Matermática para computação - Livro-Texto - Unidade III

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98
Unidade III
Unidade III
5 EQUAÇÕES LINEARES
5.1 Sistema de equações lineares
Vamos supor que tenhamos o seguinte problema a ser resolvido: 
Dois casais foram a um barzinho numa noite quente de verão e lá decidiram comer batata frita e 
tomar caipirinha. O primeiro casal tomou duas caipirinhas e uma porção de fritas, gastando R$ 50,00. O 
segundo comeu duas porções de batata e três caipirinhas, gastando R$ 80,00. Como procederíamos se 
quiséssemos descobrir, a partir dessas informações, somente o valor de cada caipirinha e de cada porção 
de fritas?
Para determinar esses valores, vamos assumir que x seja o valor de cada caipirinha, e y, o valor de 
cada porção de fritas; então, pode‑se dizer, por meio dessas variáveis, que:
Para o casal 1: 2x + y = 50
Para o casal 2: 3x + 2y = 80
Assim, devemos ter:
2x + y = 50 → y = 50 ‑ 2x (I)
3x + 2y = 80 (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
3x + 2(50 ‑ 2x) = 80
3x + 100 ‑ 4x = 80
‑x + 100 = 80 → x = 20
Sabendo o valor de x, podemos voltar à equação (I) e obter o valor de y:
y = 50 ‑ 2(20) = 10
Assim, cada caipirinha custa R$ 20,00 e cada porção, R$ 10,00. 
99
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Esse é um exemplo simples de como um sistema de equações do 1º grau pode ser usado para 
resolver problemas do cotidiano. Além disso, nas áreas tecnológicas, científicas e computacionais, vários 
problemas podem ser solucionados por esse sistema de equações lineares, no menor tempo possível. Por 
exemplo, para se dimensionar as estruturas triangulares dos tetos de shoppings e centros de exposições, 
usa‑se um sistema de equações lineares. Nos cálculos dos esforços, na estrutura de um avião, sempre 
aparecem sistemas de equações lineares gigantescos (10.000 x 10.000 ou mais), na geração de imagens 
digitais, na Robótica, na tomografia computadorizada, entre outros.
 Saiba mais
Em Robótica, o posicionamento das juntas de um robô é feito pela 
resolução de sistemas lineares. Essa resolução é feita o tempo todo, umas 
centenas de vezes. Para saber mais sobre robôs, há alguns filmes bem 
interessantes, como:
O HOMEM bicentenário. Direção: Chris Columbus. Estados Unidos: 
Columbia Pictures, 1999. VHS (130 min).
WALL‑E. Direção: Andrew Stanton. Estados Unidos: Walt Disney Pictures, 
2008. VHS (98 min).
Antes de iniciarmos os estudos desta unidade, que englobará os sistemas de equações e suas formas 
de resolução, vamos introduzir alguns conceitos básicos.
Equação linear 
Toda equação do 1º grau com uma ou mais incógnitas é chamada equação linear. São exemplos de 
equações lineares:
a) 2y ‑ 6x = 23
Nesse exemplo, temos que:
• os coeficientes de y e x são 2 e ‑6, respectivamente;
• as incógnitas são x e y;
• o termo independente é 23.
Outro exemplo envolvendo mais variáveis:
b) 2x ‑ 4y + 3z = 12
100
Unidade III
• os coeficientes de x, y e z são 2, ‑4 e 3, respectivamente;
• as incógnitas são x, y e z;
• o termo independente é 12.
Por definição, chamamos de equação linear nas variáveis x1, x2,..., xn toda equação do tipo:
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b 
Onde a1 ,a2 ... an são coeficientes reais e b é o termo independente.
 Lembrete
A função 
1
x
y+ não constitui uma equação linear, pois o expoente de 
x é ‑1. A função 6x2 + 2z também não é uma equação linear, mas sim uma 
equação do 2º grau. 
E as soluções dessas equações, como são determinadas?
A sequência, também chamada n‑upla ordenada, ou seja, (a1, a2, ... an), constituirá solução de uma 
equação linear a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = b se a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = b for uma sentença verdadeira, 
por exemplo:
Dada a equação linear x1 + 2x2 + x3 ‑ x4 = ‑1, podemos ver que a sequência formada por (1, 0, 3, 5) 
é uma sentença verdadeira, pois, se substituirmos esses valores na equação, por exemplo, 1 no lugar de 
x1, 2 no lugar de x2 e assim por diante, vamos ver que a equação é satisfeita, pois 1 + 2. 0 + 3 – 5 é uma 
sentença verdadeira. Por outro lado, a sequência (1, 3, 0, 1) não é solução, pois 1 + 2. 3 + 0 ‑1 = ‑1 é 
uma sentença falsa. 
 Observação
Se não existe uma sequência que satisfaça a equação, dizemos que o 
sistema é impossível.
Importante salientar que sempre uma sequência ou n‑upla obedece à ordem alfabética das variáveis, 
isto é, (x, y), (x, y, z), (a, b, c) etc. Assim, uma sequência (0, 1, 2) significa, por exemplo, x = 0, y = 1, z = 2, 
e, assim, deve ser substituída na equação linear, para saber se é essa que a satisfaz ou não.
101
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Quando a equação apresenta valor igual a zero, ou seja, o termo independente é igual a zero, dizemos 
que a equação é uma equação linear homogênea. Um exemplo:
2x + 3y = 0
Generalizando, toda equação linear homogênea apresenta como solução a sequência (0, 0, 0,... 0), 
também chamada de solução trivial.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares. Por definição, um sistema de 
m equações lineares (m ≥ 1) em n variáveis (n ≥1) (ou incógnitas) é um conjunto de equações da forma: 
a x a x a x a x b
a x a x a x a x
n n
n n
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2
   
   
�
� bb2
� � � �
a xm1 11 2 2 3 3 1   


















a x a x a x bm m n n n�
x1, x2, xn são as incógnitas
aij são os coeficientes
bi são os termos independentes
Na Unidade II, vimos como determinar a solução de uma equação do 1º grau. Para os sistemas lineares, vale 
o mesmo procedimento; porém, nesse caso, as raízes devem satisfazer todas as equações simultaneamente.
Assim, chama‑se solução do sistema toda n‑upla ordenada (x1, x2, ... xn) de números reais que satisfaz as 
equações do sistema linear, e chama‑se conjunto do sistema o conjunto constituído de todas as soluções.
Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível 
indeterminado, conforme seu conjunto seja vazio, unitário ou tenha, pelo menos, dois elementos.
Para obter as soluções de um sistema, consideraremos dois casos, que serão descritos aqui: Método 
da Substituição e Método da Adição ou do Cancelamento.
5.2 Método da Substituição
Nesse método, uma das incógnitas é isolada e substituída na outra equação do sistema, obtendo‑se 
uma nova equação com apenas uma incógnita. É sempre útil escolher a equação mais simples para 
isolar uma das variáveis:
102
Unidade III
Vamos considerar o sistema:
2 3 10
2 2
x y
x y
 
