Nota de aula_Capitulo 2 (Parte 5)

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Andréa Regina Dias da Silva DECIV|EM|UFOP CIV209|Teoria das Estruturas II 
 
 
2.5 SISTEMA PRINCIPAL PARA PÓRTICOS COM CICLO FECHADO 
Para exemplificar a definição de um Sistema Principal para um pórtico com ciclo fechado 
será adotada uma estrutura isostática externamente, de forma que a liberação de vínculos 
internos de continuidade seja necessária. Considere então o pórtico ilustrado na Figura 2.19a. 
O grau de hiperestaticidade dessa estrutura é igual a 3. Portanto, três vínculos internos 
devem ser liberados para a definição do Sistema Principal. 
Duas possibilidades podem ser adotadas. Todas elas com o objetivo único de abrir o ciclo 
que gera a hiperestaticidade da estrutura. A primeira opção é ilustrada na Figura 2.19b onde 
o anel é aberto seccionando-o em uma seção transversal S. Esse corte significa que os 
deslocamentos axial e transversal relativos, e a rotação relativa da seção foram liberados. 
Portanto, os esforços internos ou esforços de ligação (normal, cortante e momento fletor) são 
os hiperestáticos. 
 
 
 
(a) Quadro com anel fechado (b) Corte da seção transversal S 
Figura 2.19. Sistema Principal definido por corte de uma seção transversal 
 
A outra opção está ilustrada na Figura 2.20a e 2.20b. Consiste na disposição de três rótulas 
não alinhadas formando um triarticulado. Nessa situação há necessidade da decomposição 
do quadro em quadros isostáticos simples. Essa decomposição se dá nos pontos onde há 
rótulas conforme ilustram as Figura 2.20c e 2.20d. Nesses casos os hiperestáticos são os 
momentos fletores nas seções onde as rótulas foram introduzidas. Em cada caso básico as 
rotações relativas entre as seções adjacentes à rótula associada ao hiperestático Xi devem ser 
calculadas. Na maioria das aplicações essa opção para definição do SP é mais viável, conforme 
será visto durante o curso. 
 
S
X1
X1
X2
X2
X3 X3
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(a) Opção 1 (b) Opção 2 
 
(c) Separação em quadros simples na Opção 1 (d) Separação em quadros simples na Opção 2 
Figura 2.20. Sistema Principal definido com a introdução de rótulas 
 
2.6 ANÁLISE DE UM PÓRTICO COMPOSTO (Sala de Aula) 
A Figura 2.21 a seguir ilustra o pórtico composto a ser resolvido através do Método das 
Forças. Considere EI constante e despreze a contribuição da energia de deformação para os 
efeitos axial e cisalhante no cálculo dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade. A 
configuração deformada do pórtico está também representada. 
 
 
Figura 2.21. Pórtico composto: geometria, carregamento e configuração deformada 
X3
X3X2
X2
X1
X1
X3
X3
X2X2
X1
X1
X3X2
X2
X1
X1
X3
X3X1
X3
X2X2
X1
2 
k
N
/
m
4 m
AB
C D
6
m
4 m
E
F
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O grau de hiperestaticidade, usando a Equação 2.1 e a particularização para pórticos, é: 
�
ciclo fechado
reações 
(3 1) 1 3 3 2(2 1)
2
rótulas
g NI NE
+ + × + −   = − = − =     
��� ����� . 
Para definir uma estrutura isostática, deve-se eliminar dois vínculos, liberando para isso dois 
graus de liberdade. A ideia inicial é tentar abrir o ciclo fechado. Veja que a solução de 
seccionar o ciclo em algum ponto não é possível. Então a solução é, por exemplo, ter nesse 
ciclo três rótulas não alinhadas que formarão um triarticulado. Pensando assim, será 
introduzida uma rótula à esquerda da seção D, deixando livre a rotação dessa seção como 
mostra a Figura 2.22 a seguir. Um triarticulado ABCD é então formado. O outro grau de 
liberdade a ser liberado é a rotação da seção F cuja restrição é imposta por um vínculo 
externo (apoio). 
Observe ainda na Figura 2.22a que os hiperestáticos estão representados. São momentos 
associados às rotações liberadas. O Hiperestático X1 é um esforço interno e refere-se ao 
momento fletor na seção D à esquerda (barra CD), e está associado à continuidade de rotação 
nessa seção. Já X2 é a reação momento fletor na seção F. Um observador é posicionado no 
interior de cada um dos quadros de forma a auxiliar na definição do sinal do diagrama caso 
ache necessário. 
 
(a) Sistema Principal (b) Quadros simples 
Figura 2.22. Sistema Principal usado na Solução 2 e Hiperestáticos. 
AB
C D E
F
D
X1
X2
X1
AB
C
D
X1
A F
X2
X1
D E
apoios fictícios
(I)
(II)
observador
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Com o Sistema Principal definido, passa-se à análise das soluções básicas. Em cada uma 
delas, objetiva-se obter a rotação relativa das seções adjacentes à rótula imediatamente à 
esquerda de D, e a rotação absoluta da seção F. No Caso 0, tais rotações são denotadas como 
termos de carga, e nos demais casos, como coeficientes de flexibilidade. A representação 
gráfica desses parâmetros não será feita aqui. 
As Figuras 2.23, 2.24 e 2.25 ilustram as reações de apoio e o momento fletor para os casos 
0, 1 e 2, respectivamente. Cabe relembrar que, durante o cálculo, as reações nos apoios 
fictícios A e D do Quadro (I) devem ser transferidas para as mesmas seções do Quadro (II) 
antes que esse seja resolvido. 
 
