UCA001_Algebra_Linear_Tema4_ALTERADO

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Determinantes
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula vamos estudar determinantes associados a matrizes quadradas de diferentes 
ordens. Você aprenderá a conceituar um determinante, além de entender suas propriedades e 
aplicar suas regras de cálculo.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem;
 • empregar propriedades de determinantes, sempre que possível.
1 O conceito de determinante
Um determinante é um número associado a um arranjo de elementos denominado matriz; o 
cálculo de um determinante, neste sentido, é efetuado conforme as características de cada matriz 
(ROBBIANO, 2011).
Vamos ver um exemplo: considere que a gerência de uma loja de roupas fez um levantamento 
da quantidade de produtos disponíveis no estoque, gerando uma série de dados, que estão asso-
ciados a diferentes variáveis, relacionadas ao tipo de roupa e sua cor, conforme a Tabela a seguir:
Tabela 1 – Disponibilidade de vestimentas em uma loja
Azul Verde Vermelho
Calças 10 12 7
Camisas 8 4 4
Vestidos 9 6 2
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Observe que podemos isolar os elementos numéricos da Tabela “Disponibilidade de vesti-
mentas em uma loja” na forma de uma matriz, conforme a figura “Matriz quadrada”:
Figura 1 - Matriz quadrada
 10 12 7 10 12 7
 8 4 4 8 4 4
 
 
 
=  8 4 4 8 4 4
 
 
 8 4 4 8 4 4 8 4 4
 8 4 4
 9 6 2 9 6 2
 
 
 
    9 6 2 9 6 2 9 6 2 9 6 2
B
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Podemos dizer que a matriz B é uma matriz quadrada, pois tem três linhas e três colunas 
(3x3), ou seja, ela é de ordem 3 e de notação 3 33 3x3 3B .
A seguir, na Figura “Diagonal principal e secundária”, vamos observar os elementos em diago-
nal da matriz B. Note que a diagonal principal é formada pelos elementos a partir da primeira linha 
e primeira coluna (negrito), em sentido descendente até o elemento da última linha e última coluna. 
Já a diagonal secundária (em vermelho) é defi nida pelos elementos em diagonal a partir da última 
linha e primeira coluna, subindo até o elemento da primeira linha e última coluna. 
Figura 2 – Diagonal principal e secundária
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
 
    
B
 12 
 8 4  8 4 
 
 
 8 4  
 
 6    6   
 7 
 9    9    2    2    2    2    2    2   
 8 4 4 8 4  8 4 4 8 4 
 
 
 8 4  
 4  
 8 4  
  8 4 4 8 4  8 4 4 8 4 
 
 
 8 4  
 4  
 8 4  
  8 4 4 8 4  8 4 4 8 4 
 
 
 8 4  
 4  
 8 4  
  8 4 4 8 4  8 4 4 8 4 
 
 
 8 4  
 4  
 8 4  
 
 8 4 4 8 4 
 10 
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
É importante destacar que os elementos das diagonais são fundamentais para o cálculo do 
determinante.
FIQUE ATENTO!
Em uma matriz quadrada, o elemento que ocupa a posição central na matriz per-
tence tanto à diagonal principal, quanto à diagonal secundária.
A disposição dos elementos de uma matriz, como demostramos no exemplo da loja de rou-
pas, obedece a uma regra geral. Assim, uma matriz A de ordem 3 tem seus elementos dispostos 
da seguinte forma:
Figura 3 – Matriz de ordem 3
 11 12 13 11 12 13
 
11 12 13
 
11 12 13 
 
 11 12 13 11 12 13
 
11 12 13 11 12 13
 21 22 23 21 22 23
 
 
 
 
 
 
 
 31 32 33 31 32 33   31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32 33
 a a a 11 12 13 11 12 13a a a11 12 13 11 12 13
A a a a A a a a =A a a a=  A a a a 21 22 23 21 22 23A a a a21 22 23 21 22 23
 
 
 A a a a  
 
   a a a   31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32 33a a a31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32 33
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
A notação a12, por exemplo, indica que este elemento pertence à primeira linha e à segunda 
coluna da matriz A3x3. Vale ainda destacar que uma matriz pode possuir i linhas e j colunas, de modo 
que o elemento aij corresponderia ao elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna (ROBBIANO, 2011). 
1.1 Cálculo de determinantes em matrizes 
Vamos conhecer agora as fórmulas de cálculo dos determinantes em matrizes quadradas. 
Em matrizes de ordem 2, por exemplo, o determinante é obtido pela diferença entre os pro-
dutos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária (HOWARD; BUSBY, 2006). Ou 
seja, dada a matriz A:
 11 12 11 12=  
11 12
 
11 12 
 
 11 12 11 12
 
11 12 11 12
 21 22 21 22
 
 
 
 a a 11 12 11 12a a11 12 11 12A
 a a 21 22 21 22a a21 22 21 22
 
 
 a a  
 
Assim, temos que o determinante de A, ou seja, det (A) ou A (ROBBIANO, 2011), é dado por:
Figura 4 – Cálculo de determinante de ordem 2
( ) ( )11 22 12 21)11 22 12 21) (11 22 12 21(A a * a a * aA a * a a * a(A a * a a * a( )A a * a a * a) (A a * a a * a(11 22 12 21A a * a a * a11 22 12 21)11 22 12 21)A a * a a * a)11 22 12 21) (11 22 12 21(A a * a a * a(11 22 12 21(= −A a * a a * a= −(= −(A a * a a * a(= −( )= −)A a * a a * a)= −)11 22 12 21= −11 22 12 21A a * a a * a11 22 12 21= −11 22 12 21)11 22 12 21)= −)11 22 12 21)A a * a a * a)11 22 12 21)= −)11 22 12 21) 
 11 12 11 12=  
11 12
 
11 12 
 
 11 12 11 12
 
11 12 11 12
 21 22 21 22
 
 
 
 a a 11 12 11 12a a11 12 11 12A
 a a 21 22 21 22a a21 22 21 22
 
 
 a a  
 
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Há outras formas de calcularmos um determinante, de acordo com a ordem da matriz qua-
drada. Há casos em que a matriz quadrada é de ordem 1, contendo apenas um elemento, como 
a matriz C1x1: 
[ ]11C c[C c[=C c=
O determinante desta matriz é dado pelo próprio elemento que a compõe. Supondo, por 
exemplo, que c11 = -2, o determinante desta matriz, portanto, é:
11 2= = −11= = −11C cC c= = −C c= = −
Para o cálculo de determinantes em matrizes quadradas de ordem 3, ou superiores, usamos 
a Regra de Sarrus. (HOWARD; BUSBY, 2006).
SAIBA MAIS!
Para obter mais exemplos de cálculo a partir da Regra de Sarrus consulte o artigo de 
Amanda Gonçalves Ribeiro. Acesse: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/
regra-sarrus.htm>.
 11 12 11 12
 
