Simulado P1 - Análise de Sinais - 2020-2 - Gabarito

Prévia do material em texto

CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Análise de Sinais 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
Gabarito – Simulado de Prova – P1 (2020/2) 
 
Questões de múltipla escolha 
1 C 
2 D 
3 B 
4 B 
5 C 
 
 
Questão Discursiva nº 1 
Temos 𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2). Assim, sua parte par é dada por: 
 
𝑥𝑝(𝑡) =
𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)
2
=
(𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2)) + (𝛿(−𝑡 − 1) + 𝛿(−𝑡 − 2))
2
= 
 
=
(𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2)) + (𝛿(−(𝑡 + 1)) + 𝛿(−(𝑡 + 2)))
2
= 
𝛿(−𝑡) = 𝛿(𝑡) 
=
(𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2)) + (𝛿(𝑡 + 1) + 𝛿(𝑡 + 2))
2
. 
 
O gráfico correspondente é: 
 
 
 
A parte ímpar, por sua vez, é dada por 
 
𝑥𝑖(𝑡) =
𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)
2
=
(𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2)) − (𝛿(−𝑡 − 1) + 𝛿(−𝑡 − 2))
2
= 
 
=
(𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2)) − (𝛿(−(𝑡 + 1)) + 𝛿(−(𝑡 + 2)))
2
= 
𝛿(−𝑡) = 𝛿(𝑡) 
=
(𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2)) − (𝛿(𝑡 + 1) + 𝛿(𝑡 + 2))
2
. 
 
Graficamente, tem-se: 
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Análise de Sinais 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
 
 
Caso desejássemos obter os gráficos de 𝑥𝑝(𝑡) e 𝑥𝑖(𝑡) via operações gráficas, bastaria notar que, 
se o gráfico de 𝑥(𝑡) é: 
 
 
 
então o gráfico de 𝑥(−𝑡) é: 
 
 
 
Para obter o gráfico da parte par, basta somá-los e dividir a amplitude por 2. Para obter o gráfico 
da parte ímpar, basta subtrair o gráfico de 𝑥(−𝑡) do gráfico de 𝑥(𝑡) e dividir a amplitude por 2. 
Obtêm-se, assim, os gráficos de 𝑥𝑝(𝑡) e 𝑥𝑖(𝑡) ilustrados anteriormente. 
 
 
Questão Discursiva nº 2 
Item (a): 
Temos 𝑥(𝑡) = (𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 𝜋))sen(𝑡). Ou seja: 
 
𝑥(𝑡) = {
sen(𝑡) se 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋,
0 caso contrário.
 
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Análise de Sinais 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
Seu gráfico é: 
 
 
Item (b): 
Deslocando 𝑥(𝑡) em 3𝜋 unidades de tempo para a direita, tem-se o gráfico de 𝑥(𝑡 − 3𝜋): 
 
 
 
Para obter o gráfico de 𝑥(4𝑡 − 3𝜋), comprimimos o gráfico acima por um fator de 4, obtendo o 
seguinte gráfico: 
 
 
 
Finalmente, para obter o gráfico de 𝑦(𝑡) = 5𝑥(4𝑡 − 3𝜋), multiplicamos a amplitude do gráfico 
acima por 5 (mudança de escala no eixo vertical; sinal com amplitude 5 vezes maior): 
 
 
 
O gráfico acima é, portanto, o gráfico desejado, para o sinal 𝑦(𝑡) resultante. 
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Análise de Sinais 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
 
Questão Discursiva nº 3 
Item (a) 
O sinal é dado pela expressão 𝑥(𝑡) = 𝑡(𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)). Graficamente: 
 
 
 
Queremos o gráfico de 𝑦(𝑡) = 4𝑥(5𝑡 − 10) + 1. 
 
Realizando primeiramente o deslocamento de 10 unidades de tempo para a direita, temos o 
gráfico para 𝑥(𝑡 − 10): 
 
 
 
Comprimindo-o na horizontal (por 5 unidades de tempo), temos o gráfico para 𝑥(5𝑡 − 10): 
 
 
 
Dilatando sua amplitude (na vertical) por 4, temos o gráfico de 4𝑥(5𝑡 − 10): 
 
 
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Análise de Sinais 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
Finalmente, deslocamos o gráfico em uma unidade (para cima) para obter o gráfico desejado, isto 
é, do sinal 𝑦(𝑡) = 4𝑥(5𝑡 − 10) + 1: 
 
 
 
 
Item (b) 
Temos: 
〈𝑥(𝑡), 𝑟(𝑡)〉 = ∫ 𝑥(𝑡)(𝑟(𝑡))
∗
𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑥(𝑡)𝑟(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑡(𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)) 𝑡𝑢(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= 
 
= ∫ 𝑡2𝑑𝑡
1
0
=
𝑡3
3
|
0
1
=
𝟏
𝟑
.