Apostila - Princípios de Telecomunicações

Prévia do material em texto

Princípios de Telecomunicações
Apostila de ELE-31 1
Manish Sharma2
7 de agosto de 2016
1Revisada pela COMP-17 do ITA
2http://www.ele.ita.br/~manish/
http://www.ele.ita.br/~manish/
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Elementos de um sistema de comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tipos de Modulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Requisitos para processamento digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Limites teóricos de comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Exercícios do livro “Communication Systems 5th Edition” . . . . . . . . . 4
1.5.2 Outros exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Sinais e Espectro 7
2.1 Espectro de Linha e Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Sinais periódicos e potência média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Série de Fourier (S.F.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Condições para convergência e fenômeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Transformada de Fourier e Espectro contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Sinais simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Sinais causais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Teorema de Energia de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Teorema de dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.5 Considerações práticas sobre a TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Propriedades da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Mudança de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 Translação em frequência e Modulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.6 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Teoremas de Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Impulsos e limites da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Propriedades do Impulso Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.2 Impulsos em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.3 Função degrau e sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.4 Impulsos no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.5 Transformada de Fourier no tempo discreto e Transformada Discreta de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.1 Exercícios do Livro “Communication Systems 5th Edition” . . . . . . . . 35
2.6.2 Outros exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
i
SUMÁRIO SUMÁRIO
3 Transmissão de Sinais, Filtros 39
3.1 Resposta de sistemas LTI (Linear Time-Invariant) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Resposta ao Impulso e Integral por Superposição . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Função de Transferência e Resposta ao Impulso . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3 Análise por diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Distorção de Sinais durante Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Transmissão sem Distorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Distorção Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 Atraso de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Perdas de transmissão e Decibéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Filtros e Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.1 Filtros Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.2 Sinais limitados no tempo ou em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Filtros de Quadratura e Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Correlação e Densidade Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 Correlação de sinais de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2 Correlação de sinais de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.3 Correlações e sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.4 Função de Densidade Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7.1 Exercícios do Livro “Communication Systems 5th Edition” . . . . . . . . 59
3.7.2 Outros exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Modulação linear 62
4.1 Sinais e Sistemas em Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.1 Sinais em Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 Transmissão em Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.3 Bandas de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Modulação em Amplitude com Portadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.1 Sinais e Espectro DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Modulação Tonal e Análise Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Modulação em amplitude com supressão de banda lateral . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Sinais e espectro SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.2 Geração de Sinais SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.3 Sinais e Espectro VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Conversão em frequência e Demodulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.1 Conversão em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5.2 Demodulação síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.3 Demodulação assíncrona - Detector de envoltória . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6.1 Exercícios sugeridos do livro “Communication Systems 5th Edition” . . . 87
4.6.2 Outros exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Modulação Angular ou exponencial. 91
5.1 Modulação em Fase e em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1 PM e FM de faixa estreita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.2 Modulação tonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.3 Análise Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Banda de transmissão e distorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.1 Estimativa de Banda de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.2 Distorção linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ii
SUMÁRIO SUMÁRIO
5.2.3 Distorção não linear e limitadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Geração e detecção de sinais FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.1 Conversor FM-AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2 Discriminador de variação de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.3 Detector de cruzamentos de zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.1 Exercícios do livro “Communication Systems 5th Edition” . . . . . . . . . 107
5.4.2 Outros exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Amostragem e Modulação de Pulsos 111
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 Modulação da amplitude dos pulsos-PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4 Modulação Temporal dos Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.1 Modulação PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4.2 Modulação PPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4.3 Demodulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.1 Exercícios do livro “Communication Systems 5th Edition” . . . . . . . . . 118
6.5.2 Outros exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Introdução a comunicações digitais 120
7.1 Representação geométrica de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 Modulações Digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1 Modulação de amplitude (PAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.2 Modulação em fase (PSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.3 Modulação QAM - Quadrature Amplitude Modulation . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4 Sinalização Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5 Rotulação binária dos símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6 Modelo de canal AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.7 Receptor ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.8 Receptor ML para o canal Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.8.1 Evento de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.8.2 Probabilidade de erro de bit para algumas modulações . . . . . . . . . . . 134
7.9 Comparação entre modulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.10.1 Exercícios do livro “Haykin, S., Sistemas de comunicação: analógicos e
digitais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.10.2 Outros exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Appendices 140
A Revisores 141
iii
Capítulo 1
Introdução
1.1 Elementos de um sistema de comunicação
• Os objetivos de um sistema de comunicações são:
– Transferir informação de um tempo/espaço para outro;
– Fazer isso de forma eficiente e correta.
• Superficialmente, definimos informação como o que não sabemos sobre a realização de
uma variável aleatória.
• Não nos importamos com o conteúdo da informação: somente com o seu formato.
• Isto quer dizer que não é relevante o resultado de um jogo de futebol, mas somente a
forma de descrever e transmitir as possibilidades de resultado de forma eficiente.
• Informação é representada por mensagens que possuem alguma grandeza física: som,
temperatura, tensão ou carga elétrica, etc.
• A transferência é feita através de um canal de comunicação.
• Amensagem deve ser convertida para algo que possa ser eficientemente transmitido através
do canal e posteriormente recuperada para utilização.
• Dadas estas necessidades, um sistema de comunicação ponto a ponto simples teria o dia-
grama de blocos genérico da Figura 1.1.
• Neste diagrama de blocos temos:
– Uma fonte da mensagem;
– Um transdutor de entrada, que converte a mensagem no seu estado “natural” em
algo que pode ser processado pelo sistema;
– Uma etapa de processamento para converter a mensagem “traduzida” em algo que
possa ser eficientemente transmitido pelo canal;
– Um transmissor propriamente dito, que transfere os sinais para um canal;
– Um canal de comunicação que leva o sinal transmitido do transmissor para o receptor.
Os canais podem adicionar ruído, distorcer o sinal ou causar interferência; 1
– Um receptor que capta os sinais do canal;
1A interferência difere do ruído pois há uma “inteligência” na primeira, enquanto que o segundo é puramente
aleatório.
1
1.1. ELEMENTOS DE UM SISTEMA DE COMUNICAÇÃOCAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Fonte
Transdutor 
de entrada
Processa-
mento
Trans-
missor
Canal
Destino
Transdutor 
de saída
Processa-
mento
Receptor
Ruido
Distorção
Interferência
Figura 1.1: Diagrama de um sistema de comunicação.
– Uma etapa que processa os sinais do canal e os prepara para o transdutor de saída;
– Um transdutor de saída, que converte os sinais do sistema em algo que pode ser
utilizado pelo destino;
– Um destino para a mensagem.
• Outras topologias são possíveis: duplex, broadcast, multiponto.
• Exemplos:
– Wi-fi, bluetooth, rádio AM, FM, TV digital, ANT+;
– Reuters utilizou pombos para transmitir informação de Bruxelas para Aachen;
– Hieroglifos egípcios;
– Armazenamento eletrônico, celular.
• Atualmente a melhor forma de realizar o processamento necessário para transmitir infor-
mação é a forma elétrica/eletrônica, analógica ou digital.
• As vantagens são a facilidade de uso, o custo e a velocidade de processamento.
• Canais muito utilizados:
– Eletromagnéticos:
∗ Rádio (a faixa de frequências utilizadas é a variável);
∗ Laser;
∗ Infravermelho.
– Sonoros;
– Elétricos.
• Canais de rádio são preciosos:
– Frequências baixas são desejáveis pois tem alcance maiores;
– Frequências altas tem antenas menores;
– Circuitos para frequências altas devem ser projetados cuidadosamente;
2
1.2. TIPOS DE MODULAÇÃO CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
– O espectro eletromagnético é único e compartilhado.
• Existe regulamentação para o uso do espectro eletromagnético, vide Figura 1.2.
• Utilizamos moduladores e demoduladores para poder utilizar uma faixa específica de
frequências.
• Vantagens em potencial de modulação:
– Escolha da banda de transmissão;
– Escolha da frequência de transmissão;
– Transmitir o sinal em frequência/banda diferente da mensagem;
– Melhora de desempenho (relação sinal/ruído);
– Permite que vários usuários utilizem o mesmo canal ao mesmo tempo;
– Permite a transmissão de muita informação em uma pequena faixa de frequência,
dentro de alguns limites teóricos.
1.2 Tipos de Modulação
• Uma senoide não modulada é o sinal que ocupa a menor banda.
• Uma senoide modulada ocupará banda necessariamente maior.
• Genericamente, um sinal senoidal modulado pode ser descrito através da seguinte equação:
s(t) = A(t) · cos [2πf(t) · t+ φ(t)] (1.1)
• O tipo de modulação depende de qual grandeza da senoide depende da informação:
– Modulação em amplitude (AM) se a informação está em A(t);
– Modulação em frequência (FM) se a informação está em f(t);
– Modulação em fase (PM) se a informação está em φ(t).
• Alternativamente, podemos transmitir informação em uma sequência de pulsos, descrita
pela equação a seguir:
s(t) = k +
∑
n
A[n] · p
(
t− τn
Tn
)
(1.2)
onde k é uma constante qualquer e p(t) é um pulso qualquer, não necessariamente retan-
gular. A escolha apropriada de τn e Tn permite deslocar o pulso no tempo e escaloná-lo.
Analogamente, teríamos as seguintes modulações:– Modulação em amplitude de pulso (PAM) se a informação está em A[n];
– Modulação em largura de pulso (PWM) se a informação está em Tn;
– Modulação em posição do pulso (PPM) se a informação está em τn.
3
1.3. REQUISITOS PARA PROCESSAMENTO DIGITAL CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.3 Requisitos para processamento digital
• Para processarmos de forma fácil, utilizamos computadores.
• Os sinais a serem transmitidos devem ser digitalizados para podermos processá-los.
• A digitalização envolve dois parâmetros:
– Taxa de amostragem → depende do sinal a ser representado;
– Número de bits por amostra → limita a precisão da representação de cada amostra.
• O produto (taxa de amostragem × número de bits por amostra) resulta na taxa de bits.
Se muito alta, exigirá mais do nosso processador. Se muito baixa, distorcerá a mensagem
ao ponto de torná-la inútil.
1.4 Limites teóricos de comunicação
• Para transmitir informação, gastamos uma certa quantidade de energia. Entretanto, o
canal normalmente adiciona ruído.
• Nestas condições, há um limite de quanta informação podemos transmitir de forma con-
fiável através de um canal ruidoso. Este limite foi dado por Claude Shannon:
C = B · log
[
1 + S
N
]
(1.3)
onde:
– C é a capacidade do canal, em bits por segundo;
– B é a banda de transmissão utilizada;
– S é a potência do sinal que transmitimos;
– N é a potência do ruído presente na recepção.
• Qualquer taxa de transmissão de bits deve ser menor do que C para que a transmissão
seja confiável, isto é, com quase nenhum erro.
• As consequências desta equação são:
– Devemos representar a informação de forma mais eficiente possível para transmitir o
menor quantidade de bits: codificar a fonte.