 



1º passo: 
Observar qual das equações apresenta uma incógnita mais fácil de ser isolada. Nesse exemplo, 
podemos isolar y na segunda equação (equação mais simples). Essa equação foi escolhida pelo fato de 
o coeficiente de y ser igual a ‑1.
Assim:
2x ‑ y = 2 → y = 2x ‑ 2 
 Lembrete
Poder‑se‑ia escolher qualquer uma das equações e variáveis, porém o 
cálculo ficaria mais complicado e demorado.
2º passo: 
Substituir y = 2x ‑ 2 na primeira equação.
2 3 10
2 3 2 2 10
2 6 6 10
8 6 10
8 16
2
x y
x x
x x
x
x
x
 
  
  
 


( )
3º passo: 
Substituir x = 2 na equação y = 2x ‑ 2.
y x
y
y
 
 

2 2
2 2 2
2
( )
103
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
4º passo: 
Escrever a solução do sistema: S = {2,2}.
5.3 Método da Adição ou do Cancelamento
Nesse método, as equações do sistema são adicionadas para se obter outra equação com uma única 
incógnita.
Consideremos o sistema:
2 3 6
4 8
x y
x y
 
 


 
1º passo: 
Devemos multiplicar a segunda linha por ‑2 para obter outra equação análoga, de maneira que a 
incógnita x tenha coeficiente ‑2; assim, podemos cancelar (adicionar) os termos que contêm x.
2 3 6
4 8
2
x y
x y
 
 



 ( )
2º passo: 
Somar as duas equações e isolar a incógnita y.
2 3 6
2 8 16
11 22
2
x y
x y
y
y
 
  





3º passo: 
Substituir o valor de y encontrado na primeira equação e obter a solução do sistema.
2 3 2 6
2 0
0
x
x
x
 


( )
104
Unidade III
4º passo: 
Escrever a solução do sistema: S = {0,2}.
 Lembrete
Na maioria dos casos, podemos obter as soluções de um sistema 
utilizando qualquerum dos sistemas existentes; contudo, é sempre bom 
escolher o método mais rápido e seguro.
Mais exemplos:
Vamos resolver o sistema:
x y
x y
 
 



5
1
Solução: 
A primeira coisa que devemos fazer é decidir que método de resolução usar. Podemos ver que é mais 
fácil utilizar o método da adição, visto que os coeficientes de y apresentam sinais opostos e podem se 
anular. Isso não significa que não poderíamos usar o método da substituição; poderíamos, sim, mas o 
trabalho seria um pouco maior; portanto, é preferível usar o da adição, nesse caso. Assim:
x y
x y
x
x
 
 





5
1
2 6
3
Substituindo na primeira equação, temos:
3 + y = 5 → y = 2
A solução do sistema é S = {3,2}.
No caso do sistema:
4 2
3 2 7
x y
x y
 
 


 
105
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Vamos usar aqui o método da substituição para resolver o problema:
4x ‑ y = 2 → y = 4x ‑ 2
Substituindo y na segunda equação, temos:
3 2 4 2 7
3 8 4 7
11 11
1
x x
x x
x
x
  
  


( )
Substituindo em y = 4x ‑ 2, temos y = 2.
A solução do sistema é: S = {1,2}.
Vamos resolver alguns exercícios para fixação:
1) Se 
x y z
y z
z
  
 





2 3 14
4 5 23
6 18
Então, qual o valor de x?
Solução:
A última equação fornece o valor de z, já que 6z = → 8 z = 3.
Portanto,
4y + 5(3) = 23 → 4y = 8 → y = 2
Só resta calcular x, assim:
x + 2y + 3z = 14 → x + 4 + 9 = 14 → x = 1
A solução do sistema é: S = {1,2,3}.
2) Classificar os sistemas seguintes como SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível 
e Indeterminado) e SI (Sistema Indeterminado).
a) 
x y
y
 




3
2
106
Unidade III
b) 
x y
x y
 
 



5
0 0 3
c) 
x y
x y
 
 



1
2 2 2
d) x y  2 4
Solução:
a) Se y = 2, podemos substituir esse valor na equação x + y = 3 → x + 2 = 3 → x = 1. A única solução 
do sistema é o par (1, 2); portanto, SPD.
b) A segunda equação não tem solução, portanto não existe solução comum às duas equações do 
sistema, o que indica que o sistema é SI.
c) O sistema possui mais de uma solução, portanto é SPI.
d) O mesmo caso do item c, portanto SPI.
3) Um clube promoveu um show de música ao qual compareceram 300 pessoas, entre sócios e 
não sócios. No total, foram arrecadados R$ 1.400,00, e todos pagaram. Os não sócios pagaram 
R$10,00 e os sócios pagaram R$ 2,00. Qual o número total de sócios presentes no evento?
Solução:
Sejam x e y os números de sócios e não sócios, respectivamente. Com isso, o número total de pessoas 
presentes no evento é:
x + y = 300
Se os não sócios pagaram R$10,00 e os sócios pagaram R$ 2,00 podemos dizer que 
2x + 10y = 1400
Portanto, temos de resolver o sistema:
x y
x y
x y
x y
 
 



 
 



300
2 10 1400
300
5 700
107
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Subtraindo uma equação da outra, temos:
4y = 400
y = 100
Se o número total de pessoas presentes no evento é 300 e 100 correspondem ao número de não 
sócios, temos 200 sócios.
4) Resolva, pelo método da adição, o sistema:
2 5
3 10 1
x y
x y
  
 



Solução:
Vamos multiplicar por ‑10 todos os membros da primeira equação, assim:
  
 



20 10 50
3 10 1
x y
x y 
Somando as duas equações, obtém‑se:
‑17x = 51 → x = ‑3
Substituindo x na segunda equação, tem‑se:
‑9 + 10y = 1 → y = 1
Assim, a solução do sistema é S = {‑3,1}.
5) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do 
número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então quantas balas 
de hortelã e laranja estão dentro do pacote?
Solução:
Chamando o número de balas de hortelã de x e o número de balas de laranja de y, temos que a 
quantidade total de balas dentro do pacote pode ser escrita como:
x + y = 48
108
Unidade III
A terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, 
então:
2
3 2
4
x y 
Temos, portanto, um sistema de equações com as incógnitas x e y.
2
3 2
4
48
x y
x y
 
 
Reescrevendo:
x y
x y
 
 
48
2
3 2
4
Para facilitar a resolução, vamos dividir a primeira equação por 2:
x y
x y
2 2
24
2
3 2
4
 
