04 - MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS

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Teoria dos conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.
Dessa forma, podemos classificar os conjuntos numéricos em:
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão vistos a seguir.
Podemos citar, como exemplo, a necessidade de se atribuir números de telefones às pessoas.
Fonte: Shutterstock
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. Veja a seguir:
Noções sobre conjuntos
Agora vamos conhecer alguns aspectos importantes dos conjuntos.
Conjunto vazio
É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B.
União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Interseção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A Ո B formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Podemos representar a união, interseção e diferença entre os conjuntos da seguinte forma:
A representação de conjuntos pode ser:
· REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTO ÚNICO
· RELAÇÃO ENTRE DOIS CONJUNTOS
· RELAÇÃO ENTRE TRÊS CONJUNTOS
Conjunto dos números naturais (N)
N é conjunto dos números naturais:
Onde n representa o elemento genérico do conjunto.
Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão.
Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N.
O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita).
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
No conjunto dos números naturais, estão definidas duas operações:
Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos:
Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros (Z) pode ser representado por:
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z:
Temos também outros subconjuntos de Z:
Conjunto dos números racionais (Q)
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à divisão.
Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais (Q).
O conjunto dos números racionas (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ϵ Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:
Assim, podemos construir o diagrama:
No conjunto Q, destacamos os seguintes subconjuntos:
Assim, podemos escrever:
A representação decimal das frações pode ser feita da seguinte forma:
Forma decimal: divisão do numerador pelo denominador
Conjunto dos números irracionais (I)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros).
Vejamos alguns exemplos:
Conjunto dos números reais (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto dos números reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos de “I” temos:
Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Veja alguns exemplos:
Potenciação e radiciação de números fracionários
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo a seguir:
Potenciação de Radicais
Observando as potências, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente, conforme o exemplo abaixo:
Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais. Veja a seguir:
Lembre-se:
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar a operação. Observe:
Racionalização de denominadores
Observe que a fração equivalente  possui um denominador racional.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Veja alguns exemplos dos principais casos de racionalização:
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades:
Igualmente, podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
Resumindo, podemos transformar um radical com expoente fracionário. Veja a seguir:
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
Veja um exemplo:
Intervalos
Os intervalos podem ser:
Existem ainda os intervalos infinitos:
Fatoração
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Vejamos a aplicação desse conceito com a decomposição do número 24 num produto:
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
A fatoração de um número natural, maior que 1, é a sua decomposição em um produto de fatores primos. A seguir, veja as regras para a fatoração.
Regra para a fatoração
Um dispositivo prático para fatorar um número é mostrado abaixo.
A figura mostra a fatoração do número 630.
Determinação dos divisores de um número
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
1º
Decompomos o número em fatores primos;
2º
Traçamos uma linha e escrevemos o um no alto, porque ele é divisor de qualquer número;
3º
Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;
4º
Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto, os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Fatoração de expressões matemáticas
Uma expressão matemática está fatorada quando é escrita na forma de uma multiplicação.
Casos de fatoração
Simplificação
Podemos simplificar uma fração quando o numerador e o denominador estiverem fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum. Veja alguns exemplos:
Atividades
1 – O conjunto K abaixo é representado por meio de uma propriedade característicados seus elementos.
Dadas as opções:
Assinale a correta:
A
B
C
D
E
Questão 2: Qual o conjunto solução da inequação -7 < 3𝑥 −1< 2?
Dadas as opções:
Assinale a correta:
A
B
C
D
E
Equações de 1º grau (com uma variável)
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".
Alguns exemplos de equações (sentenças abertas):
Equação geral do primeiro grau
A sentença que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e a que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:
Vamos fazer um exercício!
Verifique quais dos elementos do conjunto A são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade!
GABARITO
Para x = 0 na equação x - 5 = 0 temos: 0 - 5 = 0 => -5 = 0. (falso)
Para x = 1 na equação x - 5 = 0 temos: 1 - 5 = 0 => -4 = 0. (falso)
Para x = 2 na equação x - 5 = 0 temos: 2 - 5 = 0 => -3 = 0. (falso)
Para x = 3 na equação x - 5 = 0 temos: 3 - 5 = 0 => -2 = 0. (falso)
Para x = 4 na equação x - 5 = 0 temos: 4 - 5 = 0 => -1 = 0. (falso)
Para x = 5 na equação x - 5 = 0 temos: 5 - 5 = 0 => 0 = 0. (verdadeiro)
Para x = 6 na equação x - 5 = 0 temos: 6 - 5 = 0 => 1 = 0. (falso)
Verificamos que 5 é raiz da equação x – 5 = 0, logo V = {5}
GABARITO
Para x = -1 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (falso)
Para x = 0 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (falso)
Para x = 1 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (falso)
Para x = 2 ... temos 2x - 5 = 1 ou 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (falso)
A equação 2x – 5 = 1 não possui raiz em A; logo V = Ø.
Resolução de uma equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø. Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b ≠ 0.
Sistema linear de equações do 1º grau
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do 1º grau tem duas incógnitas, por exemplo:
Entendendo na prática!
Seja o sistema de duas equações:
2 x + 3 y = 24
3 x - 2 y = 23
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente ambas as equações.
Para isso, vamos utilizar o método de substituição. Veja a seguir.
Método de substituição
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e aplicar o resultado à outra equação. Para entender o método, consideremos o sistema:
Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:
Substituímos então o valor de x na segunda equação 3x-2y=23:
Inequações
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. Portanto, inequação do 1º:
Entendendo na prática!
1 - Vamos resolver a inequação 4(x + 1) – 5 ≤ 2(x + 3): (a solução será representada por S).
2 – Vamos resolver as inequações simultâneas:
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas)
Atividades
Resolva as equações:
1 – O valor de x na equação 2x + 10 = 0 é:
10
5
-5
-10
8
2 – Se x – y = 2 (x – y), sendo x dependente de y, então y = ?
2x
4x
x/2
x
3x
1
2
3
4
6
Razão
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ou seja:
Entendendo na prática!
Proporção
Podemos concluir que o produto dos extremos é o mesmo do produto dos meios: 3 x 10 = 5 x 6 = 30
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
De modo geral, temos que:
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Entendendo na prática!
Antonio e Carlos passeiam com seus cachorros. Antonio pesa 120kg e, seu cão, 40kg. Carlos, por sua vez, pesa 48kg e, seu cão, 16kg.
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade:
Um médico recomenda uma dieta para um indivíduo obeso. Ele deve consumir até 5 calorias por dia para cada 20kg de excesso de peso.
Se um indivíduo apresentar 50kg de excesso de peso, qual seria o número de calorias diárias para ele?
Como o indivíduo apresenta 50kg de excesso de peso, a quantidade de calorias x é calculada da seguinte forma:
Vamos fazer um exercício!
Determine o valor de x, dada a expressão:
GABARITO
20 (x – 1) = 4 (3x + 1)
20x – 20 = 12x + 4
20x – 12x = 20 + 4
8x = 24
x = 3
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
Dada a proporção:
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção da primeira. Veja um exemplo:
	Um carro percorre:
• 100 km em 1 hora
• 200 km em 2 horas
• 300 km em 3 horas
Então, o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentam na mesma proporção.
	
