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Resolucao dos exercicios de
Padilha capitulo de 6 ate 10
Ciência dos materiais
Universidade Lúrio (UniLúrio)
21 pag.
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Universidade Lúrio 
Faculdade de Engenharia 
Licenciatura em Engenharia Mecânica 
 
Ciência e Tecnologia dos Materiais 
 
Resolução do Capítulo 6 até 10 do livro de Padilha 
 
2o Grupo 
2o Ano 
 
Nomes: 
Ali dos Santos Artur Francisco 
Carlos Paulo Sassique Andrassone 
Faque Bacar Faque 
Rafael José Molide Júnior 
 
Docente: 
Ossifo Mário 
 
 
 
 
Pemba, Abril de 2020 
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CAPÍTULO 6 
1. O metal ródio (Rh) tem estrutura CFC. Se o ângulo de difracção para os planos (311) é 36,12° 
(reflexão de primeira ordem) quando se usa radiação MoK (𝜆= 0,7107 Å), calcule: 
a) A distância entre estes planos; 
b) O parâmetro de rede do ródio; 
c) O raio atómico do ródio. 
Resposta 
Dados 𝜆 = 0,7107 Å = 0,7107. 10−10𝑚; 𝜃 = 36,12° 
a) Como o metal sofreu difracção pode-se calcular a distância entre os planos usando a lei 
de bragg: 𝑛𝜆 = 2𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 1 
𝑑ℎ𝑘𝑙 = 𝜆2 sin 𝜃 = 0,7107. 10−102 sin 36,12° = 6,0282. 10−11𝑚 
b) Como a estrutura do Ródio é cubica e o plano é (311) pode-se determinar o parâmetro a 
partir da relação: 
a = 𝑑ℎ𝑘𝑙. √ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2; 𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ = 3, 𝑘 = 1 𝑒 𝑙 = 1 a = 6,0282. 10−11. √32 + 12 + 12 = 6,0282. 10−11. √11 = 1,9993. 10−10𝑚 
c) Trata-se da estrutura CFC onde a relação entre o raio atómico e o parâmetro é dada a 
partir da fórmula 𝑅 = a√24 e sendo assim podemos encontrar o raio atómico. 
𝑅 = a√24 = 1,9993. 10−10. √24 = 7,0668. 10−11𝑚 
 
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2. Calcule a densidade de uma liga binária níquel-cromo contendo 20% em átomos de cromo. 
Considere que os átomos de níquel e de cromo estão arranjados em um reticulado CFC, onde 
podem ocupar qualquer posição indistintamente (solução sólida). O parâmetro de rede da solução 
sólida CFC formada é 3,61 Å. Massas atómicas: Ni = 58,71 g; Cr = 51,996 g. 
Resposta 
A densidade será dada pela fórmula: 𝜌 = 𝑛𝐴𝑉𝑐𝑁𝐴 ; 
Onde: n o número de átomos na célula unitária, A o peso atómico, 𝑉𝑐 o volume da célula unitária 
e 𝑁𝐴 o número de Avogadro. 
Dados 𝑁𝐴 = 6,022×1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠𝑚𝑜𝑙 ; 𝑛 = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 é 𝐶𝐹𝐶; a = 3,61Å = 3,61. 10−10𝑚 𝑉𝑐 = a3 = (3.61. 10−10)3 = 4,7046. 10−29𝑚3 = 4,7046. 10−29(102)3𝑐𝑚3= 4,7046. 10−23𝑐𝑚3 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 80%𝑀(𝑁𝑖) + 20%𝑀(𝐶𝑟) = 80%. 58.71 + 20%. 51,996 = 57,3672 gmol ; 
Resolução 
𝜌 = 𝑛𝐴𝑉𝑐𝑁𝐴 = 4.57,36724,7046. 10−23. 6,022 × 1023 = 229,468828.3311012 = 8.0995 𝑔/𝑐𝑚3 
3. Uma liga cobre-alumínio contém 12% em átomos de alumínio. Todo o alumínio encontra-se 
em solução sólida (com estrutura CFC). Os parâmetros de rede do cobre e da liga foram 
determinados por difracção de raios x e são 3,615 Å e 3,640 Å, respectivamente. Calcule as 
densidades do cobre e da liga. Massas atómicas: Cu = 63,54 g; Al = 26,98 g 
Resposta 
Dados 
𝑁𝐴 = 6,022×1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠𝑚𝑜𝑙 ; 𝑛 = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 é 𝐶𝐹𝐶; a𝐶𝑢 = 3,615Å = 3,615. 10−8𝑐𝑚 𝑉𝑐(𝐶𝑢) = a3 = (3.615. 10−8)3 = 4,7242. 10−23𝑐𝑚3; a𝑙𝑖𝑔𝑎 = 3,640Å = 3,640. 10−8𝑐𝑚 
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𝐴𝐶𝑢 = 𝑀(𝐶𝑢) = 63,54 g/mol 𝐴𝑙𝑖𝑔𝑎 = 88% 𝑀(𝐶𝑢) + 12%𝑀(𝐴𝑙) = 56,0032 + 3,2376 = 59,2408 g/mol 𝑉𝑐(𝑙𝑖𝑔𝑎) = a3 = (3,640. 10−8)3 = 4,8423. 10−23𝑐𝑚3 
Resolução 
𝜌𝐶𝑢 = 𝑛𝐴𝑉𝑐𝑁𝐴 = 4.63,544,7242. 10−23. 6,022 × 1023 = 254.1628,449 = 8.9338 𝑔/𝑐𝑚3 
𝜌𝑙𝑖𝑔𝑎 = 𝑛𝐴𝑉𝑐𝑁𝐴 = 4.59,24084,8423. 10−23. 6,022 × 1023 = 236,963229,1603063 = 8.126 𝑔/𝑐𝑚3 
4. Ao determinar-se o parâmetro de rede do níquel, utilizando-se um difractómetro de raios x 
com radiação CuK (𝜆 =1,5418 Å), encontrou-se o primeiro pico, referente aos planos (111), na 
posição 2𝜃 = 44,53°. Pede-se calcular: 
a) A distância entre os planos (111); 
b) O parâmetro de rede do níquel; 
c) O valor de 2𝜃 para os planos (311). 
Resposta 
Dados 𝜆 = 1,5418 Å = 1,5418. 10−8𝑐𝑚 
a) Para o plano (111): 2𝜃 = 44,53° ↔ 𝜃 = 22,265°. 𝜆 = 2𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃 → 𝑑(111) = 𝜆2 sin 𝜃 = 1,5418. 10−82 sin 22,265° = 2,0346. 10−8𝑐𝑚 
b) Sendo a estrutura cubica podemos encontrar o parâmetro de níquel a partir da relação: a = 𝑑ℎ𝑘𝑙. √ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2; 𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ = 1, 𝑘 = 1 𝑒 𝑙 = 1 a = 2,0346. 10−8. √12 + 12 + 12 = 2,0346. 10−8. √3 = 3,5241. 10−8𝑐𝑚 
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c) Sabendo que o raio atómico do níquel é R=1,246 Å, podemos encontrar o parâmetro 
assumindo que a estrutura é CFC, pela relação: 𝑅 = a√24 ↔ a = 4R√2 = 4.1,246.10−8√2 =3,5242. 10−8cm. 𝜆 = 2𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃 
sin 𝜃 = 2𝑑(311)𝜆 = 2. a√ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2𝜆 = 2 3,5242. 10
−8√111,5418. 10−8 𝜃 = 40,54° → 2𝜃 = 81,08° 
5. A figura a seguir apresenta o difratograma do chumbo policristalino obtido com radiação CuK 
(𝜆 =1,5418 Å). Considerando a indexação apresentada, calcule: 
a) O espaçamento entre os planos; 
b) O parâmetro de rede do chumbo. 
 