– Devemos transmitir a informação através do canal para que seja possível recuperá-la
corretamente na recepção, mesmo na presença de ruído: código de canal.
• Finalmente, chegamos em um diagrama de blocos mais detalhado para um sistema de
comunicação simples mostrado na Figura ??.
1.5 Exercícios
1.5.1 Exercícios do livro “Communication Systems 5th Edition”
• Todas as questões conceituais do capítulo 1.
4
1.6. CURSO CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.5.2 Outros exercícios
1. O que é capacidade de canal?
2. Quais são as implicações da seguinte equação do ponto de vista do projeto de um sistema
de comunicações?
C = B · log
[
1 + S
N
]
(1.4)
1.6 Curso
O curso vai apresentar em detalhes as modulações analógicas AM, FM e PM e brevemente as
modulações de pulsos. Para permitir os tratamentos matemáticos necessários, desenvolvemos
primeiramente algumas ferramentas para análise em frequência.
5
1.6. CURSO CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.2: Regulamento brasileiro sobre o espectro de comunicação.
6
Capítulo 2
Sinais e Espectro
O objetivo deste capítulo é relembrar algumas ferramentas necessárias para a análise de sinais
no domínio do tempo e de frequência. Alguns conceitos novos também são apresentados.
2.1 Espectro de Linha e Série de Fourier
• Uma onda senoidal pode ser descrita pela seguinte equação:
v(t) = A · cos(2πfot+ φ) (2.1)
onde A é a amplitude, φ é a fase da onda, f0 é a frequência em Hertz (Hz). A relação
entre a frequência e velocidade angular (em radianos por segundo) é fo ,
ω0
2π ,
1
To
.
• A equação implica em periodicidade infinita mas pode ser utilizada para analisar sinais
reais finitos (no tempo).
• Representação equivalente: fasor.
• Representação fasorial é derivada da representação da equação anterior como uma soma
de exponenciais complexas:
exp(±jθ) = cos(θ)± jsin(θ) (2.2)
onde j ,
√
−1.
• Desta forma temos que a parte real de uma exponencial complexa é:
<{Aexp [j (2πfot+ φ)]} = A · cos(2πfot+ φ) (2.3)
• Essa representação se chama fasorial, pois o interior das chaves pode ser visto como um
vetor no plano complexo com amplitude A centrado na origem, que gira ao longo do tempo
com a velocidade indicada. A parte real é a projeção desse vetor no eixo real, como mostra
a figura 2.1.
• Um fasor é então definido por 3 elementos:
– Amplitude A
– Fase φ
– Frequência fo
7
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
𝐴 
𝑓0 
𝜙 
ℜ 
ℑ 
Figura 2.1: Fasor
• O mesmo fasor pode ser descrito graficamente no domínio de frequência (variável inde-
pendente f) se esses parâmetros forem apresentados, o que exige dois gráficos: um de
amplitude e um de fase, conforme mostra a figura 2.2.
𝑓 
𝑓0 
𝑓 
𝑓0 
𝐴 
𝜙 
A
m
p
li
tu
d
e 
F
as
e 
Figura 2.2: Diagrama fasorial de amplitude e de fase.
• Resumidamente, podemos chamar esse diagrama (ou outros com informações similares)
como espectro, pois nos permite ver o que o sinal representa no domínio de frequências.
• Convenções:
– Variável independente é a frequência f e não a velocidade angular ω.
– Fases são relativas ao cosseno, isto é, a fase de um cosseno é zero. A relação entre
seno e cosseno é: sin(2πft) = cos(2πft− 90o).
8
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
– Amplitude é sempre positiva. Amplitudes negativas são compensadas pela fase para
torná-las positivas. Isto é, −cos(2πf0t) = cos(2πf0t+ 180o).
– Fases de ±1800 são iguais.
– Fases são apresentadas em graus, com o símbolo o, ou em radianos, dependendo do
contexto..
• Exemplo: w(t) = 7−10cos(40πt−60o)+4sin(120πt) = 7cos(0πt)+10cos(2pi20t+120o)+
4cos(2π60t− 90o). Esse sinal tem o diagrama fasorial da figura 2.3.
𝑓 𝑓 
A
m
p
li
tu
d
e 
F
as
e 
0 20 40 60 0 20 40 
60 
7 
10 
4 
120o 
-90o 
Figura 2.3: Diagrama fasorial de w(t)
• Esses diagramas são unilaterais e representam frequências positivas
• Uma representação bilateral pode ser útil para representar sinais utilizados na prática.
Ela pode ser obtida através da identidade:
<{z} = z + z
∗
2 (2.4)
ou seja:
<{Aexp [jφ] exp [j (2πfot)]} =
A
2 [exp(−jφ)exp(−2πfojt) + exp(jφ)exp(2πfojt)] (2.5)
• Os termos individuais da equação anterior não são necessariamente reais, mas a soma
necessariamente é.
• Podemos desenhar o diagrama fasorial bilateral a partir da equação anterior, resultando,
para o exemplo anterior, na figura 2.4.
• Para sinais reais, o gráfico bilateral de amplitude tem simetria par e o gráfico bilateral de
fase tem simetria ímpar.
• Comparando os dois diagramas, o bilateral possui metade do valor das amplitudes, exceto
na origem (f = 0). F1
1Cabe ao aluno verificar as afirmações sempre que o símbolo F aparecer.
9
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
A
m
p
li
tu
d
e 
𝑓 
0 20 40 60 
7 
5 
2 
𝑓 
0 
-20 
-40 -60 
-120o 
90o 
𝑓 
F
as
e 
20 40 
60 
120o 
-90o 
𝑓 
-20 -40 -60 
5 
2 
Figura 2.4: Diagrama fasorial bilateral de w(t)
• A vantagem de utilizar o espectro bilateral é porque ele permite a representação de sinais
complexos, que serão úteis futuramente.
• Uma única linha representa então:
– Uma senoide no espectro unilateral.
– Uma exponencial complexa no espetro bilateral.
• Tanto as frequências positivas como as frequências “negativas”(abstração matemática)
devem ser consideradas ao desenhar o espectro bilateral.
• O espectro de amplitude é normalmente mais utilizado, pois contém informação sobre
quais frequências estão presentes e quanto elas são “fortes”, o que só veremos formalmente
depois.
2.1.1 Sinais periódicos e potência média
• Um sinal v(t) é periódico se v(t± nT0) = v(t), para −∞ < t <∞ e qualquer n inteiro.
• Na equação anterior, o menor valor de T0 que satisfaz a igualdade é o período fundamental
do sinal.
• Podemos aproximar, com consequências, sinais reais como sinais periódicos.
• A representação que utilizaremos posteriormente necessita que a potência média deste
sinal seja finita, o que definiremos a seguir.
• O valor médio no tempo de uma função v(t) qualquer é < v(t) > , calculada via:
< v(t) >= lim
T→∞
1
T
∫ T
2
−T2
v(t)dt (2.6)
• Quando v(t) é periódica com período T0 esta equação fica:
< v(t) >= 1
T0
∫ t1+T0
t1
v(t)dt = 1
T0
∫
T0
v(t)dt (2.7)
10
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAISE ESPECTRO
• Para determinar a potência de um sinal, é preciso saber qual grandeza ele representa. Por
convenção, assumimos que o sinal v(t) é ou uma corrente ou uma tensão aplicada sobre
uma resistência de 1Ω, de forma que a potência média deste sinal é, pela Lei de Ohm:
Pv =< |v(t)|2 >=
1
T0
∫
T0
|v(t)|2dt (2.8)
onde utilizamos o módulo, pois v(t) pode ser complexo2
• Quando 0 < Pv <∞, o sinal v(t) é chamado de sinal de potência periódico.
• Para sinais senoidais com amplitude A, a potência é P = A22
2.1.2 Série de Fourier (S.F.)
• Permite representar sinais periódicos como soma de exponenciais complexas
• Seja v(t) um sinal de potência periódico com período fundamental T0 = 1/f0. O valor de
f0 é a frequência fundamental. Este sinal pode ser escrito como :
v(t) =
∞∑
n=−∞
cn · exp(j2πnf0t) (2.9)
para n inteiro, com coeficientes dados por:
cn =
1
T0
∫
T0
v(t) · exp(−j2πnfot)dt = |cn|exp(j · arg(cn)) (2.10)
onde arg(cn) retorna a fase do número complexo cn
• A equação se encontra na forma exponencial. Poderia ser dividia na forma senoidal
separando o somatório em somas de cossenos e senos, estes últimos multiplicados pela
constante j.
• Comparando com a definição de valor médio, o valor de cn pode ser interpretado como o
valor médio do que está sendo integrado. Este, por sua vez, pode ser visto como o produto
interno de v(t) com a exponencial complexa.
• O somatório também pode ser interpretado como uma soma de fasores com frequência
múltipla inteira da frequência fundamental do sinal v(t), isto é, 0,±f0,±2f0, ....
• Logo, V (f), o espectro de linha bilateral de v(t) é definido pelos valores de cn, de tal
forma que c(nf0) = cn.
• Propriedades do espectro de sinais periódicos:
– Todas as frequências presentes são harmônicos (múltiplos inteiros) da frequência
fundamental f0 = 1/T0, i.e., linhas são uniformemente espaçadas.
– Valor em f = 0 (normalmente chamado de componente D.C.) é o valor médio do
sinal:
c0 =
1
T0
∫
T0
v(t)dt =< v(t) > (2.11)
2Neste caso a potência que estamos calculando é equivalente a potência aparente
11
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
– Para sinais reais:
c−n = c∗n = |cn|exp(−jarg(cn)) (2.12)
isto é, amplitudes têm simetria par e fases têm simetria ímpar.
• A última propriedade permite reagrupar elementos da série, dois a dois, exceto c0, ou que
nos permite escrever:
v(t) = c0 +
∑∞
n=1 |2cn|cos(2πnf0t+ arg(cn))
ou
v(t) = c0 + ·
∑∞
n=1[ancos(2πnf0t) + bnsin(2πnf0t)]
an = <{cn}, bn = ={cn}
(2.13)
• As funções seno e cosseno da equação anterior formam uma base de funções ortogonais
em T0
• Duas funções vn(t) e vm(t) são ortogonais em um intervalo t1 a t2 se:∫ t2
t1
vn(t)vm(t)dt =
{
0, se n 6= m
K, constante, se n = m
(2.14)
• Assim, a Série de Fourier pode ser vista como a descrição de um sinal através da combi-
nação linear das bases do espaço de sinais. O cálculo de cn nada mais é do que o cálculo
da projeção do sinal na base correspondente, assim como é feito em Álgebra Linear.
• Formas ortogonais são utilizadas em um tipo de modulação (QAM), que será visto poste-
riormente.
• Muitas vezes, para calcular cn temos que resolver uma integral do seguinte tipo:
1
T
∫ T/2
−T/2
exp(j2πft)dt = 1
j2πfT exp(j2πft)|
T/2
−T/2 =
1
πfT
sin(πfT ) (2.15)
que é o valor médio de um fasor com frequência f qualquer avaliado durante um intervalo
que não é necessariamente o seu período
• Como esta função aparece muito, damos o nome de sinc(λ) = sin(πλ)/πλ, onde λ é
adimensional.F
• O seu formato aproximado é dado pela figura 2.5.