	
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo:
	
	Um carro faz um percurso com velocidade de:
• 120 km em 1 hora
• 600 km em 2 horas
• 400 km em 3 horas
Neste caso, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais.
	
Aplicações da Propriedade Fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção.
Veja como aplicar:
· APLICAÇÃO 1
· APLICAÇÃO 2
Exercício!
Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
GABARITO
Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
GABARITO
Proporção contínua
Considere a seguinte proporção:
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:
De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, não nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:
Entendendo na prática!
Vamos determinar a terceira proporcional dos números 20 e 10. Observe:
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
Porcentagem
A razão, cujo denominador é 100, recebe o nome de razão centesimal. Tais razões centesimais estão expressas em taxas percentuais:
Veja um exemplo:
Em uma determinada turma com cem alunos, 40 tiraram nota 10. Vamos determinar a porcentagem de alunos que tiraram 10.
Exercícios
Num lote de 25 parafusos, 5 apresentaram defeito. A razão entre o número de parafusos defeituosos e o total de parafusos do lote é:
Corrigir
Uma empresa de telemarketing recebe em média 720 ligações de clientes interessados na compra de seus produtos. Sabe-se que a taxa efetiva de vendas é de 15%. Quantas chamadas se converteram em vendas?
GABARITO
Um automóvel que custava R$ 42.000,00, passou a custar R$ 46.200,00. Calcule o percentual de aumento.
GABARITO
Atividades
1 – Indique a razão correta entre2 e 4:
2
1/2
4
8
2 - Em uma determinada cidade, constatou-se que entre cinco crianças, duas possuem olhos azuis. A razão entre o número de crianças que não possuem olhos azuis e número total de crianças é:
2/5
4/5
5/5
3/5
3 - O preço de uma TV LCD é R$1.500,00. Uma loja resolve dar um desconto de 12%. Qual será então o preço à vista da TV?
R$1.240,00
R$1.320,00
R$1.420,00
R$1.380,00
4 – O resultado de 100% de 80 é:
800
120
180
80
	
	 
		
	
		1.
		O valor de (169/81)1/2 corresponde a:
	
	
	
	13/9.
	
	
	11/9.
	
	
	13/81.
	
	
	13/7.
	
	
	169/9.
	
Explicação:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Sendo assim, temos que a raiz quadrdada de 169 é 13 e a raiz quadrada de 81 é 9. Logo a resposta correta é: 13/9.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A partir da fatoração da diferença de dois quadrados, isto é, x2 - y2 = (x - y).(x + y), determine o valor de 20112 - 20102.
	
	
	
	8021
	
	
	8441
	
	
	4041
	
	
	8041
	
	
	4021
	
Explicação:
x2 - y2 = (x - y).(x + y)
20112 - 20102 = (2011 -2010) (2011+ 2010) = 1  (2011+ 2010) = 4021
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O conjunto união entre os intervalos A = [2,5] e B= [1,3] será :
	
	
	
	[1,5]
	
	
	[1,5[
	
	
	]2,3[
	
	
	]2,5]
	
	
	]2,3]
	
Explicação:
A união dos intervalos [2,5] e [1, 3] é o intervelo [1, 5]
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual dos conjuntos abaixo está integralmente contido no intervalo [-1, 3[
	
	
	
	{ -2, 0, 1, 2 }
	
	
	{ -2, 0, 1, 3 }
	
	
	{ -1, 0, 1, 2 }
	
	
	{ -3, 0, 1, 3 }
	
	
	{ -1, 0, 1, 3 }
	
Explicação:
O intervalo é fechado em -1 (portanto ele faz parte do conjunto) e aberto em 3 (portanto ele não faz parte do conjunto.
O conjunto será {-1, 0, 1, 2}
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Que número pertence ao intervalo numérico [-10, 0]
	
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	3
	
Explicação:
O conjunto é {- 10, - 9, - 8, -7 - 6, -5, -4, -3, -2, -1}
Logo o elemento do conjunto é -1.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A quantidade de números inteiros dentro do intervalo: 1 <= x < 9 é:
	
	
	
	7
	
	
	9
	
	
	8
	
	
	4
	
	
	11
	
Explicação:
O intervalo 1 <= x < 9 pode ser escrito como [1. 9[  que é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6,7 ,8}, portanto tem 8 números inteiros nele.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Fatore a expressão 9x2 - 4y2
	
	
	
	(x +2y) (x - 2y)
	
	
	(3x +2y) (3x - 2y)
	
	
	(3x + y) (3x - y)
	
	
	(x +y) (x - y)
	
	
	(x - 2y) (x - 2y)
	
Explicação:
x2 - y2 = (x + y) (x - y)
9x2 = (3x)2
4y2 = (2y)2
9x2 - 4y2 = (3x + 2y)(3X - 2y)
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Fatore a expressão:4x5 + 7x2
	
	
	
	x2 (4x2 + 7x)
	
	
	x4 (4x + 7)
	
	
	x2 (4x3 + 7)
	
	
	x3 (4x2 + 7)
	
	
	x2 (4x2 + 7)
	
Explicação:
Coloca-se os valores que se repetem na expressão em evidência:
4x5 + 7x2 = x2(4x3 + 7)
	
