Aula 2 - Sistemas de Numeração

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL – UFFS
Sistemas de Numeração
 Marcelo Zanetti 
Sistemas de numeração
	Objetivo geral
	Instrumentalizar os alunos sobre os sistemas de numeração empregados nos sistemas computacionais atuais
	Objetivos específicos
	Representar o sistema informacional 
	Identificar os diferentes sistemas de numeração
	Apresentar as principais bases de um sistema posicional empregadas nos sistemas informatizados
	Exercitar a conversão entre bases
Representação
da informação
	Dois termos que aparecem com frequência na terminologia da informática:
	 Bit
	 byte
	Cada sinal elétrico que o computador processa é chamado de BIT – Binary Digit e é representado por “0” ou “1”
	“1” → 5 volts (ligados, passando corrente elétrica)
	“0” → 0 volts (desligado, não passando corrente elétrica)
Representação 
da informação
	Bit
	Menor partícula da informação em computador
	Byte
	Como um bit só conseguimos representar dois dados, criou-se um modo de representar outros valores, agrupando-se vários bits
	Por convenção, agrupou-se 8 bits numa unidade chamada byte (Binary Term)
American National 
Standard Code for Information 
Interchange (ASCII)
	Para obter informações dentro e fora de um computador, é necessário que se use números, letras e outros símbolos. Isto implica na necessidade de alguma espécie de código “alfanumérico”
	Até uma determinada época, cada fabricante de computadores tinha um código binário diferente para a representação dos caracteres. Isto ocasionava muita confusão
	Percebeu-se a necessidade de se padronizar este código, isto é, cria um único código a ser utilizado por todos os fabricantes 
	Este código é conhecido como “ASCII” que significa “American Standard Code for Information Interchange”
	O código ASCII atual é um código de 8 bits que pode representar um 256 caracteres diferentes. Estes caracteres compreendem números decimais de 0 até 9, letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto, mais alguns outros caracteres especiais usados para pontuação e controle de dados
	Tabela ASCII - http://www.asciitable.com/
Acesse o site a seguir e
 digite alguns caracteres
https://www.4devs.com.br/tradutor_codigo_binario
	Unidade
	Correspondência
	1 Byte 
	8 Bits
	1 Kilobyte 
	1.024 Bytes
	1 Megabyte
	1.024 Kilobytes
	1 Gigabyte
	1.024 Megabytes
	1 Terabyte
	1.024 Gigabytes
Representação
da informação
 Unidade de medida em informática
	Exercício 1: Indique o valor de x nas seguintes expressões:
		 65.536 bytes = x Kb
	 12.288 Kb = x Mb
	 19.922.944 bytes = x Mb
	 8 Gb = x bytes
	 64 Kb = x bits
Representação 
da informação
•	65.536 bytes = 64 Kb --- 1024
•	12.288 Kb = 12 Mb ---- /1024
•	19.922.944 bytes = 19 Mb -- / 1024 / 1024
•	8 Gb = 8.589.934.592 bytes ---------------- * 1024 * 1024 1024
•	64 Kb = 524.288 bits --- 64* 1024 * 8
	Exercício 1: Indique o valor de x nas seguintes expressões:
		65.536 bytes = 64 Kb
	12.288 Kb = 12 Mb
	19.922.944 bytes = 19 Mb
	8 Gb = 8.589.934.592 bytes
	64 Kb = 524.288 bits
Representação 
da informação
Sistema de numeração
	Desde quando se começou a registrar informações sobre quantidades, foram criados diversos métodos de representar as quantidades
	O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional
	Significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda
	Por exemplo, no sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena) , o 2 representa 20 (duas dezenas) e o 5 representa 5 mesmo (5 unidades). Assim, em nossa notação: 
125 = 1x102  + 2x101 + 5x100
Todo nº elevado ao expoente 0 é igual 1
Base de um 
sistema de numeração
	Historicamente, existiram vários sistemas de numeração com bases diferente
	por exemplo, os babilônios adotaram um sistema de numeração cuja base é 60. Seu uso conserva-se até hoje nas medidas de ângulos e de tempo
	Acredita-se que o primeiro sistema foi o decimal, ou base dez, em decorrência dos dedos da mão que o homem possui, e que ele utilizava para representar mais facilmente as 
quantidades
Base de um 
sistema de numeração
	Em regra, qualquer número inteiro maior ou igual a um pode ser utilizado como base de um sistema de numeração
	Nas diferentes áreas de computação, os sistemas mais comuns são os binários ou base dois e os hexadecimais ou base 16
	Exemplos
	11100111	(na base 2)
	5.346		(na base 10)
	9AF21C16	(na base 16)
Polinômio de um 
Sistema de Numeração
	Todo número escrito num sistema de numeração de base “b” pode ser considerado segundo o polinômio a seguir:
	
 Número = an bn + an – 1 b n – 1 + ..... a1 b1 + a0 b0
	
 Onde:
			a = número / n = posição do número / b = base
	Sendo os coeficientes de a1 até an menores do que a base “b”
Polinômio de um 
Sistema de Numeração
Número = an bn + an – 1 b n – 1 + ..... + a1 b1 + a0 b0
 