Leitura das posições (2θ) dos picos: (111) = 31,29°; (200) = 36,29°; (220) = 52,27°; (311) = 
62,19°; (222) = 65,29°; (400) = 77,06°; (331) = 85,50°; (420) = 88,28°; (422) = 99,44°. 
Resposta 
a) 𝜆 = 2𝑑ℎ𝑘𝑙 sin 𝜃 → 𝑑ℎ𝑘𝑙 = 𝜆2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 
Para (111): 2θ = 31,29° → θ = 15,6445° → 𝑑(111) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(15,645°) = 2,8586. 10−8𝑐𝑚 
Para (200): 2θ = 36,29° → θ = 18,145° → 𝑑(200) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(18,145°) = 2,4754. 10−8𝑐𝑚 
Para (220): 2θ = 52,27° → θ = 26,135° → 𝑑(220) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(26,135°) = 1,7501. 10−8𝑐𝑚 
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Para (311): 2θ = 62,19° → θ = 31,095° → 𝑑(311) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(31,095°) = 1,4927. 10−8𝑐𝑚 
Para (222): 2θ = 65,29° → θ = 32,645° → 𝑑(222) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(32,645°) = 1,4291. 10−8𝑐𝑚 
Para (400): 2θ = 77,06° → θ = 38,53° → 𝑑(400) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(38,53°) = 1,2376. 10−8𝑐𝑚 
Para (331): 2θ = 85,50° → θ = 42,75° → 𝑑(331) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(42,75°) = 1,1357. 10−8𝑐𝑚 
Para (420): 2θ = 88,28° → θ = 44,14° → 𝑑(420) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(44,14°) = 1,1070. 10−8𝑐𝑚 
Para (422): 2θ = 99,44° → θ = 49,72° → 𝑑(422) = 1,5418 .10−82 𝑠𝑖𝑛(49,72°) = 1,0105. 10−8𝑐𝑚 
b) a = 𝑑ℎ𝑘𝑙. √ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2 
Para (111): a(111) = 2,8586. 10−8. √12 + 12 + 12 → a(111) = 4,9512. 10−8𝑐𝑚 
Para (200): a(200) = 2,4754. 10−8. √22 + 02 + 02 → a(200) = 3,5007. 10−8𝑐𝑚 
Para (220 a(220) = 1,7501. 10−8. √22 + 22 + 02 → a(220) = 3,5002. 10−8𝑐𝑚 
Para (311 a(311) = 1,4927. 10−8. √32 + 12 + 12 → a(311) = 4,9507. 10−8𝑐𝑚): 
Para (222): a(222) = 1,4291. 10−8. √22 + 22 + 22 → a(222) = 4,9505. 10−8𝑐𝑚 
Para (400): a(400) = 1,2376. 10−8. √42 + 02 + 02 → a(400) = 2,4752. 10−8𝑐𝑚 
Para (331): a(331) = 1,1357. 10−8. √32 + 32 + 12 → a(331) = 4,9486. 10−8𝑐𝑚 
Para (420): a(420) = 1,1070. 10−8. √42 + 22 + 02 → a(420) = 4,9506. 10−8𝑐𝑚 
Para (422): a(422) = 1,0105. 10−8. √42 + 22 + 22 → a(422) = 4,9504. 10−8𝑐𝑚 
6. Dê algumas razões para que os picos de difracção de raios x não tenham todos a mesma 
intensidade. 
Resposta 
Como a intensidade do feixe difractado depende de vários factores tais como densidade atómica 
do plano em questão,natureza dos átomos que o compõe, número de planos, ângulo de 
incidência, temperatura e outros, por isso que os picos de difracção de raios x não têm a mesma 
intensidade. 
 