 
Somando a primeira equação com a segunda, temos:
x x
x x
x
x
2
2
3
28
3 4
6
28 6
6
7 28 6
24
 
 


.
.
Substituindo esse valor em qualquer uma das equações, obtemos o valor de y: 
y = 24
Existem, portanto, 24 balas de hortelã e 24 balas de laranja dentro do pacote.
109
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
6) Resolva o sistema linear:
3 5
2 3 4
x y
x y
 
  



Solução:
Multiplicando a primeira equação por 3, temos:
9 3 15
2 3 4
x y
x y
 
  



Somando a primeira com a segunda, temos:
11x = 11
x = 1
Para obter y, basta substituir na equação:
3x + y = 5
3 + y = 5
y = 2
A solução do sistema é, portanto, S = {1,2}.
6 MATRIZES E VETORES
Quando temos sistemas muito grandes, ou seja, com muitas variáveis e, portanto, muitas incógnitas, 
a resolução pelos métodos discutidos anteriormente torna‑se trabalhosa. Existe outro método 
envolvendo o que chamamos de matrizes que facilita a resolução. Neste tópico, introduziremos 
o conceito de matriz, sua importância, suas propriedades e aplicações na resolução de problemas 
envolvendo sistemas lineares.
Para introduzir o conceito de matriz, vamos pensar numa tabela de notas de três alunos, A, B e C, em 
três disciplinas distintas: Estatística, Física e Lógica. 
110
Unidade III
Tabela 8
Aluno Estatística Física Lógica
A 8,0 6,0 8,0
B 5,0 7,0 6,0
C 7,0 4,0 6,0
Se quisermos saber a nota de Lógica, por exemplo, do aluno C, bastará olhar a coluna e a linha 
correspondente a esse aluno e já descobriremos o valor da nota. As tabelas facilitam a visualização de 
um conjunto de dados. Esse mesmo conjunto de notas pode ser colocado na forma de linhas e colunas, 
porém entre colchetes ou parênteses, da seguinte maneira:
8 6 8
5 7 6
7 4 6










Cada um dos números colocados dessa forma é chamado de elemento. As colunas são classificadas 
da esquerda para a direita, e as linhas, de cima para baixo. Uma tabela desse tipo é chamada matriz.
Por matriz é entendida uma tabela disposta em linhas e colunas que denotamos por A = (aij)m×n, em 
que o par de índices j representa a posição de cada elemento aij dentro da matriz, i indica a linha a que 
pertence o elemento, e j, a coluna. O par de índices m x n representa o tamanho da matriz; m indica o 
número de linhas, e n, o número de colunas.
Genericamente, uma matriz é expressa por: 
A
a a
a a
n
m mn











11 1
1
�
� � �
�
As matrizes apresentam uma importância muito grande no campo das aplicações em Matemática, 
Física, Engenharia, Economia e Computação Gráfica. Na Economia, são ferramentas poderosas que 
fornecem informações que facilitam interpretação de gráficos, tabelas etc. Na Engenharia Civil, são 
importantes para a divisão dos metros e a distribuição de material na construção para formar uma 
estrutura sustentável. 
Na Informática, os exemplos mais importantes são os programas em que elas aparecem no auxílio 
de cálculos matemáticos, editores de imagem, e até o próprio teclado de um computador tem seu 
funcionamento descrito por matrizes, o mesmo ocorrendo com a tela formada por pixels gerados por 
uma matriz.
111
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
6.1 Propriedades das matrizes
1) Matriz Quadrada: uma matriz é chamada de matriz quadrada caso m = n, ou seja, quando o 
número de linhas é igual ao número de colunas. Essa matriz, de ordem n x n, é indicada por Anxn. 
Os elementos i = j da matriz formam o que chamamos de diagonal principal. Por exemplo, uma 
matriz A3x3:
A
a a a
a a a
a a a
3 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 










2) Matriz Nula: toda matriz 0mxn, onde todos os elementos são nulos:
A0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 










3) Matriz Linha: toda matriz A1xn, tal que A1×n = [a11 a12 a1n].
4) Matriz Coluna:toda matriz Amx1, tal que A
a
a
a
m
m
 












1
11
21
1

 
5) Matriz Diagonal: toda matriz quadrada Anxn, em que cada aij, tal que i = j, e os termos, tais que 
i ≠ j iguais a zero. Por exemplo, a matriz A3x3 diagonal: 
A
a
a
a
3 3
11
22
33
0 0
0 0
0 0
 










6) Matriz Identidade: toda matriz quadrada em que se, i ≠ j, o elemento adquire o valor zero, e, se 
i = j, o elemento assume i valor 1. Exemplo:
A3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 










112
Unidade III
7) Matriz Transposta: a matriz transposta de uma matriz A = (aij)m×n é dada por: A
t = (aji)n×m. Para 
obter a transposta, é só trocar a linhas pelas colunas. Se quando obtivermos a matriz transposta, 
resultar na mesma matriz original A, diremos que a matriz é simétrica, se todos os elementos 
forem iguais. Se obtivermos uma matriz igual a A, porém com sinais dos elementos opostos, 
diremos que é uma matriz antissimétrica, ou seja:
• simétrica se At = A;
• antissimétrica se At = ‑A.
6.2 Operações com matrizes
• Igualdade: se A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, duas matrizes de mesma ordem, dizemos que 
A = B ↔ aij = bij, ou seja, todos os elementos de A são iguais aos de B.
• Adição: sejam A = (aij)m×n e B = (bij)m×n matrizes de mesma ordem, a soma das matrizes é:
A + B = (aij + bij)m×n
Na adição, valem as propriedades: 
• Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A
• Elemento oposto: A + (‑A) = 0
• Comutativa: A + B = B + A
• Subtração: sejam A = (aij)m×n e B = (bij)m×n matrizes de mesma ordem, a subtração das matrizes é:
A ‑ B = (aij ‑ bij)m×n
 Observação
As propriedades da subtração serão as mesmas da adição, se pensarmos 
na subtração como uma soma, ou seja, 
A ‑ B = A + (‑B).
• Multiplicação de matrizes: na multiplicação de matrizes, vamos considerar duas matrizes: 
A = (aij)m×n e B = (ajk)p×q. O produto de duas matrizes A e B, indicado por A . B, existirá somente se 
n = p. Como consequência, a matriz produto terá ordem m x q e será escrita como C = (cik)m×q.
113
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A multiplicação de matrizes não pode ser feita, portanto, multiplicando termo a termo as matrizes. 
Assim, o produto da matriz A pela matriz B é uma matriz do tipo m x q, tal que cada elemento Cik satisfaz:
Cik = ai1b1k + ai2b2k + (...) + ainbnk 
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando‑se ordenadamente os elementos 
da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna k da matriz e, a seguir, somando‑se 
os pontos obtidos:
2 3
1 0
4 5
3 1
2 4
2 3 3 2 2 1 3 4
1 3 0 2 1 1 0 4
4 3
















 
 

. . . .
. . . .
. 55 2 4 1 5 4
12 14
3 1
22 24
. . .
.






















