Teoria de Conjuntos

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Teoria de Conjuntos
Profa. Me. Isabella Duarte
6 de agosto de 2020
1 Conjuntos
Intuitivamente, por conjunto entenderemos qualquer coleção definida de objetos
distinguíveis, não importando sua natureza. Os objetos que constituem um conjunto são
chamados de elementos do conjunto.
Exemplo 1. Alguns conjuntos.
a) Um alfabeto é um conjunto de letras e cada letra é um elemento.
b) No conjunto das vogais do alfabeto, cada vogal é um elemento.
c) Os alunos de uma disciplina formam um conjunto.
d) Uma reta pode ser considerada um conjunto, onde cada ponto da reta é um elemento.
Costumamos denotar conjuntos usando letras maiúsculas (geralmente, letras sig-
nificativas) e seus elementos por letras minúsculas. Delimitamos um conjunto escrevendo
seus elementos entre chaves, { }.
Exemplo 2. Escrevendo conjuntos:
a) O conjunto A cujos elementos são a, b e c será representado por
A = {a, b, c}
b) O conjunto das letras da palavra MATEMÁTICA:
L = {m, a, t, e, i, c}
c) O conjunto dos meses do ano que possuem 30 dias:
M = {Abril, Junho, Setembro, Novembro}
.
1
1.1 Relação de pertinência
Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A, escrevemos
x ∈ A,
ou A 3 x e lê-se: A contém x.
Caso x não seja um elemento de A, dizemos que x não pertence a A e indicamos
por
x /∈ A.
Por exemplo, considerando B = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto, vemos que 1 ∈ B,
4 ∈ B mas, 6 /∈ B.
Observação 3. Quando dizemos que x é um elemento arbitrário ou elemento ge-
nérico de um conjunto A, significa dizer que x representa qualquer um dos elementos de
A. Por exemplo, se A = {a, b, c, d} e tomamos um elemento x arbitrário de A, x pode ser
a, b, c ou d.
Esses termos são bastante usados em demonstrações.
1.2 Determinando um conjunto
Basicamente, existem duas maneiras de determinar um conjunto. São elas:
(i) Listando seus elementos.
Por exemplo, N = {1, 2, 3, 4, 5} é o conjunto dos cinco primeiros números naturais.
Neste tipo de representação, a ordem dos elementos é indiferente, e cada elemento
deve figurar apenas uma vez na discrição do conjunto. De modo que {1, 3, 5, 2, 4},
{5, 4, 3, 2, 1}, {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5} e {1, 2, 3, 4, 5} são todos representa-
ções do mesmo conjunto, N , porém apenas a última é a forma padrão de escrevê-lo.
(ii) Enunciando uma propriedade comum aos elementos.
A intenção é descrever os elementos por uma propriedade p(x) satisfeita por todos
os elementos, x, do conjunto e que seja satisfeita somente por eles.
De modo geral:
A = {x ∈ U ; p(x)} ou A = {x ; x ∈ U e p(x)}.
Por exemplo, D = {n ∈ N ; 1 ≤ n ≤ 10} comporta todos os números naturais
que são maiores ou iguais a 1 e, ao mesmo tempo, menores ou iguais a 10. Caso
desejemos representar D da forma exibida em (i), basta que listemos cada um desses
elementos. Assim,
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
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Na Matemática, é muito comum representarmos os conjuntos como em (ii), pois,
na maioria das vezes, trabalhamos com conjuntos que possuem muitos elementos, princi-
palmente com conjuntos de infinitos elementos.
Exemplo 4. Represente de duas maneiras diferentes (como em (i) ou (ii)) o conjunto
dos números naturais pares.
Solução:
P = {p ∈ N ; p = 2n com n ∈ N} ou P = {2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...}.
2 Alguns conjuntos especiais
Existem alguns tipos de conjuntos, com caraterísticas específicas, que aparecem
com frequência na literatura matemática. São eles:
2.1 Conjunto vazio
É chamado de conjunto vazio aquele que não possui elementos, ou equivalente-
mente, o conjunto de todos elementos que satisfazem uma condição impossível.
Notação: { } ou ∅.
Exemplo 5. Determine o conjunto M dos meses do ano que possuem 32 dias.
