Tema 2 - Introdução à Mecânica Ondulatória

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DEFINIÇÃO
Princípios oscilatórios e os diferentes tipos de movimentos harmônicos.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos físicos de oscilação e movimentos harmônicos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos de movimento oscilatório e movimento harmônico simples (MHS)
MÓDULO 2
Compreender as propriedades de oscilações amortecidas, oscilações amortecidas-forçadas e ressonância
MÓDULO 3
Descrever os conceitos das propriedades de ondas e interferência de onda, função de onda e a definição de ondas propagantes e estacionárias
Bem-vindos ao estudo introdutório à Mecânica Ondulatória
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos de movimento oscilatório e movimento 
harmônico simples (MHS)
INTRODUÇÃO
Um movimento oscilatório (ou vibratório) é um dos movimentos mais abundantes e importantes observados na natureza. Tudo o que apresenta
movimento periódico é considerado como movimento oscilatório. Como exemplo, podemos citar: um carro que circula diversas vezes em um circuito
fechado; os ponteiros de um relógio; um ioiô subindo e descendo; uma corda esticada que balança de um lado para outro.
 Relógio, movimento oscilatório.
Existem infinitos movimentos de toda a natureza que se encontram em movimentos oscilatórios, por isso, a física se preocupou em definir quais
condições determinam que um movimento seja caracterizado como oscilatório ou vibratório. Como definição, temos:
Um movimento é considerado oscilatório somente quando um corpo (ou partícula) move-se, periodicamente, em torno de uma posição de equilíbrio.
Para que um movimento seja visto, o observador precisa estar em um referencial inercial, de tal forma que não interaja com o movimento oscilatório. O
modo mais simplório de reprodução de um movimento oscilatório é a montagem do sistema de um pêndulo matemático.
PÊNDULO MATEMÁTICO
O pêndulo matemático é composto por uma corda e um peso. Uma de suas extremidades fica amarrada em um anteparo; na outra extremidade, é
colocado um peso de dimensões muito inferiores ao comprimento da corda. No início da reprodução do movimento harmônico, a corda fica esticada na
vertical de maneira estática; e então o sistema corda-peso é colocado para oscilar em relação a um ponto de referencial fixo. A figura 1 ilustra o
sistema:
 Figura 1 - Pêndulo matemático.
PERÍODO (T) E FREQUÊNCIA (F)
Consideramos, por convenção, que uma oscilação completa se dá quando a massa do pêndulo passa pelo ponto de referência duas vezes, o que
pode ser visto na figura 1.
Os movimentos oscilatórios podem ser descritos com auxílio das definições matemáticas dos movimentos circulares, isso é possível porque os
movimentos circulares correspondem a um tipo de movimento oscilatório. Diante desse fato, podemos afirmar que o tempo de uma oscilação é
chamado de período (T) e é medido em segundos (s). Esse tipo de movimento também possui uma frequência (f) de ocorrência, medida em Hertz
(Hz). Matematicamente, o período e a frequência se relacionam da seguinte maneira:
(1)
T ∙ F = 1
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Grosso modo, a frequência é o número de repetições de oscilações, em um único segundo.
Podemos dizer também que as equações aplicadas ao movimento circular uniforme (M.C.U.) e ao movimento circular uniformemente variado
(M.C.U.V.) podem ser aplicadas ao movimento oscilatório:
(2)
Ω = ΘF
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(3)
V = ΩR
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(4)
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(5)
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Onde, ω é a velocidade angular em radianos por segundo (rad/s), θ é a posição angular em radianos (rad), θ0 é a posição angular inicial em radianos
(rad), f é a frequência em hertz (Hz) , v é a velocidade linear em metros por segundo (m/s), α é a aceleração angular em radianos por segundo ao
quadrado (rad/s²) e α é a aceleração linear em metros por segundo ao quadrado (m/s²). R é o raio descrito pelo movimento em metros (m), e T é o
período em segundos (s).
Utilizamos a equação (3) com a finalidade de determinar a velocidade linear de um corpo que se encontra em um movimento oscilatório, pois tal
equação descreve a velocidade adquirida pela massa ao oscilar.
Das oscilações existentes na natureza, quatro se destacam: oscilação harmônica simples, oscilação forçada, oscilação amortecida e oscilação
amortecida forçada.
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
Na natureza, a movimentação é tão abundante que seu estudo é de importância sumária para o entendimento de diversos fenômenos físicos, químicos
e até mesmo biológicos. Podemos destacar, por exemplo, o balançar com o vento de uma folha na árvore, a luz do Sol, ondas marítimas e até mesmo
o som. Diante disso, começamos a aprofundar nosso estudo em movimentos oscilatórios através do movimento harmônico simples (M.H.S.).
 Figura 2 - Movimento harmônico simples: ondas marítimas.
O movimento oscilatório é o mais simples de todos e, além disso, é considerado um movimento ideal, pois ignora a ação de forças externas. Para dar
início ao nosso estudo, consideraremos o MHS somente no caso unidimensional, onde a posição do corpo em relação à sua posição de equilíbrio está
representada na função (6):
(6)
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Onde A é a amplitude do movimento em metros (m), é a fase em radianos (rad) e ω0 é a frequência natural ou a frequência de ressonância do
sistema medida em radianos por segundo (rad/s) (também conhecida como pulso ou pulsação). Tanto A como dependem das condições iniciais do
movimento. Porém, ω0 é uma grandeza puramente do sistema que se relaciona com a frequência, como mostra a equação (7).
