Aritmética Matematica aula 2 modulo 1,2

Prévia do material em texto

DEFINIÇÃO
Os sistemas de números naturais historicamente contextualizados,
os Axiomas de Peano, o surgimento dos números inteiros e
complexos, os números racionais e sua relação com medida, seu
surgimento e concepção moderna, alguns problemas e operações
com frações.
PROPÓSITO
Refletir sobre nossa própria concepção da Matemática, proveniente
de como a aprendemos ao longo de nossa vida escolar, geralmente
organizada em Aritmética, Geometria e Álgebra, tendo como foco a
Aritmética.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
 
Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o
porquê de sua criação
MÓDULO 2
 
Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à
necessidade de realização de medidas e manipulação das
operações matemáticas básicas
 Relacionar a contagem ao surgimento dos números naturais e o
porquê de sua criação
INTRODUÇÃO
O QUE IRÁ NOS NORTEAR EM
CADA MÓDULO É ENTENDER A
PERGUNTA: “O QUE É UM
NÚMERO?” A DISCUSSÃO QUE
FAREMOS TERÁ DUAS IDEIAS
CENTRAIS E ELEMENTARES: A
CONTAGEM E A MEDIDA.
Com estas ideias, iremos construir o conceito abstrato de número
que permeia a Aritmética. A contagem nos conduz aos números
naturais (ℕ), mas devemos estar atentos ao nosso sistema
numérico, que nem sempre foi universal e que diversos povos ao
longo da história criaram sua própria forma de contar. O mais
interessante é que todos eles respeitavam regras muito
semelhantes, que mais tarde foram nomeadas como Axiomas de
Peano.
 
E medir vai nos conduzir aos números racionais (ℚ+ ) e reais (ℝ+ )
positivos. Os números inteiros (ℤ), bem como os números racionais
e reais negativos, surgem com o entendimento mais amplo e
irrestrito dos números. Não temos a ambição de chegar tão longe
aqui. Nós nos restringiremos ao uso da reta, mas deixaremos
algumas referências para aqueles que quiserem ir mais adiante.
CONCEITO
 
VOCÊ JÁ IMAGINOU COMO SERIA
DIFÍCIL O SEU DIA, SE VOCÊ
PERDESSE A NOÇÃO DE
QUANTIDADE DAS COISAS? SE VOCÊ
FOSSE UM CAMPONÊS, POR
EXEMPLO, COMO FARIA PARA
RELACIONAR O NÚMERO DE
OVELHAS EM UM CERCADO, SEM
SABER COMO CONTAR?
Uma primeira estratégia para resolver este problema seria
estabelecer uma correspondência um a um com o conjunto de
referência.
 
Fonte: Madlen/Shutterstock
Por exemplo: para cada ovelha que entrasse no cercado, você faria
um nó em um pedaço de corda; ao final, a mesma quantidade de
ovelhas no cercado seria a quantidade de nós em sua corda. Note,
porém, que esta tarefa não envolve ainda o conceito de número,
mas ela já era empregada por grupos humanos na Pré-história,
segundo Tatiana Roque (2012), alguns séculos antes dos primeiros
sistemas de escrita ou de numeração.
Sendo assim, um número natural foi a marca dada (os nós) a todos
os conjuntos de objetos (as ovelhas) que poderiam ser colocados
em correspondência um a um entre si, isto é: a todos os conjuntos
que têm a mesma quantidade de elementos.
 REFLITA
O conceito de número natural é uma abstração que emerge da
noção concreta de contagem.
Acabamos de ver que o conceito de número natural é, de fato, um
grande passo na abstração.
Quando uma criança não entende de forma imediata que o mesmo
número 2 serve para registrar duas colheres ou duas garrafas ou
duas camisas, é porque ela ainda não deu este passo abstrato.
E é importante que percebamos isso, pois o entendimento de que o
número 2 representa a quantidade de elementos de um conjunto
que possua apenas dois objetos nele é uma abstração e tanto.
Arrisco a dizer que você também nunca tinha parado para pensar
sob essa perspectiva.
SISTEMAS DE NÚMEROS
NATURAIS
Antes de entramos diretamente nas operações usuais com os
números naturais, com os quais você muito provavelmente está
familiarizado, queremos começar olhando para esse conjunto por
outras perspectivas, algumas nada triviais.
Diversas civilizações
desenvolveram sistemas de
numeração semelhantes aos
números naturais que
conhecemos hoje. Veja a seguir o
exemplo dos babilônicos:
Fonte: Wikimedia.
Numerais Babilônicos, Josell7,
2010.
 IMPORTANTE
Esse sistema possui 60 algarismos, isto é, um sistema
sexagesimal. Note que o número 1 é o primeiro elemento e a
representação do zero não aparece.
Já os maias possuíam 20 algarismos, como você pode ver abaixo:
Fonte: Matematiques
 ATENÇÃO
O sistema maia merece destaque, pois ele já contava com a
representação do zero em sua concepção. Portanto, se
considerarmos pela ótica maia, o zero é, de fato, representado
como um número natural.
EXEMPLO 1
Vejamos como os maias e os babilônicos representavam o número
300.
No sistema decimal, temos:
Três centenas, zero dezenas e zero unidades; (3 × 100 + 0 × 10 +
0 × 100)
No sistema babilônico seria:
Cinco sexagenas e zero unidades (5 × 60 + 0 × 60 ^ 0)
No sistema maia:
Quinze vintenas e zero unidades (15 × 20 + 0 × 20 ^0).
Você pode encontrar, ainda hoje, sistemas não decimais. O
exemplo mais simples são os relógios: cada 60 segundos
correspondem a 1 minuto.
Poderíamos citar diversas outras civilizações, como os romanos ou
egípcios que também possuíram o seu conjunto de números
naturais, mas os maias e babilônicos tiveram ainda uma
característica, presente em nosso sistema decimal: seu sistema de
numeração era posicional, isto é, o conjunto que apresentamos
acima representa as suas unidades.
UM SISTEMA POSICIONAL É
EXTREMAMENTE VANTAJOSO,
POIS PERMITE QUE, DADO UM
NÚMERO QUALQUER, SEJA
POSSÍVEL DETERMINAR O SEU
SUCESSOR DE FORMA SIMPLES.
E A IDEIA DE SUCESSOR É A
BASE QUE NORTEIA O
CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS.
O sistema decimal que aprendemos na escola é composto de dez
algarismos, a saber: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Antes de continuarmos, que tal esclarecer uma das dúvidas mais
comuns no campo da Matemática, mas que muitas pessoas ainda
se confundem?
VOCÊ SABE
QUAL É A
Fonte: Roman
Samborskyi/Shutterstock
DIFERENÇA
ENTRE
NÚMERO,
NUMERAL E
ALGARISMO?
Temos certeza de que você não
se confundirá mais:
 
O número relaciona-se sempre à
quantidade! O numeral é a
representação gráfica desse
número. E algarismos são os
símbolos de numeração
utilizados nessa representação
gráfica.
Exemplo: 
O número vinte e nove
(quantidade de dias do mês de
fevereiro, nos anos bissextos) é
representado pelo numeral 29,
que é formado pelos algarismos
2 e 9.
Podemos escrever qualquer número utilizando apenas estes
símbolos. Vamos entender como se dá esse processo:
1
Suponhamos o número 423 (que identificaremos como 𝑎).
2
Poderemos dizer: 𝑎 ∈ ℕ (lemos “𝑎 pertence ao conjunto dos
números naturais”) e é um número de 3 algarismos.
3
Assim: 𝑎 = 423 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3.
4
No caso geral, isto significa que existe: 𝑎0,𝑎1 e 𝑎2∈
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que:
 
𝑎 = 𝑎2⋅ 100 + 𝑎1⋅ 10 + 𝑎 0.
 