	
Custos
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar
uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte.
Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento
e a arte de administrar são fatores determinantes
de sucesso de uma empresa.
Os custos de uma empresa resultam da combinação
de uma série de fatores: a capacitação tecnológica
e produtiva relativa aos processos, produtos e gestão;
nível de atualização da estrutura organizacional
e a qualificação da mão de obra.
Uma empresa apura seus custos com vistas:
Mas o que é custo?
Assista ao vídeo, a seguir:
Portanto, custo é a soma dos valores de bens e serviços consumidos e aplicados para obter um novo produto ou serviço.
Quando falamos de custos, não se apuram somente custos de utilidades físicas (bens, mercadorias, etc.), mas também custos de serviços (fretes, seguros, etc.). Porém, os custos somente ocorrem quando houver consumo ou venda.
Vejamos um exemplo:
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O desgaste da máquina em função do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a deterioração da máquina. Quando uma máquina é adquirida, não há nenhum custo envolvido na transação.
O total pago pela máquina é classificado como ativo fixo, porque esta máquina tem uma vida útil estimada de 10 (dez) anos. Pode-se dizer que, ao final de cada ano, 1/10 (um décimo) desta máquina, ou valor, gastou-se e, ao final do primeiro ano, apenas 9/10 (nove décimos) do valor da máquina permanecem contribuindo para as operações da empresa. O reconhecimento deste fato implica no reconhecimento do respectivo custo, que no caso chama-se custo de depreciação das máquinas e equipamentos ou, simplesmente, depreciação.
Fonte: Pranch / Shutterstock
Os três componentes básicos do custo são:
De acordo com sua natureza, os custos classificam-se em Custos Fixos e Custos Variáveis. Vamos conhecê-los, a seguir.
Custos Fixos
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da quantidade que venha a ser produzida dentro da capacidade instalada.
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, honorários pagos ao escritório de contabilidade e a depreciação.
Assim, tanto faz produzir zero ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. Por exemplo, o aluguel pago para a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da empresa estar produzindo ou parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de bens ou serviços. O gráfico, a seguir, ilustra o custo fixo:
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo unitário produzido, devido à economia de escala proporcionada.
Observe no gráfico a seguir que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira unidade produzida, pois nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo.
Exercício
Uma indústria apresentou, num determinado mês, um custo fixo de R$15.000,00. Nesse mesmo mês, a indústria produziu uma quantidade de 3.000 produtos.
Qual foi o custo fixo unitário daquele produto naquele mês?
GABARITO
Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos.
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00.
Custos Variáveis
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção.
São exemplos desse comportamento os custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto maior o custo) e da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o custo).
A representação gráfica do custo variável total é:
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida tenha o mesmo custo. No gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável unitário.
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na quantidade zero não ocorrem custos variáveis.
Fonte: Macrovector / Shutterstock
Custo total
É a soma dos custos fixos mais os variáveis.
A sua representação gráfica é:
Exercício
Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 com aluguel da fábrica e R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, supondo computados todos os fatores de produção.
Se num determinado mês o custo total da indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos fabricados?
GABARITO
Custo total = Custo fixo + Custo variável
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x)
sendo x a quantidade de produtos fabricados
15.500 = 3.500 + 20x
20x = 12.000
x = 12.000/20
x = 600
Função
Podemos classificar a função em:
· FUNÇÃO CUSTO
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa e outra variável. Podemos representar uma funçãocusto usando a seguinte expressão:
C(x) = Cf + Cv
Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável
· FUNÇÃO RECEITA
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado produto.
R(x) = px, onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.
· FUNÇÃO LUCRO
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo.
L(x) = R(x) – C(x)
Exercício
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$41,00. Considerando que o valor de venda de cada pistão no mercado seja equivalente a R$120,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro.
Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1.000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.
GABARITO
Função Custo total mensal:
C(x) = 950 + 41x
Função Receita
R(x) = 120x
Função Lucro
L(x) = 120x – (950 + 41x)
Lucro líquido na produção de 1000 pistões
L(1000) = 120*1.000 – (950 + 41 * 1.000)
L(1000) = 120.000 – 950 + 41.000
L(1000) = 120.000 – 41.950
L(1000) = 78.050
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00.
Para que se tenha lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo.
R(x) > C(x)
120x > 950 + 41x
120x – 41x > 950
79x > 950
x > 950 / 79
x > 12
Para ter lucro, é preciso vender acima de 12 peças.
Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de sapato produzido tem um custo de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares de sapatos a indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? A partir de quantos pares de sapatos haverá lucro?
GABARITO
Lucro = Receita – Custo
Seja x → a quantidade de pares de sapatos produzidos e vendidos
30.000 = 50 x – (150.000 + 20 x)
30.000 = 50 x – 150.000 – 20 x → 30.000 +150.000 = 30 x → x = 6.000
Agora vamos analisar: a partir de quantos pares de sapatos haverá lucro:
Ou seja, o lucro será zero: 0 = 50 x – (150.000 + 20x)
0 = 50 x – 150.000 – 20 x → 150.000 = 30 x → x = 5.000
Atividade
1 - Os custos de uma empresa resultam de uma combinação de uma série de fatores. Assinale aquele fator que NÃO faz parte dessa combinação:
A capacitação tecnológica e produtiva relativa a processos.
Fornecedores.
Produtos e gestão.
O nível de atualização da estrutura organizacional.
2 - Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$10.000,00 por mês. Se cada peça produzida no mês tem um custo de R$12,00 e a indústria produz naquele mês 1.000 peças, qual será o custo total do mês?
R$12.000,00
R$10.000,00
R$11.000,00
R$22.000,00
3 - Em uma indústria, o custo fixo para fabricação de um determinado produto é R$10.000,00 e o custo total do mês foi de R$90.000,00. Quantas unidades do produto foram produzidas no mês, se o custo de produção de cada produto foi de R$40,00?
5.000
2.000
8.000
10.000
		1.
		Pedro trabalha como animador de festa e cobra uma taxa fixa de R$ 300,00 , mais R$ 60,00 por hora, para animar uma festa. João, na mesma função cobra uma taxa fixa de R$ 165,00 e mais R$ 105,00 por hora. O tempo máximo de duração de festa, para que a contratação de João não fique mais cara a do Pedro, é:
	
	
	
	5 horas
	
	
	4 horas
	
	
	6 horas
	
	
	3 horas
	
	
	7 horas
	
Explicação:
Equação para Pedro
300 + 60t
Equação para João
165 + 105t
300 + 60t = 165 + 105t
300 - 165 = 105t - 60t
135 =45t
t = 135/45 = 3 h
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Maria foi a padaria comprar pão e viu que houve aumento de preços e perguntou ao padeiro o que havia acontecido, ele falou que o trigo aumentou os preços em 20% e que esse valor foi repassado totalmente para o consumidor. Se o pão custava R$0,30, quanto passou a custar para D. Maria?
	