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7. Uma amostra policristalina de um metal cúbico foi analisada por difracção de raios x 
utilizando-se um difractómetro com radiação CuK (𝜆=1,5418 Å). Foram detectados picos de 
difracção para os seguintes valores de 2θ em graus: 44,5; 51,8; 76,4; 92,9; 98,4; e 121,9. 
Identifique o tipo de estrutura cúbica e calcule o parâmetro de rede do metal. Neste exercício 
você terá que considerar que nem todos os planos existentes no cristal causam picos de difracção. 
Os valores de h2+k2+l2 dos planos (hkl) presentes nos diferentes sistemas cúbicos são os 
seguintes: 
Cúbico simples = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, ... 
Cúbico de corpo centrado = 2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ... 
Cúbico de faces centradas = 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20, 24, 27, 32, ... 
Resposta 
2θ = 44,5° → θ = 22,75° → 𝑑(ℎ𝑘𝑙) = 1,5418 . 10−82 𝑠𝑖𝑛(22,75°) = 1,9935Å ≈ 2Å a = 𝑑ℎ𝑘𝑙. √ℎ2 + 𝑘2 + 𝑙2 
8. Quais as principais diferenças entre a difracção de raios x por um cristal e a reflexão da luz por 
um espelho? 
Resposta 
Quanto as principais diferenças entre a difracção de raios x por um cristal e a reflexão da luz por 
um espelho são o tipo de interferência causados, enquanto na difracção de raios x por um cristal 
ocorre interferência construtiva, a reflexão da luz por um espelho é somente uma propriedade das 
ondas electromagnéticas. 
9. Como você identificaria a estrutura cristalina de uma substância desconhecida? 
Resposta 
Através dos métodos da determinação das estruturas cristalinas por meios difracção de raios x, 
difracção de electrões e difracção de neutrões. Estes métodos fornecem informações sobre a 
natureza e os parâmetros do reticulado, assim como detalhes a respeito do tamanho, da perfeição 
e da orientação dos cristais. 
 
 
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10. Em que situações você utilizaria a câmara de Debye-Scherrer para analisar um material? 
Resposta 
Utilizaria a câmara de Debye-Scherrer para caracterizar normalmente um material policristalino, 
e também porque a utilização de padrões internos, misturados com a amostra, possibilita a 
correcção de erros. Visto que a câmara de Debye-Scherrer é uma das técnicas de difração de 
raios x mais empregada na análise de policristais, onde a amostra é utilizada normalmente na 
forma de pó. 
11. Em que situações você utilizaria um difractómetro para analisar um material? 
Resposta 
Como a câmara de Debye-Scherrer e o difractómetro são os dois equipamentos mais utilizados 
no método do pó, e o difractómetro é um aparelho usado para determinar os ângulos nos quais a 
difracção ocorre para amostras em pó, por isso utilizaria. 
12. O dubleto Kα1 /Kα2 não pode ser separado, isto é, o feixe não pode ser monocromatizado 
somente com auxílio de filtros. Como você faria a monocromatização? 
Resposta 
Eu usaria o método de Laue, onde a radiação incidente é branca, isto é, contém todos os 
comprimentos de onda do espectro e o ângulo de incidência é fixo. Isso facilitaria a 
monocromatização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 7 
1. Calcule a concentração de lacunas (em % de posições da rede) para o alumínio (Hf = 0,76 eV) 
a 600°C, 200°C e 25°C. O valor da constante de Boltzmann é k 8,614 10 5 eV/K. 
Resposta 
Dados Hf = 0,76 eV T1 = 600℃ = 873 K; T2 = 200℃ = 473 K; T3 = 25℃ = 298 K; 𝑘 = 8,614. 10−5 𝑒𝑉/𝐾. 
No = 𝑁. exp ( 𝐻𝑓𝐾. 𝑇) ; 𝑁 = 𝑁𝐴. 𝑃𝐴 {𝑁 = 6,02 × 1023𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚𝑜𝑙𝑃 = 2,7𝑔/𝑐𝑚3𝐴 = 27 𝑔/𝑚𝑜𝑙 𝑁 = 𝑁𝐴. 𝑃𝐴 = 6,02 × 1023. 2.727 = 6,02 × 1022 
Para: T1 = 600℃ = 873 K será: No = 𝑁. exp ( 𝐻𝑓𝐾. 𝑇) → 𝑁𝑜 = 6,02 × 1022. 𝑒𝑥𝑝 ( 0,768,614. 10−5. 873) = 2,717. 1018 𝑙𝑎𝑐𝑢𝑛𝑎𝑠 
Para: T2 = 200℃ = 473 K será: No = 𝑁. exp ( 𝐻𝑓𝐾. 𝑇) → 𝑁𝑜 = 6,02 × 1022. 𝑒𝑥𝑝 ( 0,768,614. 10−5. 473) = 1,084. 1018 𝑙𝑎𝑐𝑢𝑛𝑎𝑠 
Para: 𝑇3 = 25℃ = 298 𝐾 será: No = 𝑁. exp ( 𝐻𝑓𝐾. 𝑇) → 𝑁𝑜 = 6,02 × 1022. 𝑒𝑥𝑝 ( 0,768,614. 10−5. 298) = 6,57. 109 𝑙𝑎𝑐𝑢𝑛𝑎𝑠 
2. Qual a relação entre a concentração de lacunas no alumínio (Hf = 0,76 eV) e no cobre (Hf = 
1,2 eV) a 600°C. 
Resposta 
Dados 𝐻𝑓𝐴𝑙 = 0,76 𝑒𝑉 A concentração do Alumínio (𝐻𝑓𝐴𝑙 = 0,76 𝑒𝑉) é de: 2,717.1018 𝐻𝑓𝐶𝑢 = 1,2 𝑒𝑉 T = 600℃ = 873 K 
Para o cobre teremos:{ 𝑃 = 8,9 𝑔/𝑐𝑚3𝐴 = 63,546 𝑔/𝑚𝑜𝑙𝑁𝐴 = 𝑁 = 6,02 × 1023𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚𝑜𝑙 No𝑁 = exp (−𝐻𝑓𝐾.𝑇 ) 
 