Em que 𝑎0 são as unidades, 𝑎1 são as dezenas e 𝑎2 são as
centenas.
O CONJUNTO DE NÚMEROS QUE
GERA TODO O SISTEMA
POSICIONAL É CHAMADO DE
BASE. NO CASO, O SISTEMA
DECIMAL TEM BASE 10, O
SISTEMA MAIA BASE 20 E O
SISTEMA BABILÔNICO BASE 60.
O RACIOCÍNIO É O MESMO PARA
QUALQUER NÚMERO NATURAL,
MAS A NOTAÇÃO NÃO É TÃO
AGRADÁVEL.
EXEMPLO 2
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Digamos que, em Marte, seus habitantes possuam apenas 3 dedos
em cada mão, por isso, em sua evolução, desenvolveram um
sistema numérico posicional que tinha apenas 6 algarismos,
{0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }. Quem deve ser o correspondente ao
número 6 do nosso sistema decimal no sistema marciano?
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Qual o número que deve vir depois do número 5𝑚? Note
que não temos o número 6 neste sistema. Desta forma, ocorre
exatamente a mesma coisa quando queremos escrever o número
que vem depois do 9 no nosso sistema decimal. Portanto é 10𝑚.
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Agora, vamos dar um pouco mais de profundidade ao exemplo: E o
número 100_m no sistema marciano, corresponderia a qual
número em nosso sistema decimal?
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Solução: Existem diversas formasde dar esta resposta. Vamos
optar pela mais explícita e tentar achar um padrão, exibindo quem
é o correspondente de cada um dos números compostos por dois
algarismos. Assim, ficará mais fácil de intuirmos quem será o
próximo:
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
0 𝑚 →0 10 𝑚 →6 20 𝑚 →12 ⋯ 50 𝑚 →30
0 𝑚 →0 10 𝑚 →6 20 𝑚 →12 ⋯ 50 𝑚 →30
1 𝑚 →1 11 𝑚 →7 21 𝑚 →13 ⋯ 51 𝑚 →31
2 𝑚 →2 12 𝑚 →8 22 𝑚 →14 ⋯ 52 𝑚 →32
3 𝑚 →3 13 𝑚 →9 23 𝑚 →15 ⋯ 53 𝑚 →33
4 𝑚 →4 14 𝑚 →10 24 𝑚 →16 ⋯ 54 𝑚 →34
5 𝑚 →5 15 𝑚 →11 25 𝑚 →17 ⋯ 55 𝑚 →35
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Podemos ver que, de uma coluna para outra, são acrescentadas 6
unidades. Com o raciocínio análogo ao que fizemos anteriormente,
o número que vem depois do 99 no sistema decimal é o 100. No
caso do sistema marciano, o 55_m faz este papel, portanto:
100_m→36
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Mas, imagine que você tivesse que saber a qual número
corresponde o 315𝑚. Seria mais complicado! Por isso, de modo
geral, dado um número de três algarismos 𝑎𝑏𝑐𝑚 ∈ ℕ𝑚 no sistema
numérico marciano, em que 𝑎,𝑏,𝑐 ∈{0𝑚,1𝑚,2𝑚,3𝑚,4𝑚,5𝑚 }, para
transformá-lo em um número no nosso sistema numérico, basta
fazer a conta: 𝑎⋅62+𝑏⋅6+𝑐.
Fonte: Jurik Peter/Shutterstock
Vejamos como fica o número que apresentamos no quadro
anterior:
315 𝑚=3 ⋅ 62+ 1 ⋅ 6 + 5 ⋅ 60 = 108 + 6 + 5 = 119
 SAIBA MAIS
Existe uma série de nuances sobre o tema de sistemas e bases
numéricas, para os que estiverem iniciando o seu caminho nos
círculos da Matemática. Para o leitor interessado, recomendo
Números Naturais, de Ripoll, Rangel & Giraldo, que faz uma
extensa discussão sobre o tema, com foco no Ensino Básico.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
CONSIDERE AS COMPARAÇÕES A SEGUIR, EM
QUE O LADO DIREITO MOSTRA NÚMEROS NO
SISTEMA DECIMAL E O LADO ESQUERDO NO
SISTEMA MARCIANO. SELECIONE A ALTERNATIVA
QUE VOCÊ CONSIDERA VERDADEIRA:
A) 235𝑚 <90
B) 200𝑚 <70
C) 537𝑚 >200
GABARITO
Considere as comparações a seguir, em que o lado direito
mostra números no sistema decimal e o lado esquerdo no
sistema marciano. Selecione a alternativa que você considera
verdadeira:
A alternativa "C " está correta.
Vamos passar os números do sistema marciano para o sistema
decimal: 
235𝑚=2⋅62+3⋅6+5=95>90, logo, a primeira sentença é falsa. 
200𝑚=2⋅62=72>70, logo, a segunda sentença também é falsa. 
5⋅62+3⋅6+7=205>200, logo, a terceira sentença é verdadeira.
 
 
EXEMPLO 3
Fonte: IR Stone/ Shutterstock
Pirâmide Maia de Kukulcan El Castilho ao pôr do sol.
Determine o sucessor e o antecessor dos números abaixo, em
caracteres maias:
 
Fonte: Autor
O leitor pode pensar em cada box da esquerda para direita como
dezenas e unidades, lembrando que cada bolinha vale uma
unidade e cada traço vale cinco unidades.
 
Fonte: Autor
Este é o sucessor do número
dado:
É o antecessor do número
proposto:
 
Fonte: Autor
O BIG BANG DOS NÚMEROS
NATURAIS
MAS, AFINAL, O QUE É UM
NÚMERO NATURAL?
Segundo Eave (1995), a busca sobre o entendimento dos números
se originou primeiramente na Física, com relação a uma definição
precisa do que é a reta numérica. A teoria dos conjuntos se
mostrou um terreno fértil para tal construção.
A PARTIR DAÍ, FOI NECESSÁRIO
REAPRESENTAR O CONJUNTO
NUMÉRICO MAIS CONHECIDO DO
PLANETA SOB UMA NOVA
PERSPECTIVA.
Deve-se a Giuseppe Peano a constatação de que se pode
elaborar toda a teoria dos números naturais a partir de quatro
fatos básicos, conhecidos atualmente como os Axiomas
de Peano, publicado no seu livro Os princípios da Aritmética
apresentados por um novo método. Segundo ele:
javascript:void(0)
GIUSEPPE PEANO 
Foi o fundador da lógica simbólica e o centro de seus
interesses foram os fundamentos da Matemática e o
desenvolvimento de uma linguagem lógica formal. Em 1889,
Peano publicou os seus axiomas famosos, chamados
Axiomas de Peano, que definiram os números naturais em
termos de conjuntos.
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
 
