ao efetuar a soma lógica da mesma variável o resultado será essa 
mesma variável. 
 
 A + A = 1 
 
É possível demonstrar que sempre que efetuarmos a soma lógica de uma variável ao 
seu complemento o resultado será 1. 
 
 (A) + (B) = (Y) 
se A = 0 e A = 1 → 0 + 1 = 1 
 A = 1 e A = 0 → 1 + 0 = 1 
 
Operação inversão — A operação lógica “inversão” ou “negação” ou 
“complementação” consiste em converter uma proposição dada numa proposição a ela 
oposta. 
 
A expressão algébrica booleana da operação NÃO de acordo com o enunciado é: 
 
Y = A 
 
A saída Y é igual a não A. 
 
A operação NÃO é definida pela seguinte tabela: 
 
A Y ( A ) 
0 1 
1 0 
 
A operação inversão, executada pela porta NÃO, tem apenas uma entrada e uma 
saída. A saída terá o estado 1 quando a entrada for 0, pois a negação ou o oposto de 1 
é 0. 
 
Identidades básicas — São identidades básicas da operação NÃO: 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 49 
 (A) (B) = (Y) 
1. A + A = 1 
2. A . A = 0 
3. A = A 
 
Observação 
Ao complemento de A chamamos A (não A ou A barrado). Desse modo, temos: 
 
A = 0 → A = 1 
A = 1 → A = 0 
 
A + A = 1 
 
Demonstraremos as duas possibilidades : 
 
 (A) + (B) = (Y) 
se A = 0 e A = 1 → 0 + 1 = 1 
 A = 1 e A = 0 → 1 + 0 = 1 
 
Portanto, A ou A = 1 
 
A . A = 0 
 
 (A) (B) = (Y) 
se A = 0 e A = 1 → 0 . 1 = 0 
 A = 1 e A = 0 → 1 . 0 = 0 
 
Portanto, A e A = 0 
A = A (não não A = A) 
 
Demonstrando: 
 
se A = 0 → A = 1; então, A = 0 
 
Portanto A = A 
 
Ou, A = 1 → A = 0;de onde, A = 1 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 50 
Portanto A = A 
 
 
Portas lógicas derivadas 
 
Porta NE (NÃO E) 
A porta NE ou porta NÃO E (“”NAND”, em inglês) é assim denominada quando à saída 
de uma porta E é conectado um inversor. Observe pelo diagrama de blocos lógicos 
como é formada a porta NÃO E. 
 
ABNT ASA 
 
 
Esse é um circuito NÃO E ou NE. Nele uma porta E está conectada a um inversor. As 
entradas A e B são submetidas a uma operação E (A . B). 
 
Depois A . B é invertida pela porta NÃO formando à saída a expressão booleana: 
 
Y = B.A 
 
Observação: 
 
O traço sobre B.A indica a inversão do produto A e B. 
 
O símbolo lógico da porta NE está abaixo ilustrado. 
ABNT ASA 
 
 
A porta NÃO E, como outros blocos lógicos, pode ter duas ou mais entradas. 
 
Vemos que a operação NÃO E é uma composição da operação E com a operação 
NÃO; isto é, temos a função E invertida. 
Técnicas Digitais 
SENAI 51 
 
Você pode verificar pela tabela-verdade da porta lógica NÃO E como a saída NE é o 
inverso da operação E. 
 
Entrada Saída 
A B (A . B) ( B.A ) 
0 0 0 1 
0 1 0 1 
1 0 0 1 
1 1 1 0 
 
A porta NE é amplamente usada em sistemas digitais, sendo considerada a porta 
universal em circuitos digitais. 
 
Observação: 
 
É possível obter um circuito NÃO a partir de um NÃO E de várias entradas. Para tanto, 
basta ligar as entradas em paralelo de modo que constitua uma única entrada, 
conforme abaixo mostrado. 
 
ABNT ASA 
 
 
 
 
 
Porta NOU (NÃO OU) 
A porta NOU (“NOR”, em inglês) é assim chamada quando à saída de uma porta OU é 
conectado um inversor. Abaixo o diagrama de blocos lógicos mostra como é formada 
uma porta NOU. 
 
ABNT 
Técnicas Digitais 
SENAI 52 
 
 
ASA 
 
 
Esse é um circuito NOU. Nele uma porta OU está conectada a um inversor. As 
entradas A e B são submetidas a uma operação OU (A + B). A seguir, A + B é invertida 
pela porta NÃO formando a saída a expressão booleana: 
 
Y = BA + 
 
A tabela-verdade a seguir mostra a operação da porta NOU. A coluna de saída da 
porta NOU é o complemento ou inversão da operação OU. 
 
Entrada Saída 
A B (A + B) ( BA + ) 
0 0 0 1 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 1 0 
 
A operação NÃO OU resulta verdadeira (1) quando todas as variáveis de que depende 
forem falsas (0). 
 
O símbolo lógico da porta NÃO OU é: 
 
ABNT ASA 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 53 
Porta OU-EXCLUSIVO (XOU) 
A porta OU-EXCLUSIVO ou porta XOU (“XOR”, em inglês) é ativada somente quando 
na entrada aparecer um número ímpar de uns. Ou, a saída será 1 quando as variáveis 
de entrada forem diferentes. Confirme na tabela-verdade a seguir como as entradas 
das linhas 2 e 3 têm um número ímpar de uns. 
 