• Propriedades de sinc(λ)
– A amplitude (envoltória) decai com 1/λ.
– A simetria é par.
– O seu valor é 1 quando λ = 0, e vale 0 quando λ = ±1,±2, ...
• Exemplo: trem de pulsos retangulares (figura 2.6)
– v(t) não é definido nas descontinuidades, aproximação de caso real.
– O intervalo de integração é um período T0, de −T0/2 até T0/2
– Neste intervalo v(t) = A para |t| < τ/2 e 0 caso contrário.
12
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

s
in
c
( 
)
Figura 2.5: Formato de sinc(λ) = sin(λx)
λx
Figura 2.6: Trem de pulsos
– Logo:
cn =
1
T0
∫ T0/2
−T0/2
v(t) · exp(−j2πnfot)dt
= 1
T0
∫ τ/2
−τ/2
A · exp(−j2πnfot)dt
= A
−T0
(j2πf0n)exp(−j2πf0nt)|τ/2−τ/2
= A
T0
sin(πf0nτ)
πf0nτ
= Aτ
T0
sinc(f0nτ)
(2.16)
– Para visualizar o espectro de amplitude e fase (figura 2.7), consideramos os valores
numéricos de τ/T0 = f0τ = 1/4:
– Há zeros em ±4f0,±8f0, pois nestes pontos a função sinc vale 0;
– O valor em f = 0 é o valor D.C, pode ser obtido por inspeção, é igual a Aτ/T0
– Os valores de cn são reais e as vezes negativos. Quando positivos, a fase é 0, quando
negativo a fase é ±180o. Neste caso, escolhemos o sinal de forma a manter a simetria
necessária.
13
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
Figura 2.7: Espectros de amplitude (a) e fase (b) de um trem de pulsos
– Recomposição de v(t) via somatório:
v(t) = A4 +
√
2A
π
cos(2πf0t) +
A
π
cos(4πf0t) +
√
2A
3π cos(6πf0t) + · · · (2.17)
– Aproximação pode ser feita considerando um número finito de termos desse somató-
rio, como mostra a figura 2.8.
– Então, o somatório acima converge para v(t) nesse caso quando o número de termos
utilizados tende para infinito.
2.1.3 Condições para convergência e fenômeno de Gibbs
• Nem sempre uma série converge.
• Condições de Dirichlet para convergência(suficientes mas não estritamente necessárias):
– Número finito de máximos e mínimos por período
– v(t) é absolutamente integrável por período
• Condição alternativa: |v(t)|2 tem média finita por período, o que é equivalente a dizer que
é um sinal de potência.
• Assim, sendo vN (T ) =
∑N
n=−N cn · exp(j2πnf0t), temos;
lim
N→∞
∫
T0
|v(t)− vN (t)|2dt = 0 (2.18)
• Fenômeno de Gibbs
14
2.1. ESPECTRO DE LINHA E SÉRIE DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
-2 0 2 4 6 8
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
t
Pulso retangular
DC e 1º harmônico
Até 3º harmônico
-2 0 2 4 6 8
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
t
Pulso retangular
Até 7º harmônico
-2 0 2 4 6 8
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
t
Pulso retangular
Até 40º harmônico
Figura 2.8: Reconstrução do trem de pulsos retangulares usando Série de Fourier.
– Nos pontos de descontinuidade, a soma parcial vN (t) converge para o ponto médio
de descontinuidade.
– Além disso, em cada uma das extremidades há oscilações com período de T0/2N e
pico de aproximadamente 9% do degrau.
– Em sinais reais, esse fenômeno não existe, pois eles são contínuos. Por outro lado,
sinais sintetizados pela soma de um número finito de termos de uma Série de Fourier
de um sinal com descontinuidades podem apresentar este comportamento. Isso pode
ser visto na terceira parte da figura 2.8.
– Fenômeno implica em cuidados ao usar filtros reais aproximados como ideais.
2.1.4 Teorema de Parseval
• Relação entre potência de um sinal periódico v(t) e seus coeficientes cn é:
Pv =
1
T0
∫
T0
|v(t)|2dt = 1
T0
∫
T0
v(t)v∗(t)dt (2.19)
15
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CONTÍNUOCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• Como v∗(t) =
∞∑
n=−∞
c∗nexp(−j2πnfot), temos que, substituindo na equação anterior:
Pv =
1
T0
∫
T0
v(t)
∞∑
n=−∞
c∗nexp(−j2πnfot)dt
=
∞∑
n=−∞
1
T0
[∫
T0
v(t)exp(−j2πnfot)
]
c∗ndt
=
∞∑
n=−∞
cnc
∗
n
=
∞∑
n=−∞
|cn|2
(2.20)
• Logo, a potência média de um sinal periódico é igual a soma dos coeficientes de sua série
de Fourier.
• Esse cálculo não envolve o espectro de fases
• A potência total de um sinal periódico é igual a soma das potências de cada um dos
componentes da série.
• Esse resultado também pode ser derivado considerando que as funções cos(2πnf0t) e
cos(2πmf0t) são ortogonais no intervalo T0, para n 6= m inteiros.
2.2 Transformada de Fourier e Espectro contínuo
• Sinais não periódicos com energia finita podem ser analisados com a Transforada de Fourier
(TF).
• Em condições semelhantes às anteriores, um sinal v(t) não periódico é um sinal de energia
se:
Ev,
∫ ∞
−∞
|v(t)|2dt (2.21)
é finita.
• A TF pode ser vista como um limite da série de Fourier quando T0 → ∞ ou f0 → 0. O
somatório da Série de Fourier se transforma em uma integral:
v(t) =
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞
v(t)exp(−j2πft)dt
]
exp(j2πft)df (2.22)
• A transformada de Fourier de um sinal v(t) é uma função V (f) obtida através de:
V (f) , F{v(t)} ,
∫ ∞
−∞
v(t) · exp(−j2πft)dt (2.23)
• A transformada de Fourier inversa (IFT) é definida como:
v(t) , F−1{V (f)} ,
∫ ∞
−∞
V (f) · exp(j2πft)df (2.24)
• Alguns autores multiplicam a integral acima por 12π , mas convencionaremos desse modo.
• Assim como a série de Fourier, F−1{V (f)} converge para v(t).
16
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CONTÍNUOCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• Circularmente, v(t) = F−1{F{v(t)}}, mas ainda provaremos isto.
• Comparando com a série de Fourier, V (f) é o espectro contínuo de v(t)
• Propriedades:
– V (f) é uma função potencialmente complexa, no sentido de ter termos reais e ima-
ginários.
– V (f = 0) é a área de v(t), isto é, V (0) =
∫∞
−∞ v(t)dt
– Se v(t) é real, V (−f) = V ∗(f). Consequentemente:
∗ |V (−f)| = |V (f)| → a amplitude possui simetria par
∗ arg[V (−f)] = −arg[V (f)]→ a fase possui simetria ímpar
∗ Funções que obedecem ambas estas simetrias são funções com simetria Hermiti-
ana
• Exemplo: pulso retangular
– Definimos um pulso retangular genérico como:
Π
(
t
τ
)
,
{
1, |t| < τ2
0, cc.
(2.25)
– A função que desejamos transformar é v(t) = AΠ
(
t
τ
)
– Logo:
V (f) =
∫∞
−∞ v(t) · exp(−j2πft)dt
=
∫ τ/2
−τ/2A · exp(−j2πft)dt
= Aτsinc(fτ)
(2.26)
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f
Vf 
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
180
90
0
90
180
f
argVf 
Figura 2.9: Espectro do pulso retangular: sinc(f) para τ = 1.
– Da figura 2.9 concluímos que:
17
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CONTÍNUOCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
∗ Grande parte da energia está entre −1/τ e 1/τ
∗ Quanto mais curto o pulso, maior o espalhamento espectral, pois τ diminui e
1/τ aumenta.
2.2.1 Sinais simétricos
• Sinais com algum tipo de simetria possuem TF simplificadas.
• Instante t = 0 pode, dentro de alguns limites, ser escolhido livremente, mas o instante
f = 0 não pode, pois há significado físico no seu valor.
• Usando a identidade de Euler, podemos escrever uma TF como:
V (f) = Ve(f) + jVo(f) (2.27)
onde :
Ve(f) ,
∫ ∞
−∞
v(t)cos(2πft)dt
Vo(f) , −
∫ ∞
−∞
v(t)sin(2πft)dt
(2.28)
• A priori, não há nenhum tipo de simetria nestas funções.
• Se v(t) é real, <{V (f)} = Ve(f) e ={V (f)} = Vo(f). (F Mostre que isso não é verdade
quando v(t) não é real, mas que uma afirmação semelhante pode ser feita para quando
v(t) é um sinal imaginário)
• Para uma função w(t) que pode representar tanto v(t)cos(2πft) ou v(t)sin(2πft)dt, temos
:
∫ ∞
−∞
w(t)dt =
∫ 0
−∞
w(t)dt+
∫ ∞
0
w(t)dt =
2
∫ ∞
0
w(t)dt, se w(t) é par
0, se w(t) é impar
(2.29)
• Quando v(t) tem simetria par, v(t) = v(−t):
– v(t)cos(2πft) tem simetria par.
– v(t)sin(2πft) tem simetria impar.
– Logo
V (f) = Ve(f) = 2
∫ ∞
0
v(t)cos(2πft)dt
Vo(f) = 0
(2.30)
• Quando v(t) tem simetria ímpar, v(t) = −v(−t):
– v(t)cos(2πft) tem simetria impar.
– v(t)sin(2πft) tem simetria par.
– Logo
V (f) = jVo(f) = −j2
∫ ∞
0
v(t)sin(2πft)dt
Ve(f) = 0
(2.31)
• Conclusão: espectro de um sinal real com simetria par é real. O espectro de um sinal real
com simetria ímpar é imaginário.
18
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CONTÍNUOCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
2.2.2 Sinais causais
• Sinais causais são aqueles que dependem somente do passado e do presente, nunca do
futuro.
• Assim, um evento no presente só pode alterar o futuro
• Sinais do mundo real, pelo nosso conhecimento, são causais
• Um modelo que pode ser utilizado para esse tipo de sinal é dizer que v(t) = 0 para t < 0,
i.e., o sinal começa em ou depois de t = 0.
• Uma consequência deste modelo é que não há nenhum tipo de simetria no sinal. Logo, o
espectro terá termos reais e complexos
• A TF adquire o formato de:
V (f) =
∫ ∞
0
v(t)exp(−j2πft)dt (2.32)
que é equivalente à transformada de Laplace (TL) limitada ao círculo complexo unitário,
definida como:
L{v(t)} ,
∫ ∞
0
v(t)exp(−st)dt
∣∣∣∣
s=j2πf
(2.33)
• Logo, se v(t) é um sinal causal de energia não periódico, pode-se obter a TF a partir da
TL.