α = a
R
θ = θ0 + ω0T +
αT²
2
x(t) = Acos(ω0t + φ)
φ
φ
(7)
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Na figura 3, podemos observar o gráfico da função x(t). Nela, temos: (a) = 0, e (b), ≠ 0. Podemos descrever, como exemplo de um MHS, um corpo
em movimento circular uniforme, sobre o eixo x.
 Figura 3 - Gráfico da função x(t).
O MHS possui como principal característica funções comportadas de: posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t). Essas funções não apresentam
descontinuidade. Porém, se tivermos uma partícula oscilando unidimensionalmente no interior de uma caixa de comprimento L, a função que descreve
o movimento não é contínua, pois, neste caso, x(t) é uma função periódica triangular (figura 4) que apresenta nos pontos x(t) = 0 e x(t) = L
descontinuidades em sua derivada devido à ocorrência na mudança de sentido no movimento.
 Figura 4 - Função periódica triangular.
Essas mudanças de sentido são ocasionadas por colisões da partícula com as paredes da caixa, além de ocasionarem mudança no sinal velocidade
da partícula. Vamos agora retornar à função que descreve a posição de um MHS e derivá-la para encontrar as funções que descrevem a velocidade e
a aceleração de uma partícula em MHS. Assim:
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Derivando a função x(t) em função de (t), temos:
(8)
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Agora, derivando a função de v(t) em função de t, temos:
(9)
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Comparando (9) com (6), podemos afirmar que:
ω0 = 2πf
φ φ
x(t)  =  A cos(ω0t  +  φ)
v(t) =
.
x(t) = −Aω0sen(ω0t + φ)
a(t) =
..
x(t) =
.
v(t) = −Aω20cos(ω0t + φ)
(10)
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Uma vez conhecida a aceleração de um MHS, podemos escrever a força atuante aplicando diretamente a Segunda Lei de Newton:SEGUNDA LEI DE NEWTON
F(t) = m . a(t)
Onde “F” é a força em função do tempo (t), “m” é a massa da partícula e “a” é a aceleração em função do tempo (t).
(11)
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Substituindo a função (10), na função (11), temos:
(12)
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Fazendo , temos:
(13)
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Temos em (13) a função que representa a força em um oscilador harmônico simples, que pode ser descrito facilmente por um sistema massa-mola
(figura 5). A constante k é a constante da mola (a mesma da Lei de Hooke), mas também é chamada de constante de força do oscilador.
LEI DE HOOKE
Descreve a força em uma mola:
F = - K∆x
Onde F é a força, K é a constante da mola e ∆x é a variação de comprimento sofrida pela mola.
a(t) = −ω20x(t)
F(t) = m. a(t)
F(t) = −mω20x(t)
mω20 = k
F(t) = −k.x(t)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Figura 5 - Sistema massa-mola.
Utilizando um sistema massa-mola, podemos descrever a frequência natural de oscilação de um MHS da seguinte maneira:
(14)
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Na equação (14), podemos verificar que a frequência natural ω0 é independente, tanto da amplitude de oscilação, quanto da fase de oscilação. Uma
vez que ω = 2πf, podemos escrever a equação (14) em função da frequência da seguinte maneira:
(15)
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Sabendo que , podemos escrever o período (T) como:
(16)
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Em um MHS, há um instante em que o sistema atinge sua velocidade máxima, e isso ocorre quando há a conversão completa da energia potencial em
energia cinética. Essa velocidade máxima é dependente da amplitude de oscilação e da frequência natural de oscilação:
(17)
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Agora, vamos demonstrar como abrir a função posição, para poder apresentar a solução mais geral utilizada em um MHS.
Demonstração
ω0 = √ km
f =  √12π
k
m
Tf = 1
T = 2π√ mk
vmáx = Aω0
Vamos agora expandir as funções , e :
(18)
(19)
Para t = 0 temos em (16) e (17):
(20)
(21)
Substituindo (20) e (21) em (18), temos:
(22)
A solução apresentada na função (22) é a solução mais geral utilizada no MHS, quando as condições iniciais são: 
x(0) = x0 e v(0)=v0.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ENERGIA MECÂNICA DE UM MHS
Em qualquer sistema físico, a energia mecânica é a soma entre a energia cinética e sua energia potencial. Considerando um sistema massa-mola, a
energia potencial é a elástica. Ela propicia o oscilador harmônico a entrar em movimento. Uma força externa atua sobre o sistema, inicialmente, inerte,
distendendo ou comprimindo a mola. Exatamente nesse momento, a força elástica entra em ação e faz com que o sistema entre em movimento,
buscando retornar à sua posição inicial de equilíbrio. Por isso, esse sistema tende a oscilar ao redor de uma posição definida, a sua posição de
equilíbrio.
