Estimação de Parâmetros 3

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ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
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Estimação Intervalar 1/9
Intervalo de Confiança para a Média de uma População
Normal com Variância Desconhecida
(i) O intervalo de confiança apresentado na aula passada é também
aproximadamente válido independente da distribuição da população
(por causa do teorema central do limite) desde que o tamanho da
amostra seja grande (n ≥ 40).
(ii) A distribuição da população em estudo é normal;
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População
Normal com Variância Desconhecida
(iii) Quando σ2 for desconhecida, um procedimento lógico será trocar
σ pelo desvio-padrão da amostra, S;
(iv) Iremos utilizar agora a variável aleatória T = (X̄ − µ)/(S/
√
n);
(v) Qual é o efeito na distribuição da variável aleatória T ao trocar σ
por S?
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Estimação Intervalar 3/9
Distribuição t
Distribuição t
SejaX1, X2, . . . , Xn uma amostra aleatória proveniente de uma distribuição
normal, com médiaµ e variância σ2 desconhecidas. A variável aleatória
T =
X̄ − µ
S/
√
n
,
tem uma distribuição t, com n− 1 graus de liberdade.
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Distribuição t
Atenção
Os quantis da distribuição t podem ser obtidos através de algum soft-
ware estatı́stico ou de tabelas.
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População
Normal com Variância Desconhecida
Dado 0 < γ < 1, teremos
P
(∣∣∣∣X̄ − µS/√n
∣∣∣∣ ≤ tα) = γ,
em que γ = 1− α e tα é um número tal que P (−tα ≤ T ≤ tα) = γ.
P
(
−tα
S√
n
≤ X − µ ≤ tα
S√
n
)
= γ,
de onde obtemos
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População
Normal com Variância Desconhecida
P
(
X − tα
S√
n
≤ µ ≤ X + tα
S√
n
)
= γ.
Portanto, o intervalo de confiança para µ, com nı́vel de confiança 1−α,
é dado por
IC(µ, γ) =
(
X − tα
S√
n
;X + tα
S√
n
)
,
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População
Normal com Variância Desconhecida
Exemplo 1
Numa grande empresa uma amostra aleatória de 20 empregados forne-
ceu a idade média igual a 32,8 anos e desvio padrão 5,3 anos. Estimar
a idade média de todos os empregados da empresa através de um inter-
valo de confiança de 99%.
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População
Normal com Variância Desconhecida
Exemplo 2
Por analogia a produtos similares, o tempo de reação de um novo medi-
camento pode ser considerado como tendo distribuição normal. Vinte
pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram seu
tempo de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos):
2,9; 3,4; 3,5; 4,1; 4,6; 4,7; 4,5; 3,8; 5,3; 4,9; 4,8; 5,7; 5,8; 5,0; 3,4; 5,9;
6,3; 4,6; 5,5 e 6,2. Obtenha um intervalo de confiança para o tempo
médio de reação. Use γ = 0, 95.
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