Entrada Saída 
A B Y 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
A partir da tabela-verdade, e mais especificamente das linhas 2 e 3, pode-se tirar a 
expressão booleana da porta XOU. Ou seja: 
 
Y = A . B ⊕ A . B 
 
Com esta expressão booleana pode ser desenvolvido um circuito lógico usando portas 
E, OU e inversores. É o que mostramos na figura a seguir. 
 
ABNT 
 
 
ASA 
Técnicas Digitais 
SENAI 54 
 
O circuito acima pode ser representado também da seguinte maneira: 
 
ABNT 
 
 
ASA 
 
 
Este circuito executa a função lógica XOU. A entrada A e a entrada B são submetidas 
juntas, e exclusivamente, a uma operação OU. 
 
O símbolo lógico para a porta XOU vem abaixo ilustrado. 
 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 55 
ABNT ASA 
 
 
A expressão booleana A ⊕ B = Y é uma expressão XOU simplificada. O símbolo ⊕ 
significa OU-EXCLUSIVO em álgebra booleana.Lê-se Y = A ⊕ B da seguinte maneira a saída é igual a A OU-EXCLUSIVO B. 
 
Porta NOU-EXCLUSIVO - EquIvalência — (XNOU) 
A porta NOU-EXCLUSIVO (XNOR, em inglês) executa a operação NÃO OU-
EXCLUSIVO, que vem a ser a inversão do resultado da operação XOU (OU-
EXCLUSIVO). 
 
A tabela-verdade da porta NOU-EXCLUSIVO (XNOU) de duas entradas, de acordo 
com este enunciado, é a seguinte: 
 
Entrada Saída 
A B A⊕B ( BA ⊕ ) 
0 0 0 1 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
 
Veja como as saídas da operação XNOU é a inversão da operação XOU. Portanto, se 
a expressão algébrica booleana de XOU for Y = A ⊕ B, a expressão booleana de 
XNOU será, por sua vez, a negação ou inversão de XOU; ou seja: 
 
Y = BA ⊕ ou A . B 
 
Enquanto a porta XOU é um detector de número ímpar de uns, a porta XNOU detecta 
números pares de uns. A porta XNOU produzirá uma saída 1 quando um número par 
de uns aparecer nas entradas. 
 
O diagrama de símbolos lógicos da porta XNOU está desenhado a seguir. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 56 
ABNT ASA 
 
 
Observe como a saída de uma porta XOU é invertida, dando a função NOU-
EXCLUSIVO. 
 
Abaixo mostramos o símbolo lógico da porta XNOU. 
 
ABNT ASA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 57 
 
 
Circuitos Combinatórios 
 
 
 
 
 
 
 
Você já sabe que os circuitos lógicos executam equações booleanas. Sabe, também, 
que é possível determinar circuitos lógicos através de expressões booleanas extraídas 
da tabela-verdade. 
 
Contudo, os circuitos lógicos construídos diretamente das expressões booleanas da 
tabela verdade é um processo complexo. Tais circuitos podem ser simplificados, o que 
facilita sua montagem e diminui o custo do sistema, pela economia dos blocos lógicos 
necessários à sua construção. 
 
Neste capítulo vamos tratar dos postulados, teoremas, propriedades e identidades da 
álgebra booleana. Isto nos permitirá realizar a simplificação das expressões booleanas, 
facilitando, desse modo, a execução dos circuitos combinatórios. 
 
Circuito combinatório ou combinacional é aquele cuja saída depende das combinações 
das variáveis de entrada. 
 
Você deve ter presente, ao iniciar este capítulo, os seguintes tópicos da álgebra 
booleana: 
 
• propriedades básicas; 
• identidades básicas. 
 
 
 
 
Teoremas de De Morgan 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 58 
Os teoremas de De Morgan são empregados para simplificar as expressões algébricas 
booleanas. 
 
Primeiramente vamos demonstrar e comprovar as leis postuladas por De Morgan. A 
seguir veremos a aplicação desses postulados. 
 
Teorema 1 
O complemento do produto é igual à soma dos complementos. Ou seja: 
 
B.A = A + B 
 
Vamos demonstrar o teorema utilizando a tabela-verdade. 
 
A B A B A . B B.A A + B 
0 0 1 1 0 1 1 
0 1 1 0 0 1 1 
1 0 0 1 0 1 1 
1 1 0 0 1 0 0 
 
Compare e veja como os resultados de cada termo das expressões são iguais. 
 
Este teorema pode também ser deduzido pela equivalência entre blocos lógicos como, 
por exemplo: 
 
B.A (porta NE) = A + B (porta OU) 
 
 
 
 
 
 
Este teorema pode ser aplicado para mais de duas variáveis; ou seja: 
 
N...C.B.A = )N...CBA( +++ 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 59 
 
 
 
 
Teorema 2 
O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. 
 
BA + = A + B 
 
Este teorema é a extensão do primeiro; desse modo podemos escrever: 
 
)N...CBA( ++++ = N...C.B.A 
 
A aplicação deste teorema é demonstrada pela equivalência entre blocos lógicos. 
 
( BA + ) (porta NOU) = A . B (porta E) 
 
 
 
 
 
Generalizando: 
 
 
 
 
 
 
Através dos teoremas de De Morgan é fácil realizar a transferência da expressão 
booleana de termos mínimos para a de termos máximos. 
 
Observação: 
Entende-se, por expressão booleana de termos mínimos, a expressão booleana 
resultante da soma de produtos; e, por expressão booleana de termos máximos, a 
expressão booleana que resulta do produto de somas. 
 