Solução: M = ∅, pois não existe qualquer mês com essa quantidade de dias.
Parece um conjunto desnecessário, mas com ele é possível demonstrar muitos
resultados na matemática, muitos teoremas.
2.2 Conjunto unitário
O conjunto unitário é todo conjunto que é constituído de um único elemento.
Por exemplo, o conjunto A = {a} é unitário. Assim como o conjunto E, dos
estados brasileiros que começam com a letra B, é unitário,
E = {Bahia}.
2.3 Conjunto universo
O conjunto universo, geralmente denotado por U , refere-se ao conjunto que
contém todos os elementos que podem ser considerados no estudo ou discussão de uma
teoria, (conjunto de todas as opções possíveis.)
Por exemplo, na discussão sobre o ato de jogar uma moeda e analisar a face do
objeto que tiver caído para cima, o conjunto universo, aquele que consiste de todos os
possíveis resultados, é
3
U = {cara, coroa}.
Se a discussão fosse sobre o arremesso de uma dado ao invés da moeda, teríamos
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
No conjunto A = {x ∈ C ; x2 + 1 = 0}, o conjunto universo é C, pois está
indicado na primeira parte da discrição do conjunto. Aqui, buscamos dentre os números
complexos (nosso conjunto universo), aqueles que satisfazem a equação x2 + 1 = 0.
Se estamos resolvendo um problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso
conjunto universo é Z (conjunto dos números inteiros).
Considerar o conjunto universo no qual estamos trabalhando, é importante, quase
sempre a resposta para algumas questões depende do universo U em do contexto da
questão.
2.4 Conjuntos numéricos
- N _ o conjunto dos números naturais.
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }
- Z _ o conjunto dos números inteiros.
Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
- Q _ o conjunto dos números racionais.
Q = {x = a
b
, com a, b ∈ Z, b 6= 0 e mdc(a, b) = 1}.
- R−Q _ o conjunto dos números irracionais.
Este conjunto contempla todos os números reais que não podem ser escritos como
frações irredutíveis, como os números decimais infinitos e não-periódicos. Os núme-
ros π, e, as raízes quadradas não exatas... são exemplos de números irracionais.
- R _ o conjunto dos números reais.
O conjunto dos números reais é constituído por todos os números vistos acima.
- C _ o conjunto dos números complexos.
C = {z = a+ bi, onde a, b ∈ R e i =
√
−1}.
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2.4.1 Intervalos
O conjunto dos números reais pode ser representado por uma reta, a reta numé-
rica ou reta real. Cada ponto da reta representa um número e cada número é indicado
por um único ponto na reta, ou seja, é uma relação biunívoca.
Na reta real, os números estão ordenados. Um número a é menor que qualquer
número x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua esquerda.
Figura 1: Reta numérica
Cada "pedaço"contínuo da reta numérica (sem lacunas) é chamado de intervalo.
Definição 6. Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:
a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto
(a, b) = {x ∈ R ; a < x < b}.
b) intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto
[a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b}.
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto
[a, b) = {x ∈ R ; a ≤ x < b}.
d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto
(a, b] = {x ∈ R ; a < x ≤ b}.
Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e
extremo superior do intervalo.
Também consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos"assim definidos:
• (−∞, a) = {x ∈ R ; x < a}.
• (−∞, a] = {x ∈ R ; x ≤ a}.
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• (a,+∞) = {x ∈ R ; x > a}.
• [a,+∞) = {x ∈ R ; x ≥ a}.
A representação gráfica ou geométrica dos intervalos, definidos acima, é da se-
guinte forma:
Figura 2: Representação gráfica dos intervalos
2.5 Relação de inclusão
Definição 7. Dizemos que um conjunto A está contido em um conjunto B se, e somente
se, qualquer elemento de A é também um elemento de B.
Nessas condições, dizemos que A é um subconjunto de B.
Para indicar que A está contido em B, usamos a seguinte notação: A ⊂ B. Ou
ainda, B ⊃ A, lê-se: B contém A. Em símbolos:
A ⊂ B ⇒ (∀x) x ∈ A→ x ∈ B.