11 12
 
11 1211 12 11 12
 
11 12 11 1211 12 11 12a a11 12 11 12
 
 
 
 
 
 a a 
 
 
 a a  
 
 11 12 11 12 11 12 11 12
 
11 12
 
11 1211 12 11 12
 
11 12 11 12 a a 11 12 11 12a a11 12 11 12
 
 
 
  
 
 a a  
 
 21 22 21 22
 
 
 
Neste caso, primeiramente, é preciso adicionar duas colunas (as duas primeiras colunas da 
matriz, na mesma sequência) à direita da terceira coluna da matriz a ser operada:
11 12 13 11 1211 12 13 11 12
21 22 23 21 2221 22 23 21 22
31 32 33 31 3231 32 33 31 32
a11 12 13 11 12a11 12 13 11 12
detP adetP a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22=detP a=
a31 32 33 31 32a31 32 33 31 32
a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a aa a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 1211 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12aa a a aa11 12 13 11 12a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12a a a a11 12 13 11 12
a a a a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22a a a aa a a a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 2221 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22detP aa a a adetP a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22detP aa a a adetP a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22detP aa a a adetP aa a a a2122 23 21 22a a a a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22detP aa a a adetP a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22detP aa a a adetP a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22detP a21 22 23 21 22detP aa a a adetP a21 22 23 21 22a a a a21 22 23 21 22
a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a aa a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 3231 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32aa a a aa31 32 33 31 32a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32a a a a31 32 33 31 32
Após esta etapa, você irá efetuar a multiplicação das diagonais à direita, dadas por D1, D2 e D3:
11 12 13 11 1211 12 13 11 12
21 22 23 21 2221 22 23 21 22
31 32 33 31 3231 32 33 31 32
a a a a aa a a a a11 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 1211 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 12
detP a a a a adetP a a a a adetP a a a a a21 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 2221 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 22=detP a a a a a=
a a a a aa a a a a31 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 3231 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 32
Onde:
1 11 22 33
2 12 23 31
3 13 21 32
D a * a * a1 11 22 33D a * a * a1 11 22 33=D a * a * a=1 11 22 33=1 11 22 33D a * a * a1 11 22 33=1 11 22 33
D a * a * a2 12 23 31D a * a * a2 12 23 31=D a * a * a=2 12 23 31=2 12 23 31D a * a * a2 12 23 31=2 12 23 31
D a * a * a3 13 21 32D a * a * a3 13 21 32=D a * a * a=3 13 21 32=3 13 21 32D a * a * a3 13 21 32=3 13 21 32
Depois, é preciso efetuar a multiplicação das diagonais à esquerda – D4 , D5 e D6.
11 12 13 11 1211 12 13 11 12
21 22 23 21 2221 22 23 21 22
31 32 33 31 3231 32 33 31 32
a a a a aa a a a a11 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 1211 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 12
detP a a a a adetP a a a a adetP a a a a a21 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 2221 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 22=detP a a a a a=
a a a a aa a a a a31 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 3231 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 32
Onde:
4 13 22 31
5 11 23 32
6 11 21 33
D a * a * a4 13 22 31D a * a * a4 13 22 31=D a * a * a=4 13 22 31=4 13 22 31D a * a * a4 13 22 31=4 13 22 31
D a * a * a5 11 23 32D a * a * a5 11 23 32=D a * a * a=5 11 23 32=5 11 23 32D a * a * a5 11 23 32=5 11 23 32
D a * a * a6 11 21 33D a * a * a6 11 21 33=D a * a * a=6 11 21 33=6 11 21 33D a * a * a6 11 21 33=6 11 21 33
Por fi m, o determinante é calculado:
( )1 2 3 4 5 6(1 2 3 4 5 6(detP D D D D D D(detP D D D D D D(1 2 3 4 5 6detP D D D D D D1 2 3 4 5 6(1 2 3 4 5 6(detP D D D D D D(1 2 3 4 5 6(= + + − + +detP D D D D D D= + + − + +(= + + − + +(detP D D D D D D(= + + − + +(1 2 3 4 5 6= + + − + +1 2 3 4 5 6detP D D D D D D1 2 3 4 5 6= + + − + +1 2 3 4 5 6(1 2 3 4 5 6(= + + − + +(1 2 3 4 5 6(detP D D D D D D(1 2 3 4 5 6(= + + − + +(1 2 3 4 5 6(
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a11 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 12
detP a a a a a21 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 22
a a a a a31 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 3231 32 33 31 32
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a11 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 12
detP a a a a a21 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 22
a a a a a31 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 3231 32 33 31 32
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a11 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 12
detP a a a a a21 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 22
a a a a a
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a11 12 13 11 12a a a a a11 12 13 11 12
detP a a a a a21 22 23 21 22detP a a a a a21 22 23 21 22
a a a a a31 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 3231 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 32a a a a a31 32 33 31 32
EXEMPLO
Calcule o determinante da matriz P:
 6 8 3 6 8 3
 5 1 0 5 1 0
 
 
 
=  5 1 0 5 1 0
 
 
 5 1 0 5 1 0 5 1 0
 5 1 0
 2 9 7 2 9 7
 
 
 