Equações lógicas 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 60 
Para resolver qualquer problema, ou antes, de iniciar um projeto lógico, constrói-se, 
primeiramente, a tabela-verdade. 
 
Da tabela-verdade extrai-se a expressão booleana correspondente à operação exata 
de um circuito digital. 
 
Expressão booleana de soma de produtos 
 
Pela análise da tabela-verdade de uma operação OU EXCLUSIVO vamos demonstrar 
como extrair uma expressão booleana de soma de produtos. 
 
 A B Y 
1 0 0 0 
2 0 1 1 → B.A 
3 1 0 1 → B.A 
4 1 1 0 
 
Vemos que apenas as linhas 2 e 3 da tabela geram a saída 1. 
 
Na linha 2, as variáveis de entrada correspondem a não A e B ( B.A ) 
 
A outra combinação de variáveis que gera 1 é a da linha três. Essas variáveis são o 
produto B.A . 
 
Ao realizar a soma desses produtos ( B.A + B.A ), temos a expressão booleana 
completa; ou seja: 
 
 
Y = B.A + B.A 
 
Esta é uma expressão de soma de produtos ou de termo mínimo. 
 
A expressão booleana Y = B.A + B.A constitui-se num circuito de portas lógicas E e 
OU cujo diagrama de blocos lógicos está abaixo mostrado. 
 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 61 
 
 
 
 
 
 
Em resumo: o procedimento comum na elaboração de um projeto lógico é o seguinte: 
 
• construir a tabela-verdade; 
• determinar, a partir da tabela-verdade, a expressão booleana de termos mínimos 
(soma de produtos); 
• a partir da expressão booleana de termos mínimos, esquematizar o circuito lógico. 
 
Expressão booleana de produto de somas 
 
Pela análise de uma operação OU-EXCLUSIVO vamos demonstrar como extrair uma 
expressão booleana de produtos de somas. 
 
 A B Y 
1 0 0 0 → A .B 
2 0 1 1 
3 1 0 1 
4 1 1 0 → A . B 
 
Vemos que as linhas 1 e 4 da tabela geram a saída 0, pelas quais vamos extrair a 
expressão booleana. Pelos resultados zeros chegaremos à saída Y . Portanto, a 
expressão booleana será: 
 
Y = B.AB.A + 
 
Contudo, o nosso objetivo é chegar à saída Y. Devemos, por isso, proceder à inversão 
da expressão: 
 
A.B+B .A Y = 
 
Para simplificar essa expressão, aplica-se primeiramente o segundo teorema de De 
Morgan que nos dará a seguinte expressão: 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 62 
Y = B .A . A.B 
 
Aplicando, nessa expressão, o primeiro teorema de De Morgan, obteremos: 
 
Y = A + B . A + B 
 
Aplicando, então, a identidade básica em ambos os termos chegaremos à: 
 
Y= A + B . A + B 
 
Por conseguinte, temos aqui uma expressão de produto de somas ou de termo 
máximo. 
 
Agora você já sabe que as expressões booleanas podem ser tiradas de duas 
maneiras: a partir dos uns de saída (termos mínimos ou soma de produtos) e a partir 
dos zeros (termos máximos ou produto de soma). 
 
Contudo, antes de extrair a expressão booleana de uma tabela-verdade, convém 
verificar que método oferece maior facilidade: tirar a expressão pelos uns ou pelos 
zeros. 
 
Vamos exemplificar o que foi dito acima. Na tabela-verdade a seguir é mais simples 
tirar a expressão booleana pelos zeros (termos máximos ou produto de somas). A 
expressão booleana de soma de produtos seria mais longa e complexa. 
 
 A B C Y 
1 0 0 0 1 
2 0 0 1 1 
3 0 1 0 1 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 0 1º termo → C.B.A . = Y 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 0 2º termo → A . B . C = Y 
 
Temos, assim, a expressão booleana das variáveis das linhas 5 e 8; submetidas ao 
teorema de De Morgan, estas variáveis darão um termo da expressão booleana; ou 
seja: 
Técnicas Digitais 
SENAI 63 
 
 1º termo 2º termo 
 
Y = )C.B.A( + (A . B . C) 
 
Y = )C.B.A( + (A . B . C) Y = ( CBA ++ ). )CBA( ++ 
 
Portanto, a expressão booleana de termos máximos (produto de somas) será: 
 
Y = ( CBA ++ ). )CBA( ++ 
 
Sabemos que a expressão booleana é implementada através de um circuito de portas 
lógicas. 
 
O diagrama de blocos OU-E, a seguir, é a implementação da expressão retirada da 
tabela-verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que as saídas das portas OU estão alimentando uma poda E. 
 
Aplicação de teoremas de De Morgan e de equações lógicas booleanas 
As leis e as propriedadesfundamentais da operação da álgebra booleana permitem 
resolver problemas e projetos lógicos em diversas áreas. 
 
Através de um exemplo, vamos demonstrar a aplicação desses princípios. Para isso é 
bom lembrar os passos a serem seguidos na resolução de um problema lógico: 
• a elaboração da tabela-verdade; 
• a extração da equação lógica; 
• a execução do circuito ou diagrama de blocos lógicos. 
Técnicas Digitais 
SENAI 64 
 
Esse é o processo a ser seguido na resolução da situação-problema apresentada a 
seguir. 
 
