Amplificadores Operacionais filtros manual_solucoes

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MANUAL DE SOLUÇÕES 
PARA PROFESSORES
2
SUMÁRIO
Introdução .....................................................................................................................................03
I – Algumas Sugestões .................................................................................................................04
• Parâmetros dos AOP’S
• Curto-Circuito Virtual
• Aplicações 
• Laboratório
• Componentes
• Livros
II – Relações Úteis da Análise de Circuitos ...................................................................................06
III – Resolução dos Problemas Analíticos .....................................................................................07
IV – Tabela de Códigos de Cores para Resistores e Capacitores: Alguns Tipos Comerciais .......31
3
INTRODUÇÃO
Neste manual fornecemos algumas sugestões úteis ao professor que utilizar nosso texto, bem como, apresentamos 
um pequeno (mas importante) formulário sobre circuitos elétricos.
Na terceira parte fornecemos a resolução dos problemas analíticos do apêndice B. Agradeço à minha ex-aluna Rita 
de Cássia por ter passado à limpo as soluções pois, às vezes, nem eu mesmo entendo a minha “ letra “...
Apresentamos, como auxílio, uma tabela de códigos de cores para resistores e capacitores, bem como, informações 
técnicas sobre alguns tipos disponíveis no mercado.
Esperamos que este manual seja útil aos caros colegas e aguardamos suas sugestões ou críticas que possam contri-
buir para a melhoria ou correções do mesmo.
 
Antonio Pertence Jr. 
O autor
4
I - ALGUMAS SUGESTÕES 
PARÂMETROS DOS AOP’S
Procuramos realizar um texto prático e objetivo e sob este ângulo o mesmo deverá ser encarado. Não nos detivemos 
em detalhes extremamente teóricos sobre os AOP’s, pois tais detalhes acabam confundindo os estudantes e ofuscam 
a extraordinária aplicabilidade destes integrados “milagrosos”. 
Entretanto, alguns parâmetros essenciais não poderiam, de forma alguma, ser omitidos, pois são relevantes em mui-
tos projetos. Assim sendo, aconselhamos aos caros colegas trabalharem o melhor possível os seguintes parâmetros: 
a) tensão OFFSET de entrada 
b) tensão OFFSET de saída 
c) corrente de polarização de entrada 
d) tensão diferencial de entrada 
e) corrente de curto-circuito de saída 
f) consumo de potência 
g) tempo de subida 
h) taxa de subida 
i) razão de rejeição de modo comum 
j) ganho (em malha aberta e em malha fechada) 
l) resistência de entrada 
m) resistência de saída 
É importante que o estudante compreenda o significado de cada um destes parâmetros e saiba localizá-los num DA-
TABOOK a fim de utilizá-los em projetos. 
CURTO-CIRCUITO VIRTUAL 
Um dos conceitos mais importantes da teoria dos AOP’s é o conceito de “terra-virtual”. Entretanto, este conceito é um 
caso particular de um conceito mais amplo denominado “curto-circuito virtual”. 
Para demonstrar claramente este conceito lançamos mão de um circuito genérico (Fig. 2-5) no qual aplicamos o 
modelo de um AOP real. Após uma simples aplicação das leis de Kirchhoff e impondo a condição do ganho em malha 
aberta tender a infinito, chegamos ao resultado:
 VB = VA
 Vd = VB - VA = 0
 