	
	
	R$0,36
	
	
	R$0,25
	
	
	R$0,20
	
	
	R$0,40
	
	
	R$32
	
Explicação:
0,30 ------- 100
x ---------- 20
x = 6/100 = 0.06
Total do valor do pão = 0,30 + 0,06 = 0,36
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Pedro trabalha como animador de festa e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00 , mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. João, na mesma função cobra uma taxa fixa de R$ 55,00 e mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duração de festa, para que a contratação de João não fique mais cara a do Pedro, é:
	
	
	
	3 horas
	
	
	4 horas
	
	
	7 horas
	
	
	6 horas
	
	
	5 horas
	
Explicação:
Equação para Pedro
100 + 20t
Equação para João
55 + 35t
100 + 20t = 55 + 35t
100 - 55 = 35t - 20t
45 = 15t
t = 45/15= 3h
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Se um em cada 320 habitantes de uma cidade é engenheiro, então a porcentagem de engenheiros nessa cidade é dada por: 
	
	
	
	 3,125% 
	
	
	 0,3215%
	
	
	 0,3125%
	
	
	0,32%
	
	
	 3,2%
	
Explicação:
De acordo com a informação o percentual é: 
1/320 = 0,003125
= 0,003125 * 100% = 0,3125%
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana de açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana. 
	
	
	
	Serão produzidos 1 200 litros de álcool com 15 000 kg de cana de açúcar.
	
	
	Serão produzidos 1 450 litros de álcool com 15 000 kg de cana de açúcar.
	
	
	Serão produzidos 1 350 litros de álcool com 15 000 kg de cana de açúcar.
	
	
	Serão produzidos 1 150 litros de álcool com 15 000 kg de cana de açúcar.
	
	
	Serão produzidos 1 250 litros de álcool com 15 000 kg de cana de açúcar.
	
Explicação:
500 ----- 6000
x --------15000
6000x = 500. 15000 
x =  500. 15000 / 6000 = 1250 litros
 
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Uma pessoa comprou um produto de R$1200,00 dando 30% de entrada e pagando o restante, sem acréscimo, em 4 prestações iguais. Qual o valor de cada prestação?
	
	
	
	R$410,00
	
	
	R$310,00
	
	
	R$210,00
	
	
	R$510,00
	
	
	R$110,00
	
Explicação:
 
1200 ----- 100
x ---------- 30
100 x = 1200.30 = 36000
x 36000/100 = 360
1200 - 360 = 840
cada prestação = 840/4 = 210,00
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O capital que aplicado por 8 meses a juros simples de 4% ao mês, rende R$ 1.200,00 é:
	
	
	
	3.550,00
	
	
	3.350,00
	
	
	3.750,00
	
	
	3.650,00
	
	
	3.450,00
	
Explicação:
O capital que aplicado por 8 meses a juros simples de 4% ao mês, rende R$ 1.200,00 é:
Lembrando da relação
J = C.i.t
temos 
1200 = C .0,04.8 
1200  = C.0,32
C = 1200 /0,32
C = R$ 3750,00
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Em uma confecção há 5 costureiras que trabalham 6 horas por dia para produzir 1200 calças. Diante destas mesmas condições, 4 costureiras trabalhando 8 horas por dia conseguiriam produzir quantas calças ?
	
	
	
	1280
	
	
	1380
	
	
	1200
	
	
	1260
	
	
	1100
	
Explicação:
1.200 / 5 x 6 = 40 h/c
x / 4 x 8 = 40
x = 40 x 32 = 1.280
	
Funções
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em que o aluno está matriculado. Assim, imagine que:
Plano cartesiano
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está associado a um único número real e vice-versa.
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos  = -3.
Agora vamos praticar:
Consideremos num plano 𝛼 de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a 𝛼, existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x.
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes:
Podemos então localizar os pontos A(2,3), B(-3,2), C(-2,-1), D(3,-2), E(3,0) e F(0,2):
Veja a seguir o sinal das funções:
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Vejamos um exemplo:
Quandoaumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y = 3x – 1 é crescente.
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 é decrescente.
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é positivo, os valores de x em que y é zero e os valores de x em que y é negativo.
Entendendo na prática!
Consideremos uma função y = ax + b, vamos estudar seu sinal.
Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
Atividade
1 - Em um plano cartesiano, são dados os seguintes pontos: A(2,3), B(-3,2). Assinale a opção correta:
“A” está no 1º quadrante e “B” no 2º quadrante.
“A” está no 2º quadrante e “B” no 3º quadrante.
“A” está no 3º quadrante e “B” no 4º quadrante.
“A” está no 1º quadrante e “B” no 3º quadrante.
“A” está no 3º quadrante  e “B” no 1° quadrante.
2 - Em um plano cartesiano, se uma reta corta o eixo x no ponto -1, indica que a função correspondente a essa reta é:
y = 4x + 1
y = x – 1/4
y = 4x + 1/4
y = 4x - 1/4
y = 4x – 1
3 - A definição de Função Polinomial de 1º grau é?
Qualquer função R dada por f(R) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ay + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números inteiros e a ≠ 0.
Qualquer função f dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números irracionais e a a ≠ 0.
		1.
		Uma pequena empresa produz aparelhos auditivos a um custo fixo de R$ 1.550,00, incluindo-se mão-de-obra, despesas com salários, água, energia e impostos. Para sua operação, também há um custo variável que depende diretamente da quantidade de aparelhos auditivos produzidos, sendo o valor unitário igual a R$ 55,00. Considerando que o valor de venda de cada aparelho auditivo no mercado seja de R$ 200,00, monte as funções custo, receita e lucro e assinale a alternativa que apresenta o valor do lucro líquido desta empresa, caso a mesma alcançasse uma venda de 300 unidades.
	
	
	
	R$ 41.950,00
	
	
	R$ 47.450,00
	
	
	R$ 18.050,00
	
	
	R$ 9.450,00
	
	
	R$ 14.950,00
	
Explicação:
Justificativa: Para resolver o exercício, é preciso montar as equações das funções Custo, Receita e Lucro. Assim, temos:
Custo = C(x)
Custo variável = Cv
Custo fixo = Cf
C(x) = Cv + Cf
C(x) = 55x + 1550
A função receita é descrita como: R(x) = 200X, pois depende do número de unidades vendidas a um valor de venda de R$ 200,00.
A função lucro se dá como a receita obtida com as vendas, menos o custo para a produção das unidades:
L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = 200x - (1550 + 55x)
Para x = 300 unidades, tem-se que
L(300) = 200.300 - (1550 + (55).(300))
L(300) = 60.000 - (1500 + 16.500)
L(300) = 60.000 - 18.050
L(300) = R$ 41.950,00
O lucro para a venda de 300 unidades de aparelhos auditivos seria de R$ 41.950,00.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sabendo-se que determinado produto quando custa R$ 40, é demandado em 30 unidades e quando custa R$ 30, é demandado em 40 unidades, determine sua equação da demanda
	