Situação Problema 
No setor de operação de uma empresa, um alarme deverá disparar toda a vez que 
ocorrer uma das seguintes situações: 
 
1) faltar energia elétrica, o gerador auxiliar não entrar em funcionamento e as luzes de 
emergência não acenderem; ou: 
2) faltar energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não 
acenderem; ou: 
3) houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência 
acenderem; ou: 
4) houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não 
acenderem. 
 
O primeiro passo para resolução do problema é a elaboração da tabela-verdade. 
 
Ao analisar o problema, temos três variáveis a considerar: 
1) a energia elétrica (A) 
2) o gerador auxiliar (B) 
3) as luzes de emergência (C) 
 
Identificadas as variáveis de entrada, estabelecemos a convenção em binário para as 
situações existentes: 
 
• falta de energia 1 → existência de energia 0 
• funcionamento do gerador 1 → não funcionamento do gerador 0 
• luzes de emergência acesas 1 → luzes de emergência apagadas 0 
• alarme disparado 1 → alarme não disparado 0 
 
Constrói-se, então, a tabela-verdade para a situação-problema. Como já vimos, para 
três variáveis a tabela deverá ter 23 linhas. 
 
 A B C Y 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
Técnicas Digitais 
SENAI 65 
3 0 1 0 1 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 0 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 0 
 
A saída Y = 1 é o resultado das proposições dadas. Vejamos, por exemplo, a primeira 
proposição: se faltar energia elétrica (1), o gerador auxiliar não entrar em 
funcionamento (0) e as luzes de emergência não acenderem (0), o alarme disparará 
(1). Tal situação está representada na linha 5 da tabela (100). As demais situações, 
nas linhas em que a saída for Y = 1. 
 
Montada a tabela-verdade, extraímos a expressão algébrica booleana a partir das 
situações em que Y = 1. Dessa forma teremos a expressão booleana de termos 
mínimos ou de soma de produtos. 
 
Podemos observar que as linhas 3, 4, 5 e 7 da tabela-verdade geram a saída 1 (Y = 1). 
 
Para a linha 3 gerar a saída 1, temos as variáveis de entradas CeB,A unidas por 
uma operação E. Ou seja: 
 
C.B.A 
 
Para a linha 4 gerar a saída 1, as entradas são CeB,A . A expressão algébrica, nesse 
caso, é assim expressa: 
 
C.B.A 
 
Na linha 5, temos as entradas CeB,A ; e a expressão booleana é: 
 
C.B.A 
 
Na linha 7 as entradas são CeB,A ; e a expressão booleana é: 
 
C.B.A 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 66 
A expressão booleana total será composta pela interligação desses quatro termos por 
uma operação OU. 
 
C.B.AC.B.AC.B.AC.B.AY +++= 
 
Essa expressão, também chamada expressão canônica, pode ser representada pelo 
diagrama de blocos de portas E e OU ilustrado a seguir. 
 
 
 
A expressão canônica que apresenta uma operação soma lógica (porta OU) como 
principal é chamada de soma de produtos. 
 
Como vimos antes, a expressão booleana pode também ser extraída a partir dos 
resultados Y = 0. A expressão que iremos obter será um produto de somas. No caso 
do nosso exemplo, a tabela-verdade apresenta — nas linhas 1, 2, 6, 8 — Y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B C Y 
1 0 0 0 0 → A .B .C 
Técnicas Digitais 
SENAI 67 
2 0 0 1 0 → A .B . C 
3 0 1 0 1 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 0 → A . B . C 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 0 → A . B . C 
 
A expressão booleana final é: 
 
A .B . C + A .B . C + A . B . C + A . B . C = Y 
 
Inverte-se a equação para obter a expressão de Y: 
 
Y = A .B . C + A .B . C + A . B . C + A . B . C 
 
Simplificando tal equação pela aplicação do teorema de De Morgan, temos: 
 
Y = A + B + C . A + B + C . A + B + C . A + B + C 
 
Embora essa expressão se apresente de forma diferente (produto de somas) daquela 
extraída pelos resultados Y = 1 (soma de produtos), ambas são iguais, o que pode ser 
comprovado através da tabela-verdade como é mostrado a seguir. 
 
Y1 = A .B . C + A . B.C + A .B .C + A .B .C = Y2 = A + B + C.A + B + C . A + B + C . A + 
B +C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C A B C A .B.C A.B .C A.B.C Y1 A+B+C A+B+C A +B+C A +B +C Y2 
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 
Técnicas Digitais 
SENAI 68 
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 
0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
 
Teoremas de Absorção 
Os teoremas de absorção são os que definem identidades utilizadas para a 
simplificação de expressões booleanas. 
 
Quatro são os teoremas de absorção: 
 
A (A + B) = A 
A + A.B = A 
A + A .B = A + B 
A .( A + B) = A . B 
 
Esses teoremas podem ser demonstrados de dois modos: pela tabela-verdade ou pela 
aplicação de postulados, propriedades e teoremas da álgebra booleana. 
 
Vamos, pois, comprovar os teoremas de absorção. 
 
Teorema 1 
A (A + B) = A 
 
Aplicando a propriedade distributiva, temos a expressão: 
 
A [1 . (1 + B)] = A 
 
Aplicando o princípio da identidade básica, temos: 
 
(1 + B) = 1 → A (1 . 1), conclui-se que: 
 
A = A 
Teorema 2 
A + A . B = A 
Técnicas Digitais 
SENAI 69 
 
Aplicando a tabela-verdade, provamos que A + A . B = A 
 
A B A . B A + A.B 
0 0 0 0 
0 1 0 0 
1 0 0 1 
1 1 1 1 
 
Verifique que as colunas A e A + A . B são iguais. 
 
