Quantos são os números naturais

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Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes
o dígito 8 exatamente 2 vezes?
Resposta: Vamos esquecer que a primeira casa do número não pode ser igual a zero. Isso fará com que contemos a mais
e, depois, descontaremos o que foi contado indevidamente. Há C7
3 modos de escolher as casas que serão ocupadas pelo
dígito 4; depois disso, há C4
2 modos de selecionar as casas que serão ocupadas pelo dígito 8; finalmente, as duas casas
restantes podem ser preenchidas de 8 × 8 modos ( não podemos usar nessas casas os dígitos 4 e 8). A "resposta" seria
C7
3 × C4
2 × 8 × 8 = 35 + 6 + 64 = 13.440. Devemos subtrair os números começando por 0. Se o número começar por
0, há C6
2 modos de escolher as casas que serão ocupadas pelo dígito 4; depois disso, há C3
2 modos de selecionar as casas
que serão ocupadas pelo dígito 8; finalmente, a casa restante pode ser preenchida de 8 modos (não podemos usar nessa
casa os dígitos 4 e 8). Há C6
3 × C3
2 × 8 = 20 × 3 ∪ 8 = 480 números começando por 0. A resposta é 13.440 − 480 =
12.960.