	
	
	q=35
	
	
	q=-p+70
	
	
	p=q-70
	
	
	p=35
	
	
	q=p-70
	
Explicação:
A equação de demanda é do tipo q = a.p + b ( obedece a lei de formação de uma função afim  y = a.x + b)
Aplicando os pontos ( 40,30) e ( 30,40) na lei de formação temos o sistema de equação:
30= 40.a + b
40= 30.a + b
resolvendo o sistema temos a =-1  e b = 70
q = -p + 70
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Após uma auditoria na área de custos, determinada empresa descobriu que o seu custo fixo total é de R$ 10.000,00 e o custo variável por unidade é de R$ 13,00 por unidade. Tendo em vista que a empresa irá produzir 5.000 unidades em determinado mês, qual o custo mensal total deste mês para a empresa:
	
	
	
	85.000,00
	
	
	120.000,00
	
	
	100.000,00
	
	
	95.000,00
	
	
	75.000,00
	
Explicação:
c(x) = 10000 + 13x
x = 5000
10000 + 13. 5000 = 75000
 
	
	Gabarito
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	Gabarito
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		4.
		Uma pequena indústria de perfumes possui as seguintes condições mensais: - Custo variável por perfume: R$10,00 - Custo fixo: R$ 17300,00 Se o custo total de produção foi de R$25000,00, quantos perfumes foram vendidos?
	
	
	
	750 perfumes
	
	
	760 perfumes
	
	
	700 perfumes
	
	
	770 perfumes
	
	
	780 perfumes
	
Explicação:
10x + 17300 = 25000
10X = 25000 -17300 = 7700
x = 7700/10 = 770 
 
	
	Gabarito
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	Gabarito
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		5.
		O custo variável por unidade para fabricação de um produto é R$ 50,00. Qual é o custo variável para a fabricação de 200 unidades?
	
	
	
	R$ 50,00.
	
	
	R$ 100,00.
	
	
	R$ 200.000,00.
	
	
	R$ 82,50.
	
	
	R$ 10.000,00.
	
Explicação:
50 x 200 = 10000
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Para produzir um determinado produto, uma indústria gasta R$ 120,00 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 2.800,00, independentemente da quantidade produzida, referente a salários, impostos, matérias-primas, etc. O preço de venda é de R$ 400,00 por unidade.
Relembrando as relações entre transações financeiras, custo, receita e lucro, qual é o número mínimo de unidades a partir do qual essa indústria começaria a ter lucro?
	
	
	
	100
	
	
	12
	
	
	50
	
	
	10
	
	
	400
	
Explicação:
Justificativa: Para resolver o exercício, é preciso montar as equações das funções Custo, Receita e Lucro. Assim, temos:
Custo total = C(x)
Custo variável = Cv (neste caso, fixo por unidade) Custo fixo = Cf
C(x) = Cv + Cf
C(x) = 120x + 2.800
A função receita é descrita como: R(x) = 400X, pois depende do número de unidades vendidas a um valor de venda de R$ 400,00.
A função lucro se dá como a receita obtida com as vendas, menos o custo para a produção das unidades: L(x) = R(x) - C(x)
Para calcularmos o valor mínimo para começar a dar lucro, a receita tem que ser superior ao custo total.
Assim, temos 400x > 120x + 2800
280x > 2800
x > 10 unidades.
Portanto, para que a empresa dê lucro, é preciso vender mais do que 10 unidades.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma determinada empresa, para fabricar canetas, desenvolveu a seguinte função custo: C(x) = 5x + 500. Se a empresa dispõe de R$2.000,00, o número de canetas que poderá fabricar é:
	
	
	
	300
	
	
	350
	
	
	400
	
	
	380
	
	
	310
	
Explicação:
C(x) = 5x + 500
2000 = 5x + 500
1500 = 5x
x = 1500/5 = 300
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma empresa vende um produto por R$ 12,00 a unidade. O custo variável para produzir uma unidade é de R$ 3,00 e o custo fixo é de R$ 1.800,00, determine a Função Custo Total.
	
	
	
	C(q) = 9,00q - 1800,00
	
	
	C(q) = 9,00q + 1800,00
	
	
	C(q) = 3,00q + 1800,00
	
	
	C(q) = 12,00q + 1800,00
	
	
	C(q) = 12,00 q
	
Explicação:
A equação de custo é Custo Total = custo fixo + custo variáve
C(q) = 1800 + 3q
 
Função receita e função lucro
Vamos compreender como determinar a função receita e a função lucro, na prática. Observe os casos a seguir:
O preço do aluguel corresponde à quinta parte do salário de João; as despesas com alimentação e transporte correspondem a dois sétimos.
Vamos determinar qual é o salário que João deve receber a fim de que, descontadas todas as despesas, sobrem a ele, no mínimo, R$ 540,00.
	