    2 9 7 2 9 7 2 9 7 2 9 7
P
Neste caso, aplicando a Regra de Sarrus:
6 8 3 6 86 8 3 6 8
det 5 1 0 5 1det 5 1 0 5 1det 5 1 0 5 1
2 9 7 2 92 9 7 2 9
det 5 1 0 5 1=det 5 1 0 5 1det 5 1 0 5 1Pdet 5 1 0 5 1
Calculando o produto das diagonais:
1 11 22 33
2 12 23 31
3 13 21 32
4 13 22 31
5 11 23 32
6 11 21 33
6 1 7 42
8 0 2 0
3 5 9 135
2 1 3 6
9 0 6 0
7 5 8 280
6 1 7 42= = =6 1 7 42
8 0 2 0= = =8 0 2 0
3 5 9 135= = =3 5 9 135
2 1 3 6= = =2 1 3 6
9 0 6 0= = =9 0 6 0
7 5 8 280= = =7 5 8 280
D a * a * a * *1 11 22 33D a * a * a * *1 11 22 33 6 1 7 42D a * a * a * *6 1 7 42= = =D a * a * a * *= = =1 11 22 33= = =1 11 22 33D a * a * a * *1 11 22 33= = =1 11 22 33 6 1 7 42= = =6 1 7 42D a * a * a * *6 1 7 42= = =6 1 7 42
D a * a * a * *2 12 23 31D a * a * a * *2 12 23 31 8 0 2 0D a * a * a * *8 0 2 0= = =D a * a * a * *= = =2 12 23 31= = =2 12 23 31D a * a * a * *2 12 23 31= = =2 12 23 31 8 0 2 0= = =8 0 2 0D a * a * a * *8 0 2 0= = =8 0 2 0
D a * a * a * *3 13 21 32D a * a * a * *3 13 21 32 3 5 9 135D a * a * a * *3 5 9 135= = =D a * a * a * *= = =3 13 21 32= = =3 13 21 32D a * a * a * *3 13 21 32= = =3 13 21 32 3 5 9 135= = =3 5 9 135D a * a * a * *3 5 9 135= = =3 5 9 135
D a * a * a * *4 13 22 31D a * a * a * *4 13 22 31 2 1 3 6D a * a * a * *2 1 3 6= = =D a * a * a * *= = =4 13 22 31= = =4 13 22 31D a * a * a * *4 13 22 31= = =4 13 22 31 2 1 3 6= = =2 1 3 6D a * a * a * *2 1 3 6= = =2 1 3 6
D a * a * a * *5 11 23 32D a * a * a * *5 11 23 32 9 0 6 0D a * a * a * *9 0 6 0= = =D a * a * a * *= = =5 11 23 32= = =5 11 23 32D a * a * a * *5 11 23 32= = =5 11 23 32 9 0 6 0= = =9 0 6 0D a * a * a * *9 0 6 0= = =9 0 6 0
D a * a * a * *6 11 21 33D a * a * a * *6 11 21 33 7 5 8 280D a * a * a * *7 5 8 280= = =D a * a * a * *= = =6 11 21 33= = =6 11 21 33D a * a * a * *6 11 21 33= = =6 11 21 33 7 5 8 280= = =7 5 8 280D a * a * a * *7 5 8 280= = =7 5 8 280
Por fi m, o determinante da matriz é dado por:
( )1 2 3 4 5 6(1 2 3 4 5 6( 42 135 6 280 109= + + − + + = + − − = −)= + + − + + = + − − = −)1 2 3 4 5 6= + + − + + = + − − = −1 2 3 4 5 6 42 135 6 280 109= + + − + + = + − − = −42 135 6 280 109detP D D D D D D(detP D D D D D D(1 2 3 4 5 6detP D D D D D D1 2 3 4 5 6(1 2 3 4 5 6(detP D D D D D D(1 2 3 4 5 6(= + + − + + = + − − = −detP D D D D D D= + + − + + = + − − = −(= + + − + + = + − − = −(detP D D D D D D(= + + − + + = + − − = −(1 2 3 4 5 6= + + − + + = + − − = −1 2 3 4 5 6detP D D D D D D1 2 3 4 5 6= + + − + + = + − − = −1 2 3 4 5 6(1 2 3 4 5 6(= + + − + + = + − − = −(1 2 3 4 5 6(detP D D D D D D(1 2 3 4 5 6(= + + − + + = + − − = −(1 2 3 4 5 6(
1.2 Determinantes nulos 
Vamos estudar agora situações que devem ser observadas antes de realizarmos o cálculo de 
um determinante, pois em caso de determinante nulo não é preciso efetuar o cálculo. (ROBBIANO, 
2011). Confi ra a seguir.
• Quando uma das linhas e/ou colunas do determinante é nula. Neste caso, pela Regra 
de Sarrus, o produto entre os elementos do determinante será igual a zero.
• Quando duas ou mais das linhas ou colunas têm elementos iguais e igualmente 
dispostos;
• Se houver duas ou mais linhas e/ou colunas proporcionais entre si;
• Se houver duas ou mais colunas que formam uma combinação linear entre si.
SAIBA MAIS!
Combinações lineares podem ser efetuadas por meio de qualquer operação que 
correlacione uma ou mais linhas ou colunas. Desta forma, você deverá exercitar seu 
raciocínio lógico para captar estas combinações.
Vejamos uma situação onde o determinante é nulo sem precisar calculá-lo.
Observe a matriz D: 
 10 12 34 10 12 34
 8 4 16 8 4 16
 
 
 
=  8 4 16 8 4 16
 
 
 8 4 16 8 4 16 8 4 16
 8 4 16
 9 6 21 9 6 21
 
 
 
    9 6 21 9 6 21 9 6 21 9 6 21
D
A terceira coluna é igual a duas vezes a segunda coluna, somando-se ainda os elementos da 
primeira coluna, de modo que: 
( )3 2 1(3 2 1( )3 2 1)C * C C(C * C C( )C * C C)3 2 1C * C C3 2 1(3 2 1(C * C C(3 2 1( )3 2 1)C * C C)32 1)2C * C C2= +C * C C= +(= +(C * C C(= +(3 2 1= +3 2 1C * C C3 2 1= +3 2 1(3 2 1(= +(3 2 1(C * C C(3 2 1(= +(3 2 1(= +C * C C= +)= +)C * C C)= +)3 2 1= +3 2 1C * C C3 2 1= +3 2 1)3 2 1)= +)3 2 1)C * C C)3 2 1)= +)3 2 1)2= +2C * C C2= +23 2 123 2 1= +3 2 123 2 1C * C C3 2 123 2 1= +3 2 123 2 1
Assim, o determinante desta matriz é nulo.
2 Propriedades dos determinantes
Neste tópico vamos apresentar elementos específi cos para o cálculo de qualquer determi-
nante. (ROBBIANO, 2011). 
Para demonstrar as propriedades dos determinantes, consideremos a matriz quadrada Q:
 11 12 11 12  1 7 1 7= = 
11 12
 
11 12 
 
 11 12 11 12
 
11 12 11 12= = = =  4 6 4 6
 
 
 
