9 - Exercício de apoio 1 - Semana 4

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29/08/2020 Exercício de apoio - Semana 4: LÓGICA E MATEMÁTICA DISCRETA - MDL001
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LÓGICA E MATEMÁTICA DISCRETA
Permutações sem repe�ção4
 
Questão 1
Para fazer uma viagem, 3 amigos dispõem de dois bancos de dois lugares. De quantas maneiras podem
se sentar?
Sugestão: faça um desenho dos bancos; repare que um lugar fica vago.
Resposta: 24. 
Imagine que a mochila ocupa o lugar vago. Assim temos 4 amigos que podem trocar de lugar (a
mochila é um dos amigos). A resposta é permutação de quatro: 4!
 
Questão 2
As placas de veículos em certos países têm 4 letras e 3 algarismos. As letras são do alfabeto habitual de
26 letras. Quantas placas diferentes podem ser feitas?
Resposta: 456.976.000. 
As placas podem repetir algarismos ou letras. Então há escolhas (já ordenadas) para as
letras e 10³ para os números. Total é = 456.976.000
 
Questão 3
De quantas maneiras distintas pode-se enfileirar 10 bolinhas sendo que 3 são vermelhas, 4 são azuis e
3 são brancas?
Resposta: 4.200 
É a permutação com repetição.
 
Questão 4
De quantas maneiras 4 pessoas podem se sentar num sofá de 6 lugares?
O sofá tem 6 lugares:
☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐
As pessoas, digamos A, B, C, e D, têm as seguintes escolhas:
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
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Resposta: 6 . 5 . 4 . 3 = 360 
Observação: repare que,
A B ☐ C ☐ D ≠ A ☐ ☐ B C D
 
Questão 5
Dispondo de 4 cores, de quantas maneiras diferentes pode-se pintar as regiões da figura abaixo?
Regiões contíguas devem ser pintadas com cores diferentes.
Vamos trabalhar com a figura. A ordem da pintura será como indicada abaixo.
Resposta: 4 . 3 . 24 = 192 
Cuidado! Algumas ordens escolhidas para a pintura podem exigir que você tenha que dividir em casos.
A – tem 6 lugares para escolher.•
B – tem 5 escolhas, já que um lugar está ocupado por A.•
C – tem 4 escolhas, já que 2 lugares estão ocupados.•
D – tem 3 escolhas, já que 3 lugares estão ocupados.•
1ª região: posso escolher 4 cores.•
2ª região: posso escolher 3 cores (diferente da 1ª)•
3ª região: posso escolher 2 cores (diferente da 1ª e da 2ª)•
4ª região: posso escolher 2 cores (diferente da 1ª e da 3ª)•
5ª região: posso escolher 2 cores (diferente da 3ª e da 4ª)•
6ª região: posso escolher 2 cores (diferente da 1ª e da 4ª)•
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Evitar isso é sempre mais fácil.
Por exemplo, com essa pequena mudança na ordem escolhida, no momento de decidir as escolhas para
a 5a região, a resposta será: depende, se a 1ª e a 4ª têm, ou não, a mesma cor.
 
Questão 6
Num grupo de pessoas, cada um foi classificado segundo três categorias: colombiano, alemão, brasileiro
ou dinamarquês, alto ou baixo, e jovem, adulto ou idoso. Quantas pessoas são necessárias para que
tenhamos exatamente uma de cada tipo? 
Observação: Exemplos de 4 tipos distintos são: colombiano, baixo e adulto; colombiano, alto e adulto;
alemão, baixo e idoso; brasileiro, baixo e idoso.
Cada tipo de pessoa tem 3 características: nacionalidade (4 possibilidades), altura (2
possibilidades) e idade (3 possibilidades). 
Para definir um tipo, temos 3 escolhas sucessivas a fazer.
Resposta: 4 . 2 . 3 = 24
 
Questão 7
Quantos números ímpares de 5 algarismos distintos podemos formar? 
Quantos deles são menores que 43.000?
Para formar números ímpares com 5 algarismos distintos há duas restrições: o número deve
terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9 e não pode começar com 0. Organizamos as escolhas da seguinte
forma: escolhemos o último algarismo, depois escolhemos o primeiro e depois o segundo, terceiro
e quarto. Temos então: 8 . 8 . 7 . 6 . 5 = 13.340 como resposta para a primeira pergunta.
Resposta: 13.340; 4.956
Esclarecendo cada passo de escolha:
Último (quinto) algarismo: 5 escolhas entre 1, 3, 5, 7 ou 9•
Primeiro algarismo: 8 escolhas – não pode ser 0 nem igual ao último algarismo.•
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Segunda pergunta: quantos deles são menores que 43.000?
Vamos dividir em casos. Os números menores que 43.000 podem começar com 1, 2, 3 ou 4. Vamos
contar quantos são em cada caso.
Começando com 1 são 8 . 7 . 6 . 4 = 1.344 números.
Segue uma explicação com mais detalhes. Para o primeiro algarismo só temos uma escolha: é 1. Para o
último algarismo, temos 4 escolhas: 3, 5, 7 ou 9. Para o segundo, terceiro e quarto algarismos é idêntico
ao procedimento anterior: só temos que descartar os algarismos já usados anteriormente.
Começando com 2 são 8 × 7 × 6 × 5 = 1.680 números.
Segue uma explicação com mais detalhes. Para o primeiro algarismo só temos uma escolha: é 2. Para o
último algarismo, temos 5 escolhas: 1, 3, 5, 7 ou 9. Para o segundo, terceiro e quarto algarismos só
temos que descartar os algarismos já usados anteriormente.
Começando com 3 são 8 . 7 . 6 . 4 = 1.344 números.
O procedimento é idêntico ao caso que começa com 1.
Começando com 4, o segundo algarismo só pode ser 0, 1 ou 2, já que queremos um número menor que
43.000.
Começando com 40, são 7 . 6 . 5 = 210 números.
Começando com 41, são 7 . 6 . 4 = 168 números.
Começando com 42, são 7 . 6 . 5 = 210 números.
O total dos números menores que 43.000, ímpares, com 5 algarismos distintos é:
1.344 + 1.680 + 1.344 + 210 + 168 + 210 = 4.956
 