Aluguel = 1/5 do salário
	
	
Alimentação/Transporte = 2/7 do salário
Salário = (1/5) + (2/7) + 540 -> 540 = {1 – [(1/5) + (2/7)]} do salário
Logo: 540 = (18/35) do salário -> salário = (540/18) * 35 = 1.050
Assim, o salário que João deve receber é de R$ 1.050,00
Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um custo C de R$10,00 para um peso P de até 1kg. Para cada quilo adicional ou fração de quilo, o custo aumenta R$ 0,30.
Vamos determinar a função que representa o custo de uma encomenda de peso P ≥ 1kg.Se 1 ≥ P - > C = 10
Se 2 ≥ P > 1 -> C = 10 + 1*0,30
Se 3 ≥ P > 2 -> C = 10 + 2*0,30
Se 4 ≥ P > 3 -> C = 10 + 3*0,30
Logo, para qualquer P -> C = 10 + (P – 1)*0,30
O gráfico ao lado informa a quantia a ser paga pelo consumo de água em certa cidade.
Sabendo que o consumo mínimo é de 10m3, vamos determinar quanto importa no pagamento um consumo de 28m3.
(60 – 20) / (20 – 10) = 4
20 + 4 * (C – 10)
20 + 4 * (28 – 10)
20 + 4 * 18 = 20 + 72 = 92
Agora é com você!
Com base nas situações vistas anteriormente, resolva as questões abaixo.
De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é: R = C + L, onde V é a arrecadação dos produtos vendidos; C o custo total dos produtos fabricados; e L o lucro obtido na transação.
Para produzir um produto, uma indústria gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade.
Qual é o número mínimo de unidades a partir do qual a indústria começa a ter lucro?
GABARITO
C = 4000 + 1,20x onde x é a quantidade de produtos.
Com C = R – L, para calcularmos o valor mínimo para começar a dar lucro, vamos imaginar o L = 0.
Logo, substituindo C por 4000 + 1,20x e R por 2x, temos:
4000 + 1,20x = 2x – 0
2x – 1,2x = 4000
Logo: 0,8x = 4000
x = 5.000 produtos -> a partir daí começa a dar lucro.
Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0.
Se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita?
GABARITO
No caso da receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) = p.q onde R é a receita total, p é o preço por unidade do produto e q é a quantidade vendida.
Assim, a receita R será 80 x 100000 = R$ 8.000.00,00.
Ponto de equilíbrio
O ponto de equilíbrio é o ponto onde a oferta é igual à demanda.
A análise do Ponto de Equilíbrio é apenas um guia que evidencia o relacionamento existente entre os fatores que afetam o lucro. Tem grande importância para a decisão gerencial, mas é preciso levar em conta que suas premissas são difíceis de se realizar na vida real.
O cálculo do ponto de equilíbrio pode ser feito por três métodos:
Método da equação
Esse método segue a equação:
Método da margem de contribuição
Utiliza a margem de contribuição por unidade de saída de produção necessária para calcular o ponto de equilíbrio.
Método gráfico
As unidades de venda são representadas no eixo horizontal e os valores monetários no eixo vertical.
Depreciação linear
Existem ativos (máquinas, equipamentos, veículos, prédios) que sofrem uma depreciação contábil (“desvalorização”) no seu valor de aquisição, calculado mensalmente ou anualmente, dependendo do tipo de ativo.
Atividade
1 - O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$7.500,00 e que, depois de seis anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor, após quatro anos de uso é:
a) R$ 2.100,00
b) R$ 3.150,00
c) R$ 3.300,00
d) R$ 3.750,00
2 – Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$ 80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita?
a) R$ 180.000.00,00
b) R$ 8.000.00,00
c) R$ 800.00,00
d) R$ 80.000.00,00
3 – O ponto de equilíbrio é o ponto onde:
a) A oferta é maior que a demanda.
b) A oferta é menor que a demanda.
c) Há oferta, mas não há demanda.
d) A oferta é igual à demanda.
		1.
		A função real de variável real, definida por f (x) = (6 - 2a).x + 2, é crescente quando:
	
	
	
	6
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	3
	
Explicação:
Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:
6 - 2a > 0
- 2a > 0 - 6
(- 1). (- 2a) > (- 6). (- 1)
2a < 6
a < 6/2 < 3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em um plano cartesiano a função que corta o eixo y no ponto -2 e o eixo x no ponto 2/3 é dada por:
	
	
	
	y = x + 2
	
	
	y = x/3 + 4/3
	
	
	y = 3x - 2
	
	
	y = x/3 - 4/3
	
	
	y = 4x/3 - 2
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considerando a equação: y = 4x - 12 em que ponto ela corta o eixo x no plano cartesiano?
	
	
	
	1
	
	
	zero
	
	
	-2
	
	
	3
	
	
	2
	
Explicação:
y = 4x - 12
0 = 4x - 12
4x = 12
x = 12/4 = 3
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Em um plano cartesiano a função que corta o eixo y no ponto -2 e o eixo x no ponto 12 é dada por:
	
	
	
	y = x/3 + 2
	
	
	y = 3x + 1
	
	
	y = x/3 - 5
	
	
	y = 3x - 4
	
	
	y = x/6 - 2
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A equação que representa o gráfico cartesiano da função de R em R é:
 
	
	
	
	y = x
	
	
	y = 2x -1
	
	
	y = -2x
	
	
	y = x -2
	
	
	y = -x
	
Explicação:
Observando o gráfico vemos que para todo valor de x o valor de y é o mesmo, logo a função é y= x.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o Zero da Função, para Y=-8X-9
	
	
	
	-9/8
	
	
	-8/9
	
	
	0
	
	
	-1/8
	
	
	1/9
	
Explicação:
 
Determine o zero da função ,para y = -8.x - 9
 
Para determinar o zero da função faça y = 0 e teremos:
-8x - 9 = 0 
-8x = 9 e x = -9/8
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sabendo que a função do primeiro grau é dada por  y = ax + b. Analise a função y = 4x+2  determine o coeficiente angular, o coeficiente linear  e classifique a função como crescente ou decrescente
	
	
	
	O coeficiente angular não existe, o coeficiente linear é 4 e a função é crescente.
	
	
	O coeficiente angular é 4, o coeficiente linear é 2 e a função é decrescente.
	
	
	O coeficiente angular é 2, o coeficiente linear é 4 e a função é decrescente.
	
	
	O coeficiente angular é 2, o coeficiente linear é 4 e a função é crescente.
	
	
	O coeficiente angular é 4, o coeficiente linear é 2 e a função é crescente.
	
Explicação:
a é o coeficiente angular : a = 4
B é o coeficiente linear :  b = 2
A função é crescente por´que o coeficiente angular é positivo. 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O valor da expressão numérica 1/3+(1/2)^2+(3/2):(6/5) é:
	
	
	
