Pesquisa Operacional

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PESQUISA OPERACIONAL
ENGª. MESTRA KARLA ROBERTO SARTIN
AULA 1
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PLANO DE ENSINO
Introdução a pesquisa operacional. Modelo matemático em programação linear. Método gráfico. Método Simplex. Dualidade. Problema do transporte e problema da designação. Análise de sensibilidade. Métodos computacionais aplicados à pesquisa operacional.
EMENTA
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PLANO DE ENSINO
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Habilitar o acadêmico do curso de administração a modelar, programar e otimizar processos produtivos e operações organizacionais através da aplicação de pesquisa operacional.
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PLANO DE ENSINO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DA DISCIPLINA
Unidade 1
- Nivelamento de estatística
- Construção e análise de gráficos
- Conceito de pesquisa operacional;
- Modelagem matemática;
- Programação linear;
- Casos práticos de aplicação da programação linear em processos produtivos.
Unidade 2
- Resolução de modelos de programação linear a partir do método gráfico;
- Método simplex;
- Análise de dualidade;
- Otimização;
- Análise econômica a partir do método simplex;
- Casos de aplicação do método simplex em processos produtivos.
Unidade 3
- Conceituação do problema de transporte;
- Programação linear aplica a transportes;
- Modelos de solução de problemas de transporte;
- Análise de otimalidade dos modelos de transportes;
-Análise de sensibilidade das soluções dos modelos de transportes.
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Métodos adotados no processo ensino aprendizagem:
- Aulas expositivas dialogadas;
- Sala de aula invertida;
- Leitura de uma obra clássicas da pesquisa operacional;
- Formação de times e aplicação das metodologias ativas (TBL – aprendizagem baseada em times/ TBL – aprendizado baseado em problemas/ Estudos de casos e solução de problemas/ jogos);
- Os alunos deverão desenvolver programação linear de uma empresa, visando a otimização dos processos produtivos
- Discussão e análise de casos em grupos.
PLANO DE ENSINO
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PLANO DE ENSINO
CHAMADA ÀS 10:50H
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PLANO DE ENSINO
2,0 PONTOS DE TRABALHOS – TESTES SURPRESAS PREPARATÓRIOS PARA AS PROVAS
MÉDIA ARITIMÉTICA OBTIDA NOS DIVERSOS TESTES.
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NIVELAMENTO 
PLANEJAMENTO DE ESTUDOS ESTATÍSTICO
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1. Definir o problema: a definição do problema deve ser o primeiro passo para qualquer pesquisa. Na prática, definir o problema é transformar o tema da pesquisa em uma pergunta que deverá ser respondida ao final de todo o processo que segue.
2. Planejar a coleta de dados: a coleta de dados será determinada pelo tipo de pesquisa — em função do problema de pesquisa, devemos planejar se esta será de caráter experimental ou de levantamento.
A pesquisa experimental tem a característica de manipular os elementos para avaliar os efeitos – EX: TRAÇO CONCRETO QUANDO HÁ ADIÇÃO DE ADITIVOS.
A pesquisa de levantamento é aquela que gera dados a partir da observação .
Observação – em variáveis do tipo qualitativas é necessário a elaboração de questionários.
Organização, apresentação e análise dos dados:
deve-se obedecer critérios de classificação;
dados são apresentados em tabelas, gráficos ou histogramas, a fim de ficarem mais evidentes para análise;
medidas descritivas – ex: média, moda...;
Medidas de dispersão
NIVELAMENTO 
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Os resultados: após conhecer todas as características dos dados, a partir da análise, faz-se as conclusões sobre a população, ou seja, o todo considerado na pesquisa. Por meio da estatística inferencial, é possível fazer deduções e previsões relevantes, com o intuito de responder o problema inicial da pesquisa
NIVELAMENTO 
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NIVELAMENTO 
1)Leia as alternativas abaixo e assinale a que aponta CORRETAMENTE o tipo de profissional que a Estatística pode auxiliar:
Matemáticos.
Todo profissional, independente de sua área de atuação.
Donos de loja, para cálculo dos produtos a comprar.
Atletas, para uso em seus treinamentos.
As grandes empresas.
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NIVELAMENTO 
2)Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: A Estatística é um ramo da Matemática que estuda...
toda a Matemática.
toda a Matemática, menos as quatro operações básicas.
como obter e organizar dados numéricos.
apenas como obter dados numéricos.
apenas como organizar dados numéricos.
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NIVELAMENTO 
3)A Estatística tenta transformar “um punhado de números” em informações que:
permitam entender a Matemática como um todo.
permitam entender apenas as quatro operações matemáticas básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão).
permitam entender a Teoria de Limites.
auxiliem apenas na compreensão de fatos passados.
auxiliem na compreensão de fatos passados e na tomada de decisão das mais variadas maneiras.
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NIVELAMENTO 
4)Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: A Estatística Descritiva engloba...
métodos e técnicas para avaliar uma série de dados.
a descrição do que é Estatística.
a descrição do que a Estatística estuda.
a descrição da Matemática.
a descrição unicamente das técnicas estatísticas.
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NIVELAMENTO 
5)Dentre as afirmativas abaixo, marque a que completa CORRETAMENTE a frase: A Estatística Inferencial (ou a Matemática) utiliza...
métodos e técnicas para avaliar uma série de dados.
a Teoria da Probabilidade.
a Teoria de Limites.
as quatro operações básicas.
praticamente tudo o que existe em Matemática.
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https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/tipos-de-graficos
O gráfico de colunas, também chamado de gráfico de barra, são usados na comparação dos quantitativos em setores, espaços de tempo ou lugares. Os dados são colocados na posição vertical e as categorias qualitativas na horizontal.
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https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/tipos-de-graficos
A tabela a seguir mostra o número de turistas que vieram ao Brasil em janeiro de 2020:
	Pais de origem	Número de turistas
	Uruguai	1178
	Peru	2377
	Argentina	3865
	Venezuela	2386
	Colômbia	4465
	Bolívia	2378
	Paraguai	1496
	Chile	2569
Construa um gráfico de barras usando Excel
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Gráfico de Linhas
Também conhecido como gráfico de segmento, é utilizado para exemplificar parâmetros de evolução e regressão. Ou seja, sequências numéricas presentes em certos espaços de tempo. 
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	Mês/Ano	Estadual	Nacional
	7/2020	62,5481	60,3122
	6/2020	61,3540	58,3298
	5/2020	56,0398	54,3195
	4/2020	51,7902	51,4334
	3/2020	49,5096	49,2383
	2/2020	48,6878	47,8821
	1/2020	46,9230	46,1679
	12/2019	45,9425	45,2417
	11/2019	45,5056	45,3202
	10/2019	45,1589	44,9155
	9/2019	43,6585	42,9657
	8/2019	43,0866	42,4705
EVOLUÇÃO DO PREÇO DO ARROZ IRRIGADO (U$) – SACA DE 50 KG 
Construa um gráfico de LINHAS usando Excel
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Gráfico de setores é adequado para estatísticas e percentuais (porcentagens). As partes, quando somadas, devem resultar no todo (100%). É viável para série de dados, valores positivos e diferentes de zero, menos de sete categorias avaliadas. 
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	PATOLOGIAS NA CONSTRUÇÃO CIVIL	
	ÁREA CONSTRUTIVA	PERCENTUAL (%)
	FUNDAÇÃO	12
	ESTRUTURA	25
	ALVENARIA	17
	ELEVADOR	10
	REVESTIMENTO	22
	IMPERMEABILIZAÇÃO	3
	PINTURA	10
Construa um gráfico SETORIAL usando Excel
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Gráfico de Área
Semelhante ao gráfico de linhas com marcadores, destaca as alterações e compara as variáveis em relação ao tempo. Assim como o SETORIAL, representa partes de um todo e as categorias em duas ou mais dimensões.
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Gráfico de Dispersão
Também conhecido como gráfico de Scatter, esse tipo mostra a relação entre diferentes variáveis e seus resultados.  O uso desse modelo é aconselhado em trabalhos que destacam as semelhanças entre os valores sem o auxílio do tempo. Quanto mais dados forem incluídos, melhores serão as análises. 
Podem ser elaborados de tais formas:
• Dispersão com linhas suaves
• Dispersão com linhas suaves e marcadores
• Dispersão com linhas retas
• Dispersão com linhas retas e marcadores
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Gráfico de Rede
Fluxograma com sequências interligadas para determinar os dados que ainda não foram concluídos e as suas dependências. Desenhos com nós e flechas são os mais usados.
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Assim como o gráfico de colunas,utiliza a distribuição e análise de dados estatísticos. A altura dos desenhos é proporcional a frequência dos acontecimentos e as barras são separadas entre si.
Histogramas
A variável precisa ser quantitativa e o valores de forma contínua. A depender da sua estética, são classificadas em:
• Histograma simétrico 
• Histograma assimétrico
• Histograma Despenhadeiro
• Histograma com Dois Picos
• Histograma Platô
• Histograma Retângulos Isolados
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Infográficos
Entre os tipos de gráficos, essa categoria explora é a que mais explora imagens, desenhos e variados elementos visuais, tornando-os altamente atrativos ao público leitor. Por isso, é comum a aparição em matérias jornalísticas, livros didáticos e campanhas publicitárias.
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PESQUISA: DADOS MERCADOLÓGICOS
FAZER UMA ANÁLISE GRÁFICA E APRESENTAR NA PROXIMA AULA
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PESQUISA OPERACIONAL
ENGª. MESTRA KARLA ROBERTO SARTIN