Por definição, a energia potencial (EP) é o negativo do trabalho realizado pela força elástica para realização do deslocamento, desse modo:
(23)
ONDE: 
 
Τ É O TRABALHO REALIZADO 
F(X) É A FORÇA DEPENDENTE DA POSIÇÃO 
DX É A VARIAÇÃO INFINITESIMAL DE COMPRIMENTO
x(t) = Acos(ω0t + φ) v(t) = −Aω0sen(ω0t + φ)
x(t) = Acos(ω0t + φ) = Acos(ω0t)cos(φ) − Asen(ω0t)sen(φ)
v(t) = −Aω0sen(ω0t + φ) = −Aω0[sen (ω0t)cos(φ) + cos(ω0t)sen(φ)]
x(t) = Acos(φ) = x0
v(t) = −Aω0sen(φ) = v0
x(t) = x0cos(ω0t) + sen(ω0t)v0ω0
τ   =   ∫ x
x0
 F(x) dx
τ   =   ∫ x
x0
 F(x) dx
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (13) em (23):
(24)
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Solvendo a integral:
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação (26) nos mostra que a energia potencial elástica depende somente do quadrado do deslocamento (∆x) sofrido pela mola. Nesse sistema, a
energia cinética que está associada à oscilação do sistema massa-mola é definida como em qualquer outra situação:
(27)
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Onde m é a massa do objeto preso à mola, e v a velocidade que esse objeto desenvolve. Assim, a energia mecânica desse sistema massa-mola é:
(28)
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(29)
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Então, utilizando a equação (27), podemos verificar outra maneira de calcular a velocidade máxima atingida pela massa nesse sistema massa-mola:
Exemplo:
Ep  = −  ∫
x
x0
  − k xdx
Ep  = k 
x
x0
x2
2
Ep  = k 
2Δx
2
Ec  =
mv2
2
E = Ec + EP
E =   +  k mv
2
2
Δx2
2
Vamos agora considerar um sistema massa-mola em repouso disposto na horizontal, que não possui nenhum tipo de atrito, como está disposto na
figura 6 (a). Você então segura a massa e a estica para a direita, como mostra a figura 6 (b).
 Figura 6 - Sistema massa-mola.
Ao esticar a mola, você realizou um trabalho sobre ela, e assim forneceu ao sistema energia potencial elástica. Considere agora que você solta essa
mola. O que ocorrerá?
Ela se deslocará para a esquerda, contraindo-se, porém, não irá parar na sua posição inicial. Ela irá se contrair mais, parar e voltar a se distender,
passando novamente pela posição inicial e se alongando até a posição que você a havia esticado, na figura 6 (b). Uma vez em movimento, sempre
que o sistema massa-mola passar pelo seu ponto de equilíbrio, representado pela figura 6 (a), a massa experimentará sua velocidade máxima.
Agora, vamos voltar para a situação da figura 6 (b). Neste ponto, a única energia atuante no sistema é a energia potencial elástica descrita na equação
(24), desse modo a energia mecânica do sistema é: .
Ao soltar a mola, a energia potencial elástica se converte gradualmente em energia cinética, até chegar a certo ponto da trajetória onde essa
conversão seja integral. Este é o ponto de equilíbrio, apresentado na figura 6 (a), no qual a energia mecânica do sistema é somente a energia cinética,
assim: . Como o MHS é um movimento ideal, a energia mecânica sempre se conserva, assim, podemos escrever que:
(30)
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Isolando v, temos:
(31)
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Comparando a equação (29) com a equação (17), podemos verificar que a amplitude A é dada por (∆x), e a frequência natural (ω0) é dada por ,
como já explicitado na equação (14).
MÃO NA MASSA
E = k   
Δx²
2
E = m
 v²
2
k    =  m
Δx²
2
 v²
2
v = Δx√ km
√ k
m
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos agora aprender a determinar os pontos de retorno de um movimento harmônico simples. Para tal, vamos considerar a equação da posição do
oscilador harmônico:
O que são os pontos de retorno?
São pontos onde o oscilador para e inverte o sentido de seu movimento. Se há essa pausa, a velocidade é nula, então, primeiramente, precisamos
encontrar a função da velocidade e, em seguida, igualá-la a zero. Veja:
RESOLUÇÃO
AMPLITUDE E PONTOS DE RETORNO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Compreender as propriedades de oscilações amortecidas, 
oscilações amortecidas-forçadas e ressonância
INTRODUÇÃO
x(t) = Acos(ω0t + φ)
Em sistemas oscilatórios reais, existem forças dissipadoras de energia. Assim, obtemos não um MHS, e sim oscilações amortecidas. Neste módulo,
vamos analisar os tipos de oscilações amortecidas.
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS (VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS)
Oscilações amortecidas são os tipos de vibrações em que asforças restauradoras do sistema o fazem se amortecer. Para compreender suas
propriedades, vamos considerar um sistema massa-mola isolado. Vamos imaginar o passo a passo de o que fazemos para tirar esse sistema da
inércia, ou seja, como o colocamos para oscilar. Para tal, vamos observar o sistema massa-mola da figura 7.
 Figura 7 - Sistema massa-mola isolado.
