Derivadores e integradores

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DERIVADORES E
INTEGRADORES
APRESENTAÇÃO
Olá!
Entre as diversas aplicações dos amplificadores operacionais, estes podem ser u�lizados para
realizar as operações derivada e de integração de funções que variam ao longo do tempo.
Para isso, é u�lizado um capacitor, no qual sua corrente é relacionada com a queda de
tensão sobre ele por sua derivada. U�lizando-o como componente de entrada ou em
realimentação, é possível implementar eletronicamente essas funções de cálculo em sinais
elétricos.
 Entretanto, esses circuitos, em sua forma mais simples, apresentam instabilidades na
frequência dos sinais de entrada, fazendo com que a saída sature. Para garan�r sinais de
saída estáveis, devem ser feitas adequações ao projeto, limitando a frequência dos sinais
u�lizados, mas garan�ndo o funcionamento adequado dos circuitos. Assim, com esses
circuitos estáveis, é possível fazer a implementação eletrônica dos controladores
proporcionais integrais deriva�vos (PID) a par�r do sinal de sensores, ajustando os ganhos de
acordo com os componentes do circuito.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá a projetar circuitos com amplificadores
operacionais que realizam as operações de derivada e integral. 
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Bons estudos.
Ao �nal desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Analisar circuitos derivadores.
Descrever circuitos integradores.
 Aplicar derivadores e integradores no projeto de controladores proporcionais integrais
deriva�vos (PID).
DESAFIO
Um controlador proporcional integral deriva�vo (PID) é u�lizado em plantas para que seja
alcançado o valor desejado de grandeza, a qual será controlada de forma rápida e precisa.
Esse controlador é composto por três partes, uma proporcional (P), uma integral (I) e uma
deriva�va (D), e cada uma é responsável por controlar os vários aspectos de uma resposta
oscilatória de uma planta. Sua implementação pode ser feita de diversas formas, inclusive
u�lizando circuitos com amplificadores operacionais.

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U�lizando o resistor fixo na realimentação do controlador P, determine o valor que cada
potenciômetro deve ser ajustado para as demais resistências do circuito, ou seja,
determine os valores de R1 no controlador P, R e Rf no controlador I e R1 e R2 no
controlador D.
INFOGRÁFICO
Além de u�lizados como amplificadores, somadores e comparadores, os amplificados
operacionais também podem realizar derivadas e integrais em sinais variáveis no tempo
u�lizando componentes adequados. Com essas funções, estes circuitos podem executar
funções de controladores, oferecendo ações proporcional (com amplificadores inversores
ou não inversores), integral ou deriva�va, permi�ndo a implementação de controladores
proporcionais integrais deriva�vos (PID) de forma eletrônica.
Neste Infográfico, você vai conhecer os circuitos u�lizados para realizar estas operações de
forma estável, bem como sua aplicação em controladores PID.
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CONTEÚDO DO LIVRO
Sinais elétricos podem ser integrados e derivados, u�lizando arranjos adequados de
capacitores e amplificadores operacionais, reforçando a versa�lidade desses componentes.
Estes circuitos devem ser projetados de forma adequada, de modo a garan�r que o sinal
de saída tenha estabilidade e não leve o disposi�vo à saturação, com certos ajustes a
serem feitos para limitar a largura da faixa de frequência dos sinais permi�dos. Outra
aplicação desses circuitos está no projeto de controladores proporcionais integrais
deriva�vos (PID) eletrônicos, para serem u�lizados com sinais de sensores, gerando um sinal
a ser fornecido a um atuador adequado.
No capítulo Derivadores e integradores, da obra Eletrônica II, base teórica desta Unidade de
Aprendizagem, você vai aprender a projetar circuitos com amplificadores operacionais que
realizam as operações de derivada e integral. 
Boa leitura.
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DICA DO PROFESSOR
A versa�lidade dos amplificadores operacionais faz com que circuitos possam ser projetados
para efetuar as operações de derivada e integral. Com isso, esses circuitos podem ser
u�lizados no controle de sistemas, a par�r de um
controlador proporcional integral deriva�vo (PID).
Nesta Dica do Professor, você vai ver como são projetados os circuitos derivadores e
integradores, bem como maneiras de garan�r a sua estabilidade. Por fim, vai ver como um
controlador PID pode ser criado a par�r de circuitos com amplificadores operacionais.
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!
 
