Lista 2 - Larissa Jonaly Rodrigues

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS 
Materiais para a Indústria Química 
Professor Dr. Dereck Nills Ferreira Muche 
Aluna: Larissa Jonaly Rodrigues 
 RA: 754239 
 
 
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Lista de exercícios 2 – Estrutura Cristalina 
 
1) Calcule o fator de empacotamento atômico (FEA) para uma estrutura CFC. 
 Para começar, deve-se lembrar que o fator de empacotamento atômico (FEA) é um 
índice que varia de 0 a 1 e indica a fração de volume de uma célula unitária que corresponde 
a esferas sólidas, assumindo que o modelo da esfera é esfera atômica rígida. Sendo assim, o 
FEA pode ser definido como: 
𝐹𝐸𝐴 =
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠)
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎)
 (1) 
 Sabemos que o sistema corresponde a um cubo, assim o volume da célula será 
dado por aresta ao cubo (a³). Quanto ao volume de átomos, podemos calcular como a 
multiplicação entre o número de átomos(n) e o volume de cada átomo, já que o volume de 
cada átomo será o volume correspondente ao de uma esfera de 4/3 π r³(raio). Obtemos: 
𝐹𝐸𝐴 =
𝑛.
4
3
 𝜋 𝑟³
𝑎³
 (2) 
 Sabendo que na estrutura CFC os átomos e os vértices se tocam ao longo da 
diagonal da face, temos que 4r = a2, sendo assim, temos que a = 2r √2. 
 Além disso, com as relações da Figura 1. 
Figura 1: Modelo da estrutura CFC. 
 
 Pode-se calcular o número de átomos dessa estrutura: 
𝑛 = 
1
2
𝑥 6 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 6 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠) + 
1
8
𝑥 8 (𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 8 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠) = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 (3) 
 Substituindo tudo em (2), temos: 
𝐹𝐸𝐴 =
𝑛.
4
3
 𝜋 𝑟³
𝑎³
=
4.
4
3
 𝜋 𝑟³ 
(2𝑟√2)³
=
16
3
 𝜋 𝑟3
16𝑟³√2
= 0,74 (4) 
 Assim, o fator de empacotamento atômico (FEA) para uma estrutura CFC é de 
0,74. 
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2) Calcule o FEA para a estrutura HCP. Para ajudar, considere a célula unitária do HCP 
simplificada mostrada abaixo na esquerda. Use o parâmetro c/a ideal (1.633). 
 
 Para começar, deve-se lembrar que o fator de empacotamento atômico (FEA) é um 
índice que varia de 0 a 1 e indica a fração de volume de uma célula unitária que corresponde 
a esferas sólidas, assumindo que o modelo da esfera é esfera atômica rígida. Sendo assim, o 
FEA pode ser definido como: 
𝐹𝐸𝐴 =
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠)
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎)
 (5) 
 Para uma célula HCP, temos que r=a/2 ou 2r=a e pela relação dada no enunciado 
𝑐
𝑎
= 1,633, temos que c= 1,633a. 
 O volume de um hexágono é dado pela área do hexágono vezes a altura(c). Quanto 
ao volume de átomos, podemos calcular como a multiplicação entre o número de átomos(n) e o 
volume de cada átomo, já que o volume de cada átomo será o volume correspondente ao de uma 
esfera de 4/3 π r³(raio). Assim, temos que: 
𝑉ℎ𝑒𝑥 = 
3 𝑎²√3
2
𝑥 𝑐 =
3 (2𝑟)2√3
2
 𝑥 1,6332𝑟 = 33,94𝑟³ (6) 
Além disso, com as relações da Figura 2. 
Figura 2: Modelo da estrutura HCP. 
 
 Pode-se calcular o número de átomos dessa estrutura: 
𝑛 = 
1
6
𝑥 12 (𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠) + 
1
2
𝑥 2 (𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠) + 3 = 6 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 (7) 
 Substituindo tudo em (5), temos: 
𝐹𝐸𝐴 =
𝑛.
4
3
 𝜋 𝑟³
33,94𝑟³
=
6.
4
3
 𝜋 𝑟³ 
33,94𝑟³
= 0,74 (4) 
 Assim, o fator de empacotamento atômico (FEA) para uma estrutura CFC é de 
0,74. 
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3) A tabela a seguir apresenta os pesos atômicos, os raios atômicos e as estruturas cristalinas 
de alguns metais. Calcule densidades teóricas para o cobre, cromo e zircônio. A razão c/a 
para o zircônio vale 1,593. 
 