 4 6 4 6
 
 
 4 6 4 6 4 6
 4 6 21 22 21 22
 
 
 
 q q 11 12 11 12q q11 12 11 12
 
q q
 
11 12
 
11 12q q11 12
 
11 12 
 
 q q 
 
 11 12 11 12
 
11 12 11 12q q11 12 11 12
 
11 12 11 12Q
 q q 21 22 21 22q q21 22 21 22
 
 
 q q  
 
Sendo seu determinante dado por:
( ) ( )1 6 4 7 22)1 6 4 7 22)1 6 4 7 22= − = −1 6 4 7 22)1 6 4 7 22)= − = −)1 6 4 7 22)detQ * *(detQ * *( )detQ * *) (detQ * *(1 6 4 7 22detQ * *1 6 4 7 22)1 6 4 7 22)detQ * *)1 6 4 7 22) (1 6 4 7 22(detQ * *(1 6 4 7 22(= − = −detQ * *= − = −(= − = −(detQ * *(= − = −(1 6 4 7 22= − = −1 6 4 7 22detQ * *1 6 4 7 22= − = −1 6 4 7 22)1 6 4 7 22)= − = −)1 6 4 7 22)detQ * *)1 6 4 7 22)= − = −)1 6 4 7 22) (1 6 4 7 22(= − = −(1 6 4 7 22(detQ * *(1 6 4 7 22(= − = −(1 6 4 7 22(
Confi ra, a seguir, as propriedades dos determinantes.
2.1 Multiplicação por um valor constante
Ao multiplicarmos uma linha ou coluna de uma matriz por um valor constante k, o determi-
nante torna-se multiplicado por k. Observe: 
Dado  
1 7 1 7
=  4 6 4 6
 
 
 
 4 6 4 6
 
 
 4 6 4 6 4 6
 4 6
Q , ao multiplicar-se a segunda coluna por k = 4, temos:
   1 7 4 1 28   1 7 4 1 28
   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   
   
   
= → =   = → =
   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   
   
   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24
1 7 4 1 28   1 7 4 1 28*1 7 4 1 28   1 7 4 1 28
Q Q'
   
Q Q'
   1 7 4 1 28   1 7 4 1 28
Q Q'
1 7 4 1 28   1 7 4 1 28
= → =Q Q'= → =   Q Q'   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
Q Q'
4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   
   
   
Q Q'
   
   
   
= → =   = → =Q Q'= → =   = → =4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24
Q Q'
4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24      
   Q Q'   
   
   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24
Q Q'
4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 244 6 4 4 24   4 6 4 4 24*4 6 4 4 24   4 6 4 4 244 6 4 4 24
   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24*4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 244 6 4 4 24   4 6 4 4 24
Q Q'
4 6 4 4 24   4 6 4 4 24*4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
Q Q'
4 6 4 4 24   4 6 4 4 244 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24
Q Q'
4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24*4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24
Q Q'
4 6 4 4 24   4 6 4 4 24   4 6 4 4 24
   4 6 4 4 24
O determinante desta matriz é dado por:
( ) ( )1 24 4 28 24 112 88)1 24 4 28 24 112 88)1 24 4 28 24 112 88= − = − = −1 24 4 28 24 112 88)1 24 4 28 24 112 88)= − = − = −)1 24 4 28 24 112 88)Q' * *Q' * *(Q' * *( )Q' * *) (Q' * *(1 24 4 28 24 112 88Q' * *1 24 4 28 24 112 88)1 24 4 28 24 112 88)Q' * *)1 24 4 28 24 112 88) (1 24 4 28 24 112 88(Q' * *(1 24 4 28 24 112 88(= − = − = −Q' * *= − = − = −(= − = − = −(Q' * *(= − = − = −(1 24 4 28 24 112 88= − = − = −1 24 4 28 24 112 88Q' * *1 24 4 28 24 112 88= − = − = −1 24 4 28 24 112 88)1 24 4 28 24 112 88)= − = − = −)1 24 4 28 24 112 88)Q' * *)1 24 4 28 24 112 88)= − = − = −)1 24 4 28 24 112 88) (1 24 4 28 24 112 88(= − = − = −(1 24 4 28 24 112 88(Q' * *(1 24 4 28 24 112 88(= − = − = −(1 24 4 28 24 112 88(
Ou seja, o determinante foi multiplicado por k = 4.
2.2 Determinante de uma matriz multiplicada por um escalar
Dada uma matriz Q e um valor constante k, que multiplica a matriz, temos que o determinante 
da matriz k*Q é dado por: 
( )det . det(det . det( nk Q k Q)k Q k Q)det . detk Q k Qdet . det)det . det)k Q k Q)det . det)det . det=det . detk Q k Qdet . det=det . detdet . detndet . detk Q k Qdet . detndet . det
Onde n corresponde à ordem da matriz quadrada.
EXEMPLO
Dado  1 7 1 7=  4 6 4 6
 
 
 
 4 6 4 6
 
 
 4 6 4 6 4 6
 4 6
Q , temos que: ao multiplicar a matriz por k = 3, temos:
3
 3 21 3 21
=  12 18 12 18
 
 
 
 12 18 12 18
 
 
 12 18 12 18 12 18
 12 18
Q
O determinante desta matriz é dado por:
( ) ( )3 3 18 12 21 54 252 198)3 3 18 12 21 54 252 198)3 3 18 12 21 54 252 198= − = − = −3 3 18 12 21 54 252 198)3 3 18 12 21 54 252 198)= − = − = −)3 3 18 12 21 54 252 198)det  Q * *(det  Q * *( )det  Q * *) (det  Q * *(3 3 18 12 21 54 252 198det  Q * *3 3 18 12 21 54 252 198(3 3 18 12 21 54 252 198(det  Q * *(3 3 18 12 21 54 252 198( )3 3 18 12 21 54 252 198)det  Q * *)3 3 18 12 21 54 252 198) (3 3 18 12 21 54 252 198(det  Q * *(3 3 18 12 21 54 252 198(3 3 18 12 21 54 252 198= − = − = −3 3 18 12 21 54 252 198det  Q * *3 3 18 12 21 54 252 198= − = − = −3 3 18 12 21 54 252 198(3 3 18 12 21 54 252 198(= − = − = −(3 3 18 12 21 54 252 198(det  Q * *(3 3 18 12 21 54 252 198(= − = − = −(3 3 18 12 21 54 252 198( )3 3 18 12 21 54 252 198)= − = − = −)3 3 18 12 21 54 252 198)det  Q * *)3 3 18 12 21 54 252 198)= − = − = −)3 3 18 12 21 54 252 198) (3 3 18 12 21 54 252 198(= − = − = −(3 3 18 12 21 54 252 198(det  Q * *(3 3 18 12 21 54 252 198(= − = − = −(3 3 18 12 21 54 252 198(
Por fi m, sabe-se que 2198 22 9 22 3− = − = −198 22 9 22 3− = − = −198 22 9 22 3198 22 9 22 3* *198 22 9 22 3198 22 9 22 3− = − = −198 22 9 22 3* *198 22 9 22 3− = − = −198 22 9 22 3 , ou seja, o determinante foi multipli-
cado por kn.
2.3 Determinante da transposta
Uma matriz transposta é modifi cada em relação à matriz original, pois as linhas da matriz 
transposta tornam-se colunas da matriz original, e vice-versa. 
Dada a matriz Q:
 1 7 1 7
=  4 6 4 6
 