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𝑁 = 𝑁𝐴.𝑃𝐴 = 6,02×1023.8,969,55 = 8,43 × 1022, logo: 
 𝑁𝑜 = 6,02 × 1022. 𝑒𝑥𝑝 ( −1,28,614.10−5.873) = 7,566. 1017 
CAPÍTULO 8 
1. Uma barra de cobre foi endurecida por deformação a frio (encruamento). 
O tempo necessário (em segundos) para se amaciar de 50% o cobre deformado 
(com o grau de encruamento empregado) é dado por: t = 10−12 exp (3000𝑅∙𝑇 ) R = 1,987 cal/molk 
Pergunta-se: 
a) Quanto tempo o cobre levará para se amaciar de 50% a 1000°C? 
b) Se o cobre for deixado na temperatura ambiente, quanto tempo será necessário para ele 
amolecer de 50%? 
Resposta 
a) 
 t = 10−12 exp (3000𝑅∙𝑇 ) R = 1,987 cal/molk 
k T = 100°C 
Tk = 373 k entre t = 10−12 e ( 30001,987 ∙373) 
t = 10−12 ∙ 𝑒 ( 3000741,157) 
t = 10−12 ∙ 𝑒 (40,55) 
t = 10−12 ∙ 3,8808∙ 1017 
t = 10−12 ∙ 3,88∙ 105 𝑠 
b) Temperatura ambiente é de 25°𝐶que corresponde a 298 K então: 
t = 10−12 ∙ 𝑒 ( 30001,987∙298) 
t = 10−12 ∙ 𝑒 ( 3000592,126) 
t = 10−12 ∙ 𝑒 (5016) 
t = 10−12 ∙ 9,44 ∙ 1021 
t = 9,4 ∙ 109s 
 
 
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3. A purificação do hidrogénio é feita por meio da difusão através de uma lâmina de paládio. 
Considere uma lâmina de 5 mm de espessura com área de 0,2 m2 a 500°C. Considere o 
coeficiente de difusão do hidrogénio no paládio a 500°C como sendo 10-8 m2/s. As 
concentrações de hidrogénio nos dois lados da lâmina são respectivamente: 2,4 e 0,6 kg/m3. 
Considere que o estado estacionário foi atingido e calcule a quantidade de hidrogénio que passa 
pela placa em 1 hora. 
Resposta 
Como a difusão acontece em regime estacionário deve-se assim empregar a 1ª lei de Fich: 
Dados: ∆ = 10−8 𝑚2/𝑠 J = − ∆ ∙ ∆𝐶∆𝑋 𝐶1= 2,4 𝐾𝑔/𝑚3 J = −10−8𝑚2/𝑠 𝑥 (0,6−2,4)5∙10−3𝑚 𝐶2= 0,6𝐾𝑔/𝑚3 J = −10−8𝑚2/𝑥(−1,8)𝐾𝑔/𝑚3 5∙10−3𝑚 ∝ = 5𝑚𝑚 = 5 ∙ 10−3 𝑚 J = −10−8𝑚2/𝑠∙(𝐾𝑔/𝑚3)5∙10−3𝑚 = 0,36 ∙ 10−5𝐾𝑔/𝑚3 ∙ 𝑠 
A = 0,2 𝑚2 
Pede-se que se calcule o fluxo em Kg/h. Assim, precisamos multiplicar o resultado pela área da 
lâmina: 
J = 0,36 ∙ 10−5𝐾𝑔/𝑚3 ∙ 𝑠 ∙ 0,2𝑚2 
 J = 0,072 ∙ 10−5𝐾𝑔/𝑠 
O fluxo resultante está expresso em Kg/s, resolvemos determina-lo em Kg/h. Sabe-se que: 
 1h – 60min = 3600s 
 Então 
J (Kg/h) = 0,72 ∙ 10−5𝐾𝑔 𝑥 36005 
 J (Kg/h) = 259,2 ∙ 10−5J (Kg/h) = 2,592 ∙ 10−3 
4. Os coeficientes de difusão do cobre no alumínio a 500 e a 600°C são 4,8 10-14 e 5,3 10-13 
m2/s, respectivamente. Determine o tempo aproximado que produza a 500°C o mesmo resultado 
de difusão (em termos de concentração de cobre em algum ponto dentro do alumínio) que um 
tratamento térmico de 10 horas a 600°C. 
 