• Exemplo:
v(t) =
{
Aexp(−bt), t > 0
0, cc.
L{v(t)}
∣∣∣∣
s=j2πf
= A
b+ j2πf = A
b− j2πf
b2 + (2πf)2
Ve(f) = <{V (f)} =
Ab
b2 + (2πf)2
Vo(f) = ={V (f)} = −
A2πf
b2 + (2πf)2
(2.34)
• Poderíamos extrair o módulo e a fase da TF através de:
Modulo =
√
V 2e (f) + V 2o (f)
Fase = tan−1
(
Vo(f)
Ve(f)
) (2.35)
2.2.3 Teorema de Energia de Rayleigh
• Semelhante ao teorema de Parseval para potências:
E =
∫ ∞
−∞
V (f)V ∗(f)df =
∫ ∞
−∞
|V (f)|2df (2.36)
• O valor |V (f)|2 indica a distribuição de energia no espaço de frequências.
• Para sinais a serem projetados, isto implica que a maior parte da energia deve estar dentro
da banda desejada/permitida.
19
2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
2.2.4 Teorema de dualidade
• Se F{v(t)} = V (f) e existe z(t) tal que z(t) = V (f = t) então
F{z(t)} = v(−f) (2.37)
isto é, a TF de uma função z(t) pode ser calculada através da IFT, com uma troca de
variáveis e de sinal, desde que z(t) tenha o formato de uma função cuja IFT conhecemos.
• Essa propriedade é útil por exemplo quando v(t) é real e possui simetria par, pois V (f)
também será. Neste caso podemos ignorar a troca de sinais. F.
• Exemplo z(t) = Asinc(2Wt), onde W representa a banda do sinal (onde está a maior
parte da energia).
– Sabemos que para v(t) = BΠ( tτ )⇔ V (f) = Bτsinc(fτ)
– Reescrevendo z(t)temos:
z(t) = A2W 2Wsinc(2Wt) (2.38)
e as variáveis se relacionam como:
A
2W = B
2W = τ
t = f
(2.39)
– Logo
Z(f) = A2W Π
(
f
2W
)
(2.40)
– O sinal sinc no tempo é limitado em banda e infinito no tempo, enquanto que o sinal
Π(t) é finito no tempo e infinito em banda.
2.2.5 Considerações práticas sobre a TF
• 1a opção: Tabelas de transformadas ou combinações de transformadas.
• 2a opção: Propriedade da dualidade.
• 3a opção: Transformada de Laplace, quando houver.
• 4a opção: Aproximações.Caso z̃(t) ≈ z(t), |z̃(t) − z(t)| é pequeno, Z(f) = F{z(t)} e
˜Z(f) = F{ ˜z(t)}, então:∫ ∞
−∞
|Z(f)− ˜Z(f)|2df =
∫ ∞
−∞
|z(t)− ˜z(t)|2dt (2.41)
devido ao teorema de Rayleigh. Isto é, o erro acumulado no tempo se manterá em frequên-
cia.
2.3 Propriedades da Transformada de Fourier
Ajudam a analisar/calcular alguns tipos de sinais.
20
2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
2.3.1 Superposição
Se v(t) = a1 · v1(t) + a2 · v2(t) então F{v(t)} = a1 · V1(f) + a2 · V2(f), ou, genericamente:
F
{∑
k
vk(t)
}
=
∑
k
Vk(f) (2.42)
onde F{vk(t)} = Vk(f).
2.3.2 Deslocamento no tempo
Dada uma função v(t) ela pode ser atrasada em td ao escrevermos v′(t) = v(t− td). Neste caso:
F{v′(t)} =
∫ ∞
−∞
v(t− td)exp(−j2πft)dt (2.43)
Com uma transformação de variáveis t′ = t− td e t = t′ + d chegamos e:
F{v′(t)} =
∫ ∞
−∞
v(t′)exp[−j2πf(t′ + td)]dt′
= exp(−j2πftd)
∫ ∞
−∞
v(t′)exp[−j2πft′]dt′
= exp(−j2πftd)V (f)
(2.44)
2.3.3 Mudança de escala
Quando desejamos mudar a escala de tempo, multiplicamos a variável tempo por uma constante,
isto é , t′ = αt. O sinal resultante é v(αt). Com |α| < 1 o sinal é comprimido no tempo e com
|α| > 1 o tempo é estendido. Com α < 0 há reversão temporal. Utilizando t′ = αt, temos que
dt′
dt = α. Assim, a TF fica:
F{v(αt)} =
∫ ∞
−∞
v(t′)exp
(
−j2πf t
′
α
)
dt
|α|
= 1
|α|
V (f ′)
= 1
|α|
V
(
f
α
) (2.45)
onde f ′ = fα .
A razão para utilizarmos o módulo de α é que, quando α < 0, os limites de integração
acabam sendo trocados. Para permanecer com os mesmos limites, multiplicamos a integral por
menos um. Esta multiplicação resulta em |α|.
• Exemplo: Sendo v(t) = A ·Π
(
t
τ
)
, temos um sinal za(t) = v(t− td)− v(t− (td + T )) que é
composto de dois pulsos retangulares, como mostra a figura 2.10. Assim:
V (f) = Aτ(sinc(fτ)
Za(f) = V (f)exp(−j2πftd)−V (f)exp(−j2π(td + T ))
= V (f)[exp(−j2πftd)− exp(−j2π(td + T ))]
(2.46)
• Podemos escrever a seguinte identidade:
exp(j2θ1)± exp(j2θ2) = [exp(j(θ1 − θ2))± exp(−j(θ1 − θ2))]exp(j(θ1 + θ2))
=
{
2cos(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2))
j2sin(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2))
(2.47)
21
2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
... ... 
τ 
τ 
td 
td+T 
td+T/2 
Figura 2.10: Dois pulsos retangulares
• No caso deste exemplo, θ1 = −πftd e θ2 = −πf(td + T ). Definindo t0 = td + T/2(o ponto
central entre os dois pulsos) temos que θ1 − θ2 = πfT e θ1 + θ2 = 2πft0, resultando em:
Za(f) = Aτsinc(fτ [j2sin(jπfT )][exp(j2πft0)]) (2.48)
• Definindo arbitrariamente que t0 = 0 eliminamos a última exponencial. O formato de
zb(t) = za(t)
∣∣∣∣
t0=0
fica com simetria ímpar e o valor de sua TF é:
Zb(f) = Aτsinc(fτ)(j2sin(πfτ))×
(
πfτ
πfτ
)
= Aτ(j2πfτ · sinc2(fτ)),
(2.49)
isto é, o espectro é puramente imaginário pois a função zb(t) tem simetria ímpar.
2.3.4 Translação em frequência e Modulação
• Seja v(t) com uma TF V (f). A multiplicação no tempo de v(t) por uma exponencial
complexa causa a translação em frequência, isto é:
F{v(t) · exp(j2πf0t)} = V (f − f0) (2.50)
isto é, o espectro fica centrado em f0
• Assim, se v(t) tem conteúdo de energia entre ±W (sendo real), o seu espectro pode ser
representado genericamente pela figura 2.11-(a).
• Podemos fazer esse sinal ocupar a faixa de fc ±W multiplicando v(t) pela exponencial
complexa apropriada.
• O espectro resultante ocupa uma banda de 2W exclusivamente de bandas positivas (sendo
fc > W ) e consequentemente não possui simetria em torno de f = 0.
• Logo, o sinal resultante no tempo é complexo, o que pode ser um problema para o trata-
mento de sinais reais.
22
2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• Solução: multiplicar v(t) por um seno ou cosseno, resultando no teorema de modulação:
v(t)cos(2πfct+ φ)↔ V (f − fc)
exp(jφ)
2 + V (f + fc)
exp(−jφ)
2 (2.51)
isto é, multiplicar um sinal por ondas senoidais equivale a transladar o espectro para ±fc,
dividindo a cada uma das cópias por dois.
• Sendo o sinal original real, o espectro do produto final será Hermitiano.
f=0 
f=0 
f=0 
f=fc 
f=fc f=-fc 
(a) 
(b) 
(c) 
f=W 
f=fc+W f=fc-W 
Figura 2.11: Transformadas de Fourier de: (a) v(t); (b) v(t) · exp(j2πf0t); (c) v(t) · cos(j2πf0t).
Há uma redução de amplitude no terceiro espectro por um fator de 2.
• Exemplo: pulso de rádio frequência, utilizado frequentemente em radares.
– Senoide finita com fc na faixa de rádio frequência:
z(t) = AΠ
(
t
τ
)
· cos(2πfct) (2.52)
– Este sinal pode ser visto como o produto de um pulso retangular com largura τ e
um cosseno com frequência fc, como mostra a figura 2.12.
23
2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
z(
t)
Figura 2.12: Pulso de rádio frequência para fc = 2.
– A TF do pulso retangular é Aτsinc(fτ). Logo, a TF de z(t) será, utilizando o
teorema da modulação:
Z(f) = Aτ2 [sinc((f − fc)τ) + sinc((f + fc)τ)] (2.53)
– O espectro resultante tem o formato da figura 2.13
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f
|Z
(f
)|
Figura 2.13: Espectro de Z(f)(módulo), para fc = 2.
– Embora a senoide tenha frequência igual a fc, ela é finita no tempo. Por esse motivo
há energia fora de fc
– Caso a senoide fosse infinita, poderíamos utilizar um espectro de linha representando
uma série de Fourier ou um o limite da transformada, que veremos depois.
2.3.5 Diferenciação
• Utilizando a IFT, podemos escrever:
d
dt
v(t) = d
dt
[∫ ∞
−∞
V (f) · exp(j2πft)df
]
(2.54)
24
2.3. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• Como a exponencial dentro da integral é a única coisa que depende do tempo, reescreve-
mos:
d
dt
v(t) =
∫ ∞
−∞
V (f) · d
dt
(exp(j2πft)) df
=
∫ ∞
−∞
V (f)j2π · f · exp(j2πft)df
(2.55)
• Como a equação acima ainda é uma transformada de Fourier inversa, aquilo que não faz
parte da exponencial faz parte da Transformada de Fourier de ddtv(t). Logo:
F
{
d
dt
v(t)
}
= V (f)j2πf (2.56)
ou genericamente, chegamos no teorema de diferenciação:
F
{
dn
dtn
v(t)
}
= V (f)(j2πf)n (2.57)
2.3.6 Integração
• Seja z(t) =
∫ t
−∞ v(λ)dλ, onde λ é uma variável dummy.
• Se V (0) =
∫∞
−∞ v(λ)dλ = 0, garantimos que z(t) convergirá para 0 quando t→∞.
• Utilizando o caminho contrário ao da derivada, chegamos no teorema da integração:
F
{∫ t
−∞
v(λ)dλ
}
= 1
j2πf V (f) (2.58)
• Os principais resultados dessas últimas duas seções são:
– Ao derivar um sinal, as suas frequências mais altas serão amplificadas e as mais
baixas reduzidas, devido ao fator f multiplicando a TF resultante.
