Medidas de Posição

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Medidas de posição 
• Ideia geral dos valores de uma amostra
• Necessário conhecer todos os valores da 
amostra
• Afetada pela presença de discrepância 
entre os valores
• Dados agrupados ou não agrupados
Dados não agrupados 
 
 
 
 Ex. Um professor de Educação Física mediu a 
circunferência abdominal de 10 homens que se 
apresentaram em uma academia de ginástica. 
Obteve os valores, em centímetros: 88; 83; 79; 
76; 78; 70; 80; 82; 86; 105. Calcule a média. 
Solução: Some todos os dados e divida o 
resultado pelo tamanho da amostra, que é 1O 
Então: 
�̅� =
88+83+79+76+78+70+82+86+105
10
= 
827
10
= 82,7 
ou seja, os homens mediram, em média, 82,.7 
cm de circunferência abdominal 
Dados agrupados 
• Tabelas de distribuição de frequências 
 
Ex. Para calcular a média do número de filhos 
em idade escolar que têm os funcionários de 
uma empresa, a psicóloga que trabalha em 
Recursos Humanos obteve uma amostra de 20 
funcionários. Os dados estão apresentados em 
seguida. Como se calcula a média? 
 
Solução: Primeiro, é preciso construir a tabela 
de distribuição de frequências 
 
Para facilitar a compreensão ampliaremos a 
tabela com a multiplicação do x com a 
frequência 
 
Aplicando a fórmula: 
 
A média é obtida dividindo 24 por 20, que 
resulta em 1,2 filho em idade escolar por 
funcionário. 
• Intervalo de classes 
 Quando a variável é contínua e a amostra é 
grande 
 
 
Ex. Para dar ideia geral sobre peso ao nascer 
de nascidos vivos, o pesquisador quer 
apresentar não os pesos observados - mas o 
�̅� = 
Σ𝑥
𝑛
 
�̅� = 
Σ𝑥𝑓
𝑛
 
�̅� = 
Σ𝑥𝑖𝑓
Σ𝑓
 
n = tamanho da 
amostra 
x = soma das 
observações 
f = frequência simples absoluta 
n = f 
 
temos que: �̅� = 
Σ𝑥𝑓
Σ𝑓
 �̅� = 
24
20
= 1,2 
f = frequência simples absoluta 
n = f 
xi = ponto médio 
 
número de nascidos vivos por faixas de peso. 
Nesse caso, como se calcula a média? 
 
Solução: Primeiro, é preciso obter o valor 
central de cada classe. Para isso. some os 
valores mínimo e máximo da classe e divida por 
dois. 
𝑥𝑖 =
𝐿𝑠 + 𝐿𝑖
2
=
2,0 + 1,5
2
= 1,75 
 
Proceda da mesma forma para obter os demais 
valores centrais de classe (xi). Para calcular a 
média, construa uma tabela com os cálculos 
auxiliares. Escreva as classes, os valores centrais, 
as frequências (f) de classe e os produtos (x⋅f) 
Aplicando a formula: 
 
ou seja, a média do peso ao nascer, nessa 
amostra, é 3,00 kg 
• Divide a amostra em duas partes 
• Ocupa o centro da lista 
• Necessário fazer o rol 
• Número de dados ímpar: 
 Único valor na posição central 
Ex. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  5 é a mediana 
 
 
• Número de dados par: 
 Dois valores no centro 
 A mediana é a média desses dois valores 
 
Variável discreta 
• Quando n for ímpar: 
Exemplo: As dosagens de glicemia em nove 
indivíduos após jejum de oito horas foram 
(mg/dL): 76, 90, 78, 82, 90, 84, 86, 90, 107. A 
mediana de glicemia na amostra é? 
76, 78, 82, 84, 86, 90, 90, 90, 107 
Solução: Organiza os dados em rol 
Construa uma tabela de distribuição de 
frequências, seguindo o mesmo exemplo nas 
médias com dados agrupados 
 
Aplicando a formula de n ímpar: 
Voltando à tabela: 
 
 
 
Para descobrir a posição da 
mediana em um conjunto muito 
grande 
temos que: �̅� = 
Σ𝑥𝑖𝑓
Σ𝑓
 �̅� = 
300
100
= 3,0 
�̃� = 
n + 1
2
 
