exerc02mv

Prévia do material em texto

Exercícios da Aula 8 
 
8.1 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos 
trilhos por uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante de 
amortecimento é 20 kN.s/m determinar: 
(a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e 
(b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo. 
 
(a) deslocamento máximo 
rad/s 8199,25
106
104
4
7




m
k
n
 
 
3
4
4
1045497,6
8199,251062
102
2




n
m
c

 
 
  rad/s 8194,258199,251045497,611 232  
nd
 
 
Com x0 = 0 e v0 = 20 m/s 
 
m 774612,0
8194,25
20
02
0
2
00 






 

dd
n
v
x
xv
X


 
 
  rad 
2
tantan 1
0
001 


 





 
 
d
n
x
xv
 
 
    m 
2
8194,25cos774612,0cos 166667,0 





 
  tetXetx t
d
tn 
 
          teteXtx
d
t
dd
t
n
nn sincos 
 
  0
0
 txx
máx
 
 
    0sincos
00
  tt
dddn
 
 
 
 
 
22
0
0
0
11
tan
cos
sin















n
n
d
n
d
d
d t
t
t
 
 
s 06059,0
200645497,01
00645497,0
tan
8194,25
1
1
tan
1
2
1
2
1
0






































 





d
t 
 
  m 7668,0
2
0605878,08194,25cos774612,0 0605878,0166667,0
0






 

etx 
(b) tempo 
 
s 06059,0
0
t 
 
 
8.2 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos 
sua amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator 
de amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento 
for removido? 
 
0460517,0
1,0
ln
50
1
ln
1
1
1
1
1 

















x
x
x
x
m
m
 
 
   
00732916,0
0460517,02
0460517,0
2 2
222







 
s 2,0
5
1

d
T 
 
Sem amortecimento 
 
s 199995,0
5
00732916,0111
22





dn
n
ff
T

 
 
O percentual de redução é de 0,000268586 %. 
 
 
 
8.3 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento 
crítico de 20 N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial 
de 1 m/s, determinar o deslocamento máximo do mesmo. 
 
Fator de amortecimento 
 
   
303314,0
0,22
0,2
2 2
222







 
 
 
A constante de amortecimento crítico permite determinar a massa do sistema 
 
02,0
50004
20
42
2
22



k
c
m
m
c
m
k
mc cc
nc
 kg 
 
Então 
 
500
02,02
20



n
 rad/s e 445,476500303314,011 22 
nd
 rad/s 
 
A expressão para o movimento é 
 
      tXetx
d
tn cos 
com m 00209888,0
445,476
10 
d
v
X

 e rad 
20
1
tantan 1
0
01 

 













 
n
x
v
 
 
O deslocamento máximo ocorre quando a velocidade se anula 
 
      0sincos
111
11 
   tXetXetx
d
t
cd
t
n
nn 
    00265010,0
1
tan
2
1
sincos0
2
1
111



















 




d
dcdn
ttt s 
 
O deslocamento máximo será o deslocamento no tempo t1 
 
  m 00133809,0
2
00265010,0447,476cos00209888,0 00265010,0500303314,0 





 

ex
máx
 
 
 
8.4 Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero 
com rigidez k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento 
logarítmico, é  = 0,20. Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de 
liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) A freqüência natural. 
(b) A freqüência da vibração livre amortecida. 
(c) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de 
vibração de 1,7 mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta. 
 
(a) Freqüência natural 
 
rad/s 7053,79
4,3
54004



m
k
n
 
 
(b) Freqüência da vibração livre amortecida 
 
rad/s 0950,787053,792,011 22 
nd
 
 
(c) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta 
 
X
v x
x
n
n










 
0 0
2
2
0
2
1

 
 
 
Explicitando para v0 
 
 
0
2
0
2
0
xxXv
nd
  
 
Com m 1027083,2
54004
81,95,0 41
0




k
gm
x e a nova freqüência natural igual a 
 
rad/s 4208,74
5,04,3
54004




n
 e 
 
rad/s 9172,724208,742,01 2 
d
 
 
a velocidade inicial resulta 
 
    m/s 126228,0000227083,04208,742,0000227083,00017,09172,72 22
0
v 
 
 
8.5 Um voltímetro mostrado na Fig. 1 possui um ponteiro de alumínio ( = 2700 kg/m3) de comprimento 
l = 50 mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de rigidez 
rotacional k = 100 N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio 
r = 8 mm. Durante uma medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem é desligada, 
determinar o tempo requerido para o ponteiro retornar à indicação de 1 volt. 
 
 
Figura 1 
 
Massa 
 
kg 1005,405,0001,0003,02700 4 btLm 
 
 
Equação do movimento 
 
0
33
0
3
22
2
2
2






mL
k
Lm
rc
kcr
mL
Jrcrk
t
t
t



 
 
Freqüência natural 
 
rad/s 331,544
05,01005,4
1,033
242




mL
k
t
n
 
 
Equação do movimento com amortecimento crítico 
 
     t
n
nett
 
000

 
 
Com 
rad 80
0
K
 e 
0
0

 
 
    t
n
netKt
  180
 
 
Para 
  rad 1
1
Kt 
 
 
    1
11
1801
t
n
netKKt
 
 
 
De onde 
 
s 0117225,0
1
t
 
 
8.6 Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro 
(massa desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante 
de amortecimento requerida para produzir amortecimento crítico. 
 
 
Figura 2 
 
Equação do movimento 
 
 
0
4
33
34
2
2
2
22








m
dg
Lm
lc
Lm
Lg
d
Lllc


 
 
Freqüência natural 
 
rad/s 50,21
5,04
1,081,910003
4
3 22






m
dg
n
 
 
Amortecimento crítico 
 
2
2
2
2
3
2
2
3
l
Lm
c
Lm
lc
n
cn

  
 
N.s/m 0,258
07,03
50,2142,05,02
2
2




c
c