AULA 2
- Nivelamento Gráficos
- Conceito de pesquisa operacional
- Modelagem matemática 
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ORGANIZAÇÃO DE DADOS: TABELAS E GRÁFICOS
ENGº KARLA SARTIN
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No vestibular da UFMG foi questionado aos candidatos: Em qual colégio você estudou? Obteve-se os seguintes dados: colégio 1: 15 candidatos, colégio 2: 6 candidatos, colégio 3: 26 candidatos, 2 alunos estudaram em outros colégios e 1 aluno preferiu não responder. Veja, no anexo, como ficariam as tabelas neste caso. Observe que a primeira é bem simples, já a segunda é mais completa. Com base nessas informações, qual (ou quais) pergunta(s) você faria se precisasse descobrir quantas pessoas do sexo masculino com idade entre 30 e 40 anos trabalham em determinada empresa? E como você tabularia o resultado? A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: embora existam diversas combinações de perguntas, é preciso chegar a uma resposta que não deixe dúvidas sobre o resultado obtido. Lembre-se de que não basta saber se é do sexo masculino, é preciso saber se os indivíduos têm entre 30 e 40 anos.
ENGº KARLA SARTIN
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PADRÃO DE RESPOSTA ESPERADO
A solução mais simples seria fazer uma única pergunta, do tipo: você é uma pessoa do sexo masculino com idade entre 30 e 40 anos? As opções de resposta seriam apenas "sim" e não".
A solução mais elaborada seria fazer duas perguntas, do tipo:
a) Qual é o seu sexo? As opções de resposta seriam "feminino" ou "masculino".
b) Qual é a sua faixa etária? As opções de reposta teriam valores como: menos de 20 anos, 20 a 30 anos, 30 a 40 anos, 40 a 50 anos e mais de 50 anos. Observe que, embora as demais faixas possam variar, é obrigatório ter a opção 30 a 40 anos, pois isso é o que se procura descobrir.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Por que organizamos os dados em estatística?
Quando estamos coletando os dados, essa coleta ocorre de forma aleatória e, durante esse processo, não temos a capacidade de organizá-los e também não temos condições de tomar alguma decisão com base na coleta, sem o tratamento desses dados
Por esse motivo, precisamos começar a analisar os dados coletados e, de alguma forma, resumi-los para podermos visualizar os resultados de forma organizada, iniciando, assim, a análise descritiva dos dados. 
Primeiramente, resumimos em tabelas de distribuição de frequências e depois podemos fazer gráficos
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Sobre a coleta de dados, é importante estarmos sempre atentos à forma como coletamos os dados. Precisamos, antes de qualquer coleta, estabelecer a metodologia para a escolha das unidades amostrais. 
Muitas vezes, quando coletamos dados, estamos interessados em poder fazer inferência para o restante da população (extrapolar para toda a população). 
Somente quando temos uma amostra probabilística – ou seja, os elementos da população são escolhidos por sorteio aleatório – que poderemos realizar inferências. 
Caso a amostra não seja probabilística, poderemos apenas fazer uma análise descritiva dos dados e o resultado dessa análise dirá respeito somente à amostra pesquisada.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Tipos de tabelas e gráficos
Existem tabelas que são para dados qualitativos, que também chamamos de tabelas para dados categóricos - anota a frequência que cada uma das opções de resposta aparece na amostra.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Conforme verificado na Tabela 1, a coluna f (frequência simples absoluta) é resultado da contagem da frequência que cada uma das palavras apareceu na amostra. Ou seja, havia 63 pessoas do sexo masculino e 57 do sexo feminino na amostra
Para calcularmos a coluna da frequência relativa - fr, precisamos ver quanto cada uma das frequências tem de proporção no total da amostra. 
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Podemos representar essa tabela com um gráfico de setores, também conhecido como gráfico de pizza, conforme a Figura 2.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Tabelas para dados de uma variável qualitativa nominal - devemos ordenar do mais frequente para o menos frequente. Já quando temos uma variável qualitativa ordinal, precisamos respeitar a ordem em que a variável é apresentada (Tabela 2)
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Para representarmos essa tabela, podemos fazer um gráfico de colunas, conforme a Figura 3.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Tabelas para representar dados quantitativos - Nesse caso, podemos ter tabelas por ponto e tabelas por intervalos (também chamadas de tabelas por classes). Variáveis quantitativas discretas costumam gerar tabelas de distribuição de frequência por ponto (Tabela 3)
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Também podemos representar esses dados com um gráfico de colunas, conforme a Figura 4.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
variáveis quantitativas geram tabelas de distribuição de frequências por intervalos (Tabela 4).
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Para representarmos essa tabela, precisamos nos dar conta de um fato: entre as faixas, não existe um intervalo numérico, pois chegamos ao limite de um número e na faixa seguinte já iniciamos com ele. Assim, não podemos representar nenhum espaço no eixo do gráfico quando temos um gráfico de colunas. Nesse caso, as colunas estão grudadas umas às outras, e chamamos esse gráfico de histograma (Figura 5).
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Quando temos uma variável quantitativa discreta, pode ser que também precisemos fazer intervalos para melhor representar os dados. Caso existam mais de 10 opções de resposta, já podemos montar os intervalos para poder representar melhor esses dados.
Podemos ainda acrescentar mais colunas a essas tabelas que representam dados quantitativos para utilizarmos para fins de análise (Tabela 5). As colunas que necessariamente precisam aparecer em uma tabela de distribuição de frequências, além da primeira coluna que representa as opções de resposta dos dados coletados, são:
f → frequência simples absoluta (resulta da contagem na amostra).
fr → frequência simples (percentual)
F → frequência acumulada absoluta (resulta somando a coluna f). 
Fr → frequência acumulada relativa (resulta somando a coluna fr).
 x’ → ponto médio do intervalo, no caso da tabela de intervalos.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Sobre a nomenclatura para a tabela de distribuição de frequências por intervalos, a barra na vertical (|) indica que o número ao seu lado está contido no intervalo. Quando temos o traço na horizontal, chegamos muito próximo ao número que está ao seu lado, mas não chegamos até ele. 
Por exemplo: 
15|---25 → o número 15 está contido nesse intervalo, mas o número 25 não. 
15---|25→ o número 15 não está contido nesse intervalo e o número 25 sim. 
15---25 → o número 15 não está contido nesse intervalo e o número 25 também não. 
15|---|25 → o número 15 está contido nesse intervalo e o número 25 também.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Agora, qual gráfico escolher?
Quando tivermos uma variável qualitativa, tanto nominal quanto ordinal, podemos representar esses dados com um gráfico de setores, de colunas ou barras .
Para as variáveis quantitativas para tabelas de distribuição de frequências simples ou por intervalos, podemos ter gráficos de colunas .
Para os dados de variáveis quantitativas representadas em tabelas de distribuição de frequências por intervalos, representamos graficamente com um histograma.
O gráfico de dispersão é utilizado em análise de correlação e regressão, quando temos duas variáveis e verificamos a relação entre elas. 
O gráfico de linhas é utilizado quando desejamos representar uma variável quantitativa ao longo do tempo
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
Considere os dados referentes a uma pesquisa com 20 famílias de um bairro pequeno, onde foi perguntado quantas vezes o chefe da família procurou o médico no ano anterior. As respostas da coleta são as seguintes:
Para representarmos esses dados, o primeiro passo é a montagem da tabela de distribuição de frequências. Precisamos contar quantas vezes cada um dos números apareceu e então fazer os seus percentuais.
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
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CONTEÚDO DO LIVRO: Organização de Dados: Tabelas e Gráficos
A segunda maneira de representarmos esses dados seria por meio de um gráfico
Concluímos então que o número mais frequente de visitas é igual a 2, representando 25%. Ou seja, mais da metade dos chefes de família foi, no máximo, até duas vezes a uma consulta com um médico no último ano.
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PESQUISA OPERACIONAL
ENGª. MESTRA KARLA ROBERTO SARTIN
AULA 3
- Nivelamento Gráficos
- Estatística Inferencial
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Nivelamento: Análise de Regressão
Estatística inferencial
É um tipo de análise que usa modelos matemáticos para relacionar o comportamento de uma variável Y com o de outra X. 
 Modelo Simples
					Y = f (X)
 Modelo Multivariado
					Y = f (X1, X2,...Xn)
n = intercepto
m = coeficiente da reta
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Análise de Regressão
Para que serve saber a relação entre duas variáveis? 
Para fazer PREVISÕES sobre o comportamento futuro de um fenômeno atual 
extrapola-se para o futuro o comportamento presente das variáveis:
- Ex: 	Prever a população de uma cidade no futuro.
- Ex: 	Prever a natalidade infantil para o ano 2050.
- Ex:	Prever a demanda futura por habitação
Para SIMULAR os efeitos de uma variável X sobre uma variável Y.
avalia-se as relações de causa-efeito entre 2 variáveis
- Ex: 	Simular os efeitos sobre a segurança na cidade (Y) em função 		do aumento do policiamento ostensivo nas ruas (X) . 
- Ex: 	Simular o efeito sobre o trânsito (Y) de uma cidade em função 		da elevação do preço da gasolina (X).
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Análise de Regressão
 
