Prova Parcial Micro I 2020 - Soluções FGV

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Prova Parcial de Teoria Microeconômica I
EESP-2020
Duração: 2h
Instruções:
• Esta prova contém 4 questões, totalizando 100 pontos. No entanto, o cômputo de sua nota
será feito na escala de 0 a 10.
• As questões não estão ordenadas por dificuldade. Sugerimos que você comece com as que são
mais fáceis para você.
• A primeira questão vale 40 pontos, as demais valem 20 pontos cada.
• Não é permitida a consulta a nenhum material, incluindo notas pessoais, livros ou formulários.
• No computador, pode ter aberto apenas o E-class.
• O Zoom deve estar aberto no seu celular e não no computador, e filmando a sua estação mesa
de trabalho durante toda a prova.
• Mantenha na sua mesa apenas estojo, computador e folhas em branco (não pode ter caderno),
além de algum alimento e água, se julgar necessário.
• Organize sua resposta de maneira clara e coerente, demonstrando seu racioćınio/cálculos.
• Resolva uma questão por página.
• A resolução da prova deve ser escaneada e entregue pelo e-class (”Entrega de Atividades -
ProvaParcial”) em aquivo único no formato PDF (usando o aplicativo CamScanner, por
exemplo) em até 15 minutos após o final da prova.
• Você é o responsável por garantir que o material escaneado esteja completo e leǵıvel, que as
folhas estejam em pé e ordenadas corretamente.
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Questões:
1. (40 pontos) Nesta questão generalizamos uma função de utilidade Cobb-Douglas para incluir um
comportamento t́ıpico de bens viciantes, como bebida, drogas ou açúcar. Considere a seguinte
função de utilidade:
u(x, y; r) = (x− r)0,5y0,5
em que x é o bem viciante, e r ≥ 0 mede o grau do v́ıcio. Alguém já acostumado a alto consumo
de x, por exemplo, só extrai utilidade do consumo das últimas x− r unidades consumidas. Ainda,
y é a quantidade monetária gasta com os demais bens. A utilidade acima só é definida para x ≥ r
e y ≥ 0 e, caso contrário, pode ser considerada como nula. Considere px como o preço de x, py = 1
e M como sendo a renda do consumidor. Com base nesse modelo, resolva os itens abaixo.
(a) (10 pontos) Esta preferência é bem comportada, ou seja, monotônica e estritamente convexa?
É homotética? Justifique suas respostas.
Solução: Sim, UMgx = y ≥ 0 e UMgy = x − r ≥ 0, logo, a preferência é monotônica.
Além disso, TMS = UmgxUmgy =
y
x−r . Ou seja, a preferência é homotética, já que a TMS
depende da razão de preços e é estritamente convexa, uma vez que a TMS é decrescente,
em módulo.
(b) (5 pontos) Quais são as demandas Marshallianas por x e y? Compare com a solução esperada
caso x não fosse viciante.
Solução: Usando TMS = UmgxUmgy =
y
x−r =
px
1 e a restrição orçamentária chegamos nas
demandas Marshallianas por x e y: x∗ = M2px +
r
2 e y
∗ = M−rpx2 . Como x é viciante, agora
o consumidor acaba consumindo menos de y e deixa de alocar proporções fixas de renda
para os dois bens. Isso porque, quanto maior r, menor é a proporção de gasto em x que,
efetivamente, se transforma em utilidade para o consumidor.
(c) (5 pontos) Calcule a elasticidade-preço da demanda por x. Interprete a elasticidade a partir
de variações de r.
Solução: A elasticidade da demanda é dada por: ex,px =
∂x∗(px,py ,M)
∂px
px
x , logo:
ex,px =
−M
2p2x
px ∗ 2px
M + rpx
=
−M
M + rpx
.
Conforme r aumenta a demanda por x se torna mais inelástica, o que é coerente com
uma situação de v́ıcio. Ainda, a elasticidade deixou de ser unitária - como seria no caso
clássico de uma Cobb-Douglas. Isso porque o aumento de 1% no preço de x agora tem
um efeito percentual na demand por x que depende do ńıvel de v́ıcio em relação à renda.
(d) (5 pontos) Encontre a função que descreve o gasto mı́nimo necessário para que este agente
obtenha utilidade Ū . O que acontece com esta função quando r aumenta? Explique este
resultado.
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Solução: Podemos calcular a utilidade indireta deste consumidor:
V =
√
(M − rpx)
2px
(M − rpx)
2
=
M − rpx
2
√
px
.
A partir da utilidade indireta, com Ū = V e E = M , e isolando E temos:
E(px, py, Ū ; r) = 2Ū
√
px + rpx.