Teorema 3 
A + A B = A + B 
 
Pela propriedade distributiva, obtemos a equação: 
 
A + A . A + B = A + B 
 
Pela identidade básica, obtemos: 
 
A + A = 1 
 
Dado que 1 . A + B = A + B, concluímos que A + B = A + B. 
 
Assim fica provado que: 
 
A + A B = A + B 
 
Teorema 4 
A .( A + B) = A . B 
 
Empregando a tabela-verdade, obtemos: 
 
A B A A +B A .( A +B) A . B 
0 0 1 1 0 0 
0 1 1 1 0 0 
1 0 0 0 0 0 
1 1 0 1 1 1 
Técnicas Digitais 
SENAI 70 
 
Verifique que A . ( A + B) = A . B, o que comprova as respectivas colunas na tabela-
verdade. 
 
Simplificação de expressões algébricas 
De modo geral, a expressão booleana extraída da tabela-verdade é longa e complexa. 
 
Como você já sabe, a expressão booleana tirada da tabela-verdade é a base para a 
construção do circuito lógico. De fato, se a expressão fosse muito grande, a construção 
do circuito lógico demandaria muitas portas lógicas, às vezes desnecessárias, o que 
tornaria o projeto lógico muito caro. 
 
As expressões booleanas podem ser simplificadas ou minimizadas através de dois 
métodos: 
• o método algébrico, que emprega os postulados, as propriedades, as identidades e 
os teoremas da álgebra de Boole; 
• o método gráfico, que utiliza mapas para a simplificação. 
 
Método algébrico de simplificação 
Na simplificação de expressões booleanas pelo método algébrico não há uma ordem 
determinada a ser seguida. Conforme a necessidade, aplicam-se os postulados, as 
propriedades, os teoremas e as identidades até obter uma forma reduzida da 
expressão original. 
 
Através de exemplos, vamos demonstrar como simplificar ou minimizar uma expressão 
algébrica extraída de uma tabela-verdade. 
 
Exemplo 1: 
Dada a expressão: CBACBACBACBAY +++= 
 
 
 
1. Aplica-se a propriedade distributiva nos termos 1 e 2, e o resultado obtido será o 
seguinte: 
 
 
 
 
1 2 3 4
1 
Técnicas Digitais 
SENAI 71 
Y =( A +A) B C + AB C + A B C 
 
 
 
Pela identidade básica, obteremos: A + A = 1 e 1 . B C = B C 
 
Portanto: Y = B C + A B C + A B C 
 
 
 
2. Aplica-se, igualmente, a propriedade distributiva nos termos 3 e 4, e o resultado 
desta 
 operação será: 
 
Y =B C +B C (A + A ) 
 
Pela identidade básica obteremos: A + A = 1 e 1 . B C = B C 
 
∴Y = B C + B C 
 
 
 
3. Aplicando novamente a propriedade distributiva, obteremos : 
 
Y = B (C + C) 
 
C + C = 1 e 1. B = B 
 
De modo que a forma final da expressão será: 
 
Y = B 
 
Exemplo 2: 
Vamos demonstrar a simplificação da mesma expressão (exemplo 1) a partir de uma 
maneira diferente de agrupar os termos. 
 
Y = A B C +A B C + A B C + A B C 
 
43
43
1
1e2 3e4
1 
1 2 3 4
Técnicas Digitais 
SENAI 72 
 
1. Aplicando aos termos 2 e 3 a propriedade distributiva, obteremos: 
 
Y = A B C + A B (C + C) + A B C 
 
Pela identidade básica, teremos como resultado: 
 
C + C = 1 e A B . 1 = A B 
 
Portanto: Y = A B C + A B + A B C 
 
2. Em seguida, aplica-se, também, a propriedade distributiva aos termos 1 e 4; o 
resultado será o seguinte: 
 
 
Y = A B (C + C) + AB 
Y = A B + A B 
Y = B ( A + A ) 
 
Portanto, da simplificação resultará: 
Y = B 
 
Exemplo 3: 
Neste exemplo, temos a seguinte expressão: 
 
Y = A B C + A B C + A B C + A B C + A BC 
 
 
1. Aplicando a propriedade distributiva aos termos 2 e 4, obteremos: 
 
 
Y = A B C + B C ( A + A ) + AB C + A BC 
 
Y = ABC + B C + A B C + A BC 
 
 
2. Pelo mesmo princípio, aplica-se a propriedade distributiva aos termos 1 e 3, e o 
resultado será o seguinte: 
1 
1 
1 
1 2 3 4 5
1 
Técnicas Digitais 
SENAI 73 
 
 
Y = B C + AC (B +B ) + A BC 
 
3. Aplica-se a propriedade distributiva à expressão simplificada: 
Y = B C + AC + A B C, e o resultado obtido será: 
Y = B C + C (A + A B) 
 
Pelo teorema de absorção A + A B = A + B, a expressão assumirá a seguinte forma: 
 
Y = B C + C (A + B) ou Y = B C + CA + CB 
 
Exemplo 4: 
Vamos considerar agora a seguinte expressão: 
 
Y = ABC D + ABC D + AB CD + AB C D + A B C D + A B C D + A B C D 
 
 
 