 
 
 
 
 
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4) À temperatura ambiente, o metal estrôncio exibe uma estrutura CFC. Ao ser aquecido 
acima de 557 ºC, este sofre uma transformação alotrópica tornando-se CCC. Com isso: 
 a) Desenhe ambas as células unitárias e identifique as coordenadas das posições 
(pontos) que os átomos de Sr se encontram nas duas células unitárias. 
 
 b) Qual o parâmetro de rede (a) de cada célula unitária? Use rSr=0.20 nm 
 Sabendo que o parâmetro de rede corresponde ao termo a, temos: 
 
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 c) Desenhe as nas direções [100], [110] e [111] de ambos. O que você observa nestas 
direções. Calcule a densidade linear (use unidades de átomos/nm) de todos os casos. Qual a 
sua conclusão? 
 
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 d) Desenhe o corte dos planos (100) e (111) da estrutura do Sr a temperatura 
ambiente e o corte dos planos (100) e (110) da estrutura do Sr a 600 ºC. Quais desses planos 
é o mais compacto para cada estrutura? E dentre os 4 planos desenhados, qual o mais 
compacto de todos? 
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5) A cal é predominantemente óxido de cálcio (CaO) estrutura (AX). 
 a) Qual número de coordenação você esperaria para os íons de Ca no óxido de 
cálcio (CaO)? Raio iônico do Ca2+ = 100 pm e raio iônico do O2- = 140 pm. 
 Segundo as aulas, devemos descobrir o número de coordenação descobrindo a 
relação entre os raios do cátion (neste caso, é o cálcio Ca2+) e do ânion (neste caso, é o 
oxigênio O2-), com tal valor encontramos a melhor opção na tabela base. Assim, temos: 
𝑟𝑐á𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑟â𝑛𝑖𝑜𝑛
= 
𝑟𝑐
𝑟𝑎
=
100𝑝𝑚
140𝑝𝑚
= 0,714 
 Comparando com a Figura 3, esperasse que a geometria da coordenação do 
óxido de cálcio seja octaédrica cujo número de coordenação é 6. 
Figura 3: Razão de raios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 b) Com base no discutido em sala, qual estrutura você esperaria para este 
composto? Calcule a densidade teórica deste composto. Use massas molares: Ca=40.08, 
O=16.00 g/mol. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) Quais as direções abaixo?A origem de A corresponde a [1 0 1], logo teremos [0 1 1] = [1̅ 1 0]. Para B, a origem é [0 
0 0], logo teremos [1/2 1 1/2] = [1 2 1]. Para C, a origem é [1 ½ 1], logo teremos [1 0 0] = 
[0 1 ̅ 2̅]. Por fim, para D, a origem é [1/2 1 0], logo teremos [1 0 1/2] = [1 2̅ 1] 
7) Quais os índices de Miller dos planos abaixo? 
 
 Note que o plano A pode ser indicado por duas opções: [-1 -1 1] = [1̅ 1̅ 1] ou [1 1 -1] = [1 
1 1̅]. Já o plano b pode ser indicado por [2 3 0]. 
8) Explique o que é anisotropia. Porque muitos materiais policristalinos são isotrópicos, 
mesmo com os seus grãos sendo fortemente anisotrópicos? 
 A anisotropia consiste no efeito da direcionalidade das propriedades, ou seja, a 
anisotropia ocorre quando as propriedades físicas de um material se tornam diferentes 
dependendo da direção em que são analisadas. Muitos materiais policristalinos são 
isotrópicos, mesmo com seus grãos fortemente anisotrópicos porque apesar de cada grão 
individual ser anisotrópico se estes tiverem orientações aleatórias e com as interseções em 
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todas as direções, o seu agregado, ou seja, o agregado sólido de muitos grãos anisotrópicos 
se comportará de forma isotrópica.