Fonte: Wikipedia
“O conjunto dos números naturais possui quatro propriedades
fundamentais, das quais resultam, como consequência lógica,
todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses
números.”
Giuseppe Peano (1858-1932)
AXIOMAS DE PEANO
Talvez você esteja se questionando:
Fonte: Sumkinn /Shutterstock
 RESPOSTA
Os axiomas são afirmações ou proposições que não precisam ser
provadas. Eles constituem-se como alicerces nos quais uma teoria
é construída.
Seja ℕ um conjunto de elementos, chamados números naturais,
satisfazendo os seguintes axiomas:
I
Existe um número natural chamado de 1.
Esta afirmação é o início de tudo: existe um conjunto que possui
um elemento, o primeiro. Poderia ser o zero, mas, por uma questão
de princípios, o autor definiu 1.
II
Existe uma função 𝑠:ℕ→ℕ tal que 𝑠 é injetiva (1-1), em que, para
cada número natural 𝑎 ∈ ℕ, está associado o número natural 𝑠(𝑎)
denominado sucessor de 𝑎.
Este axioma garante que todo número deste conjunto possui um
sucessor. Assim, dá um sentido de ordem aos números naturais.
III
Para todo 𝑎∈ℕ, 𝑠(𝑎)≠1
Este é o resultado que caracteriza que estamos no conjunto dos
números naturais e não dos inteiros, pois ele diz que o primeiro
elemento não é sucessor de ninguém, isto é, não existe ninguém
neste conjunto que seja menos que ele.
IV
(Princípio de Indução) - Se 𝑆 é um subconjunto dos números
naturais ℕ, tal que:
a. 1 ∈ 𝑆
b. Se 𝑎 ∈ 𝑆 então 𝑠(𝑎) ∈ 𝑆
Então 𝑆 = ℕ
O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO
MATEMÁTICA
ESTE PRINCÍPIO MERECE
DESTAQUE, POIS É UMA
FERRAMENTA PODEROSA PARA
DEMONSTRAR A VALIDADE DE
AFIRMAÇÕES SOBRE O
CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS.
A comparação ao Big Bang é inevitável, como a afirmação feita
pelo professor Stephen Hawking : o universo surgiu por geração
espontânea, do nada. Assim são os números naturais. Existe um
conjunto com o número 1 e pronto!
STEPHEN HAWKING (1942-
2018)
Foi um físico inglês que trabalhou nas leis básicas que
governam o universo. Com Roger Penrose, ele mostrou que a
javascript:void(0)
teoria geral da relatividade de Einstein implicava que espaço
e tempo teriam um começo no Big Bang e um fim nos
buracos negros.
Fonte: (HAWKING.ORG, 2020)
Como teria dito um velho matemático alemão, Leopold Kronecker:
 
Fonte: Sociedade Portuguesa de Matemática
“Deus criou os números naturais, todo o mais foi criado pelo
Homem”
Leopold Kronecker(1823-1891).
Fonte: R-Type/Shutterstock
Para que você se familiarize com o Princípio de Indução
Matemática, pense em um conjunto de dominós enfileirados sobre
uma mesa. Então, empurra-se uma das peças em qualquer
posição. Ocorre, desse modo, um efeito em cadeia que derruba
todas as restantes. Esse é um conceito formidável! Ele está
presente em toda a Matemática de diversas formas.
Vamos pensar em uma série de proposições: 𝑃1, 𝑃2,⋯ numeradas
pelos números naturais.
Suponha que podemos provar que:
𝑃𝐵= Alguma proposição da série é verdadeira.
𝑃I = A veracidade de cada proposição na série implicará a
veracidade da próxima proposição.
 IMPORTANTE
Note que isso implicará que provamos todas as proposições da
série, a partir da primeira ser provada como verdade. Ou seja,
provar a 𝑃𝐵 e depois 𝑃I, significa que podemos derrubar alguma
peça da pilha de dominós, e cada peça ao cair vai derrubar a
próxima, qualquer que seja a peça do dominó.
Esta é uma descrição lúdica do Princípio de Indução Matemática:
𝑃𝐵 é chamado de passo básico e 𝑃I de passo indutivo.
Este processo pode ser pensado visivelmente, como uma onda de
demonstrações indo de afirmação em afirmação e formando uma
cadeia de teoremas.
𝑃1→𝑃2→⋯→𝑃𝑛→𝑃𝑛+1→⋯.
PSICOLOGICAMENTE, A
NATUREZA INTRÍNSECA DA
INDUÇÃO ESTÁ EM SEU
PROCESSO. COMO APRENDER
ISSO? BEM, UM IMPORTANTE
PROCESSO PARA AMADURECER
O PENSAMENTO LÓGICO
INDUTIVO É PERCEBER ATRAVÉS
DE EXEMPLOS E CASOS
PARTICULARES QUE
DETERMINADOS FENÔMENOS
DEVEM OCORRER SEMPRE.
Este pensamento ingênuo cria um vácuo de oportunidade. A
pergunta é, então: O que significa ocorrersempre?
EXEMPLO 4
Assista, a seguir, a um exemplo em vídeo elucidado pelo professor
Sandro Davison - Bacharelado em Engenharia pelo Instituto Militar
de Engenharia:
PLANO PARA RESOLVER
PROBLEMAS UTILIZANDO A
INDUÇÃO MATEMÁTICA
A partir do exemplo assistido no vídeo, podemos definir alguns
passos para resolver problemas matemáticos através da indução.
Lembre-se de que ainda estamos falando da contribuição de Peano
para essa área do conhecimento, no caso, seu Axioma IV.
 IMPORTANTE
A indução, como forma de raciocínio lógico, já era conhecida na
Antiguidade Clássica, a partir das obras aristotélicas,
especialmente no Órganon.
.
ÓRGANON
Conjuntos de obras que apresentam a Lógica como um
instrumento da Filosofia.
Então, vamos a esses passos:
Encontre no enunciado do problema uma série de proposições
semelhantes. Se elas estiverem escondidas, devemos explicitá-las
e reformular o problema. Se não existir uma cadeia explícita,
devemos construi-la, a fim de que o problema se torne parte dela.
Prove o passo básico.
javascript:void(0)
Prove que qualquer que seja o número natural 𝑛, a veracidade da
𝑛-ésima proposição implica a veracidade da (𝑛+1)-ésima
proposição que é o passo indutivo.
Uma vez provado o passo básico e o indutivo, todas as sentenças
estão provadas simultaneamente. A partir daí, é possível chegar a
qualquer uma delas, partindo da base passo a passo.
VAMOS ENTENDER ISSO DE FORMA
PRÁTICA?
EXEMPLO 5A
Seja 𝑛 ∈ ℕ Mostre que a igualdade , é
verdadeira.
PASSO BÁSICO
Consiste em considerar a sentença, no caso 𝑛=1. Desta forma,
basta verificarmos que o lado direito é igual ao lado esquerdo, de
fato, pois, 
Apesar de não ser necessário, vamos verificar que quando 𝑛=2,
também é verdadeiro. 1+2=3, e 
HIPÓTESE DE INDUÇÃO
Vamos estabelecer a hipótese de indução, isto é, vamos supor que
a igualdade é verdadeira, até um valor 𝑛0 fixado, assim:
PASSO INDUTIVO
Queremos provar que
 