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Resposta 
Dados: 
T = 500℃ = 775k 
D (500℃) = 4,8 ∙ 10−14𝑚2/𝑠 
T = 600℃ = 873k 
D = (600℃) = 5,3 ∙ 10−3𝑚2/𝑠 
t = (500℃) = ? 
t (600℃) = 10 horas = 36000s/h 
Formula e Resolução 
 
𝐶𝑋−𝐶𝑂𝐶𝑠∙𝐶𝑜 = l – erf ( 𝑋2√𝐷∙𝑡) 
Tanto a 500℃ quanto a 600℃, desejamos formar uma camada de mesma espessura e mesma 
compressão. Assim: 𝐶𝑥 = (500℃) = 𝐶𝑥 (600℃) 𝐶𝑜 = (500℃) = 𝐶𝑜 (600℃) 𝐶𝑠 = (500℃) = 𝐶𝑠 (600℃) 
Por consequência: 
erf(Z) (500℃) = erf(Z) (600℃), por isso: 
Z (500℃) = Z (600℃) 
Temos que: 
Z = (
𝑋2√𝐷∙𝑡) 𝑋 (500℃)√𝐷(500℃)∙𝑡(500℃) = 𝑋 (600℃)𝐷√𝐷∙(600℃)∙𝑡(600℃) Como 𝑋 (500℃) = 𝑋 (600℃) então ficamos 
com: √𝐷(500℃) ∙ 𝑡(500℃) = √𝐷 ∙ (600℃) ∙ 𝑡(600℃) 𝐷(500℃) ∙ 𝑡(500℃) = 𝐷(600℃) ∙ 𝑡(600℃) 
500℃ = 773k 
600℃ = 873k 
t(773k) = 
𝐷∙(873)∙𝑡(873)𝐷(773) 
t(773k) = 
5,3∙10−3∙360004,8∙10−14 
t(773k) = 
5,3∙10−3∙3,6∙1044,8∙10−14 == t(773k) = 19,08∙1044,8∙10−14 →t(773k) = 3,975 ∙ 1015𝑠 
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5. Determine o tempo necessário para que um aço contendo 0,2% em peso de carbono tenha, 
numa posição 2 mm abaixo da superfície, um teor de carbono de 0,45%. Durante o tratamento de 
cementação realizado a 1000°C, o teor de carbono na superfície foi mantido em 1,3%. O 
coeficiente de difusão do carbono na austenita deste aço é dado pela expressão: 
t = 10−5 exp (−32400𝑅∙𝑇 ) R = 1,987 cal/mol K 
Resposta 
Dados 
T =? 
𝐶𝑥−𝐶𝑜𝐶𝑠−𝐶𝑜 = 1−erf ( 𝑋2√𝐷∙𝑡) 𝐶0 = 0,2% 0,45−0,21,3−0,2 = ∙ erf ( 𝑋2√𝐷∙𝑡) 
X = 2𝑚𝑚 = 2 ∙ 10−3𝑚 0,251,1 = 1−erf ( 𝑋2√𝐷∙𝑡) 𝐶𝑥 = 0,45% 0,227−1= erf ( 𝑋2√𝐷∙𝑡) 
T = 1000℃ = 1273k 0,773 = erf ( 𝑋2√𝐷∙𝑡) onde Z = ( 𝑋2√𝐷∙𝑡) 𝐶𝑠 = 1,3% 
D = 10−5exp (−32400𝑅𝑇 ) 
R = 1,987 cal/mol k 
Segundo a tabela de função erro teremos: 𝑧 erf (z) 𝑧 erf (z) 
 