– Ao integrar um sinal, as suas frequências mais baixas serão amplificadas e as mais
altas reduzidas, devido ao fator f dividindo a TF resultante.
• Exemplo: Pulso triangular.
– O sinal zb(t) = AΠ
(
t+ τ2
τ
)
− AΠ
(
t− τ2
τ
)
tem média zero. Logo, podemos obter um
novo sinal baseado na integral de zb(t) e este sinal terá uma transformada de Fourier.
Assim:
w(t) = 1
τ
∫ t
−∞
zb(λ)dλ =
A
(
1− |t|τ
)
, |t| < τ
0, |t| > τ
(2.59)
– Aplicando o teorema de integração temos que :
W (f) = 1
τ
1
j2πf Zb(f) = Aτ
j2πfτ
j2πfτ sinc
2(fτ) = Aτsinc2(fτ) (2.60)
– Em comparação com o pulso retangular, o pulso triangular tem menos energia em
altas frequências.
– Isso acontece, porque não há descontinuidades nesse sinal.
– A sua duração é 2τ , enquanto que o pulso retangular dura somente τ .
– Notação:
Λ
(
t
τ
)
,
{
1− |t|τ , |t| < τ
0, |t| > τ
F
{
Λ
(
t
τ
)}
= Aτsinc2(fτ)
(2.61)
25
2.4. CONVOLUÇÃO CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
– A figura 2.14 mostra o pulso triangular no tempo e o módulo do seu espectro, para
τ = 1. Para comparação, o módulo do pulso quadrado com largura τ = 1 também
está desenhado na linha tracejada.
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t

(t
)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
F
) $
! t =
"*
Figura 2.14: Sinal Λ(t) e seu espectro.
2.4 Convolução
• Como colocar um elefante dentro de uma garrafa? Bom, fisicamente, isso seria impossível,
mas podemos criar um som de um bramido (som que o elefante faz) fazendo ele parecer
sair de dentro de uma garrafa. Isso pode ser feito com uma convolução.
• Se criarmos um impulso dentro da garrafa, ela gera um som, chamado de resposta ao
impulso da garrafa, e com combinações ponderadas e atrasadas dessa resposta, podemos
criar um bramido, essa combinação é uma convolução entre um bramido e a resposta ao
impulso da garrafa.
• Muitos sinais reais são obtidos através da convolução de outros dois sinais.
• A integral da convolução é:
v(t) ∗ w(t) ,
∫ ∞
−∞
v(λ)w(t− λ)dλ (2.62)
onde a variável independente é t.
• A integral também pode ser vista como a superposição de várias respostas de um sistema
a impulsos aplicados a ele, como, por exemplo, a reverberação numa sala ou o eco de uma
caverna.
• Uma das funções da integral normalmente é limitada no tempo, o que facilita o seu cálculo.
• Exemplo:
26
2.4. CONVOLUÇÃO CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
– As funções a serem convoluídas são:
v(t) = A · exp(−t) 0 < t <∞
w(t) = t
T
0 < t < T
w(t− λ) = t− λ
T
0 < t− λ < T
= −λ− t
T
t− T < λ < t
(2.63)
– Em função de λ, w(t) deve sofrer reversão e deslocamento da origem para o instante
= t.
– Quando t < 0 há v(λ) ·w(t− λ) = 0 para qualquer valor de λ. Logo, nessa situação,
v(t) ∗ w(t) = 0.
– Quando 0 < t < T , a superposição é parcial e a integral fica:
v(t) ∗ w(t) =
∫ t
0
Aexp(−λ)
(
t− λ
T
)
dλ
= A
T
[t− 1 + exp(−t)]
(2.64)
– Quando T < t, a superposição é completa e a integral fica:
v(t) ∗ w(t) =
∫ t
t−T
Aexp(−λ)
(
t− λ
T
)
dλ
= A
T
[T − 1 + exp(−T )]exp(T − t)
(2.65)
   
Figura 2.15: Sinal v(t) ∗ w(t).
2.4.1 Teoremas de Convolução
• A convolução é
– comutativa: v(t) ∗ w(t) = w(t) ∗ v(t)
– associativa: v(t) ∗ (w(t) ∗ z(t)) = (v(t) ∗ w(t)) ∗ z(t)
– distributiva: v(t)∗ (w(t) + z(t)) = v(t) ∗ w(t) + v(t) ∗ z(t)
27
2.4. CONVOLUÇÃO CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• O teorema de convolução diz que:
v(t) ∗ w(t)↔ V (f) ·W (f) (2.66)
isto é: a convolução no domínio do tempo equivale ao produto no domínio da frequência.
• Também:
v(t) · w(t)↔ V (f) ∗W (f) (2.67)
isto é: a convolução no domínio da frequência equivale ao produto no domínio do tempo.
• Prova da primeira parte:
F{v(t) ∗ w(t)} =
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞
v(λ) · w(t− λ)dλ
]
exp(−j2πft)dt
=
∫ ∞
−∞
v(λ)
[∫ ∞
−∞
·w(t− λ)exp(−j2πft)dt
]
dλ
=
∫ ∞
−∞
v(λ) [W (f)] exp(−j2πfλt)dλ
= W (f)V (f)
(2.68)
onde utilizamos os fatos de que v(λ) não depende de t, a propriedade de descolamento
no tempo da TF, que W (f) não depende de λ e que na última integral, a variável λ está
fazendo o papel de t na transformada de Fourier.
• Exemplo: pulso trapezoidal
– Um pulso trapezoidal pode ser obtido com a convolução de dois pulsos retangulares
com larguras diferentes:
v(t) = A1Π
(
t
τ1
)
w(t) = A2Π
(
t
τ2
)
τ1 > τ2
(2.69)
– Assim, v(t) ∗ w(t) tem o formato da figura 2.16.
 
t =0 
v(t)*w(t) 
τ1+τ2 
 
τ1-τ2 
 
t 
Figura 2.16: Resultado da convolução de dois pulsos retangulares com largura diferente
28
2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
– A sua TF será então:
V (f)W (f) = [A1τ1sinc(fτ1)][A2τ2sinc(fτ2)] (2.70)
– Quando τ1 = τ2 = τ o pulso trapezoidal se reduz a um triangular com largura 2τ e
amplitude A = A1A2τ , resultando na TF já conhecida de um pulso triangular.
2.5 Impulsos e limites da Transformada de Fourier
• Há sinais com componentes periódicos e não periódicos ao mesmo tempo. Como podemos
analisá-los?
• Solução matemática: permitir impulsos no domínio de frequência.
• Limites da TF também permitem criar uma representação espectral de impulsos no tempo.
2.5.1 Propriedades do Impulso Unitário
• Impulsos unitários ou delta de Dirac δ(t) tem a seguinte propriedade:∫ t2
t1
v(t)δ(t)dt =
{
v(0), t1 < 0 < t2
0, c.c
(2.71)
quando v(t) é contínua em t = 0
• A mesma propriedade é válida em frequência, i.e., substituindo t por f .
• Se v(t) = 1, ∫ ∞
−∞
δ(t)dt =
∫ �
−�
δ(t)dt = 1 (2.72)
com � arbitrariamente pequeno.
• Assim, δ(t) tem área unitária concentrada em t = 0, e δ(t) = 0 para t 6= 0.
• Representação gráfica na figura 2.17
• Fisicamente um sinal deste tipo não pode existir, mas muitas funções existentes tendem
ao impulso. Em particular, a função δ�(t) é definida de tal forma que se:
lim
�→0
∫ ∞
−∞
v(t)δ�(t)dt = v(0) (2.73)
então:
lim
�→0
δ�(t) = δ(t) (2.74)
• Duas funções que satisfazem estes limite são:
δ�(t) =
1
�
Π
(
t
�
)
δ�(t) =
1
�
sinc
(
t
�
) (2.75)
• Três propriedades de δ(t):
– Replicação: v(t) ∗ δ(t− td) = v(t− td)
– Amostragem:
∫ t2
t1
v(t)δ(t− td)dt = v(t− td). Assim: v(t) · δ(t− td) = v(td) · δ(t− td)
– Mudança de escala: δ(αt) = 1|α|δ(t)
29
2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
t 
𝛿(𝑡) 
t=0 
Figura 2.17: Representação gráfica do impulso
2.5.2 Impulsos em Frequência
• Representam fasores ou constantes
• Por exemplo, quando v(t) = A (uma constante), v(t) tem energia infinita.
• A princípio, não há TF de fato, mas no limite:
v(t) = lim
W→0
A · sinc(2Wt) = A
F{v(t)} = lim
W→0
A
2W Π
(
f
2W
)
= Aδ(f)
(2.76)
• Assim, A↔ Aδ(f), isto é, a TF de uma constante é um impulso
• Intuitivamente esse resultado faz sentido pois uma constante não varia no tempo e toda
sua energia deve estar em f = 0
• Alternativamente, poderíamos ter feito como abaixo para chegar no mesmo resultado:
v(t) = lim
τ→∞
A ·Π
(
t
τ
)
(2.77)
e chegaríamos a:
V (f) = lim
τ→∞
Aτsinc(fτ) = Aδ(f) (2.78)
• Utilizando a propriedade da TF de translação em frequência podemos escrever generica-
mente:
A · exp(j2πfct)↔ δ(f − fc)
A · cos(2πfct+ φ)↔
A
2 [exp(jφ)δ(f − fc) + exp(−jφ)δ(f + fc)]
(2.79)
isto é, o espectro contínuo de um fasor é um impulso em fc e o espectro de uma onda
senoidal são dois impulsos:
30
2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• Assim, para um sinal periódico com série de Fourier v(t) =
∞∑
n=−∞
c(nf0)exp(j2πnf0t), a
sua TF contínua será
V (f) = F
{ ∞∑
n=−∞
c(nf0)exp(j2πnf0t)
}
=
∞∑
n=−∞
c(nf0)δ(f − nf0) (2.80)
• Qualquer espectro de linha pode dessa forma ser transformado em um espectro contínuo.
• A diferença entre os dois é que, para chegar no sinal original, o espectro de linha se soma
enquanto que o espectro contínuo deve ser integrado.
• Exemplo: Impulsos e espectro contínuo:
– Um sinal no tempo é definido como
v(t) = Acos(2πfct)−AΠ(
t
τ
)cos(2πfct) +AΠ(
t
τ
)cos(4πfct)
O seu formato no tempo para fc = 1 e τ = 2 é aproximadamente mostrado na figura
2.18-(a)
– Podemos calcular o espectro dos termos que apresentam produtos no tempo através
da convolução em frequência. O espectro resultante tem a função abaixo, e mostrado
na figura 2.18-(b).
V (f) = A2 [δ(f − fc) + δ(f + fc)]
− Aτ2 [sinc(f − fc) + sinc(f + fc)]
+ Aτ2 [sinc(f − 2fc) + sinc(f + 2fc)]
(2.81)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
t
v
(t
)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
f
V
(f
)
Figura 2.18: Sinal no tempo (a) e em frequência (b) do exemplo, para fc = 1 e τ = 2
.