Dado um conjunto, podemos determinar seus subconjuntos. Por exemplo, o con-
junto B = {1, 3, 5, 7} possui como subconjuntos:
A1 = {1}, A2 = {5}, A3 = {1, 7}, A4 = {3, 5, 7}, entre outros.
Pergunta: A5 = {1, 2, 3, 5} é subconjunto de B?
A negação de A ⊂ B,é indicada por A 6⊂ B, nos diz que pelo menos um elemento
de A não pertence a B. Em símbolos,
A 6⊂ B ⇒ (∃x) x ∈ A e x /∈ B.
Exemplo 8. Analisemos a relação entre os conjuntos dados.
6
a) {a, b} ⊂ {a, b, c}.
b) {1, 2, 3, 5} 6⊂ {1, 3, 5, 7}.
c) {x ∈ N ; x > 6} 6⊂ {x ∈ N ; x > 4}.
d) {2, 4, 6, 8, ...} ⊂ N.
e) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
f) Q 6⊂ R−Q
Pergunta: É possível que aconteça simultaneamente A ⊂ B e B ⊂ A?
Definição 9. Sejam A e B dois conjuntos. Se A ⊂ B e B ⊂ A dizemos que A é igual
a B e indicamos por A = B.
Em símbolos:
A = B ⇔ (∀x) x ∈ A↔ x ∈ B
Se ocorre o caso de A ser subconjunto de B, podendo ser o próprio B, denotamos
por A ⊆ B. E, quando A ⊂ B e queremos deixar claro que A = B não ocorre, ou seja,
que A é um subconjunto próprio de B, escrevemos A B.
2.5.1 Família de Conjuntos
Uma coleção F de subconjuntos de um determinado conjunto S é chamada de
uma família de subconjuntos de S, ou uma família de conjuntos sobre S. Mais
geralmente, uma família de conjuntos é um conjunto de conjuntos.
Exemplo 10. Se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, então podemos dizer que
F = {{2, 3}, {2}, {5, 6, 7}}
é uma família de subconjuntos de S, cujos elementos são {2, 3}, {2} e {5, 6, 7}.
Uma família de conjuntos interessante e que aparece com frequência é o conjunto
das partes.
Definição 11. Seja A um conjunto. O conjunto das partes de A, representado por
P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Em símbolos,
P(A) = {X ; X ⊂ A}.
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Exemplo 12. Se A = {a, b, c}, o conjunto das partes de A, P(A), é dado por
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.
Observação 13. Seja A um conjunto com n elementos, n um número inteiro positivo.
A quantidade total de subconjuntos de A é dado por 2n.
Caso queiramos determinar a quantidade de subconjuntos de A que possuem p
elementos, com p um número inteiro positivo, basta que encontremos o número de todas
as combinações simples possíveis tomando os elementos p a p. Isto é,
Cn,p =
n!
p!(n− p)!
Assim, a quantidade de subconjuntos de A = {a, b, c} que possuem 2 elementos é
C3,2 =
3!
2!(3− 2)!
=
3 · 2!
2!1!
=
3
1!
= 3,
onde n = 3 e p = 2. Podemos verificar essa informação observando o Exemplo 12.
2.5.2 Propriedades da inclusão
Sejam A,B e C conjuntos arbitrários. Valem as seguintes propriedades:
(P1) ∅ ⊂ A;
(P2) Reflexiva: A ⊂ A
(P3) Antissimétrica: Se A ⊂ B e B ⊂ A então A = B;
(P4) Transitiva: Se A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C.
2.6 Diagrama de Venn
O diagrama de Venn, também conhecido como diagrama de Venn-Euler,
é uma maneira de representar graficamente um conjunto. Costuma-se utilizar uma linha
fechada que não possui autointersecção e representar os elementos do conjunto no interior
dessa linha.
A ideia do diagrama é facilitar o entendimento nas operações básicas de con-
juntos, como: relação inclusão e pertinência, união e interseção, diferença e conjunto
complementar (essas últimas veremos na próxima seção).
8
Figura 3: Digrama de Venn para o conjunto A
Na Figura 3 vemos a disposição do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} pelo diagrama
de Venn.