 
 
 4 6 4 6
 
 
 4 6 4 6 4 6
 4 6
Q
Sua transposta Qt é dada por:
 1 4 1 4
=  7 6 7 6
 
 
 
 7 6 7 6
 
 
 7 6 7 6 7 6
 7 6
tQ
Onde 6 28 22= − = −6 28 22= − = −6 28 22Q
Logo, o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
FIQUE ATENTO!
 Perceba que ao efetuar a transposição de uma matriz A qualquer, o elemento a11 
sempre permanecerá inalterado.
2.4 Troca de linhas/colunas paralelas
Se trocarmos a coluna 2 da matriz Q pela primeira coluna, veremos que a Matriz Q’ tem seu 
determinante igual a:
4 1
6 7
Q' QQ' QQ' QQ' QQ' Q
4 1
Q' Q
4 1
22Q' Q22
6 7
Q' Q
6 7
= = = −Q' Q= = = −= = = −Q' Q= = = −= = = −Q' Q= = = −22= = = −22Q' Q22= = = −22
Ou seja, quando se troca a posição de uma linha ou coluna pela linha ou coluna imediata-
mente paralela, o determinante tem valor igual, mas com sinal oposto (positivo/negativo).
2.5 Determinante de uma matriz triangular
Matrizes triangulares são observadas quando todos os elementos abaixo da diagonal prin-
cipal (triangular superior) ou acima (triangular inferior) são iguais a zero para matrizes quadradas 
de qualquer ordem. Nestes casos, o determinante é obtido multiplicando-se todos os termos da 
diagonal principal:
 10 12 34 10 12 34
 0 4 16 0 4 16
 
 
 
=  0 4 16 0 4 16
 
 
 0 4 16 0 4 16 0 4 16
 0 4 16
 0 0 21 0 0 21
 
 
 
    0 0 21 0 0 21 0 0 21 0 0 21
Y
Tem-se que 10 4 21 84010 4 21 840= =10 4 21 840Y * *Y * *10 4 21 840Y * *10 4 21 840= =Y * *= =10 4 21 840= =10 4 21 840Y * *10 4 21 840= =10 4 21 840 .
3 Método de Laplace para cálculo de determinantesVamos conhecer agora um novo método de cálculo de determinantes de ordem 3, ou de maio-
res graus, um menor grau de esforço: o Método, ou Teorema, de Laplace (HOWARD; BUSBY, 2006). 
Mas, para compreendê-lo, é preciso introduzir alguns conceitos. Para isto, usaremos a matriz T:
Figura 5 – Matriz T3x3T
   11 12 13   11 12 13 8 13 5   8 13 5
   
11 12 13
   
11 12 13
2 5 9   2 5 9
   
   
   11 12 13   11 12 13
   
11 12 13   11 12 13
   21 22 23   21 22 23 2 5 9   2 5 9
   
   
   2 5 9   2 5 9   2 5 9
   2 5 9= =   = =21 22 23= =21 22 23   21 22 23= =21 22 23
   0 4 1   0 4 1
   
   
   
   31 32 33   31 32 33         31 32 33   31 32 33   31 32 33   31 32 33 0 4 1   0 4 1   0 4 1   0 4 1
   t t t   11 12 13   11 12 13t t t11 12 13   11 12 13
T t t t   T t t t   = =T t t t= =   T t t t   21 22 23   21 22 23T t t t21 22 23   21 22 23
   
   
   T t t t      
   = =   = =T t t t= =   = =21 22 23= =21 22 23   21 22 23= =21 22 23T t t t21 22 23= =21 22 23   21 22 23= =21 22 23
   t t t            t t t         31 32 33   31 32 33   31 32 33   31 32 33t t t31 32 33   31 32 33   31 32 33   31 32 33
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
O primeiro conceito é o de Menor Complementar (MC) associado a um elemento tij. Basica-
mente, o cálculo do menor complementar é o cálculo do determinante com a exclusão da linha e 
da coluna a qual o elemento tij pertence.
Por exemplo, para calcularmos o MC associado ao elemento t31, ou seja, MC31, temos que 
excluir a linha e a coluna a qual o elemento t31 pertence, de modo que a matriz T31 tem ordem 2 e é 
formada pelos elementos em negrito:
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
 
