Aula ao Vivo do Superman

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Universidade Paulista
 ESTÁTICA NAS ESTRUTURAS 
Aula ao Vivo 02a 
(Momento de uma força –análise vetorial)
Curso Engenharia Mecânica
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MÓDULO:
MOMENTO: grandeza vetorial que quantifica o efeito de rotação provocada por uma força em torno de um eixo.
M = F d
DIREÇÃO:
SENTIDO:
A direção do momento é dado pelo eixo z, que é perpendicular ao plano definido por F e d. 
O sentido é dado pela regra da mão direita, conforme mostra a figura seguinte. O polegar aponta o sentido do vetor momento M ao longo do eixo dos momentos.
d é distância perpendicular à linha de ação da força
F
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MA = 4.cos45°(0,45) - 4.sen45°( 3 )
 =1,273-8,484=-7,211 kN.m
ATIVIDADE 1: resolução
HIBBELER, R.C. Estática: mecânica para engenharia, 12ª ed., cap.4. 
=45°
M = F d
M=(Fx.dy)+(Fy.dx)
4
4
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MO =- 4000.(0,05) + 800(0,4)
 = -200+320=120 N.m
Caso 1
Caso 2
M = F d
MO = 4000.(0,05 ) + 800( 0,4)
 =200+320=520 N.m
ATIVIDADE 2: resolução
HIBBELER, R.C. Estática: mecânica para engenharia, 12ª ed., cap.4. 
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ATIVIDADE 3: resolução
HIBBELER, R.C. Estática: mecânica para engenharia, 12ª ed., cap.4. 
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t
s
250
250
F
F
M=(Fs.dt)+(Ft.ds)
MF = (F).(0) +(F).(150)
 =0+129,904. F
MP = (125 ).(50)-(216,506).(100)
 =6250-21650,6=-15400,6 N.mm
118,6 N
Equilíbrio de momentos:
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q
x
y
z
PRODUTO ESCALAR => resulta um escalar
r escalar s em coordenadas cartesianas:
PROPRIEDADES:
Comutativa
Distributiva
0<q<180
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q
PRODUTO VETORIAL => resulta um vetor
MÓDULO:
DIREÇÃO:
A direção do vetor é perpendicular ao plano P definido pelos vetores , . 
SENTIDO:
O sentido é dado pela regra da mão direita. O polegar aponta o sentido do vetor quando os outros dedos estão curvados no sentido de rotação de para .
P
0<q<180
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x
y
z
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL:
r vetorial s em coordenadas cartesianas:
ordem precisa ser mantida
r vetorial s em forma de determinante 
(notação compacta):
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FORMULAÇÃO VETORIAL
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EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 1: 
HIBBELER, R.C. Mecânica: estática, vol. I, cap.4, exemplo 4-10. 
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EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 1: resolução
HIBBELER, R.C. Mecânica: estática, vol. I, cap.4, exemplo 4-10. 
F 
A 
Vetor posição de O para A
M = F d
M = r x F
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A(51,764 mm, 193,185 mm, 75 mm)
O(0,0,0)
Ponto final menos ponto inicial: A-O
Vetor posição de O para A
A 
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M = r x F
F 
F 
M
4272 N.mm
M 
4000,071
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COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR CARTESIANO
x
y
z
Fx
Fy
Fz
g
a
b
A direção do vetor é definida pelos ângulos diretores a,b,g,
medidos em relação aos eixos positivos x,y,z, e podem ser obtidos através dos seus cossenos diretores:
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M 
=>
=>
=>
a=95,2°
b=109,8°
g=20,6°
4272 N.mm=4,27 N.m
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ATIVIDADE 2: 
HIBBELER, R.C. Estática: mecânica para engenharia, 12ª ed., cap.4. 
Determine o momento produzido por cada força em relação ao ponto O localizado na broca da furadeira. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.
A(150,300,0)
B(0,600,-150)
FA 
FB 
rOA
rOB
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MFA = rOA x FA
M
M - N.mm
A(150,300,0)
FA 
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MFB = rOB x FB
M
M N;mm
FB 
B(0,600,-150)
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r
r
r
s
s
r
r
r
r
r
×
=
×
(
)
t
r
s
r
t
s
r
r
r
r
r
r
r
×
+
×
=
+
×
(
)
(
)
(
)
(
)
m
s
r
s
m
r
s
r
m
s
r
m
r
r
r
r
r
r
r
r
×
=
×
=
×
=
×
s
r
(
)
q
=
×
cos
s
r
s
r
r
r
i
r
j
r
k
r
1
i
i
=
×
r
r
0
j
i
=
×
r
r
z
z
y
y
x
x
s
r
s
r
s
r
s
r
+
+
=
×
r
r
(
)
q
=
´
sen
s
r
s
r
r
r
s
r
r
r
´
r
s
s
r
r
r
r
r
´
-
=
´
(
)
(
)
(
)
i
s
r
j
s
r
i
s
r
k
s
r
j
s
r
k
s
r
s
r
y
z
x
z
z
y
x
y
z
x
y
x
r
r
r
r
r
r
r
r
-
+
+
+
-
+
-
+
=
´
z
y
x
z
y
x
s
s
s
r
r
r
k
j
i
s
r
r
r
r
r
r
=
´
(
)
(
)
(
)
(
)
m
s
r
s
m
r
s
r
m
s
r
m
r
r
r
r
r
r
r
r
´
=
´
=
´
=
´
(
)
t
r
s
r
t
s
r
r
r
r
r
r
r
´
+
´
=
+
´
0
i
i
=
´
r
r
k
j
i
r
r
r
=
´
i
k
j
r
r
r
=
´
j
k
i
r
r
r
=
´
k
)
z
z
(
j
)
y
y
(
i
)
x
x
(
r
1
2
1
2
1
2
r
r
r
r
-
+
-
+
-
=
F
r
F
F
cos
x
=
a
F
F
cos
y
=
b
F
F
cos
z
=
g