31
2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
2.5.3 Função degrau e sinal
• A função degrau (step) é
u(t) ,
{
1, t > 0
0, t < 0
(2.82)
• Essa função é de interesse, pois pode ser utilizada para modelar um sinal causal através
do produto da função degrau com uma função não causal.
• Por não ser simétrica em torno da origem, há complicações matemáticas para se calcular
a sua TF.
• Para resolver este problema usamos a função sinal (signum), definida como:
sgn(t) =
{
1, t > 0
−1, t < 0
(2.83)
que pode ser escrita como um limite:
v(t) = exp(−bt)u(t)
z(t) = lim
b→0
[v(t)− v(−t)] (2.84)
• Utilizando o resultado do exemplo da seção 2.2.2 para uma exponencial causal e que a
função sgn(t) tem simetria ímpar, chegamos em:
Z(f) = j2V0(f) =
−j4πf
b2 + (2πf)2 (2.85)
• No limite quando b→ 0 temos:
F{sgn(t)} = lim
b→0
−j4πf
b2 + (2πf)2 =
−j
πf
= 1
jπf
(2.86)
• Podemos escrever a função degrau como :u(t) = (sgn(t) + 1)/2. Utilizando a propriedade
da linearidade da TF e que a TF de uma constante é um impulso, temos:
F{u(t)} = δ(f)2 +
1
j2πf (2.87)
• A TF de sgn(t) não tem um impulso em f = 0, pois a sua média é zero. A TF de u(t)
tem um valor médio igual a 1/2, logo existe um impulso em f = 0.
• Este impulso também aparece ao aplicarmos o teorema da integração sobre uma função
que tem área líquida 0:
v(t) ∗ u(t) =
∫ ∞
−∞
v(λ)u(t− λ)dλ =
∫ t
−∞
v(λ)dλ, pois u(t) = 0 se λ > t
F{v(t) ∗ u(t)} = V (f)
[
δ(f)
2 +
1
j2πf
] (2.88)
• Logo : ∫ t
−∞
v(λ)dλ↔ V (0)δ(f)2 + V (f)
[ 1
j2πf
]
(2.89)
32
2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
2.5.4 Impulsos no tempo
• Temos que Aτ Π
(
t
τ
)
↔ Asinc
(
f
τ
)
. No limite quando τ →∞, Aδ(t)↔ A.
• Isto é, impulsos no tempo contém todas as frequências com a mesma amplitude.
• Mesmo resultado pode ser obtido utilizando a propriedade da dualidade sobre A↔ Aδ(f).
• Estes resultados podem ser interpretados da seguinte forma:
– Sinal com duração “zero” tem largura espectral infinita.
– Sinal com duração “infinita”(constante) tem largura espectral "‘zero"’
• Ao deslocarmos no tempo temos:
Aδ(t− td)↔ A · exp(−j2πftd) (2.90)
• Como, por definição F−1{A · exp(−j2πftd)} = Aδ(t − td), temos que, para manter con-
sistência: ∫ ∞
−∞
exp(j2πf(t− td))df = δ(t− td) (2.91)
• Essa definição e consequência permite mostrar que:
F−1{V (f)} =
∫∞
−∞
[∫∞
−∞ v(λ)exp(−j2πft)dλ
]
exp(j2πft)df
=
∫∞
−∞ v(λ)
[∫∞
−∞ exp(j2πf(t− λ))df
]
dλ
=
∫∞
−∞ v(λ)δ(t− λ)dλ
= v(t) ∗ δ(t)
(2.92)
• O impulso também tem relação com a função degrau pois:∫ t
−∞
δ(t− td)dt =
{
1, t > td
0, t < td
= u(t− td) (2.93)
• Logo:
δ(t− td) =
d
dt
u(t− td) (2.94)
• Essa propriedade permite analisar algumas funções da seguinte forma: sendov(t) uma
função contínua e dn−1
dtn−1 v(t) a primeira derivada de v(t) em que há descontinuidades, então
a derivada de ordem n possui impulsos. Logo, podemos escrever a derivada de ordem n
da seguinte forma:
vd(t) =
dn
dtn
v(t) = w(t) +
∑
k
Akδ(t− tk) (2.95)
• Na equação anterior, w(t) representa a parte da função vd(t) sem impulsos. O somatório
presente é a soma de impulsos localizados nos instantes tk, com amplitude Ak, devido às
descontinuidades (degraus) em dn−1
dtn−1 v(t) cujas derivadas resultam nos impulsos de vd(t)
• Pelo teorema da derivação, se vd(t) = d
n
dtn v(t), então:
F{vd(t)} = Vd(f) = V (f) · (j2πf)n
Vd(f)(j2πf)−n = V (f)
(2.96)
Logo:
vd(t) =
dn
dtn
v(t)↔ (j2πf)nV (f) = W (f) +
∑
k
Akexp(−j2πftk) (2.97)
33
2.5. IMPULSOS E LIMITES DA TRANSFORMADA DE FOURIERCAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• Se soubermos o formato de W (f) e os valores de Ak e tk, podemos escrever:
V (f) = W (f)(j2πf)n +
1
(j2πf)n
∑
k
Akexp(−j2πftk) (2.98)
• Além disso, se W (f)→ 0 quando f →∞, o comportamento de |V (f)| para altas frequên-
cias será proporcional a|f |−n. Isto acontece, porque, nestas condições, o termo dominante
de V (f) é o somatório, cujos termos têm como módulo Ak. O somatório está sendo
multiplicado por 1(j2πf)n , resultando na proporcionalidade mencionada.
• Dizemos que esse espectro terá, então, roll-off de ordem n.
• Se n é grande, há pouca energia em altas frequências. Se n é pequeno, há mais energia
em altas frequências.
• Um pulso retangular, por exemplo, tem descontinuidades já na sua primeira derivada. Por
isso, o roll-off de seu espectro (sinc) tem roll off de ordem 1 (isto é, decaimento de 1/n).
• Exemplo: Pulso cosseno levantado (diferente de filtro raiz de cosseno levantado)
– Muito utilizado na prática para limitar a banda de um sinal transmitido
– O sinal base e suas primeiras três derivadas são:
v(t) = A2
(
1 + cos
(
πt
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
dv(t)
dt
= −
(
π
τ
)
A
2
(
sin
(
πt
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
d2v(t)
dt2
= −
(
π
τ
)2 A
2
(
cos
(
πt
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
d3v(t)
dt3
=
(
π
τ
)2 A
2 [δ(t+ τ)− δ(t− τ)] +
(
π
τ
)3 A
2
(
sin
(
πt
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
(2.99)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
t
v
( t
)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-4
-2
0
2
4
t
d
v
(t
)
d
t
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-10
-5
0
5
10
t
d
2
v
(t
)
d
t2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-10
-5
0
5
10
t
d
3
v
(t
)
d
t3
Figura 2.19: Cosseno levantado e três primeiras derivadas
34
2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
– O último termo da terceira derivada pode ser escrito como −πτ
2 dv
dt , permitindo chegar
no seguinte espectro:
F
{
d3v(t)
dt3
}
= (j2πf)3V (f) =
(
π
τ
)2 A
2 [exp(j2πfτ)−exp(−j2πfτ)]−
π
τ
2
(j2πf)V (f)
(2.100)
onde utilizamos também o fato de que F
{
dv(t)
dt
}
= (j2πf)V (f)
– Isolando V (f) e usando a identidade de Euler chegamos a:F
V (f) = Aτ · sinc(2fτ)1− (2fτ)2 (2.101)
que decai aproximadamente com f3, muito mais rápido do que a sinc. A comparação
do espectro do pulso cosseno levantado, do pulso retangular e do pulso triangular
estão na figura 2.20, para f > 0. Na comparação, todos os pulsos tem a mesma
duração de 1 segundo e energia de 1J.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
f
lo
g
1
0
(|
V
(f
)|
)
 
 
Pulso quadrado
Pulso triangular
Pulso Cosseno levantado
Figura 2.20: Comparação dos espectros dos três pulsos estudados neste capítulo. Tente recriar
esta figura, com a restrição que os três pulsos devem ter a mesma duração e a mesma energia.
F
– Transmissões que utilizam este pulso contém melhor a energia dentro de uma banda
do que a sinc.
2.5.5 Transformada de Fourier no tempo discreto e Transformada Discreta
de Fourier
Leitura para o laboratório. Presente na 5a. edição.
2.6 Exercícios
2.6.1 Exercícios do Livro “Communication Systems 5th Edition”
• Questões conceituais: Todas as 11 questões do capítulo 2.
35
2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
• Problemas: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.5, 2.1.8, 2.1.9, 2.1.12, 2.1.13, 2.2.1, 2.2.4, 2.2.12, 2.2.14, 2.3.1,
2.3.6, 2.3.8, 2.4.1, 2.4.5, 2.4.6, 2.4.8, 2.5.2, 2.5.4, 2.5.10, 2.5.13, 2.5.14
2.6.2 Outros exercícios
1. Temos duas funções: x(t) = Π(t) e y(t) = Π(t) + δ(t − 2.5) + δ(t + 2.5). Definimos
z(t) = x(t) ∗ y(t), onde ∗ indica a convolução. Calcule:
• Z(f)
• z(t)
2. Encontre uma equação para os coeficientes da série de Fourier e esboce o espectro de linha
para a função x(t) esboçada na figura 2.21. (Dica: decomponha a função em duas mais
simples)
Figura 2.21: Função com Série de Fourier a se determinar.
3. Projete um sinal no tempo cujo espectro decai proporcionalmente a f3 e que não seja
nem mesmo parcialmente senoidal. Obtenha a equação do seu espectro. O sinal final deve
obrigatoriamente ter média zero.
4. Classifique os sinais abaixo no que se refere sua periodicidade e se são sinais de potên-
cia/energia, justificando sucintamente:
• x(t) do problema anterior;
• o sinal sonoro do Hino Nacional Brasileiro;
• o sinal sonoro de um alarme que acorda pessoas de manhã;
• um sinal x(t) = 418419 (cuidado neste item).
5. Uma onda quadrada tem o formato dado pela figura 2.22.
• Calcule a potência de v(t).
• Obtenha os 6 primeiros coeficientes da série de Fourier de v(t). Para isto obtenha
uma expressão genérica para o valor do coeficiente em função do seu índice. Dica:
Quanto vale a integral de uma função ímpar no intervalo de −t a t?
• Qual é a banda que contém mais do que 56% da energia do sinal? Utilize 4 casas
decimais.8
6. Há dois sinais: x1(t) = Π(tfc)cos(2πfct) e x2(t) = Π(tfc)sin(2πfct). Ambos possuem a
mesma energia. Qual dos dois sinais possui potencialmente energia mais concentrada no
domínio da frequência em torno da origem? Não é necessário desenvolver equações para
responder esta questão corretamente. Sugestão: desenhe ambos os sinais no tempo.