É importante que o professor ressalte que esta propriedade só existe quando tivermos um AOP realimentado negati-
vamente e Avo => 
O procedimento utilizado pelo autor é um procedimento “suigeneris” e tem dado ótimos resultados com os alunos, 
pois elimina definitivamente a confusão que existe acerca dos conceitos de terra-virtual e curto-circuito virtual. 
APLICAÇÕES 
Ao longo do texto procuramos apresentar diversas aplicações reais dos circuitos com AOP’s (bioeletrônica, controle 
de processos, etc.), mas as aulas ficam sempre mais interessantes e motivantes se o professor conseguir ilustrá-Ias 
com circuitos práticos obtidos em revistas técnicas ou em manuais de máquinas e equipamentos industriais. 
LABORATÓRIO 
Apresentamos um conjunto de experiências que podem ser executadas com poucos equipamentos e material de 
consumo facilmente encontrado no mercado. 
Estas experiências foram todas testadas pelo autor em conjunto com alguns alunos (Lindomar, Rita 
e Carlos Alberto) aos quais o autor manifesta seu sincero reconhecimento. 
Procuramos explorar ao máximo as experiências e enfatizamos em algumas delas, diversos 
5
aspectos concernentes à análise de falhas. 
COMPONENTES 
Este é um aspecto crítico aqui no Brasil. Entretanto, seria muito útil se o professor conseguisse obter alguns AOP’s 
“especiais” para executar práticas e projetos diversos, bem como, comparar com as características do 741. 
Entre os AOP’s “especiais”, temos: LF 351, µA725, LH 0036, OP-07E, LM 675, LM 12, etc.
Outros CI’s interessantes são os seguintes: ICL 8048, ICL 8049, ICL 8013, etc. Estes CI’s têm funções especiais. 
LIVROS 
Para um estudo detalhado sobre as caracteristicas elétricas dos AOP’s, bem como, sobre as tecnologias de fabrica-
ção dos mesmos, podemos indicar os seguintes textos: 
a) Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, 2nd Edition, Gray and Meyer (Wiley - 1984). 
b) Microelectronics, 2nd Edition, Millman and Grabel (Mc Graw-Hill- 1987). 
Àqueles que desejarem se aprofundar na análise e projeto de filtros ativos indicamos os seguintes textos: 
a) Introduction To The Theory And Design of Active Filters, Huelsman and Allen (Mc Graw-Hill-1980). 
b) Active Filters For Communications And Instrumentation, Bowron and Stephenson (Mc Graw-Hill-1979). 
*c) A handbook of Active Filters, Johnson, Johnson and Moore - PHI, 1980. 
* Este texto é excelente para projetos.
6
II – RELAÇÕES ÚTEIS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS
TABELA
C = capacitância (F)
Vc = tensão (V) no capacitor
i = corrente (A)
q = carga (C)
t = tempo (s)
L = indutância (H)
T = período (s)
a)
b)
c) — Corrente em um capacitor
d) — Tensão em um capacitor
e) — Corrente em um indutor
f) — Tensão em um indutor
g) — Valor eficaz
h) — Valor médio
7
III – RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS ANALÍTICOS
B.1 Utilizaremos o princípio da superposição.
a) Va atuando
 Vb curto-circuitada
Neste caso, temos um amplificador inversor:
 
 Va curto-circuitada
 Vb atuando
Neste caso, temos um amplificador não-inversor:
 
Finalmente:
 
b) 
B.2 Utilizaremos o princípio da superposição. Na saída do AOP 1, temos:
 
Na saída do AOP 2, temos:
 
Finalmente, na saída do AOP 3, temos:
 
B.3 O problema poderia ser solucionado utilizando a regra do divisor de corrente, mas pelo método 
 nodal a solução é mais simples. Aplicando LCK na entrada inversora, temos:
 
logo: 
8
B.4 Suponhamos que o potencial no nó situado entre os resistores 2KΩ E 6KΩ seja V1. 
 Neste caso, teremos (aplicando LCK):
 
 
 A saída não irá saturar pois o AOP está alimentado com ± 15V.
B.5 
 
B.6 Seja V1 o potencial na entrada não-inversora do seguidor de tensão:
 
Esta tensão aparecerá na saída do seguidor de tensão e, portanto:
 
Evidentemente está implícito que o AOP foi devidamente alimentado (± Vcc ) para que não ocorra saturação na saída.
B.7 Demonstramos no texto que:
 
Sendo, temos (em módulo):
 
 
 Observações:
 • Lembramos que o sinal de saída é defasado de 180° em relação ao sinal de entrada
 • Avf é adimensional, pois é a razão de duas grandezas com a mesma dimensão (tensão).
(máximo)
(mínimo)
- circuito aberto
Eq. (4.3)
9
B.8 Demonstramos no texto que:
 
 
Sendo, temos (em módulo):
 
 
 
B.9 
 
 
Queremos calcular o ganho temos:
 
 
 
 
 
(em módulo)
Eq. (4-8)
10
B.10 Temos:
 , logo:
 
Substituindo este resultado na equação anterior, temos:
 
 
B.11 
 
 
a)
 LCK: 
 (I)
 (II)
(I)-(II) => 
 
,
11
b)
 
B.12
Temos:
 
Da Eq. (I), temos:
 
Substituindo na EQ (II), obtemos:
 mas,
 
 ouV0 = 9,6 V
12
 
 
Para os valores dados, temos:
 
O professor pode utilizar um procedimento direto observando que o potencial no ponto b é amplificado pelo ganho do 
circuito não-inversor, ou seja:
 
Finalmente:
 
B.13 
a) Ch fechada => amplificador inversor
 
b) Ch aberta => Não existe corrente em R2, logo o potencial na entrada não-inversora é igual a Ei. Devido ao 
curto-circuito virtual, o potencial na entrada inversora também é igual a Ei logo não temos corrente no resistor de 
entrada R1. 
Portanto, não existe corrente na malha de realimentação e o potencial Ei se transferem à saída. Assim: 
 