Agora, imagine que você vai pegar o carrinho e esticar a mola, deslocando-a para a direita, fornecendo-lhe energia potencial elástica. Nesse momento,
existirá uma força elástica puxando o carrinho contra a força que você está fazendo. Quando você solta o carrinho, ele passa a se mover em direção
ao anteparo localizado à esquerda da mola. Em alguns instantes, o carrinho irá parar, mudar o sentido do seu movimento, e retornar, movendo-se para
a direita novamente.
Todavia, apesar de esse sistema não possuir um amortecedor explícito acoplado, ele possui um termo de amortecimento natural, oriundo do meio
gasoso que o cerca (ar atmosférico, por exemplo). Diante disto, vamos escrever a equação de oscilação a partir do somatório das forças:
Temos atuando no sistema livre oscilante a força elástica e a força dissipadora (amortecedora). A força dissipadora é a força de atrito viscoso Fat = -
Cv(t), e a força elástica é dada por Fel = - kx(t). Ambas são negativas devido ao fato de serem forças de reação, ou seja, restauradoras de equilíbrio,
assim podemos escrever a segunda lei de Newton da seguinte maneira:
FAT = - CV(T)
Onde:
Fat = Força de atrito
C é o coeficiente de atrito viscoso
v(t) a velocidade em função do tempo
(32)
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Sabemos que a velocidade é a derivada de primeira ordem da posição, assim: , e a aceleração é derivada de segunda ordem da
posição, assim: Podemos reescrever a equação (32) da seguinte maneira:
(33)
−kx(t) − Cv(t) = ma(t)
v(t) =
.
x (t)
a(t) =
..
x (t).  
−C
.
x (t) − kx(t) = m
..
x (t)
javascript:void(0)
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Passando todos os elementos para um único lado da equação, temos:
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Podemos verificar que temos uma EDO linear de segunda ordem, que pode ser simplesmente solucionada por aplicação de equação característica,
assim:
(34)
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Se dividirmos toda a equação (34) por m, temos:
(35)
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Fazendo e solucionando a equação (35), por Bháskara, temos:
(36)
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Analisando a equação (36), podemos fazer as seguintes afirmações:
Quando α4 > (2ω0)2, λ assumirá dois números reais distintos. Nesse caso, não haverá oscilação, classificando o movimento como
superamortecimento.
Quando α4 < (2ω0)2, λ assumirá dois números complexos distintos. Nesse caso, haverá oscilações, classificando o movimento como subamortecido
(oscilações fracas e vagarosas).
Quando α4 = (2ω0)2, λ assumirá apenas uma solução real. Nesse caso, o sistema retorna rapidamente para sua posição de equilíbrio, sem apresentar
oscilações, classificando o movimento como amortecimento crítico.
O coeficiente de amortecimento crítico é definido como sendo:
(37)
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Onde m é a massa do sistema e ω0 é a frequência de oscilação natural do sistema.
m
..
x (t) + C
.
x (t) + kx(t) = 0
mλ²+ Cλ + k = 0
λ²+  λ + = 0C
m
k
m
= α², = ω20
C
m
k
m
λ =
−α2±√(α4−(2ω0)2
2
Cc = 2mω0
TEORIA NA PRÁTICA
Para compreender melhor o sistema de um oscilador amortecido, vamos considerar o aparato do amortecedor (figura 8) de um automóvel.
 Figura 8 - Amortecedor de automóvel.
Cada roda de um automóvel está conectada à carroceria por meio de uma mola. No interior de cada mola, há um amortecedor composto de um pistão,
que se desloca dentro de um meio fluido, que pode ser óleo, ou de ar.
Para realizar a análise, vamos considerar y como sendo a altura do amortecedor. Diante disto, a equação desse amortecedor é igual a:
(38)
Fy = - Cv(t)- Ky
Fazendo Fy = may:
(39)
may = - Cv - Ky
Explicitando em termo do deslocamento, pode ser escrita como:
(40)
Passando todos os termos da equação para a esquerda:
(41)
Dividindo todos os termos por m, temos:
(42)
A equação característica da E.D.O. (42) é:
(43)
Sabemos que e , assim:
(44)
RESOLUÇÃO
Solucionando a equação característica (45), temos:
m
..
y (t) = −C
.
y (t) − Ky (t)
m
..
y  + C
.
y  + Ky = 0   
..
y  +  
.
y  +  y = 0  Cm
K
m
λ2 + λ + = 0Cm
K
m
ω0 = √ k.
m
α = √ c.
m
λ2 + α2λ + ω2 = 0
(45)
Da equação (45), sabemos que:
Se α4 < (2ω0)², temos um subamortecimento.
Se α4 = (2ω0)², temos o amortecimento crítico.
Se α4 > (2ω0)², temos o super amortecimento.
Qual tipo de amortecimento é preferível?
Sempre o amortecimento crítico, pois, nele, há o retorno ao ponto de equilíbrio sem causar estresses às estruturas. Isso garante que os passageiros
do veículo não sofram com os impactos do veículo com as deformidades do solo. Para verificar quando se deve trocar o amortecedor do seu
automóvel, empurre o chassi do carro, em um ponto localizado acima do amortecedor, para baixo. Se, ao parar de empurrar, o carro oscilar, significa
que o amortecimento está ocorrendo abaixo do amortecimento crítico. Isso indica falhas no amortecedor e significa que, em breve, todo o fluido que
realiza o amortecimento vazará, e seu automóvel ficará sem um aparato amortecedor.