	12/11
	
	
	5/11
	
	
	12/5
	
	
	13/5
	
	
	11/6
	
Explicação:
1/3 + 1/4 + (3/2 * 5/6) => 1/3 + 1/4 + 5/4 => 4/12 + 3/12 + 15/12 => 22/12 (simplificando a fração por 2) = 11/6
Função quadrática
Para definirmos a função quadrática, vamos analisar a situação
a seguir.
Imagine que um clube dispõe de um campo de futebol de 100m de comprimento por 70m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca, uma pista com 3m de largura.
Vamos determinar qual é a área do terreno limitado pela cerca!
ZOOM
Exercícios!
Determine m para que a função f(x) = (m – 1)x2 + 2x – 3 seja do 2º grau.
Escreva sua resposta aqui.
Corrigir
Determine o valor de p para que a função real f(x) = (p2 – 5p + 4) x2 – 4x + 5 seja do 2º grau.
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
p2 – 5p + 4 ≠ 0 -> as raízes de p2 – 5p + 4 = 0 são 1 e 4
Logo, para que a função seja do 2º grau: p ≠ 1 e p ≠ 4
Identifique os coeficientes a, b e c das seguintes funções quadráticas:
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
a) a = 1; b = -3; c = 10
b) a = -2; b = -5; c = 1
c) a = 3; b = 0; c = -9
d) a = 1; b = 2; c = 0
e) a = 1/5 ; b = -2; c = 3/5
f) a = -3; b = 1/2 ; c = 1
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau
y = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.
Exercício!
Construa o gráfico da função y = -x2 + 1
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
Valores máximo e mínimo de uma função de 2º grau
O gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c é sempre uma parábola de eixo vertical. Observe:
Propriedades do gráfico y = ax2 + bx + c
Podemos definir as seguintes propriedades do gráfico y = ax2 + bx + c:
· propiedade 1
Se a > 0, a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima.
· PROPRIEDADE 2
Se a < 0, a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltadapara baixo.
· PROPRIEDADE 3
O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
xv = -b/2a
yv = -D/4a, onde D = b2 – 4ac, isto é, (fórmula de Bhaskara)
· PROPRIEDADE 4
A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x”, que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0.
· PROPRIEDADE 5
A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
· PROPRIEDADE 6
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = -b/2a.
· PROPRIEDADE 7
ymax = - D / 4a ( a < 0).
· PROPRIEDADE 8
ymin = - D / 4a (a > 0).
· PROPRIEDADE 9
Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c; então, ela pode ser escrita na forma fatorada seguinte:
y = a(x – x1) . (x - x2)
Exercício!
Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
O seu valor máximo é 1,25
O seu valor mínimo é 1,25
O seu valor máximo é 0,25
O seu valor mínimo é 12,5
O seu valor máximo é 12,5
GABARITO
A função quadrática pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x – x1) (x – x2), onde x1 e x2 são os zeros ou raízes da função:
y = a[x – (-2)] (x – 3) = a(x + 2) (x – 3)
y = a(x + 2) (x – 3)
Como o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2) (-1 – 3)
8 = a(1) (-4) = -4 . a
Daí vem: a = -2
Solução:
A função é, então: y = -2(x + 2) (x – 3), ou y = (-2x – 4) (x – 3)
y = -2x2 + 6x – 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12
Temos então: a = -2, b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.
Vamos, então, calcular o valor máximo da função.
D = b2 – 4ac = 22 – 4 . (-2) . 12 = 4 + 96 = 100
Portanto, yv = -100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.
Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
1/2
2
1
4
-1/2
GABARITO
Seja x o número procurado. O quadrado de x é x2.
O número x excede o seu quadrado, logo: x – x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x – x2.
Solução:
Podemos escrever: y = -x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x será o x (abscissa do vértice da função). Assim, xy = - b / 2a = -1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra (a).
Função receita/lucro quadrática
Para definirmos a função receita/lucro quadrática, vamos analisar a situação a seguir:
Certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria em reais é calculada pela expressão R(x) = 80000x – 8000x2, vamos calcular o valor que cada unidade do produto deve ser vendida para ser gerada uma receita mensal de R$200.000,00.
A receita é dada por:
R(x) = 80.000x – 8.000x2 onde x é o preço unitário.
Se a empresa teve uma receita de R$200.000,00, devemos substituir o valor 200.000 na R(x).
200.000 = 80.000x – 8.000x2
Arrumando a equação do segundo grau:
8.000x2 – 80.000x + 200.000 = 0
Para facilitar a aplicação de Bhaskara, devemos dividir por 8.000:
x2 – 10x + 25 = 0
Aplicando Bhaskara, encontramos o valor x = 5.
Portanto, cada unidade deve ser vendida por R$5,00.
Função Lucro
Observe a situação a seguir:
Um grupo de estudantes resolveu montar uma pequena indústria de estampas em camisas. Para tornar o negócio rentável, é preciso levantar os custos de produção e conhecer o número provável de camisetas vendidas. Esta última estimativa pode ser obtida por meio de uma pesquisa de mercado e depende do preço de venda de cada camiseta.
O grupo levantou os seguintes custos:
Vamos determinar o custo C para estampar x camisetas.
O custo C para estampar x camisetas é dado por:
C(x) = 1650 + 7,50x.
Exercício!
O lucro na venda de x unidades de um produto é dado por:
L(x) = x2 + 2x – 3
Determine:
a) O lucro na venda de 10 unidades do produto.
b) A quantidade vendida para um lucro zero.
c) A quantidade vendida para que o lucro seja o maior possível.
d) O gráfico de L(x).
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
a) Substituir x por 10: L(10) = 100 + 20 – 3 = 117, ou seja, R$117,00.
b) x2 + 2x – 3 = 0
Aplicando a Bhaskara, as raízes são: 1 e -3. A segunda, por ser negativa, tem que ser desprezada. Então, x = 1, isto é, preciso vender 1 unidade para o lucro ser zero.
c) Quanto mais venda, maior o lucro (não há limite).
d)
Inequações de 2º grau
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações.
Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se as propriedades das desigualdades e o significado da solução.
x2 – 3x – 4 > 0 .... (então y > 0 lembrando que a função x2 – 3x – 4 = y).
Inicialmente, igualamos a equação a 0 para calcular as raízes.
x2 – 3x – 4 = 0
x1 = -1 e x2 = 4
Assim, podemos desenhar a parábola função.
Para determinar o ponto em que a parábola corta o eixo y, temos que fazer x = 0. Logo:
y = -4
Estudo do sinal da função
Estudando o sinal da função, temos: a função é côncava para cima, pois (a > 0): (onde a é o coeficiente em x2).
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 ou x > 4.
E o conjunto:
S = {x ∈ R | x < -1 ∨ x > 4}
Vejamos um exemplo!
Vamos determinar o sinal da função:
Achando as raízes da função, usando Bhaskara, temos:
x1 = 2
x2 = 3
E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):
A solução é S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 3}
Exercícios!
Determine o sinal da função: -x2 + 4x – 4 ≥ 0.
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
As raízes da função são:
x1 = 2 = x2
A função é côncava para baixo, pois a < 0. E o estudo do sinal fica assim:
A função é toda negativa, exceto no ponto x = 2, onde ela é nula. Queremos saber onde a função é positiva ou nula (≥ 0). O único ponto que faz parte da solução é x = 2.
A solução é S = {2}.
Determine o sinal da função: -x2 + 2x – 4 > 0
Escreva sua resposta aqui.
GABARITO
A função não possui raízes legais. Logo, ela não intercepta o eixo das abscissas. A concavidade é para baixo, pois a < 0.
Como queremos saber onde a função é positiva, o conjunto solução da função é vazio. Logo, S = ∅.
Atividades
1 - Determine as raízes reais da seguinte função: 3x2 – 7x + 2.
1 e 2
2/3 e 3
3 e 7
2 e 1/3
2 – Determine as raízes reais da seguinte função: x – 2x2.
1 e 0
0 e ½
½ e 1
0 e -½
3 – Determine os zeros reais da função: x4 – 5x2 + 4.
-2 e 2
-1, -2, 2 e 3
-1, -2, 1 e 2
1, -1, 2 e -3
4 – Resolva a inequação: x2 – 3x + 2 > 0.
S = {x ∈ R | x < 2 ou x > 1}
S = {x ∈ R | x < -1 ou x > -2}
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > -2}
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 2}
	