De fato, pois
ó çã
ã
 
Daí
ê
 
Obtivemos, então, exatamente a sentença que desejamos.
Provamos, assim, que a igualdade proposta no exemplo é
verdadeira.
EXEMPLO 5B
Seja 𝑛∈ℕ, considere a soma dos 𝑛 primeiros números ímpares:
Complete a tabela:
𝑛 1 +3 + ⋯ + ( 2𝑛 − 1) Resultado da soma 𝑛2
1 1 1 12
2 1 + 3 4 22
3 1 + 3 + 5 9 32
4 1 + 3 + 5 + 7 16
5 1 + __ + 5 + 7 + 9 25 52
⋮ ⋮ ⋮
1 + 3 + ⋯ + 199
SOLUÇÃO
O que temos que observar é que 199=2𝑛−1, logo 2𝑛=200, 𝑛=100.
Portanto, 𝑛2=1002.
Sobre o valor da soma, não provamos que 1+3+⋯+(2𝑛−1)=𝑛2 ,
mas a tabela nos induz a acreditar que de fato isto ocorra, assim, o
valor da soma é 10.000.
Deixaremos essa prova a seu cargo. Não se preocupe se você
ainda não entendeu direito como se usa a indução, você terá
tempo.
javascript:void(0)
EXEMPLO 5C
Assista, a seguir, a mais um exemplo em vídeo também elucidado
pelo professor Sandro Davison - Bacharelado em Engenharia pelo
Instituto Militar de Engenharia:
SURGIMENTO DOS NÚMEROS
INTEIROS ℤ E COMPLEXOS ℂ
Os números Inteiros são geralmente abordados em um primeiro
curso de Álgebra e não temos aqui o intuito de explorá-lo.
Assumiremos que você tem familiaridade com as operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão de números inteiros, bem
como o Teorema Fundamental da Aritmética (Fatoração) e as
desigualdades no Conjunto de Números Inteiros (ℤ).
 SAIBA MAIS
Caso queira rever ou se aprofundar, recomendamos:
— Algebra, de S. M. Birkhoff (um clássico).
— Para uma abordagem mais formal, de Milies e Coelho.
— Para uma abordagem mais informal, de Courant e Robbins.
O conjunto dos números inteiros possui diversas histórias e
personagens fascinantes. Recomendamos o livro O Último
Teorema de Fermat, de Simon Singh (2014), para você conhecer
mais o universo dos números inteiros.
Alguns matemáticos se destacam quando falamos a respeito da
história dos números. Veja a seguir quais são eles:
LEONHARD EULER
No século XVIII, apresentou-se
uma intensa atividade em torno
dos números imaginários.
Leonhard Euler afirmava que
qualquer operação usual entre
números imaginários nos daria
novamente um número da forma
javascript:void(0)
Fonte: Wikipedia
 , em que 𝑚 e 𝑛
eram números reais. Segundo
Ripoll, Rangel e Giraldo (2016),
apesar de toleradas as
quantidades complexas e
negativas, elas não possuíam
uma representação rigorosa.
Somente no início do século XIX
surgem as primeiras
representações geométricas dos
números negativos e complexos.
JEAN ROBERT
ARGAND
A primeira abordagem
geométrica para os números
negativos é devida a Jean
Robert Argand em 1813-1814.
javascript:void(0)
Ele introduz a noção de
quantidades absolutas e
orientação, dando a interpretação
geométrica de que multiplicar por
(−1) é a reflexão em relação à
origem, fazendo então com que
(−1)⋅(−1) torne-se naturalmente
(+1).
Isto poderia ser assim
representado:
Fonte: autor
Fonte: Lovers of Math
CARL FRIEDRICH
GAUSS
Fonte: Wikipedia
Argand fez um trabalho muito
bom, porém ele era um
matemático amador
(profissionalmente, era livreiro).
Apenas em 1831, quando Carl
Friedrich Gauss publicou o que
chamou de Manifesto das
grandezas imaginárias, os
números complexos e negativos
ganharam de vez o seu lugar na
Aritmética, sobre os quais era
possível realizar cálculos de
modo consistente.
LEONHARD EULER (1707-1783)
Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e
artigos dele representam aproximadamente um terço do
corpo inteiro de pesquisa em Matemática, teorias físicas e
Engenharia Mecânica publicadas entre 1726 e 1800. Em
javascript:void(0)
Matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz
e o método de Newton em Análise Matemática. 
Fonte: (SÓ MATEMÁTICA, 2020)
JEAN ROBERT ARGAND (1768-
1822)
Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos
números complexos. Ele apresentou, ainda, uma prova para
o Teorema Fundamental da Álgebra, sendo, possivelmente, o
primeiro a trabalhar com o teorema no caso em que os
coeficientes são números complexos.
Fonte: (EDUC, 2000)
CARL FRIEDRICH GAUSS
(1777-1855)
Matemático, astrônomo e físico alemão, criador da Geometria
Diferencial, a ele se devem importantíssimos estudos de
Matemática, Física, Geometria e Astronomia. Entre outras
coisas, inventou o telégrafo e definiu o conceito de números
complexos. 
Fonte: (UC, 2020)
 SAIBA MAIS
Se você quiser saber um pouco mais sobre essa história, leia
Historia da Matemática — Uma visão crítica desfazendo mitos e
lendas, de Tatiana Roque, e Números Racionais, Reais e
Complexos, de Jaime Ripoll et al.
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
1. CONSIDERE O NÚMERO NA REPRESENTAÇÃO
MAIA: 
 
 
FONTE-AUTOR CLASS=
 
LEMBRE-SE DE CADA BOX DA ESQUERDA PARA
DIREITA COMO CENTENAS, DEZENAS E
UNIDADES, E QUE CADA BOLINHA VALE UMA
UNIDADE E CADA TRAÇO VALE CINCO UNIDADES. 
 DETERMINE O ANTECESSOR E O SUCESSOR DO
NÚMERO ACIMA, EM CARACTERES MAIAS:
A)
Fonte-Autor
A)
B)
Fonte-Autor
B)
C)
Fonte-Autor
C)
D)
Fonte-Autor
D)
2. SEJA 𝒏 ∈ ℕ. CONSIDERE A SOMA: 1 + 2 + 4 + 8 +
⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A PARTIR DA TABELA, RESPONDA: 
 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 RESULTADO DA SOMA 2𝑛+1 
0 1 1 21
1 1 + 2 3 22
2 1 + 2 + 4 7 23
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25
 
DE ACORDO COM O QUE OBSERVAMOS NA
TABELA, QUAL DEVE SER O VALOR ESTIMADO
PARA A SOMA EM QUESTÃO COM 100 TERMOS?
A) 10000
B) 2100
C) 2100-1
D) X2101-1
GABARITO
1. Considere o número na representação maia: 
 
 
Fonte-Autor class=
 
Lembre-se de cada box da esquerda para direita como
centenas, dezenas e unidades, e que cada bolinha vale uma
unidade e cada traço vale cinco unidades. 
 Determine o antecessor e o sucessor do número acima, em
caracteres maias:
A alternativa "D " está correta.
 
Podemos perceber que os números maias, apesar de estarem na
base 20, isto é, com seus algarismos representados por números
que vão de zero a dezenove, possuem uma subclassificação:
O sucessor de quatro bolinhas enfileiradasé uma barra horizontal.
O sucessor de uma barra é uma barra com uma bolinha em cima
dela.
 
Fonte-Shutterstock
A regra vale até três barras enfileiradas. Devemos estar atentos ao
fato de que o mesmo se aplica aos antecessores. Como estamos
falando de sucessores e antecessores no exercício, basta que
observemos a casa das unidades, que é a ultima casa, olhando da
esquerda para a direita. Desta forma, podemos perceber que
temos três barras.
 
O sucessor de três barras, pela lógica apresentada, deve ser o box
com três barras com uma bolinha em cima.
 
O antecessor de três barras é o número duas barras com quatro
bolinhas em cima. Desta forma, a resposta fica:
Fonte-Shutterstock
2. Seja 𝒏 ∈ ℕ. Considere a soma: 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2𝑛−1+2𝑛. 
A partir da tabela, responda: 
 
𝑛 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛 Resultado da soma 2𝑛+1 
0 1 1 21
1 1 + 2 3 22
2 1 + 2 + 4 7 23
3 1 + 2 + 4 + 8 15 24
4 1 + 2 + 4 + 8 + 16 31 25
 
De acordo com o que observamos na tabela, qual deve ser o
valor estimado para a soma em questão com 100 termos?
A alternativa "D " está correta.
 