 
(a) Momento fletor, M0, para o Quadro I 
(valores em kNm) 
(b) Momento fletor, M0, para o Quadro II 
(valores em kNm) 
Figura 2.23. Caso 0: Solicitação externa isolada no Sistema Principal 
O cálculo dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade é apresentado a seguir. 
Ressalta-se novamente que o Princípio das Forças Virtuais é aplicado, e faz-se uso da Tabela 
1 do Apêndice A. 
1 0
10
1 541 1
6 9 1 6 36 1
3 3
rad
estrutura
M M
dx
EI EI EI
    δ = = + = −+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅        
 
2 0
20
1 3361 1 1
4 36 1 4 72 1 6 72 1
6 3 2
rad
estrutura
M M
dx
EI EI EI
    δ = = + =⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅      
 
1 1
11
1 201 1 1 1
4 1 1 6 1 1 4 1 1 6 1 1
33 3 3 3
rad kNm
estrutura
M M
dx
EI EI EI
    δ = = + =⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅        
 
2
 k
N
/m
9
6
6
(I)
A
B
C D
36
72
72
36
6
6
12
99
(II)
E
FA
D
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2 2
22
1 221
4 1 1 1 6 1 1
33
rad kNm
estrutura
M M
dx
EI EI EI
  δ = = =⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅    
 
1 2
12 21
0
estrutura
MM
dx
EI
δ = δ = = 
 
(a) Momento fletor, M1, para o Quadro I 
(valores em kNm/kNm) 
(b) Momento fletor, M1, para o Quadro II 
(valores em kNm/kNm) 
Figura 2.24. Caso 1: Hiperestático X1 isolado no Sistema Principal 
 
 
(a) Momento fletor, M2, para o Quadro I 
(valores em kNm/kNm) 
(b) Momento fletor, M2, para o Quadro II 
(valores em kNm/kNm) 
Figura 2.25. Caso 2: Hiperestático X2 isolado no Sistema Principal 
 
O passo seguinte é restabelecer as condições cinemáticas de forma a encontrar os 
hiperestáticos. Para isso deve-se usar o Princípio da Superposição de Efeitos e anular a 
rotação relativa das seções adjacentes à rótula em D e a rotação absoluta em F: 
1
1
4
1
4
1
6
1
6
(I)
1
1
1
A
B
C
D
1
1
4
1
4
1
6
1
6
(II)
1
. X1
E
FA
D
(I)
AB
C D
1
1
1
1
4
1
4
. X2(II)
E
FA
D
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, 10 11 1 21 2
0
relativa
D esquerda X Xθ = δ + δ + δ = (2.15) 
10 11 1 21 2
0
absoluta
F X Xθ = δ +δ +δ = (2.16) 
Usando os parâmetros já conhecidos, e colocando (2.13) e (2.14) na forma matricial, vem: 
1
2
54 20 3 0 01 1
336 0 22 3 0
X
XEI EI
−       
+ =      
      
 (2.17) 
cuja solução fornece X1 = 8,1 kNm (momento fletor em D pela esquerda) e X2 = -45,8 kNm 
(momento fletor em F). O sinal negativo para X2 indica que sentido arbitrado inicialmente 
é incorreto. Na Figura 2.22 vê-se que o momento tracionava a fibra do lado direito. 
Usando os resultados apresentados nas Figuras 2.23, 2.24 e 2.25, e aplicando o Princípio da 
Superposição de Efeitos, os momentosfletores podem ser encontrados: 
0 1 1 2 2
0 1 8 1 0 8 1
0 1 8 1 0 8 1
, , kNm
, , kNmB B B B
AB
M M M X M X
BC
+ ⋅ + = + →
= + + = 
+ ⋅ + = + →
 
0 1 1 2 2
0 1 8 1 0 8 1
36 0 1 8 1 0 27 9
36 0 0 0 36 0
, , kNm
, , , kNm
, , kNm
D D D D
CD
M M M X M X AD
DE
− ⋅ + = − →

= + + = − + ⋅ + = − →
 − + + = − →
 
0 1 1 2 2
72 0 0 1 45 8 26 2
72 0 0 1 45 8 26 2
, ( ) ( , ) , kNm
, ( ) ( , ) , kNmE E E E
DE
M M M X M X
EF
− + + − ⋅ − = − →
= + + = 
− + + − ⋅ − = − →
 
0 1 1 2 2
0 0 1 45 8 45 8( ) ( , ) , kNmF F F FM M M X M X= + + = + + − ⋅ − = + 
A Figura 2.26 a seguir ilustra o diagrama de momento fletores. Importante verificar o 
equilíbrio de momento nos nós. 
 
 
Figura 2.26. Momento fletor no quadro composto (valores em kNm) 
A
B
C
D
E
F
26,2
26,2
45,8
36,0
27,9
8,1
8,1
8,1
9
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Da mesma forma, as reações forças horizontal e vertical nos apoios reais também podem ser 
encontradas usando os resultados indicados nas Figuras 2.23, 2.24 e 2.25: 
( ) ( )0 1 1 2 2
1
9 0 45,8 2,45 kN
4
Y
A A A AR R R X R X
 
= + + = − + + − ⋅ − = + ↑ 
 
 
( )
0 1 1 2 2
12 0 0 12 kN
X
F F F FR R R X R X= + + = − + + = − ← 
( ) ( )0 1 1 2 2
1
9 0 45,8 2, 45 kN
4
Y
F F F FR R R X R X
 
= + + = + + + + ⋅ − = − ↓ 
 