O modelo é SIMPLES envolve o relacionamento entre duas variáveis. Esse relacionamento pode ser:
 Simples Linear 	(equação da reta) ou, 
Simples Não linear 	(equação exponencial, geométrica, ...) 
O modelo e MULTIVARIADO quando envolve o relacionamento entre mais de duas variáveis:
Multivariado Linear 	 (equação do plano) 
Multivariado Não Linear 
Análise de Regressão
Os Modelos de Regressão são aqueles que simulam o relacionamentos entre 2 ou mais variáveis. 
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A relação entre as variáveis é:	
		
direta (ou positiva) quando os valores de Y aumentam em decorrência do aumento dos valores de X . 
Y X 
Y X 
inversa (ou negativa) quando os valores de Y variam inversamente em relação aos de X. 
 Y X
 Y X
Análise de Regressão: Modelos
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Análise de Regressão: Diagrama de Dispersão 
É uma “nuvem” de pontos plotados num gráfico cartesiano. 
Os pontos são definidos pelos valores da variável X e da variável Y.
Numa pesquisa toda vez que os valores de X e Y forem apurados um par de informação referente a cada ponto é gerado.
Os valores das variáveis x e y serão as coordenadas de cada ponto plotado no gráfico. 
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1.7200000000000004	1.7200000000000004	1.58	1.8	1.6700000000000008	1.6500000000000001	1.7500000000000004	1.6500000000000001	1.7000000000000004	1.7500000000000004	1.6800000000000008	1.6800000000000008	1.54	1.7000000000000004	1.6800000000000008	1.6	1.6500000000000001	1.6500000000000001	1.6400000000000001	1.8	1.55	1.6500000000000001	1.7600000000000005	1.6500000000000001	1.6700000000000008	1.7200000000000004	1.6800000000000008	1.6	1.84	-9.077793304109819	8	-7.0777933041098224	-6.4524415688827048	3.1362914186175335	-3.211596255814416	3.7348825635037439	9.0024884669129364	-2.2651174364962552	3.8686855152083397	12.002488466912936	-3.1848356654734942	-9.1848356654734911	-3.5594839302463868	-4.1313144847916643	-3.1848356654734942	-6.3989203882008709	-1.2651174364962554	-1.2651174364962554	19.333473708389928	-0.29187802683717506	4.1362914186175352	4.4672766600945337	3.7348825635037439	3.0292490572538622	-6.2651174364962472	-5.2115962558144115	6.9222066958901864	0.81516433452650761	-1.3989203882008701	-0.75666622001878703	Variável X
Variável Y
Análise de Regressão: Diagrama de Dispersão – relação direta
	Observação	X	Y
	1	30	4300
	2	21	3350
	3	35	5200
	4	42	4900
	5	37	4700
	6	20	2100
	7	8	1950
	8	17	2700
	9	35	4000
	10	25	4800
			
Idade
X
Renda mensal
CURVA CRESCENTE
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Idade X renda mensal
30	21	35	42	37	20	8	17	35	25	4300	3350	5200	4900	4700	2100	1950	2700	4000	4800	
Análise de Regressão: Diagrama de Dispersão – relação inversa
CURVA DECRESCENTE
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Análise de Regressão: Diagrama de Dispersão – sem relação
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A Análise de Regressão é o processo matemático para calcular os parâmetros “a” e “b” de uma função f (X).
Y = a + b X
Estes parâmetros determinam as características da função que relaciona ‘Y’ com ‘X’.
No caso do modelo linear esta função é representada por uma reta chamada de reta de regressão. 
Análise de Regressão: Modelo Linear
REGRESSÃO LINEAR
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Análise de Regressão: Modelo Linear
	Observação	X	Y
	1	30	4300
	2	21	3350
	3	35	5200
	4	42	4900
	5	37	4700
	6	20	2100
	7	8	1950
	8	17	2700
	9	35	4000
	10	25	4800
			