Logo, quanto maior for o ńıvel de v́ıcio deste consumidor, maior será o gasto mı́nimo
necessário para que ele consiga atingir a utilidade Ū . Isso faz sentido, uma vez que,
quanto maior r, menor é a proporção gasta com x que, de fato, contribui para a utilidade
atingida pelo consumidor.
(e) (5 pontos) Qual a expressão da função de demanda compensada (ou Hicksiana) por x?
Solução: Usando o Teorema do Envelope, podemos derivar a função dispêndio acima
em relação a px e encontrar x
c(px, py, Ū), a demanda compensada por x. Logo:
xc(px, py, Ū) =
∂E(px, py, Ū ; r)
∂px
=
Ū
√
px
+ r.
(f) (5 pontos) Considere agora que M = 16, o preço inicial de x é p0x = 1 e, que por conta de
um imposto, passou a ser p1x = 4. Qual a variação compensatória associada a esta mudança
de preços? Como r influencia essa medida?
Solução: Aos preços iniciais, a utilidade atingida é de V0 =
M−r
2 = 8 −
r
2 . Usando a
função dispêndio do item anterior temos que:
E(p1x, py, V0; r) = 32 + 2r
E(p0x, py, V0; r) = 16.
Logo, a variação compensatória é dada por:
E(p1x, py, V0; r)− E(p0x, py, V0; r) = 16 + 2r
Quanto maior o ńıvel de v́ıcio da pessoa, mais renda temos que dar a ela para compensar
por um aumento de preços do bem viciante.
(g) (5 pontos) Considerando os mesmos valores descritos no item anterior, qual o efeito total,
efeito renda e efeito substituição associados a esta mudança de preços? Como r afeta esses
efeitos? (Considere para este item o efeito substituição de Hicks, que mantém a utilidade
inicial do agente como constante.)
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Solução: O efeito total é dado por
ET = x∗(p1x, py,M)− x∗(p0x, py,M) =
M
8
+
r
2
− (M
2
+
r
2
) = 2− 8 = −6.
Para calcular o efeito substituição usamos a utilidade inicial, V0 = 8− r2 , do item anterior.
Assim, o efeito substituição é:
ES = x∗(p1x, py,M)− xC(p1x, py, V0) = 2 +
r
2
− (4 + 3r
4
) = −2− r
4
.
Usando a equação de Slutsky chegamos no efeito renda:
ER = ET − ES = −4 + r
4
.
O efeito total não depende de r, mas os efeitos substituição e renda, sim. Quanto maior
o ńıvel do v́ıcio, menor será a magnitude do efeito substituição. Isso significa que, quanto
mais viciado, menor será a troca que o agente fará de x para y como resposta a um
aumento de px.
2. (20 pontos) Considere que a firma SA possui uma função de produção dada por: f(l, k) = l+ bk,
em que l é a quantidade de trabalhadores, k é a quantidade de capital e b > 1 é uma constante.
Assuma que estamos no longo prazo, ou seja, a firma consegue ajustar os dois fatores de produção.
Responda:
(a) (6 pontos) Se o preço do capital é duas vezes o preço do trabalho (pk = 2pl), qual será a
demanda pelos fatores de produção que minimiza o custo da firma, caso ela queira produzir
q unidades de produto? Qual a função custo da firma? Como podemos comparar o custo
médio e custo marginal neste caso?
Solução:
l(pw, pk, q) = 0 e k(pw, pk, q) = q/b, se b > 2.
l(pw, pk, q) = q e k(pw, pk, q) = 0, se b < 2
l(pw, pk, q) + bk(pw, pk, q) = q, se b = 2
Logo, C(pw, pk, q) = pll(pw, pk, q) + pkk(pw, pk, q) e CMe = Cmg.
(b) (6 pontos) Agora assuma que ambos os preços dobram, ou seja, p′k = 4pl e p
′
l = 2pl, em que
p′k e p
′
l são os novos preços. Qual será a demanda pelos fatores de produção que minimiza
o custo da firma, caso ela queira produzir q unidades de produto? Qual a função custo da
firma?
Solução: A demanda é homogênea de grau zero nos preços, ou seja, não vai se alterar.
Já a função custo será 2 vezes maior.
(c) (8 pontos) Depois da análise da firma SA, você passa a analisar uma outra firma, a firma SB,
que também minimiza custos, mas possui uma função de produção diferente e desconhecida.
A firma SB tem a seguinte demanda pelos fatores de produção:
4
l(pw, pk, q) = 3(pl)
−0.5(pk)
aq,
k(pw, pk, q) = c(pl)0.5(pk)
bq.