    
31
 8 
 2  2 
 
 
 2  
 
 0 4 1    0 4 1   
 13 5 
 5 9  5 9 
 
 
 5 9  
  5 9  5 9 
 
 
 5 9  
  5 9  5 9 
 
 
 5 9  
  5 9  5 9 
 
 
 5 9  
 
 5 9 T31T31
Assim, a formação de um determinante associado ao MC31 é dado por:
( ) ( )31
13 5
13 9 5 5 92)13 9 5 5 92)
5 9
13 9 5 5 92= = − =13 9 5 5 92)13 9 5 5 92)= = − =)13 9 5 5 92)MC * *MC * *MC * *(MC * *( )MC * *) (MC * *(31MC * *31 13 9 5 5 92MC * *13 9 5 5 92)13 9 5 5 92)MC * *)13 9 5 5 92) (13 9 5 5 92(MC * *(13 9 5 5 92(13 9 5 5 92MC * *13 9 5 5 92)13 9 5 5 92)MC * *)13 9 5 5 92) (13 9 5 5 92(MC * *(13 9 5 5 92(= = − =MC * *= = − == = − =MC * *= = − == = − =MC * *= = − =(= = − =(MC * *(= = − =(13 9 5 5 92= = − =13 9 5 5 92MC * *13 9 5 5 92= = − =13 9 5 5 92)13 9 5 5 92)= = − =)13 9 5 5 92)MC * *)13 9 5 5 92)= = − =)13 9 5 5 92) (13 9 5 5 92(= = − =(13 9 5 5 92(MC * *(13 9 5 5 92(= = − =(13 9 5 5 92(
FIQUE ATENTO!
 O Menor Complementar é calculado para matrizes quadradas com ordem superior 
a 2, ou seja, com mais de duas colunas e linhas, em igual quantidade.
O segundo conceito é o de cofator. Sendo uma matriz A qualquer, quadrada e de ordem 
3≥n , o cofator Aij de um elemento aij, sendo i = linha e j = coluna, a qual pertence o elemento, é 
dado por:
( )i j+i j+ij ij(ij ij( )ij ij)A * MC(A * MC( )A * MC)1A * MC1= −A * MC= −(= −(A * MC(= −(
i jA * MCi j+i j+A * MC+i j+ij ijA * MCij ij(ij ij(A * MC(ij ij( )ij ij)A * MC)ij ij)1ij ij1A * MC1ij ij1= −ij ij= −A * MC= −ij ij= −(= −(ij ij(= −(A * MC(= −(ij ij(= −(
Retomando o exemplo anterior, temos que: 
( ) ( )3 1 4(3 1 4( )3 1 4)31 31(31 31( )31 31)1 1 0 1 0 0
3 1 4+3 1 41 1 0 1 0 0= − = − = =1 1 0 1 0 0A * MC * *3 1 4A * MC * *3 1 4(3 1 4(A * MC * *(3 1 4( )3 1 4)A * MC * *)3 1 4)A * MC * *(A * MC * *( )A * MC * *)3 1 4A * MC * *3 1 4A * MC * *(A * MC * *( )A * MC * *)31 31A * MC * *31 31(31 31(A * MC * *(31 31( )31 31)A * MC * *)31 31)1 1 0 1 0 0A * MC * *1 1 0 1 0 0)1 1 0 1 0 0)A * MC * *)1 1 0 1 0 0) (1 1 0 1 0 0(A * MC * *(1 1 0 1 0 0( )1 1 0 1 0 0)A * MC * *)1 1 0 1 0 0)
3 1 41 1 0 1 0 03 1 4A * MC * *3 1 41 1 0 1 0 03 1 4(3 1 4(1 1 0 1 0 0(3 1 4(A * MC * *(3 1 4(1 1 0 1 0 0(3 1 4( )3 1 4)1 1 0 1 0 0)3 1 4)A * MC * *)3 1 4)1 1 0 1 0 0)3 1 4)1 1 0 1 0 0A * MC * *1 1 0 1 0 0(1 1 0 1 0 0(A * MC * *(1 1 0 1 0 0( )1 1 0 1 0 0)A * MC * *)1 1 0 1 0 0)31 311 1 0 1 0 031 31A * MC * *31 311 1 0 1 0 031 31)31 31)1 1 0 1 0 0)31 31)A * MC * *)31 31)1 1 0 1 0 0)31 31)
3 1 4+3 1 4A * MC * *3 1 4+3 1 43 1 41 1 0 1 0 03 1 4+3 1 41 1 0 1 0 03 1 4A * MC * *3 1 41 1 0 1 0 03 1 4+3 1 41 1 0 1 0 03 1 4= − = − = =A * MC * *= − = − = =(= − = − = =(A * MC * *(= − = − = =(31 31= − = − = =31 31A * MC * *31 31= − = − = =31 31(31 31(= − = − = =(31 31(A * MC * *(31 31(= − = − = =(31 31( 1 1 0 1 0 0= − = − = =1 1 0 1 0 0A * MC * *1 1 0 1 0 0= − = − = =1 1 0 1 0 0)1 1 0 1 0 0)= − = − = =)1 1 0 1 0 0)A * MC * *)1 1 0 1 0 0)= − = − = =)1 1 0 1 0 0) (1 1 0 1 0 0(= − = − = =(1 1 0 1 0 0(A * MC * *(1 1 0 1 0 0(= − = − = =(1 1 0 1 0 0( )1 1 0 1 0 0)= − = − = =)1 1 0 1 0 0)A * MC * *)1 1 0 1 0 0)= − = − = =)1 1 0 1 0 0)31 311 1 0 1 0 031 31= − = − = =31 311 1 0 1 0 031 31A * MC * *31 311 1 0 1 0 031 31= − = − = =31 311 1 0 1 0 031 31)31 31)1 1 0 1 0 0)31 31)= − = − = =)31 31)1 1 0 1 0 0)31 31)A * MC * *)31 31)1 1 0 1 0 0)31 31)= − = − = =)31 31)1 1 0 1 0 0)31 31)
O método de Laplace mostra que o determinante de uma matriz quadrada A qualquer, com 
ordem maior ou igual a 3, é calculado a partir do somatório dos produtos entre cada elemento de 
uma linha ou coluna, a qual pertence um elemento , pelos seus cofatores, de modo que:
, 1, 1=, 1
∑
n
ij ij
i j, 1i j, 1
detT a * A=detT a * A= ∑detT a * A∑ ij ijdetT a * Aij ij
Para exemplifi car vamos usar a matriz T já mencionada e o elemento t22 como referência, e 
eleger a segunda coluna para o cálculo do Método de Laplace.
Elaborando os Menores Complementares temos:
12
22
32
2 9
2
0 1
8 5
8
0 1
8 5
62
2 9
= == == =
= == == =
= == == =
MC
MC
MC
Elaborando os cofatores, temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3(1 2 3( )1 2 3)12 12(12 12( )12 12)
2 2 4(2 2 4( )2 2 4)22 22(22 22( )22 22)
3 2 5(3 2 5( )3 2 5)32 32(32 32( )32 32)
1 1 2 1 2 2
1 1 8 1 8 8
1 1 62 1 62 62
1 2 3+1 2 3
2 2 4+2 2 4
3 2 5+3 2 5
1 1 2 1 2 2= − = − = − = −1 1 2 1 2 2
1 1 8 1 8 8= − = − = =1 1 8 1 8 8
1 1 62 1 62 62= − = − = − = −1 1 62 1 62 62
T * MC * *1 2 3T * MC * *1 2 3(1 2 3(T * MC * *(1 2 3( )1 2 3)T * MC * *)1 2 3)T * MC * *(T * MC * *( )T * MC * *) (T * MC * *( )T * MC * *)1 2 3T * MC * *1 2 312 12T * MC * *12 12(12 12(T * MC * *(12 12( )12 12)T * MC * *)12 12)1 1 2 1 2 2T * MC * *1 1 2 1 2 2)1 1 2 1 2 2)T * MC * *)1 1 2 1 2 2) (1 1 2 1 2 2(T * MC * *(1 1 2 1 2 2( )1 1 2 1 2 2)T * MC * *)1 1 2 1 2 2)