O uso de diagramas nos ajudará a solucionar problemas matemáticos que envol-
vem operações entre dois ou mais conjuntos.
3 Operações entre conjuntos
Podemos formar um conjunto a partir de dois ou mais conjuntos dados. Basta que
realizemos qualquer das operações: união, interseção, diferença, complemento (absoluto
ou relativo) e produto cartesiano. Vejamos cada uma delas.
3.1 União
Definição 14. Sejam A e B dois conjuntos. A união ou reunião entre A e B, denotada
por A∪B, é dada pelo conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Isto
é, os elementos de A ∪B pertencem a pelo menos um dos conjuntos iniciais.
Em símbolos,
A ∪B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}.
Utilizando diagramas de Venn, a união é representada da seguinte forma:
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Figura 4: Digrama de Venn para a união de conjuntos
Algumas outras formas de visualizar a união de conjuntos por meio de diagramas
se dá por:
Figura 5: a) Se A e B não possuem elementos em comum b) Se B ⊂ A.
Exemplo 15. Algumas uniões entre conjuntos:
a) {1, 2, 3} ∪ {5, 7, 9} = {1, 2, 3, 5, 7, 9}
b) {1, 2, 3} ∪ ∅ = {1, 2, 3}
c) {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 7} = {1, 2, 3, 7}
d) N ∪ Z = Z
e) (2, 7) ∪ [3, 10] = (2, 10]
f) (−∞,−3) ∪ (−5, 0] = (−∞, 0]
3.1.1 Propriedades da união
Sejam A,B e C conjuntos arbitrários. Valem as seguintes propriedades:
(P1) Reflexiva/Idempotente: A ∪ A = A;
(P2) Elemento neutro: A ∪ ∅ = A;
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(P3) Comutativa: A ∪B = B ∪ A;
(P4) Associativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.
3.2 Interseção
Definição 16. Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A e a B simultaneamente.
Em símbolos:
A ∩B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}.
Pelo diagrama de Venn, podemos encontrar a interseção como um dos seguintes
casos:
Figura 6: Digrama de Venn para a interseção entre conjuntos
Figura 7: a) Interseção quando B ⊂ A b) Interseção quando A ∩B = ∅
Quando A ∩ B = ∅, como na Figura 7-(b), dizemos que A e B são conjuntos
disjuntos.
Exemplo 17. Analisemos a interseção entre os conjuntos dados:
a) {1, 2, 3} ∩ {5, 7, 9} = ∅;
b) {1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅
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c) {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 7} = {2, 3}
d) N ∩ Z = N
e) (2, 7) ∩ [3, 10] = [3, 7)
f) (−∞,−3) ∩ (−5, 0] = (−5,−3)
3.2.1 Propriedades da interseção
Sejam A,B e C conjuntos arbitrários. Valem as seguintes propriedades:
(P1) Reflexiva/Idempotente: A ∩ A = A
(P2) Se B ⊂ A então A ∩B = B;
(P3) Elemento neutro: A ∩ U = A, onde U é o conjunto universo;
(P4) Comutativa: A ∩B = B ∩ A;
(P5) Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.
3.3 Diferença
Definição 18. Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto
formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Em símbolos:
A−B = {x ; x ∈ A e x /∈ B}.
Representando graficamente, temos que a diferença A−B é dada por:
Figura 8: Digrama de Venn para a diferença A−B
Outras possibilidades são:
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Figura 9: Digrama de Venn para entre conjuntos
Seguindo a respectiva ordem, a Figura 9 representa:
• A−B quando B ⊂ A;
• A−B quando A e B são disjuntos;
• B − A quando B ⊂ A.
Exemplo 19. Analise a diferença entre os conjuntos dados.
a) {1, 2, 3, 4} − {2, 4} = {1, 3}
b) {a, b, c} − {b, c, d, e} = {a};
c) {a, b} − {c, d, e, f} = {a, b}
d) {1, 2, 3} − {1, 2, 3, 4, 5, 6} = ∅
e) Z− N = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0}
f) (2, 7)− [3, 10] = (2, 3)
g) [3, 10]− (2, 7) = [7, 10]
h) (−∞,−3)− (−5, 0] = (−∞,−5)
3.3.1 Diferença simétrica
Definição 20. A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, denotada por A∆B,
é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não
pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
Em símbolos:
A∆B = (A ∪B)− (A ∩B),
ou ainda,
A∆B = {x ; x ∈ (A ∪B) e x /∈ (A ∩B)}.