EXERCÍCIOS
1) Os circuitos integradores são responsáveis por realizar a operação de integração no
tempo a um sinal aplicado em sua entrada. Um gerador de sinal configurado para uma
onda quadrada alimenta a entrada vi do circuito a seguir.
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 Suponha que a onda quadrada tem tensão de 2V durante 1ms, e 0V durante 1ms,
repe�ndo-se de forma periódica. Sabendo que o capacitor da realimentação tem
capacitância C = 20μF, determine o valor de R para que a tensão de saída seja −5V no
instante 1ms?
a) R = 10Ω.
b) R = 20Ω.
c) R = 50Ω.
d) R = 125Ω.
e) R = 250Ω.
2) Um sinal periódico triangular tem cada período representado pela seguinte
equação:vi(t) = 2t [V], para 0ms ≤ t ≤ 2msSuponha que esse sinal tenha sido u�lizado na
entrada do circuito a seguir.
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 Qual será a forma de onda da tensão vO e sua amplitude? Considere R = 200kΩ e C = 10μF.
a) Curto-circuito; 0V.
b) Quadrada; 4V.
c) Pulsada; 8V.
d) Triangular; 4V.
e) Dente de serra; 8V.
3) Para que os circuitos integradores não saturem sua saída, um resistor é adicionado à
realimentação, em paralelo com um capacitor. 
Para garan�r a estabilidade de um sinal senoidal de 10kHz, dimensione o capacitor a ser
u�lizado de forma que a frequência limite seja 10% da frequência do sinal u�lizado, o
resistor de entrada seja R = 10kΩ e a resistência da realimentação seja 20x a resistência de
entrada. 
a) 72,3pF.
b) 79,6pF.
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c) 795,8pF.
d) 1,6nF.
e) 15,9nF.
4) A u�lização de uma rede de atraso em um circuito derivador é responsável por garan�r
que a saída do amplificador operacional não sature. Considere um circuito derivador cuja
resistência de realimentação é de 200kΩ e o capacitor de entrada é de 100pF. O resistor da
rede de atraso é de 1% do resistor da realimentação. 
Qual é a faixa de frequência na qual esse circuito opera como derivador, considerando um
sinal senoidal de entrada? 
a) f < 795,77kHz. 
b) f > 7,96kHz.
c) f < 79,58kHz.
d) f < 7,96kHz.
e) f > 795,77kHz.
5) Os circuitos amplificadores inversores, integradores e derivadores podem ser u�lizados
no controle de sistemas, sendo uma implementação eletrônica de um controlador PID.
Suponha que você disponha de um potenciômetro triplo, no qual as três saídas, quando
ajustadas, têm o mesmo valor de resistência. Esse potenciômetro foi usado para controlar
as constantes de cada termo de um controlador PID e, nas condições atuais, mede 250Ω.
Considere que a resistência da realimentação do controlador P tem valor R2 = 1kΩ, os
capacitores dos controladores I e D tenham o mesmo valor, C = 5nF, e que as tensões de
ajuste e de condição inicial dos controladores P e I sejam 0. Determine o valor de KP, KI e
KD.
a) KP = 0,25, KI = 800.000 e KD = 5,0·10−6.
b) KP = 0,25, KI = 200.000 e KD = 5,0·10−6.
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c) KP = 4, KI = 1,25·10−6 e KD = 800.000.
d) KP = 0,25, KI = 1,25·10−6 e KD = 800.000.
e) KP = 4, KI = 800.000 e KD = 1,25·10−6.
NA PRÁTICA
O controle de sistemas é um processo de grande importância na indústria, o qual garante
que os produtos comercializados tenham a qualidade necessária sem que haja desperdício
de matéria-prima em sua produção. O controle proporcional integral deriva�vo (PID) é um
�po de controle em que uma grandeza pode ser fornecida a um sistema industrial de
forma gradual, enquanto o controlador faz monitoramento u�lizando sensores.
Neste Na Prá�ca, você vai ver como um PID eletrônico, u�lizando amplificadores
operacionais nas configurações integrador e diferenciador, pode ser u�lizado de forma a
garan�r a qualidade dos processos industriais.
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SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do
professor:
Diferenciador com 741: eletrônica para iniciantes #061 
Acompanhe o vídeo a seguir, o qual demonstra o uso do amplificador operacional 741 como
derivador, começando com uma simulação computacional do circuito. 
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!
 
Integrador com 741: eletrônica para iniciantes #062 
Neste vídeo, você vai ver uma demonstraçãodo uso do amplificador operacional 741 como
integrador, u�lizando um osciloscópio para verificar a integral das formas de onda. 
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Projeto de controlador PI com amplificadores operacionais: videoaula #198 
Acesse este vídeo para saber como é projetado um controlador proporcional integral
u�lizando amplificadores operacionais: teoria, simulação e execução prá�ca. 
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!
 
O amplificador operacional (AO) em circuitos RC 
Neste vídeo, você vai ver como as aplicações do amplificador operacional como derivador e
integrador são apresentadas, mostrando os problemas dos circuitos básicos, além de como
resolvê-los. 
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!
 
 
Controlador PID analógico: uma abordagem didá�ca em laboratório 
Neste ar�go, você vai ver como é demonstrada a u�lização de amplificadores operacionais
para implementação de controladores PID analógicos, com o projeto do circuito, analisando
os resultados ob�dos experimentalmente. Confira. 
Conteúdo disponível na plataforma virtual de ensino. Con�ra!