1 2 31 1 2 1 2 21 2 3T * MC * *1 2 31 1 2 1 2 21 2 3(1 2 3(1 1 2 1 2 2(1 2 3(T * MC * *(1 2 3(1 1 2 1 2 2(1 2 3( )1 2 3)1 1 2 1 2 2)1 2 3)T * MC * *)1 2 3)1 1 2 1 2 2)1 2 3)1 1 2 1 2 2T * MC * *1 1 2 1 2 2(1 1 2 1 2 2(T * MC * *(1 1 2 1 2 2( )1 1 2 1 2 2)T * MC * *)1 1 2 1 2 2)12 121 1 2 1 2 212 12T * MC * *12 121 1 2 1 2 212 12)12 12)1 1 2 1 2 2)12 12)T * MC * *)12 12)1 1 2 1 2 2)12 12)
1 2 3+1 2 3T * MC * *1 2 3+1 2 31 2 31 1 2 1 2 21 2 3+1 2 31 1 2 1 2 21 2 3T * MC * *1 2 31 1 2 1 2 21 2 3+1 2 31 1 2 1 2 21 2 3= − = − = − = −T * MC * *= − = − = − = −(= − = − = − = −(T * MC * *(= − = − = − = −(12 12= − = − = − = −12 12T * MC * *12 12= − = − = − = −12 12(12 12(= − = − = − = −(12 12(T * MC * *(12 12(= − = − = − = −(12 12( 1 1 2 1 2 2= − = − = − = −1 1 2 1 2 2T * MC * *1 1 2 1 2 2= − = − = − = −1 1 2 1 2 2)1 1 2 1 2 2)= − = − = − = −)1 1 2 1 2 2)T * MC * *)1 1 2 1 2 2)= − = − = − = −)1 1 2 1 2 2) (1 1 2 1 2 2(= − = − = − = −(1 1 2 1 2 2(T * MC * *(1 1 2 1 2 2(= − = − = − = −(1 1 2 1 2 2( )1 1 2 1 2 2)= − = − = − = −)1 1 2 1 2 2)T * MC * *)1 1 2 1 2 2)= − = − = − = −)1 1 2 1 2 2)12 121 1 2 1 2 212 12= − = − = − = −12 121 1 2 1 2 212 12T * MC * *12 121 1 2 1 2 212 12= − = − = − = −12 121 1 2 1 2 212 12)12 12)1 1 2 1 22)12 12)= − = − = − = −)12 12)1 1 2 1 2 2)12 12)T * MC * *)12 12)1 1 2 1 2 2)12 12)= − = − = − = −)12 12)1 1 2 1 2 2)12 12)
T * MC * *(T * MC * *( )T * MC * *)T * MC * *(T * MC * *( )T * MC * *)2 2 4T * MC * *2 2 4(2 2 4(T * MC * *(2 2 4( )2 2 4)T * MC * *)2 2 4)2 2 4T * MC * *2 2 422 22T * MC * *22 22(22 22(T * MC * *(22 22( )22 22)T * MC * *)22 22)1 1 8 1 8 8T * MC * *1 1 8 1 8 8)1 1 8 1 8 8)T * MC * *)1 1 8 1 8 8) (1 1 8 1 8 8(T * MC * *(1 1 8 1 8 8( )1 1 8 1 8 8)T * MC * *)1 1 8 1 8 8)1 1 8 1 8 8T * MC * *1 1 8 1 8 8(1 1 8 1 8 8(T * MC * *(1 1 8 1 8 8( )1 1 8 1 8 8)T * MC * *)1 1 8 1 8 8)
2 2 41 1 8 1 8 82 2 4T * MC * *2 2 41 1 8 1 8 82 2 4(2 2 4(1 1 8 1 8 8(2 2 4(T * MC * *(2 2 4(1 1 8 1 8 8(2 2 4( )2 2 4)1 1 8 1 8 8)2 2 4)T * MC * *)2 2 4)1 1 8 1 8 8)2 2 4)22 221 1 8 1 8 822 22T * MC * *22 221 1 8 1 8 822 22)22 22)1 1 8 1 8 8)22 22)T * MC * *)22 22)1 1 8 1 8 8)22 22)
2 2 4+2 2 4T * MC * *2 2 4+2 2 42 2 41 1 8 1 8 82 2 4+2 2 41 1 8 1 8 82 2 4T * MC * *2 2 41 1 8 1 8 82 2 4+2 2 41 1 8 1 8 82 2 4= − = − = =T * MC * *= − = − = =(= − = − = =(T * MC * *(= − = − = =(22 22= − = − = =22 22T * MC * *22 22= − = − = =22 22(22 22(= − = − = =(22 22(T * MC * *(22 22(= − = − = =(22 22( 1 1 8 1 8 8= − = − = =1 1 8 1 8 8T * MC * *1 1 8 1 8 8= − = − = =1 1 8 1 8 8)1 1 8 1 8 8)= − = − = =)1 1 8 1 8 8)T * MC * *)1 1 8 1 8 8)= − = − = =)1 1 8 1 8 8) (1 1 8 1 8 8(= − = − = =(1 1 8 1 8 8(T * MC * *(1 1 8 1 8 8(= − = − = =(1 1 8 1 8 8( )1 1 8 1 8 8)= − = − = =)1 1 8 1 8 8)T * MC * *)1 1 8 1 8 8)= − = − = =)1 1 8 1 8 8)22 221 1 8 1 8 822 22= − = − = =22 221 1 8 1 8 822 22T * MC * *22 221 1 8 1 8 822 22= − = − = =22 221 1 8 1 8 822 22)22 22)1 1 8 1 8 8)22 22)= − = − = =)22 22)1 1 8 1 8 8)22 22)T * MC * *)22 22)1 1 8 1 8 8)22 22)= − = − = =)22 22)1 1 8 1 8 8)22 22)
T * MC * *(T * MC * *( )T * MC * *) (T * MC * *( )T * MC * *)3 2 5T * MC * *3 2 5(3 2 5(T * MC * *(3 2 5( )3 2 5)T * MC * *)3 2 5)32 32T * MC * *32 32(32 32(T * MC * *(32 32( )32 32)T * MC * *)32 32)1 1 62 1 62 62T * MC * *1 1 62 1 62 62)1 1 62 1 62 62)T * MC * *)1 1 62 1 62 62) (1 1 62 1 62 62(T * MC * *(1 1 62 1 62 62( )1 1 62 1 62 62)T * MC * *)1 1 62 1 62 62)
3 2 51 1 62 1 62 623 2 5T * MC * *3 2 51 1 62 1 62 623 2 5(3 2 5(1 1 62 1 62 62(3 2 5(T * MC * *(3 2 5(1 1 62 1 62 62(3 2 5( )3 2 5)1 1 62 1 62 62)3 2 5)T * MC * *)3 2 5)1 1 62 1 62 62)3 2 5)32 321 1 62 1 62 6232 32T * MC * *32 321 1 62 1 62 6232 32)32 32)1 1 62 1 62 62)32 32)T * MC * *)32 32)1 1 62 1 62 62)32 32)
3 2 5+3 2 5T * MC * *3 2 5+3 2 53 2 51 1 62 1 62 623 2 5+3 2 51 1 62 1 62 623 2 5T * MC * *3 2 51 1 62 1 62 623 2 5+3 2 51 1 62 1 62 623 2 5= − = − = − = −T * MC * *= − = − = − = −(= − = − = − = −(T * MC * *(= − = − = − = −(32 32= − = − = − = −32 32T * MC * *32 32= − = − = − = −32 32(32 32(= − = − = − = −(32 32(T * MC * *(32 32(= − = − = − = −(32 32( 1 1 62 1 62 62= − = − = − = −1 1 62 1 62 62T * MC * *1 1 62 1 62 62= − = − = − = −1 1 62 1 62 62)1 1 62 1 62 62)= − = − = − = −)1 1 62 1 62 62)T * MC * *)1 1 62 1 62 62)= − = − = − = −)1 1 62 1 62 62) (1 1 62 1 62 62(= − = − = − = −(1 1 62 1 62 62(T * MC * *(1 1 62 1 62 62(= − = − = − = −(1 1 62 1 62 62( )1 1 62 1 62 62)= − = − = − = −)1 1 62 1 62 62)T * MC * *)1 1 62 1 62 62)= − = − = − = −)1 1 62 1 62 62)32 321 1 62 1 62 6232 32= − = − = − = −32 321 1 62 1 62 6232 32T * MC * *32 321 1 62 1 62 6232 32= − = − = − = −32 321 1 62 1 62 6232 32)32 32)1 1 62 1 62 62)32 32)= − = − = − = −)32 32)1 1 62 1 62 62)32 32)T * MC * *)32 32)1 1 62 1 62 62)32 32)= − = − = − = −)32 32)1 1 62 1 62 62)32 32)
Somando os resultados dos produtos, entre cada elemento da segunda coluna pelos seus 