A pergunta foi simples: no caso, queremos saber apenas a
expressão do resultado dos 100 primeiros termos da soma
proposta. A tabela nos faz acreditar que o resultado da soma será
2𝑛+1−1. Note que isso é o que a tabela está nos induzindo, assim, a
resposta correta é a letra D.
 
Vamos provar o caso geral. Poderíamos provar por indução que tal
sentença é verdadeira para todo número natural 𝑛. Entretanto,
preferimos outra abordagem, mais simples.
 
Digamos que o valor desta soma seja 𝑥, então 𝑥 = 1 + 2 + 4 + 8 +
⋯ + 2 𝑛 - 1 + 2 𝑛.
 
E multiplicando por 2 ambos os lados, temos 2𝑥 = 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2
𝑛 + 2 𝑛+1
2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 = 2 𝑛+1 −1
 Relacionar a criação dos números racionais e reais positivos à
necessidade de realização de medidas e manipulação das
operações matemáticas básicas
INTRODUÇÃO
Os números naturais e inteiros advêm do processo da contagem,
tanto para acrescentar ou retirar. Contudo, na vida diária sempre se
precisou medir quantidades, tais como comprimentos, áreas, pesos
e tempo. Desejamos operar livremente as grandezas dessas
quantidades. Para tal, devemos expandir o domínio de nossa
Aritmética para além dos números inteiros.
A pergunta que gostaríamos de responder inicialmente é:
DADOS 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, QUEM DEVE SER
𝑥 TAL QUE 𝑎⋅𝑥=𝑏?
No contexto dos números naturais, essa pergunta é tratada como
um problema geométrico, com aparições desde o século V a.C. O
valor de 𝑥 era denominado terceira proporcional, assim concluímos
que o manuseio dos números racionais é muito anterior ao dos
números inteiros.
A MEDIDA E OS NÚMEROS
RACIONAIS
A medida dá origem aos números racionais positivos quando
desejamos comparar grandezas de mesma espécie.
Necessitamos estabelecer uma unidade, uma grandeza 𝑢 fixada
como referência, com a qual outras grandezas de mesma espécie
são comparadas.
ESTE PENSAMENTO NOS LEVA A
UMA IDEIA INCOMPLETA, MAS
INTUITIVA: MEDIR = DETERMINAR
QUANTAS VEZES A UNIDADE OU
ALGUMA SUBDIVISÃO DELA
CABE NA GRANDEZA A SER
MEDIDA (ESSE PENSAMENTO
NÃO É ERRADO, APENAS
INCOMPLETO).
Se estabelecermos um
comprimento qualquer 𝑙, e
tomarmos um quadrado
exatamente com essa medida de
lado, então, independentemente
da unidade escolhida, com base
em alguma subdivisão em partes
iguais do lado do quadrado,
nunca iremos conseguir dois
números naturais, tal que a
diagonal do quadrado e o lado do
quadrado sejam múltiplos inteiros
desta unidade.
Fonte: autor
NUNCA IREMOS CONSEGUIR
DOIS NÚMEROS NATURAIS
Não se preocupe com essa afirmação! Você a entenderá
perfeitamente, ainda neste módulo!
ENTENDIMENTO
GEOMÉTRICO DOS NÚMEROS
javascript:void(0)
RACIONAIS
Passamos agora ao entendimento geométrico dos números
racionais. Fixada uma grandeza 𝑎 e uma unidade 𝑢, tal que ela não
possa ser colocada um número inteiro de vezes na grandeza 𝑎 a
ser comparada, contudo suponha que possamos subdividir a
unidade 𝑢 em uma quantidade 𝑞, obtendo, então, uma nova
unidade , menor que 𝑢 tal que a qual passa,
então, a caber uma quantidade inteira 𝑝 de vezes na grandeza 𝑎,
assim com isto, temos: ã
 ATENÇÃO
Dizemos neste caso que um número racional é a medida de
uma grandeza 𝑎, em que 𝑝,𝑞 ∈ ℕ. Desta forma, vemos que os
números racionais positivos surgem de modo natural do conjunto
ℕ. Voltaremos a esta discussão na próxima seção. Parece
confuso? Tranquilize-se! Com o exemplo, tudo ficará bem mais
claro!
EXEMPLO 1
Sejam 𝑢 a unidade, û, uma subdivisão da unidade 𝑢 e 𝑎 uma
grandeza da mesma espécie de 𝑢, que se relacionam segundo a
imagem a seguir:
Fonte: autor
Vemos claramente que 𝑢=8⋅û e 𝑎=5⋅û . Desta forma, podemos
expressar 𝑎 em termos da unidade, pois: 
û
û
Então: 
Logo, a medida de 𝑎 é 
EXEMPLO 1B
Assista, a seguir, a um vídeo no qual o professor Sandro Davison
aborda o entendimento geométrico dos números racionais.
A CONCEPÇÃO MODERNA
DOS NÚMEROS RACIONAIS
O tópico anterior apresentou de forma geométrica o surgimento dos
números racionais, a partir de ter fixado uma unidade como
referência. De fato, uma excelente forma de se compreender esse
conteúdo ou mesmo apresentá-lo a quem gostaria de aprender
Matemática.
 
Mas, seguindo a mesma percepção que tivemos com os Axiomas
de Peano, podemos conceber a criação dos números racionais a
partir do que já sabemos sobre números inteiros. Perceba que
continuamos no campo do conjunto das frações, mas com um olhar
levemente diferente.
DESSA FORMA, QUE OBJETO DA
TEORIA DOS CONJUNTOS PODE
NOS AJUDAR A DESCONSTRUIR
O CONCEITO , COM 𝒑,𝒒 ∈ ℤ E
𝒒≠𝟎?
Pode não parecer tão imediato em um primeiro momento, mas
podemos traçar uma relação entre frações e pares ordenados, por
exemplo: 
Assim, podemos olhar uma fração como um par ordenado. Logo, o
conjunto que dá origem aos racionais do ponto de vista da lógica
matemática é ℤ × ℤ∗, em que ℤ∗= ℤ ∖ { 0 }.
A figura a seguir ilustra de forma geométrica como devemos
imaginar os números racionais:
Fonte: autor
No entanto, temos algumas arestas a serem aparadas. Por
exemplo, os pares ordenados (4, 5) e (12, 15) são diferentes, já as
frações são as mesmas.
 
Para resolver este problema, você deve lembrar que duas frações
 são iguais ou equivalentes quando 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑐 ⋅ 𝑑.
 DICA
Assim, utilizando as ideias já existentes, podemos definir uma
relação de equivalência.
SEJAM (𝒂,𝒃),(𝒄,𝒅) ∈ ℤ × ℤ ∗,
DIREMOS QUE (𝒂,𝒃) É
EQUIVALENTE A (𝒄,𝒅) QUANDO
𝒂⋅𝒅=𝒄⋅𝒅.
Em linguagem matemática, escrevemos (𝑎 , 𝑏) ≅ (𝑐 ,𝑑).
 
Definimos, então, um número racional como sendo o conjunto
de todos os pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ × ℤ ∗, tal que (𝑎 , 𝑏) ≅(𝑝, 𝑞).
 