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Geometricamente, temos a seguinte situação:
Figura 10: Diferença simétrica entre dois conjuntos
Exemplo 21. Sejam A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A dife-
rença simétrica entre A e B, A∆B é dada por
A∆B = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14}.
3.4 Complementar de um conjunto
3.4.1 Complementar relativo
Definição 22. Dados dois conjuntos A e B, tais que A ⊂ B, o conjunto B−A chama-se
complementar relativo de A em relação a B, ou apenas complementar de A em B.
Isto é, o conjunto dos elementos de B que não pertencem a A.
Denotamos o complementar relativo de A em B por
{AB = B − A.
Figura 11: Digrama de Venn para o complementar de um conjunto em relação a outro
14
Exemplo 23. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
O complementar de A em relação a B é:
{AB = B − A = {6, 7, 8}.
Perceba que {BA não está definido, pois B 6⊂ A.
Exemplo 24. Determine {AB para:
a) A = (2, 7) e B = [1, 9).
Solução: {AB = [1, 2] ∪ [7, 9).
b) A = [4,+∞) e B = R.
Solução: {AB = (−∞, 4).
3.4.2 Complemento Absoluto
Considere A um subconjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os ele-
mentos que não estão em A estão no complementar de A, A{.
Em símbolos:
A{ = U − A = {x ; x ∈ U e x /∈ A}.
Repareque a determinação do conjunto complementar, depende do conjunto
universo.
Exemplo 25. Seja A = {2, 4, 6, 8, . . . }. Dê o complementar absoluto de A quando
a) U = N.
Solução: N− A = {1, 3, 5, 7, 9, . . . }
b) U = Z.
Solução: Z− A = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 3, 5, 7, 9, . . . 2n− 1, . . . }
3.4.3 Propriedades da Complementação
Sejam A e B subconjuntos de E. Valem as seguintes propriedades:
(P1) A{ ∩ A = ∅ e A{ ∪ A = E;
(P2) E{ = ∅ e ∅{ = E;
(P3) (A{){ = A (o complementar em relação a E do complementar de A em relação a E
é o próprio A).
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(P4) Leis de De Morgan:
a) O complementar da reunião de conjuntos é a interseção dos complementares
desses conjuntos.
(A ∪B){ = A{ ∩B{
b) O complementar da interseção de conjuntos é a reunião dos complementares
desses conjuntos.
(A ∩B){ = A{ ∪B{
3.5 Produto Cartesiano
Definição 26. Ddos dois conjuntos A e B não vazios, denominamos produto cartesiano
de A e B, A×B, o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), onde x ∈ A e y ∈ B.
Notação:
A×B = {(x, y) ; x ∈ A e y ∈ B},
e lê-se: A cartesiano B.
Exemplo 27. Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}. Determine A×B e B × A.
Solução:
i) A×B = {(x, y) ; x ∈ A e y ∈ B} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}.
ii) B × A = {(x, y) ; x ∈ B e y ∈ A} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}.
Geometricamente, os produtos cartesianos dados em (i) e (ii) são representados,
respectivamente, por:
Figura 12: Produto Cartesiano
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Perceba que A × B 6= B × A, logo, não vale a comutatividade para o produto
cartesiano entre conjuntos.
Observação 28. Quando o produto cartesiano envolve apenas um conjunto, A × A
costuma-se denotar por A2; A× A× A denota-se por A3; e assim sucessivamente.
São produtos cartesianos conhecidos na matemática: R2,R3, . . . ,Rn.
Exemplo 29. Dados A = [1, 3] e B = [1, 5]. Determine algebricamente e geometrica-
mente A×B e B × A.
Solução:
(i) A×B = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [1, 3] e y ∈ [1, 5]}.
(ii) B × A = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [1, 5] e y ∈ [1, 3]}.
Geometricamente, temos a representação de A×B e B × A, respectivamente:
Figura 13: Produto Cartesiano
4 O diagrama de Venn para resolução de problemas
matemáticos.