OSCILAÇÃO AMORTECIDA FORÇADA
Para estudar o movimento oscilatório amortecido forçado, vamos considerar um sistema em que oscila constantemente sob a ação de uma força
externa harmônica (F0 cos (ω0t)), mas que possui um dispositivo de amortecimento, como mostra a figura 9.
 Figura 9 - Dispositivo de amortecimento.
O somatório das forças atuantes nesse sistema é:
(46)
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Isolando a força harmônica do lado direito da equação, e colocando a equação na forma de uma EDO, temos:
(47)
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A equação (47) é uma EDO não homogênea de segunda ordem. Para solucioná-la, precisamos encontrar uma solução particular que englobe a força
harmônica. A solução homogênea dessa EDO também é apresentada para o oscilador amortecido, resolvendo a equação do segundo grau situada do
lado esquerdo da EDO em (47). A solução particular será feita pelo método dos coeficientes a determinar. Acompanhe:
λ =
−α2± √α4−(2ω0)2
2
F0cos(ω0t) − Cv(t) − kx(t) = ma
m
..
x + C
.
x + kx = F0cos(ω0t)
Primeiro, vamos propor uma solução, tendo ∆X como amplitude, assim:
(48)
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Vamos agora derivar duas vezes essa solução proposta em (48) e substituir suas respectivas derivadas em (47), assim:
(49)
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(50)
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Substituindo (48), (49) e (50) em (47), temos:
(51)
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A equação (51) pode ser reescrita através de relações trigonométricas de arco duplo, assim:
(52)
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Pondo cos(ω0 t) e sen(ω0 t) em evidência, temos:
(53)
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Reescrevendo (53), temos:
(54)
xp(t) = ΔXcos(ω0t − φ)
.
xp(t) = −ω Δ Xsen(ω0t − φ)
..
xp(t) = −ω²Δ Xcos(ω0t − φ)
ΔX =
F0 cos(ω0t)
(k−mω20)cos(ωt−φ)−Cω0sen(ω0t−φ)
ΔX =
F0 cos(ω0t)
(k−mω20)(cos(ω0t)cos(φ)+sen(ω0t)sen(φ))−Cω0(sen(ω0t)cos(φ)−cos(ω0t)sen(φ))
ΔX =
F0 cos(ω0t)
[(k−mω20)cos(φ)+Cω0sen(φ)]cos(ω0t)+[(k−mω
2
0)sen(φ)−Cω0cos(φ)]sen(ω0t)Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, ao lado direito da equação, o fator que multiplica F0 é cos (ω0t) e que não existe o fator sen(ω0t). Assim, concluímos que:
(55)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As diversas operações algébricas a seguir são raras de se encontrar, não sendo citadas nem mesmo nos documentos das referências bibliográficas
deste tema. Sabendo disso, vamos analisá-las com bastante atenção. Da equação (II) acima, podemos escrever que:
(56)
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Substituindo (56) em (55 (I)), temos:
(57)
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Da equação (57), podemos ainda dizer que:
(58)
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Fazendo o MMC no interior dos colchetes, temos:
(59)
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Em (59), podemos colocar o termo em evidência, assim:
ΔX [(k − mω20)cos(φ) + Cω0sen(φ)]cos(ω0t) + [(k − mω
2
0)sen(φ) − Cω0cos(φ)]sen(ω
{
ΔX[(k − mω20) cos(φ) + Cω0sen(φ)] cos(ω0t) = F0 cos(ω0t)(I)
ΔX[(k − mω20)sen(φ) − Cω0 cos(φ)]sen(ω0t) = 0(II)
Cω0 = (k − mω20).
sen(φ)
cos(φ)
ΔX[(k − mω20)cos(φ) + (k − mω
2
0). sen(φ)]cos(ω0t) = F0cos(ω0t)
sen(φ)
cos(φ)
ΔX[(k − mω20) cos(φ) + (k − mω
2
0). ] cos(ω0t) = F0  cos(ω0t)
sen ²(φ)
cos(φ)
ΔX[ ] = F0
(k−mω20) cos ²(φ)+(k−mω20).sen²(φ)
cos(φ)
(k − mω20)
(60)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como , podemos afirmar que:
(61)
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Agora podemos substituir (61) em (55 (I)), para obter:
(62)
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Por meio da relação fundamental da trigonometria, podemos escrever que:
(63)
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Então, utilizando a relação (63) em (62), temos:
(64)
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De (64), podemos escrever que:
(65)
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Substituindo (65) em (63), temos:
(66)
ΔX[ ] = F0
(k−mω20)(sen ²(φ)+cos ²(φ))
cos(φ)
sen²(φ) +   cos ²(φ) = 1
ΔX[k − mω20] = F0cos(φ)
F0cos²(φ) + ΔXCω0sen(φ) = F0
cos²(φ) = 1 − sen2(φ)
F0 − F0sen²(φ) + ΔXCω0sen(φ) = F0
sen(φ) = ΔXCω0
F0
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Agora, substituindo (66) em (61) e rearrumando os termos, temos:
(67)
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Da segunda equação de (55), podemos deduzir que:
(68)
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Agora, ao dividirmos (67) por k, temos:
(69)
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Definindo: , temos:
(70)
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Ao fazermos as mesmas suposições para (68), temos:
(71)
cos(φ) = √ F
2
0 −ΔX
2(Cω0)
2
F 20
ΔX =
F0
√(k−mω20)
2
+(Cω0)
2
φ = arctg( )Cω0
k−mω20
ΔX =
F0/k
√(1− ω20 )
2
+( )
2
m
k
Cω0
k
= ω²n, = e δst = ,mk
C
k
2ξ
ωn
F0
k
ΔX =
δst
 
⎷ ( 1− )
2
+( ω0 )
2ω20
ω2n
2ξ
ωn
φ = arctg
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
ω0
2ξ
ωn
1−
ω20
ω2n
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Agora, chamando , podemos reescrever (68) e (69) como:
(72)
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(73)
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 ATENÇÃO
Observação: ω0 é a frequência natural do circuito, e ωn é a frequência de oscilação que pode ou não ser igual a ω0.