 IMPORTANTE
Note que fixado 𝑛 ∈ ℤ, o par (𝑝, 𝑞) é equivalente a (𝑝 ⋅ 𝑛, 𝑞 ⋅ 𝑛), pois
𝑝⋅(𝑞 ⋅ 𝑛) = 𝑞 ⋅ ( 𝑝 ⋅ 𝑛), assim, podemos dizer sem perda de
generalidade que os conjuntos , São iguais. Nesse sentido,
podemos perceber que tanto faz escrevermos , o número
independe do representante do conjunto. Outra forma de
percebermos isso é entender que também podemos escrever 1/2
ou 2/4, pois indicam a mesma quantidade representada.
Imagine que você divida uma
maçã em duas partes iguais e
coma uma das partes (1/2). Não
seria a mesma situação se você
a dividisse em quatro partes
iguais, e comesse duas destas
partes (2/4)?
Fonte: Nataly Studio/Shutterstock
DEFINIÇÃO: 
DADO UM NÚMERO RACIONAL 
∈ ℚ, DIREMOS QUE É
IRREDUTÍVEL SE O ÚNICO
DIVISOR NATURAL COMUM DE 𝒑
E 𝒒 FOR O NÚMERO 1.
EXEMPLO 2
Considere os números: .
Diga se eles são ou não irredutíveis.
Vejamos: como foi relatado, esperamos que você tenha
alguma familiaridade com as operações básicas.
Para resolver este problema, recomendamos o uso de uma tabela,
onde nós vamos colocar os divisores do numerador em uma linha e
os divisores do denominador em outra. Se apenas o 1 aparecer
nas duas tabelas, simultaneamente, então a fração será irredutível.Esse pode não ser o método mais rápido, mas é o mais simples.
49 1,7,49
21 1,3,7,21
Percebemos neste caso que o 1 e o 7 aparecem como divisores de
ambos os números, no caso 49 e 21. Desta forma, temos que a
fração é redutível. Apesar de ser redutível, note que existe um
representante irredutível para esta fração, pois e
neste caso é irredutível.
9 1,3,9
14 1,2,7,14
Percebemos neste caso que apenas o número 1 ocorre como
divisor em ambas as tabelas, por isso, temos pela definição que 
é irredutível.
 ATENÇÃO
Obs. 1: Dada uma fração ∈ ℚ, sempre existe um representante,
(𝑝,𝑞)∈ , tal que é irredutível.
Obs. 2: Entendemos perfeitamente o que você deve estar
pensando, “Mas, como assim? Um número racional é um
conjunto?”.
Sim, um número racional é um conjunto, mas se você pensar bem,
ele já era um conjunto, pois se fixarmos, por exemplo, (2,3)∈ ℤ×ℤ∗,
o que é este número? Pela nossa definição , que é o mesmo
número que: , para quaisquer 𝑛 ∈ ℤ. Sendo assim,
as frações equivalentes que vemos no Ensino Fundamental
apresentam o conceito de classes de equivalência, mas sem fazer
alarde.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
QUAL DAS SENTENÇAS A SEGUIR É O
REPRESENTANTE IRREDUTÍVEL DA FRAÇÃO
432180 ?
A) 21690
B) 10845
C) 7230
D) 125
GABARITO
Qual das sentenças a seguir é o representante irredutível da
fração 432180 ?
A alternativa "D " está correta.
O que estamos pedindo aqui é que você simplifique a fração até
que isso não possa mais ser feito. De forma geral, temos: 
432180=2⋅2162⋅90=2⋅2⋅1082⋅2⋅45=4⋅3⋅364⋅3⋅15=12⋅3⋅1212⋅3⋅5=125
Portanto, a resposta correta é a letra d).
INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICA
Para que possamos nos aprofundar ainda mais nessa concepção
moderna dos números racionais, devemos ter em mente que uma
interpretação geométrica está no entendimento das soluções das
equações 𝑞⋅𝑥=𝑝, com 𝑝,𝑞 ∈ ℤ e 𝑞≠0.
 
Observemos isto graficamente:
Fonte: autor
Você pode notar que todos os pontos pretos que estão sobre uma
mesma reta na figura, pertencem ao mesmo conjunto. Sob a luz
desta perspectiva, podemos pensar sobre esta nova representação
no sentido das inclusões ℕ⊂ℤ⊂ℚ, como segue na próxima figura:
Fonte: autor
O conjunto dos números naturais está representado pelos pontos
amarelos, o conjunto dos números inteiros são os pontos amarelos
e os verdes e, por fim, o conjunto dos números racionais são os
pontos de cor amarela, verde e azul.
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Você sabe o que significa uma relação de equivalência?
Uma relação de equivalência em ℤ×ℤ* é um objeto matemático que
satisfaz as 3 propriedades a seguir:
1 - REFLEXIVA
(𝑝,𝑞)≅(𝑝,𝑞)
2 - SIMÉTRICA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦)⇒ (𝑥,𝑦) ≅ (𝑝,𝑞)
3 - TRANSITIVA
(𝑝,𝑞) ≅ (𝑥,𝑦) e (𝑥,𝑦) ≅ (𝑎,𝑏) ⇒ (𝑝,𝑞) ≅ (𝑎,𝑏)
Para que o aluno possa entender
melhor as relações de
equivalência, vamos pensar
sobre a relação de amizade, em
sentido amplo.
Fonte: Rawpixel.com/
Shutterstock
- A reflexividade nos diz que uma pessoa é amiga de si mesma.
- A simétrica nos apresenta que a relação de amizade é mútua: se
eu sou seu amigo, então você também é meu amigo.
- Por fim, a transitiva diz que se um amigo seu tiver um amigo,
essa pessoa é imediatamente sua amiga também.
É claro que isto é apenas um contexto lúdico, mas espero que você
tenha entendido a ideia das relações de equivalência.
 ATENÇÃO
É muito importante que você perceba que estamos aqui apenas
apresentando as ideias básicas acerca deste mundo tão fantástico
da Matemática. Portanto, há muito a se aprender, muito a ser
aprofundado.
As relações de equivalência são, de modo geral, um conceito
extremamente abstrato. Frações equivalentes são apenas um
exemplo que apresenta de forma simples o conceito,
especialmente para os principiantes nesse vasto universo
matemático. Saiba, portanto, que este tema escala em âmbito de
generalidade e abstração que só pode ser de fato entendido
quando se ganha experiência e maturidade matemática, e como
toda maturidade, só se adquire com o tempo.
EXEMPLO
Assista a seguir a mais um vídeo com o professor Sandro Davison.
Desta vez, ele vai apresentar a resolução de um exercício sobre
malha em Z×N.
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
SEJAM PQ ∈ ℚ UMA FRAÇÃO. QUAL DAS
SENTENÇAS ABAIXO É VERDADEIRA? 
 
DICA: PARA MOSTRAR QUE ALGO É FALSO,
BASTA EXIBIR UM CASO EM QUE A SENTENÇA
SEJA FALSA. ASSIM, TENTE VERIFICAR QUE
EXISTEM 4 AFIRMAÇÕES FALSAS. A QUE SOBRAR
SERÁ A VERDADEIRA.
A) pq é irredutível.
B) Se 𝑝 é par e pq é redutível, então 𝑞 é par
C) Se p2q2 é irredutível, então pq é irredutível.
D) Se 𝑝 é ímpar e pq é irredutível, então 𝑞 é par.
GABARITO
Sejam pq ∈ ℚ uma fração. Qual das sentenças abaixo é
verdadeira? 
 