A B
 Lembrete
Para efetuar o produto de duas matrizes, é sempre necessário que o 
número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. 
Para a multiplicação, valem as seguintes propriedades:
• Associativa: A . (B . C) = (A . B) . C
• Elemento neutro: o elemento nulo é a matriz identidade A . I = A
• Distributiva à direita: A . (B + C)
• Distributiva à esquerda: (A + B) . C
114
Unidade III
 Observação
 Na multiplicação envolvendo matrizes não existe a propriedade 
comutativa, pois:
A . B ≠ B . A
Para exemplificar as propriedades, vamos considerar três matrizes:
A B C





  














2 3
0 1
0 1 2
5 1 3
4 2 1
4 2
5 3



 
Vamos determinar:
a) 2A + C
b) A . B
c) B . C
d) At
e) B . A
f) (A ‑ 3C)
g) A2 
h) B2 
Solução:
a) 2 2
2 3
0 1
4 2
5 3
4 6
0 2
4 2
5 3
8
A C 





 





 





 





 
88
5 5






b) Não é possível efetuar a multiplicação, pois o número de colunas da matriz A2×2 não é igual ao 
número de linhas da matriz A3x3.
c) Mesmo caso que b.
115
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
d) At = 
2 3
0 1
2 0
3 1





  






t
, ou seja, as linhas passam a ser colunas e vice‑versa.
e) Mesmo caso que b e c.
f) A C   




 





 





 

 

3
2 3
0 1
3
4 2
5 3
2 3
0 1
12 6
15 9



 






10 3
15 9
g) A2 = 
2 3
0 1
2 3
0 1
2 3
0 1
2




 












2 2 3 0 2 3 3 1
0 2 1 0 0 3 1 1
4 9
0 1
. ( ) . . ( ) .
. . . .
     
   





 






h) B2 = 
0 1 2
5 1 3
4 2 1
0 1 2
5 1 3
4 2 1
0 1 2
5 1 3
4 2 1
2











 





















0 0 1 5 2 4 0 1 1 1 2 2 0 2 1 3 2 1
5 0 1 5 3 4 5 1 1
. . . . . . . . .
. . . .
       
       .. . . . .
. . . . . . . .
      
       
1 3 2 5 2 1 3 3 1
4 0 2 5 1 4 4 1 2 1 2 2 4 2 2 3 1 .. 1










 
B2
13 3 6
7 12 10
14 2 1











Mais exemplos:
Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais.
3
1 4 0
2 5 1
4 3
a b
c
x
y z





 
 







Solução: 
Igualando cada termo, temos:
116
Unidade III
x ‑ 2 = 3 → x = 5
a = ‑5
b = 1
c ‑ 1 = 4 → c = 5
4 = y
z + 3 = 0 → z = ‑3
Portanto, a = ‑5, b = 1, c = 5, y = 4 e z=‑3.
2) Determine a transposta da matriz A.
A 










1 2 3
4 5 6
7 8 8
Solução: 
A matriz transposta é obtida trocando‑se as linhas pelas colunas e as colunas pelas linhas da matriz:
At 










1 4 7
2 5 8
3 6 8 
3) Sendo A e B 





 








3 2
1 5
2 0
4 3
, calcule a matriz X, tal que: 
X + A ‑ B = 0.
Solução:
X = B ‑ A
X 







  





 
 







2 0
4 3
3 2
1 5
5 2
5 8
4) Sendo A eB







 

 






3 2 1
0 5 4
4 2 0
3 1 1
, determine a matriz X, tal que 2X + A ‑ B = 0.
117
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
2X = B ‑ A
2
4 2 0
3 1 1
3 2 1
0 5 4
2
1 4 1
3 6 5
1
2
2
1
X
X
X


 





 










 








22
3
2
3
5
2













5) Sendo A e B 





 








2 1
3 1
0 4 2
1 3 5
, determine A . B e B . A.
Solução:
A B. .
. . . . ( ) .















 

   
2 1
3 1
0 4 2
1 3 5
2 0 1 1 2 4 1 3 2 2  
         








1 5
3 0 1 1 3 4 1 3 3 2 1 5
1 5 1
1
.
. ( ) . . . ( ) . ( ) .
.A B
115 11






Como a matriz B é do tipo 2 x 3, e A, do tipo 2 x 2, o produto B . A não existe.
6) Sendo A eB






 

 






2 3 4
5 1 6
2 1 0
3 5 7
, calcule:
a) A + B
b) B ‑ A
c) (A ‑ B)t
Solução:
a) A B 






 

 





 

 






2 3 4
5 1 6
2 1 0
3 5 7
0 4 4
8 6 1
118
Unidade III
b) B A 

 





  





 
  
  






2 1 0
3 5 7
2 3 4
5 1 6
4 2 4
2 4 13
c) A B A B t 






 

 





 





  
2 3 4
5 1 6
2 1 0
3 5 7
4 2 4
2 4 13











4 2
2 4
4 13
7) Resolver a equação matricial A + X = B, onde:
A eB
 





 





 .
3 2 1
1 4 2
7 5 1
1 6 7
Solução:
Conforme vimos, resolver uma equação matricial significa que a incógnita é uma matriz. A matriz 
procurada é de ordem 2 x 3, e podemos escrevê‑la como:
C
a b c
d e f







 
Assim,
A + X = B
3 2 1
1 4 2
7 5 1
1 6 7 





 





 






a b c
d e f
Daí:
3 2 1
1 4 2
7 5 1
1 6 7
3 7 4
2 5
  
    





 






   
   
a b c
d e f
a a
b b 33
1 1 2
4 6 10
1 1 0
2 7 5
    
    
   
   
d d
e e
c c
f f
119
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Logo, a matriz X é representadapor:
X 






4
5
3 0
2 10
6.3 O conceito de determinante
A toda matriz quadrada, ou seja, em que o número de linhas é igual ao número de colunas, pode‑se 
associar um número chamado determinante. Os determinantes são úteis no processo de resolução de 
sistemas de equações lineares, conforme veremos a seguir.
Para matrizes de ordem 2, o determinante de uma matriz A2x2 é calculado da seguinte maneira:
A
a a
a a







11 12
21 22
det ( ) ( )A
a a
a a
a a a a





    
11 12
21 22
11 22 12 21
Por exemplo, dada a matriz A2 2
4 2
5 3







det . .A 





     
4 2
5 3
4 3 5 2 22
 
Podemos ver que o determinante é o resultado da diferença entre o produto dos elementos da 
diagonal principal e os elementos da diagonal secundária.
Para uma matriz de ordem 3 A3x3, o determinante é calculado de uma maneira diferente: 
det A
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a