As equações (72) e (73) são nossos objetivos, e elas nos demonstram que:
1. Quando .
2. O amortecimento reduz as amplitudes para quaisquer valores de frequência.
3. A máxima redução de amplitudes se encontra em uma faixa de frequências próximas às frequências de ressonância.
4. A maximização das amplitudes de vibração é derivada de em função de r, igualando-a a zero. O ponto crítico encontrado será um ponto
de máximo extremo.
5. A equação (72) permite obter experimentalmente.
6. O ângulo de fase não depende de F0.
7. Quando tende para zero, podemos afirmar que a resposta está em fase com a força excitante. Porém, quando 
 o que significa que a resposta está em fase oposta à força excitante. Quando em ressonância, .
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RESSONÂNCIA
A condição de ressonância ocorre quando . Nessa condição, podemos ver que em (73) tende ao infinito.
A ressonância é o fenômeno físico em que ocorre a transferência de energia por meio de excitações de frequência, quando a frequência do sistema
assume uma de suas frequências naturais de vibração. Atingida essa condição, o sistema físico vibra com amplitudes que tendem ao infinito. Esse tipo
de fenômeno é perigoso e deteriora os sistemas físicos.
Um dos casos mais famosos do fenômeno de ressonância foi o rompimento da ponte Tacoma Narrows, nos EUA, na data de 7 de novembro de 1940.
O vento daquela região soprou de tal maneira que fez com que a ponte oscilasse com frequência semelhante à natural.
A amplitude da ponte então aumentou de tal modo que a sua estrutura não suportou e se rompeu. Esse caso é considerado uma falha humana, pois,
na época da construção da ponte, havia conhecimento sobre as rajadas de vento da região. Logo, tal oscilação deveria ter sido prevista pelos
r =
ω0
ωn
ΔX =
δst
√(1−r²)2+(2ξr)2
φ = arctg( )2ξr
1−r²
ξ = 0,  φ = 0
ΔX
δST
ξ
 φ 
r << 1,  φ 
r  >>  1,  φ tende a π,   φ = π
2
= 1
ω0
ωn
φ 
engenheiros.
 Figura 10 - Ponte Tacoma Narrows.
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Descrever os conceitos das propriedades de ondas e interferência de onda, 
função de onda e a definição de ondas propagantes e estacionárias
INTRODUÇÃO
As ondas possuem comportamentos distintos das partículas. Sua posição, velocidade e aceleração dependem da amplitude e da sua velocidade
angular, que está relacionada diretamente à frequência de vibração. Diante do atual contexto, neste módulo, vamos aprender um pouco mais sobre as
propriedades das ondas.
CONCEITOS E PROPRIEDADES DE ONDAS
Considera-se uma onda qualquer perturbação oscilante, ou seja, qualquer perturbação no espaço que seja periódica no tempo. A oscilação no espaço
é caracterizada através do seu comprimento de onda (λ), e o tempo decorrido para ocorrência desta oscilação é denominado período da onda (T). O
período é definido como sendo o inverso de sua frequência (f). A frequência de oscilação e o comprimento de onda se relacionam através da
velocidade de propagação da onda:
(74)
v = λ. f
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Ondas podem se propagar por meios materiais como pelo vácuo. Todavia, esses são tipos de ondas diferentes. Vamos acompanhar:
ONDAS MECÂNICAS
Esse tipo de onda depende de um meio material para se propagar e é regido pelas Leis de Newton (primeira, segunda e terceira lei da mecânica).
Como exemplos práticos e cotidianos desse tipo de onda, podemos citar o som, as ondas do mar, a oscilação de uma corda ou de um cabelo longo
etc.
 SAIBA MAIS
A onda sonora tem velocidade de propagação dependente da densidade do material pela qual se propaga. O que isso significa? Significa que, quanto
mais denso o material, maior a sua velocidade. Isso implica que o som tem maior velocidade na água do que no ar, e maior velocidade em uma barra
de ferro do que na água.
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
São ondas que se propagam no vácuo. Esse tipo de onda é uma combinação de um campo magnético propagante e um campo elétrico, também
propagante, que são ortogonais entre si (fazem 90° entre si).