13
 
 OBSERVAÇÃO:
 • Este circuito, denominado comutador de polaridade, é útil em aplicações de comando onde se deseja obter 
 sinais iguais em módulo mas de polaridades opostas (Por exemplo: comando eletrônico para reversão de motores).
B.14
a) Aplicando LCK nas entradas do AOP, temos:
 (Vx = potencial nas entradas do AOP)
 ( I )
 ( II )
 
Igualando ( I ), ( II ) e determinado V2, temos :
 
Colocando os valores, temos:
 ( III )
 
Identificando, membro a membro, a equação ( III ) com a equação desejada , temos:
 
b) Se Ra = 0 (curto ), V1 = 0 e V3 = 2 V , teremos um amplificador não-inverso e, neste caso, a saída V2 será determi-
nada pela equação ( III ):
 
 
B.15
Observando o circuito, temos:
 
 OBSERVAÇÃO:
 • Note que utilizando um somador e um amplificador inversor obtemos um amplificador 
 diferencial ou subtrator (esta solução, evidentemente, não é muito econômica... ).
14
B.16
O aluno deverá lembrar que no amplificador inversor a impedância de entrada é igual à resistência de entrada a qual, 
normalmente, é da ordem de Kilo-Ohms.
Para se conseguir alta ( altíssima ) impedância de entrada utiliza-se um amplificador não-inversor no qual se tem 
dezenas de Mega-Ohms para a impedância de entrada. Apresentaremos, a seguir, uma possível solução.
 
 
Temos: 
 
 
Os valores de R e R1, são opcionais mas é preferível que estejam na faixa de 1K a 100K .
B.17
Seja va , o potencial na entrada inversora do AOP, temos:
 
Ou seja, v0 = 2 va ( I ) 
Aplicando LCK na entrada não-inversora, obtemos:
 
 
Substituindo a Eq. ( I ) no resultado anterior, temos:
 
15
Expressando va, temos:
 
Pela Eq. ( I ), temos:
 
Este integrador pode ser denominado integrador não-inversor “duplo”.
B.18
Os capacitores bloqueiam a CC, logo, o circuito equivalente para CC será:
 ( R = R1 + R2 ) 
 
O qual é um “circuito seguidor de tensão”.
 
 Nota do autor:
 Seus alunos imaginavam que era tão simples?
 
Escrevendo as equações ( LCK ) para os nós 1 e 2 , temos:
 e1 = potencial no nó 1
 e2 = potencial no nó 2
16
Nó 1 => (I)
Nó 2 => 
Substituindo esta última equação na Eq. ( I ), temos ( após um longo algebrismo ):
 
Ou
Se R1= R2 = 1M , C1 = C2 = 1 F e W=10
3 rad/s, temos:
 
 
 
 
 OBSERVAÇÃO:
 • Este resultado era esperado. Pois o circuito possui duas redes de atraso, ou seja, -40 dB/ DÉC de atenuação 
 e como a freqüência angular dada está exatamente três décadas acima da freqüência de corte, 
 a atenuação naquela freqüência será -120 dB/ DÉC.
Cumpre observar que o circuito em questão é um filtro passa – baixa com freqüência de corte Wc = 1 ( 
rad/S).
Finalmente, é interessante observar que o resultado do problema 18 pode ser “comprovado” fazendo-se w=0 (sinal 
contínuo) na expressão de Avf (obtendo-se Avf = 1).
 
B.20
Seja um nó 1 na entrada inversora do AOP1 e um nó 2 na entrada inversora do AOP3. Teremos:
Nó 1
Nó 2
17
Finalmente : 
 Nota do autor:
 Simples para alguns.. Difícil para outros...
B.21
 
Em Vx, temos:
 
Em Vy, temos:
 , 
Substituindo Vx dado acima e resolvendo para Vy , temos: 
 
Porém: 
 
O qual, substituído na equação anterior nos dá:
 
B.22 
Por definição:
 mas, 
18
Na entrada inversa do AOP tem-se:
 
 
A condição de Zi infinito é R2 = R1
B.23
O potencial na entrada inversora é nula, logo, aplicando LCK no ponto C, temos:
 
Se desejamos desenvolver a indicação a indicação Ra//Rc, temos:
 