DICA: Para mostrar que algo é falso, basta exibir um caso em
que a sentença seja falsa. Assim, tente verificar que existem 4
afirmações falsas. A que sobrar será a verdadeira.
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
Vamos por eliminação: 
a) É falsa, pois, se escolhermos pq=24, esta fração é redutível. 
b) É falsa, pois se escolhermos pq=69, temos que 𝑝=6 é par, ela é
redutível, mas 𝑞=9 é ímpar. 
c) É verdadeira, mas vamos verificar que as outras são falsas, que
é bem mais simples. 
d) É falsa, pois, se escolhermos pq=35, temos que 𝑝=3 é ímpar, ela
é irredutível, mas 𝑞=5 é ímpar.
ALGUMAS OPERAÇÕES EM ℚ
Apesar das ideias abstratas, a medida ainda é o que nos guia na
hora de definir as operações com frações. A seguir, uma breve
síntese das operações de soma e divisão de frações com objetivo
de darmos sentido a essas operações.
SOMA
Primeiro, devemos lembrar que, para executar a soma, as
grandezas devem ser colocadas sob a mesma unidade ou
subunidade. Por exemplo:
 
 
Pensando em segmentos, o que temos aqui são duas barras de
mesmo material e mesmo tamanho, em que a primeira barra está
dividida em 3 partes e usamos uma, e a segunda está dividida em
5 partes e usamos 3. O ponto é que em cada barra estão sendo
utilizadas unidades diferentes. O que devemos fazer é colocar as
barras sob a mesma subunidade. Como?
BARRA 1
A barra 1 está dividida em 3 partes. Dividindo cada uma delas em 5
partes, vamos obter 15 partes no total. Mas, se usamos uma das 3
partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 5 partes com a
nova unidade, pois sabemos que 
BARRA 2
A barra 2 está dividida em 5 partes. Dividindo cada uma delas em 3
partes, vamos obter 15 partes no total. Mas, se usamos três das 5
partes na unidade anterior, agora vamos utilizar 9 partes com a
nova unidade, pois sabemos que assim: 
De forma geral: 
Definição:
Dados ∈ ℚ tem-se 
Esta pode não ser exatamente a forma como você aprendeu a
somar frações na infância, mas, no fim, é a mesma coisa. Estamos
evitando usar termos como MMC (Mínimo Múltiplo Comum) ou
MDC (Máximo Divisor Comum). Lembra-se deles?
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO
GASTEI 39 DO MEU SALÁRIO COM ALIMENTAÇÃO
E 25 COM AS DEMAIS DESPESAS. O QUE SOBROU
FOI APLICADO EM UM INVESTIMENTO DE RENDA
FIXA. QUAL FRAÇÃO DO MEU SALÁRIO FOI
COLOCADA NO INVESTIMENTO?
A) 3345.
B) 514
C) 415
D) 914
GABARITO
Gastei 39 do meu salário com alimentação e 25 com as demais
despesas. O que sobrou foi aplicado em um investimento de
renda fixa. Qual fração do meu salário foi colocada no
investimento?
Parabéns! A alternativa “C” está correta. 
A conta é simples. O que foi gasto corresponde a
 3 9+ 2 5=15+1845=3345. 
Esta é a parte que foi gasta. Como queremos o que foi investido,
então: 3345−4545=1245 
A resposta poderia ser esta, sem problemas, mas ela não está na
múltipla escolha, note que 1245=415 
 
DIVISÃO
Lembre-se de que uma divisão já é uma fração, assim, a divisão de
frações pode ser pensada da seguinte forma: .
Segundo o mesmo princípio das frações equivalentes, isto é,
quando multiplicamos o numerador (a parte de cima da fração) e o
denominador (a parte de baixo da fração) pelo mesmo valor,
continuamos a ter a mesma fração. Assim:
 
.
De forma geral:
Definição:
Dados ∈ ℚ com 𝑚≠0, tem-se 
 RELEMBRANDOProvavelmente, você tenha se lembrado da famosa regra:
Mantenha o primeiro e multiplique pelo inverso do segundo.
EXEMPLO 3
Uma geladeira foi comprada de maneira que do valor foram
pagos à vista. O restante do valor deve ser pago em 10 prestações
iguais. Qual a fração, em relação ao total, de cada parcela?
SOLUÇÃO
A ideia é simples: ficaram faltando do valor da geladeira, e esta
quantia foi dividida em 10 parcelas fixas. Logo, o montante de cada
parcela vai corresponder a 
 . 
OS INCOMENSURÁVEIS E O
SURGIMENTO DOS NÚMEROS
javascript:void(0)
REAIS
Segundo Eave (1995), os pitagóricos acreditavam que os
números eram a essência do universo e da sociedade secreta
grega. Sob a concepção moderna, um número para os pitagóricos
correspondia aos números racionais positivos.
 
Devemos ter o cuidado de localizar os próximos eventos, narrados
há aproximadamente 500 a.C., porque não há como ter precisão
histórica em relação ao que vamos contar, mas a reflexão vale
muito a pena!
 
O problema se inicia com um fato guardado a sete chaves pelos
pitagóricos:
PITAGÓRICOS
Pitágoras (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático
grego, creditado como fundador do pitagorismo.
javascript:void(0)
A DIAGONAL DE UM QUADRADO
É INCOMENSURÁVEL COM SEUS
LADOS.
O QUE ISSO
SIGNIFICA?
Segundo o Teorema de
Pitágoras, deve-se ter que: Se 𝑥
é a diagonal de um quadrado de
lado 𝑙, então 𝑥 deve ser a solução
da equação 𝑥2=𝑙2+𝑙2, portanto
𝑥2=2𝑙2.
Assim, se estabelecermos um
comprimento qualquer, e
tomarmos um quadrado
exatamente com essa medida de
lado, independentemente da
unidade escolhida, com base em
alguma subdivisão em partes
iguais do lado do quadrado,
Fonte: Autor
nunca iremos conseguir dois
números naturais, tal que a
diagonal do quadrado e o lado do
quadrado sejam múltiplos inteiros
desta unidade.
De acordo com Eave (1995), toda a teoria da proporção pitagórica
e das figuras semelhantes era baseada nesse pressuposto óbvio.
Assim, grande parte da Geometria pitagórica foi subitamente
invalidada.
 CURIOSIDADE
A lenda conta que Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras,
foi misteriosamente naufragado após ter exposto esse segredo.
Outra relação que ilustra a incomensurabilidade entre grandezas é
a comparação entre o diâmetro 𝐷 e o perímetro 𝐶 de um círculo
que gera o famoso número 𝜋, em que
 
Fonte: autor
Neste caso, a prova que tais grandezas são incomensuráveis é
bem mais difícil e sofisticada. A primeira prova foi dada apenas em
1770, por Johann Lambert.
Uma prova simplificada para este fato pode ser encontrada em
Niven (1947) ou com maiores detalhes em Spivak (1970). Decorre
da existência de grandezas incomensuráveis a necessidade de se
expandir o conjunto dos números racionais.
OS NÚMEROS REAIS FORAM UM
CAPÍTULO E TANTO NO
DESENVOLVIMENTO DO
PENSAMENTO MATEMÁTICO E
SOMENTE COMPLETAMENTE
ENTENDIDOS PELA COMUNIDADE
MATEMÁTICA NA SEGUNDA
METADE DO SÉCULO XIX.
Como já falamos, haverá sempre um mundo a se mergulhar no
âmbito da Matemática!
As atividades a seguir ilustram um pouco da dificuldade que se
pode encontrar quando trabalhamos com frações.
EXEMPLO 4
Adaptada da OBMEP
Um ônibus transporta 31 estudantes da Estácio, baianos e
mineiros, para um encontro nacional de educação. Entre os
baianos, são homens e, entre os mineiros, são mulheres.
Entre todos os estudantes, quantas são as mulheres?
SOLUÇÃO
Esta questão é delicada, mas muito bonita também. Aqui, fica
nítido que não conhecemos as unidades do problema e que eles se
javascript:void(0)
encontram em unidades distintas, assim, se simplesmente fizermos
a soma das frações, isso não irá nos dar uma resposta adequada.
Neste problema, temos duas unidades, representadas em baianos
e mineiros.
 