11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12
21 22
31 332
             ( ) (a a a a a a a a a a a a a11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 aa a a a a23 32 12 21 33    )
No caso da matriz A  










0 1 2
5 1 3
4 2 1
, o determinante é:
120
Unidade III
det
. . .
A  






















   
0 1 2
5 1 3
4 2 1
0 1
5 1
4 2
0 1 1 1 3 4 2 .. . ( . . . . . .5 2 2 1 4 0 3 2 5 1 1 32 3 35           
Esse método de cálculo de determinante é chamado Método de Sarrus. Repetem‑se as duas 
primeiras colunas e procede‑se da mesma maneira que o cálculo do determinante de uma matriz 
quadrada, ou seja, calcula‑se a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e os 
elementos da diagonal secundária. 
Você já aprendeu sobre matrizes e determinantes, e agora podemos voltar ao conceito inicial que 
desenvolvemos no início desta unidade.
Observamos que, em um sistema linear de duas equações, poderíamos obter suas soluções a partir 
de dois métodos: adição e substituição. Agora, com os conceitos de matrizes e determinantes em 
mente, podemos olhar os sistemas lineares como uma equação matricial, e é isso o que discutiremos 
no próximo tópico.
6.4 Solução da equação matricial para sistemas
Podemos escrever o sistema linear como uma equação matricial AX = B, onde:
A
a a a a
a a a a
n
n

  
  
11 12 13 1
21 22 23 2
�
�
� � � ,�
� �a a a a
X
x
x
x
m m m n
n
1 2 3 1
1
2
  














































,C
b
b
bn
1
2
�
 
A é a matriz dos coeficientes, X é matriz coluna das variáveis e B é a matriz dos termos independentes.
Solucionar uma equação desse tipo é descobrir um conjunto (a1, a2,... an) que satisfaça todas as 
equações do sistema simultaneamente.
Exemplos de equações matriciais:
a
x y
x y
x
y
)
  
 















 






2 1
2 8
1 2
2 1
1
8
121
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
b
x y
x y
x
y
)
4 2 100
8 4 100
4 2
8 4
100
100
 
 














 






6.5 Resolução de um sistema linear
Existem vários métodos para resolver os sistemas de equações lineares, como os já descritos 
métodos de substituição e adição (cancelamento). Veremos agora outro método, chamado Método do 
Escalonamento, que facilita a resolução de equações matriciais.
O que seria um sistema escalonado, e como se escalona um sistema?
Um sistema estará escalonado se:
• as incógnitas da equação estiveram todas na mesma ordem;
• em cada equação, existir pelo menos um coeficiente de alguma incógnita não nulo;
• existir uma ordem para as equações, tal que o número de coeficientes nulos que precede o primeiro 
coeficiente não nulo de cada equação aumenta de uma equação para outra.
Exemplos de sistemas escalonados: 
a
x y z
x y z
x y z
b
x y t z
x y t
)
)
  
  
  




   
  
3 9
0 4 5
0 0 2 6
2 3 4 1
0 4 5 44 2
0 0 0 4 12
3 4 4
0 5 1
z
x y t z
c
x y
x y

   




 
 



)
Escalonamento de um sistema linear
Dado o sistema:
122
Unidade III
A
x y
x y

 
 



2 5
3 7 16
 Podemos escalonar esse sistema observando os seguintes passos:
• 1º passo: trocar as linhas da equação. Quando fazemos isso, não alteramos a solução do sistema, 
pois temos um sistema equivalente, ou seja, aquele que apresenta a mesma solução do sistema 
inicial. 
A
x y
x y

 
 



3 7 16
2 5
• 2º passo: queremos eliminar a variável x na segunda linha, deixando isolada apenas a variável y. 
Portanto, vamos multiplicar a segunda linha por (‑3).
A
x y
x y

 
   



3 7 16
3 6 15
• 3º passo: vamos manter a primeira equação e, na segunda linha, colocar o resultado da diferença 
entre a primeira linha e a segunda.
A
x y
x y x y
A
x y
x y

 
    




 
 



3 7 16
3 7 3 6 16 15
3 7 16
0 1
• 4º passo: o valor de y ficou fácil de ser calculado, já que é a única variável na segunda linha. 
Calculado y, basta ser substituído na primeira linha e obtém‑se o valor de x.
y x x x       1 3 7 16 3 9 3
• 5º passo: escrever a solução do sistema: S = {3,1}.
Para sistemas de ordem maior, o procedimento é o mesmo.
6.6 Aplicações do determinante em sistemas lineares
Vamos considerar o sistema de equações lineares:
123
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A
x y
x y

 
 



3 4 9
2 7 1
Podemos escrever essa equação na forma matricial:
3 4
2 7
9
1











 






x
y
Se calcularmos o determinante formado pela matriz dos coeficientes, obteremos informações a 
respeito das soluções do sistema. Assim:
3 4
2 7
21 8 13  
 
O valor desse determinante é 13; portanto, um valor diferente de zero. Toda vez que isso acontecer, ou 
seja, quando o determinante for diferente de zero, o sistema será chamado de possível e determinado (SPD).
Outro exemplo da aplicação de determinantes:
A
x y
x y
x
y

 
 














 






2 3 1
4 6 5
2 3
4 6
1
5 
Resolvendo o determinante:
2 3
4 6
12 12 0  
 
Quando o determinante for igual a zero, o sistema poderá ser possível indeterminado (SPI) ou 
impossível (SI).
Para decidirmos qual dessas duas possibilidades o sistema apresenta, vamos escaloná‑lo: 
4 6 5
2 3 1
4 6 5
0 0 4
x y
x y
x y
x y
 
 
 
  
124
Unidade III
∴ O sistema não apresenta solução; então, é um sistema impossível (SI).
 Lembrete
Importante lembrar aqui os conceitos de matriz e determinante. Matriz 
é uma tabela, e determinante, um número.
6.7 Sistema linear homogêneo
Um sistema será chamado homogêneo se for formado exclusivamente por equações lineares 
homogêneas, isto é, equações com termos independentes nulos:
x y z
x y z
x y z
x y
x y
  
  
  




 
 



0
3 5 0
6 2 0
2 0
3 0
Todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite como solução as n‑uplas (0, 0, 0, ... 0), o 
que é chamado de solução trivial do sistema.
3 2 0
3 5 0
6 2 0
x y z
x y z
x y z
  
  
  




Se atribuirmos o valor 0 às incógnitas, observaremos que:
3 0 2 0 0 0
0 3 0 5 0 0
6 0 2 0 0 0
. .
. .
. .
  