19
B.24
a) Na entrada inversora temos um terra virtual, logo Rc está em paralelo Rπ e a tensão sobre Rc será:
 
 (já demosntrado no problema 23)
Mas: , substituindo vc, temos: 
 
b) (amplificador inversor normal)
 Nota do autor:
 Valor demasiado elevado e, portanto, introduz muito ruído térmico no circuito.
c) Sendo R1 = 100 e fazendo RA = RB = 100 , temos:
 
 OBSERVAÇÕES:
 No item b, temos um altíssimo valor de Rf (quase impraticável e não aconselhável para uso em circuitos com 
 AOP’s). Notemos que Rf é 10
5 vezes maior do que R1. 
 No item c, temos resistores na faixa aconselhável ( 1K até 100K ). 
 Conclusão: O circuito dado permite realizar um amplificador inversor com ganhos altos utilizando resistores na faixa 
 comercial e compatíveis com circuitos com AOP’s.
B.25
Aplicando LCK nas entradas do AOP, temos:
Entrada não inversora
 Nota do autor:
 va é o potencial na entrada não inversora.
Entrada inversora
 Nota do autor:
 vb é o potencial na entrada inversora.
20
Desenvolvendo para va, temos:
 
 
Desenvolvendo para vb, temos:
 
Mas va = vb, logo:
 
 
Expressando v0, temos:
 ou
B.26 Observando o circuito, temos:
 
B.27
Através do SET-POINT, ajustamos a tensão de referência correspondente à velocidade desejada 
para o motor. Quando a velocidade superar o valor ajustado, o tacômetro irá gerar um sinal (tensão) 
superior ao sinal normal. Isso irá levar o comparador para a saturação negativa e acionará o 
amplificador de potencia de modo a reduzir a velocidade do motor até que se restabeleça a 
velocidade ajustada. Por outro lado, se o motor sofrer uma redução de velocidade, o tacômetro irá 
gerar um sinal inferior ao sinal normal, levando o comparador para a saturação positiva, de tal modo 
21
que o amplificador de potência irá acelerar o motor conduzindo-o à velocidade estabelecida. Evidentemente, o am-
plificador de potência não deve ser do tipo inversor (neste caso). O resistor R tem como finalidade reduzir a corrente 
proveniente do tacômetro, protegendo, assim, o AOP. A especificação 10V/1000rpm serve apenas para indicar que, 
em 1000rpm (rotação máxima), a tensão gerada é 10V. Esta forma de especificação (V/rpm) é utilizada por todos os 
fabricantes de tacômetros e existe diversas faixas disponíveis (6V/1000rpm, 10V/1000rpm, 25V/1000rpm, etc.)
B.28
Temos:
 
 (ver Figura 5-14)
Logo, desejamos calcular R1:
 
B.29
Temos:
 
O problema pode ser resolvido utilizando-se um potenciômetro duplo de 330K (comercial).
B.30
Temos:
 e 
Logo:
 
22
Para a frequência, temos:
 
B.31
Temos:
 
 
Logo, precisamos obter R3 (ver Figura 5-26).
 
B.32
Aplicando a fórmula de mudança de base , temos:
 
 
Finalmente:
 
23
Na temperatura ambiente (25°C), temos:
 
 
B.33
a) Para Vi = 420mV, teremos:
 
b) Para , temos:
 
c) Para , temos:
 
d) Para , temos:
 
B.34
Sendo precisaremos utilizar um subtrator de ganho unitário.
 
24
B.35
No gráfico (A), temos o sinal de entrada.
- Analisemos a saída em vi
 Quando vi > 0, temos 
 Quando vi < 0, temos v1 = 0
Ver gráfico (B).
- Analisemos a saída em v2
 Quando vi>0, temos v2 = 0
 Quando vi<0, temos
Ver gráfico (C).
- Analisemos a saída em v0
Temos v0 = v2 - v1
Assim, “rebatendo” a saída v1, obtemos a saída v0.
Ver gráfico (D).
 
25
B.36 Utilizaremos o Quadro-Projeto 3
 VCVS
 PB 2ª ordem
 Dados Butterworth
 K = 2
 fc = 1000Hz
Pela Tabela 8.1, obtém-se
a = 1,414214 e b = 1
Determinando C2, temos
 
Pela (Eq. 8-16), temos
 
Escolheremos
 Pela (Eq. 8-12), temos 
 
 Pela (Eq. 8-13), temos 
 
 Pela (Eq. 8-14), temos 
 
 Pela (Eq. 8-15), temos
Observação: 
Caso desejemos montar o filtro, devemos selecionar os valores comerciais mais próximos dos resultados acima. No 
momento,não nos preocuparemos com isso.
B.37 Utilizaremos o Quadro-Projeto 5
 MFB
 PA 2ª ordem
 Dados Chebyshev PR = 0,1 dB
 K = - 2
 fc = 5000Hz
 