1. Aplicando a propriedade distributiva aos termos 1 e 2, obteremos: 
 
 
DCBADCBADCBADCBACDBA)DD(CABY ++++++= 
 
2. Aplicando, também, a propriedade distributiva aos termos 4, 5 e 6, 7, obteremos: 
 
 
CBACBACDBACABY
)DD(CBA)DD(CBACDBACABY
+++=∴
+++++=
 
 
3. Novamente, aplica-se a propriedade distributiva aos termos assinalados acima, e 
o resultado será o seguinte: 
 
CBA)CDC(BACABY +++= 
 
O termo (C + CD), assinalado, pelo teorema da absorção, resulta em (C + D); 
portanto: 
 
1 
1 5 4 3 2 7 6 
1 
1 1 
Técnicas Digitais 
SENAI 74 
CBA)CDC(BACABY +++= 
 
4. Aplica-se a propriedade distributiva ao termo assinalado; o resultado será o 
seguinte: 
 
CBADBACBACABY +++= 
 
5. Aplicando a propriedade distributiva aos termos assinalados, obteremos: 
 
 
CBA)BB(CADBAY +++= 
 
6. Novamente, aplica-se a propriedade distributiva, e teremos a seguinte 
expressão: 
 
)BAA(CDBAY ++= 
 
 
7. Empregando o teorema da absorção, teremos: 
 
)BA(CDBAY ++= 
 
8. Pela propriedade distributiva, simplificamos a expressão, que passa a ser expressa 
assim: 
 
BCACDBAY ++= 
 
Método Gráfico de Simplificação (Mapas de Karnaugh) 
A simplificação de expressões algébricas booleanas é um processo complexo e 
trabalhoso, podendo, por isso, apresentar um resultado falso. 
 
Agora você vai aprender a simplificar expressões booleanas através dos mapas de 
Karnaugh. Este método gráfico oferece maior facilidade e segurança no processo de 
minimizar as expressões algébricas booleanas. 
 
Os mapas de Karnaugh permitem simplificar expressões booleanas com qualquer 
número de variáveis. Para cada expressão booleana deve-se construir um mapa com 
diferentes números de casas. É o que vamos demonstrar a seguir. 
1 
Técnicas Digitais 
SENAI 75 
 
Expressões booleanas com duas variáveis (A, B) terão quatro casas (22). 
 
 B B 
 A 
A 
 
As variáveis neste caso, podem ser A, B ( A ou Bseriam as outras possibilidades) 
 
Expressões com três variáveis variáveis (A, B, C) terão oito casas (23). 
 
 BC CB CB CB 
A 
A 
 
Expressões com quatro variáveis (A, B, C, D) terão dezesseis casas (24). 
 
 CD DC DC DC 
AB 
BA 
BA 
BA 
 
A disposição das variáveis nas linhas horizontais e nas colunas pode ser feita em 
qualquer combinação de variáveis. O que se deve observar é que de uma casa para 
outra haja mudança em apenas uma variável. Por exemplo, na expressão com as 
variáveis A . B . C . D, podemos assim proceder: 
 
• Nas linhas horizontais 
Qualquer combinação de variáveis pode dar inicio à seqüência. Iniciamos por B.A . 
 
 
BA 
BA 
AB 
BA 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 76 
Mudamos a variável B para B 
Mudamos a variável A para A 
Mudamos a variável B para B 
 
• Nas colunas 
Pode-se iniciar também por qualquer combinação; a cada coluna muda-se apenas uma 
variável. 
 
DC DC CD DC 
 
 
 
 
 
A casa formada pela intersecção de uma coluna com uma linha corresponde a uma 
combinação das variáveis de entrada, como acontece na tabela-verdade. Veja o 
exemplo abaixo. 
 
A B C Y 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
 
 
 
 
 
Utilização do Mapa de Karnaugh 
Vamos tomar como exemplo a seguinte expressão booleana extraída da tabela-
verdade: 
 
ABCBCACBACBACBAY ++++= 
 
 C C 
BA ↓ 
BA ↓ 
AB → 
011
CBA
 
BA 
Técnicas Digitais 
SENAI 77 
Para simplificar essa expressão constrói-se, primeiramente, o mapa de acordo com o 
número de variáveis. No exemplo dado, três são as variáveis (23). 
 
 CB CB BC CB 
A 
 A 
 
Processamento da Simplificação 
1. Colocar 1 nas casas de acordo com os termos da expressão. 
 
 CB CB BC CB 
A 1 1 
 A 1 1 1 
 
2. Colocar O ou deixar em branco as demais casas, cujos termos não correspondem 
à expressão. 
 
 CB CB BC CB 
A 1 0 1 0 
 A 1 1 1 1 
 
Observação 
O mapa poderá ser feito de outra forma, mas o resultado será o mesmo, como abaixo 
demonstrado. 
 
3. Enlaçar a maior quantidade de uns adjacentes, em grupos de 2, 4 e 8 uns no 
mesmo laço, conforme mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 CB CB BC CB 
A 1 0 1 0 
 A 1 1 1 0 
 
 
 C C 
BA 1 0 
BA 0 1 
AB 0 1 
BA 1 1 
Técnicas Digitais 
SENAI 78 
 
Observações 
• Não deixar nenhum número 1 fora do laço; o mesmo número 1 pode fazer parte de 
dois laços. 
 
• A primeira e as últimas linhas do mapa, assim como a primeira e a última coluna, 
também são adjacentes. Verifique no segundo mapa que os uns da primeira e da 
quarta linha (1a coluna) estão enlaçados. Isto porque entre CBAeCBA muda apenas 
uma variável. 
 