0,85 
 
0,7707 
𝑧1 𝑒1 𝑧 𝑒 
0,90 0,7970 𝑧𝛾 𝑒𝛾 
Para encontrar o valor de z 𝑍−𝑍1𝑍𝑒−𝑍1 = 𝑒 − 𝑒1𝑒𝛾−𝑒1 == 𝑍−0,850,90−0,85 = 0,773−0,77070,170−0,7703 𝑍−0,85 0,05 = 0,00230,0203 
Z− 0,85 = 0,00437 
Z = 0,00437 +0,85 
Z = 0,8544 
Z = Z = (
𝑋2√𝐷∙𝑡) 
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(0,854) =(
2∙10−3 2√10−5∙exp ( −324001,987∙1273)∙𝑡)2 ↔ 0,729316 = 4∙10−64∙10−5𝑒( −324001,987∙1273)∙𝑡 ↔ 0,729316 = 10−1( −324001,987∙1273)∙𝑡 → 0,729316∙ 𝑒 ( −324001,987∙1273) ∙ 𝑡 = 110 
t = 110 ∙ 1𝑒( −324001,987∙1273)∙0,729316 → 17,29316 ∙ 𝑒 ( −324001,987∙1273) 
t = 
17,29316 ∙ 162754,73 → 𝑡 = 22316,078𝑠 
6. Se um aço contendo 0,9% em peso de carbono for mantido 10 horas a 950°C em uma 
atmosfera descarbonetante que mantém a concentração de carbono da superfície no valor 0,1%, a 
que profundidade o teor de carbono será 0,8%? Use o coeficiente de difusão do carbono do 
problema anterior. 
Dados Resolução 𝐶𝑥 = 0,8% 1h → 60min 𝐶𝑠 = 0,1% 10h → 𝑥 𝐶𝑜 = 0,9% 600min 
D = 2,7 ∙ 10−4exp (−23600𝑅∙𝑇 ) 1min → 60𝑠 
R = 8,31 J/molk 600min → 𝑥 
T = 950℃ 𝑥 = 36000𝑠/ℎ 𝜏 = 10ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑇𝑥 = ℃ + 273 𝑇𝑘 = 1223 
1̊: D = 2,7 ∙ 10−4𝑒( −2660008,31∙1223) 𝐶𝑥−𝐶𝑜𝐶𝑠−𝐶𝑜 =1 – erf ( 𝑥2√𝐷∙𝑡) 0,8−0.90,1−0,9 = erf ( 𝑥2√𝐷∙𝑡) 
0,125−1 = erf ( 𝑥2√𝐷∙𝑡) 
0,875 = erf ( 𝑥2√𝐷∙𝑡) 
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Sabemos que a função erro, ou erf(z), onde z=
𝑥𝑁√𝐷∙𝑡 vale 0,875 utilizando a tabela de fusão erro, 
podemos determinar o valor de z. Onde z = 𝑥2√𝐷∙𝑡 
 