O diagrama de Venn costuma ser usado como método para organizar informações
e dados recolhidos de pesquisas quantitativas.
Imagine uma pesquisa feita com 100 pessoas sobre a preferência pelas ciências
exatas e humanas. Temos que o conjunto universo é o grupo de 100 pessoas, o todo.
Digamos que 25 pessoas se interessam por ambas as ciências, 30 pessoas gostam só de
exatas e 35 só de humanas. Teria como determinar o número de pessoas que reponderam
não gostar de qualquer dessas ciências?
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A resolução desse problema se tornará mais fácil se utilizarmos os diagramas de
Venn. Tomemos como conjunto E o das pessoas que responderam que preferem Exatas
e por H o conjunto das pessoas que preferem Humanas. Distribuindo as informações no
diagrama, temos
Figura 14: Diagrama de Venn para E e H.
onde x representa a quantidade de pessoas que não optou por qualquer das ciên-
cias citadas.
Logo, 30 + 25 + 35 + x = 100, de onde segue que x = 10.
Vejamos outro exemplos mais interessantes para verificar a eficiência dos diagra-
mas de Venn.
Exemplo 30. Numa academia de ginástica, 120 frequentadores praticam natação ou mus-
culação. Sabe-se que 72 praticam natação e 56 praticam musculação. Desse modo, qual
a quantidade total de frequentadores que praticam somente natação?
Solução: Tomando por N o conjunto de praticantes de natação e por M o dos
praticantes de musculação e x o número de pessoas que praticam ambos os esportes, temos:
Figura 15: Diagrama de Venn para N e M .
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Assim, (72 − x) + x + (56 − x) + 0 = 120. De onde segue que x = 8. Como
queremos o número de praticantes apenas de natação, basta que calculemos 72 − 8 = 64
pessoas.
Exemplo 31. Um curso possui 50 estudantes, dos quais 13 estudam física, 30 estudam
matemática, 8 estudam química. Além disso, 5 alunos estudam matemática; 3 estudam
matemática e química; 2 estudam química e física e 2 estudam as três matérias. Quantos
alunos desse curso não estudam essas disciplinas?
Solução: Comecemos a distribuir os alunos nas interseções dos conjuntos M , F e
Q que representam, respectivamente, a quantidade de alunos da matemática, da física e da
química. Assim, tomando por x a quantidade de alunos que não cursam essas disciplinas,
temos:
Figura 16: Diagrama de Venn para M , Q e F .
Exemplo 32. Uma empresa com 1000 funcionários tem disponível para uso quatro nave-
gadores de internet: Firefox, Chrome, Edge e Opera. O número de pessoas que usa cada
navegador está representado na tabela abaixo:
Navegadores Chrome Firefox Edge Opera
Quantidade de usuários 370 320 210 170
Sabe-se que:
• O número de usuários que usam exatamente 2 navegadores para cada dupla dispo-
nível é 10.
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• Há 40 pessoas que usam exatamente 3 navegadores, para cada trio disponível.
• Há 20 funcionários que usam todos os quatro navegadores.
Responda:
a) Quantos funcionários usam somente 1 navegador?
b) Quantos funcionários usam exatamente 2 navegadores?
c) Quantos funcionários não usam navegador algum?
Solução: Comecemos a distribuir os usuários de acordo com as interseções dos
conjuntos C, F , E e O, (dispostos de acordo com as iniciais de cada navegador), pela
interseção dos 4, depois de 3 a 3, depois de 2 a 2 navegadores. Da seguinte forma:
Figura 17: Diagrama de Venn para C, F , E e O.
Agora, com as informações da tabela, escrevamos quantos usuários utilizam ape-
nas um de cada um dos navegadores:
20
Figura 18: Diagrama de Venn para C, F , E e O.
Por fim, analisando o diagrama, podemos responder aos itens solicitados:
(a) 200 + 150 + 40 + 0 = 390 pessoas usam apenas um navegador.
(b) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 pessoas usam exatamente dois navegadores.
(c) 1000 − 370 − 150 − 10 − 40 − 40 − 10 − 10 = 1000 − 360 = 370 pessoas não usam
navegador algum.
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