Pela tabela 8-2, temos:
 a = 2,372356 e b = 3,314037
 
Sugestão: colocar dois capacitores de 1nF em paralelo.
Pela (Eq. 8-21), temos:
 
26
Utilizamos o módulo de K, pois para esta estrutura MFB ocorre um defasamento de 180° do sinal de saída em rela-
ção ao de entrada. Por isso, no texto, temos K negativo.
 Pela (Eq. 8-22), temos 
 Pela (Eq. 8-23), temos 
B.38
 VCVS
 PB 4ª ordem
 Dados Butterworth
 K = 16
 fc = 1000Hz
 (em cada estágio)
Utilizaremos dois estágios de segunda ordem tendo, cada um deles, um ganho dado pela (Eq. 8-29)
 m = 2 estágios
 
 
Utilizaremos o Quadro-Projeto 3
 1º estágio a = 0,765367
 b = 1
 
 2º estágio a = 1,847759
 b = 1
Pelos dados do projeto, temos (em ambos os estágios)
1º estágio
 Pela (Eq. 8-12), temos
 Pela (Eq. 8-13), temos
 Pela (Eq. 8-14), temos 
 Pela (Eq. 8-15), temos
2º estágio
 Pela (Eq. 8-12), temos
 Pela (Eq. 8-13), temos 
 Pela (Eq. 8-14), temos 
 Pela (Eq. 8-15), temos
Observação: 
Os dois estágios deverão ser associados em cascata para se obter o filtro desejado.
27
B.39
 MFB
 PF
 Dados K = 10
 f0 = 1000Hz
 BW = 125Hz
Evidentemente, subentende-se que desejamos um filtro PF de segunda ordem.
Utilizaremos o Quadro-Projeto 7.
Como não estabelecemos fc1 e fc2 , devemos calculá-los.
 Pela (Eq. 7-4), temos 
 
 Pela (Eq. 7-2), temos
No circuito da Figura 8-11, os dois capacitores são iguais e dados pela seguinte fórmula
 
 Pela (Eq. 8-32), temos
 Pela (Eq. 8-33), temos
 Pela (Eq. 8-34), temos
Podemos checar os resultados pela (Eq. 8-35)
 (felizmente...) 
B.40
Utilizaremos o Quadro-Projeto 8.
 VCVS
 RF
 Dados K = 1
 f0 = 500Hz => W0 = 3142 
rad/s
 Q0 = 5
28
Pela (Eq. 7-2), temos:
 
 
 NOTA DO AUTOR: 
 É interessante comprovar que BW = 100Hz.
Temos:
 
Pela (Eq. 8-36), temos:
 
Pela (Eq. 8-37), temos:
 
Pela (Eq. 8-38), temos:
 
B.41
Utilizaremos o Quadro-Projeto 9
 MFB
 Dados Deslocador de fase
 Ø = 60°
 f0 = 200Hz => W0 = 1257 
rad/s
29
Sendo 0<60°<180°, temos, pela (Eq. 8-43):
 
Façamos: 
 
Pela (Eq. 8-40), temos:
 
Pela (Eq. 8-41), temos:
 
Pela (Eq. 8-42), temos:
 
B.42
Para implementar este projeto, deveremos utilizar dois estágios, conforme a Figura 8-15. Evidentemente, estes 
circuitos serão idênticos e cada um deverá produzir um defasamento de 120° em 60Hz. Para manter as amplitudes 
iguais, deveremos utilizar, após cada estágio, um amplificador não inversor de ganho 2. O esquema (em blocos) dado 
a seguir, ilustra o que dissemos:
 
Teremos, portanto, as seguintes relações fatoriais:
 |V1| = |V2| = |V3| => Módulos iguais
30
Utilizaremos, neste projeto, o Quadro-Projeto 9:
 MFB
 Dados Deslocador de fase
 Ø0 = 120°
 f0 = 60Hz => W0 = 377 
rad/s
Pela (Eq. 8-43), temos:
 
a � 0 752,
Façamos: 
 
Pela (Eq. 8-40), temos:
 
Pela (Eq. 8-41), temos:
 
Pela (Eq. 8-42), temos:
 
OBSERVAÇÃO:
Finalmente, quanto aos dois amplificadores não inversores, deixamos o projeto a critério do professor e/ou dos alu-
nos. Entretanto, é uma boa sugestão utilizar resistores de 10K .
31
IV - TABELA DE CÓDIGOS DE CORES RESISTORES 
E CAPACITORES: ALGUNS TIPOS COMERCIAIS