Como podemos determinar as constantes a e b? E a constante c? Explique cuidadosamente
sua resposta.
Solução: Como a demanda é homogênea de grau zero nos preços, temos que a = −b =
0.5.
Para determinar c, podemos usar o lema de Shephard:
A função custo pode ser escrita como: C(pw, pk, q) = (pl)
0.5(pk)
0.5q(3 + c)
E sabemos que ∂C(pw,pk,q)∂pl = l(pw, pk, q) =⇒ c = 3.
3. (20 pontos) Considere que o mercado de soja é um ambiente perfeitamente competitivo no curto
prazo, o que implica que os produtores são tomadores de preço - tanto da soja quanto dos insumos
utilizados na produção. Um produtor de soja tem duas fazendas com a mesma função de produção:
qi = k
1/2
i l
1/2
i , em que i = 1, 2. A fazenda 1, no entanto, é mais mecanizada do que a fazenda 2, de
forma que k1 = 16 e k2 = 4. Seja q = q1 + q2 a quantidade total de soja produzida nas 2 fazendas,
responda:
(a) (10 pontos) Se no ponto ótimo tivermos q = 50, qual a quantidade de soja produzida por
cada fazenda (qi)?
Solução: Dado o ńıvel de capital de cada firma, temos: q1 = 4l
1/2
1 e q2 = 2l
1/2
2 . Seja p o
preço da soja e w o salário observado pelo produtor. Como neste caso o custo do capital
é fixo podemos omiti-lo já que não influenciará nos resultados. Desse modo, o lucro de
cada firma é dado por: π1 = pq1 − w
q21
16 e π2 = pq2 − w
q22
4 .
Pela condição de primeira ordem do problema de maximização de lucro teremos: p = 2wq116
e p = 2wq24 . O que nos dá: q1 = 4q2 e, como q1 + q2 = 50, chegamos em q1 = 40 e q2 = 10.
(b) (10 pontos) Ainda considerando q = 50, qual será a alocação de trabalho em cada fazenda
(li)?
Solução: Aqui basta voltar na relação entre quantidade de soja e alocação de trabalho
observada no item anterior e utilizar as quantidades produzidas já calculadas para obter:
l1 =
q21
16 = 100 e l2 =
q22
4 = 25.
4. (20 pontos) Considere uma pequena economia que produza café. A demanda doméstica pelo quilo
desse bem é dada por P = 20−(1/2)Qd, enquanto a oferta doméstica é dada por P = 2+(1/10)Qs.
(a) (5 pontos) Qual o preço de equiĺıbrio e a quantidade de café em uma situação em que esta
economia esteja fechada?
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Solução: Basta usar as funções de oferta e demanda: 20 − (1/2)Q = 2 + (1/10)Q =⇒
Q = 30 quilos. Logo o preço será P = 5.
(b) (7,5 pontos) Suponha que o preço do mundial do quilo do café seja R$8, 00, e a economia
em questão se abra ao comércio internacional. Qual o efeito da abertura comercial sobre o
excedente do consumidor?
Solução: Quando a economia era fechada, o excedente do consumidor e do produtor
eram dados por:
CSc = 0, 5 ∗ [(20− 5) ∗ 30] = 225
Com a economia aberta, ao preço de 8, 00 (já que a economia doméstica é pequena e será
tomada de preços do mercado internacional) a demanda será igual a 24 quilos de café,
logo:
CSo = 0, 5 ∗ [(20− 8) ∗ 24 = 144
Portanto ∆CS = 144− 225 = −81.
(c) (5 pontos) Suponha agora, que, no momento da abertura, o preço mundial do café seja de R$
2,50 o quilo. Qual o impacto, sobre o excedente do consumidor, de uma abertura econômica
considerando este preço mundial?
Solução: Do item anterior, sabemos que CSc = 225. Com P = 2, 50, a demanda interna
será de 35 quilos de café. Então agora:
CSo = 0, 5 ∗ [(20− 2, 5)] ∗ 35 = 306, 25
Portando, ∆CS = 306, 25− 225 = 81, 25
(d) (2,5 pontos) De forma sucinta, discuta as consequências distributivas (quem ganha e quem
perde) associadas à abertura comercial.
Solução: Aqui basta eles notarem que, quando a abertura comercial ocorre com o preço
internacional maior que preço doméstico, os consumidores serão prejudicados por se de-
pararem com um preço maior, enquanto os produtores serão beneficiados, pois irão ex-
portar sua produção. Porém se a abertura ocorrer com preço mundial menor que o preço
doméstico, então a economia irá importar o bem, os consumidores irão se beneficiar,
porém os produtores estarão em situação pior do que com a economia fechada.
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