z Erf(z) 
1,1 0,8802 
1,2 0,9103 
Para executar o valor de z, vamos precisar fazer uma interpolação. 
z erf(z) 𝑧1 𝑒1 
 z 𝑒 𝑧2 𝑒2 𝑧−𝑧1𝑧2−𝑧2 = 𝑒−𝑒1𝑐2−𝑐1 
z erf(z) 
1,1 0,9902 
 z 𝑒 
1,2 0,9103 
 𝑧−𝑧1𝑧2−𝑧2 = 𝑒−𝑒1𝑐2−𝑐1 → 𝑧−1,11,2−1,1 = 0,875−0,88020,9103−0,8802 𝑧−1,10,1 = 0,0070,0301 
(z−1,1) ∙ 0,0301 = 0,0007 
z−1,1 = − 0,00070,0301 
z = 1,1 = −0,002326 
z = −0,002326 + 1,1 
z = 1,0977 
9. 
Resposta 𝑇𝑘 = 700° + 273 
T = 973k 𝑇𝑘 = 1023 
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𝐷𝑎 = 0,0079 𝑒( −181001,987∙973) 𝐷𝑎 = 0,0079 ∙ 𝑒(−9) 𝐷𝑎 = 0,0079 ∙ 1𝑒9 → 𝐷𝑎 = 0,0079𝑒9 = 0,807981033,0815 = 79∙10−48,1030915∙103 → 𝐷𝑎 = 9,75 ∙ 10−7 𝐷𝑗 = 0,21 𝑒(−33800𝑅∙𝑇 ) → 𝐷𝑗 = 0,21 𝑒( −338001,987∙1023) ↑→ 𝐷𝑗 = 0,21 ∙ 𝑒(−16,6) 𝐷𝑗 = 0,21𝑒(16,6) → 0,211,6191517∙107 = 0,1297∙ 10−7 𝐷𝑎 = 9,75 ∙ 10−2𝑐𝑚2/𝑠 e 𝐷𝑗 = 0,1297 ∙ 107𝑐𝑚2/𝑠 𝐷𝑎 > 𝐷𝑗, Porque quando maior temperatura maior é o coeficiente de difusão. 
10. Resposta 
Ferro alfa D = 2 ∙ 10−4 exp (−57500𝑅∙𝑇 ) 𝑚2/𝑠 h=1,987cal/mol k 
Ferro gama D = 5 ∙ 10−5exp (−67900𝑅∙𝑇 ) 𝑚2/s R = 1,987 cal/mol k 
Cobre D = 7,8 ∙ 10−5exp (−50400𝑅∙𝑇 ) 𝑚2/𝑠 R = 1,987 cal/mol k 
a) D ferro > 𝑎 850 𝑜𝑢 𝑎 950℃? 
Ferro alfa D = 2 ∙ 10−4𝑒( −575001,987∙1,23) → 𝐷 = 2 ∙ 10−4 ∙ 𝑒( −575002231,401) 
D =2 ∙ 10−4𝑒(−25,8) 
D = 
2∙10−4𝑒(25,8) → D = 2∙10−41,6∙101 → 1,25 ∙ 10−15𝑚2/𝑠 
Para T=950℃ 
T=1223 k 
D = 2 ∙ 10−4 exp ( −575001,917∙1223) → D = 2 ∙ 10−4𝑒( −575002430,141) 
D = 2 ∙ 10−4 ∙ 𝑒(−23,7) → D = 2∙10−4∙𝑒( −575002430,141) 
D = 10,21 ∙ 10−15𝑚2/𝑠 
Para ferro gama: 
D = 5 ∙ 10−5𝑒( −679001,987∙1123) 
D = 5 ∙ 10−5𝑒( −679002231,401) D = 5∙10−5𝑒(30,4) = 5∙10−51.59∙1013 
D = 3,144 ∙ 10−18𝑚2/𝑠 
Para T= 950℃ 
D = 5 ∙ 10−5 ∙ 𝑒( −679001,987∙1223) → 5 ∙ 10−5𝑒( −679002430∙101) 
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D = 5 ∙ 10−5𝑒(−27,9) 
D = 
5∙10−5𝑒(27,9) → 5∙10−51,3∙1012 → 3,8 ∙ 19−17 → 38 ∙ 10−18𝑚2/𝑠 
A difusovidade de átomo de ferro é menor a 950℃, porque quando menor for a temperatura, 
maior é difusividade. 
CAPÍTULO 9 
1.Existe uma concentração (“densidade”) de discordâncias de equilíbrio para cada temperatura 
como no caso lacunas? Justifique 
Resposta 
O número de lacunas aumenta exponencialmente quando aumenta-se a temperatura. Para formar 
defeitos é necessário dispor de energia. Normalmente esta energia é dada na forma de energia 
térmica. Isto quer dizer que quanto maior a temperatura, maior será a concentração de defeitos. 
2. Como você explica que um lingote de açocom dimensões de metros seja 
transformado por deformação plástica em chapas com espessura de milímetros sem perder sua 
estrutura cristalina? 
Resposta 
Deve se ao procedimento de plastificação, é por meio deste procedimento, entretanto que o 
material se deforma e mantem sem perder a sua estrutura cristalina. 
3. Determine os índices de Miller de uma discordância em cunha que tem vetor de Burgers 𝑎 2⁄ 
[011̅] E está contida no plano (111). 
4. O que é escorregamento com desvio (“cross-slip”) de discordâncias? 
Resposta 
Escorregamento com desvio é um fenomeno que ocorre quando uma descordancia movimenta-se 
ao longo de um plano e encontra um obstaculo intrasponivel, em que uma das maneiras para a 
descordancia contenuar com o seu movimento seria mudar do seu plano de deslizamento. Esta 
maneira que a descordancia tem de disviar o obstaculo é denominada escorregamento com 
desvio. 
5. Considere uma discordância em hélice com vetor de Burgers 𝑎 2⁄ [10̅1] Contida no plano 
(111) de um cristal CFC. 
a) Pode esta discordância sofrer escorregamento com desvio? Justifique. 
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b) Em caso positivo, indique um plano da família {111} no qual o escorregamento com 
desvio pode ocorrer. 
Resposta 
a) Sim, a descordancia pode sofrer escorregamento com desvio, por que ao longo da sua 
trajectoria ira se deparar com um obstaculo que impedira o seu deslocamento, em que 
uma das maneiras para a descordancia contenuar com o seu movimento seria mudar do 
seu plano de deslizamento. 
b) Uma possibilidade seria o plano (11̅1), por que contém máxima densidade atômica e o 
vetor de Burgers. 
6. O que é escalada (“climb”) de discordâncias? 
Resposta 
É o movimento da discordância que ocorre fora do plano de deslizamento, perpendicularmente 
ao vetor de Burgers. 
8. Qual a origem da energia das discordâncias? 
Resposta 
A energia associada a uma discordância depende do seu vetor de Burgers (varia com 
o quadrado do vetor de Burgers), e que quando há presença de uma discordância no reticulado 
cristalino causa um aumento da energia interna, que tem duas parcelas: a energia do núcleo da 
discordância e a energia elástica. 
9. O que é força de Peierls-Nabarro? 
Resposta 
É uma espécie de “força de atrito” entre a discordância e o plano de deslizamento. 
10. Como varia a velocidade média das discordâncias com a tensão externa aplicada e com a 
temperatura de deformação? 
Resposta 
O efeito do aumento da velocidade de deformação equivale, microestruturalmente, há um 
abaixamento da temperatura de deformação. Deve-se mencionar que pequenas variações na 
temperatura de deformação causam grandes modificações na subestrutura de discordâncias, 