Relação entre as variáveis:
X = Idade
Y = Renda mensal
Y = a + b X
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Análise de Regressão: Modelo Linear
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Análise de Regressão: Modelo Linear
A reta de regressão explica teoricamente ou modela a relação entre X e Y. 
Isto significa que o valor de Y observado nem sempre é igual ao valor de Y’ estimado (ou previsto) pela reta de regressão. 
Análise de Regressão: Modelo Linear
Análise de Regressão: Modelo Linear
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Análise de Regressão: Modelo Linear
Erro ou Desvio
Haverá sempre alguma diferença entre o valor observado Y e o valor estimado Y’. Essa diferença em estatística é chamada de erro ou desvio:
e = Y – Y’
O erro indica que:
que as variações de Y não são perfeitamente explicadas pelas variações de X ou;
que existem outras variáveis das quais Y depende ou;
que os valores de X e Y são obtidos de uma amostra particular que não é representativa da realidade .
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A regressão significa que os pontos plotados no gráfico são regredidos, isto é, são definidos ou modelados por uma reta que corresponde à menor distância entre cada ponto plotado e a reta. 
Y = α + β X	equação da reta a partir dos dados coletados
Y’ = a + b X’	equação da reta a partir das estimativas
Análise de Regressão: Modelo Linear
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A regressão significa que os pontos plotados no gráfico são regredidos, isto é, são definidos ou modelados por uma reta que corresponde à menor distância entre cada ponto plotado e a reta. 
Análise de Regressão: Modelo Linear
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Análise de Regressão: Modelo Linear
Análise de Regressão: Modelo Linear
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Análise de Regressão: Modelo Linear
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UTILIDADE DA RETA DE REGRESSÃO
Duas medidas são usadas para indicar o quantoconfiável, útil ou aproximada da realidade é a reta:
Erro padrão da estimativa
Coeficiente de determinação 
Mas até que ponto a reta de regressão é uma aproximação confiável para avaliar a tendência da realidade?
 A reta de regressão é apenas uma aproximação da realidade.
 É um modo útil para indicar a tendência dos dados.
Análise de Regressão: Modelo Linear
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Mede o desvio entre os valores reais de Y e os valores estimados Y’. 
Ele informa a extensão do erro entre os valores de Y’ obtidos das estimativas e os valores de Y fornecidos pela amostra. 
Se é medido na unidade de Y. O que se busca é obter o menor valor possível de Se. 
Pode-se interpretar o Se como um desvio padrão dos resíduos.
Erro Padrão da Estimativa - Se 
Análise de Regressão: Modelo Linear
74
Análise de Regressão: Modelo Linear
Y
Y’
Y
Y’
Y’
Y
Y’
Y
Y
Y’
Y’
Y’
Y’
75
PESQUISA OPERACIONAL
ENGª. MESTRA KARLA ROBERTO SARTIN
AULA 4
- Nivelamento Gráficos
- Conceito de pesquisa operacional
- Modelagem matemática 
76
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
“O coeficiente de correlação r, mede a intensidade da relação linear entre os valores quantitativos emparelhados x e y em uma amostra.” (TRIOLA;2009)
A partir dos gráficos a seguir diga se há correlação, se ela é negativa ou positiva, e se ela é forte ou fraca.
a)
b)
c)
d)
B a D positiva.
NEGATIVA
77
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
Fórmula do cálculo do coeficiente de correlação
PASSO A PASSO PARA DESENVOLVER O CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO - r:
FAZER UMA TABELA COM 5 COLUNAS, NAS DUAS PRIMEIRAS SÃO DISPOSTOS OS VALORES DE X E Y
NA TERCEIRA COLUNA FAZER A MULTIPLICAÇÃO DE X*Y
NA QUARTA COLUNA ELEVAR X AO QUADRADO
NA QUINTA COLUNA ELEVAR Y AO QUADRADO
INCLUIR UMA LINHA COM O SOMATÁRIO DOS VALORES CALCULADOS
INSERIR VALORES CALCULADOS NA FÓRMULA
78
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
ENCONTRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
	X	Y	X*Y	X2	Y2
	1	2			
	1	8			
	3	6			
	5	4			
					
FAZER UMA TABELA COM 5 COLUNAS, NAS DUAS PRIMEIRAS SÃO DISPOSTOS OS VALORES DE X E Y
II. NA TERCEIRA COLUNA FAZER A MULTIPLICAÇÃO DE X*Y
	X	Y	X*Y	X2	Y2
	1	2	2		
	1	8	8		
	3	6	18		
	5	4	20		
					
79
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
ENCONTRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
III. NA QUARTA COLUNA ELEVAR X AO QUADRADO
	X	Y	X*Y	X2	Y2
	1	2	2	1	
	1	8	8	1	
	3	6	18	9	
	5	4	20	25	
					
IV. NA QUINTA COLUNA ELEVAR Y AO QUADRADO
	X	Y	X*Y	X2	Y2
	1	2	2	1	4
	1	8	8	1	64
	3	6	18	9	36
	5	4	20	25	16
					
80
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
ENCONTRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
V. INCLUIR UMA LINHA COM O SOMATÁRIO DOS VALORES CALCULADOS
	X	Y	X*Y	X2	Y2
	1	2	2	1	4
	1	8	8	1	64
	3	6	18	9	36
	5	4	20	25	16
	10	20	48	36	120
	∑x	∑y	∑x*y	∑x2	∑y2
VI. INSERIR VALORES CALCULADOS NA FÓRMULA
n 
Tamanho da Amostra
81
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
ENCONTRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
HABITO DE FUMAR E NICOTINA – quando a nicotina é absorvida pelo corpo, produz-se cotinina. Uma medida de cotinina no corpo é, portanto, um indicador do quanto a pessoa fuma. Abaixo estão listados os números informados de cigarros fumados por dia e as quantidades medidas de cotinina (em ng/ml). Há uma correlação linear significativa? Explique o resultado.
	X (cigarros/dia)	Y (cotinina)	X*Y	X2	Y2
	60	179			
	10	28			
	4	76			
	15	174			
	10	209			
	1	10			
	20	350			
	8	2			
	7	43			
	10	25			
					
82
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
ENCONTRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
	X (cigarros/dia)	Y (cotinina)	X*Y	X2	Y2
	60	179	10740	3600	32041
	10	28	280	100	784
	4	76	304	16	5776
	15	174	2610	225	30276
	10	209	2090	100	43681
	1	10	10	1	100
	20	350	7000	400	122500
	8	2	16	64	4
	7	43	301	49	1849
	10	25	250	100	625
	145	1096	23601	4655	237636
r =0,4451
83
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
ENCONTRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Ao se fazer um modelo matemático que correlacione numero de cigarros fumados por dia encontramos a equação: Y=65 +3,02X
ONDE: 
X= número de cigarros
Y = taxa de nicotina
Preencha a tabela de previsão e simulação a seguir:
	Numero de cigarros	Cotinina	Numero de cigarros	Cotinina	Numero de cigarros	Cotinina
	1	68	9		17	
	2	71	10		18	
	3	74,1	11		19	
	4		12		20	
	5		13		21	
	6		14		22	
	7		15		23	
	8		16		24	
Y1=65+3,02*1 = 68
Y2=65+3,02*2= 71
Y3=65+3,02*3=74,1
84
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
ENCONTRE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
	Numero de cigarros	Cotinina	Numero de cigarros	Cotinina	Numero de cigarros	Cotinina
	1	68	9	92,2	17	116
	2	71	10	95,2	18	119
	3	74,1	11	98,2	19	122
	4	77,1	12	101	20	125
	5	80,1	13	104	21	128
	6	83,1	14	107	22	131
	7	86,1	15	110	23	134
	8	89,2	16	113	24	137
Se uma pessoa fumar 100 cigarros por dia qual o nível de cotinina no sangue dela:
85
PESQUISA OPERACIONAL
ENGª. MESTRA KARLA ROBERTO SARTIN
AULA 5
REGRESSÃO LINEAR
CORRELAÇÃO E EQUAÇÃO DA RETA
86
Coeficiente de Correlação Simples “ r ”
O coeficiente de correlação é igual a raiz quadrada do coeficiente de determinação. 
No exemplo anterior: Podemos obter o coeficiente de correlação a partir do coeficiente de determinação. :
r2 = 0,738	 coeficiente de determinação
r = 0,85	 coeficiente de correlação.
O coeficiente de determinação é sempre positivo.
O coeficiente de correlação assume valores negativos e positivos. 
Análise de Regressão: Modelo Linear
87
Análise de Regressão: Modelo Linear
Valores de r igual ou próximos de 1 ou –1 indicam que existe uma forte correlação entre as variáveis: 
Valores próximos de +1			 relação : direta 
				 Alta correlação entre 	
Valores próximos de -1	 as variáveis 	 relação: inversa 
						
Valores próximos de 0 	não há relação entre as variáveis.
			 (zero)
O coeficiente de determinação indica o grau de ajuste (fit) da reta de regressão.
O coeficiente de correlação é uma medida que indica a força da relação entre as variáveis
- 1 ≤ r ≤ + 1
Coeficiente de Correlação Simples
 é a porcentagem da variação da variável resposta que é explicada por um modelo linear. 
88
Resumindo
Os valores de r estão limitados entre
-1 ≤ r ≤ +1
O coeficiente de correlação tem um valor único para a população ou amostra. 
Coeficiente de correlação padroniza dentro dos horizontes acima as variações da covariância 	
Análise de Regressão: Modelo Linear
89
Equação de regressão
yx
PASSO A PASSO PARA DESENVOLVER O CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO - r:
FAZER UMA TABELA COM 5 COLUNAS, NAS DUAS PRIMEIRAS SÃO DISPOSTOS OS VALORES DE X E Y
NA TERCEIRA COLUNA FAZER A MULTIPLICAÇÃO DE X*Y
NA QUARTA COLUNA ELEVAR X AO QUADRADO
NA QUINTA COLUNA ELEVAR Y AO QUADRADO
INCLUIR UMA LINHA COM O SOMATÁRIO DOS VALORES CALCULADOS
INSERIR VALORES CALCULADOS NA FÓRMULA DE r
INSERIR VALORES NA FÓRMULA DE a
INSERIR VALORE NA FÓRMULA DE b
ENCONTRAR EQUAÇÃO DA RETA
90
Equação de regressão - EXEMPLO
Ache a melhor predição para o valor do número de Acres queimados. Dado que houve 80 incêndios.
	Incêndios -X	A queim. Cres - Y	X*Y	X2	Y2
	73	6,2			
	69	4,2			
	58	1,9			
	48	2,7			
	84	5,0			
	62	1,6			
	57	3,0			
	45	1,6			
	70	1,5			
	63	2,0			
	48	3,7			
					