36
2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
7. Um sinal não periódico tem transformada de Fourier dada por V (f) = [Aτsinc(fτ)]3.
Obtenha a expressão matemática para a função no tempo e esboce seu formato no tempo,
indicando todos os lugares onde os valores de A e τ aparecem. Preste atenção aos valores
de amplitude e duração dos pulsos.
Figura 2.22: Função da questão.
8. Um sinal y(t) = x(t) ∗ z(t), onde x(t) = Π
(
t
τ
)
e z(t) = sin(2πfct).Qual é a condição
para que y(t) = 0?
9. Definimos as equações abaixo.:
x(t) = Π(t)
y(t) = Π
(
t
2
)
· cos(2πt)
z(t) = x(t) ∗ y(t)
(2.102)
(a) Calcule z(t) pela definição da convolução.
(b) Calcule Z(f) como achar apropriado.
10. Definimos o sinal x(t) = Π
(
t− 1
2
)
−Π
(
t+ 1
2
)
.
(a) Calcule X(f) pela definição. É permitido o uso de tabelas para o cálculo da trans-
formada de Fourier de Π(t)
(b) Calcule a transformada de Fourier de X ′(f)↔ x′(t) = dx(t)dt pela definição e mostre a
relação entre X ′(f) e X(f). Simplifique a expressão para X ′(f) o máximo possível.
11. Um sinal típico de guitarra distorcida pode ser visto na figura 2.23. Ele pode ser inter-
pretado como uma onda senoidal com um dos lados "‘cortado"’. Assuma que o sinal de
guitarra g(t) é uma onda senoidal com amplitude 1, com a parte positiva limitada em
K < 1. Genericamente teríamos a seguinte equação:
g(t) = min[cos(2πf0t),K] (2.103)
Calcule a série de Fourier deste sinal, assumindo que ele é periódico.
37
2.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. SINAIS E ESPECTRO
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 
-1 
-0.8 
-0.6 
-0.4 
-0.2 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.8 
1 
t 
g
(t
) 
Figura 2.23: Exemplo de um sinal g(t) com frequência f = 1 e K = 0.5. Estes valores são
diferentes para a pergunta
38
Capítulo 3
Transmissão de Sinais, Filtros
O objetivo deste capítulo é que, ao final dele, possamos modelar e analisar as alterações sobre
os sinais provocadas por:
• transmissão do sinal através de um canal;
• manipulações propositais do sistema (filtragem);
através da resposta ao impulso de um sistema, no tempo e em frequência. Apresentamos também
o conceito de densidade espectral e como esta se comportaatravés de um sistema.
3.1 Resposta de sistemas LTI (Linear Time-Invariant)
• Um sistema é uma caixa preta com
– x(t) = sinal de entrada
– y(t) = sinal de saída.
• A grandeza destes sinais depende do contexto
• Um sistema é definido pela relação entre entrada e saída, definida genericamente como a
aplicação do operador F à entrada.
Sistema 
F[] 
x(t) y(t) 
Figura 3.1: Sistema
39
3.1. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI (LINEAR TIME-INVARIANT)CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
3.1.1 Resposta ao Impulso e Integral por Superposição
• Se o sistema não possui nenhuma energia armazenada, a relação entrada/saída pode ser
escrita como:
y(t) = F[x(t)] (3.1)
onde F é um operador que relaciona a entrada com a saída.
• Para um sistema ser LTI, ele deve ser Linear e TI (time-invariant, ou seja, invariante no
tempo)
• A parte da linearidade exige que, se x(t) =
∑
k
akxk(t), com ak constantes, então:
y(t) =
∑
k
akF[xk(t)] (3.2)
• A parte de invariabilidade no tempo exige que:
F[x(t− td)] = y(t− td) (3.3)
isto é, um deslocamento no tempo na entrada causa somente o mesmo deslocamento na
saída.
• Sistemas com elementos discretos combinados (resistor, capacitor, indutor) geram equa-
ções do tipo:
an
dny(t)
dtn
+ · · ·+ a1
dy(t)
dt
+ a0y(t) = bm
dmx(t)
dtm
+ · · ·+ b1
dx(t)
dt
+ b0x(t) (3.4)
com constantes que dependem dos valores dos elementos discretos.
• O valor de n depende do número de elementos que armazenam energia
• É difícil de obter uma expressão direta para y(t) em função da entrada sem recorrer ao
fato de que este sistema é LTI.
• Uma relação explícita entre entrada e saída vem da resposta ao impulso h(t), definida
como:
h(t) , F[x(t) = δ(t)] (3.5)
• Como qualquer sinal contínuo x(t) pode ser escrito como x(t) = x(t) ∗ δ(t), temos que,
para qualquer x(t) contínuo, a saída pode ser escrita como:
y(t) = F[x(t)]
= F[x(t) ∗ δ(t)]
= F[
∫ ∞
−∞
x(λ)δ(t− λ)dλ]
Usando a propriedade da linearidade e sendo x(λ) constantes,
=
∫ ∞
−∞
x(λ)F[δ(t− λ)]]dλ
Usando a propriedade de invariância no tempo,
=
∫ ∞
−∞
x(λ)h(t− λ)dλ
=
∫ ∞
−∞
h(λ)x(t− λ)dλ
= x(t) ∗ h(t)
(3.6)
40
3.1. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI (LINEAR TIME-INVARIANT)CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
• A última integral é a integral por superposição ela é extremamente útil pois podemos des-
cobrir a resposta do sistema com base em uma única informação, h(t), e e não precisamos
fazer muitas contas, basta resolvermos a convolução. Além disso não precisamos saber
como o sistema foi construído e também evitamos trabalhar com derivadas.
• Para analisarmos um sistema precisamos então de h(t)
• Dado um sistema, é fisicamente impossível gerar um impulso como δ(t) é definido. Deter-
minação de h(t) pode ser feita utilizando uma entrada x(t) = u(t), o que gera uma saída
g(t):
g(t) , F[x(t) = u(t)]⇒ h(t) = dg(t)
dt
F (3.7)
pois
dg(t)
dt
= d[h(t) ∗ u(t)]
dt
= h(t) ∗ du(t)
dt
= h(t) ∗ δ(t) = h(t) (3.8)
• Exemplo: Resposta de um sistema de ordem 1
– A entrada do sistema é tensão x(t) e a saída é tensão y(t). Qual é a saída quando a
entrada é um pulso retangular com amplitude A e largura τ? Considere a equação
do sistema (tensão):
RC
dy(t)
dt
+ y(t) = x(t) (3.9)
∗ Quando a entrada é um degrau u(t), a saída é encontrada como sendo g(t) =(
1− exp
(
− t
RC
))
u(t).
∗ Logo, a resposta ao impulso é
h(t) = dg(t)
dt
= 1
RC
exp
(
− t
RC
)
(3.10)
∗ A resposta do sistema para qualquer entrada x(t) pode agora ser obtida via
convolução.
∗ Para o pulso retangular em questão: a saída é definida por três equações:
y(t) =

0, t < 0
A
(
1− exp
(
− t
RC
))
, 0 < t < τ
A
(
1− exp
(
− τ
RC
))
· exp
(
− t− τ
RC
)
, t > τ
(3.11)
3.1.2 Função de Transferência e Resposta ao Impulso
• Na presença de um sistema, a análise temporal dos sinais pode ficar mais complicada.
• Análise em frequência fornece geralmente perspectiva melhor.
• Análise pode ser feita via função de transferência, definida como:
H(f) ,
∫ ∞
−∞
h(t)exp(−j2πft)dt (3.12)
isto é, a TF da resposta ao impulso no tempo, quando existir.
• Se h(t) for real então H(f) terá simetria Hermitiana.
41
3.1. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI (LINEAR TIME-INVARIANT)CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
R 
C
 
x(t) y(t) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
x
(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
g
(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
h
(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
t
y
(t
)
Figura 3.2: Sistema de ordem 1 do exemplo.
• Para interpretar H(f), vamos supor que a entrada é x(t) = Axexp(jφx)exp(j2πf0t), para
−∞ < t <∞ que é um fasor com fase φx e frequência f0. Assim:
y(t) = x(t) ∗ h(t)
=
∫ ∞
−∞
h(λ)Axexp(jφx)exp(j2πf0(t− λ))dλ
= Axexp(jφx)exp(j2πf0t)
∫ ∞
−∞
h(λ)exp(−j2πf0λ)dλ
= Axexp(jφx)exp(j2πf0t)H(f0)
(3.13)
• Escrevendo H(f0) = |H(f0)|exp(j · arg[H(f0)]), teríamos y(t) = Ayexp(jφy)exp(j2πf0t),
onde Ay = Ax|H(f0)| e φy = φx + arg[H(f0)].
• Como Ay
Ax
= |H(f0)|, |H(f)| é o ganho em amplitude do sistema em função da frequência
• Como φy − φx = arg[H(f0)], arg[H(f)], é o desvio de fase do sistema em função da
frequência
• Logo, H(f) é a resposta em frequência do sistema
• Seja x(t)↔ X(f). Como y(t) = x(t) ∗ h(t), temos, pelo teorema da convolução, que:
Y (f) = X(f)H(f) (3.14)
onde Y (f) é o espectro da saída, obtido como o produto do espectro de entrada X(f) com
a função de transferência H(f).
• Alternativamente, |Y (f)| = |X(f)||H(f)| e arg[Y (f)] = arg[X(f)] + arg[H(f)]
• Se x(t) tem energia finita, podemos obter a energia de y(t) via:
Ey =
∫ ∞
−∞
|Y (f)|2df =
∫ ∞
−∞
|H(f)|2|X(f)|2df (3.15)
• Quando x(t) = δ(t), X(f) = 1, uma constante em todas as frequências. Neste caso,
Y (f) = H(f)
42
3.1. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI (LINEAR TIME-INVARIANT)CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
• Resumindo, temos as relações dadas pela figura 3.3:
h(t) x(t) y(t)=x(t)*h(t) 
X(f) H(f) Y(f)=X(f)∙H(f) 
domínio do tempo 
domínio de frequência 
Figura 3.3: Relação entre variáveis.
• Podemos obter H(f), sem envolver h(t)
• Quando sabemos a equação diferencial relacionando a entrada e saída, temos F:
H(f) = bm(j2πf)
m + · · ·+ b1(j2πf) + b0
an(j2πf)n + · · ·+ a1(j2πf) + a0
(3.16)
• Um outro caminho é calcular o estado estacionário do sistema em resposta a um fasor,
o que nos permitiria obter a relação entre amplitudes e fases entre saída e entrada. Por
exemplo, se a entrada de um sistema for um fasor com fase e frequência conhecida, a saída
será, após um tempo muito grande, um fasor com fase e frequência mensurável.
• Exemplo: Resposta em frequência de um sistema com ordem 1
– O mesmo sistema do exemplo anterior pode ser visto como duas impedâncias Zr e
Zc em série, a saída sendo a tensão sobre Zc.