  
  
Isso demonstra que o sistema apresenta uma solução trivial. Porém, existem sistemas com números 
de equações iguais ao número de incógnitas, que apresentam outras soluções além da trivial. Vejamos 
o sistema:
x y z
x y z
x y z
  
  
  




2 0
2 4 0
3 3 0
125
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Esse sistema será satisfeito se substituirmos o valor 0 nas incógnitas x, y e z, porém veremos se ele 
apresenta mais soluções; para isso, vamos calcular o determinante do sistema:
1 2 1
2 1 4
3 1 3
1 2
2 1
3 1
0

  
O determinante é igual a zero; portanto, trata‑se de um sistema possível e indeterminado (SPI), pois, 
alémda solução trivial, apresenta outras possíveis soluções.
Se as matrizes forem quadradas de ordem n, como poderemos calcular o determinante? 
Nesse caso, será calculado por meio de um conceito chamado cofator, que simplifica, ou melhor, 
facilita o cálculo.
6.8 Cofatores
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n > 2, e seja aij um elemento de A. Chamamos de cofator 
o elemento Aij, tal que:
A Dij
i j
ij 
( ) .1
Dij é o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando‑se sua i‑ésima linha e sua j‑ésima 
coluna.
Por exemplo, na matriz:
A 










2 1 5
4 3 2
7 6 8
O cofator do elemento a13 será calculado considerando‑se que, como i = 1 e j = 3, eliminamos a 
primeira e a terceira coluna de A. 
A 










2 1 5
4 3 2
7 6 8 
126
Unidade III
Assim, 
A .13
1 31
4 3
7 6
1 24 21 3 





    ( ) .
6.9 Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = | aij |nxm pode ser obtido pela soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Assim, fixando j, temos:
detM a A
i
m
ij ij


1
Onde a somatória indica o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, m ∈ N e 
Aij é o cofator ij.
Calcular, com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes:
a) D1
2 3 4
2 1 2
0 5 6



 
 
 
Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
D
D
1
1 1 2 1 3 1
1
2 1
1 2
5 6
2 1
3 4
5 6
0 1
3 4
1 2
2
1 2
          

  ( ) ( )
55 6
2
3 4
5 6
2 6 10 2 18 20
8 76
68
1
1
1


    
  

D
D
D
( )
6.10 Propriedades dos determinantes: simplificação de cálculos envolvendo 
matrizes
Muitas vezes, o cálculo dos determinantes pode ser simplificado por meio de algumas propriedades. 
Vamos descrevê‑las aqui e mostrar como facilitam os cálculos.
127
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
• Linha ou coluna nula: se a matriz A possui uma linha ou coluna na qual todos os elementos são 
nulos, dizemos que o determinante dessa matriz é zero.
• Troca de linhas ou colunas paralelas: se trocarmos a posição de duas linhas ou colunas paralelas 
de uma matriz A obtendo A', temos que: det A' = ‑ det A.
• Multiplicação de uma linha ou coluna por um número real: quando os elementos de uma 
linha ou coluna são multiplicados por um número real k, k ≠ 0, obtemos a nova matriz A', e vale 
a relação: det⁡⁡A' = ‑ k det A.
• Linhas ou colunas iguais: quando a matriz apresenta linhas ou counas iguais, ou podem ser 
também proporcionais, o determinante é igual a zero.
Por exemplo, 
Se A 






5 2
3 4
, então det⁡A = 20 ‑ 6 = 14.
Vamos multiplicar por 6 os elementos da segunda linha de A:
A ’ 






5 2
18 24
, então det A = 120 ‑ 36 = 84⁡.
Logo, detA' = 6 det A.
Se R é uma matriz quadrada de ordem 3 e det R = x, quanto vale o determinante de 4R?
Se R
a b c
d e f
g h i









, então 4
4 4 4
4 4 4
4 4 4
R
a b c
d e f
g h i









Cada linha e cada coluna foram multiplicadas por 4. Aplicando a propriedade de multiplicação, 
concluímos que:
det( ) det det4 4 643R R R= =
Mais exemplos:
Determine x 
2 3 1
1
2 0 1
15x x = .
128
Unidade III
Solução:
Calculando o determinante, temos:
2 3 1
1
2 0 1
2 3
1
2 0
15
2 6 0 2 0 3 15
3 15
5
x x x
x x
x
x

     


2) Dadas a matriz 
2 1 1
3 1 2
1 1 0










 e a função f(x) = ‑ x2 ‑ x ‑ 1, calcule f
Dx
1


 .
Solução:
Calculando o determinante da matriz, temos:
2 1 1
3 1 2
1 1 0
2 1
3 1
1 1
0 2 3 1 4 0 2
 
      
Sendo o determinante igual a 2, então:
f
Logo f
Dx
1
2
1
2
1
2
1
3
4
1
2



 



 



  