O campo magnético,ao oscilar como onda no espaço e no tempo, gera um potencial elétrico, que, por sua vez, gera um campo elétrico, o qual, ao
oscilar, também gera um campo magnético. Ou seja, os dois campos se autogeram e se autossustentam, como mostra a figura 11.
 Figura 11 - Ondas eletromagnéticas.
Podemos citar como exemplos cotidianos de ondas eletromagnéticas: a luz (seja ela solar ou criada por uma lâmpada), ondas que transmitem os
programas de rádio e televisão, laser etc.
No vácuo, essas ondas se propagam com a velocidade da luz no vácuo, que possui um valor aproximado de 3x108 m/s.
DIREÇÕES DE VIBRAÇÃO DE UMA ONDA
As ondas, sejam eletromagnéticas, sejam mecânicas, podem vibrar transversalmente ou longitudinalmente. Aquelas que possuem vibrações
transversais, chamadas de ondas transversais, apresentam a sua velocidade de propagação perpendicular (ângulo de 90°) com a sua orientação de
vibração. Já a onda longitudinal apresenta a velocidade de propagação paralela (ângulo de 0°) à sua orientação de vibração. A figura 12 exemplifica
ambos os casos.
 Figura 12 - Ondas transversais e longitudinais.
Na figura 12, podemos observar que a onda transversal oscila para cima e para baixo enquanto se propaga da direita para a esquerda. Isso ocorre
porque, na ponta direita da corda, há um oscilador. Já na onda longitudinal, o oscilador move uma mola, para frente e para trás, e isso faz com que a
mola se contraia e se expanda na mesma direção da oscilação. As ondas sonoras são um tipo de onda longitudinal, pois o som se propaga com
sucessivas expansões e contrações do ar, exatamente como uma mola oscilando.
DIREÇÕES DE PROPAGAÇÃO DE UMA ONDA
As ondas podem ser classificadas como unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. Isso depende de em quantas direções ela está se
propagando ao mesmo tempo. Vamos pegar o exemplo de uma corda delgada (fina) que esteja na horizontal, como mostra a figura 13.
 Figura 13 - Corda delgada (fina).
Podemos ver que só existe uma única direção de propagação da onda, a horizontal, com sentido da direita para a esquerda, ou sentido negativo.
Agora, vamos observar a figura 14.
 Figura 14 - Ondas que se propagam na superfície da água.
Podemos observar ondas se propagando na superfície da água e em duas direções, horizontal e vertical. Elas sobem e descem, vão para a direita e
para a esquerda e estão presentes em qualquer combinação entre aquelas duas direções.
A figura 14 é um exemplo de onda que se propaga bidimensionalmente, ou seja, em duas dimensões. Por fim, temos as ondas que se propagam
tridimensionalmente, capazes de se propagar simultaneamente em todas as direções do espaço. Exemplos simples de ondas tridimensionais
cotidianas são o som e a luz. A figura 15 relaciona esse tipo de onda com o Sol.
 Figura 15 - Sol, exemplo de onda tridimensional.
CARACTERÍSTICAS DAS ONDAS
Podemos representar as ondas, utilizando variáveis como: frequência (f), comprimento de onda (λ), amplitude (A), período (T), e número de onda (k) e
velocidade (v).
COMPRIMENTO E NÚMERO DE ONDA
O comprimento de onda (λ) é o tamanho da onda e pode ser aferido através da medição da distância entre dois vales ou duas cristas (figura 16).
 Figura 16 - Medição da distância.
O comprimento de onda e o número de onda se relacionam através da seguinte equação matemática:
(75)
AMPLITUDE
Chamamos de amplitude a magnitude de um distúrbio que ocorre durante um ciclo de onda. A figura 17 demonstra a amplitude pela letra A.
 Figura 17 - Amplitude.
FREQUÊNCIA E PERÍODO
Período de uma onda. É o tempo (T) de uma oscilação completa. O produto entre o período e a frequência é igual à unidade:
(76)
No sistema internacional de medidas, o período é medido em segundos (s) e a frequência em Hertz (Hz).
A frequência também pode ser expressa em relação à frequência angular de propagação de uma onda:
(77)
VELOCIDADE DA ONDA
Já discutimos a velocidade de propagação de uma onda e verificamos que, matematicamente, a sua relação é igual a:
Diante disto, podemos fazer essa relação ser expressa em função de outras variáveis, como em função da velocidade angular e do número de onda:
(78)
Tratando-se de ondas mecânicas, a velocidade dessa onda depende diretamente do meio em que ela se propaga, assim a sua velocidade pode ser
descrita de formas distintas. Vamos acompanhar:
a) Onda se propagando em uma corda esticada
kλ = 2π
T . f = 1
f = ω
2π 
v = λf
v = ω
k
(79)
Onde τ é a tensão na corda em Newtons (N) e μ é a densidade linear da corda, em quilogramas por metro (kg/m).