Questão 8
Quantos números pares de 3 algarismos distintos existem?
Sugestão: conte separadamente os que terminam com 0 e os outros.
Resposta: 328. 
Números que terminam com zero: 72
Números que não terminam com zero: 8 × 8 × 4 = 256
Total: 72 + 256 = 328
Segundo algarismo: 8 escolhas – não pode ser igual ao último e nem ao primeiro.•
Terceiro algarismo: 7 escolhas – não pode ser igual a nenhum dos 3 já escolhidos•
Quarto algarismo: 6 escolhas – não pode ser igual a nenhum dos 4 já escolhidos.•
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Questão 9
Quantos números inteiros positivos, de 4 algarismos, divisíveis por 5 e menores que 5.000, podem ser
formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?
Vamos formar um número.
Último algarismo tem que ser 5: 1 escolha 
Primeiro algarismo não pode ser 5: 3 escolhas 
Segundo algarismo não tem restrição: 4 escolhas 
Terceiro algarismo não tem restrição: 4 escolhas
Resposta: 48.
 
Questão 10
Dispondo de 5 cores, de quantas maneiras diferentes pode-se pintar as regiões da figura a seguir?
Regiões contíguas devem ser pintadas com cores diferentes.
Resposta: 540.
O melhor jeito de pensar é usar a figura.
540 = 5 × 4 × 3 × 3 × 3
 
Questão 11
Num jogo com cartões, cada cartão tem três figuras (em ordem) que podem ser triângulo, círculo ou
quadrado. Além disso cada figura pode ter uma entre as cores azul, verde ou laranja.
Quantos cartões diferentes existem?
Podemos pensar como se tivéssemos 9 objetos diferentes: triângulo azul, laranja ou verde, etc.
Em cada posição do cartão, vamos escolher uma dessas figuras.
Resultado: 9³ = 729
 
Questão 12
Mostre, usando indução, que valem as fórmulas para soma de P.A. e soma de P.G.
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Fórmula para a soma de uma Progressão Aritmética.
Considere uma P.A. de termo inicial e razão . Os termos dessa P.A. são 
 , onde . Vamos mostrar que a soma dos n primeiros termos
dessa P.A. é:
Caso inicial: a fórmula é válida para n = 2.
Isso é verdadepois, fazendo n = 2, ambos os lados da igualdade são .
Passo de indução:
Vamos supor que a fórmula seja válida para um certo n = k ≥ 2 
e vamos provar que também vale para n = k + 1. 
Supondo que:
(hipótese de indução), podemos somar o (k + 1)-ésimo termo da P.A. a ambos os lados da igualdade e
obtemos:
Substituindo por na direita da igualdade:
Isso mostra que:
Que é a fórmula ( ) para n = k + 1. 
Pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que a fórmula é válida para todo n ≥ 2
Fórmula para a soma de uma Progressão Geométrica 
Considere uma P.G. de termo inicial e razão , r ≠ 1. Os termos dessa P.G. são 
, onde . Vamos mostrar que a soma dos n primeiros termos dessa
P.G. é:
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Caso inicial: a fórmula é válida para n = 1. 
Isso é verdade pois, fazendo n = 1, ambos os lados da igualdade são .
Passo de indução: 
Vamos supor que a fórmula ( ) seja válida para um certo n = k ≥ 1 
e vamos provar que também vale para n = k + 1. 
Supondo que:
(hipótese de indução), podemos somar o (k + 1)-ésimo termo da P.G. a ambos os lados da igualdade e
obtemos:
Substituindo por na direita da igualdade:
Isso mostra que:
Que é a fórmula ( ) para n = k + 1. 
Pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que a fórmula é válida para todo n ≥ 1.
 
Questão 13
Mostre que para todo natural k ≥ 1, temos:
Caso inicial: k = 1
Substituindo k = 1, em ambos os lados da igualdade obtemos ¹⁄�.
Passo de Indução: 
Vamos supor que a igualdade seja válida para um certo k = n ≥ 1 
e vamos provar que também vale para k = n + 1. 
Supondo que seja válida, temos:
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Somando a ambos os lados da igualdade, , obtemos:
Desenvolvendo o membro da direita da igualdade:
Portanto, vale que:
que é a igualdade . 
Pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que a igualdade é válida para todo k ≥ 1.
 
Questão 14
Mostre que a partir de um certo natural . Ache esse e demonstre a desigualdade usando
indução.
Vamos provar que vale a desigualdade para n ≥ 7
Observação: = 729 e 6! = 720
Caso inicial: 
Se n = 7, temos: = 2187 e 7! = 5040. Logo, < 7!
Passo de Indução: 
Vamos supor que a desigualdade seja verdadeira para n = k ≥ 7 (hipótese de indução) 
e vamos provar que também é verdadeira para n = k + 1. 
Supondo que , temos:
A segunda desigualdade vem do fato de que, como k ≥ 7, claramente podemos deduzir que k + 1 > 3. 
Logo,
e mostramos que vale a desigualdade para n = k + 1. 
Pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que a desigualdade é válida para todo k ≥ 7.
 
ESCONDER
GABARITO