Porém, o problema deixa algumas coisas claras:
Baianos + Mineiros = 31.
A quantidade de mineiros como unidade, é divisível por 7,
pois são mulheres.
A quantidade de baianos como unidade é divisível por 5, pois
 são homens.
VAMOS FAZER UMA TABELA:
Múltiplos de 7 Número cuja soma é 31
7 24
14 17
Múltiplos de 7 Número cuja soma é 31
21 10
28 3
Vemos claramente que a terceira linha é única que satisfaz as 3
condições relatadas. Logo, temos 21 mineiros e 10 baianos. Assim,
podemos construir a seguinte tabela:
Mineiros Baianos Total
Mulheres 6 15
Homens 12 16
Total 21 10 31
Agora todos os alunos estão sob a mesma unidade. Com isso, a
fração que representa a quantidade de mulheres é .
VERIFICANDO O
APRENDIZADO
1. SEJAM 𝒖 A UNIDADE, Û UMA SUBDIVISÃO DA
UNIDADE 𝒖, 𝒂 E Â GRANDEZAS DA MESMA
ESPÉCIE DE 𝒖 QUE SE RELACIONAM SEGUNDO A
IMAGEM A SEGUIR: 
 
FONTE: AUTOR
DETERMINE 𝑎 EM TERMOS DE Â. 
A) a=54⋅â
B) Xa=57⋅â.
C) a=45⋅â
D) a=75⋅â
2. CONSIDERE A MALHA EM ℤ × ℕ. DETERMINE A
ALTERNATIVA QUE EXIBE TODOS OS PONTOS QUE
PERTENCEM AO CONJUNTO 12: 
 
FONTE: AUTOR
 
A) 𝑔11; 𝑓14
B) 𝑔10; 𝑓12;𝑒14
C) 𝑓9; 𝑑10; 𝑏11
D) 𝑔6; 𝑓4; 𝑒2
GABARITO
1. Sejam 𝒖 a unidade, û uma subdivisão da unidade 𝒖, 𝒂 e â
grandezas da mesma espécie de 𝒖 que se relacionam segundo
a imagem a seguir: 
 
Fonte: autor
Determine 𝑎 em termos de â. 
A alternativa "D " está correta.
 
Vemos claramente que 𝑢=4⋅û, 𝑎=5⋅û e â=7⋅û. Desta forma,
podemos expressar 𝑎 em termos da unidade, u=4⋅ûa=5⋅ûâ=7⋅û.
Então:
a=57⋅â.
Com isto, temos que o conceito de número racional positivo surge
da noção de medida entre grandezas comensuráveis.
2. Considere a malha em ℤ × ℕ. Determine a alternativa que
exibe todos os pontos que pertencem ao conjunto 12: 
 
Fonte: autor
 
A alternativa "C " está correta.
 
Novamente uma imagem vale mais que mil palavras. A seguir,
temos a representação dos números racionais como pontos do
plano cartesiano. Como vimos no módulo, a classe de um número
racional pq são todos os pontos do plano (𝑚,𝑛) tal que estejam
sobre a reta que passa pela origem e pelo ponto (𝑝,𝑞). Assim,
considerando a reta que passa pela origem e pelo ponto (1,2) = 𝑓 9,
vemos que 𝑑10 e 𝑏11 também pertencem à classe de 12.
Fonte: autor
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Aritmética é o estudo dos conjuntos numéricos. Resumidamente,
estudamos os números naturais – aqueles que surgem
naturalmente pela necessidade humana de contar as coisas – com
um pouco mais de profundidade. Também através dos números
naturais obtivemos a excelente oportunidade de conhecermos o
Princípio de Indução Matemática, que é uma ferramenta
poderosíssima dentro da ciência de forma geral. E isso fizemos
com a ajuda de Peano, lembra-se?
 
Estudamos também com um pouco mais de empenho os números
racionais: aqueles relacionados às questões sobre a necessidade
de medir as coisas. Tivemos a oportunidade de perceber a
necessidade dos números reais devido aos incomensuráveis e, em
um contexto histórico, o surgimento dos números inteiros e
complexos.
 
Portanto, apresentamos a você a ideia de que todo conhecimento
matemático é sempre inicial, ou seja, sempre haverá muito mais a
se aprender. E é nisto que acreditamos: que você irá buscar mais e
mais se aprofundar nesse mundo!
REFERÊNCIAS
BEZERRA, Juliana. Pitágoras. In: Toda Matéria. Publicado em: 25
set. 2019.
BIRKHOFF, S. M. Álgebra. 3rd. ed. New York: AMS, 1988.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática. Rio de Janeiro:
CM, 2000.
EAVE, H. Introdução à História da Matemática. São Paulo:
Unicamp, 1995.
FOMIN, D. A. Círculos Matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
GIUSEPPE Peano. In: Só Matemática. Consultado em meio
eletrônico em: 21 mai. 2020.
HEFEZ, A. Curso de Álgebra. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
JEAN-ROBERT Argand. In: Educ. Universidade de Lisboa.
Consultado em meio eletrônico em: 21 mai. 2020.
KARL Friedrich Gauss. In: Biblioteca Matemática. Universidade
de Coimbra. Consultado em meio eletrônico em: 21 mai. 2020.
KLEIN, F. Elementary Mathematics from a Higher standpoint.
Heidelberg: Springer, 2016.
MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números — Uma introdução a
Matemática.São Paulo: Edusp, 2006.
NIVEN, I. A simple Proof that pi is irrational. In: Bull. Amer. Math.
soc, 509, 1947.
RIPOLL, C.; Rangel, L.; GIRALDO, V. Números Inteiros. Rio de
Janeiro: SBM, 2016.
RIPOLL, C.; Rangel, L.; GIRALDO, V. Números Naturais. Rio de
Janeiro: SBM, 2016.
RIPOLL, J.; RIPOLL, C. Números Racionais, Reais e Complexos
. Porto Alegre: UFRGS, 2011.
RIPOLL, J.; RIPOLL, C.; SILVEIRA, J. (02 de 01 de 2013). O
Tormento de Cardano. In: Pequenos Artigos Klein. Consultado
em meio eletrônico em: 21 mai. 2020.
ROQUE, T. História da Matemática: Uma visão crítica desfazendo
mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
SINGH, S. (2014). O Último Teorema de Fermat. São Paulo:
Bestbolso, 2014.
SPIVAK, M. Calculus. v. 2. Barcelona: Reverté S.A., 1970.
STEPHEN Hawking. The Official Website. Consultado em meio
eletrônico em: 21 mai. 2020.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
O site da Sociedade Brasileira de Matemática.
Assista:
Canal A Matemaníaca, por Julia Jaccoud, YouTube.
Canal M3 Matemática Multimídia, que pode ajudar você a
aprofundar conceitos básicos apresentados aqui. Por
exemplo, o vídeo A Razão dos Irracionais, que fala sobre os
matemáticos pitagóricos.
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
A dissertação de mestrado A construção histórica dos
sistemas de numeração como recurso didático para o
Ensino Fundamental I, de Claudélcio G. Leite, defendida na
UFC (Universidade Federal do Ceará), que apresenta
diversos sistemas de numeração com uma abordagem lúdica,
adaptada para alunos do Ensino Fundamental.
CONTEUDISTA
Marcelo Leonardo dos Santos Rainha
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);