∑
91
Equação de regressão
	Incêndios -X	A queim. Cres - Y	X*Y	X2	Y2
	73	6,2	452,6	5329	38,4
	69	4,2	289,8	4761	17,6
	58	1,9	110,2	3364	3,61
	48	2,7	129,6	2304	7,29
	84	5	420	7056	25
	62	1,6	99,2	3844	2,56
	57	3	171	3249	9
	45	1,6	72	2025	2,56
	70	1,5	105	4900	2,25
	63	2	126	3969	4
	48	3,7	177,6	2304	13,7
	677	33,4	2153	43105	126
0,52
-1,13
0,07
yx
yx
y*80
y
92
Equação de regressão – Exemplo 2
	Sistólica -X	Diastólica Y- 	X*Y	X2	Y2
	138	82			
	130	91			
	135	100			
	140	100			
	120	80			
	125	90			
	120	80			
	130	80			
	130	80			
	144	98			
	143	105			
					
Medir pressão sanguínea: Ache a melhor predição da pressão sanguínea diastólica para uma pessoa com uma leitura sistólica de 122. Analise o coeficiente de determinação e o de Correlação. 
93
Equação de regressão – Exemplo 2
Medir pressão sanguínea:Ache a melhor predição da pressão sanguínea diastólica para uma pessoa com uma leitura sistólica de 122. Analise o coeficiente de determinação e o de
Correlação. 
	Sistólica x	diastólica- Y	X*Y	X2	Y2
	138	82	11316	19044	6724
	130	91	11830	16900	8281
	135	100	13500	18225	10000
	140	100	14000	19600	10000
	120	80	9600	14400	6400
	125	90	11250	15625	8100
	120	80	9600	14400	6400
	130	80	10400	16900	6400
	130	80	10400	16900	6400
	144	98	14112	20736	9604
	143	105	15015	20449	11025
	1455	986	131023	193179	89334
r = 0,7259
r2 = 0,527
a = -20,64
b = 0,83
A pressão sistólica explica aproximadamente 53% da diastólica segundo a amostra analisada. Com relação direta e mediana.
94
Equação de regressão – EXEMPLO 3
COMPARANDO AUDIÊNCIA DE TV: Ache a melhor predição para o valor do número de telespectadores em milhões, dado que o salário em milhões da estrela de TV Jeniffer Aniston é de 16 milhões. Como se compara o valor predito com o número real de telespectadores que foi de 24 milhões?
	SALARIO 	TELESPECTADORES
	100	7
	14	4,4
	14	5,9
	35,2	1,6
	12	10,4
	7	9,6
	5	8,9
	1	4,2
	SALARIO 	TELESPECTADORES	X*Y	X2	Y2
	100	7	700	10000	49
	14	4,4	61,6	196	19,36
	14	5,9	82,6	196	34,81
	35,2	1,6	56,32	1239	2,56
	12	10,4	124,8	144	108,16
	7	9,6	67,2	49	92,16
	5	8,9	44,5	25	79,21
	1	4,2	4,2	1	17,64
	188,2	52	1141,22	11850	402,9
O salário explica apenas 1,4% o número de telespectadores, e a correlação entres salário e telespectadores é muito fraca. Isso explica o erro grotesco do predito com o real.
95
PESQUISA OPERACIONAL
ENGª. MESTRA KARLA ROBERTO SARTIN
AULA 6
PROGRAMAÇÃO LINEAR
96
Conceito PO
Pesquisa operacional é um método científico de tomada de decisões que consiste na descrição de um sistema organizado com o auxílio de modelo matemático. Através deste modelo pode-se encontrar uma solução ótima para operar este sistema organizado. O objetivo da pesquisa operacional é facilitar a tomada de decisão. 
97
Conceito PO
Pesquisa operacional:
É um método científico de tomada de decisões:
Formulação do problema;
Construção do modelo do sistema;
Cálculo da solução através do modelo;
Teste do modelo e da solução;
Controle da solução;
Implantação e acompanhamento.
98
CONCEITOS BÁSICOS
Formulação do problema: definição clara do problema a ser estudado. 
Construção do modelo do sistema: os modelos em pesquisa operacional são os matemáticos, formados por um conjunto de equações e inequações. Sendo um conjunto destas servem para medir a eficiência e outro conjunto serve para medir as limitações (restrições técnicas do sistema). As variáveis que compõe as equações são de dois tipos, variáveis controladas e variáveis não controláveis. Um exemplo de variável controlada é a quantidade a ser produzida de item, e exemplos de variáveis não controladas têm-se o custo de produção, demanda por um item e preço de mercado. 
99
Cálculo de uma solução através do modelo: Feito através de técnicas matemáticas específicas. Na construção de um modelo deve-se considerar a disponibilidade de uma técnica para cálculo da solução. 
Teste do modelo e da solução: Realizado com dados empíricos do sistema, a exemplo dados históricos, ou dados coletados especificamente para construção do modelo. Nesta situação faz-se a comparação do desempenho obtido no modelo em relação ao desempenho observado no sistema. 
Estabelecimento de controles da solução: Controle dos parâmetros utilizados na construção do modelo.
Implementação e acompanhamento: Nesta fase a solução é apresentada ao gestor para implementação, e esta deve ser acompanhada para se observar o comportamento do sistema com a solução adotada. 
CONCEITOS BÁSICOS
100
PROGRAMAÇÃO LINEAR
“A PL é uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro máximo ou o custo mínimo em situações nas quais temos diversas alternativas de escolhas sujeitas a algum tipo de restrição ou regulamentação” (Darci Prado)
A programação linear é uma técnica de planejamento
101
Aplicações da PL
Alimentação;
Rotas de transporte;
Manufatura;
Siderurgia;
Petróleo;
Agricultura;
Carteira de investimentos;
Mineração;
Localização industrial;
Etc.
102
EX 1) Uma fábrica de rádios possui duas linhas de produção, rádios standart e rádios luxo. Com relação aos rádios satndart temos as seguintes informações, linha comporta no máximo 24 pessoas, cada rádio consome 1 homem/dia para ser produzido e cada rádio gera um lucro de R$ 30,00. Em relação aos rádios luxo diz-se que a linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas, cada rádio consome 2 homens/dia hora para ser produzido e cada rádio fornece lucro de R$ 40,00. A fábrica possui 40 empregados a serem alocados em suas linhas de produção. O objetivo é maximizar o LUCRO diário. Desenvolva um programa de produção.
Aplicações da PL
Alocação de recursos
A duas linhas podem receber 56 pessoas, a fábrica possui 40 empregados;
Rádios standart exigem menor quantidade de pessoal que rádios luxo;
Lucratividade diferente
Clássico da PL
Possui:
Função Objetivo e restrições técnicas.
103
CRIANDO UM MODELO MATEMÁTICO
1 - Definir as variáveis do problemas
X1=quantidade ótima para produção de rádios standard
X2=quantidade ótima para a produção de rádios luxo
2 - Definir função objetivo
É uma função matemática que represente o objetivo declarado no problema, Max lucro= 30X1+40X2
3 - Definir conjunto de restrições
Restrições são fatores limitadores para a solução do problema
RECURSOS
R$
104
RESTRIÇÕES
X1<= 24, visto que somente podemos colocar 24 pessoas na linha Standart e como cada rádio standart gasta 1homem/dia para a sua produção, a produção máxima diária desta linha é de 24 rádios. 
X2<= 16, visto que somente podemos colocar 32 pessoas na linha Luxo e como cada rádio Luxo gasta 2homem/dia para a sua produção, a produção máxima diária desta linha é de 16 rádios. 
X1+2X2<= 40, visto que a fábrica possui somente 40 operários a alocação dos recursos deve obedecer este limite. Como Standart gasta 1 homem/dia então será 1X1 e luxo gasta 2homens/dia então será 2X2.
X1 e X2>=0, como não existe alocação de recursos negativos, deve-se fazer a restrição de não negatividade dos recursos.
105
Construção de modelos - Modelagem
É a representação matemática de um sistema
Um modelo deve conter uma função objetivo e conjunto de restrições técnicas
Max Lucro = 30X1 + 40X2
Função Objetivo
Restrições técnicas
Sujeito a:
X1<= 24
X2<=16
X1+2x2<=40
X1>=0 e X2>=0
CRIANDO UM MODELO MATEMÁTICO
106
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidade monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidade anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa um modelo de programação linear para esse caso.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
107
X1= QUANTIDADE ANUAL A PRODUZIR DE P1
X2=QUANTIDADE ANUAL A PRODUZIR DE P2
MAX L=1000X1+1800X2
20X1+30X2<=1200
X1<= 40
X2<=30
X1>=0
X2>=0
Declaração das variáveis
Função Objetivo
Restrições técnica
Sujeito a:
PROGRAMAÇÃO LINEAR
108
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 6 unidades monetárias e o lucro do cinto 5 unidades monetarias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
Tempo necessário para fazer 01 sapato:
1/6 = 0,167 h ou 60/6=10 minutos
Tempo necessário para fazer 01 cinto:
1/5= 0,2 h ou 60/5=12 minutos
PROGRAMAÇÃO LINEAR
109
Primeiro devemos declarar as variáveis
Se o modelo vai dizer qual a quantidade a se produzirde cinto e de sapatos, logo:
X1= QTD. DE SAPATOS A SER FABRICADA
X2=QTD. DE CINTOS A SER FABRICADA
SEGUNDO PASSO: FUNÇÃO OBJETIVO
TERCEIRO PASSO: RESTRIÇÕES
 
 
 
MAX 
PROGRAMAÇÃO LINEAR
110
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para a sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos 10 a u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerina a 30 u. m. de lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
111
X1= Quantidade de caixas de laranja
X2=Quantidade de caixas de pêssego
X3=Quantidade de caixas de tangerina
MAX L=10X2+30X3+4000
X2+X3=600
X1= 200
X2>=100
X3<=200
X1>=0
X2>=0
X3>=0
Declaração das variáveis
Função Objetivo
Restrições técnica
Sujeito a:
PROGRAMAÇÃO LINEAR
112
Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50m3 (loja 1), 80m3 (loja2), 40m3 (loja3) e 100m3 (loja4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão no quadro (em Km):
O caminhão pode transportar 10m3 por viagem. Os portos têm areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
113
X11= Número de viagens P1L1
X12=Número de viagens P1L2
 ...
X34=Número de viagens P3L4
MIM D=30X11+20X12+24X13+...+20X34
X11+ X21+X31=5 
X12+ X22+X32=8 
X13+ X23+X33=4 
X14+ X24+X34=10 
XIJ >= 0 I=1,2,3; J=1,2,3,4
Declaração das variáveis
Função Objetivo
Restrições técnica
Sujeito a:
PROGRAMAÇÃO LINEAR
114
Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
115
X1 = frequência semanal do programa A
X2 = frequência semanal do programa B
MAX T=30000X1+10000X2
	PROGRAMA	TELESPECTADORES	MUSICA	PROPAGANDA
	A	30000	20	1
	B	10000	10	1
	LIMITE		MAX 80	MIN 5
TABELA RESUMO
S. A
80
MÚSICA
PROPAGANDA
PROGRAMAÇÃO LINEAR
116
Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1000 unidade por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $ 4,00 para M1 e $ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
117
	PRODUTO	LUCRO	CAP. PROD	COURO	FIVELA M1	FIVELA M2
	M1	4	2	1	1	0
	M2	3	1	1	0	1
	LIMITE		MAX 1000	MAX 800	MAX 400	MAX 700
TABELA RESUMO
X1=Quantidade a ser produzida de M1
X2=Quantidade a ser produzida de M2
CAP. PRODUTIVA
COURO
FIVELA M1
FIVELA M2
NÃO NEGATIVIDADE
S.A
PROGRAMAÇÃO LINEAR
118
Uma empresa após processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de três recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo de uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos: 
Que produção mensal de P1 e P2 traz maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
119
	PRODUTO	LUCRO	R1	R2	R3
	P1	120	2	3	5
	P2	150	4	2	3
	LIMITE		≤ 100	≤90	
MATRIZ DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
X1=Quantidade a ser produzida de P1
X2=Quantidade a ser produzida de P2
S.A
R1
R2
R3
NÃO NEGATIVIDADE
PROGRAMAÇÃO LINEAR
120
Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: 
✓ A (arrendamento) → Destinar certa quantidade de alqueires para plantação de cana de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. 
✓ P (pecuária) → Usar parte para criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/ alq.) e irrigação (100.000 litros de água/ alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. 
✓ S (plantio de soja) → Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de água/ alq. Para irrigação por ano. 
O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/ alq. No ano. 
Disponibilidade de recursos por ano: 
12.750.000 litros de água 
14.000 kg de adubo 
100 alqueires de terra
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
121
	PRODUTO	LUCRO	ALQUEIRES DE TERRA	ADUBO (KG)	AGUA (L)
	ARRENDAMENTO	300	1	0	0
	PECUÁRIA	400	1	100	100.000
	SOJA	500	1	200	200.000
	LIMITE		≤ 100	≤14.000	
MATRIZ DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
X1=Alqueires para arrendamento
X2=Alqueires para pecuária
X3=Alqueires para soja
Alqueires
adubo
Agua
Não negatividade
S.A
PROGRAMAÇÃO LINEAR
122
PESQUISA OPERACIONAL
ENGª. MESTRA KARLA ROBERTO SARTIN
AULA 7
PROGRAMAÇÃO LINEAR
123
O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de dois produtos P1 e P2. As alternativas são: 
Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento de $ 3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $ 1.000,00 investidos. 
Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $ 1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. 
A empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá ser destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito
PROGRAMAÇÃO LINEAR
124
	PRODUTO 	CUSTO	INVESTIMENTO INSTITUCIONAL	Aumento nas vendas A (%)	Aumento nas vendas B (%)	Aporte financeiro
	INSTITUCIONAL	1.000	1000	3	3	1000
	DIRETO EM P1	1.000	0	4	0	1000
	DIRETO EM P2	1.000	0	0	10	1000
	LIMITE		3000	30	30	
MATRIZ DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
X1=Quantidade investida no programa institucional
X2=Quantidade investida em P1
X3=Quantidade investida em P2
PROGRAMAÇÃO LINEAR
125
S.A
S.A
SIMPLIFICANDO POR MIL
institucional
Alternativa a
Alternativa b
Aporte R$
Não negatividade
125
Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: 
MR1 – Material recuperado 1 (custo por Kg: $0,20) – composição: Ferro → 60% Carvão → 20% Silício → 20% 
MR2 – Material recuperado 2 (custo por Kg: $0,25) – composição: Ferro → 70% Carvão → 20% Silício → 5% Níquel → 5%
A liga deve ter a seguinte composição final: 
O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $ 0,30; carvão: $ 0,20; silício: $ 0,28; níquel: $ 0,50; qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão. 
ENG KARLA SARTIN
126
PROGRAMAÇÃO LINEAR
ENG KARLA SARTIN
127
	Componente da mistura 	Custo
R$	Mínimo de ferro	Mínimo de carvão	Mínimo de Si	Mínimo de Ni	Máximo de ferro	Máximo de carvão	Máximo de Si	Máximo de Ni	Comp.liga
	MR1	0,20	60	20	20	---	60	20	20	---	1
	MR2	0,25	70	20	5	5	70	20	5	5	1
	ferro	0,30	100	---	---	---	100	---	---	---	1
	carvão	0,20	--	100	---	---	---	100	---	---	1
	Silício 	0,28	---	---	100	---	---	---	100	---	1
	níquel	0,50	---	---	---	100	---	---	---	100	1
	LIMITE		60	15	15	5	65	20	20	8	= 1
S.A
LIMITES DE MÍNIMO
LIMITES DE MÁXIMO
Ferro
Carvão
Silício
Níquel
Ferro
Carvão
Silício
Níquel
Uma empresa MR Móveis fabrica móveis para escritório e oferece uma cadeia de lojas três produtos: mesa para computador, estante e cadeira com regulagem de altura e rodas. O vendedor da MR Móveis fecha um pedido de 1.000 mesas, 800 estantes e 1.200 cadeiras, com prazo de entrega de 45 dias. Um estudo do departamento de produção já tem estimado a necessidade de mão de obra, madeira e componentes metálicos para a fabricação dos três itens e a disponibilidade de recursos no período de produção: 
A MR Móveis pode repassar seus projetos a outro fabricante e contratar uma quantidade conveniente desses produtos com a finalidade de suprir o pedido. Após consulta, chegou-se ao quadro:
O problema consiste, agora, em determinar as quantias que a MR Móveis deverá produzir e comprar de cada item, para minimizar o custo total desse pedido.
128
129
	Item	Custo
R$	Pedido mesas	Pedido estantes	Pedido cadeiras	MO	Madeira	Metálicos
	Fáb.. mesa	100	1	---	---	3	3	0,5
	Fáb.. estante	130	---	1	---	4	5	1
	Fáb.. cadeira	90	---	---	1	2	0,5	2
	Comp. mesa	120	1	---	---	---	---	---
	Comp. estante	150	---	1	---	---	---	---
	Comp cadeira	115	---	---	1	---	---	---
	LIMITE		 1000			7600	7000	4000
X1= Quantidade fábrica de Mesa 
X2= Quantidade fábrica de estantes 
X3= Quantidade fábrica de cadeiras 
X4= Quantidade compras de mesa 
X5= Quantidade compras estantes 
X6= Quantidade compras cadeiras
Min (C)= 100X1+130X2+90X3+120X4+150X5+115X6
X1+X4=1000
X2+X5=800
X3+X6=1200
3X1+4X2+2X37600
3X1+5X2+0,5X3 7000
0,5X1+X2+2X3 4000
X1 ... X6 
SA
Uma fábrica de ração para animais possui em estoque três misturas e pretende, a partir delas, compor uma nova ração que apresente quantidades mínimas de dois nutrientes presentes nas misturas. A tabela abaixo apresenta as misturas com a porcentagem dos ingredientes presentes em cada uma e seu custo, além das quantidades mínimas exigidas na nova ração. 
O problema consiste em determinar a composição do saco de 30 kg da nova ração a partir das três misturas que apresente o menor custo.
ENG KARLA SARTIN
130
131
	Misturas	Custo
R$	composição	Ingrediente 1	Ingrediente 1
	1	0,3	1	0,25	0,20
	2	0,25	1	0,20	0,30
	3	0,28	1	0,32	0,18
	LIMITE			5	6
saco de 30kg
Gráf3
	30
	21
	35
	45
	37
	20
	8
	17
	40
	25
	5
X
Y
370
480
195
195
360
420
520
450
210
400
580
Plan1
				Análise de Regressão
			y
		30	430			Estatística de regressão
		21	335			R múltiplo	0.86
		35	520			R-Quadrado	0.74
		42	490			R-quadrado ajustado	0.71
		37	470			Erro padrão	65.17
		20	210			Observações	10.00
		8	195
		17	270			Parâmetros	Coeficientes
		35	400			a	117.07
		25	480			b	9.74
			ANOVA
				gl	SQ	MQ	F	F de significação
			Regressão	1.00	95969.39	95969.39	22.59	0.00
			Resíduo	8.00	33980.61	4247.58
			Total	9.00	129950.00
	Parâmetros	Coeficientes	Erro padrão	Stat t	valor-P	95% inferiores	95% superiores	Inferior 95,0%
	a	117.07	59.03	1.98	0.08	-19.05	253.19	-19.05
	b	9.74	2.05	4.75	0.00	5.01	14.46	5.01
			RESULTADOS DE RESÍDUOS
			Observação	Y amostra	Y previsto	Resíduo (Erro)
			1.00	430	409.21	20.79
			2.00	335	321.57	13.43
			3.00	520	457.91	62.09
			4.00	490	526.07	-36.07
			5.00	470	477.38	-7.38
			6.00	210	311.83	-101.83
			7.00	195	194.98	0.02
			8.00	270	282.62	-12.62
			9.00	400	457.91	-57.91
			10.00	480	360.52	119.48
Plan1
	
Y
Y previsto
X: Área
Y: Produtividade
Plan2
		y
	30	430
	21	335
	35	520
	42	490
	37	470
	20	210
	8	195
	17	270
	35	400
	25	480
		y
	30	370
	21	480
	35	195
	45	195	490
	37	360	470
	20	420
	8	520
	17	450
	40	210
	25	400
	5	580
	3	640
Plan2
	
Plan3
	
X
Y
	
0
100
200
300
400
500
600
700
01020304050
X
Y
Gráf8
	30
	21
	35
	45
	37
	20
	8
	17
	40
	25
	5
	3
y
X
Y
145
480
150
80
360
370
520
100
580
400
195
370
Plan1
				Análise de Regressão
			y
		30	430			Estatística de regressão
		21	335			R múltiplo	0.86
		35	520			R-Quadrado	0.74
		42	490			R-quadrado ajustado	0.71
		37	470			Erro padrão	65.17
		20	210			Observações	10.00
		8	195
		17	270			Parâmetros	Coeficientes
		35	400			a	117.07
		25	480			b	9.74
			ANOVA
				gl	SQ	MQ	F	F de significação
			Regressão	1.00	95969.39	95969.39	22.59	0.00
			Resíduo	8.00	33980.61	4247.58
			Total	9.00	129950.00
	Parâmetros	Coeficientes	Erro padrão	Stat t	valor-P	95% inferiores	95% superiores	Inferior 95,0%
	a	117.07	59.03	1.98	0.08	-19.05	253.19	-19.05
	b	9.74	2.05	4.75	0.00	5.01	14.46	5.01
			RESULTADOS DE RESÍDUOS
			Observação	Y amostra	Y previsto	Resíduo (Erro)
			1.00	430	409.21	20.79
			2.00	335	321.57	13.43
			3.00	520	457.91	62.09
			4.00	490	526.07	-36.07
			5.00	470	477.38	-7.38
			6.00	210	311.83	-101.83
			7.00	195	194.98	0.02
			8.00	270	282.62	-12.62
			9.00	400	457.91	-57.91
			10.00	480	360.52	119.48
Plan1
	
Y
Y previsto
X: Área
Y: Produtividade
Plan2
		y
	30	430
	21	335
	35	520
	42	490
	37	470
	20	210
	8	195
	17	270
	35	400
	25	480
		y
	30	370
	21	480
	35	195
	45	195	490
	37	360	470
	20	420
	8	520
	17	450
	40	210
	25	400
	5	580
	3	640
		y
	30	145
	21	480
	35	150
	45	80
	37	360
	20	370
	8	520
	17	100
	40	580
	25	400
	5	195
	3	370
Plan2
	30
	21
	35
	42
	37
	20
	8
	17
	35
	25
430
335
520
490
470
210
195
270
400
480
Plan3
	