enquanto grandes modificações na velocidade de deformação influenciam relativamente pouco. 
Por exemplo, ao duplicar-se a temperatura absoluta de deformação, o efeito é enorme em 
comparação com a duplicação da velocidade de deformação. 
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11. Apresente e explique a expressão geral de Peach-Koehler para forças externas agindo sobre 
discordâncias. 
Resposta 𝐹 = (𝑡𝑧𝐺𝑦 − 𝑡𝑦𝐺𝑧)𝑖 + (𝑡𝑥𝐺𝑧 − 𝑡𝑧𝐺𝑥)𝑗 + (𝑡𝑦𝐺𝑥 − 𝑡𝑥𝐺𝑦)𝑘 
Esta equação mostra um descordancia com vetor de Burgers de componentes 𝑏𝑥, 𝑏𝑦 𝑒 𝑏𝑧.e com 
vetor de linha com componetes 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 𝑒 𝑡𝑧 Sumetido a um estado de tensoes completamente 
geral contendo os componentes 𝜎𝑦𝑦, 𝜎𝑧𝑧 , 𝜎𝑥𝑧, 𝜎𝑦𝑥 , 𝜎𝑦𝑧 𝑒 𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦. 
12. O que é tensão de linha de uma discordância? 
Resposta 
A tensão de linha é definida como a energia da linha por unidade de comprimento aumentado. 
13. Justifique a necessidade da ocorrência de multiplicação de discordâncias durante a 
deformação plástica de um metal. 
Resposta 
A partir de cálculo de deformação total de um cristal recozido pode se observar que a densidade 
de discordâncias dos cristais deformados plasticamente é várias ordens de grandeza maior que a 
densidade inicial no cristal recozido, durante a deformação plástica, além das discordâncias 
abandonarem o cristal, elas se multiplicam. Isto pode ser confirmado medindo-se a densidade de 
discordâncias após a deformação. 
15. Qual a origem dos degraus (“jogs”) nas discordâncias? 
Resposta 
Origina a partir da intersecção de duas discordâncias em movimento em torno de um plano. 
16. Como a presença de degraus nas discordâncias afeta o seu movimento? 
Resposta 
A presença de degraus nas discordâncias afeta o seu movimento quuando o movimento de 
deslocamento torna se dificultuoso ou seja quanto a sua mobilidade vai se tornar cada vez mais 
dificultada durante a deformacao plastica. 
17. Apresente um mecanismo que justifique a formação de lacunas durante a 
deformação plástica. 
Resposta 
O movimento de discordâncias em hélice contendo degraus é um dos mecanismos responsáveis 
pela geração de lacunas (e de intersticiais) durante a deformação plástica. 
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18. Quando a reação entre discordâncias é possível? 
Resposta 
Para que uma reação ocorra duas condições devem ser satisfeitas: 
a) A reação deve estar vetorialmente correta; 
b) A reação deve ser energeticamente favorável. 
21. O que é uma barreira ou trava de Lomer-Cottrell? 
Resposta 
É tipo de reação entre discordâncias unitárias contido num planoas quais dissociar-se em 
parciais, e delimitam defeitos de empilhamento, e que quando elas reagem formam uma 
discordância situada na intersecção dos planos, tendo vetor de Burgers fora dos dois planos de 
deslocamento e não podendo movimentar-se neles. 
23. Considere três cristais de cobre puro: i) um praticamente livre de discordâncias (“whisker”); 
ii) um cristal recozido contendo 105 cm/cm3 de discordâncias e iii) um cristal deformado a frio 
contendo 1011 cm/cm3 de discordâncias. 
a) Qual dos cristais apresentará maior resistência ao início da deformação 
plástica? 
b) Qual dos cristais apresentará menor resistência ao início da deformação 
plástica? 
Resposta 
a) i) um praticamente livre de discordâncias (“whisker”); e iii) um cristal deformado a frio 
contendo 1011 cm/cm3 de discordâncias. 
b) ii) um cristal recozido contendo 105 cm/cm3 de discordâncias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 10 
1. Por que a superfície externa de um cristal é um defeito? 
Resposta 
Porque ela representa o contorno ao longo do qual a estrutura do cristal termina. Onde átomos da 
superfície não estão ligados ao número máximo de vizinhos mais próximos e estão, portanto, 
num estado de maior energia do que os átomos nas posições do interior. As ligações destes 
átomos da superfície que não estão satisfeitas dão origem a uma energia de superfície. 
2. O que é um contorno de baixo ângulo (também conhecido como subcontorno ou contorno de 
subgrão)? 
Resposta 
Contorno de baixo ângulo é a denominação da fronteira que separa os dois subgrãos. Eles podem 
ser descritos por arranjos convenientes de discordâncias. 
3. Os contornos de grão são também chamados de contornos de alto ângulo. Podem eles serem 
descritos em termos de arranjos de discordâncias? Justifique. 
Resposta 
Sim! Degraus em contornos de grão são uma característica importante dos contornos de alto 
ângulo. Observações recentes utilizando microscopia de alta resolução sugerem que os contornosde alto ângulo consistem de grandes regiões em que a adaptação atómica entre os dois grãos é 
relativamente boa separada por regiões de má adaptação. Os degraus estão associados com estas 
regiões de má adaptação. De uma maneira geral, pode-se afirmar que a quantidade (ou 
densidade) de degraus aumenta com o aumento da diferença de orientação entre grãos vizinhos. 
 
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