– A saída y(t) tem relação estacionária com a entrada dada pelo divisor de tensão
formado, que tem equação:
y(t) = x(t) · Zc
Zr + Zc
y(t)
x(t) =
Zr
Zr + Zc
=
1
j2πfC
R+ 1
j2πfC
= 11 + j2πfCR
= 11 + j (f/B) = H(f)
(3.17)
43
3.1. RESPOSTA DE SISTEMAS LTI (LINEAR TIME-INVARIANT)CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
onde B , 12πRC é o parâmetro do sistema
– O ganho em amplitude e desvio de fase são:
|H(f)| = 1√
1 + (f/B)2
arg[H(f)] = −arctan(f/B)
(3.18)
– Este sistema é um filtro passa baixas com parâmetro B pois o ganho é praticamente
unitário para f << B e muito baixo (<< 1) para f >> B
– O parâmetro B é uma medida de banda de passagem, ou seja, quais frequências este
sistema permite passar por ele.
– Se a entrada x(t) é um sinal com banda W , isto é, o conteúdo espectral é desprezível
para |f | > W , então há três cenários possíveis:
1. W << B → H(f) ≈ 1 e arg[H(f)] ≈ 0. Assim, Y (f) = H(f) ·X(f) ≈ X(f) e
o sinal não é distorcido. A saída tem o formato de x(t).
2. W ≈ B, então Y (f) = H(f) ·X(f) 6= X(f) e há distorção. A saída tem não tem
o formato nem de x(t) ou de y(t)
3. W >> B . Dentro da banda B do sistema, X(f) ≈ X(0), isto é, o espectro
X(f) varia pouco dentro da banda B e pode ser aproximado pelo seu valor em
f = 0. Assim, Y (f)= H(f) ·X(f) ≈ H(f) ·X(0). Nesta situação, X(0) pode ser
aproximado por um impulso no tempo. Logo, y(t) , x(t) ∗ h(t) ≈ δ(t) ∗ h(t) =
h(t). A saída tem o formato de h(t).
3.1.3 Análise por diagrama de Blocos
• Sistemas podem ser obtidos e/ou analisados por blocos menores representando equações
mais simples:
Operação no tempo Expressão no tempo Função de transferência
Multiplicação por escalar y(t) = ±Kx(t) H(f) = ±K
Derivada y(t) = dx(t)
dt
H(f) = (j2πf)
Integração y(t) =
∫ t
−∞ x(t)dt H(f) = (j2πf)−1
Deslocamento no tempo y(t) = x(t− td) H(f) = exp(−j2πftd)
Tabela 3.1: Relações entre operações e Funções de transferência
• É possível combinar blocos para obter resposta do sistema
• Por hipótese, juntar blocos não altera as respostas dos mesmos, o que não é sempre válido
na prática por causa das interações de impedância de entrada e saída com o comporta-
mento do bloco.
• Algumas combinações possíveis:
– Ligação em paralelo: H(f) = H1(f) +H2(f)
– Ligação em série: H(f) = H1(f) ·H2(f)
– Realimentação (negativa):
Y (f) = H1(f)[X(f)−H2(f)Y (f)
Y (f) = X(f)
[
H1(f)
1 +H1(f) ·H2(f)
]
(3.19)
44
3.2. DISTORÇÃO DE SINAIS DURANTE TRANSMISSÃOCAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
Logo, H(f) = H1(f)1 +H1(f) ·H2(f)
H1(f) 
H2(f) 
H1(f) 
H2(f) 
H1(f) H2(f) 
Ligação em Série 
Ligação em Paralelo Realimentação negativa 
+ 
+ 
+ 
- 
Figura 3.4: Ligações possíveis
3.2 Distorção de Sinais durante Transmissão
• Um canal é um sistema de transmissão que:
– Dissipa energia, causando atenuação;
– Acumula energia, causando alteração no formato dos sinais que passam por ele
• Assumindo que o canal é um sistema LTI (nem sempre verdade), quando não haverá
distorção?
3.2.1 Transmissão sem Distorção
• Dado x(t), y(t) é uma versão não distorcida de x(t) se:
y(t) = K · x(t− td) (3.20)
isto é, se x(t) sofre somente um atraso no tempo e uma multiplicação por um escalar,
ambos constantes.
• Em frequência a relação anterior equivale a:
Y (f) = K ·X(f) · exp(−j2πftd) (3.21)
isto é, um canal sem distorção causa, no domínio da frequência, um ganho constante K e
um desvio de fase linear de −2πftd ± 180o.
• É necessário que o sistema H(f) tenha estas propriedades somente na faixa de frequência
de interesse, pois fora dela o sinal de entrada não existe
• Sistemas que não respeitam esta regra podem causar distorção, que podem ser classificadas
em :
– Distorção em amplitude: |H(f)| 6= K
– Distorção em fase: arg[H(f)] 6= −2πftd ± 180o
– Distorção não linear, como por exemplo um diodo. Este tipo de distorção pode gerar
conteúdo energético em frequências que o sinal originalmente não ocupa.
45
3.2. DISTORÇÃO DE SINAIS DURANTE TRANSMISSÃOCAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
3.2.2 Distorção Linear
• Inclui a distorção de amplitude e distorção de fase:
• A distorção de amplitude é causada por:
– Excesso de atenuação ou amplificação de algumas frequências
– Resposta desproporcional
• Na maioria dos casos, é suficiente que a resposta em amplitude do sistema seja plana em
amplitude na faixa de interesse
• Exemplo:
– x(t) = cos(2πf0t)−
1
3cos(6πf0t) +
1
5cos(10πf0t)
– O resultado é uma onda aproximadamente quadrada
– Atenuação em baixa frequência afeta termo em f0, resultando em uma onda quadrada
que não consegue manter o seu nível
– Atenuação em alta frequência afeta termo em 5f0, resultando em uma onda que sobe
lentamente.
– A onda original e as duas versões atenuadas estão na figura 3.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 
-1 
-0.5 
0 
0.5 
1 
x
(t
) 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 
-0.5 
0 
0.5 
S
em
 t
er
m
o
 e
m
 f
 0 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 
-1 
-0.5 
0 
0.5 
1 
t 
S
em
 t
er
m
o
 e
m
 5
f 0
 
Figura 3.5: Resultado de eliminação seletiva de termos da Série de Fourier de uma onda apro-
ximadamente quadrada
• A distorção de fase acontece quando o desvio de fase não é linear em função da frequência.
• Para um sinal x(t) = cos(2πft), um atraso em td resultaria em y(t) = x(t − td) =
cos[(2πf)(t− td)] = cos(2πft− 2πftd). Logo, o atraso de fase é φ(f) = −2πftd.
• O valor de td pode variar em função de f .
• Assim, se H(f) causa um desvio de fase, a função que relaciona td em função de f e
arg[H(f)] é:
td(f) =
arg[H(f)]
2πf (3.22)
46
3.2. DISTORÇÃO DE SINAIS DURANTE TRANSMISSÃOCAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
• Para que não haja distorção, o atraso temporal em todas as frequências deve ser o mesmo,
isto é, td(f) deve ser constante. Caso isto seja verdade, o desvio de fase do sistema será
linear em f .
• Há uma grande diferença entre dizer que td(f) é constante e dizer que φ(f) é constante.
No segundo caso, temos um atraso de fase constante, o que causa distorção.
• Exemplo:
– Sinal : x(t) = cos(2πf0t)−
1
2cos(4πf0t)
– Atraso de fase constante de π/2, resultando em
x′(t) = cos(2πf0t+ π/2)−
1
2cos(4πf0t+ π/2) (3.23)
, como mostra a figura 3.6
– No sinal original, os picos não coincidem.
– No sinal distorcido, os picos coincidem. Logo, há alteração de formato
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
(t
)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
0
1
2
t
x
(t
)'
Figura 3.6: Resultado de adição de fase constante a cada um dos termos de um sinal periódico.
Em azul o sinal resultante.
3.2.3 Atraso de Grupo
• Em algumas situações, o atraso de fase pode ser linear em torno de um ponto central.
Neste caso, para um canal com resposta em frequência plana, a equação da resposta é do
tipo:
H(f) = A · exp(−j2πftg + jφ0) (3.24)
• Neste caso arg[H(f)] = −2πftg + φ0.
• Para um sinal modulado transmitido do tipo:
x(t) = x1(t)cos(2πfct)− x2(t)sin(2πfct) (3.25)
a informação está nas funções x1(t) e x2(t), enquanto que o seno e o cosseno que estão
multiplicando estas funções são chamadas de portadoras.
47
3.3. PERDAS DE TRANSMISSÃO E DECIBÉISCAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
• Este sinal, ao passar pelo sistema com resposta acima, resultaria em:
y(t) = Ax1(t− tg)cos(2πfc(t− tg) + φ0)−Ax2(t− tg)sin(2πfc(t− tg) + φ0) (3.26)
onde o termo φ0 foi absorvido pelas portadoras.
• Assim, a informação foi atrasada em tg, denominado atraso de grupo ou atraso de envol-
tória.
• A portadora foi atrasada em td =
−φ0
2πfc
, que é o atraso de fase.
• Para ser possível recuperar a informação sem distorção, tg deve ser constante.
• Pelas equações anteriores,
arg[H(f)] = −2πftg + φ0
dφ(f)
df
= −2πtg
tg = −
1
2π
dφ(f)
df
(3.27)
• O último termo deve ser constante dentro da faixa de interesse, o que é uma restrição
menor do que a restrição de que td deve ser constante.
• Para resolver o problema de distorção linear, podemos utilizar em algumas situações um
equalizador.
• Um dos métodos é utilizar um sistema com resposta em frequência igual a H(f)−1. Este
método é chamado Zero Forcing Equalizer.
• As vezes H(f) não é conhecido ou varia no tempo, lentamente ou rapidamente. Neste
caso podemos utilizar um equalizador adaptativo ou algum outro tipo de solução.
• Distorções não lineares geram harmônicos. Se estes estiverem na banda do sinal, eles
interferirão de forma possivelmente irreversível.
3.3 Perdas de transmissão e Decibéis
Leitura para casa.
3.4 Filtros e Filtragem
• Na prática todo sistema de comunicação tem filtros para:
– Isolar o sinal desejado
– Eliminar interferências
– Reduzir ruído ao mínimo
– Outras atividades
• Há filtros reais, que podem ser implementados de forma causal e resultando em atraso
finito, e ideais, que não podem.
• O entendimento de filtros ideais ajuda a entender filtros reais e as implicações de suas
limitações.
48
3.4. FILTROS E FILTRAGEM CAPÍTULO 3. TRANSMISSÃO DE SINAIS, FILTROS
3.4.1 Filtros Ideais
• Não causam distorção numa faixa de frequências
• Tem ganho igual a zero nas outras faixas
• Por exemplo, um filtro passa faixas (BPF - Band Pass Filter) teria a seguinte resposta em
frequência:
HBPF (f) =
{
Kexp(−j2πftd), fl ≤ |f | ≤ fu
0, c.c
(3.28)
o que equivale ao formato das figura 3.7.
fl 
f 
B 
fu 
|H(f)|=K 
arg[H(f)]=exp(-j2πftd) 
Figura 3.7: