MÉTODOS QUANTIFICATIVOS

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MÉTODOS QUANTIFICATIVOS
Livro Didático 
Pesquisa Operacional
Shamblin & Stevens Jr. (1979, p. 13) afirmam que um estudo de pesquisa operacional começa escrevendo um sistema por intermédio de um modelo e depois manipula o modelo para descobrir o melhor modo de operar o sistema.
Para Ehrlich (1991), pesquisa operacional é uma metodologia de estruturar
processos aparentemente não estruturados por meio da construção de modelos, utilizando um conjunto de técnicas quantitativas com o intuito de resolver matematicamente os modelos.
“A pesquisa operacional (PO) é a área do conhecimento que envolve técnicas e procedimentos matemáticos no auxílio à resolução de problemas que abrangem a utilização de recursos escassos” (ANDRADE, 2004).
Embora a literatura sobre o assunto apresente diversas definições, podemos tentar resumir a Pesquisa Operacional (PO) como uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de outras áreas científicas para concepção, planejamento ou operação de sistemas para atingir seus objetivos.
Decisão
Bateman & Snell (2012) relatam que grande parte das decisões tomadas dentro de uma organização carece de estrutura e enseja risco, incerteza e conflito, o que pode retardar a tomada de decisão, uma vez que os tomadores de decisão hesitam em agir, pois não estão certos das dificuldades que serão enfrentadas.
Para Bateman & Snell (2012) os tomadores de decisão enfrentam diferentes tipos de conflito: um quando todas as alternativas existentes são atrativas ou quando nenhuma das alternativas disponíveis é atrativa; outro quando existem divergências de ideias sobre quais objetivos e metas devem ser alcançados e como devem ser atingidos, ou seja, qual alternativa dentre as possíveis deve ser escolhida.
As decisões podem ser classificadas de acordo com o contexto em que ocorrem, segundo os diferentes níveis administrativos: estratégicas, táticas e operacionais.
Com relação à maneira como as decisões são tomadas: individuais, consultivas, em grupo. 
Fases:
1. Identificação: reconhecimento da necessidade de tomada de decisão e desenvolvimento e compreensão das questões implícitas na decisão;
2. Desenvolvimento: busca de uma ou mais soluções;
3. Seleção: escolha de uma solução para um compromisso com a ação.
Apesar de existirem divergências entre os autores acima relacionados, há também pontos de similaridade, que convergem para a existência de três fases em comum (prospecção, concepção e decisão) já identificadas por Herbert Simon (1979), considerado o “pai” do Processo Decisório: 
Modelagem matemática
Modelagem matemática é a metodologia de transmutar um problema da realidade em um problema matemático, solucioná-lo e adaptar as suas soluções na elocução do mundo real, isto é, assistir na resolução de problemas autênticos. (BASSANEZI, 2013). 
Etapas
A modelagem vai se estruturar como forma de tratar o conhecimento, em cinco etapas importantes (Bassanezi, 2013, p. 26):
· Experimentação – É uma fase essencialmente laboratorial onde se comprova a obtenção de dados. É uma fase em que a adoção de técnicas oriundas da pesquisa experimental vai dar maior grau de confiabilidade aos dados obtidos.
· Abstração – é o procedimento que deve levar à formulação dos Modelos Matemáticos. É o momento em que vamos manipular as informações que foram colhidas na fase da experimentação.
· Resolução – O modelo matemático é obtido quando se substitui a linguagem natural das hipóteses por uma linguagem matemática coerente. As hipóteses são traduzidas por equações.
· Validação – é o processo de aceitação ou não do modelo proposto. É o momento do teste do modelo.
· Modificação – é a etapa em que se define a rejeição ou aceitação do modelo
Atividades (p.24)
Exercício
O modelo de programação linear
A tarefa da PL consiste na maximização ou minimização de uma função linear, denominada Função objetivo, respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades, que recebem o nome de Restrições do Modelo.
As restrições determinam uma região a qual se dá o nome de Conjunto Viável, a melhor das soluções viáveis (soluções que pertencem ao Conjunto Viável), ou seja, aquela que maximiza ou minimiza a função objetivo denomina-se Solução Ótima. O objetivo da Programação Linear é determinar a solução ótima.
Para a resolução de um problema de Programação Linear (PL), três passos básicos são necessários (Ravindran et al., 1987):
•  Passo I: Identifique as variáveis desconhecidas a serem determinadas (elas são denominadas variáveis de decisão) e represente-as através de símbolos algébricos (x1 e x2);
•  Passo II: Liste todas as restrições do problema e expresse-as como equações (=) ou inequações (≤, ≥) lineares em termos das variáveis de decisão definidas no passo anterior;
•  Passo III: Identifique o objetivo ou critério de otimização do problema, representando-o como uma função linear das variáveis de decisão. O objetivo pode ser do tipo maximizar ou minimizar
Solução de um modelo de maximização
Segundo Hilllier & Lieberman (2006), qualquer problema de Programação Linear que envolve duas variáveis de decisão pode ser facilmente resolvido pelo Método Gráfico.
Problema com duas variáveis e duas restrições
A empresa Móveis Contemporâneos fabrica cadeiras e mesas.
•  Cada cadeira necessita de 5 tábuas de madeira e cada mesa, 20. Ao todo temos 400 tábuas;
•  Cada cadeira precisa de 10 horas de trabalho e cada mesa 15 horas. Temos 450 horas de trabalho disponíveis.
O lucro por cadeira é R$ 45,00 e por mesa é R$ 80,00.
Qual o número de cadeiras e de mesas que MAXIMIZA o Lucro? E qual é o valor do LUCRO MÁXIMO?
Resolver um sistema de duas equações. 
Solução de um modelo de minimização
Segundo Hilllier & Lieberman (2006), qualquer problema de Programação Linear que envolve duas variáveis de decisão pode ser facilmente resolvido pelo Método Gráfico.
Problema com duas variáveis e duas restrições
Para uma boa alimentação, são seis os nutrientes que nosso corpo necessita diariamente: carboidratos, gorduras, proteínas, água, sais minerais e vitaminas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas é de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível peito de frango e ovos para se alimentar. Cada porção de peito de frango contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada porção de ovos contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de peito de frango e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Sabe-se que cada porção de peito de frango custa R$ 6,00 e cada porção de ovos custa R$ 4,00.
Montar equações (vitamina + vitamina = total vitaminas etc.). Substituir na equação objetiva de custo.
Numa marcenaria, são fabricadas dois tipos de poltronas: poltrona laranja com braço e poltrona limão sem braço. Cada poltrona laranja com braço é vendida com um lucro de R$ 300,00 e demora 2,5 horas para montagem, 3 horas para polimento e 1 hora para o acabamento. Cada poltrona limão sem braço é vendida com lucro de R$ 400,00 e requer 1 hora para montagem, 3 horas para polimento e 2 horas para o acabamento. A marcenaria dispõe de mão de obra de 20 horas para montagem, 30 horas para polimento e 16 horas para o acabamento.
a) Quantas poltronas laranja com braço e quantas poltronas limão sem braço a marcenaria deve produzir, de maneira a obter lucro máximo?
b) Qual o lucro máximo?
Resolvendo as equações simplesmente resolve (c = 24 m = 14), possivelmente porque pede 1 ponto específico.
Solução de um modelo de minimização
Nesta seção vamos, novamente, refazer o exercício já resolvido no capítulo II com o Método Gráfico, a fim de comprovar que podemos obter a mesma solução através do Método Analítico. 
Para uma boa alimentação, são seis os nutrientes que nosso corpo necessita diariamente: carboidratos, gorduras, proteínas, água, sais minerais e vitaminas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínasé de 36 unidades por dia. 
Uma pessoa tem disponível peito de frango e ovos para se alimentar. Cada porção de peito de frango contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada porção de ovos contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de peito de frango e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Sabe-se que cada porção de peito de frango custa R$ 6,00 e cada porção de ovos custa R$ 4,00.
Equações de cada variável em separado. 2f + 4o = 28
O administrador de uma pequena fábrica de colchões está pensando em otimizar a utilização dos recursos de seu estoque. Essa fábrica produz dois tipos de colchões: solteiro e casal. 
Ele sabe que, para fazer um colchão de solteiro, são precisos 2 m2 de fibra de coco e 6 m2 de lã. Já para fazer um colchão de casal são precisos 4 m2 de fibra de coco e 4 m2 de lã. 
No estoque, a fábrica dispõe de 160 m2 de fibra de coco e 240 m2 de lã. O Lucro na venda do colchão de solteiro é R$ 120,00 e no colchão de casal é R$ 180,00. 
a) Quantos colchões de solteiro e de casal devem ser produzidos e vendidos, de maneira a obter lucro máximo?
b) Qual o lucro máximo?
A corrigir: S=20, C=30 – L= 7800
Programação linear no computador: o Método Simplex e o Solver
O Método Simplex é uma técnica utilizada para determinar, numericamente, a solução ótima de um modelo de Programação Linear. Será desenvolvido para Problemas de Programação Linear, na forma padrão, com as seguintes características para o sistema linear de equações:
I. Todas as variáveis são não-negativas:
II. Todos os bi são não-negativos;
III. Todas as equações iniciais do sistema são do tipo “≤“. Assim, na forma padrão, só se encontra variáveis de folga.
O Método simplex é um procedimento matricial para resolver o modelo de programação linear na forma normal. Refere-se a família dos métodos de otimização globais, conhecidos como métodos de procura direta (DAVOODI; HAGH; ZADEH, 2014). Os recentes avanços de hardware tornaram possível resolver problemas de PL em grande escala em um curto espaço de tempo.
O problema de programação linear consiste de um problema de otimização, ou seja, consiste na alocação de recursos limitados a atividades em competição, de forma ótima.
Para converter uma inequação em uma equação poderão ser utilizados dois tipos de variáveis:
· Variáveis de folga: são utilizadas para converter uma inequação do tipo “≤” em "=";
· Variáveis de excesso: são utilizadas para converter uma inequação do tipo “≥” em "=".
Os Passos do Método Simplex, sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução básica do sistema, ou seja, um ponto extremo do polígono gerado pelas restrições. Para iniciarmos o Método Simplex necessita-se de uma solução básica viável inicial, a qual é um dos pontos extremos. Este método verifica se a presente solução é ótima.
O Método Simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos:
i. Achar uma solução factível básica inicial.
ii. Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário, siga para o passo iii.
iii. Determinar a variável não básica que deve entrar na base;
iv. Determinar a variável básica que deve sair da base;
v. Atualizar o sistema à fim de determinar a nova solução factível básica, e voltar ao passo ii
file:///C:/Users/user/OneDrive/Documentos/Est%C3%A1cio/Per%C3%ADodo%203/M%C3%A9todos%20Quantificativos/simplex.pdf
Página 52 – Método Simplex – rever.
VER SOLVER NO EXCEL
Os Softwares TORA e LINGO
Com exceção de problemas pequenos, o Método Simplex é normalmente executado em computadores, com auxílio de diferentes softwares (Hillier & Lieberman, 2007). Existem hoje alguns pacotes de software que permitem resolver Problemas de Programação Linear, tais como o TORA e o LINGO.
A utilização do Solver na solução de problemas de programação linear
O suplemento Solver é um programa de suplemento do Microsoft Office Excel que fica disponível quando você instala o Microsoft Office ou o Excel.
O processo de resolução de modelos matemáticos utilizando o solver da planilha Excel compreende, basicamente, as 3 fases descritas a seguir:
•  Fase 1 – Inserção do Modelo: inserção de todos os parâmetros do problema, valores iniciais para as variáveis de decisão e os cálculos que relacionam esses dados na planilha. Em particular, a planilha deve incluir a fórmula que relaciona a função objetivo às células que representam as variáveis de decisão, de tal maneira que qualquer variação nestas últimas provoque a variação correspondente na função objetivo.
•  Fase 2 – Cédulas do Solver: a indicação das células correspondentes à função objetivo, restrições e variáveis do modelo; configuração dos parâmetros de otimização e da exibição das soluções.
•  Fase 3 – Análise do Resultado: após a obtenção da solução ótima, é possível realizar análises das mudanças nessa solução em função de modificações nos parâmetros do modelo.
O Primal Dual e o Dual Simplex
Todo Problema de Programação Linear (PL) pode ser substituído por um modelo equivalente denominado “Dual”. O modelo original é chamado “Primal”: métodos de otimização linear inteiro misto, os quais resolvem uma sequência de problemas de otimização linear.
A teoria dos jogos no processo decisório
A Teoria dos Jogos pode ser definida como a teoria dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisões ótimas sob condições de conflito.
O primeiro passo para o seu desenvolvimento foi dado por von Neumann (1903-1957), em 1928, com a demonstração do teorema minimax, segundo este teorema há sempre uma solução racional para um conflito bem definido entre dois indivíduos cujos interesses são completamente opostos.
O pensamento na época era que esta teoria tornaria possível uma série de soluções de problemas até então insolúveis, mas Nash com a sua tese Non-Cooperative Games (Jogos Não-Cooperativos, publicada em 1951) provou a existência de ao menos um ponto de equilíbrio em jogos de estratégias para múltiplos jogadores, mas para que ocorra o equilíbrio é necessário que os jogadores se comportem racionalmente, e não se comuniquem antes do jogo para evitar acordos.
Esse é um exemplo da chamada situação de soma zero, uma vez que os ganhos dos dois jogadores somam zero. A combinação de estratégias, na qual o máximo dos mínimos é igual ao mínimo dos máximos, chama-se ponto de equilíbrio do jogo, pois, ao escolherem essas estratégias, os jogadores garantem para si um ganho mínimo independente do que o adversário venha a escolher.
Ponto de Minimax e as Estratégias Puras
Em um jogo de dois jogadores com soma zero é racional para cada jogador escolher a estratégia que maximiza seu ganho mínimo ou que minimize o ganho máximo do adversário, conforme figura a seguir.
O Teorema Minimax de von Neumann assegurava que para todos os jogos de duas pessoas e soma zero existia uma estratégia mista ótima para cada “jogador” e se eles as utilizassem teriam o mesmo resultado médio esperado, que seria o melhor ganho que cada “jogador” poderia esperar se o adversário jogasse racionalmente.
Von Neumann acreditava que essa previsão de resultado final era plausível por três
razões:
1. Há uma estratégia para o jogador I que irá proteger seu retorno; contra essa estratégia, nada que o jogador II fizer poderá mudar que o jogador I irá ganhar uma vitória média de V. Assim, o jogador I não aceitará em nada menos que V.
2. Há uma estratégia para o jogador II onde ele irá perder nada mais do que o valor médio de V; ou seja, o jogador I pode ser impedido de ganhar mais do que
V.
3. Por definição, o jogo é zero-soma. O que o jogador I ganha, o jogador II deve perder. Já que o jogador II deseja minimizar suas perdas, o jogador II é motivado a limitar o retorno médio de V do jogador I.
Jogos cooperativos x jogos não cooperativos
Para Pindyck (2010), os jogos cooperativos são quando os seus participantes podem negociar contratos entre si, permitindo que planejem estratégias em conjunto. Já nos jogos não cooperativos não há a possibilidade de negociação de contratosentre os participantes.
Se um jogo é cooperativo, ou não, é uma questão técnica. Essencialmente um jogo é cooperativo se os jogadores estão autorizados a se comunicar e quaisquer acordos que eles façam, sobre como jogar o jogo, são executados tal como definidos por suas escolhas estratégicas. A maioria dos jogos são não-cooperativos, mesmo que, em alguns deles, os jogadores escolham entre cooperar uns com os outros ou não.
Podem ser sequenciais ou simultâneos.
A solução de um jogo
Uma das formas para determinarmos a solução de um jogo se faz por meio da análise das estratégias que conduzem aos seus possíveis equilíbrios. Desta maneira, existem dois tipos de equilíbrios: 
Estratégia dominante: 
Quando um jogador possui várias estratégias disponíveis, ele precisa, de maneira racional, escolher qual delas irá determinar o melhor resultado possível, ou seja, o maior ganho de acordo com os seus objetivos.
Quando uma destas estratégias é superior às outras (ou seja, leva a um ganho maior), sem depender da jogada escolhida pelo oponente, dizemos que a estratégia é estritamente dominante.
Quando uma estratégia é superior somente a algumas estratégias de seu conjunto de estratégias possíveis e leva a ganhos iguais aos das estratégias restantes, dizemos que ela é fracamente dominante. equilíbrio de Nash.
No equilíbrio em uma estratégia dominante, podemos considerar os seguintes
comportamentos dos jogadores:
•  Eu estou fazendo o melhor que posso independentemente do que o meu concorrente está fazendo;
•  O meu concorrente está fazendo o melhor que pode, independentemente do que eu esteja fazendo.
Equilíbrio de Nash
O conceito do equilíbrio de Nash é a pedra fundamental na previsão do resultado do jogo. No equilíbrio de Nash cada estratégia dos jogadores maximiza sua utilidade diante das estratégias jogadas pelos outros jogadores. Em muitas situações o equilíbrio de Nash não é único, isto é, existe mais de um perfil em equilíbrio.
Informalmente, definimos equilíbrio de Nash como um conjunto de estratégias (uma para cada jogador) onde cada jogador não se sente motivado a mudar de estratégia se o outro não o fizer também. Nash demonstrou um teorema que generalizou o teorema do minimax para o caso de jogos sem soma zero envolvendo dois ou mais jogadores e para jogadores em competição direta; desenvolveu os chamados jogos não cooperativos. Um jogo cooperativo é um jogo em que os jogadores podem fazer compromissos obrigatórios, ao contrário de um jogo não cooperativo. 
No equilíbrio de Nash podemos considerar os seguintes comportamentos dos jogadores:
•  Eu estou fazendo o melhor que posso em função do que o meu concorrente está fazendo; 
•  O meu concorrente está fazendo o melhor que pode em função do que eu estou fazendo.
Dilema dos prisioneiros
Nesse jogo, a polícia prende dois comparsas, o suspeito A e o suspeito B, por serem suspeitos de terem cometido um crime grave. Os dois são colocados em celas separadas e não podem se comunicar. Ambos passam por um interrogatório individual, em que lhes é apresentado o seguinte: se nenhum dos dois confessar, ambos pagarão pelo crime e ficarão presos por 6 meses. Se ambos confessarem, os dois ficarão presos por 5 anos. Se um confessar e outro negar, o que confessou será libertado e o que negou ficará preso por 10 anos.
O perfil de estratégias (confessar, confessar) chama-se equilíbrio de Nash: é a melhor decisão possível levando-se em conta a decisão que o outro tomará. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro.
Nesse jogo, não se deve analisar simplesmente as penalidades, e sim as vantagens de uma decisão associada à decisão do outro jogador, consciente de que confiar e trair são estratégias do jogo. Em resumo, não importam os valores das penas, mas o cálculo das vantagens de uma decisão cujas consequências estão atreladas às decisões de outros agentes, onde a confiança e traição fazem parte da estratégia em jogo.
O grande problema aqui é que, para um ficar calado, ele tem de ter a certeza de que o outro também não falará nada. Do contrário, este arrisca ser apenado com dez anos na prisão. Noutras palavras, a melhor solução conjunta não é a melhor solução individual. Cada um precisa pensar na sua melhor estratégia considerando o que o outro vai fazer – e isso é a base da Teoria dos Jogos.
Ver exercício da página 77 e gabarito ao final.
AULA 02
A divulgação da Pesquisa Operacional deve-se à equipe de cientistas liderada por George Bemard Dantzig, dos Estados Unidos, com o desenvolvimento do Método Simplex para a resolução de problemas de Programação Linear, isto é, de problemas de planejamento nos quais são utilizados modelos de otimização lineares. 
Os Métodos Quantitativos se apoiam em quatro ciências fundamentais: Matemática, Estatística, Economia e Informática.
Esses métodos são especialmente úteis quando o problema:
· É complexo e não se consegue chegar a uma solução adequada sem emprego de análise quantitativa;
· É importante – envolve questões de segurança;
· É novo e não se dispõe de experiência prévia que permite antecipar o tipo de decisão a ser tomada;
· É repetitivo e a decisão pode ser tomada de forma automática, economizando tempo e recursos.
As decisões baseadas em Métodos Quantitativos requerem:
· Uma estruturação do problema,
· Seguida de sua representação matemática
· E da utilização de métodos de análise apropriados.
Comentário muito importante: É fundamental ressaltar que a experiência do tomador de decisão é importante para guiar a escolha e a utilização de Métodos Quantitativos, enquanto a análise das decisões decorrentes do emprego de métodos quantitativos ajuda o tomador de decisão a aumentar sua intuição e conhecimento sobre o problema.
2 O PROCESSO DE MODELAGEM
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando execução.
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando execução.
Na modelagem de um problema, recomenda-se a adoção do seguinte roteiro:
Veja as vantagens que Lachtermacher (2007) destaca na utilização de um processo de modelagem para a tomada de decisão:
· Os modelos obrigam os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos;
· Os modelos forçam a identificação e o armazenamento das diferentes decisões que influenciam os objetivos;
· Os modelos forçam a identificação e o armazenamento dos relacionamentos entre as decisões;
· Os modelos forçam a identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas serão quantificáveis;
· Os modelos forçam o reconhecimento de limitações;
· Os modelos permitem a comunicação de suas ideias e seu entendimento para facilitar o trabalho de grupo.
3 ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Variáveis de decisão e parâmetros
As variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo; parâmetros são valores fixos no problema.
Restrições
De modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis). 
Função Objetivo 
É uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
AULA 03
MODELO EM PROGRAMAÇÃO LINEAR
Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em Pesquisa Operacional é a Programação Linear.
A Programação Linear é um meio matemático de indicar um montante fixo de recursos (sacrifício) satisfazendo certa demanda, de tal modo que alguma função objetivo (que satisfaça um objetivo) seja otimizada e ainda sejam satisfeitas as outras condições predefinidas (restrições).
A Programação Linear, como o próprio nome indica, está limitada a situações nas quais as relações que descrevem os fluxos de entrada e saída considerados são lineares e onde as restrições, às quais estão submetidas, são do mesmo modo inequações lineares. 
Significa que os vários sistemas produtivos são independentes e que os componentes ou elementos do processo obedecema leis de estrita proporcionalidade. Todavia, para utilizarmos a Programação Linear devemos representar a condição real (não linear) por uma aproximação linear adequada.
· A tarefa primordial, ao utilizar a Programação Linear, é o reconhecimento e a formulação do problema de forma tal que ele possa ser trabalhado e, assim, fornecer um objetivo desejável a ser otimizado.
· Inicialmente, dentro da Programação Linear estipula-se o objetivo e, com isto, tornam-se evidentes as condições.
· O modelo matemático de Programação Linear é composto de uma função objetiva linear e de restrições técnicas, representadas por um grupo de inequações também lineares.
Veja um exemplo.
Função Objetivo a ser maximizada: ZMáx. = 300 X1 + 500 X2
Restrições técnicas:
2 X1 + X2 ≤ 16
 X1 + 2X2 ≤ 11
 X1 + 3X2 ≤ 15
Restrições de não negatividade: X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0
Explicação detalhada sobre este exemplo:
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2.
A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar lucro, para cada solução apresentada. O objetivo é maximizar o lucro, neste exemplo. Também existe função objetivo, cuja finalidade é minimizar os custos.
As restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema.
As duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de Programação Linear.
AULA 04
MÉTODO GRÁFICO
Esse método é bastante útil, simples e de fácil entendimento (leitura do gráfico), quando se tem duas variáveis decisórias. Quando o número de variáveis decisórias for três ou mais, já é necessário um bom conhecimento em desenho, pois fica relativamente difícil o seu uso. 
Para facilitar o entendimento do método gráfico, vamos utilizar um exemplo. Leia com atenção.
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias-primas - cobre, zinco e chumbo:
MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MAXIMIZAÇÃO
• a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo;
• a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um lucro máximo”.
Cobre -> 2 X1 + X2 ≤ 16
Zinco -> X1 + 2X2 ≤ 11
Chumbo -> X1 + 3X2 ≤ 15
ZMáx. = 300 X1 + 500 X2
Como o objetivo é maximizar o lucro, vamos considerar a variável X1 como a quantidade de liga tipo A e a variável X2 a quantidade de liga tipo B. Os valores de X1 e X2 são os valores que vão maximizar a função objetivo, e serão obtidos através da solução gráfica.
O sinal da restrição ≤ indica que a reta limitou a solução para baixo, ou seja, voltada para a origem do gráfico; porém, se a restrição for do tipo ≥, indica que a reta limitou a solução para cima, ou seja, afastada da origem da reta.
A área solução indicada pelo método gráfico, destacada em amarelo, é a área comum a todas as inequações.
Os pontos solução do problema, correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de X1 e X2.
No problema, temos quatro possíveis pontos solução: A (O; 5), B (3; 4), C (7; 2) e D (8; 0).
Para sabermos qual dos quatro pontos (A – B – C – D) irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo. Veja.
A (0; 5) -> ZMáx. = 300 (0) + 500 (5) = 2.500
Esta solução indica que a indústria não produziria nenhuma unidade da liga tipo A, produziria 5 unidades da liga tipo B, e teria um lucro de R$ 2.500,00.
B (3; 4) -> ZMáx. = 300 (3) + 500 (4) = 2.900
Esta solução indica que a indústria produziria 3 unidades da liga tipo A e 4 unidades da liga tipo B, e teria um lucro de R$ 2.900,00.
C (7; 2) -> ZMáx. = 300 (7) + 500 (2) = 3.100
Esta solução indica que a indústria produziria 7 unidades da liga tipo A e 2 unidades da liga tipo B, e teria um lucro de R$ 3.100,00.
D (8; 0) -> ZMáx. = 300 (8) + 500 (0) = 2.400
Esta solução indica que a indústria produziria 8 unidades da liga tipo A e nenhuma unidade da liga tipo B, e teria um lucro de R$ 2.400,00.
A solução do problema é o ponto C, com X1 = 7 e X2 = 2 e o lucro máximo de RS 3.100.00.
A solução proposta viola as restrições impostas ao modelo?
Precisamos nos certificar disso fazendo a verificação.
Para saber como realizar essa verificação.
Com a solução identificada, podemos substituir X1 = 7 e X2 = 2 para verificarmos se houve violação de alguma das restrições impostas ao modelo:
2 X1 + X2 ≤ 16
 X1 + 2X2 ≤ 11
 X1 + 3X2 ≤ 15
Substituindo, temos:
(2 x 7) + 2 = 16
7 + (2 x 2) = 11
7 + (3 x 2) = 13
Constata-se que não houve violação das restrições impostas ao modelo, com a produção e venda de 7 unidades da liga tipo A, e a produção e venda de 2 unidades da liga tipo B.
MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MINIMIZAÇÃO
"Uma companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, A e B.
Cada quilo de A contém 7 unidades de produto P1, 4 unidades de produto P2, 2 unidades de produto P3 e custa $100.
Cada quilo de B contém 3 unidades de produto P1, 4 unidades de produto P2, 7 unidades de produto P3 e custa $150.
A mistura deve conter pelo menos 21 unidades de P1, 20 unidades de P2 e 14 unidades de P3.
Produto P1 -> 7 X1 + 3X2 ≥ 21
Produto P2 -> 4X1 + 5X2 ≥ 20
Produto P3 -> 2X1 + 7X2 ≥ 14
ZMin. = 100x1 + 150x2
Os pontos solução do problema correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de X1 e X2.
No problema, temos quatro possíveis pontos solução: A (0; 7), B (2; 2,4), C (3,8; 1,9) e D (7; 0).
Veja as soluções possíveis.
A (0; 7) -> ZMin. = 100 (0) + 150 (7) = 1.050
Esta solução indica que a indústria não produziria nenhuma mistura tipo A, produziria 7 unidades da mistura tipo B, e teria um custo de R$ 1.050,00.
B (2; 2,4) -> ZMin. = 100 (2) + 150 (2,4) = 560
Esta solução indica que a indústria produziria 2 unidades da mistura tipo A e 2,4 unidades da mistura tipo B, e teria um custo de R$ 560,00.
C (3,8; 1,9) -> ZMin. = 100 (3,8) + 150 (1,9) = 665
Esta solução indica que a indústria produziria 3,8 unidades da mistura tipo A e 1,9 unidades da mistura tipo B, e teria um custo de R$ 665,00.
D (7; 0) -> ZMin. = 100 (7) + 150 (0) = 700
Esta solução indica que a indústria produziria 7 unidades da mistura tipo A e nenhuma unidade da mistura tipo B, e teria um custo de R$ 700,00.
A solução do problema é o ponto B, com X1 = 2 e X2 = 2,4 e o custo de RS 560,00.
Como calcular? (a ser validado) os maiores pontos dos eixos x e y (se quiser minimizar os custos) (em cada eixo) e os maiores pontos de cruzamento das retas (3 pontos), selecionando os maiores para minimização da função objetivo. Substituir os pontos na função objetivo e verificar o menor!
AULA 05 - REGRAS DO ALGORITMO DO SIMPLEX
12 REGRAS
A utilização das 12 regras que você estudará a seguir facilita o entendimento do uso desse algoritmo.
Regra nº 1
O primeiro passo é transformar as inequações em equações. Isto é feito utilizando-se das chamadas variáveis de folga.
As variáveis de folga assumirão o sinal positivo (+), se o sentido da restrição for do tipo menor e igual (≤); se o sentido da restrição for do tipo maior e igual (≥), assumirão o sinal negativo (-).
Regra nº 2
No caso das restrições do tipo maior e igual (≥), cuja variável de folga assume o sinal negativo (-), é necessária, também, a utilização das chamadas variáveis artificiais.
Regra nº 3
As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema.
Em um problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de folga serão: X3 para a primeira inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira inequação.
Regra nº 4
A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro do simplex seja positivo.
Regra nº 5
O passoseguinte é a construção do quadro do simplex, que tem a seguinte estrutura:
Regra nº 6
DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE ENTRARÁ NA BASE - escolhe-se na linha de –Z, dentre as variáveis que tenham sinal negativo, a mais negativa de todas.
Regra nº 7
DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE SAIRÁ DA BASE - dividem-se os valores da coluna b pelos valores da coluna que entrará na base. Escolhe-se o menor valor da divisão.
Regra nº 8
Em caso de empate na escolha da variável que entrará na base ou que sairá da base, a escolha deverá ser feita de forma arbitrária.
Essa escolha tanto poderá levar a um caminho mais curto, como a um caminho mais longo.
Regra nº 9
O valor correspondente à variável que entrará na base, com o que sairá da base (o encontro da linha e coluna), deverá ser igual a 1.
Quando isso não ocorrer, é necessário dividir a linha pelo seu próprio valor.
Regra nº 10
Os demais valores da coluna que entrará na base deverão ser iguais a zero. Para zerar esses valores, deve-se utilizar a linha que “entrou na base", com as demais linhas.
Regra nº 11
Só chegaremos ao final do problema quando toda a linha de Z for positiva.
Regra nº 12
A resposta do problema encontra-se na coluna b. Portanto, temos que fazer a relação das variáveis da coluna BASE com a coluna b.
APLICAÇÃO DO ALGORITMO DO SIMPLEX
Passos:
1. Escolher o menor Z na função objetivo.
2. Divide a coluna b (resultados das inequações) pelo índice variável do item 1, na sua linha e não em Z. 
3. O menor definirá a linha a ser usada na intersecção e o elemento pivô será o da intersecção.
4. Para calcular a nova linha pivô: dividir a linha pelo elemento pivô. 
5. Calcular a n linha: multiplicar o coeficiente da variável (x1,x2,...) correspondente à pivô na linha a ser atualizada por -1. 
6. Multiplicar o coeficiente do passo anterior pelos valores da nova linha pivô. 
7. Somar com a linha n, que passará a ser a nova linha n. 
Vamos utilizar um exemplo para exemplificar o Método do Simplex, partindo do seu modelo matemático primal.
2 X1 + X2 ≤ 16
 X1 + 2X2 ≤ 11
 X1 + 3X2 ≤ 15
ZMáx. = 300 X1 + 500 X2
*Regra 1: O primeiro passo é transformar as inequações em equações. Isto é feito, utilizando-se as chamadas variáveis de folga.
*Regra 3: As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema. Em um problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de folga serão: X3 para a primeira inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira inequação.
2 X1 + X2 + X3 = 16
 X1 + 2X2 + X4 = 11
 X1 + 3X2 + X5 = 15
*Regra 4: A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro do simplex seja positivo.
- ZMáx. = - 300 X1 - 500 X2
O passo 5 (Regra 5) é a construção do quadro do simplex.
No quadro do simplex, quando uma variável está na base, o encontro da linha com a coluna é 1 e os demais valores da coluna são zero. No quadro, verificamos que isso acontece com as variáveis X3, X4 e X5, que estão na base.
O passo seguinte (Regra 6) é a determinação da variável que vai entrar na base. O objetivo do método simplex é colocar na base as variáveis originais do problema (X1 e X2). A regra diz que se deve escolher na linha de –Z, o valor mais negativo. Ao escolher X2 divide-se b pelo valor de X2 na linha.
O menor valor da divisão foi 5 (15 ÷ 3), que corresponde à variável X5. Portanto, a variável X5 sairá da base para dar lugar à variável X2.
Como X2 está na base, o encontro da linha X2 com a coluna X2, tem que ser igual a 1.
Para tornar esse valor igual a 1, teremos que dividir a linha X2 por 3.
Os demais valores da coluna de X2 terão que ser iguais a zero. Veja como fazê-lo na próxima tela.
Para zerar os demais valores da coluna de X2, vamos utilizar a linha X2 (já dividida por 3), da maneira explicada a seguir.
Etapa 1: Para zerar o valor da linha de X3, vamos multiplicar a linha X2 por –1.
Etapa 2: Em seguida, somamos a linha X2 com a linha X3.
Veja como zerar o valor da linha de X4.
Etapa1: Multiplique a linha X2 por –2.
Etapa 2: Em seguida, some a linha X2 com a linha X4.
Para zerar o valor da linha de -Z, vamos multiplicar a linha X2 por +500 e somar à linha –Z.
Com base nas operações feitas até aqui, teremos este novo quadro do simplex. Observe.
Enquanto tivermos um valor negativo no quadro do simplex, teremos que construir um novo quadro.
*Base: O procedimento para saber qual a variável que sairá da base está na Regra 7. Dividindo 11 por 5/3, encontramos 6,6 e dividindo 1 por 1/3, encontramos 3. Portanto, a variável que sairá da base é X4, para dar lugar à variável X1.
*-400/3: Como o valor da coluna de X1 é negativo (- 400/3), a variável X1 deverá entrar na base no lugar de X3 ou X4.
Como X1 está na base, o encontro da linha X1 com a coluna X1 tem que ser igual a 1. Para tanto, teremos que multiplicar a linha X1 por 3. Os demais valores da coluna de X1 terão que ser iguais a zero. Para zerar os demais valores da coluna de X1, vamos utilizar a linha X1 (que já foi multiplicada por 3), da maneira descrita a seguir. Veja.
*X1: Para zerar o valor da linha de X3, vamos multiplicar a linha X1 por - 5/3 e somar à linha X3.
*X2: Para zerar o valor da linha de X2, vamos multiplicar a linha X1 por - 1/3 e somar à linha X2.
*-Z: Para zerar o valor da linha de -Z, vamos multiplicar a linha X1 por + 400/3 e somar à linha - Z.
Como o valor da coluna de X5 na linha de - Z é negativa (-1), a variável X5 vai entrar na base no lugar de X3, pois é a única variável de folga na base. Como X5 está na base, o encontro da linha X5 com a coluna X5, tem que ser igual a 1, para tanto, teremos que dividir a linha X5 por 3. Os demais valores da coluna de X5 terão que ser iguais a zero. Para zerar os demais valores da coluna de X5, vamos utilizar a linha X5 (que já foi dividida por 3), da maneira descrita a seguir. Veja.
*X1: Para zerar o valor da linha de X1, vamos multiplicar a linha X5 por 2 e somar a linha X1.
*X2: Para zerar o valor da linha de X2, vamos multiplicar a linha X5 por -1 e somar à linha X2.
*-Z: Para zerar o valor da linha de -Z, vamos somar a linha X5 à linha -Z.
Clique aqui para ver como fica o quadro Simplex.
Com base nas operações realizadas até aqui, temos o novo quadro do simplex.
A Regra 12 diz que a resposta do problema se encontra na coluna b. Portanto, temos que fazer a relação das variáveis da coluna BASE, com a coluna b.
Neste caso, a resposta do problema é:
X1 = 7, X2 = 2, X3 e X4 = 0 e X5 = 2. 
* X3 e X4 = 0: Toda a variável que não está na base é zero.
* X5 = 2: Isto significa que haverá uma sobra de 2 kg do recurso chumbo, conforme demonstrado na aula 04, em que a restrição era ≤ 15 kg e o resultado final foi igual a 13 kg de chumbo.
O lucro máximo será de R$ 3.100,00.
AULA 06 – SOLVER – EXCEL - LINDO
Vídeo da Aula 
https://www.youtube.com/watch?v=Mu-YQWwcewA
Softwares De Programação Linear
Além do Solver, existem outros softwares específicos para resolver problemas de Programação Linear. Dentre os existentes, o mais popular é o Lindo (Linear, Interative, Discrete, Optimizer), que pode ser utilizado para resolução de problemas de Programação Linear, Quadrática ou Inteira. O Lindo oferece uma solução superior ao Solver.
A versão educacional para ambiente Windows do programa pode ser obtida gratuitamente, via download, no seguinte endereço: www.lindo.com
Um outro software disponível é o Linear Programming – A 3D Model, que pode ser acessado no seguinte endereço:
http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/flash/linearprogramming/linearprogramming.html.
AULA 07 – TEORIA DA DUALIDADE
O PROBLEMA DUAL
O problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de Programação Linear chamado dual.
Problema de Programação Linear
Problema de Programação Linear Dual
As relações entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam ser úteis de diversas maneiras.
Problema dual - O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica para os valores de recursose para os coeficientes da função objetivo. Esta interpretabilidade serve para amenizar as dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de Programação Linear.
COMPARAÇÃO DA FORMA DOS PROBLEMAS PRIMAL E DUAL
A cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se o conceito de matriz transposta.
· As restrições do dual são do tipo ≥, ao passo que as do primal são do tipo ≤;
· O número de incógnitas do dual (m valores de yi) é igual ao número de restrições do primal;
· O número de restrições do dual é igual ao número de incógnitas do primal (n valores de xj);
· A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal;
· A função objetivo do dual é de minimização, ao passo que a do primal é de maximização;
· As termos constantes das restrições do dual são os coeficientes da função objetivo do primal;
· Os coeficientes da função objetivo do dual são os termos constantes das restrições do primal.
EXEMPLO DA SOLUÇÃO GRÁFICA DO PRIMAL E DUAL
Modelo matemático primal
Para facilitar o entendimento, vamos utilizar um exemplo de modelo matemático primal com duas variáveis (X1 e X2), com apenas duas inequações.
Primal
X1 + 2X2 ≤ 3 (3; 1,5)
X1 + X2 ≤ 2 (2; 2)
ZMáx. = 5 X1 + 7 X2
Dual
Y1 + Y2 ≥ 5 (5; 5)
2Y1 + Y2 ≥ 7 (3,5; 7)
ZMin = 3Y1 + 2Y2
MÉTODO DUAL-SIMPLEX
O método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém “melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o problema exatamente como se o método simplex estivesse sendo simultaneamente aplicado ao seu problema dual.
O método Dual-Simplex é bastante empregado em análise de sensibilidade, quando são feitas pequenas modificações no modelo. Além disso, algumas vezes é mais fácil começar com uma solução básica incompatível, porém “melhor que a ótima”, e procurar a compatibilidade, do que obter uma solução compatível básica inicial e depois otimizá-la, como se faz no método simplex.
Para facilitar o entendimento do método, vamos utilizar um exemplo.
X1 + 2X2 ≤ 3
X1 + X2 ≤ 2
ZMáx o lucro. = 5 X1 + 7 X2
Colocando as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático primal e multiplicando a função objetivo por (-1) temos:
X1 + 2X2 + X3 = 3
X1 + X2 + X4 = 2
-ZMáx o lucro = -5X1 – 7X2
O próximo passo é colocar as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático dual e multiplicar a função objetivo por (-1). Veja o resultado dessa operação.
Y1 + Y2 - Y3 = 5
2Y1 + Y2 - Y4 = 7
-ZMin o custo = -3Y1 – 2X2
Agora é possível identificar a solução do dual.
Solução dual
Para identificarmos a solução do dual, basta colocar no último quadro do simplex primal, onde temos as variáveis originais do modelo primal, as variáveis de folga do dual e onde ficam as variáveis de folga do primal, as variáveis originais do dual. Observe.
Veja como é feita a identificação da solução no quadro do simplex.
Primal: é a relação das variáveis da linha da base com os valores da coluna b, sendo, portanto, X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0 e X4 = 0, e o valor máximo de lucro igual a 12.
Dual: é a relação das variáveis que estão na primeira linha com os valores que estão na linha –Z, sendo, portanto, Y1 = 2, Y2 = 3, Y3 = 0 e Y4 = 0, e o valor mínimo de custo igual a 12.
Em resumo, quando trocamos a visão de maximização do lucro (diferença entre receita e custo) na fase primal, pela minimização de custos na fase dual, estamos considerando o benefício da produção.
Criando a dual a partir da primal: https://www.youtube.com/watch?v=z6-kdJoSwpg
Criando a tabela (definindo os valores da dual, a partis da primal): https://www.youtube.com/watch?v=WOvI71CypJ4
1. Resultado da função objetivo: o mesmo da primal (com resultado invertido ou o mesmo?)
2. Variáveis básicas: as que apresentam resultado na COLUNA Z (valor da variável, diferente de zeros) – função objetivo. Serão os valores na função dual, observando o item 4.
3. Variáveis não básicas: o inverso da anterior (zeros) ou não aparecem na solução
4. x -> yF e xF -> y
AULA 08 – TEORIA DOS JOGOS
Entre os anos de 1928 a 1942, John Von Newmann publicou em revistas especializadas em matemática a Teoria dos Jogos Estratégicos.
Em 1944, Von Newmann e Oskar Morgenstern publicaram o livro Theory of Games and Economic Behavior (Teoria dos Jogos e Desenvolvimento Econômico), que marca o início da Teoria dos Jogos que também teve a contribuição de outros pesquisadores.
Em 1994, os pesquisadores John Nash, o alemão Reinhard Selten e o húngaro naturalizado americano John Harsanyi, foram agraciados com o Nobel de Economia, em reconhecimento aos seus trabalhos no campo da Teoria dos Jogos não cooperativos que é uma das ferramentas mais utilizadas na economia.
UM JOGO
Um jogo pode ser definido como uma representação formal que permite a análise das situações em que agentes (jogadores) interagem entre si, agindo de forma racional. Vamos descrever cada um dos seus elementos.
Um jogo é um modelo formal
A Teoria dos Jogos envolve técnicas de descrição e análise, que exigem regras preestabelecidas para apresentar e estudar um jogo.
Interações
As ações de cada agente devem ser consideradas individualmente, pois afetam os demais. Existe, porém, alguns autores, que consideram que as ações de um agente não chegam a afetar os demais.
Agentes (jogadores)
É considerado qualquer indivíduo ou um grupo de indivíduos com capacidade de decisão para afetar os demais. Agentes (jogadores) tanto podem ser indivíduos como empresas, governos, sindicatos ou partidos políticos.
Racionalidade
Considerar que os agentes (jogadores) são racionais significa supor que os indivíduos empregam os meios mais adequados aos objetivos que almejam alcançar.
Comportamento Estratégico
Entende-se que cada jogador, ao tomar a sua decisão, leva em consideração o fato de que os jogadores interagem entre si, pois sua decisão terá consequências sobre os demais jogadores, e que também as decisões dos outros jogadores terão consequências sobre ele.
Um jogo envolve a interdependência mútua das ações de seus jogadores, e isso leva naturalmente os jogadores a considerarem, em suas decisões, os efeitos sobre os demais jogadores, bem como as reações destes.
No contexto empresarial, a Teoria dos Jogos provê um conjunto de ferramentas para a análise de problemas de decisão que uma empresa enfrenta quando o seu destino depende tanto de sua estratégia quanto da estratégia de seus concorrentes.
Existem jogos que não envolvem decisões estratégicas, como, por exemplo, as loterias de prognósticos, que são jogos de pura sorte, ou jogos que envolvem habilidades, como natação nas Olimpíadas. Jogos de habilidade e pura sorte, que não envolvem decisões estratégicas, não serão considerados neste curso.
AULA 09 – MODELO DE JOGOS
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
Para apresentar um jogo simultâneo, a forma mais adequada é por meio da forma estratégica ou normal.
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SEQUENCIAL
Jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre eventuais desdobramentos futuros das escolhas dos jogadores.
Porém, muitas vezes, o processo de interação estratégica se desenvolve em etapas sucessivas.
Estratégia em jogo sequencial - Muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre as decisões são tomadas ignorando as decisões dos demais jogadores.
A forma de representar e analisar um jogo sequencial é diferente dos jogos simultâneos. A melhor forma de apresentar a noção de jogos sequenciais é utilizar a forma estendida (árvore de decisão).
Para melhor representar esse tipo de jogo, vamos utilizar o exemplo da 3M quanto ao lançamento das esponjas de lã de aço.
3m LANÇA ou não uma palha de aço e a Bombril reage. No exemplo utilizado, verificou-se que um jogo sequencial é aquele em que os jogadores realizam seus movimentos em uma ordem predeterminada.
Árvore de Decisão - A elaboração de uma árvore de decisão deve obedeceràs seguintes regras:
· Todo nó deve ser representado por, no máximo, um outro nó apenas;
· Nenhuma trajetória pode ligar um nó a ele mesmo;
· Todo nó na árvore de decisão deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial.
ESTRATÉGIAS E CONJUNTOS DE INFORMAÇÃO
Como se caracteriza a racionalidade dos jogadores?
Sendo racionais, os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem considerando apenas a etapa em que se encontram, mas também todo o desenvolvimento do processo de interação até ali e suas consequências futuras.
Qual a exigência em relação à estratégia de cada jogador?
Como os jogadores podem, ou devem, interagir estrategicamente é exigida uma análise das estratégias de cada jogador. O conjunto de estratégias de cada jogador é chamado de conjunto de estratégias ou espaço de estratégias.
Em jogos sequenciais os jogadores são capazes de, em algum momento, fazer suas escolhas conhecendo as ações dos demais em etapas anteriores.
No exemplo da 3M, com relação ao lançamento de esponjas de lã de aço, a Bombril decide o que fazer após a 3M ter decidido se lança ou não a sua esponja de lã de aço.
MODELAGEM DE JOGOS
A diferença existente no espaço de estratégias da Bombril, quando comparado ao espaço de estratégias dos jogadores na forma estratégica, pode ser vista como um resultado da diferença nas informações da Bombril.
A diferença nas informações da Bombril é decorrente do fato de que, enquanto os jogadores em jogos simultâneos decidem sem saber qual foi a decisão dos demais jogadores, no jogo sequencial a Bombril decide o que fazer em relação ao preço de sua esponja de lã de aço sabendo o que a 3M decidiu.
Conclui-se, portanto, que ao se modelar um jogo, a opção entre um jogo simultâneo ou um jogo sequencial deve estar baseada nas informações de que os jogadores dispõem sobre as decisões dos demais.
AULA 10 - JOGO SIMULTÂNEO: O EQUILÍBRIO DE NASH
O conceito de equilíbrio de Nash diz que a combinação de estratégias constitui um equilíbrio quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores, e isso é verdade para todos os jogadores.
Portanto, deve-se levar em consideração que os jogadores tomam suas decisões em situações de interação estratégica, isto é, como se deve jogar um jogo. Precisamos determinar quais serão os resultados mais prováveis do jogo caso os jogadores ajam racionalmente.
Na análise de um jogo, deve-se levar em consideração a hipótese de que os jogadores escolhem a estratégia que produz os melhores resultados, dados os seus objetivos.
Para entendermos o conceito de equilíbrio de Nash, vamos utilizar o exemplo de interação estratégica do livro do Ronaldo Fiani (2006). A empresa Entrante, tem que decidir se entra no mercado brasileiro de produtos siderúrgicos, no qual a empresa nacional Dominante, já domina uma parcela significativa do comércio desses produtos. Mesmo que não haja equilíbrio em estratégias estritamente dominantes, pode haver um equilíbrio de Nash no jogo.
O EQUILÍBRIO DE NASH - DILEMA DOS PRISIONEIROS
· Dois suspeitos são presos e acusados de um roubo.
· A polícia acredita que ambos estão envolvidos, mas não dispõe de provas suficientes para condená-los a menos que um dos sujeitos opte por confessar sua parcela de culpa.
· A polícia coloca os suspeitos em celas separadas.
· E faz a seguinte proposta: se ele confessar o roubo e seu parceiro não confessar, ele será liberado em razão da cooperação com a polícia, enquanto o seu parceiro que não confessou, irá amargar 4 anos de prisão.
· Porém, se ele não confessar, mas seu parceiro o fizer, ele irá amargar 4 anos de prisão, enquanto o seu parceiro será liberado.
· Caso ambos confessem, a cooperação individual de um deles perde o valor como denúncia do comparsa e ambos enfrentam uma pena de 2 anos de prisão.
Aplicando o conceito de equilíbrio de Nash para determinar o resultado mais provável do jogo do Dilema dos Prisioneiros, podemos ver que a melhor resposta que qualquer um dos suspeitos pode adotar para a estratégia {não confessa} do outro é {confessa}. Por outro lado, a melhor resposta à estratégia {confessa} é, também, {confessa}, que produz 2 anos de cadeia, contra 4 anos no caso de {não confessa}.
Se os suspeitos agirem racionalmente, confessarão o roubo, pois se um deles escolhesse {não confessa}, seria prejudicado pelo outro, que anularia sua pena confessando.
É bom lembrar que o resultado obtido no Dilema dos Prisioneiros é derivado da condição de que os suspeitos não podem se comunicar.
Um jogo é dito não cooperativo quando os jogadores não podem estabelecer compromissos. Se os jogadores puderam estabelecer compromissos, e esses compromissos possuem garantias efetivas, diz-se que o jogo é cooperativo.
VERIFICAÇÃO DE CONHECIMENTOS
VERIFICAÇÃO DO CONHECIMENTO I
ERREI
1. A origem da Pesquisa Operacional remete à Segunda Guerra Mundial (1939 a 1945), quando os comandos militares norte-americanos e britânicos na Segunda Guerra convocaram diversos cientistas. É somente correto afirmar que a ideia era que estes cientistas
(I) estudassem e orientassem a alocação dos recursos para as operações militares de quaisquer formas possíveis.
(II) analisassem os problemas e propor soluções, com uma abordagem científica.
(III) realizassem pesquisas sobre as operações, sobre as atividades militares, objetivando determinar uma maneira mais eficaz e eficiente de utilização dos limitados recursos militares.
	
CERTO
(II) e (III)
2. A modelagem matemática é uma metodologia fundamental para a pesquisa operacional, mimetizando cenários hipotéticos e possíveis soluções, assistindo na resolução de problemas autênticos. Todas as afirmações a seguir são verdadeiras, exceto:
Os modelos matemáticos de resolução de problemas são representações simplificadas da realidade e divide-se, usualmente em cinco etapas.
Certo		
O uso de modelos matemáticos implica na descrição da essência de um determinado problema, porém não permite identificar as relações entre as variáveis estudadas.
3. A Management Science, uma subárea da Pesquisa Operacional faz uso de ferramentas de Informática, Estatística, Economia e Matemática no auxílio à tomada de decisões. Com relação a Management Science, é relevante observar três objetivos que são inter-relacionados: Converter dados em informações significativas; Apoiar o Processo de Tomada de decisão de formas transferíveis e independentes e Criar sistemas computacionais úteis para os usuários que são não-técnicos
Com relação a estes objetivos é somente correto afirmar
(I) A conversão de dados em informações significativas não está relacionada com a transformação de números em fatos.
(II) O apoio ao Processo de Tomada de decisão de formas transferíveis e independentes está relacionado ao suporte às decisões, de modo a assegurar que o processo de decisão seja claro e transparente.
(III) A criação de sistemas computacionais úteis para os usuários que são não-técnicos possui o intuito de facilitar os processos, fazendo uso de sistema de utilização fácil.
Certo		
(II) e (III) 
4. A origem do estudo da Pesquisa operacional ocorreu no período da(o):
Certo		segunda guerra mundial devido ao grande domínio de certos países sobre o mundo na época
5. A maximização de lucro e/ou a minimização de custos em Pesquisa Operacional está intimamente ligada a(o):
Certo		Programação Linear
7. A ciência que se preocupa em fornecer um conjunto de modelos e técnicas para apoiar a tomada de decisão, com larga aplicação em administração de empresas é chamado(a) de:
Certo	Pesquisa Operacional
 8. O processo de modelagem está presente em diversos campos do conhecimento, de modo que possa colaborar para uma tomada de decisão. Os setores da Economia e de Gestão, beneficiam-se do desenvolvimento desses modelos, favorecendo a criação de competências lógicas e quantitativas.
Avalie as asserções a seguir:
A pesquisa operacional envolve uma série de técnicas com embasamento lógico-científico para tratar questões de gestão que auxiliam no processo de tomada de decisão;Management Science é um campo de estudo que objetiva proporcionar recomendações, análise e suporte aos tomadores de decisão.
A pesquisa operacional, utilizada largamente no âmbito da Management Science, é restrita aos campos da gestão e economia.
Estão corretas apenas, as asserções:
Certo		
I e II
VERIFICAÇÃO DO CONHECIMENTO II
ERREI
1. A modelagem é requisitada e requer o auxílio da matemática, ou seja, os modelos matemáticos foram pouco a pouco surgindo através das tentativas do homem em representar fatos e fenômenos da realidade, utilizando símbolos e relações matemáticas que pudessem ser compartilhadas. Neste sentido, a modelagem vai se estruturar como forma de tratar o conhecimento, em cinco etapas ou fases importantes, no caso específico da etapa onde ¿é a etapa em que se define a rejeição ou aceitação do modelo¿. Podemos então definir a etapa mencionada no texto como: 
Modificação. 
2. Os Métodos Quantitativos se apoiam em quatro ciências fundamentais: Matemática, Estatística, Economia e Informática, e são especialmente úteis quando:
I - O problema é complexo e não se consegue chegar a uma solução adequada sem emprego de análise quantitativa;
II - O problema é importante, porém não envolve questões de segurança;
III - O problema é repetitivo e a decisão pode ser tomada de forma automática, economizando tempo e recursos.
O texto nos permite concluir que a(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
Certo		a I e a III
ERREI
3. As etapas de modelagem aplicadas na Pesquisa Operacional (PO) compreendem a seguinte ordem:
Certo	Formulação do Problema, Coleta de dados, Modelagem Matemática, Estratégias para determinar soluções para o modelo proposto, validação do modelo e implementação.
4. Quando os gerentes se vêem diante de uma situação na qual uma decisão deve ser tomada entre uma série de alternativas conflitantes e concorrentes, têm-se a(s) seguinte(s) opção(ões):
I - usar apenas a intuição gerencial;
II - realizar um processo de modelagem da situação e exaustivas simulações das mais diversos cenários de maneira a estudar mais profundamente o problema;
III - delegar ao nível operacional a tomada de decisão.
O texto nos permite concluir que a(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
Certo		somente a II
5. Considere a definição:
" São as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. São valores fixos no problema"
No modelamento matemático essa definição pertence a que parâmetro?
Certo		variáveis de decisão e parâmetros
6. Podemos dizer que, na maioria das vezes, o processo de tomada de decisão é complexo e resultado de pequenas decisões em sistemas que são inter-relacionados cujos sujeitos possuem diversidade de interesses e objetivos. De acordo com Lachtermacher, com relação aos fatores que afetam a tomada de decisão é SOMENTE CORRETO afirmar que
(I) Com relação ao tempo disponível para a tomada de decisão, deve-se sempre fazê-lo instantaneamente.
(II) Com relação a importância da decisão, normalmente, a importância está associada ao custo ou ao prejuízo que a decisão pode ocasionar.
(III) Com relação ao ambiente, o local onde a decisão é tomada a afeta.
Certo		II E III
7. O objetivo principal da pesquisa operacional é buscar soluções para problemas reais, auxiliando as empresas e organizações na tomada de decisões assertivas. Na prática, é possível resumir as principais fases da implementação da Pesquisa Operacional. Com relação a estas fases, é somente correto afirmar
(I) Na fase de definição do problema estruturamos o modelo de forma lógica e amparados no ferramental matemático.
(II) Na fase modelo matemático, um modelo científico, um modelo tipicamente matemático, deve ser construído, o problema deve ser traduzido para linguagem matemática
(III) A fase de verificação da solução diz respeito a verificar se o modelo possui resultados coerentes, aceitáveis, se faz sentido a solução.
	
Certo	(II) e (III)
Explicação:
A fase de definição do Problema envolve a cuidadosa observação do problema e a definição do escopo da investigação. A equipe de Pesquisa Operacional deve buscar entender ao máximo esse problema para, em conjunto com o cliente, especificar o que vai ser modelado. Nesta fase e na próxima será necessário identificar três elementos primordiais a resolução do problema as variáveis, o objetivo e as limitações. Trataremos destes três elementos mais a frente. É preciso definir o objetivo que se almeja, identificar possíveis restrições a situação envolvida e esboçar caminhos que sejam viáveis serem seguidos.
Nesta fase, ainda buscamos coletar informações para compreendermos o problema.
8. A subárea da Pesquisa Operacional - Management Science (MS) ¿ trata da modelagem matemática aplicada à área de negócios, ocupando-se com o desenvolvimento e aplicação de modelos e conceitos que ajudam a analisar e resolver problemas e questões de gestão. A área de Management Science possui três objetivos que são inter-relacionados, a saber: converter dados em informações significativas, apoiar o processo de tomada de decisões de formas transferíveis e independentes e criar sistemas computacionais úteis para os usuários não-técnicos. Com relação a estes três objetivos, é SOMENTE CORRETO afirmar que
(I) A conversão de dados em informações significativas diz respeito a transformar dados brutos - números e fatos- em dados, a serem armazenados de forma organizada. A partir daí estes dados são transformados em Informações Gerenciais que podem ser utilizadas no processo de tomada de decisão
(II) O apoio ao Processo de Tomada de decisão de formas transferíveis e independentes diz respeito ao suporte às decisões para que estas decisões sejam independentes do elemento decisor, procurando assegurar que o processo de decisão seja claro e transparente.
(III) A criação de sistemas computacionais úteis para os usuários que não são não-técnicos procura facilitar os processos de tomada de decisão operacional, gerencial e estratégico, através de sistemas de fácil utilização.
Certo		I, II E III
VERIFICAÇÃO DO CONHECIMENTO III
1. Uma fábrica produz dois produtos P1 e P2. O produto P1 utiliza 5 unidades da matéria prima A e uma unidade da matéria prima B. O Produto P2 utiliza 3 unidades de matéria prima A e 2 unidades de matéria prima B. A disponibilidade no estoque é de 50 unidades da matéria prima A e 60 unidades da matéria prima B. O tempo de fabricação de P1 é 10 minutos e P2 é 15 minutos, sendo a jornada de trabalho por dia de 9 horas. O preço de P1 é de R$ 10,00 e P2 é de R$ 15,00. O objetivo é maximizar a receita por dia de produção de P1 e P2, sabendo-se que x1 = quantidade de P1 por dia e x2 = quantidade de P2 por dia. A equação 5x1 + 3x2 ≤ 50 representa:
Certo		A restrição de matéria prima A.
2. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote de bolo de chocolate é vendido com um lucro de 3 u.m e os lotes de bolo de creme com um lucro de 1 u.m . Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menos que 20. O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. Formule apenas o modelo do problema.
ERREI
Max Z = x1 + 3x2
Sujeito a: 
x1 ≤ 40
x2 ≤ 60
x2 ≥ 10
x1 + x2 ≥ 20
x1 , x2 ≥ 0
3. Uma fábrica produz dois produtos P1 e P2. O produto P1 utiliza 5 unidades da matéria prima A e uma unidade da matéria prima B. O Produto P2 utiliza 3 unidades de matéria prima A e 2 unidades de matéria prima B. A disponibilidade no estoque é de 50 unidades da matéria prima A e 60 unidades da matéria prima B. O tempo de fabricação de P1 é 10 minutos e P2 é 15 minutos, sendo a jornada de trabalho por dia de 9 horas. O preço de P1 é de R$ 10,00 e P2 é de R$ 15,00. O objetivo é maximizar a receita por dia de produção de P1 e P2, sabendo-se que x1 = quantidade de P1 por dia e x2 = quantidade de P2 por dia. A equação da restrição de jornada de trabalho por dia é:
Certo		10x1 + 15x2 ≤ 540
4. A Programação linear ou PL é um método matemático quevisa encontrar a melhor solução para problemas que tenham modelos representados por expressões lineares. Sobre a PL, assinale a alternativa INCORRETA: 
O uso do método gráfico em problemas de PL, envolve encontrar um valor ótimo de uma função, chamada função objetivo, apenas nos casos de maximização de lucro, oferecendo um conjunto de restrições lineares de natureza estrita e não estrita.
5. Uma indústria de móveis produz mesas e cadeiras. O processo de produção é similar e todos os produtos precisam de certo tempo de carpintaria, pintura e envernizamento. Cada mesa precisa de 4 horas de carpintaria e 2 horas de pintura/verniz. As cadeiras precisam de 3 horas de carpintaria e 1 hora de pintura/verniz. Durante o período analisado, há disponível 240 horas-homem de carpintaria e 100 horas-homem de pintura/verniz. Cada mesa lucra R$ 7 e cada cadeira R$ 5. Qual é o plano de produção (modelo) para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Diante do exposto, analise as afirmativas abaixo e assinale a que possui a função objetivo deste problema:
Certo		7x1 + 5x2
6. Na resolução de problemas de Programação Linear, na construção do modelo matemático primal, a função objetivo representa:
Certo		os valores a serem maximizados ou minimizados.
7. De acordo com a literatura existente em Programação Linear, o processo de otimização (maximização ou minimização) de uma quantidade é ___________________________________________________
Certo		objetivo da programação linear
8. O lucro de cada caixa de lasanha de carne(x1) e de frango(x2) é respectivamente de R$ 3,00 e R$ 6,00. A função objetivo é:
3X1 + 6X2
VERIFICAÇÃO DE CONHECIMENTO IV
1. Quero fazer colares(x1) e pulseiras(x2).Possuo exatamente 300 gramas de pérolas. Cada colar necessita de 20 gramas de pérolas e para fazer cada pulseira é necessário 10 gramas de pérolas . Utilizando o método gráfico qual o par ordenado referente a restrição das pérolas?
Errado		(1,5)
Certo 		(15,30)
15 x 20 = 300 ou 30 x 10 = 300
2. Quero fazer pacotes de biscoitos de chocolate(x1) e laranja(x2).Possuo exatamente 30 quilos de açúcar e 24 quilos de manteiga. Os pacotes de biscoitos de chocolate necessitam de 2 quilos de açúcar e 1 quilo de manteiga e para os pacotes de biscoitos de laranja necessitam de 1 quilo de açúcar e 2 quilos de manteiga. Utilizando o método gráfico quais pares ordenados que irão promover a situação ótima?
Certo		(15,30) e (24,12)
3. São requisitos necessários no método gráfico para resolução do problema e a tomada de decisão racional, EXCETO.
	variáveis de decisão
	Restrições
	parâmetros
	função objetivo
Certo		célula destino
4. Considerando o método gráfico onde umas das restrições do problema proposto foi: 15x1 +45x2 > 90 podemos afirmar que o par ordenado para a 
Certo		(6,2)
5. Considere o problema de programação linear
maximizar 3x1 - 2x2
sujeito a: 
x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 - 4x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
O par ordenado com os valores de x1e x2 respectivamente que representa a solução para o problema será
Certo (4,1)
6. Considerando o método gráfico onde umas das restrições do problema proposto foi: x1 +x2 > 6 podemos afirmar que o par ordenado para a marcação no gráfico referente a essa restrição é:
Certo		(6,6)
7. Considerando o método gráfico onde umas das restrições do problema proposto foi: 10x1 +20x2 > 80 podemos afirmar que o par ordenado para a marcação no gráfico referente a essa restrição para chegarmos a solução ótima é:
Certo		(8,4)
8. Vimos no método gráfico que através das inequações das restrições poderíamos formar pares ordenados para serem plotados em um gráfico (formando retas) e no cruzamento dessas retas teríamos a solução ótima do problema. Sabendo que uma dessas inequações foi:
2x1 + 10x2< 20
Podemos afirmar que o par ordenado que pertence a essa inequação é:
9. Vimos no método gráfico que através das inequações das restrições poderíamos formar pares ordenados para serem plotados em um gráfico (formando retas) e no cruzamento dessas retas teríamos a solução ótima do problema. Sabendo que uma dessas inequações foi:
2x1 + 10x2< 20
Podemos afirmar que o par ordenado que pertence a essa inequação é:
Certo		(10; 2)
Errado		(2; 1) ZERAR UMA VARIÁVEL E CALCULAR
VERIFICAÇÃO DE CONHECIMENTO V
1. Considere o problema de programação linear de maximização em seu formato tableau em determinada iteração. Para determinar o aumento máximo possível em x1, realizamos um teste de razão. O teste de razão envolverá os coeficientes na coluna dinâmica e a última coluna, a coluna das constantes e selecionando a menor taxa como variável que deixa a base.
Certo		x6
Explicação:
Min {9/2 , 4 } = 4. Assim, o menor valor corresponde a x6, que sairá da base
2. O Algoritmo dos Simplexos usa os conceitos básicos da álgebra matricial para a obtenção da solução viável ou ótima e que satisfaz a todas as restrições, sendo, portanto, uma ferramenta eficiente e eficaz, bem como rápida na localização de pontos ótimos que melhoram fortemente a função que queremos otimizar e indica quando a solução ótima foi atingida. O uso de diversas regras, facilita o seu entendimento. O procedimento a ser utilizado na escolha da variável que vai entrar na base é:
divide-se os valores da coluna b, pelos valores da coluna valores da variável que entrará na base. Escolhe-se o menor valor da divisão.
Certo		escolhe-se na linha de Z, dentre as variáveis que tenham sinal negativo, a mais negativa de todas.
3. Em qual dos métodos relacionados a seguir envolve o conceito de matriz identidade?
Errado		teoria dos jogos
Certo		simplex
VER ... ???
4. Devemos utilizar variáveis de folga. Esse procedimento é típico de:
Certo		método simplex	
5. O número de restrições a serem introduzidas em um modelo de programação linear (método simplex) é:
Certo		ilimitado
6. empresa Alpha fabrica dois tipos de circuitos eletrônicos A1 e A2. O lucro por unidade de A1 é de R$ 10,00 e o lucro unitário de A2 é de R$ 15,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de A1 e 3 horas para fabricar uma unidade de A2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de A1 e A2 não devem ultrapassar 40 unidades de A1 e 30 unidades de A2 por mês. Qual a quantidade de cada modelo de circuito (A1 e A2) devem ser produzidos para a empresa maximizar o seu lucro? Para poder responder a esta pergunta o modelo construído tem três inequações e duas variáveis. A inequação que representa o tempo de fabricação disponível é:
Certo		2 X1 + 3 X2 ≤ 120
7. Sabe-se que a variável que entra no conjunto das variáveis básicas é aquela que possui o coeficiente mais negativo na linha da função objetivo. Nesse sentido, considerando o problema de maximização do quadro tableau abaixo, a variável que entrará na base será
Errado	 x2
Certo x7 O MAIS NEGATIVO
8. Os modelos matemáticos de resolução de problemas são representações simplificadas da realidade; a resolução desses problemas subdivide-se em cinco etapas, no caso específico da etapa que propõe ¿pôr a prova o modelo ¿. Podemos então definir a etapa mencionada no texto como: 
Errado	 Teste do Modelo.
Certo Implementação.
VERIFICAÇÃO DE CONHECIMENTO VI
1. O Solver faz parte de um pacote de programas algumas vezes chamado de ferramentas de teste de hipóteses. Com o Solver, é possível encontrar um valor ideal (máximo ou mínimo) para uma fórmula em uma célula - chamada célula de objetivo - conforme restrições, ou limites, sobre os valores de outras células de fórmula em uma planilha. O segundo quadro do SOLVER corresponde :
Errado		as restrições
Certo		as respostas das variáveis do problema
2. om a utilização de técnicas de Programação Linear e Pesquisa Operacional em grande escala surgiram sistemas que as implementam, sendo atualmente bem difundidos no mercado e na internet, no caso específico do PHPSimplex, podemos encontrar em qual endereço on-line abaixo está ferramenta:
Certo		http://www.phpsimplex.com/
3. Considere o texto a seguir:
"Faz partede um pacote de programas algumas vezes chamado de ferramentas de teste de hipóteses. Com ele, é possível encontrar um valor ideal (máximo ou mínimo) para uma fórmula em uma célula - chamada célula de objetivo - conforme restrições, ou limites, sobre os valores de outras células de fórmula em uma planilha.
O texto está se referindo:
Certo		ao SOLVER
4. O Solver faz parte de um conjunto de programas algumas vezes chamado de ferramentas de análise hipotética. Na resolução do Solver temos:
I - O primeiro quadro do Solver corresponde os valores da função objetivo, que pode ser de maximização ou de minimização.
II - O segundo quadro é destinado à resposta das variáveis do problema.
III - O terceiro quadro é destinado as inequações do problema.
O texto nos permite concluir que a(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
Certo		a I, a II e a III
5. O Solver permite localizar um valor ideal para uma fórmula em uma célula. Essa célula é denominada:
Certo		DESTINO
Errado		RESPOSTA
6. Com a utilização de técnicas de Programação Linear e Pesquisa Operacional em grande escala surgiram sistemas que as implementam, sendo atualmente bem difundidos no mercado e na internet, no caso específico do Simplex method tool, podemos encontrar em qual endereço on-line abaixo está ferramenta:
Certo		http://www.zweigmedia.com/RealWorld/simplex.html
7. Com a utilização de técnicas de Programação Linear e Pesquisa Operacional em grande escala surgiram sistemas que as implementam, sendo atualmente bem difundidos no mercado e na internet, no caso específico do SPLINT, podemos encontrar em qual endereço on-line abaixo está ferramenta:
Certo		http://www.cos.ufrj.br/splint/
8. Na resolução do Solver temos:
I - O primeiro quadro do Solver corresponde os valores da função objetivo, que pode ser de maximização ou de minimização.
II - O segundo quadro é destinado à resposta das variáveis do problema.
III - O terceiro quadro é destinado as inequações do problema.
O texto nos permite concluir que a(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
Certo		a I, a II e a III
VERIFICAÇÃO DE CONHECIMENTO VII
1. Escrevendo os problemas primal e dual, sob a forma matricial temos:
Com relação a estes problemas e suas matrizes de representação, é somente correto afirmar
(I) Cada variável yi do Problema Dual está relacionada a restrição i do problema Primal. 
(II) Cada variável de folga ¿ restrição do Dual - está relacionada com uma variável original do problema Primal. 
(III) A matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal.
Errado		(I) e (III) 
Certo		(I), (II) e (III) 
2. Considere o panorama primal sujeito a:
3X1 + 4X2 + 2X3 <= 10
2X1 + 6X2 + X3 <= 20
X1 - X2 - X3 <= 30
Formulando para o panorama dual Min W temos:
Certo		MinW=10y1+20y2+30y3.
3. Todo problema de programação linear (dito Problema Primal) possui correspondência com um problema, denominado o Problema Dual. Com relação a montagem do problema dual a partir do primal dado é somente correto afirmar:
(I)A função objetivo do dual é de minimização, enquanto que a do Primal é de maximização.
(II)Os termos constantes das restrições do dual são os coeficientes da função objetivo do Primal.
(III)Os coeficientes da função objetivo do dual são os termos constantes das restrições do Primal.
Certo		(I),(II) e (III)
Errado		(II) e (III) 
4. Considerando o seguinte panorama Primal:
3X1 + 4X2 + 2X3 <= 12
2X1 + 6X2 + X3 <= 15
X1 - X2 - X3 <= 20
Formulando para o panorama dual Min W temos:
Certo		MinW=12y1+15y2+20y3.
5. Se um dual apresentou wmin=45y1+12y2 podemos concluir que as restrições do primal foram:
Certo		x1+x2<=45
x1+x2<=12
6. Se um dual apresentou wmin=11y1+18y2 podemos concluir que as restrições do primal foram:
Certo		3x1+x2<=11
4x1+x2<=18
7. Se um dual apresentou wmin=100y1+42y2 podemos concluir que as restrições do primal foram:
Certo		2x1+x2<=100
x1+3x2<=42
8. e um dual apresentou:
wmin=5y1+6y2 podemos concluir que as restrições do primal foram:
Certo		2x1+x2<=5
x1+3x2<=6
VERIFICAÇÃO DE CONHECIMENTO VIII
De acordo com Michael Allinghan (ALLINGHAN, Michael. Choice Theory, 2002, Oxford University Press), cotidianamente, temos três tipos de escolhas: a escolha com certeza, a escolha com incerteza probabilística e a escolha com incerteza estratégica. 
Com relação a estes tipos de escolha é somente correto afirmar
(I) A escolha com certeza acontece quando os itens do menu de opções são finitos, com preferências e consequências bem definidas e racionais. 
(II) A escolha com incerteza probabilística diz respeito a existência de grau de probabilidade de ocorrer um evento. 
(III) A escolha com incerteza estratégica está relacionada ao resultado da sua decisão individual que depende da decisão individual de outra pessoa. 
Certo		(I), (II) e (III) 
2. Assinale a alternativa que contém uma afirmação correta a respeito dos jogos cooperativos. Jogos cooperativos são:
Certo		praticados com o objetivo de superar desafios e não para derrotar alguém.
3. O Jogo ocorre quando há situação de interdependência recíproca, onde as decisões tomadas influenciam-se reciprocamente. A teoria dos jogos: (I) Permite entender teoricamente o processo de decisão de agentes, que interagem entre si; (II) Ajuda a desenvolver a capacidade de racionar estrategicamente; (III)Permite explorar as possibilidades de interação dos agentes.
Certo		Estão corretas todas as assertivas.
4. Jogos são modelos que tratam de interações estratégicas e que as interações estratégicas são o resultado do reconhecimento por parte de cada um dos jogadores, de que suas ações afetam os demais e vice-versa.
Portanto, é possível afirmar:
I - Jogador é qualquer indivíduo ou organização envolvido em interação estratégicas.
II - Ter autonomia para tomar decisões não é um fator determinante.
III - Cada jogador não é obrigado a interagir com os demais jogadores.
Podemos afirmar que:
Certo		Somente a afirmação a I está correta
5. A teoria dos jogos pode ser considerada um instrumento poderoso de análise em áreas como a competição econômica, competição política, disputa por recursos biológicos, evolução genética, dentre outras. A Teoria dos Jogos possui alguns elementos-chave para analisar determinados comportamentos de diferentes jogadores. Com relação a estes elementos-chave é somente correto afirmar que
(I) Pay-offs são as possibilidades de ações dos agentes do jogo, que afetam os outros jogadores. 
(II) Os jogadores são os agentes que escolhem estratégias e realizam ações. 
(II) A estratégia de um jogador é a descrição das decisões que precisam ser tomadas.
Certo	I,II e III
6. Considere dois países, X e Y, que podem escolher adotar uma política de comércio livre ou alternativamente erigir barreiras ao comércio internacional impondo, por exemplo, tarifas aos bens importados. Os resultados da implementação de uma ou outra estratégia por parte dos países são representados na matriz abaixo (valores correspondem a receitas de exportação adicionais face ao ano transato):
De acordo com a tabela, é somente correto afirmar
(I) Caso o país X adote o comércio livre, ele ganhará mais que o país Y, se este país Y também escolher o comércio livre. 
(II) O país Y perderá mais se o país X escolher o protecionismo e o país Y escolher o comércio livre. 
(III) O país X e o país Y perderão de forma igual se ambos escolherem utilizar a estratégia do protecionismo.
Certo		(II)
7. Os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem considerando apenas a etapa em que se encontram, mais também todo o desenvolvimento do processo de interação até ali e suas consequências futuras.
Baseado no texto acima estamos descrevendo que comportamento de um jogador?
Certo		racional
8. Para Fiani (2006), sempre que um conjunto de indivíduos, empresas, partidos políticos, etc, estiver envolvido em uma situação de interdependência recíproca, em que as decisões tomadas se influenciam reciprocamente, pode-se dizer que eles se encontram em um jogo. Com relação a Teoria dos Jogos é possível afirmar:
I - Ela ajuda a entender