X
Y
	
y
X
Y
	
 
0
100
200
300
400
500
600
700
05101520253035404550
X
Y
Gráf10
	30	30
	21	21
	35	35
	42	42
	37	37
	20	20
	8	8
	17	17
	35	35
	25	25
Y
Y previsto
X
Y
430
409.2144268775
335
321.5711462451
520
457.9051383399
490
526.0721343874
470
477.3814229249
210
311.8330039526
195
194.9752964427
270
282.6185770751
400
457.9051383399
480
360.523715415
Plan1
				Análise de Regressão
			y
		30	430			Estatística de regressão
		21	335			R múltiplo	0.86
		35	520			R-Quadrado	0.74
		42	490			R-quadrado ajustado	0.71
		37	470			Erro padrão	65.17
		20	210			Observações	10.00
		8	195
		17	270			Parâmetros	Coeficientes
		35	400			a	117.07
		25	480			b	9.74
			ANOVA
				gl	SQ	MQ	F	F de significação
			Regressão	1.00	95969.39	95969.39	22.59	0.00
			Resíduo	8.00	33980.61	4247.58
			Total	9.00	129950.00
	Parâmetros	Coeficientes	Erro padrão	Stat t	valor-P	95% inferiores	95% superiores	Inferior 95,0%
	a	117.07	59.03	1.98	0.08	-19.05	253.19	-19.05
	b	9.74	2.05	4.75	0.00	5.01	14.46	5.01
			RESULTADOS DE RESÍDUOS
			Observação	Y amostra	Y previsto	Resíduo (Erro)
			1.00	430	409.21	20.79
			2.00	335	321.57	13.43
			3.00	520	457.91	62.09
			4.00	490	526.07	-36.07
			5.00	470	477.38	-7.38
			6.00	210	311.83	-101.83
			7.00	195	194.98	0.02
			8.00	270	282.62	-12.62
			9.00	400	457.91	-57.91
			10.00	480	360.52	119.48
Plan1
	
Y
Y previsto
X: Área
Y: Produtividade
Plan2
	
Y
Y previsto
X
Y
Plan3
		y
	30	430
	21	335
	35	520
	42	490
	37	470
	20	210
	8	195
	17	270
	35	400
	25	480
		y
	30	370
	21	480
	35	195
	45	195	490
	37	360	470
	20	420
	8	520
	17	450
	40	210
	25	400
	5	580
	3	640
		y
	30	145
	21	480
	35	150
	45	80
	37	360
	20	370
	8	520
	17	100
	40	580
	25	400
	5	195
	3	370
Plan3
	30
	21
	35
	42
	37
	20
	8
	17
	35
	25
430
335
520
490
470
210
195
270
400
480
	
X
Y
	
y
X
Y
	
0
100
200
300
400
500
600
01020304050
X
Y
Y
Y previsto
Gráf12
	30	30
	21	21
	35	35
	42	42
	37	37
	20	20
	8	8
	17	17
	35	35
	25	25
Variação Não Explicada
Variação Explicada
Y
Y previsto
X
Y
430
409.2144268775
335
321.5711462451
520
457.9051383399
490
526.0721343874
470
477.3814229249
210
311.8330039526
195
194.9752964427
270
282.6185770751
400
457.9051383399
480
360.523715415
Plan1
				Análise de Regressão
		x	y
		30	430			Estatística de regressão
		21	335			R múltiplo	0.86
		35	520			R-Quadrado	0.74
		42	490			R-quadrado ajustado	0.71
		37	470			Erro padrão	65.17
		20	210			Observações	10.00
		8	195
		17	270			Parâmetros	Coeficientes
		35	400			a	117.07
		25	480			b	9.74
			ANOVA
				gl	SQ	MQ	F	F de significação
			Regressão	1.0095969.39	95969.39	22.59	0.00
			Resíduo	8.00	33980.61	4247.58
			Total	9.00	129950.00
	Parâmetros	Coeficientes	Erro padrão	Stat t	valor-P	95% inferiores	95% superiores	Inferior 95,0%
	a	117.07	59.03	1.98	0.08	-19.05	253.19	-19.05
	b	9.74	2.05	4.75	0.00	5.01	14.46	5.01
			RESULTADOS DE RESÍDUOS
			Observação	Y amostra	Y previsto	Resíduo (Erro)
			1.00	430	409.21	20.79
			2.00	335	321.57	13.43
			3.00	520	457.91	62.09
			4.00	490	526.07	-36.07
			5.00	470	477.38	-7.38
			6.00	210	311.83	-101.83
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			8.00	270	282.62	-12.62
			9.00	400	457.91	-57.91
			10.00	480	360.52	119.48
Plan1
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
Y
Y previsto
X: Área
Y: Produtividade
0
0
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0
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0
0
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Plan2
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Variação Explicada
Variação Não Explicada
Y
Y previsto
X
Y
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0
Plan3
	x	y
	30	430
	21	335
	35	520
	42	490
	37	470
	20	210
	8	195
	17	270
	35	400
	25	480
	x	y
	30	370
	21	480
	35	195
	45	195	490
	37	360	470
	20	420
	8	520
	17	450
	40	210
	25	400
	5	580
	3	640
	x	y
	30	145
	21	480
	35	150
	45	80
	37	360
	20	370
	8	520
	17	100
	40	580
	25	400
	5	195
	3	370
Plan3
	30
	21
	35
	42
	37
	20
	8
	17
	35
	25
430
335
520
490
470
210
195
270
400
480
	0
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X
Y
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y
X
Y
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
	1.00	409.21
	2.00	321.57
	3.00	457.91
	4.00	526.07
	5.00	477.38
	6.00	311.83
	7.00	194.98
	8.00	282.62
	9.00	457.91
	10.00	360.52
0
100
200
300
400
500
600
051015202530354045
X
Y
Y
Y previsto
Variação Não Explicada
Variação Explicada
Gráf10
	30	30
	21	21
	35	35
	42	42
	37	37
	20	20
	8	8
	17	17
	35	35
	25	25
Y
Y previsto
X
Y
430
409.2144268775
335
321.5711462451
520
457.9051383399
490
526.0721343874
470
477.3814229249
210
311.8330039526
195
194.9752964427
270
282.6185770751
400
457.9051383399
480
360.523715415
Plan1
				Análise de Regressão
		x	y
		30	430			Estatística de regressão
		21	335			R múltiplo	0.86
		35	520			R-Quadrado	0.74
		42	490			R-quadrado ajustado	0.71
		37	470			Erro padrão	65.17
		20	210			Observações	10.00
		8	195
		17	270			Parâmetros	Coeficientes
		35	400			a	117.07
		25	480			b	9.74
			ANOVA
				gl	SQ	MQ	F	F de significação
			Regressão	1.00	95969.39	95969.39	22.59	0.00
			Resíduo	8.00	33980.61	4247.58
			Total	9.00	129950.00
	Parâmetros	Coeficientes	Erro padrão	Stat t	valor-P	95% inferiores	95% superiores	Inferior 95,0%
	a	117.07	59.03	1.98	0.08	-19.05	253.19	-19.05
	b	9.74	2.05	4.75	0.00	5.01	14.46	5.01
			RESULTADOS DE RESÍDUOS
			Observação	Y amostra	Y previsto	Resíduo (Erro)
			1.00	430	409.21	20.79
			2.00	335	321.57	13.43
			3.00	520	457.91	62.09
			4.00	490	526.07	-36.07
			5.00	470	477.38	-7.38
			6.00	210	311.83	-101.83
			7.00	195	194.98	0.02
			8.00	270	282.62	-12.62
			9.00	400	457.91	-57.91
			10.00	480	360.52	119.48
Plan1
	0	0
	0	0
	0	0
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Y
Y previsto
X: Área
Y: Produtividade
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Plan2
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Y
Y previsto
X
Y
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Plan3
	x	y
	30	430
	21	335
	35	520
	42	490
	37	470
	20	210
	8	195
	17	270
	35	400
	25	480
	x	y
	30	370
	21	480
	35	195
	45	195	490
	37	360	470
	20	420
	8	520
	17	450
	40	210
	25	400
	5	580
	3	640
	x	y
	30	145
	21	480
	35	150
	45	80
	37	360
	20	370
	8	520
	17	100
	40	580
	25	400
	5	195
	3	370
Plan3
	30
	21
	35
	42
	37
	20
	8
	17
	35
	25
430
335
520
490
470
210
195
270
400
480
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X
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y
X
Y
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100
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X
Y
Y
Y previsto