 , 33
4




.
6.11 Vetores
Assim como as matrizes são elementos que apresentam várias aplicações em ramos da ciência, os 
vetores são elementos importantíssimos tanto em Computação quanto em Ciências, Física, Engenharia, 
Astronomia, entre outras.
Como poderíamos entender melhor o conceito de vetor na prática? Vamos começar primeiro 
fornecendo a noção de algumas grandezas que permeiam nosso cotidiano. Por exemplo, quando você 
vai a um shopping comprar aquele par de tênis de seus sonhos. Você chega à loja, escolhe, e a vendedora 
apenas pergunta seu número, e isso já é suficiente. Quando está lendo um livro de curiosidades e 
descobre que a torre mais alta do mundo é uma que fica em Tóquio, a torre Tokyo Sky Tree, com 634 
metros de altura, somente essa informação a respeito da altura basta para você saber por que ela está 
no topo das mais altas do mundo. Se eu perguntasse quanto tempo falta para você estudar este capítulo 
do livro, você me responderia alguns minutos, horas etc.
129
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
No entanto, existem outras grandezas que não se caracterizam por uma única informação; por 
exemplo, você seria capaz de descrever a força de um vento, ou como o fluxo de água se move em 
um rio, a velocidade de um trem‑bala, o movimento de um planeta? Para responder a essas perguntas, 
você precisa do conceito de vetor, uma grandeza que fica perfeitamente caracterizada por sua direção, 
sentido e intensidade. Em um exemplo prático, vamos supor que alguém lhe pergunte como chegar a 
um determinado lugar; você tem de especificar a direção desse lugar, apontar o sentido em que a pessoa 
deve ir e quanto ela terá de percorrer, seja a pé ou de carro.
Neste exemplo, você utilizou três conceitos fundamentais no estudo dos vetores:
• direção: é aquilo que existe de comum em três retas paralelas. As retas r, s e t têm a mesma 
direção, já as retas t e w não são paralelas;
r
w
s
t
Figura 57
• sentido: a direção pode ser percorrida da esquerda para a direita, da direita para a esquerda, de 
cima para baixo, de baixo para cima etc;
a b
c
d
e
f
Figura 58
130
Unidade III
• intensidade: também chamado módulo, é o tamanho da grandeza, que aqui em nossa representação 
é de 3 unidades de medida, ou seja, 3 u.
O P
u uu
r
Figura 59
 Observação
Devemos prestar atenção nas unidades; por exemplo, se a unidade de medida da grandeza for dada 
em centímetros, então a intensidade será dada em centímetros; se for em metros, será dada em metros 
e assim por diante.
6.12 Representação de um vetor
Um vetor é sempre representado simbolicamente por uma letra, e sobre essa letra usamos uma 
flecha. 
u
Figura 60 – Representação de um vetor
Vetores nos planos bidimensional e tridimensional
Para representar a posição de um vetor, necessitamos escolher um sistema de coordenadas. Vamos 
descrever aqui a representação de vetores em dois espaços: bidimensional ou plano cartesiano e 
tridimensional.
6.13 Sistema cartesiano de coordenadas
Um sistema cartesiano de coordenadas é aquele definido quando existe uma unidade linear para 
medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares numa ordem qualquer:
131
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
y
x
P (x,y)
Figura 61 – Posição, no plano xy, de um ponto P em um sistema cartesiano de coordenadas
P(x,y) significa que o ponto P apresenta abscissa x e coordenada y.
Um vetor, portanto, pode ser representado em um plano cartesiano, de tal maneira que sua origem 
e sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy.
y
y2
y1
x1 x2 X
B
A
Figura 62 – Representação de um vetor AB em um plano de coordenadas cartesiano
O vetor pode ser representado como segmento orientado, e seu tamanho é dado por B ‑ A. Se as 
coordenadas de A são (x1,y1) e as coordenadas de B (x2,y2), o comprimento do vetor AB é dado por: 
B ‑ A = (x2 ‑ x1, y2 ‑ y1)
Vamos considerar o vetor:
u = (2,2) = B ‑ A = (3 ‑ 1,4 ‑ 2) = (2,2)
No espaço tridimensional, ou seja, o espaço formado pelos eixos coordenados x, y e z, a representação 
de um vetor é:
132
Unidade III
u (u1, u2, u3)
u2
u1
u3
Figura 63 – Representação tridimensional de um vetor
Agora, o vetor é formado por três componentes, que representam asdireções x, y e z.
6.14 Igualdade de vetores 
Para que dois vetores sejam iguais, eles devem necessariamente apresentar mesmo módulo, mesma 
direção e mesmo sentido, independentemente do local em que se encontram no espaço. Por exemplo, 
cada par de vetor da figura a seguir é igual.
A
A
A
B
B
B
v v
v
v
vv
Figura 64 – Representação de três pares de vetores. Note que os vetores A e B de cada par são iguais.
Se dois vetores apresentarem mesmo módulo e mesma direção, porém sentidos contrários, dizemos 
que são opostos. Na figura a seguir, temos o exemplo de vetores opostos:
133
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A
A
A
B
B
B
v v
v
v
vv
Figura 65 – Representação de pares de vetores opostos
6.15 Soma de vetores
Em muitos problemas, encontramos mais de um vetor. Para saber o efeito total, considerando esses 
vetores envolvidos, é necessário calcular o vetor resultante, ou seja, somá‑los para obter um vetor cujo 
efeito seja igual ao efeito combinado de todos os vetores no problema.
O vetor resultante pode ser obtido por meio de métodos gráficos ou analíticos. Dentre os métodos 
gráficos, temos o do polígono e o do paralelogramo.
Método do Polígono: sejam u e v dois vetores quaisquer. Sua soma é definida da seguinte maneira:
A
B
C
Figura 66 – Soma de dois vetores u e v por meio do Método do Polígono
Para fazer a soma de dois vetores, como AB e BC, considere a extremidade onde se encontra a 
flecha como extremidade final do vetor. Para fazer a soma, basta ligar a extremidade final de um com a 
extremidade inicial do outro, ou seja, faremos outra figura associando sequencialmente os segmentos 
orientados. Portanto, nesse exemplo, o vetor resultante é o AC.
134
Unidade III
 Lembrete
Para efetuar a soma dos vetores usando os métodos gráficos, deve‑se 
lembrar de que as características de cada vetor, ou seja, intensidade, direção 
e sentido, devem ser preservadas. 
Outros exemplos de soma de vetores:
A
A+B
A+B
A
A
AA
B
B
B
B
Figura 67 – Representação da soma de vetores pelo método do polígono
Método do Paralelogramo: considere o vetor AB representado na figura. Vamos supor que seus 
segmentos orientados representativos tenham as mesmas origens no ponto 0 e que o ângulo formado 
entre eles seja θ. 
A+B
A
B
Figura 68 – Adição de dois vetores A e B pelo Método do Paralelogramo
135
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Olhando a figura anterior, podemos ver que o vetor resultante nada mais é que a diagonal do 
paralelogramo. Para obter o vetor por esse método, traçamos uma reta paralela ao segmento orientado, 
que representa o outro vetor, e vice‑versa; ligamos a extremidade de um com a extremidade inicial 
do outro (ou seja, segmento de origem ligado com a extremidade inicial do outro). Outro exemplo de 
cálculo do vetor resultante usando o Método do Paralelogramo:
A+B
A
B
Figura 69 – Adição de dois vetores A e B pelo Método do Paralelogramo
O nome paralelogramo vem do fato de a figura formada pelos vetores resultantes ser um 
paralelogramo.
Diferença de vetores: efetuar a diferença entre dois vetores A e B significa somar um vetor A 
com o oposto do vetor B. Esse vetor oposto de B é idêntico ao vetor original, ou seja, com as mesmas 
características de intensidade e direção, porém sentido contrário.
A+B
A‑B
A A
B
‑B
Figura 70 – Subtração de dois vetores A e B
6.16 Multiplicação de um vetor por um escalar
Se A é um vetor não nulo e ∝ é um número real não nulo, então a multiplicação do vetor A pelo 
escalar ∝ é o vetor descrito como:
• ∝ A tem a direção de A;
• ∝ A terá o mesmo sentido de A se ∝ > 0;
• ∝ A terá o sentido oposto de A se ∝ < 0;
• ∝ A tem o comprimento ∝ vezes o comprimento de A.
136
Unidade III
A
2A
0,5A
‑2A
Figura 71 – Representação da multiplicação do vetor A
Seguem alguns exemplos.
1) Dados os vetores A, B e C, representados na figura, em que cada quadrícula apresenta lado 
correspondente a uma unidade de medida, qual o módulo do vetor resultante?
C
B
A
Figura 72
Solução: 
Podemos obter o módulo da seguinte maneira:
A
B
R
C
Figura 73
137
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Assim, como cada quadrícula corresponde a 1 unidade, o vetor resultante tem módulo igual a 1.
2) Um vetor velocidade é decomposto em dois outros perpendiculares entre si. Sabendo‑se que o 
módulo do vetor velocidade é 10 m/s e que uma das componentes é igual a 8 m/s, determine o módulo 
do vetor correspondente à outra componente.
V y
V = 8
x
V = 10
 r
Figura 74
Solução:
O módulo de um vetor é dado por:
V V V
V
V
V
r x y
y
y
y
     
