4 - AULA 24

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AULA Nº24
LÓGICA E MATEMÁTICA DISCRETA 
Aplicações II
Profa. Deborah M. Raphael
Exemplo 4. Um jogo de pôquer utiliza um baralho de 7 até ás. Qual a probabilidade de receber uma mão de 5 cartas com um full house?
Obs: um full house é uma trinca e um par. 
O baralho de 7 até ás, com 4 naipes, tem 32 cartas.
Qual é o espaço amostral? Qual o evento que queremos considerar? 
O espaço amostral, , é o conjunto de possíveis mãos de cinco cartas.
O número de possíveis mãos de 5 cartas é . Ou seja, .
O evento que nos interessa é o conjunto das mãos com um full. Vamos contar as mãos com um full, ou seja, vamos calcular .
Quantas mãos com um full existem?
Primeiro escolho os tipos de cartas da trinca e do par, entre 7, 8, 9, 10, V, D, R, A. São maneiras de escolher.
De quantos modos podemos formar uma trinca de um determinado tipo? maneiras.
E um par de um determinado tipo? modos.
Conclusão: existem mãos com um full. Em outras palavras, 
Como existem mãos possíveis, a probabilidade de receber uma mão com um full é
Propriedades
S espaço amostral, E, A e B subconjuntos de S
;
 () e ();
;
; (lembre que )
;
Exemplo 5. Seja S um espaço amostral e sejam A e B eventos (isto é, subconjuntos de S), tais que e . Mostre que:
	
 ; 
b) ;
c) . (lista de exercícios)
 e 
a) Como , 
Quero provar que .
 e
 
.
Exemplo 6. São sorteados 3 números de 1 a 10. Qual a probabilidade de, pelo menos, dois dos sorteados serem números consecutivos?
De quantas maneiras diferentes pode-se sortear 3 números entre 1 e 10? 
Resposta: 
Nosso espaço amostral, é tal que 
O evento que nos interessa é o conjunto dos sorteios com (pelo menos) dois números consecutivos.
Para cada , definimos o conjunto dos sorteios com dois números consecutivos, dos quais o menor é .
Temos que:
 . 
Os são disjuntos dois a dois. Ou seja, 
, se .
Logo, , isto é,
Conclusão: a probabilidade procurada é
Exemplo 7. Seis bolas diferentes são colocadas em três urnas diferentes. Qual a probabilidade de que todas as urnas estejam ocupadas?
Observação: bolas diferentes e urnas diferentes:
Qual é o espaço amostral, ?
Qual é o evento que interessa?
 é o conjunto das distribuições possíveis das bolas nas urnas.
 é o conjunto formado pelas distribuições que não deixam nenhuma urna desocupada.
Preciso conhecer:
o número de maneiras de colocar 6 bolas em 3 urnas – ou seja, .
o número de maneiras de colocar 6 bolas em 3 urnas sem deixar nenhuma urna desocupada – ou seja, 
número de maneiras de colocar 6 bolas em 3 urnas:
Resposta: 
Vamos trocar o ponto de vista para o segundo problema: achar o número de maneiras de colocar 6 bolas em 3 urnas deixando, pelo menos, uma urna desocupada. 
6 bolas em 3 urnas, deixando uma certa urna (escolhida) desocupada: maneiras.
Número de escolhas para a urna desocupada: 3
Fazendo contamos as maneiras de distribuir as bolas deixando (pelo menos) uma urna desocupada. Mas estamos contando duas vezes os casos de duas urnas desocupadas.
Por exemplo,
Foi contada quando consideramos a urna 1 desocupada e, novamente, quando consideramos a urna 3 desocupada.
6 bolas em 3 urnas deixando duas urnas desocupadas: 3 maneiras
Conclusões:
6 bolas em 3 urnas: maneiras diferentes.
6 bolas em 3 urnas deixando, pelo menos, uma urna desocupada: maneiras.
6 bolas em 3 urnas sem deixar nenhuma urna desocupada: maneiras. Ou seja, .
Probabilidade procurada é
Resumo
Fizemos alguns exemplos de exercícios usando probabilidade e técnicas de contagem já vistas nas aulas anteriores.