cofatores, temos o determinante da Matriz T:
( ) ( ) ( )
3
12 12 22 22 32 32)12 12 22 22 32 32) (12 12 22 22 32 32( )12 12 22 22 32 32) (12 12 22 22 32 32(
, 1, 1=, 1
∑ ij ij
i j, 1i j, 1
T t *T t *T   t * T t *TT t *T t *T   t * T t *T(T t *T t *T   t * T t *T( )T t *T t *T   t * T t *T) (T t *T t *T   t * T t *T( )T t *T t *T   t * T t *T) (T t *T t *T   t * T t *T(12 12 22 22 32 32T t *T t *T   t * T t *T12 12 22 22 32 32)12 12 22 22 32 32)T t *T t *T   t * T t *T)12 12 22 22 32 32) (12 12 22 22 32 32(T t *T t *T   t * T t *T(12 12 22 22 32 32( )12 12 22 22 32 32)T t *T t *T   t * T t *T)12 12 22 22 32 32) (12 12 22 22 32 32(T t *T t *T   t * T t *T(12 12 22 22 32 32(= = + +T t *T t *T   t * T t *T= = + +(= = + +(T t *T t *T   t * T t *T(= = + +( )= = + +)T t *T t *T   t * T t *T)= = + +) (= = + +(T t *T t *T   t * T t *T(= = + +( )= = + +)T t *T t *T   t * T t *T)= = + +)12 12 22 22 32 32= = + +12 12 22 22 32 32T t *T t *T   t * T t *T12 12 22 22 32 32= = + +12 12 22 22 32 32)12 12 22 22 32 32)= = + +)12 12 22 22 32 32)T t *T t *T   t * T t *T)12 12 22 22 32 32)= = + +)12 12 22 22 32 32) (12 12 22 22 32 32(= = + +(12 12 22 22 32 32(T t *T t *T   t * T t *T(12 12 22 22 32 32(= = + +(12 12 22 22 32 32( )12 12 22 22 32 32)= = + +)12 12 22 22 32 32)T t *T t *T   t * T t *T)12 12 22 22 32 32)= = + +)12 12 22 22 32 32)= = + +T t *T t *T   t * T t *T= = + +∑T t *T t *T   t * T t *T∑= = + +∑= = + +T t *T t *T   t * T t *T= = + +∑= = + +ij ijT t *T t *T   t * T t *Tij ij= = + +ij ij= = + +T t *T t *T   t * T t *T= = + +ij ij= = + +
Ou seja:
( )( ) ( ) ( )( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234))13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234) (13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234) (13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234= − + + − = − + − = − + = −13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234))13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)T * * *T * * *(T * * *(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234T * * *13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(T * * *(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)T * * *)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234))13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)T * * *)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234) (13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(T * * *(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)T * * *)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234) (13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(T * * *(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −T * * *= − + + − = − + − = − + = −(= − + + − = − + − = − + = −(T * * *(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234= − + + − = − + − = − + = −13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234T * * *13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234= − + + − = − + − = − + = −13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(T * * *(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)T * * *)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234))13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)T * * *)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234) (13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(T * * *(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)T * * *)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234)= − + + − = − + − = − + = −)13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234) (13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(T * * *(13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234(= − + + − = − + − = − + = −(13 2 5 84 62 26 40 248 274 40 234(
Uma dica para facilitar o cálculo do determinante pelo Método de Laplace é escolher a linha/
coluna com maior número de elementos iguais a zero, pois haverá um menor número de Menores 
Complementares e cofatores a calcular. No caso da Matriz T, por exemplo, haveria apenas os cofato-
res A11 e A21, pois o elemento a31 = 0 faz com que o cofator seja igual a zero (HOWARD; BUSBY, 2006).
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer o conceito de determinante e suas propriedades;
 • aplicar as fórmulas de cálculo de determinantes para matrizes quadradas de diferentes ordens.
Referências
HOWARD, Anton; BUSBY, Roberto. Álgebra linear contemporânea. Tradução Claus Ivo Doering. 
Porto Alegre: Bookman, 2006.
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. Regra de Sarrus. Matemática. Brasil Escola. Disponível em: <http://
brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm>. Acesso em: 15 set 2017.
ROBBIANO, Lorenzo. Álgebra Linear para todos. Tradução Taíse Santiago O. Mozzato. Milão: 
Springer-Verlag Itália, 2011.