Onde:
			a = número / n = posição do número / b = base
Exemplo: a = 5.326
 n =(3 2 1 0)
			5 x 10³ + 3 x 10² + 2 x 10¹ + 6 x 100
Sistema Decimal
		O sistema binário é conhecido por esse nome porque possui apenas dois algarismos, zero e um (0, 1)
		Qualquer número escrito na base binária deverá ser interpretado como um polinômio representado da forma a seguir:
 Número: an 2n + an– 12n – 1 +.... a1 21 + a0 20
		
Sistema Binário
	Esse sistema de numeração é o mais utilizado em computadores em razão de sua rapidez na execução das operações matemáticas, representar o conjunto de instruções de máquina e também por ocupar um número menor de bits para armazenar a informação, quando comparado ao sistema decimal
	Aplicando o polinômio anterior, podemos observar que a representação do número 11010012 será, na base dez, equivalente a:
1x26 + 1x25 + 0x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 10510
Sistema Binário
1x26 + 1x25 + 0x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 10510
Sistema Binário  11010012 
1
0
0
8
0
32
64
+
+
+
+
+
+
10 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256 
29= 512 	
210= 1024 
Exercício – 01 
	Converter para a base decimal os seguintes números:
		101010
	1010
	01101101
	01101
	1001100
	11001100 
	10110010
a)42 – b) 10 – c) 109 – d)13 - e)76 – f)204 - g) 178
	O sistema hexadecimal ou base 16 equivalente aos algarismos de 0 a 15, assim representados:
	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F 
		Os algarismos alfabéticos correspondem a:
A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
	
Sistema 
Hexadecimal
	Qualquer número escrito nessa base deverá ser interpretado como um polinômio representado a seguir:
Nro: an 16n + an– 116n – 1 +.... a1 161 + a0 160
		Aplicando o polinômio anterior, podemos observar que a representação do número 3BF4C16 será, na base 10, equivalente a: 
3x164 + Bx163 + Fx162 + 4x161 + Cx160 = 24558010
Sistema 
Hexadecimal
			3x164 + Bx163 + Fx162 + 4x161 + Cx160 = 24558010
Sistema 
Hexadecimal  3BF4C16
12 * 1 = 12
A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
 4 * 16 = 64
11 * 4096 = 45056
 15 * 256 = 3840
3 * 65536 = 196608
+
+
+
+
Exercício - 02 
	Converta para o sistema decimal
		1A
	90FB
	E78C
	CE21F
	345AC
	2D69FF
	BFAA25
	A9B8C1D3
	Converta para o sistema decimal
		1A - 26
	90FB - 37.115
	E78C - 59.276
	CE21F – 844.319
	345AC - 214.444
	2D69FF – 2.976.255
	BFAA25 – 12.560.933
	A9B8C1D3 – 2.847.457.747
Exercício - 02 
Exercício 3
	Converter para decimal os seguintes números:
		1011102 = ( )10
	A8B2C16 = ( )10
	1110112 = ( )10
	11002 = ( )10
	E1A 16 = ( )10
	Converter para decimal os seguintes números:
		1011102 = ( 46 )10 
	A8B2C16 = ( 690.988 )10 
	1110112 = ( 59 )10
	11002 = ( 12 )10
	E1A 16 = ( 3610 )10 
Exercício 3
	A mudança da base 10 para qualquer base “b” envolve uma sucessão de divisões do número inicial pela base “b” até obtermos um quociente menor que a base solicitada
	Obs: desconsideraras casas decimais após a vírgula
 
	
	
Mudança da 
Base 10 para Qualquer Base “b”
Mudança da 
Base 10 para Qualquer Base “b”
	Neste instante podemos escrever o número solicitado começando com o último quociente e com os sucessivos restos, da direita para a esquerda
	A seguir observamos exemplos para obtermos a passagem da base 10 para as bases 2, 8, e 16 respectivamente
	Exemplo: 
	(61)10 = ( )2
 operação
leitura
61
1
30
2
2
2
2
 0
15
 1
 7
 1
3
1
 1
Tomando o último quociente e seus sucessivos restos nessa ordem, obtemos o número binário 111101, e podemos afirmar que: 6110 = 1111012
2
 
60
30
14
6
2
quociente
restos
Mudança da 
Base 10 para Qualquer Base “b”
Exercício - 04
	Converter para binário os seguintes números decimais:
		91 
	122
	167
	168
	210 
	223
 Mudança da 
Base 10 para a Base “16” 
16
1237 
77
123710
=
4D516
1232
5
16
4
64
13
 operação
leitura
Exercício - 05
	Converta de decimal para o sistema Hexadecimal:
		5310
	54710
	81910
	109210
	386310
 
Resumindo:
Mudança de Qualquer Base para Qualquer Base
	Passo 1 - Passar para a Base 10, multiplicando
	Passo 2 – Passar para a Base desejada, dividindo
 
SITE PARA CONFERÊNCIA
http://www.calculadoraonline.com.br/conversao-bases 
Dica
	Converter para a base indicada os seguintes números decimais:
		9610 = ( )2
	21410 = ( )2
	21410 = ( )16
	5610 = ( )16
	5610 = ( )2
Exercício - 06
REFERÊNCIAS
	CARTER, Nicholas. Arquitetura de Computadores. Porto Alegre: Bookman. Coleção Schaum. 2003. 
	FEDELI, RD; POLLONI, EGF; PERES, FE. Introdução à Ciência da Computação. 2 Ed. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2010.
	MONTEIRO, M. A. Introdução à organização de computadores. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
 
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