	 
		
	
		1.
		Uma empresa tem um custo fixo de R$ 20.000,00 e um custo variável por unidade produzida de R$ 10,00. Considerando o preço de venda unitário de R$ 30,00 calcule o ponto de equilíbrio em quantidade: R(x) = C(x)
	
	
	
	2000
	
	
	200
	
	
	1000
	
	
	500
	
	
	5000
	
Explicação:
C(x) = 20000 + 10x
R (x) = 30x
20000 + 10x = 30x
20000 = 20x
x = 20000/20 =1000
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja a função receita total R(q) = 35q, a receita obtida na produção de 250 unidades é:
	
	
	
	8.750
	
	
	875
	
	
	87.500
	
	
	Nenhuma das alternativas.
	
	
	875.000
	
Explicação:
 R(q) = 35q,
q = 250
 R(250) = 35. 250 = 8750
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O lucro de uma empresa é dado pela função L = 20.X - 5000, onde L é o lucro em reais e X, o número de peças fabricadas e comercializadas. Determine o lucro da empresa em um mês quando foram vendidas 500 peças.
	
	
	
	R$ 20.000,00
	
	
	R$ 15.000,00
	
	
	R$ 5.000,00
	
	
	R$ 10.000,00
	
	
	R$ 7.000,00
	
Explicação:
L = 20.X - 5.000
L = 20.500 - 5000 = 10.000 - 5.000 = 5.000
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma empresa tem um custo fixo de R$ 24.000,00 e um custo variável por unidade produzida de R$ 8,00. Considerando o preço de venda unitário de R$ 20,00 calcule o ponto de equilíbrio em quantidade: R(x) = C(x)
	
	
	
	1250
	
	
	5000
	
	
	1500
	
	
	10002000
	
Explicação:
C(x) = 24000 + 8x
R (x) = 20x
24000 + 8x = 20x
24000 = 12x
x = 24000/12 =2000
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $80. O custo total consiste em um custo fixo de $4.500 somado ao custo da produção de $50 por unidade. Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento?
	
	
	
	800
	
	
	150
	
	
	346
	
	
	450
	
	
	12000
	
Explicação:
R(x) = 80x
C(x) = 4500 + 50x
R(x) = C(x)
80x = 4500 = 50x
80x - 50x =4500
30x = 4500
x = 150
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Para qualquer empresa é necessário entender sua necessidade de estoque, buscando a melhor quantidade a ser comprada para diminuir o custo de reposição do estoque. Desta forma, para uma empresa que precisa suprir seu estoque, calcule seu lote econômico de compras (LEC), sabendo que: o preço unitário (PU) é $8,00; seu custo de emissão do pedido (Cp) é $25,00; seu custo de manter o estoque (Cm) é 20%; e a Demanda anual (D) é 500. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto do LEC:
	
	
	
	125 unidades
	
	
	170 unidades
	
	
	85 unidades
	
	
	70 unidades
	
	
	100 unidades
	
Explicação: LEC = (2.D.Cp/Cm.PU)^0,5 LEC = ((2x500x25)/(0,2x8))^0,5 LEC = 125 unidades
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Um determinado investidor deseja montar uma indústria de bolsas e foi realizada uma pesquisa, onde verificou-se que o custo fixo seria de R$ 50.000,00 e a diferença entre o preço de venda e o custo variável de cada bolsa é de R$ 10,00. Sabendo-se que a função L (x) = R (x) - C (x), e considerando-se que quando R (x) = C (x) o lucro é zero, a quantidade mínima de bolsas que deve ser produzida e vendida para não ter prejuízo é de:
	
	
	
	10.000 bolsas
	
	
	20.000 bolsas
	
	
	8.000 bolsas
	
	
	12.000 bolsas
	
	
	5.000 bolsas
	
Explicação:
Peq = 50.000 / 10 = 5.000
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma empresa tem um custo fixo de R$ 40.000,00 e um custo variável por unidade produzida de R$ 20,00. Considerando o preço de venda unitário de R$ 40,00 calcule o ponto de equilíbrio em quantidade: R(x) = C(x)
	
	
	
	4000
	
	
	3000
	
	
	5000
	
	
	1000
	
	
	2000
	
Explicação:
C(x) = 40000 + 20x
R (x) = 40x
40000 + 20x = 40x
40000 = 20x
x = 40000/20 =2000
 
	
Limite de função em um ponto
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p = 4.
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Situação 2: Seja a função f(x)=2x+1. Vamos determinar como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1.
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x):
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x -> 1), y tende para 3 (y -> 3), ou seja:
Quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1).
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)3), dizemos que o limite de f(x).
Quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
Propriedades dos limites
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função , quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x-2) se aproxima de zero
• (x+1) se aproxima de 3
Portanto, o limite da função  estará se aproximando do quociente dos limites de (x-2) e de (x+1) no ponto p=2, ou seja, será igual a: 0/3 = 0.
Situação 2: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = (x+4).(x2 – 2x) quando x se aproxima do ponto x=3.
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3:
• (x+4) se aproxima de 7
• (x2 – 2x) se aproxima de 3
Portanto,  o limite da função  y = (x + 4).(x2 – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de (x + 4) e de (x2 – 2x) no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21
Situação 3: Vamos determinar como se comportam os valores da função  quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x2 - 4) se aproxima de zero
• (x - 2) se aproxima de zero
Portanto, o limite da função  aproxima-se de uma fração do tipo 0/0. Logo, não podemos aplicar a propriedade do quociente dos limites.
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto p=2.
Vamos procurar concluir para que valor a expressão realmente converge.
Portanto, podemos concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y é  aproximam-se do valor L=4.
Atividades
1 - Como se comportam os valores da função y = x2 – 2x + 1 quando x se aproxima do ponto p = 3?
2
4
3
5
2 - Calcule o limite da função  com o auxílio de uma tabela de valores à esquerda e à direta do ponto p = 3.
9
1
0
6
3 - Calcule o limite da função y , usando o conceito intuitivo de limite para o ponto p = -3.
1
0
5
3/4
4 - Calcule o limite da função  com o auxílio de uma tabela de valores à esquerda e à direita do ponto p = 0.
-1
-2
2
0