• Não importa a maneira de enlaçar os uns, as respostas serão iguais e irão 
satisfazer a tabela-verdade. Veja abaixo outra forma de enlaçar os uns. 
 
 
 CB CB BC CB 
A 1 0 1 0 
 A 1 1 1 0 
 
 
 
4. Extrair a expressão simplificada, conforme mostramos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1o laço – separar os termos comuns das variáveis BCABCeBCA → 
2o laço – separar os termos comuns das variáveis ACCBAeABC → 
3o laço – separar os termos comuns das variáveis CBCBAeCBA → 
Para obter a expressão booleana simplificada, basta juntar os termos separados da 
expressão original numa expressão booleana de soma lógica. Ou seja: 
 
YCBACBC =++ 
 
Vejamos outro exemplo de mapa para a mesma expressão 
 C C 
BA 1 0 
BA 0 1 
AB 0 1 
BA 1 1 
 C C 
BA 1 0 
BA 0 1 
AB 0 1 
BA 1 1 
→ 3o laço 
→ 1o laço 
 
→ 2o laço 
Técnicas Digitais 
SENAI 79 
 
 CB CB BC CB 
A 1 0 1 0 
 A 1 1 1 0 
 3o 2o 1o 
 
1o laço - BCsãocomunstermosos:BCAeABC → 
2o laço - BAsãocomunstermosos:CBAeCBA → 
3o laço - CBsãocomunstermosos:CBAeCBA → 
 
A expressão booleana simplificada será: 
 
YCBBABC =++ 
 
Estes mapas podem ainda ter uma forma de enlace diferente sem que o resultado seja 
alterado, como veremos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
1o laço - CBsãocomunstermosos:CBAeCBA → 
2o laço - BAsãocomunstermosos:CBAeCBA → 
3o laço - BCsãocomunstermosos:ABCeBCA → 
 
A equação minimizada será: 
 
YBCBACB =++ 
 
Vejamos outro tipo de enlace. 
 CB CB BC CB 
A 1 0 1 0 
 A 1 1 1 0 
 1o 2o 3o 
 
1o laço - CBsãocomunstermosos:CBAeCBA→ 
 C C 
BA 1 0 
BA 0 1 
AB 0 1 
BA 1 1 
→ 1o laço 
→ 3o laço 
 
→ 2o laço 
Técnicas Digitais 
SENAI 80 
2o laço - BAsãocomunstermosos:CBAeCBA → 
3o laço - BCsãocomunstermosos:ABCeBCA → 
 
A equação simplificada será: 
 
YBCBACB =++ 
 
Comparando os quatro resultados obtidos dos mapas e enlaces diferentes da 
expressão dada, vemos que eles se apresentam de duas formas: 
 
BCBACBY ++= e BCACCBY ++= 
 
Comparando as saídas da tabela-verdade a seguir, vamos demonstrar que ambas as 
expressões são iguais. 
 
A B C A B C CB BA BC Y CB AC BC Y 
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 
1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 
 
Observação 
Há situações em que uma mesma variável pode assumir o nível 1 ou O sem influenciar 
o estado da saída. A essa situação dá-se o nome de estado irrelevante para tal 
variável. 
 
Por exemplo: um interruptor, ao ser ligado, acende a lâmpada. Contudo, se a lâmpada 
estiver queimada tanto faz o interruptor estar ligado como desligado: a lâmpada não 
acenderá. 
 
Esta situação pode ser comprovada na tabela-verdade a seguir. 
 
A B Y 
0 0 0 
Técnicas Digitais 
SENAI 81 
0 X 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
Convenção: 
A - lâmpada boa = 1 
 lâmpada queimada = O 
B - interruptor ligado = 1 
 interruptor desligado = O 
 
Observe na linha 2 que o estado da variável B (interruptor) é irrelevante — o que é 
indicado por um X ao invés de 1 ou O. 
 
 
Contudo, nos mapas de Karnaugh, quando a variável for irrelevante, deve-se 
considerá-la como estado 1, porque isso tornará menor a equação resultante da 
simplificação.
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 83 
 
 
Famílias Lógicas 
 
 
 
 
 
 
 
O estudo da tecnologia dos sistemas digitais engloba os circuitos de comutação e os 
circuitos eletrônicos. 
 
Nos circuitos de comutação, o componente empregado é o relé o cujo contato fechado 
atribui-se o valor lógico 1 e ao aberto o valor lógico 0. 
 
Nos circuitos eletrônicos empregam-se dispositivos semicondutores cujos estados são 
identificados mediante tensões. À tensão mais alta atribui-se o valor lógico 1 e à 
tensão mais baixa, o valor lógico 0. 
 
A implementação de circuitos eletrônicos se faz a partir de diversos tipos de blocos 
lógicos, classificados em famílias lógicas. As famílias lógicas serão objeto de estudo 
nesse capítulo. 
 
O estudo das famílias lógicas pressupõe que você já conheça: 
• portas lógicas básicas; 
• portas lógicas derivadas. 
 
 
Famílias lógicas 
 
As famílias de circuitos lógicos possuem uma estrutura interna que permite a 
construção de circuitos integrados. Cada família lógica emprega componentes 
diferenciados na sua estrutura, e são esses componentes que dão uma característica 
própria a seu funcionamento. 
 