b) Velocidade do som
A velocidade do som depende do módulo de elasticidade volumétrico do meio (B) em que se propaga (ar, água, madeira, ferro etc.) e da densidade
volumétrica do meio (ρ):
(80)
TIPOS DE ONDAS: ONDAS ESTACIONÁRIAS E ONDAS
PROPAGANTES
ONDAS ESTACIONÁRIAS
Ondas que, por algum motivo, não se deslocam, são chamadas de estacionárias, como as vibrações existentes em uma corda de violão. Quando uma
corda é excitada (ou deformada), cria-se uma perturbação que se propaga por toda sua extensão. Essa perturbação reflete-se nas extremidades fixas
dessa corda. A onda estacionária é produzida devido à interferência gerada por duas ondas senoidais que se propagam em sentidos opostos, ou seja,
uma onda que aparenta não se mover pela corda. O vídeo a seguir ilustra o dissertado:
Uma onda estacionária possui uma equação de propagação em função do espaço e do tempo simultaneamente, e ela é dada por:
(81)
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ONDAS PROPAGANTES OU ONDAS SENOIDAIS
Ondas propagantes se locomovem livremente e assumem uma característica senoidal (possuem forma de senoide). Neste caso, a onda possui uma
excitação (perturbação) que varia em função da posição (x) e do tempo (t):
v = √ τμ
v = √ Bρ
y(x, t) = 2Asen(kx)   cos(ωt)
(82)
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A figura 18 apresenta um exemplo de uma onda senoidal utilizada em um osciloscópio:
 Figura 18 - Osciloscópio.
FUNÇÃO DE ONDA HARMÔNICA
A equação (82) também é conhecida como função de onda harmônica. A equação (82) descreve a onda senoidal se deslocando para a direita, para
qualquer posição e instante de tempo t. Para uma onda senoidal se deslocando para a esquerda, temos que a equação (82) assume a característica:
(83)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa onda (figura 18) tem como forma característica as funções representadas nos gráficos da figura 19.
 Figura 19 - Gráfico de funções.
y(x, t) = Asen(kx − ωt + φ)  
y(x, t) = Asen(kx + ωt + φ)   
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Um osciloscópio é um instrumento de medida que demonstra as formas de diversos tipos de ondas em função do tempo. Porém, muitos usuários
possuem dificuldade em interpretar os dados para determinar a frequência de onda. Vamos então aqui aprender a identificar parâmetros que nos
levem à conclusão do valor da frequência de oscilação. Para isso, vamos observar a figura 20.
 Figura 20 - Frequência de uma forma de onda osciloscópio.
No eixo x, temos a medição do tempo em segundos (s), o que nos permite determinar por observação o período (T) da onda e, no eixo y, temos a
medida da amplitude (A) em unidade métrica (metros, decímetro, centímetro, milímetro etc.). Observe que a ida começa em A, então faz uma crista e
um vale para em B, ponto em que se repete o movimento até C. Isso significa que existe um comprimento de onda de A até B e outro comprimento de
onda de B até C.
Como identificar um período?
O período é o tempo necessário para que haja um comprimento de onda, ou seja, de A até B temos 4 quadradinhos e, como cada quadradinho vale 1
segundo, então, temos que o período é de T = 4s.
Agora, como determinar a frequência?
Utilizando a seguinte equação: 
RESOLUÇÃO
Então, o que precisamos para poder calcular a frequência?
1° Conhecer o intervalo e medição de tempo no eixo x.
2° Obter uma figura estática,como a figura 16, para que possamos observar e calcular.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
f = = = 0, 25hz1
T
1
4
Neste tema, nos deparamos com o conceito de movimento harmônico simples, movimento oscilatório amortecido e movimento oscilatório amortecido
forçado, e suas classificações. Observamos que a utilização da matemática é de suma importância para a classificação dos movimentos em:
subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido. Analisamos que a utilização de equações diferenciais ordinárias (EDO) é importante para
análise de suas soluções de movimentos oscilatórios. Verificamos também como uma onda se comporta e como suas propriedades variam em função
de suas características.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, B. Notthing else matters - Ondas nas Cordas do Violão. In: Youtube. Consultado em meio eletrônico em: 1 set. 2020.
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: Estática. São Paulo: McGraw Hill, 2006.
HALLIDAY, D.; RESNICK J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
MERIAN, J. A.; KRAIGE, L.G. Mecânica para engenharia: Dinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
RAO, S. S. Vibrações mecânicas. Printece Hall Brasil, 2009.
THOMSON, W. T. Theory of vibration with applications. Prentice Hall, 1988.
TIPPLER, P.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
EXPLORE+
Para saber mais sobre o movimento harmônico simples (MHS), leia o artigo: Estudo da relação entre o movimento circular uniforme e o
movimento harmônico simples utilizando a vídeo-análise de uma roda de bicicleta, de E. S. Silva, disponível na Revista Brasileira de
Ensino de Física.
Para saber mais sobre osciloscópio e ondas senoidais, leia o artigo: Batimentos e ressonância de diapasões analisados usando um
osciloscópio, de Chiquito e Ramos, disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física.
Para saber mais sobre oscilações amortecidas forçadas, leia o artigo: O oscilador harmônico amortecido forçado revisitado, de Bertuola,
Hussein e Pato, disponível na Revista Brasileira de Ensino de Física.
CONTEUDISTA
Gabriel Burlandy Mota de Melo
 CURRÍCULO LATTES
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