�̃� = 
n
2
 𝑒 
𝑛
2
+ 1 
Para descobrir a posição da 
mediana em um conjunto muito 
grande 
�̃� = 
11 + 1
2
= 6 𝑙𝑜𝑔𝑜 6° 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 
A partir da Fac maior e 
mais próxima do o 
resultado da posição, 
temos que o xi 
correspondente da Fac 
será = a mediana 
Neste caso, a Fac 
maior e mais próxima 
de 6 é 9, logo a 
mediana = 3 
 
 
 
• Quando o n for par: 
Exemplo: Considere os seguintes dados 
correspondentes aos comprimentos de 8 rolos 
de fio de aço: 65, 72, 70, 72, 60, 67, 69, 68. 
Determine a mediana. 
60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 72 
*Mesmos passos seguidos com o n ímpar 
 
Aplicando a fórmula de n par: 
 
 
 
Variável contínua 
• Intervalo de classes 
• Como a variável é contínua, não se 
preocupe se n é par ou ímpar 
 
 
 
 
𝑙𝑚𝑑 : limite inferior da classe da mediana 
𝑛: tamanho da amostra 
Σ𝑓: soma das frequências anteriores à mediana 
ℎ: amplitude das classes 
𝐹𝑚𝑑 : frequência da classe da mediana 
 
Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular 
mediana: 
 
Calcula-se a ordem n/2 
 
 
 
*Mesmos passos seguidos com o n ímpar e 
par, neste caso para encontrar a classe da 
mediana 
 
A diferença entre o LS e o 
LI das classes é 10, logo 
supõe-se que o h = 10 
Aplicando a formula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
�̃� = 
42
2
= 21° 𝑒 
42
2
+ 1 = 22° 
A partir da Fac maior e 
mais próxima do o 
resultado da posição, 
temos que o xi 
correspondente da Fac 
será = a mediana 
Neste caso, a Fac 
maior e mais próxima 
de 21 e 22 é 30, logo 
a mediana = 87 
 
 
 
�̃� = 𝑙𝑚𝑑 + 
(
𝑛
2
− Σ𝑓) ∙ ℎ
𝐹𝑚𝑑
 
�̃� = 
57
2
= 28,5 ≅ 29° 
A partir da Fac maior e 
mais próxima do o 
resultado da posição, 
temos que a classe 
correspondente da Fac 
será = a classe mediana 
Neste caso, a Fac 
maior e mais próxima 
de 29 é 35, logo a 
classe mediana = 55 
--- 65 
 
 
 
�̃� = 55 + 
(
57
2
− 17) ∙ 10
18
 
𝑓 
𝐹𝑚𝑑 
𝑛 
𝑙𝑚𝑑 
�̃� = 61,66 
• Realização mais frequente 
• Para distribuição simples: 
 A identificação é facilitada pela simples 
observação do elemento que apresenta maior 
frequência 
Exemplo: 
 
A moda será 248. Indica-se Mo= 248 
• Para dados agrupados em classes: 
 Fórmula de Czuber 
 
 
 
 
𝑙: limite inferior da classe modal 
𝑑1: é a diferença entre a frequência da classe 
modal e a imediatamente anterior 
𝑑2: é a diferença entre a classe nodal e a 
imediatamente posterior 
ℎ: amplitude das classes 
Exemplo: 
 
Classe modal: 3ª classe 2|- 3 
𝑑1= 17-10 = 7 
𝑑2= 17-8 = 9 
h = 3-2 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
Amplitude das classes não são iguais. 
Calcular densidade das classes: Fi ÷ h, para 
identificar classe modal 
Seguir com os passos do exemplo anterior 
• Fórmula de Pearson 
 A moda de uma variável continua pode ser 
obtida através do valor da mediana e da media 
 
𝑀𝑜 = 𝑙 + (
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
) ∙ ℎ 
𝑀𝑜 = 2 + (
7
7 + 9
) ∙ 1 
𝑀𝑜 = 2,44 
𝑀𝑜 = 3 ∙ �̃� − 2 ∙ �̅