Por isso, ao selecionar um circuito integrado ou família lógica para determinado 
projeto, é necessário considerar tais características. 
Técnicas Digitais 
SENAI 84 
 
Características gerais das famílias lógicas 
As características gerais de toda porta lógica, independente da função que realize, são 
as seguintes: 
 
Fan-in - É a carga apresentada pela entrada da porta anterior à qual está conectada. 
 
A figura abaixo mostra a entrada de uma porta E atuando como carga para a saída da 
porta NÃO E. 
 
 
 
Para cada família existe uma carga-padrão. A carga-padrão é expressa de forma 
adimensional. Por exemplo, uma entrada típica é a que segue: 
 
Fan - in = 1 
 
Fan-out - É o número máximo de portas da mesma família que poderiam ser 
conectadas à saída de uma única porta, como mostra a figura abaixo. 
 
 
O fan-out é determinado em função da capacidade que o estágio de saída de uma 
porta lógica tem de fornecer e drenar corrente. O número que expressa o fan-out é 
adimensional; ou seja, não corresponde a nenhuma medida. Por exemplo, fan-out 10 
Técnicas Digitais 
SENAI 85 
significa que uma saída pode excitar dez cargas-padrão da mesma família lógica ao 
mesmo tempo. 
 
O fan-out é um dado importante, sobretudo quando se interligam Cl’s da mesma 
família, porque está relacionado diretamente com os valores IIL, IIH, IOL e IOH. 
 
Faixa de tensão do nível lógico - São dois os níveis lógicos de tensão : o nível 1 e o 
nível 0. 
 
Ambos os níveis variam dentro de faixas. O nível 0, por exemplo, não precisa ser 
necessariamente o valor 0, mas uma tensão abaixo de um certo valor máximo. O nível 
1 pode, também, ser uma tensão situada numa faixa entre um valor mínimo e um valor 
máximo. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
Cada família lógica possuirá uma faixa para o nível 0 e outra para nível 1. 
 
Outro aspecto a considerar é o tipo de lógica, se positiva ou negativa. Quando se 
opera na lógica positiva, o nível 1 será uma faixa em torno de um valor positivo de 
tensão e o nível 0 será uma faixa entre 0 e um pequeno valor positivo. 
 
 
 
Quando se opera na lógica negativa, o nível 1 será uma faixa em torno de um valor 
negativo de tensão e o nível 0 será uma faixa entre 0 e um pequeno valor máximo 
negativo. 
Técnicas Digitais 
SENAI 86 
 
 
Tempo de propagação - A tensão de saída de uma porta nunca responde 
instantaneamente às variações de entrada. Há sempre certo atraso associado à porta 
lógica. A figura abaixo representa as formas de onda de entrada e de saída de uma 
porta lógica e os atrasos que ocorrem. 
 
 
 
O tempo de propagação é a média aritmética entre os tempos médios de propagação 
para mudanças de estado na entrada e saída. 
 
Calcula-se o tempo de propagação pela média aritmética entre TpHL e TpLH e, 
geralmente, é expresso em nanosegundos. Assim, temos: 
 
2
TpLHTpHLTp += 
 
Convenção: 
 
TpHL = tempo de transição do nível 1 para o nível 0 
TpLH = tempo de transição do nível 0 para o nível 1 
 
Margem de ruído - É a variação de tensão admissível à entrada de um elemento 
lógico sem que, à sua saída, mude de estado. 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 87 
Duas são as margens de ruído: uma para o estado lógico de entrada 0 e outra para o 
estado lógico de entrada 1. 
 
A determinação das margens de ruído é feita sobre a curva de transferência do 
elemento lógico em questão. 
 
 
 
VS.0 máx. = tensão máxima que pode aparecer à saída de uma porta no estado lógico 0 e 
que se conecta ao número máximo possível de portas. 
 
VS.1 min. = tensão mínima que pode aparecer à saída de uma porta no estado lógico 1 e 
que se conecta ao número máximo de portas possível. 
 
V0 = nível de tensão correspondente ao estado lógico 0. 
 
V1 = nível de tensão correspondente ao estado lógico 1. 
 
Potência dissipada - É a dissipação de energia elétrica; é expressa em miliwatts. 
Normalmente este termo é definido por uma freqüência de trabalho em torno de 50%. 
 
Temperatura - Exprime os limites da temperatura ambiente normal em que o circuito 
integrado opera. 
 
Compatibilidade - É a capacidade que as subfamílias de uma família lógica têm de se 
interligarem desde que seja observada o fan-out dos blocos lógicos envolvidos. 
 
 
 
Técnicas Digitais 
SENAI 88 
Observação 
A interligação entre blocos lógicos de diferentes famílias lógicas só é possível com a 
utilização de técnicas de interface. 
 
Corrente de trabalho - São os valores de corrente que poderão ser obtidos nas 
entradas e saídas de uma porta lógica para os níveis 0 e 1. 
 
Corrente de curto-circuito (lOS) - Exprime o valor de corrente (normalmente em mA) 
que será drenada na saída de uma porta lógica, caso ocorra nesta um curto-circuito. 
 
Alimentação - São os valores de tensão (Vcc) e corrente (Icc) necessários para 
alimentar um circuito integrado. 
 
 
Famílias de circuitos lógicos 
 
Os circuitos integrados, segundo a tecnologia de construção, são agrupados em 
famílias. 
 
Apresentamos a seguir o primeiro grupo dessas famílias: 
• DL (Diode Logic): lógica com diodos; 
• DTL (Diode Transistor Logic): lógica com diodos e transistores; 
• RTL (Resistor Transistor Logic): lógica com resistores