   
  

2 2
2 2
2
100 8
36
6
A outra componente do vetor, portanto, tem módulo igual a 6.
3) Determine as componentes x e y do vetor.
a
a = 20
30º
Figura 75
138
Unidade III
Solução:
As componentes x e y do vetor são:
a a
a a
x
y
= = =
= = =
cos ” .
sin ” .
30 20
3
2
10 3
30 20
1
2
10
4) Um automóvel desloca‑se 6 km para norte e, em seguida, 8 km para o leste. Determine a 
intensidade do vetor deslocamento.
V = 8
x
V = 6
 y
Figura 76
Solução:
O módulo de um vetor é dado por:
V V V
V
V
r x y
r
r
     
   
 
2 2
2 2 28 6
100 10
A intensidade do vetor deslocamento, portanto, é de 10 km.
5) Determine o vetor resultante dos vetores a seguir:
a) A 
 B 
139
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A = 10 cm
B = 20 cm
Solução:
A soma A+B é dada por: 
A+B 
A+B 
A+B = 30 cm
b) A‑B
 A 
 B 
 A 
 ‑B 
 A‑B 
 A‑B = 10 cm
c) B‑A
 B 
 ‑A 
 B‑A 
 B‑A = 10 cm
 Observação
Diremos que dois vetores não nulos são paralelos se, e somente se, um 
for múltiplo escalar do outro.
140
Unidade III
 Resumo
Nesta unidade, aprendemos sobre sistemas de equações e sua aplicação 
em nosso cotidiano. Vimos que esses sistemas encontram‑se presentes em 
vários momentos da nossa vida, como no cálculo de estrutura de pontes, 
redes elétricas, geração de imagens digitais, tomografia computadorizada, 
Robótica etc.
Começamos a unidade descrevendo o que são esses sistemas e como 
podem ser resolvidos por dois métodos: adição e substituição.
Sabendo o que são sistemas lineares e suas soluções, passamos a 
estudar as matrizes de importância extrema tanto em Matemática, 
Física e Engenharia Civil quanto na interpretação de tabelas, gráficos 
etc. Na Informática, por exemplo, teclados, editores de imagem e 
computadores, cujas telas são formadas por pixels, são gerados por 
matrizes.
Definimos os principais tipos de matrizes e suas propriedades: adição, 
subtração e multiplicação. Feito isso, mostramos o que é um determinante e 
como pode ser usado na determinação de um sistema de equações lineares 
que pode ser transformado numa equação matricial.
Os vetores também foram considerados nesta unidade; definimos 
essa grandeza, seu sistema de coordenadas e suas propriedades, como se 
adicionam e se subtraem dois vetores por meio de dois métodos (polígono e 
paralelogramo) e como eles podem ser utilizados em Física, em Matemática 
e em Computação Gráfica. 
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2008) Considere o sistema de equações a seguir.
x y z
x y z
x y z
  
  
  




1
2 2 2 4
3 3 4 5
Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares. O sistema 
não tem solução...
141
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
porque
... o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da 
primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da 
primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta correta: alternativa B.
Justificativa geral
Para resolvermos a questão, temos de utilizar a teoria de discussão de um sistema linear. Como o 
sistemaé formado por três equações e três incógnitas, gera matrizes quadradas.
Primeiramente, obtemos o determinante dos coeficientes (detA):
det detA A             
1 1 1
2 2 2
3 3 3
8 6 6 8 6 6 0 0
Na segunda etapa, calculamos o determinante da matriz, obtido a partir da matriz dos coeficientes, 
substituindo a primeira coluna (coeficientes de x) pelos termos independentes.
det Ax           
1 1 1
4 2 2
5 3 4
8 10 12 16 6 10 2
det(Ax) = –2
det(Ax) ≠ 0
142
Unidade III
Na terceira etapa, calculamos o determinante da matriz, obtido a partir da matriz dos coeficientes, 
substituindo a segunda coluna (coeficientes de y) pelos termos independentes.
det Ay          
1 1 1
2 4 2
3 5 4
16 6 10 8 10 12 2
det(Ay)=2
det(Ay)≠0
Na quarta etapa, calculamos o determinante da matriz, obtido a partir da matriz dos coeficientes, 
substituindo a terceira coluna (coeficientes de z) pelos termos independentes.
det Az          
1 1 1
2 4 2
3 5 4
10 12 6 10 12 6 0
det(Az)=0
det(Az)≠0
Discutindo o sistema, concluímos que, como det A = 0, ele poderia ser possível e indeterminado 
ou impossível. Para verificar sua real classificação, tivemos que fazer o determinante dos coeficientes, 
substituindo cada coluna pelos termos independentes. Como det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0, o 
sistema é impossível (não tem solução). Para o sistema ser impossível, deve‑se ter det A = 0 e pelo menos 
um det An ≠ 0. Como há pelo menos um det An ≠ 0 e det A = 0, o sistema é impossível. Então, as duas 
asserções são verdadeiras, não sendo a segunda uma justificativa correta da primeira.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com a resolução anterior completa, e considerando a discussão do sistema, as 
duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. 
É, na verdade, uma justificativa incompleta e, logo, incorreta.
B) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com a resolução anterior completa, e considerando a discussão do sistema, as 
duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. 
Para o sistema ser considerado impossível deve‑se ter det A = 0 e pelo menos um det An ≠ 0.
143
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: a segunda asserção não é falsa (det A = 0).
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: a primeira asserção não é falsa, pois o sistema é impossível (não tem solução).
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: ambas as asserções são proposições verdadeiras, pois o sistema é impossível e det A = 0.
Questão 2. (Enade 2005).
A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam‑se, 
entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente 
à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada — o que poderia prejudicar a vazão do 
rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus 
alunos o problema seguinte, baseando‑se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. Denote por y o custo total estimado 
da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo 
projeto. Relacionando‑se essas quantidades, obtém‑se o sistema de equações lineares AX = B, em que:
A B e X
x
y
z




































1 2 2
0 4 1
1 0 2
11
4
2
,
144
Unidade III
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
C) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar 
sérios danos ambientais.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma 
coluna nula.
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